Nok ve Nod'u kim icat etti? Ortak bölen ve kat

Birçok bölen

Şu problemi ele alalım: 140 sayısının bölenini bulun. Açıkçası, 140 sayısının bir değil birden fazla böleni vardır. Bu gibi durumlarda sorunun olduğu söyleniyor birçok kararlar. Hepsini bulalım. Öncelikle ayrıştıralım verilen numara Açık asal faktörler:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Artık tüm bölenleri kolayca yazabiliriz. Asal faktörlerle, yani yukarıda verilen genişlemede mevcut olanlarla başlayalım:

Daha sonra asal bölenlerin ikili çarpımından elde edilenleri yazıyoruz:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Sonra - üç asal bölen içerenler:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Son olarak birimi ve ayrıştırılmış sayının kendisini de unutmayalım:

Bulduğumuz tüm bölenler formdadır birçok süslü parantez kullanılarak yazılan 140 sayısının bölenleri:

140 sayısının bölenleri kümesi =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Algılama kolaylığı için bölenleri buraya yazdık ( setin elemanları) artan sırada, ancak genel olarak konuşursak, bu gerekli değildir. Ayrıca bir kısaltma da ekledik. “140 sayısının bölenleri kümesi” yerine “D(140)” yazacağız. Böylece,

Aynı şekilde herhangi bir doğal sayının bölenleri kümesini de bulabilirsiniz. Örneğin, ayrışmadan

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

şunu elde ederiz:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Tüm bölenler kümesinden, sırasıyla 140 ve 105 sayıları için eşit olan basit bölenler kümesini ayırt etmek gerekir:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

140 sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılmasında ikisinin iki kez göründüğünü, PD(140) kümesinde ise yalnızca bir tane bulunduğunu özellikle vurgulamak gerekir. PD(140) kümesi özünde şu problemin tüm cevaplarıdır: "140 sayısının asal çarpanını bulun." Aynı cevabın birden fazla tekrarlanmaması gerektiği açıktır.

Kesirlerin azaltılması. En büyük ortak bölen

Kesri düşünün

Bu kesrin hem payın (105) böleni hem de paydanın (140) böleni olan bir sayı ile azaltılabileceğini biliyoruz. D(105) ve D(140) kümelerine bakalım ve bunları yazalım. ortak unsurlar.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

D(105) ve D(140) = kümelerinin ortak elemanları

Son eşitlik daha kısaca yazılabilir:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Burada özel simge “∩” (“deliği aşağıda olan torba”) aşağıdaki şekilde yazılan iki setten hangisi olduğunu gösterir: farklı taraflar ondan yalnızca ortak öğeleri seçmeniz gerekir. “D(105) ∩ D(140)” girişi “ kavşak 105'ten De ve 140'tan De kümeleri."

[Bu arada, sayılarla olduğu gibi kümelerle de çeşitli ikili işlemleri gerçekleştirebileceğinizi unutmayın. Diğer bir yaygın ikili işlem ise dernek, “∪” simgesiyle (“deliği yukarı bakan torba”) gösterilir. İki kümenin birleşimi her iki kümenin tüm elemanlarını içerir:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Böylece kesrin olduğunu öğrendik.

kümeye ait sayılardan herhangi biri kadar azaltılabilir

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

ve başka bir doğal sayıyla indirgenemez. Hepsi bu olası yollar kısaltmalar (birinin ilgi çekici olmayan kısaltması hariç):

Açıkçası, kesri mümkün olduğu kadar büyük bir sayı kadar azaltmak en pratik yoldur. İÇİNDE bu durumda bu 35 sayısı olduğu söyleniyor en büyük ortak bölen (GCD) 105 ve 140 sayıları. Bu şu şekilde yazılır:

gcd(105, 140) = 35.

Ancak pratikte bize iki sayı verilmişse ve bunların en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyorsa, hiçbir küme oluşturmamamız gerekir. Her iki sayıyı da asal faktörlere ayırmak ve bu faktörlerden her iki ayrıştırmada ortak olan faktörleri vurgulamak yeterlidir, örneğin:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Altı çizili sayıları çarparak (herhangi bir genişletmede), şunu elde ederiz:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Elbette altı çizilen ikiden fazla faktörün olması da mümkündür:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Bundan açıkça görülüyor ki

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Bu durum özel olarak anılmayı hak ediyor ortak faktörler hiç de değil ve vurgulanacak bir şey yok, örneğin:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Bu durumda,

OBEB(42, 55) = 1.

