Координатын аргаар шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох. Хоёр огтлолцох шугамын хоорондох зай

Өнцгийг тооцоолохдоо координатын аргыг ашиглах

онгоц хооронд

Ихэнх ерөнхий аргаөнцгийг олохонгоц хооронд - координатын арга (заримдаа векторуудыг ашигладаг). Бусад бүх зүйлийг туршиж үзсэн тохиолдолд үүнийг ашиглаж болно. Гэхдээ координатын аргыг нэн даруй хэрэглэх нь утга учиртай нөхцөл байдал байдаг, тухайлбал координатын систем нь асуудлын мэдэгдэлд заасан олон өнцөгттэй холбоотой байх үед, өөрөөр хэлбэл. Гурван хос перпендикуляр шугам нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд тэдгээр дээр координатын тэнхлэгүүдийг зааж өгч болно. Ийм олон өнцөгт нь тэгш өнцөгт параллелепипед ба ердийн дөрвөлжин пирамид юм. Эхний тохиолдолд координатын системийг нэг оройноос сунаж тогтсон ирмэгээр (Зураг 1), хоёр дахь тохиолдолд суурийн өндөр ба диагональаар (Зураг 2) тодорхойлж болно.

Координатын аргыг хэрэглэх нь дараах байдалтай байна.

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлсэн. Үүнийг "байгалийн" аргаар нэвтрүүлэхийг зөвлөж байна - нийтлэг цэгтэй хос перпендикуляр гурвалсан шугамтай "холбох".

Хоорондын өнцгийг хайж буй хавтгай бүрийн хувьд тэгшитгэлийг зурна. Ийм тэгшитгэлийг үүсгэх хамгийн хялбар арга бол нэг шулуун дээр оршдоггүй хавтгай дээрх гурван цэгийн координатыг мэдэх явдал юм.

Хавтгайн тэгшитгэл ерөнхий үзэлшиг харагдаж байна Ax + By + Cz + D = 0.

Коэффициент A, B, Энэ тэгшитгэлийн C нь хавтгайн хэвийн векторын координатууд юм (вектор, хавтгайд перпендикуляр). Дараа нь бид урт ба цэгийн бүтээгдэхүүнхавтгайд хэвийн векторууд, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хайж байна. Хэрэв эдгээр векторуудын координат(A 1, B 1; C 1) ба (A 2; B 2; C 2). ), дараа нь хүссэн өнцөгтомъёогоор тооцоолно

Сэтгэгдэл. Векторуудын хоорондох өнцөг (онгоц хоорондын өнцгөөс ялгаатай) нь мохоо байж болох бөгөөд тодорхойгүй байдлаас зайлсхийхийн тулд томъёоны баруун талд байгаа тоологч нь модулийг агуулна гэдгийг санах нь зүйтэй.

Энэ асуудлыг координатын аргыг ашиглан шийд.

Бодлого 1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо өгөгдсөн. K цэг нь AD ирмэгийн дунд, L цэг нь CD ирмэгийн дунд байна. А хавтгайн хоорондох өнцөг хэд вэ? 1 KL болон A 1 AD?

Шийдэл . Координатын системийн гарал үүсэл нь цэг дээр байгА, мөн координатын тэнхлэгүүд нь цацрагийн дагуу явдаг AD, AB, AA 1 (Зураг 3). Шоо дөрвөлжин ирмэгийг 2-той тэнцүү болгоцгооё (үүнийг хагас болгон хуваахад тохиромжтой). Дараа нь цэгүүдийн координатууд A 1 , K, L нь дараах байдалтай байна: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Цагаан будаа. 3

Хавтгайн тэгшитгэлийг бичье A 1K L ерөнхий утгаараа. Дараа нь бид энэ хавтгайд сонгосон цэгүүдийн координатыг орлуулна. Бид дөрвөн үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Коэффициентүүдийг илэрхийлье A, B, C-ээс D хүртэл тэгээд бид тэгшитгэлд хүрнэ

Хоёр хэсэг болгон хуваах D (яагаад D = 0?) дараа нь -2-оор үржүүлснээр бид онгоцны тэгшитгэлийг олж авна A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Тэгвэл энэ хавтгайн хэвийн вектор координаттай байна (2: -2; 1). Хавтгай тэгшитгэл 1 AD нь: y=0, ба түүний хэвийн векторын координатууд нь жишээ нь (0; 2: 0). Хавтгай хоорондын өнцгийн косинусын дээрх томьёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна.

