Üssün (e üzeri x'in kuvveti) grafiği ve temel özellikleri verilmiştir: tanım alanı, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, genişleme güç serisi, eylemler karmaşık sayılar.
Tanım
Özel değerler
izin ver (x) = ex.
.
Daha sonra Üs şu özelliklere sahiptir:üstel fonksiyon derece tabanı ile > 1 .
e
Etki alanı, değerler kümesi (x) = ex y üssü
tüm x'ler için tanımlıdır.
- ∞ < x + ∞
.
Tanım alanı:
0
< y < + ∞
.
Birçok anlamı var:
Aşırılıklar, artan, azalan
Üstel monoton olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.
Ters fonksiyon
;
.
Üssün tersi doğal logaritmadır.
Üssün türevi derece tabanı ile Türev bir dereceye kadar X derece tabanı ile Türev bir dereceye kadar
:
.
eşit
.
N'inci dereceden türev:
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral
Karmaşık sayılar Karmaşık sayılarla işlemler kullanılarak gerçekleştirilir.:
,
Euler formülleri
.
sanal birim nerede:
;
;
.
Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler
;
;
;
.
Trigonometrik fonksiyonları kullanan ifadeler
Kuvvet serisi genişletmesi
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009. Geçenlerde bir öğrencim iki sayıyı karşılaştırmayla ilgili bir soruyla yanıma geldi. Daha fazlasının ne olduğunu bulmak gerekiyordu: e üzeri pi'nin kuvveti veya pi üssü e
? Güzel bir kombinasyon. Bu doğru değil mi? Bütün yıl ona ders veren matematik öğretmeni bu tür mantıksızlıklarla baş edemedi ve ben her zaman başka birinin başarısız olduğu sayıları düzeltmek ilgimi çekti. Bir öğretmen standart olmayan problemleri çözebilmelidir. Öğrenci şaşırtıcı derecede anlayışlıydı ve soruyla birlikte internette bulduğu bir çözümün bağlantısını da gönderdi. Özelliği kullandığı için onun için çok karmaşık ve anlaşılmaz olduğu ortaya çıktı. sayı serisi . Tabii ki 11. sınıf mezunu bunları anlayamıyor ve bu yüzden mütevazı hizmetçiniz işe koyuldu. Sadece okul çocuklarının erişebileceği soruna bir çözüm bulmak ve bunu yayınlamak ilginç olurdu. bitmiş form , ancak bir matematik öğretmeninin çözümleri nasıl aradığını göstermek için standart dışı görevler
. Düşünce trenimi anlatmak istedim.
“Kafa kafaya” hesaplamanın gerçekçi olmadığı açıktır ve bu gibi durumlarda hesap makinesi kullanmak yasaktır. Şunu düşünüyorum: Büyük ihtimalle göstergeleri ve derece tabanlarını ayırmak, karşılaştırmayı eşdeğer bir şeyle değiştirmek gerekiyor. Aksi takdirde bol miktarda temel işlevler sayıları monotonluk özelliklerine göre karşılaştırmaya yardımcı olacak işlevi bulamayacağız. Termonükleer irrasyonel bir çifti kırmak ancak logaritmayı hesaplayarak mümkündür. Bu nedenle hemen derecelerin logaritmasını alıp düşüncelerimi ve yönünde yönlendirdim. Logaritmanın tabanı tesadüfen seçilmemiştir. Katılımcının varlığı etkili oldu.
Görev sayıları ve . Daha sonra, girişlerinin Gives ile değiştirildiğini fark ettim. eşit sayılar. Bunu nasıl kullanırsınız? aklımda tutuyorum ana fikir: görev varsa temel çözüm, o zaman er ya da geç bazılarını tanıtmak zorunda kalacaksınız monoton fonksiyon. Bu açıkça böyle değildir çünkü sayı, karşılaştırma için uygun bir noktada bir değer değildir. Bununla birlikte, belirlenen sonuç eşitliğinin muhtemelen bir şekilde kullanılması gerekmektedir. Nasıl?
Matematikte herhangi bir eşitsizliği kanıtlamanın, söz konusu sayıların farkının belirli bir işarete sahip olduğunu kanıtlamakla eşdeğer olduğunu hatırlıyorum. Bu da farkı sıfırla karşılaştırmakla aynı şeydir. İçindeki bir sayıyı bir sayıyla değiştirirken elde edilen şey tam olarak budur. Şimdi nasıl davranmalıyım? matematik öğretmeni? Tabii ki, fonksiyonu göz önünde bulundurun ve onun monotonluğunu kanıtlayın. Eğer fonksiyonun artan olduğu ortaya çıkarsa, > olduğundan, o zaman > ve dolayısıyla şunu elde ederiz: >
Geriye türevi bulup neyin arttığını kontrol etmek kalıyor. Sahibiz. Açıkçası, eğer x>e ise > . Bu nedenle aralıkta artar. Bu nedenle > ve dolayısıyla e üzeri pi'nin kuvveti pi'nin e kuvvetinden büyük 
Tüm mantık yürütmeleri bir kenara bırakarak sorunun çözümünü kısaca yazalım:
Tüm süreç yaklaşık 10-15 dakika sürdü ve çoğunu düşünerek geçirdim. Her matematik öğretmeninin bir öğrenciye Olimpiyat tipi görevler konusunda tavsiyelerde bulunabilmesi gerektiğini söyleyemem ancak bazı düşünme teknikleri hakkında bilgi sahibi olması onun için faydalı olacaktır.
Saygılarımla, Kolpakov Alexander Nikolaevich.
Moskova'da matematik öğretmeni,
Strogino, Shchukinskaya metro istasyonunda profesyonel öğretmen.
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı...konunun incelenmesine dahil oldular matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldığını anlıyor ama kimse aldatmanın neyden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zaman yavaşlıyor gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? İçeride kal sabit birimler zaman ölçümleri ve gitmeyin karşılıklılar. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama değil komple çözüm sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu çıkmazda mantıksal paradoks bunun üstesinden çok basit bir şekilde gelinebilir - uçan bir okun her an uzayın farklı noktalarında durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için iki fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanın bir noktasında uzay, ancak onlardan hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Bu kadar saçma bir mantık duyarlı varlıklar asla anlamam. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler ne kadar “dikkat edin, ben evdeyim” ya da daha doğrusu “matematik çalışmaları” ifadesinin arkasına saklanırlarsa saklansınlar. soyut kavramlar", onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı var. Bu göbek bağı paradır. Uygula matematiksel teori matematikçilerin kendilerine sunar.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin aynı elemanları içeren bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklıyoruz. özdeş elemanlar. Eğlencenin başladığı yer burasıdır.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlarçamur, kristal yapısı ve her madeni paradaki atomların düzeni benzersizdir...
Ve şimdi en çok şeye sahibim ilginç soru: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Sayıların toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. verilen numara. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE çok sayıda 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (tek resim) (birkaç resimden oluşan kompozisyon: eksi işareti, dört rakamı, derece işareti). Ve bu kızın aptal olduğunu düşünmüyorum, hayır fizik konusunda bilgili. Sadece basmakalıp bir algı algısı var grafik görseller. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
