Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.

Sayfada gezinme.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. okul kursu matematik. Geometri derslerinde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları verilmektedir. dar açı bir dik üçgende. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.

Dik üçgende dar açı

Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.

Tanım.

Dik üçgende dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

Tanım.

Dik üçgende dar açının kosinüsü bir tutumdur bitişik bacak hipotenüse.

Tanım.

Bir dik üçgende dar bir açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.

Tanım.

Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.

Örneğin ABC dik açılı bir dik üçgen ise A dar açısının sinüsü orana eşit BC'nin karşı tarafı AB hipotenüsüdür, yani sin∠A=BC/AB.

Bu tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından ve ayrıca bir akut açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. bilinen değerler Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğunu kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulun. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, dar açı A'nın kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Dönme açısı

Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.

Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç ​​noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.

Tanım.

Dönme açısının sinüsüα, A 1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.

Tanım.

Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.

Tanım.

Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.

Tanım.

Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.

Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç ​​noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç ​​noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için tanjant tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Aslında bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç ​​noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).

Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k dışındaki tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k dışındaki tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).

Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π ile gösterilir.

Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.

Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.

Sayılar

Tanım.

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı bu sayı sinüse eşit t radyan cinsinden dönme açısının sırasıyla kosinüs, tanjant ve kotanjantı.

Örneğin, 8 π sayısının kosinüsü tanım gereği sayıdır. kosinüse eşit 8·π rad açısı. Ve açının kosinüsü 8 π rad bire eşit dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.

Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Herkesin gerçek sayı t noktayla eşleştirilir birim çember Dikdörtgen koordinat sisteminin orijininde merkezlenir ve bu noktanın koordinatları üzerinden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant belirlenir. Buna daha detaylı bakalım.

Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:

• 0 sayısına A(1, 0) başlangıç ​​noktası atanır;
• pozitif t sayısı birim çember üzerindeki bir nokta ile ilişkilidir; başlangıç ​​noktasından itibaren daire boyunca saat yönünün tersine hareket edersek ulaşacağımız nokta ve hadi yolu yürüyelim uzunluk t;
• negatif sayı t birim çemberin noktasıyla ilişkilidir; başlangıç ​​noktasından itibaren daire boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .

Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).

Tanım.

Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.

Tanım.

Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.

Tanım.

Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.

Tanım.

Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.

Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç ​​noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.

Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta fayda var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılır, aksi halde muhtemelen temel bir öneme sahip değildir.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

Önceki paragrafta verilen tanımlara göre, her dönme açısı α, cosα değerinin yanı sıra çok spesifik bir sinα değerine de karşılık gelir. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.

Benzer şekilde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarından da bahsedebiliriz. sayısal argüman. Gerçekte, her t gerçek sayısı, maliyete ek olarak çok spesifik bir sint değerine karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.

Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi halde bağımsız değişkeni açının bir ölçüsü olarak düşünebiliriz ( açı argümanı) ve sayısal bir argüman.

Ancak okulda çoğunlukla ders çalışıyorlar sayısal işlevler, yani bağımsız değişkenleri, karşılık gelen işlev değerleri gibi sayı olan işlevler. Bu nedenle eğer hakkında konuşuyoruzözellikle fonksiyonlarla ilgili olarak, trigonometrik fonksiyonların sayısal argümanların fonksiyonları olarak dikkate alınması tavsiye edilir.

Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki

Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.

Bunu dikdörtgen şeklinde gösterelim Kartezyen sistem Oksi birim çemberini koordine eder. Not başlangıç ​​noktası A(1, 0) . Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.

Dik bir üçgende A 1 OH açısının a dönme açısına eşit olduğunu, bu açıya bitişik OH bacağının uzunluğunun A 1 noktasının apsisine eşit olduğunu, yani |OH olduğunu görmek kolaydır. |=x, açının karşısındaki A 1 H kenarının uzunluğu A 1 noktasının ordinatına eşittir, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu bire eşittir, Çünkü birim çemberin yarıçapıdır. O halde, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgeninde dar açı α'nın sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.

Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.

Referanslar.

1. Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Cebir ve temel işlevler : öğretici 9. sınıf öğrencileri için lise/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
4. Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
5. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10. sınıf. Saat 2'de Bölüm 1: öğretici. eğitim kurumları (profil düzeyi)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Cebir ve başladı matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Orta seviye

Sağ üçgen. Tam Resimli Kılavuz (2019)

DİKDÖRTGEN ÜÇGEN. GİRİŞ SEVİYESİ.

Sorunlarda, dik açı hiç gerekli değildir - sol alt, bu nedenle bu formdaki dik üçgeni tanımayı öğrenmeniz gerekir,

ve bunda

ve bunda

Dik üçgenin iyi yanı nedir? Şey... her şeyden önce, özel şeyler var güzel isimler onun tarafları için.

Çizime dikkat!

Unutmayın ve karıştırmayın: iki bacak var ve sadece bir hipotenüs var(bir ve tek, benzersiz ve en uzun)!

İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor Teoremi.

Pisagor teoremi.

Bu teorem dik üçgenle ilgili birçok problemin çözümünün anahtarıdır. Pisagor bunu tamamen kanıtladı çok eski zamanlardan beri ve o zamandan beri onu tanıyanlara pek çok fayda sağladı. Ve bunun en iyi yanı basit olmasıdır.

Bu yüzden, Pisagor teoremi:

Şakayı hatırlıyor musunuz: "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir!"?

Hadi aynılarını çizelim Pisagor pantolonu ve onlara bakalım.

Bir çeşit şorta benzemiyor mu? Peki hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremiyle veya daha kesin olarak Pisagor'un teoremini formüle etme şekliyle bağlantılıdır. Ve bunu şu şekilde formüle etti:

"Toplam karelerin alanları bacaklar üzerine inşa edilmiş, eşittir kare alan, hipotenüs üzerine inşa edilmiştir."

Gerçekten biraz farklı mı geliyor kulağa? Ve böylece Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde ortaya çıkan resim tam olarak bu oldu.

Bu resimde küçük karelerin alanlarının toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlaması için, esprili biri Pisagor pantolonuyla ilgili bu şakayı ortaya attı.

Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?

Pisagor acı çekip karelerden mi bahsetti?

Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir diye bir şey yoktu! Herhangi bir işaret vs. yoktu. Hiçbir yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle hatırlamasının ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Ve sahip olduğumuz için mutlu olabiliriz basit ifadeler Pisagor teoremi. Daha iyi hatırlamak için bir kez daha tekrarlayalım:

Artık kolay olmalı:

İşte burada ana teorem Dik üçgen hakkında tartışıldı. Bunun nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, aşağıdaki teori seviyelerini okuyun ve şimdi devam edelim... karanlık orman... trigonometri! Korkunç kelimeler sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant.

Aslında her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın “gerçek” tanımına da bakmak gerekir. Ama gerçekten istemiyorum, değil mi? Sevinebiliriz: Bir dik üçgenle ilgili problemleri çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Neden her şey hemen köşede? Köşe nerede? Bunu anlayabilmek için 1'den 4'e kadar olan ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bakın, anlayın ve hatırlayın!

1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:

Peki ya açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşıt (bir açı için) bacak var mı? Elbette var! Bu bir bacak!

Peki ya açı? Dikkatlice bakın. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki bacak. Bu, bacağın bitişik olduğu açı için ve

Şimdi dikkat edin! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar havalı olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi bunu kelimelerle nasıl yazabilirim? Açıya göre bacak nedir? Elbette karşısında - köşenin karşısında "yalan söylüyor". Peki ya bacak? Köşeye bitişik. Peki elimizde ne var?

Pay ve paydanın nasıl yer değiştirdiğini gördünüz mü?

Ve şimdi yine kornerler ve takas yapıldı:

Sürdürmek

Öğrendiğimiz her şeyi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini birçok kez kullanmış olmanız oldukça olası, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluklara ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıyorsunuz ve bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir? Sağ, . Daha küçük bir alana ne dersiniz? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, "kesiklerin" alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Hadi dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Bir dar açının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir

Dar bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranına eşittir.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok uygun!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

I. İki tarafta

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

A)

B)

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Bu gerekli her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? Konuya bakın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç kenar. Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Dar bir açı boyunca

II. İki tarafta

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Bu neden böyle?