GCD'nin geçerli olduğu iki doğal sayı bire eşit, denir karşılıklı olarak asal. Örneğin bu sayılardan bir kesir yaparsanız,

o zaman böyle bir kesir indirgenemez.

Genel olarak kesirleri azaltma kuralı şu şekilde yazılabilir:

Burada öyle varsayılıyor A Ve B doğal sayılardır ve kesrin tamamı pozitiftir. Şimdi bu eşitliğin her iki tarafına da eksi işareti eklersek, negatif kesirler için karşılık gelen kuralı elde ederiz.

Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması. En az ortak kat

İki kesrin toplamını hesaplamanız gerektiğini varsayalım:

Paydaların asal faktörlere nasıl dahil edildiğini zaten biliyoruz:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Bu genişletmeden hemen şu sonuç çıkar: kesirleri azaltmak için ortak payda için, birinci kesirin pay ve paydasını 2 ∙ 2 (ikinci paydanın vurgulanmamış asal faktörlerinin çarpımı) ve ikinci kesrin pay ve paydasını 3 (çarpımı) ile çarpmak yeterlidir. birinci paydanın vurgulanmamış asal faktörleri). Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, aşağıdaki gibi temsil edilebilecek sayıya eşit olacaktır:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Her iki orijinal paydanın da (hem 105 hem de 140) 420 sayısının bölenleri olduğunu ve 420 sayısının da her iki paydanın da katı olduğunu ve sadece bir kat olmadığını görmek kolaydır. en küçük ortak kat (NOC) 105 ve 140 sayıları. Şöyle yazılır:

LCM(105, 140) = 420.

105 ve 140 sayılarının ayrıştırılmasına daha yakından baktığımızda şunu görüyoruz:

105 ∙ 140 = OBEB(105, 140) ∙ OBEB(105, 140).

Benzer şekilde, keyfi doğal sayılar için B Ve D:

B ∙ D= LOC( B, D) ∙ GCD( B, D).

Şimdi kesirlerimizin toplama işlemini tamamlayalım:

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat anahtardır aritmetik kavramlar zahmetsizce çalışmanıza olanak tanıyan sıradan kesirler. LCM ve çoğunlukla birkaç kesirin ortak paydasını bulmak için kullanılır.

Temel Kavramlar

Bir X tam sayısının böleni, X'in kalan bırakmadan bölündüğü başka bir Y tamsayıdır. Örneğin 4'ün böleni 2, 36 ise 4, 6, 9'dur. Bir X tam sayısının katı, X'e kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.

Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birden fazla böleni ve katı olabilir, dolayısıyla hesaplamalar en büyük bölen GCD'yi ve en küçük kat LCM'yi kullanır.

En küçük bölen anlamsızdır çünkü herhangi bir sayı için o her zaman birdir. Katların sırası sonsuza gittiği için en büyük kat da anlamsızdır.

Gcd'yi bulma

En büyük ortak böleni bulmanın birçok yöntemi vardır; bunlardan en ünlüsü:

• bölenlerin sıralı olarak aranması, bir çift için ortak olanların seçilmesi ve en büyüğünün aranması;
• sayıların bölünemez faktörlere ayrıştırılması;
• Öklid algoritması;
• ikili algoritma.

Bugün saat eğitim kurumları En popüler olanları asal çarpanlara ayırma yöntemleri ve Öklid algoritmasıdır. İkincisi, Diophantine denklemlerini çözerken kullanılır: denklemin tamsayılarda çözümlenme olasılığı açısından kontrol edilmesi için GCD'nin aranması gerekir.

NOC'yi bulmak

En küçük ortak kat, sıralı numaralandırma veya bölünemez faktörlere ayırma yoluyla da belirlenir. Ayrıca, en büyük bölenin önceden belirlenmiş olması durumunda LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için LCM ve GCD aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

LCD(X,Y) = X × Y / OBE(X,Y).

Örneğin, GCM(15,18) = 3 ise LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 olur. LCM kullanmanın en belirgin örneği, en küçük ortak kat olan ortak paydayı bulmaktır. verilen kesirler.