Координатын арга нь маш үр дүнтэй бөгөөд бүх нийтийн аргасансар огторгуй дахь стереометрийн объектуудын хоорондох өнцөг эсвэл зайг олох. Хэрэв таны математикийн багш өндөр мэргэшсэн бол тэр үүнийг мэдэж байх ёстой. Үгүй бол "С" хэсгийн багшийг солихыг зөвлөж байна. Математикийн C1-C6-ийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх миний бэлтгэл нь ихэвчлэн доор тайлбарласан үндсэн алгоритм, томъёоны дүн шинжилгээг агуулдаг.

a ба b шугамын хоорондох өнцөг

Орон зайн шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээртэй параллель огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг юм. Энэ өнцөг өнцөгтэй тэнцүүэдгээр шулуун шугамын чиглэлийн векторуудын хооронд (эсвэл 180 градус хүртэл нөхдөг).

Математикийн багш өнцгийг олохын тулд ямар алгоритм ашигладаг вэ?

1) Дурын векторыг сонгоно уу мөн a ба b шулуун шугамын чиглэлтэй (тэдгээртэй параллель).
2) Бид векторуудын координатыг тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн харгалзах координатыг ашиглан тодорхойлно (эхний координатыг векторын төгсгөлийн координатаас хасах шаардлагатай).
3) Олсон координатыг томъёонд орлуулна.
. Өнцгийг өөрөө олохын тулд үр дүнгийн нумын косинусыг олох хэрэгтэй.

Онгоцонд хэвийн

Хавтгайн хэвийн гэж тухайн хавтгайд перпендикуляр дурын вектор хэлнэ.
Хэрхэн хэвийн олох вэ?Нормаль координатыг олохын тулд өгөгдсөн хавтгайд байрлах M, N, K гурван цэгийн координатыг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр координатуудыг ашиглан бид векторуудын координатыг олж, нөхцөлийг хангасан байхыг шаарддаг. Векторуудын скаляр үржвэрийг тэгтэй тэнцүүлснээр бид гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг бий болгож, үүнээс нормаль координатыг олох боломжтой.

Математикийн багшийн тэмдэглэл : Системийг бүрэн шийдэх шаардлагагүй, учир нь ядаж нэг хэвийн сонгоход хангалттай. Үүнийг хийхийн тулд та түүний үл мэдэгдэх координатын оронд дурын тоог (жишээлбэл, нэг) орлуулж, үлдсэн хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Хэрэв шийдэл байхгүй бол энэ нь сонгосон хувьсагч дахь утга нь нэг байх нь хэвийн гэр бүлд байхгүй гэсэн үг юм. Дараа нь нэг хувьсагчийг (өөр координат) орлуулж, шийд шинэ систем. Хэрэв та дахин алдах юм бол таны хэвийн хамгийн сүүлийн координат нэг байх бөгөөд энэ нь өөрөө заримтай параллель болж хувирна. координатын хавтгай(энэ тохиолдолд системгүй байсан ч олоход хялбар байдаг).