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim; köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

1. - medyan:

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatlice bakın. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

O halde şu "ayrıca..." ile başlayalım.

Şimdi ve'ye bakalım.

Ancak benzer üçgenler tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: ilk formül "Dik üçgende yükseklik":

O halde benzerliği uygulayalım: .

Şimdi ne olacak?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size daha uygun olanı kullanmanız gerekiyor. Tekrar yazalım

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir: .

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• iki tarafta:
• bacak ve hipotenüse göre: veya
• bacak boyunca ve bitişik dar açı boyunca: veya
• bacak boyunca ve karşıt dar açıda: veya
• hipotenüs ve dar açıya göre: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:

• bir akut köşe: veya
• iki bacağın orantılılığından:
• bacağın ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant

• Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır: .

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende tepe noktasından çizilen kenarortay dik açı, hipotenüsün yarısına eşittir: .

Dik üçgenin alanı:

• bacaklar aracılığıyla:

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders hedefleri:

• dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs ve tanjant kavramlarını tanıtmak;
• problemlerin çözümünde sinüs, kosinüs ve tanjantın nasıl kullanıldığını göstermek;
• gözlemleme, karşılaştırma, analiz etme ve sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.

Ders ilerlemesi

Bilgiyi güncelleme (dersin ana problemini belirleme)

Ön anket şeklinde gerçekleştirildi.

Öğretmen. Tahtada 6 sorunun özetini görüyorsunuz< Рисунок 1>. Bu sorunlardan hangilerini nasıl çözeceğinizi zaten bildiğinizi hatırlıyor musunuz? Bu sorunları çözün. İlgili teoremleri formüle edin.

Şekil 1

Öğrenciler:

Görev 1. Cevap: 5. Bir dik üçgende 30°'lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.

Görev 2. Cevap: 41°. Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Görev 3. Cevap: 10. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.

Sorunlar 4-6 karar veremiyoruz.

Öğretmen. 4-6. problemleri neden çözemiyorsunuz? Hangi soru ortaya çıkıyor?

Öğrenciler. TgB, sinA, cosB'nin ne olduğunu bilmiyoruz.

Öğretmen. sinA, cosB, tanB şu şekilde okunur: “A açısının sinüsü”, “B açısının kosinüsü” ve “B açısının tanjantı”. Bugün bu ifadelerin her birinin ne anlama geldiğini öğreneceğiz ve 4-6 gibi problemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.

Yeni malzemenin tanıtılması

Sezgisel bir konuşma şeklinde gerçekleştirilir.

Öğretmen. Bacakları 3 ve 4, 6 ve 8 olan dik üçgenler çizin. Bunları ABC ve A 1 B 1 C 1 olarak etiketleyin, böylece B ve B 1, 4 ve 8 numaralı bacaklara zıt açılar ve dik açılar C, C 1 olur. B ve B1 açıları eşit midir? Neden?

Öğrenciler. Eşittir çünkü üçgenler benzerdir. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3:4 = 6:8) olup aralarındaki açılar diktir.<Рисунок 2>

Öğretmen. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin benzerliğinden başka hangi ilişkilerin ortaya çıktığı eşitlikler?

Öğrenciler. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.

Öğretmen. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. AC bacağı B açısının karşısındadır ve BC bacağı bu açıya bitişiktir. Sinüs, kosinüs ve tanjant tanımlarını belirtin.

Öğrenciler. Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.

Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır.

Öğretmen. A açısının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını kendiniz yazın (slayt 1). Ortaya çıkan formüller (1), (2), (3):

(1)

Böylece bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs ve tanjantının ne olduğunu öğrendik. Genel olarak sinüs, kosinüs ve tanjant kavramları uzun tarih. Eski bilim adamları bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyerek hesaplamanın yollarını buldular. çeşitli unsurlarüçgen. Bu bilgi esas olarak pratik astronomi problemlerini çözmek, erişilemez mesafeleri belirlemek için kullanıldı.

Konsolidasyon

Öğretmen. 591 (a, b) numaralı problemi çözelim.

Görev ekranda görüntülenir (slayt 2). Görev “a” tahtada şu şekilde çözülür: tam açıklama; “b” – bağımsız olarak, ardından birbirini kontrol ederek.