Eş asal sayılar

Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir çifte eş asal denir. Bu tür çiftlerin gcd'si her zaman bire eşittir ve bölenler ve katlar arasındaki bağlantıya bağlı olarak eş asal çiftlerin gcd'si bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yoktur ve LCM(25, 28) = 700, bu da çarpımlarına karşılık gelir. Bölünemeyen herhangi iki sayı her zaman aralarında asal olacaktır.

Ortak bölen ve çoklu hesap makinesi

Hesap makinemizi kullanarak, aralarından seçim yapabileceğiniz rastgele sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenlerin ve katların hesaplanmasına ilişkin görevler 5. ve 6. sınıf aritmetiğinde bulunur, ancak GCD ve LCM anahtar kavramlar matematik ve sayılar teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.

Gerçek hayattan örnekler

Kesirlerin ortak paydası

Birkaç kesirin ortak paydasını bulurken en küçük ortak kat kullanılır. içeri gir aritmetik problemi 5 kesri toplamanız gerekir:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kesirleri eklemek için ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma problemini azaltır. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve paydaların değerlerini uygun hücrelere girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek faktörleri hesaplamanız gerekir. Yani ek çarpanlar şöyle görünecektir:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bu kesirleri kolaylıkla toplayıp 159/360 sonucunu elde edebiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.

Doğrusal Diofant denklemlerini çözme

Doğrusal Diophantine denklemleri ax + by = d biçimindeki ifadelerdir. Eğer d / gcd(a, b) oranı bir tamsayı ise, denklem tamsayılarla çözülebilir. Tamsayı çözümleri olup olmadığını görmek için birkaç denklemi kontrol edelim. Öncelikle 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak OBE (150,8) = 2'yi buluruz. 37/2'yi böl = 18,5. Sayı tam sayı olmadığından denklemin tam sayı kökleri yoktur.

1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak GCD(1320, 1760) = 440'ı bulun. 10120/440 = 23'e bölün. Sonuç olarak bir tamsayı elde ederiz, dolayısıyla Diophantine denklemi tamsayı katsayılarıyla çözülebilir. .

Çözüm

GCD ve LCM sayı teorisinde büyük bir rol oynamaktadır ve kavramların kendisi de çoğu alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. farklı alanlar matematik. Hesaplamak için hesap makinemizi kullanın en büyük bölenler ve herhangi bir sayının en küçük katları.

Cihazlara yerleştirilmiş hesap makinelerini hem uygun hem de uygunsuz şekilde kullanmaya alışkın olan modern okul çocukları için sorun teşkil eden görevlerden biri, iki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (GCD) bulmaktır.

Hiçbirini çözmek imkansız matematik problemi, eğer gerçekte ne sordukları bilinmiyorsa. Bunu yapmak için şu veya bu ifadenin ne anlama geldiğini bilmeniz gerekir., matematikte kullanılır.

Bilmeniz gerekenler:

1. Belirli bir sayı saymak için kullanılabiliyorsa çeşitli öğelerörneğin dokuz sütun, on altı ev, o zaman bu doğaldır. Bunlardan en küçüğü bir olacak.
2. Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya bölünüyorsa buna denir. daha küçük sayı büyük olanın bölenidir.
3. İki veya daha fazla ise farklı sayılar belirli bir sayıya kalansız bölünebiliyorsa, bu sayının ortak bölenleri (CD) olacağını söylerler.
4. OD'lerin en büyüğüne en büyük ortak bölen (GCD) denir.
5. Bu durumda, bir sayının yalnızca iki doğal böleni (kendisi ve bir) varsa, bu sayıya asal sayı denir. Aralarında en küçüğü ikidir ve aynı zamanda serilerindeki tek çift sayıdır.
6. İki sayının maksimum ortak böleni bir ise, o zaman bunlar aralarında asal olacaktır.
7. İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayı denir.
8. Birlikte çarpıldığında çarpımı verecek olan tüm asal faktörlerin bulunduğu süreç başlangıç ​​değeri matematikte buna çarpanlara ayırma denir. Üstelik genişlemedeki aynı faktörler birden fazla kez ortaya çıkabilir.