Бидэнд чиглэлийн вектор ба нормаль координат бүхий шулуун ба хавтгай өгөгдсөн гэж үзье.
Шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Эдгээр онгоцнуудын аль ч хоёр хэвийн байг. Дараа нь онгоцны хоорондох өнцгийн косинус модультай тэнцүүНормальуудын хоорондох өнцгийн косинус:

Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл

Тэгш байдлыг хангасан цэгүүд нь нормтой хавтгайг үүсгэдэг. Коэффициент нь ижил нормтой хоёр онгоцны хоорондох хазайлтын хэмжээг (зэрэгцээ шилжих) хариуцдаг. Хавтгайн тэгшитгэлийг бичихийн тулд эхлээд түүний нормыг (дээр дурдсанчлан) олж, дараа нь тэгшитгэлд хавтгай дээрх дурын цэгийн координатыг олсон нормальын координатын хамт орлуулж, коэффициентийг олох хэрэгтэй.

Би товчхон хэлье. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв та a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба b = (x 2 ; y 2; z 2) чиглэлийн векторуудын координатыг олж чадвал өнцгийг олох боломжтой. Илүү нарийвчлалтай, өнцгийн косинусыг томъёоны дагуу:

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ томъёо хэрхэн ажилладагийг харцгаая:

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - A 1 B 1 ба B 1 C 1 ирмэгүүдийн дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Кубын ирмэгийг заагаагүй тул бид AB = 1-ийг тогтооно. Бид танилцуулна стандарт системкоординат: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 дагуу тус тус чиглэнэ. Нэгж сегмент AB = 1-тэй тэнцүү. Одоо шулуун шугамуудынхаа чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.

AE векторын координатыг олъё. Үүний тулд бидэнд A = (0; 0; 0) ба E = (0.5; 0; 1) цэгүүд хэрэгтэй. E цэг нь A 1 B 1 сегментийн дунд байдаг тул координатууд нь төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундажтай тэнцүү байна. AE векторын гарал үүсэл нь координатын эхтэй давхцаж байгаа тул AE = (0.5; 0; 1) болохыг анхаарна уу.

Одоо BF векторыг харцгаая. Үүний нэгэн адил бид B = (1; 0; 0) ба F = (1; 0.5; 1) цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийдэг, учир нь F нь B 1 C 1 сегментийн дунд хэсэг юм. Бидэнд:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

Тэгэхээр чиглэлийн векторууд бэлэн боллоо. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинус нь чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинус тул бид дараах байдалтай байна.

Даалгавар. Ердийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү, D ба E цэгүүдийг тэмдэглэв - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд A 1 B 1 ба B 1 C 1 тус тус байна. AD ба BE шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x тэнхлэг нь AB дагуу, z - AA 1 дагуу. OXY хавтгай нь ABC хавтгайтай давхцахаар y тэнхлэгийг чиглүүлье. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү. Шаардлагатай шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.

Эхлээд AD векторын координатыг олъё. Цэгүүдийг анхаарч үзээрэй: A = (0; 0; 0) ба D = (0.5; 0; 1), учир нь D - сегментийн дунд хэсэг A 1 B 1. AD векторын эхлэл нь координатын эхлэлтэй давхцаж байгаа тул бид AD = (0.5; 0; 1) авна.

Одоо BE векторын координатыг олъё. B цэг = (1; 0; 0) нь тооцоолоход хялбар байдаг. E цэгээр - сегментийн дунд хэсэг C 1 B 1 - энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Бидэнд:

Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.

Даалгавар. Энгийн зургаан өнцөгт призм ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , бүх ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү, K ба L цэгүүдийг тэмдэглэсэн - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 байна. . AK ба BL шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Призмийн стандарт координатын системийг танилцуулъя: бид координатын гарал үүслийг доод суурийн төвд байрлуулж, x тэнхлэг нь FC-ийн дагуу, у тэнхлэг нь AB ба DE сегментүүдийн дунд цэгүүдээр, z тэнхлэгүүдээр дамждаг. тэнхлэг нь босоо дээш чиглэсэн байна. Нэгж сегмент дахин AB = 1-тэй тэнцүү байна. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.

K ба L цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатыг арифметик дундажаар олно. Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AK ба BL чиглэлийн векторуудын координатыг олно.

Одоо өнцгийн косинусыг олъё.