Aşağıdaki durumlarda, dik açılı ABC üçgeninin A ve B açılarının sinüs, kosinüs ve tanjantını bulun: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.

Çözüm. a) = . = Pisagor teoremini kullanarak AC = 15'i buluruz,

Öğretmen.Şimdi 4-6. problemlere dönelim<Рисунок 1>. 4-6. problemlerde nelerin bilindiğini ve nelerin bulunması gerektiğini tartışalım.

Görev 4. Ne biliniyor? Ne bulmanız gerekiyor?

Öğrenciler. BC = 7 ve tan B = 3,5 bilinmektedir. Klimayı bulmamız gerekiyor.

Öğretmen. tg B nedir?

Öğrenciler. .

Öğretmen. Formülle çalışıyoruz. Formül üç bileşenden oluşur. Onlara isim verin. Hangi bileşenler biliniyor? Hangi bileşen bilinmiyor? Bulabilir misin? Bul onu.

Öğrenciler. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Öğretmen. Bu örneği kullanarak 5. ve 6. problemleri çözün.<Рисунок 1>. 1 öğrenci kapalı tahtada çalışıyor

Öğretmen.

1. Söyle bana, gerekli bilinmeyenleri bulmayı başardın mı?

2. Eylemlerinizin sırası neydi?

3. Belki başka çözümler de vardır?

Öğrenciler.1. Evet. Kolayca. Örneği takip ederek. Sorun 5. Cevap: 10. Sorun 6. Cevap: 2.5

2. Öncelikle karşılık gelen açıların sinüs ve kosinüsünü tanım gereği karşılık gelen oranlarla değiştiririz, ardından bilinen verileri ortaya çıkan oranlara koyarız ve ardından bilinmeyen bilinmeyenleri buluruz.

Öğretmen. Hangi genel sonuç 4-6. problemleri çözdükten sonra yapılabilir mi? Dik üçgende hangi yeni problemleri çözmeyi öğrendik? Düşünün ve sonucunuzu formüle edin.

Öğrenciler. Bir dik üçgende bir kenarı ve bu kenarın diğer kenarlardan birine oranını veya bir kenarı ve diğer kenarlardan birinin bilinen bir kenara oranını (sinüs, kosinüs veya teğet) biliyorsanız, o zaman bu ikinci tarafı bulabiliriz.

Sorun çözme.

Şimdi bu sorunları çözmeye çalışın 7-9<Рисунок 3>.

Şekil 3

Öğrenciler. Bunları nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz.

Öğretmen. 1. soruna dönelim<Рисунок 1>. Sorunun durumunu değiştirelim. NK = 5, NM = 10 olsun. M açısını bulun.

Öğrenciler. M açısının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşit olduğundan M açısı 30°'ye eşittir.

Öğretmen. Yani, açının sinüsü 0,5 ise açının 30° olduğu ortaya çıkar. Şimdi 592 numaralı (a,c,d) problemlerini çözelim.

592 numara. Bir açı oluşturun A, eğer: a) c) d) .

Çözüm.

a) Dik açının kenarlarına 1 ve 2 uzunluğundaki parçaları yerleştirip parçaların uçlarını birleştireceğiz. Ortaya çıkan üçgende, 1 numaralı ayağın karşısındaki açı istenen açıdır A;

c) 0,2 = . Tepe noktasından dik açının bir tarafında 1 uzunluğunda bir parça bırakıyoruz. Ortası bu parçanın ucunda olacak şekilde yarıçapı 5 olan bir daire inşa ediyoruz. Dairenin dik açının ikinci tarafıyla kesişme noktası, açının birinci tarafında yer alan parçanın ucuna bağlanır. Ortaya çıkan üçgende, 1 uzunluğundaki ayağa bitişik açı, açıdır A; (slayt 4)

e) Tepe noktasından dik açının bir tarafında 1 uzunluğunda bir parça bırakıyoruz. Ortası bu parçanın ucunda olacak şekilde yarıçapı 2 olan bir daire inşa ediyoruz. Dairenin dik açının ikinci tarafıyla kesişme noktası, açının birinci tarafında yer alan parçanın ucuna bağlanır. Ortaya çıkan üçgende, 1 uzunluğundaki bacağın karşısındaki açı istenen açıdır A.(slayt 5)

Açıları inşa ettiniz, bu da açıları bulduğunuz anlamına gelir. Ölçülebilir ve tablo halinde sunulabilirler.