Matematikte aşağıdaki gösterimler kabul edilir:

1. Bölenler D (45) = (1;3;5;9;45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. GCD (8;18) = 2.

GCD'yi bulmanın farklı yolları

Soruyu cevaplamanın en kolay yolu gcd nasıl bulunur küçük sayının büyük sayının böleni olması durumunda. İçinde olacak böyle bir durum en büyük ortak bölen

Örneğin, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Ancak matematikte bu tür durumlar çok nadirdir, bu nedenle GCD'yi bulmak için daha karmaşık teknikler kullanılır, ancak yine de çalışmaya başlamadan önce bu seçeneğin kontrol edilmesi şiddetle tavsiye edilir.

Basit faktörlere ayırma yöntemi

İki veya daha fazla farklı sayının gcd'sini bulmanız gerekiyorsa, her birini basit faktörlere ayırmak ve ardından sayıların her birinde mevcut olanları çarpma işlemini gerçekleştirmek yeterlidir.

Örnek 1

GCD 36 ve 90'ı nasıl bulacağımıza bakalım:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

OBEB (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Şimdi aynı şeyi nasıl bulacağımızı görelim. V üç durum sayılarörnek olarak 54'ü ele alalım; 162; 42.

36'yı nasıl ayrıştıracağımızı zaten biliyoruz, gerisini çözelim:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Böylece, gcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6 olur.

Genişlemede bir birim yazmanın tamamen isteğe bağlı olduğunu belirtmek gerekir.

Bir yol düşünelim asal çarpanları basit bir şekilde nasıl hesaba katabilirim Bunun için sol tarafa ihtiyacımız olan sayıyı, sağ tarafa ise basit bölenleri yazacağız.

Sütunlar bir bölme işareti veya basit bir dikey çizgi kullanılarak ayrılabilir.

1. 36/2 bölünme sürecimize devam edeceğiz;
2. 18/2 ayrıca;
3. 9/3 ve tekrar;
4. 3/3 artık oldukça basit bir sayıdır;
5. 1 - sonuç hazır.

Gerekli 36 = 2*2*3*3.

Öklid yolu

Bu seçenek o zamandan beri insanlık tarafından bilinmektedir. eski Yunan uygarlığı, birçok yönden daha basittir ve daha önce çok benzer algoritmalar kullanılmış olmasına rağmen büyük matematikçi Öklid'e atfedilir. Bu yöntemi kullanmak aşağıdaki algoritma , paylaşırız daha büyük sayı geri kalanıyla daha azına. Daha sonra bölenimizi kalana bölüyoruz ve bunu tam bir bölme oluşana kadar daire şeklinde yapmaya devam ediyoruz. Son değer ve istenen en büyük ortak bölen olduğu ortaya çıkıyor.

İşte bir kullanım örneği bu algoritmanın :

816 ve 252'nin GCD'sinin ne olduğunu bulmaya çalışalım:

1. 816 / 252 = 3 ve kalan 60. Şimdi 252'yi 60'a bölüyoruz;
2. 252 / 60 = 4 bu sefer kalan 12 olacak. Dairesel işlemimize devam edelim, altmışı on ikiye bölelim;
3. 60/12 = 5. Bu sefer kalan alamadığımız için elimizde hazır bir sonuç var, aradığımız değer on iki olacak.

Yani işlemimiz sonunda gcd'miz var (816;252) = 12.

İkiden fazla değer belirtilmişse GCD'nin belirlenmesi gerekiyorsa yapılacak işlemler

İki farklı sayı olması durumunda ne yapacağımızı zaten anlamıştık, şimdi varsa nasıl davranacağımızı öğreneceğiz. 3 veya daha fazla.

Görünen tüm karmaşıklığa rağmen, bu görev artık bizim için sorun yaratmayacaktır. Şimdi herhangi iki sayıyı seçip aradığımız değeri belirliyoruz. Bir sonraki adım, elde edilen sonucun gcd'sini ve üçüncüsünü bulmaktır. değerleri belirle. Sonra yine dördüncü, beşinci vb. için zaten bildiğimiz prensibe göre hareket ediyoruz.

Çözüm

Dolayısıyla, başlangıçta önümüze konulan görevin görünüşte büyük karmaşıklığına rağmen, aslında her şey basittir. asıl önemli olan bölme işlemini doğru bir şekilde yürütebilmektir ve yukarıda açıklanan iki algoritmadan herhangi birine uyun.