Даалгавар. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү SABCD дөрвөлжин пирамид дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - SB ба SC талуудын дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x ба у тэнхлэгүүд AB ба AD дагуу тус тус, z тэнхлэг нь босоо дээшээ чиглэсэн байна. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү байна.

E ба F цэгүүд нь SB ба SC сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатуудыг төгсгөлүүдийн арифметик дундажаар олно. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AE ба BF чиглэлийн векторуудын координатыг олно.

А цэг нь эхлэл учраас AE векторын координатууд нь Е цэгийн координатуудтай давхцаж байна. Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.

MOU дундаж дунд сургууль №13

Координатын арга

2008
Төлөвлөгөө:

1. 
   Танилцуулга
2. 
   
3. 
   Координатын аргын мөн чанар
4. 
   Координатын аргын систем
5. 
   Координатын аргын үндсэн томъёо
6. 
   Даалгаврууд өөр өөр түвшин"Координатын арга" сэдэвт бэрхшээлүүд

1. 
   Дүгнэлт
2. 
   Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Танилцуулга

Геометрт ашигладаг янз бүрийн аргаАсуудлыг шийдвэрлэх нь синтетик (цэвэр геометрийн) арга, хувиргах арга, вектор арга, координатын арга гэх мэт. Тэд эзэлдэг өөр байр суурьсургууль дээр. Үндсэн аргыг синтетик гэж үздэг бөгөөд бусад нь хамгийн их байдаг өндөр албан тушаалКоординатын арга нь алгебртай нягт холбоотой учраас түгээмэл байдаг. Синтетик аргын дэгжин байдал нь зөн совин, таамаглал, нэмэлт барилга байгууламж. Координатын аргаЭнэ шаардлагагүй: асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн алгоритмжсан байдаг бөгөөд энэ нь ихэнх тохиолдолд асуудлыг өөрөө хайх, шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Координатын арга- тоо болон бусад тэмдэглэгээг ашиглан цэг эсвэл биеийн байрлалыг тодорхойлох арга.

Координатын систем- координатын аргыг хэрэгжүүлдэг тодорхойлолтуудын багц, i.e. тоо эсвэл бусад тэмдэглэгээг ашиглан цэг эсвэл биеийн байрлалыг тодорхойлох арга.

Өгөх геометрийн судалгааалгебрийн шинж чанартай, координатын арга нь хамгийн их шилжүүлдэг чухал онцлогалгебр - асуудлыг шийдвэрлэх арга замуудын нэгдмэл байдал. Хэрэв арифметик болон анхан шатны геометрийн хувьд дүрмээр бол асуудал бүрийг хайж олох хэрэгтэй онцгой аргашийдлүүд, дараа нь алгебр болон аналитик геометрШийдвэрүүд нь бүх асуудалд нийтлэг байдаг төлөвлөгөөний дагуу хийгддэг бөгөөд аливаа асуудалд амархан дасан зохицдог. Алгебрийн онцлог шинж чанартай тул ерөнхий шинж чанартай асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг геометрт шилжүүлэх нь чухал юм гол үнэ цэнэкоординатын арга. Координатын аргын өөр нэг давуу тал нь түүний хэрэглээ нь орон зайн нарийн төвөгтэй зургийг дүрслэн харуулах хэрэгцээг арилгадаг явдал юм.

Координатын аргыг судлах зорилго

Та сонгож болно дараах зорилтуудСургуулийн геометрийн курст координатын аргыг судлах:

• 
  оюутнуудад өгөх үр дүнтэй аргаасуудал шийдвэрлэх, хэд хэдэн теоремуудыг батлах;
• 
  энэ аргад тулгуурлан үзүүлнэ ойр холболталгебр ба геометр;
• 
  оюутнуудын компьютер, график соёлыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулах.