Benzer şekilde 7-9 arası problemleri de çözebilirsiniz.<Рисунок 3>

Özetlemek

Öğretmen. Soruları cevapla:

1. Bir dik üçgende dik açının sinüsü, kosinüsü ve tanjantı nedir?

2. Bir dik üçgende 6 eleman vardır. Bugün hangi yeni problemleri çözmeyi öğrendiniz? Eylem sıranız nedir? Bu eylemleri doğru şekilde gerçekleştirme yeteneğinizi test edin (Bireysel kartlar dağıtılır).

Kartların yaklaşık içeriği: 1. B ABC üçgeni C açısı düz bir çizgidir, BC = 2, AB'yi bulun. 2. ABC üçgeninde C açısı AC = 8 olan bir doğrudur. AB'yi bulun. 3. ABC üçgeninde C açısı 90°, AC = 6, . Güneşi bulun.

Öğrenciler çalışmalarını ilgili kartlardaki hazır çözümlerle karşılaştırırlar.

Ev ödevleri: sayfa 159'daki soru 15; 591(c,d),592(b,d,f) (slayt 6)

Kullanılan literatür

1. Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. İçin eğitim kuruluşları/ [ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri]. – 2. baskı. – M.: Eğitim, 2014.

Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşılacak bir şey yok: Bu bilgi alanında akıcı bir şekilde uzmanlaşmak için mekansal düşünme Formülleri kullanarak sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant bulma becerisi, ifadeleri basitleştirme, pi'yi hesaplamalarda kullanabilme. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da gelişmiş bir bilgi gerektirir. matematiksel hafıza veya karmaşık mantıksal zincirleri türetme yeteneği.

Trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.

Tarihsel olarak bu bölümdeki çalışmanın ana amacı matematik bilimi dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.

Başlangıç ​​aşaması

Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsettiler. Daha sonra kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. günlük yaşam matematiğin bu dalı.

Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edinilen bilgiyi fizikte kullanıyor ve soyut problemleri çözüyor. trigonometrik denklemler, lisede başlayan çalışma.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda okutulmaz ama en azından varlığını bilmek gerekir çünkü dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin üç boyutlu uzay"yay şeklinde".

Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.

Sağ üçgen

Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. Birincisi, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre şunu hatırlıyoruz: sayısal değer diğer iki tarafın karelerinin toplamının köküne eşittir.

Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca üçgende açıların toplamının da olduğunu unutmamalıyız. dikdörtgen sistem koordinatları 180 derecedir.

Tanım

Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.

Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.

Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şey budur.

Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.

Çoğu öğrenci, çözerken de oldukça popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor. okul görevleri: Bir ile açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldekiyle aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin işe yaradığı ortaya çıktı trigonometrik formül tamamen tanınamaz. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaçını bilmek temel formüller istediğiniz zaman gerekli olanı geri çekebilirsiniz karmaşık formüller bir kağıt parçası üzerinde.

Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.

Formdaki argümanlarla ilişkili formüller de vardır. çift ​​açı. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir eğitim olarak alfa açısını alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın. açıya eşit beta.

Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.

Teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşıt açıya bölerek şunu elde ettiğimizi belirtir: aynı numara. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.

Dikkatsiz hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı şu şekilde bırakabilirsiniz: ortak kesir Koşullarda aksi belirtilmediği sürece. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz şeylerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. matematiksel işlemler. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın çünkü sinüs 30 derecedir kosinüse eşit 60'ta ve tam tersi. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.

Başvuru

Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar mesafeyi hesaplayabileceğiniz kavramlardır. uzak yıldızlar, bir göktaşının düşeceğini tahmin edin, başka bir gezegene bir araştırma sondası gönderin. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu ya da bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.

Sonuç olarak

Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: uzunluk üç taraf ve üç açının boyutları. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.

Artık bacakların bilinen uzunluklarına veya hipotenüse göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, ana hedef trigonometrik problem sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.