Her iki yöntem de oldukça kabul edilebilir olmasına rağmen, ortaokul ilk yöntem çok daha sık kullanılır. Bunun nedeni, aşağıdakileri incelerken asal faktörlere ayırmanın gerekli olacağı gerçeğidir. eğitici konu- en büyük ortak katın (LCM) belirlenmesi. Ancak yine de Öklid algoritmasının kullanımının hiçbir şekilde hatalı sayılamayacağını bir kez daha belirtmekte fayda var.

Video

Bu videoyla en büyük ortak böleni nasıl bulacağınızı öğrenebilirsiniz.

Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.

Bu makale hakkındadır en büyük ortak böleni bulma (GCD) iki ve Daha sayılar. Öncelikle iki sayının gcd'sini bulmanızı sağlayan Euclid algoritmasına bakalım. Bundan sonra sayıların gcd'sini ortak asal çarpanlarının çarpımı olarak hesaplamamızı sağlayan bir yönteme odaklanacağız. Daha sonra, üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmaya bakacağız ve ayrıca negatif sayıların genel değerini hesaplamaya ilişkin örnekler vereceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD'yi bulmak için Öklid algoritması

Asal sayılar tablosuna en baştan dönmüş olsaydık, 661 ve 113 sayılarının asal sayılar olduğunu öğrenirdik ve buradan en büyük ortak bölenlerinin 1 olduğunu hemen söyleyebiliriz.

Cevap:

OBEB(661, 113)=1 .

Sayıları asal faktörlere ayırarak GCD'yi bulma

GCD'yi bulmanın başka bir yolunu düşünelim. En büyük ortak bölen, sayıları asal çarpanlarına ayırarak bulunabilir. Bir kural formüle edelim: İki tam sayının GCD'si pozitif sayılar a ve b ürüne eşit a ve b sayılarının asal çarpanlara ayrılmasında bulunan tüm ortak asal çarpanlar.

GCD bulma kuralını açıklamak için bir örnek verelim. 220 ve 600 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını bilelim, 220=2·2·5·11 ve 600=2·2·2·3·5·5 şeklindedirler. 220 ve 600 sayılarını çarpanlarına ayırmada kullanılan ortak asal çarpanlar 2, 2 ve 5'tir. Bu nedenle OBEB(220, 600)=2·2·5=20.

Dolayısıyla, a ve b sayılarını asal çarpanlara ayırıp tüm ortak çarpanlarının çarpımını bulursak, a ve b sayılarının en büyük ortak bölenini buluruz.

Belirtilen kurala göre GCD'yi bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

72 ve 96 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

Çözüm.

72 ve 96 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

Yani, 72=2·2·2·3·3 ve 96=2·2·2·2·2·3. Ortak asal çarpanlar 2, 2, 2 ve 3'tür. Böylece OBEB(72, 96)=2·2·2·3=24 olur.

Cevap:

OBEB(72, 96)=24 .

Bu paragrafın sonunda, GCD'yi bulmak için yukarıdaki kuralın geçerliliğinin, en büyük ortak bölenin özelliğinden kaynaklandığını belirtiyoruz; bu, şunu belirtir: OBEB(m a 1 , m b 1)=m OBEB(a 1 , b 1) burada m herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Üç veya daha fazla sayının gcd'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmak şuna indirgenebilir: sıralı bulmaİki sayının GCD'si. GCD'nin özelliklerini incelerken bundan bahsetmiştik. Orada şu teoremi formüle ettik ve kanıtladık: a 1, a 2, …, a k sayılarının en büyük ortak böleni sayıya eşit d k , OBEB(a 1 , a 2)=d 2 , OBEB(d 2 , a 3)=d 3 , OBEB(d 3 , a 4)=d 4 , …, OBEB(d k)'nin sırayla hesaplanmasıyla bulunur - 1 , ak)=dk .

Örneğin çözümüne bakarak birkaç sayının gcd'sini bulma sürecinin nasıl göründüğünü görelim.

Örnek.