Координатын аргын мөн чанар

Асуудлыг шийдвэрлэх арга болох координатын аргын мөн чанар нь тэгшитгэлээр дүрсийг тодорхойлж, янз бүрийн хэлбэрийг илэрхийлэх явдал юм. геометрийн харилцаа, бид шийдэж чадна геометрийн асуудалалгебрийн тусламжтайгаар. Үүний эсрэгээр координатыг ашиглан алгебрийн болон аналитик харилцаа, баримтыг геометрийн аргаар тайлбарлаж, улмаар геометрийг алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Координатын арга нь бүх нийтийн арга юм.

талаар сургуулийн курсгеометрийн хувьд зарим тохиолдолд координатын арга нь нотлох баримтыг бий болгож, олон асуудлыг цэвэр биш илүү оновчтой, үзэсгэлэнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог гэж бид хэлж чадна. геометрийн арга замууд. Координатын арга нь нэг геометрийн нарийн төвөгтэй байдалтай холбоотой. Ижил асуудал нь координатын системийн тодорхой сонголтоос хамааран өөр өөр аналитик дүрслэлийг хүлээн авдаг. Зөвхөн хангалттай туршлага нь танд хамгийн тохиромжтой координатын системийг сонгох боломжийг олгодог.

Турин хотод чинээлэг язгууртны гэр бүлд төрсөн. Хэдэн өдрийн дараа ээж нь хооллож нас барж, сувилагч нь гарч ирээд амийг нь аварсан. Рене 8 настайдаа Иезуитийн шилдэг коллежийн нэгд бүрэн анхаарал тавьжээ. Багаасаа Декарт бүх асуудлыг шийдэх дуртай байсан чөлөөт цагматематикийн хичээлд өөрийгөө зориулжээ. Декарт философи, математик, физик, одон орон, филологийн чиглэлээр суралцсан. Математикийг төсөөлөхөд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулсан анхны хүн бол Декарт юм математик шинжилгээбайгалийн болон нийгмийн олон янзын үзэгдлийн хувьд.

Түүний бүтээлүүдэд дараах зүйлс анх удаа гарч байна.

1. 
   хувьсагч
2. 
   геометрийн хатуу хуулиудыг алгебр хэл рүү хөрвүүлдэг
3. 
   байгалийн үзэгдлүүдийн хоорондын холбоог муруй шугамаар дүрсэлж, алгебрийн илэрхийлэл болгон бичихийг санал болгосон.
4. 
   танилцуулсан латин үсэгбайнгын болон хувьсагч, түүнчлэн зэрэг олгох

3. Туйлын координатын систем . Туйлын координатцэгүүдийг дараах байдлаар тодорхойлно: өгөгдсөн хавтгай дээр тооны цацрагӨө. Цацрагийн эхлэл болох О цэгийг туйл, OX тэнхлэгийг туйлын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. М цэгийн байрлалыг тодорхойлох туйлын системкоординатууд нь туйлаас энэ цэг хүртэлх зай, түүний байрлах чиглэлийг заана. Нэг цэгээс туйл хүртэлх зайг цэгийн туйлын радиус гэж нэрлэх ба үсгээр тэмдэглэнэ. ("roh" гэж дуудагдана).

OX цацрагаас OM цацраг хүртэлх эргэлтийн өнцгөөр чиглэлийг тогтооно

Координатын арга

томъёо

Векторын координат дээр суурилсан урт

Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох томъёо

Хоёр цэгийн хоорондох зай

Тойргийн тэгшитгэл,(тойрог төв
, радиус r)

Шугамын тэгшитгэл
, үүнийг өгсөн
(тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл юм)

Шулуун шугам бүрийг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Үүний зэрэгцээ a,b,c тоонуудшулуун шугам тус бүрийн хувьд пропорциональ хүртэл тодорхойлогддог (хэрэв та тэдгээрийг ижил тоогоор үржүүлбэл).
, дараа нь үүссэн тэгшитгэл
ижил мөрийг тодорхойлох болно).

Цэгээс хол зай
шулуун шугам руум
, тэнцүү байна

Цэгээс хол зай
онгоц руу
, тэнцүү байна

Томъёоны гарал үүсэл
.

Гол цэгээс бууцгаая
хавтгайд перпендикуляр AB , тэгшитгэлээр өгөгдсөн
.Let
- энэ перпендикулярын хавтгайтай огтлолцох цэг . Дараа нь
- цэгээс зай
онгоц руу .Вектор нь хавтгайд перпендикуляр байдаг тул , энэ нь вектортой конлинеар байна
.Энэ нь тийм гэсэн үг
,Хэрэв
, эсвэл
,Хэрэв
, тэр нь
.Энэ тэгш байдлыг координатаар дахин бичье: .Гэхдээ гол нь
, Тийм учраас
Тэгээд
=
.
(Стюартын теорем)

Өгөгдсөн бол гурвалжин ABC мөн үүн дээр үндэслэсэн цэг Д , B ба C цэгүүдийн хооронд хэвтэж байвал тэгш байдал нь үнэн болно:

Нотолгоо:

Зурагт үзүүлсэн шиг координатын системийг сонгоцгооё.

Сонгосон координатын системд гурвалжны оройнууд ABCдараах координаттай байна:

А(х 1 ;y 1 ), B(x 2 ;0), C(0;0)ба хугацаа D(х 3 ;0) .

Тэгш тэгшитгэлд орсон бүх хэмжигдэхүүнийг тооцоолъё.

Эдгээр бүх утгыг орлуулж үзье зүүн талтэгш байдал:

Q.E.D.

Даалгавар 1.А(-1,3,0) цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол , тэгшитгэлээр өгөгдсөн x -3y -2z +5=0.

Шийдэл. Томъёоны дагуу
бид авах:

.

Хариулт:
.

Шийдэл. Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан хаалтуудыг нээцгээе:

=

Скаляр бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
(учир нь Тэгээд перпендикуляр);

Эдгээр утгыг илэрхийлэлд орлуулах
=, бид скаляр үржвэрийг олно:
=0 – 50+9 12 -120=-62

Хариулт:
=0 – 50+9 12 -120=-62
Асуудал 3.Дөрвөлжин өгөгдсөн ABCD талтай А . Сегментийн дунд хэсгийн хоорондох зайг тодорхойлно AM , Хаана М - дунд Нар , мөн цэг Н талд CD , үүнийг ингэж хуваах CN:ND=3:1 .

Шийдэл:

Дараа нь оноо М Тэгээд Н , нөхцөлийн дагуу координаттай байна:

тус тус.

Учир нь Э - дунд AM , Дараа нь түүний координатууд дараах байдалтай байна.

гэсэн үг, Э .

Цэгүүдийн хоорондох зайг олъё Э Тэгээд Н :

Хариулт: EN =

Шийдэл.

Төв нь В оройтой координатын системийг танилцуулъя. Дараа нь
Хавтгайн тэгшитгэлийг олцгооё . Энэ тэгшитгэл байг. Үүнийг анхаарна уу гарал үүслээр дамждаггүй, тиймээс
тэгшитгэлийг D-д хувааж болно; бид дараах тэгшитгэлийг авна.
эсвэл ax + by + cz +1=0

Үл мэдэгдэх a, b, c коэффициентүүдийг тодорхойлохын тулд бид тэгшитгэлд ax + by + cz +1=0 энэ тэгшитгэлийг хангадаг E, F, O гурван цэгийн координатыг орлуулна (учир нь эдгээр цэгүүд хавтгайд байрладаг. ).Бид тэгшитгэлийн системийг олж авна:
Эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг 4-ээр, гурав дахь тэгшитгэлийг -6-аар үржүүлж, эхний тэгшитгэлийг гурав дахь тэгшитгэлээр нэмснээр системийг өөрчилье.
, b=-4,
.Тиймээс хавтгай тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

5x + 8y - 9z – 2 =0. Одоо бид B1(0,0,1) цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олно
.

Хариулт:
.