78, 294, 570 ve 36 numaralı dört sayının en büyük ortak bölenini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Öncelikle Öklid algoritmasını kullanarak ilk iki sayı olan 78 ve 294'ün en büyük ortak bölenini d2 belirliyoruz. Bölme işleminde 294=78·3+60; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 ve 18=6·3. Dolayısıyla d 2 =OBEB(78, 294)=6.

Şimdi hesaplayalım d 3 =OBEB(d 2, a 3)=OBEB(6, 570). Tekrar Öklid algoritmasını uygulayalım: 570=6·95, dolayısıyla d 3 = GCD(6, 570)=6.

Hesaplamak kalıyor d 4 =OBEB(d 3, a 4)=OBEB(6, 36). 36, 6'ya bölünebildiğine göre d 4 = OBEB(6, 36) = 6.

Böylece verilen dört sayının en büyük ortak böleni d 4 =6 yani gcd(78, 294, 570, 36)=6 olur.

Cevap:

OBEB(78, 294, 570, 36)=6 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmak aynı zamanda üç veya daha fazla sayının gcd'sini hesaplamanıza da olanak tanır. Bu durumda en büyük ortak bölen, verilen sayıların tüm ortak asal çarpanlarının çarpımı olarak bulunur.

Örnek.

Önceki örnekteki sayıların asal çarpanlara ayırmalarını kullanarak gcd'sini hesaplayın.

Çözüm.

78, 294, 570 ve 36 sayılarını asal çarpanlara ayıralım, 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 elde ederiz ·3· 3. Bu dört sayının ortak asal çarpanları 2 ve 3 sayılarıdır. Buradan, OBEB(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Özetin anahtar kelimeleri:Doğal sayılar. Aritmetik işlemler doğal sayılar üzerinden Doğal sayıların bölünebilirliği. Basit ve bileşik sayılar. Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırma. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11'e bölünebilme işaretleri. En büyük ortak bölen (GCD) ve en küçük ortak kat (LCD). Kalanla bölme.

Doğal sayılar- bunlar nesneleri saymak için kullanılan sayılardır - 1, 2, 3, 4 , ... Ama sayı 0 doğal değil!

Doğal sayılar kümesi şu şekilde gösterilir: N. Kayıt "3 ∈ N"üç sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğu anlamına gelir ve gösterim "0 ∉ N" sıfır sayısının bu kümeye ait olmadığı anlamına gelir.

Ondalık sayı sistemi - konumlandırma sistemi tabanı 10 .

Doğal sayılarda aritmetik işlemler

Doğal sayılar için aşağıdaki eylemler tanımlanır: toplama, çıkarma, çarpma, bölme,üs alma, kök çıkarma. İlk dört eylem aritmetik.

a, b ve c doğal sayılar olsun, o zaman

1. EK. Dönem + Dönem = Toplam

Toplamanın özellikleri
1. İletişimsel a + b = b + a.
2. Bağlaç a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ÇIKARIN. Eksi - Çıkarılan = Fark

Çıkarma İşleminin Özellikleri
1. Toplamı a - (b + c) = a - b - c sayısından çıkarmak.
2. (a + b) - c = a + (b - c) toplamından bir sayı çıkarmak; (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. ÇOĞALTMA. Çarpan * Çarpan = Ürün

Çarpmanın Özellikleri
1. İletişimsel a*b = b*a.
2. Bağlaç a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Dağılım (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. BÖLÜM. Temettü: Bölen = Bölüm

Bölmenin özellikleri
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Sıfıra bölünemezsin!
3. 0: a= 0.

Prosedür

1. Öncelikle parantez içindeki eylemler.
2. Sonra çarpma, bölme.
3. Ve yalnızca sonunda toplama ve çıkarma işlemi yapılır.

Doğal sayıların bölünebilirliği. Asal ve bileşik sayılar.

Bir doğal sayının böleni A hangi doğal sayıdır A kalansız bölünür. Sayı 1 herhangi bir doğal sayının bölenidir.

Doğal sayıya denir basit, eğer sadece varsa iki bölen: bir ve sayının kendisi. Örneğin 2, 3, 11, 23 sayıları - asal sayılar.

İkiden fazla böleni olan sayılara denir kompozit. Örneğin 4, 8, 15, 27 sayıları bileşik sayılardır.

Bölünebilme testi çalışır birkaç sayı: Eğer faktörlerden en az biri belirli bir sayıya bölünüyorsa, çarpım da bu sayıya bölünebilir. İş 24 15 77 bölünmüş 12 , bu sayının çarpanı olduğundan 24 bölünmüş 12 .

Bir toplam için bölünebilme testi (fark) Sayılar: Her terim belirli bir sayıya bölünüyorsa toplamın tamamı bu sayıya bölünür. Eğer bir: b Ve c: b, O (a + c) : b. Farzedelim bir: b, A C bölünemez B, O a+c bir sayıya bölünemez B.

Eğer bir: c Ve c: b, O bir: b. 72:24 ve 24:12 gerçeğine dayanarak 72:12 sonucunu çıkarıyoruz.

Bir sayının asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak gösterilmesine ne ad verilir? bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma.

Aritmetiğin Temel Teoremi: herhangi bir doğal sayı (hariç) 1 ) veya basit veya yalnızca bir şekilde çarpanlarına ayrılabilir.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken bölünebilme işaretleri kullanılır ve “sütun” gösterimi kullanılır. Bu durumda bölen dikey çizginin sağında yer alır ve bölen bölüğün altına yazılır.

Örneğin, görev: bir sayıyı asal faktörlere ayırma 330 . Çözüm:

Bölünebilme işaretleri 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 ve 11.

Bölünebilirlik işaretleri var 6, 15, 45 yani çarpımları çarpanlara ayrılabilecek sayılara 2, 3, 5, 9 Ve 10 .

En büyük ortak bölen

Verilen iki doğal sayıdan her birinin bölünebildiği en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen bu sayılar ( GCD). Örneğin, GCD (10; 25) = 5; ve GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

İki doğal sayının en büyük ortak böleni eşittir 1 , sonra bu numaralar çağrılır karşılıklı olarak asal.

En büyük ortak böleni bulma algoritması(NOD)

GCD sıklıkla problemlerde kullanılır. Örneğin bir sınıftaki öğrenciler arasında 155 defter ve 62 kalem eşit olarak paylaştırıldı. Bu sınıfta kaç öğrenci var?

Çözüm: Defterler ve kalemler eşit olarak bölündüğü için bu sınıftaki öğrenci sayısını bulmak 155 ve 62 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmaktan geçer. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Cevap: Sınıfta 31 öğrenci.

En az ortak kat

Bir doğal sayının katları A bölünebilen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. Örneğin sayı 8 katları vardır: 8, 16, 24, 32 , ... Herhangi bir doğal sayının sonsuz sayıda kat.

En az ortak kat(LCM), bu sayıların katı olan en küçük doğal sayıdır.

En küçük ortak katı bulma algoritması ( NOC):

LCM ayrıca problemlerde sıklıkla kullanılır. Örneğin, iki bisikletçi aynı anda bir bisiklet yolu boyunca aynı yönde ilerlemeye başladı. Biri 1 dakikada, diğeri 45 saniyede bir daire çiziyor. Hareketin başlamasından en az kaç dakika sonra başlangıçta buluşacaklar?

Çözüm: Başlangıçta tekrar karşılaşacakları dakika sayısı şuna bölünmelidir: 1 dakika, ayrıca 45 saniye. 1 dakika = 60 saniye. Yani LCM'yi (45; 60) bulmak gerekiyor. 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Sonuç olarak bisikletçiler 180 sn = 3 dakika sonra startta buluşacaklardır.

Cevap: 3 dakika

Kalanlı bölme

Bir doğal sayı ise A doğal sayıya bölünemez B, o zaman yapabilirsin kalanla bölme. Bu durumda elde edilen bölüme denir. tamamlanmamış. Eşitlik adil:

a = bn + r,

Nerede A- bölünebilir, B- bölücü, N- eksik bölüm, R- kalan. Örneğin temettü eşit olsun 243 , bölücü - 4 , Daha sonra 243: 4 = 60 (kalan 3). Yani a = 243, b = 4, n = 60, r = 3 ise 243 = 60 4 + 3 .

Bölünebilen sayılar 2 kalansız denir eşit: bir = 2n, N ∈ N.

Kalan numaralar aranır garip: b = 2n + 1, N ∈ N.

Bu konunun özeti “Doğal sayılar. Bölünmenin işaretleri". Devam etmek için sonraki adımları seçin:

• Sonraki özete git: