Denklem sistemleri ekonomik endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır. matematiksel modelleme çeşitli süreçler. Örneğin üretim yönetimi ve planlama problemlerini çözerken lojistik rotaları ( ulaşım sorunu) veya ekipman yerleşimi.

Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.

Sistem doğrusal denklemler Ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemi adlandırın. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler buna dayanmaktadır; sayısal çözümler. İÇİNDE okul kursu matematik, permütasyon, cebirsel toplama, yerine koyma gibi yöntemlerin yanı sıra grafiksel ve matris yöntemi Gauss yöntemiyle çözüm.

Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.

7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Çözüm bu örnek zorluk yaratmaz ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım ise elde edilen değerlerin kontrol edilmesidir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda yerine koyma yöntemiyle çözüm yapılması da uygun değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemlerin terim terim toplama ve çarpma işlemlerini gerçekleştirirler. farklı sayılar. Nihai hedef Matematiksel işlemler tek değişkenli bir denklemdir.

Başvurular için bu yöntem uygulama ve gözlem gereklidir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Sonuç olarak aritmetik eylem Değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeni ekleyerek sistemin 1. denklemini standart denkleme düşürmenin mümkün olduğunu gösteriyor ikinci dereceden üç terimli. Diskriminantını bularak bir polinomu çözebilirsiniz.

Diskriminant değerini bulmak için gereklidir. bilinen formül: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. İÇİNDE verilen örnek a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Eğer diskriminant sıfırdan büyük, o zaman iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, eğer diskriminant sıfırdan az ise tek çözüm vardır: x= -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, üzerine inşa etmektir koordinat ekseni Sistemde yer alan her denklemin grafiği. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları ve genel karar sistemler.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

İÇİNDE aşağıdaki örnek bulmam gerek grafik çözümü doğrusal denklem sistemleri: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler şunun için kullanılır: kısa not Doğrusal denklem sistemleri. Matris bir tablodur özel tip sayılarla dolu. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü sonsuz sayıda sütundan oluşan bir matristir. olası sayıçizgiler. Köşegenlerden biri ve diğerleri boyunca birimlerin bulunduğu matris sıfır element birim denir.

Ters matris, çarpıldığında orijinalin birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemleriyle ilgili olarak katsayılar ve ücretsiz üyeler denklemler, bir denklem - matrisin bir satırı.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matrisin satırının sıfır olmadığı söylenir. sıfıra eşit. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 - ters matris, ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 formülü vardır. + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, sistemleri çözerken hantal girdileri azaltmanıza olanak tanır. çok sayıda değişkenler ve denklemler.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir x n vektörüdür ve değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İÇİNDE yüksek matematik Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılmakta olup sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilmektedir. Bu yöntemler bulmak için kullanılır. değişken sistemlerçok sayıda doğrusal denklem ile.

Gauss'un yöntemi, ikameleri kullanan çözümlere çok benzer ve cebirsel toplama ama daha sistematik. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yönteminin çözümü kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. İle cebirsel dönüşümler ve ikamelerde, bir değişkenin değeri sistemin denklemlerinden birinde bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

İÇİNDE okul ders kitapları 7. sınıf için Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ancak matematik ve fizik derslerindeki ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.

Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:

Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris "ok" işaretinden sonra yazılır ve gerekli işlemleri yapmaya devam eder. cebirsel işlemler sonuç elde edilene kadar.

Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.

Bunu kullanmak matematik programı iki lineer denklem sistemini iki denklemle çözebilirsiniz değişken yöntem değiştirme ve ekleme yöntemi.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi

matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler

veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.

Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb. Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz
. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir.

Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır. Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2 Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda

kesirli sayılar
ondalık sayılar ve sıradan kesirler şeklinde. Ondalık kesir girme kuralları. Bütün ve kesirli kısım V
ondalık sayılar

nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55
Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir. Payda negatif olamaz. Girerken /
sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: &

Bütün kısım
kesirden bir ve işaretiyle ayrılır:
Örnekler.

Örnek: 3x-4y = 5
Örnek: 6x+1 = 5(x+y)+2
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. Değiştirme yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayıları olacak şekilde faktörleri seçerek sistem terimindeki denklemleri terimle çarpın zıt sayılar;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.

Bir doğrusal denklem sistemi, birlikte ele alınan birkaç doğrusal denklem kümesidir.

Bir sistemin herhangi bir sayıda bilinmeyenli, herhangi bir sayıda denklemi olabilir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin tüm denklemlerini karşılayan, yani onları kimliklere dönüştüren bir dizi bilinmeyen değerdir.

Çözümü olan bir sisteme tutarlı, aksi halde tutarsız denir.

Sistemin çözümü için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır.

İzin vermek
(Denklemlerin sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşittir).

Cramer yöntemi

Çözümü düşünelim üçlü sistemlerüç bilinmeyenli doğrusal denklemler:

(7)

Bilinmeyenleri bulmak için
Cramer formülünü uygulayalım:

(8)

Nerede - elemanları bilinmeyenlerin katsayıları olan sistemin belirleyicisi:

.

determinantın ilk sütununun değiştirilmesiyle elde edilir ücretsiz üyelerin sütunu:

.

Aynı şekilde:

;
.

Örnek 1. Sistemi Cramer formülünü kullanarak çözün:

.

Çözüm: Formül (8)'i kullanalım:

;

;

;

;

Cevap:
.

Herhangi bir sistem için ile doğrusal denklemler bilinmeyenler belirtilebilir:

Matris çözümü

Üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan sistem (7)'yi matris yöntemi kullanarak çözmeyi düşünelim.

Matris çarpım kurallarını kullanarak bu denklem sistemi şu şekilde yazılabilir:
, Nerede

.

Matris olsun dejenere olmayan, yani
. Soldaki matris denkleminin her iki tarafının matris ile çarpılması
, matrisin tersi , şunu elde ederiz:
.

Bunu göz önünde bulundurarak
, sahibiz

(9)

Örnek 2. Sistemi matris yöntemini kullanarak çözün:

.

Çözüm: Matrisleri tanıtalım:

- bilinmeyenlerin katsayılarından;

- ücretsiz üyelerin sütunu.

Daha sonra sistem bir matris denklemi olarak yazılabilir:
.

Formül (9)'u kullanalım. Ters matrisi bulalım
formül (6)'ya göre:

;

.

Buradan,

Kabul edilmiş:

.

Cevap:
.

Bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi (Gauss yöntemi)

Kullanılan yöntemin ana fikri bilinmeyenleri sıralı olarak elemektir. Bu yöntemin sistem üzerindeki anlamını açıklayalım üç denklemüç bilinmeyenli:

.

Diyelim ki
(Eğer
, sonra denklemlerin sırasını değiştiririz, ilk denklem olarak katsayının olduğu denklemi seçeriz. sıfıra eşit değil).

İlk adım: a) denklemi bölün
Açık
; b) elde edilen denklemi şununla çarpın:
ve bundan çıkar
; c) daha sonra sonucu şununla çarpın:
ve bundan çıkar
. İlk adımın sonucunda sisteme sahip olacağız:

,

İkinci adım: denklemle ilgileniyoruz
Ve
denklemlerle tamamen aynı
.

Sonuç olarak, orijinal sistem aşamalı olarak adlandırılan forma dönüştürülür:

Dönüştürülen sistemden tüm bilinmeyenler zorlanmadan sırayla belirlenir.

Yorum. Uygulamada, denklem sisteminin kendisini değil, katsayılar, bilinmeyenler ve serbest terimlerden oluşan bir matrisi aşamalı bir forma indirgemek daha uygundur.

Örnek 3. Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün:

.

Bir matristen diğerine geçişi eşdeğerlik işareti ~ kullanarak yazacağız.

~
~
~
~

~
.

Ortaya çıkan matrisi kullanarak dönüştürülmüş sistemi yazıyoruz:

.

Cevap:
.

Not: Eğer sistemde tek çözüm, daha sonra adım sistemi üçgen bir sisteme, yani son denklemin bir bilinmeyen içereceği sisteme indirgenir. Belirsiz bir sistem durumunda, yani bilinmeyenlerin sayısı daha fazla sayı Lineer bağımsız denklemlerde son denklem birden fazla bilinmeyen içereceğinden (sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğundan) üçgen sistemi olmayacaktır. Sistem tutarsız olduğunda, onu aşamalı forma indirgedikten sonra en az bir tane içerecektir. formun değeri
yani tüm bilinmeyenlerin katsayılarının sıfır olduğu ve sağ tarafının sıfırdan farklı olduğu bir denklem (sistemin çözümü yoktur). Gauss yöntemi aşağıdakilere uygulanabilir: keyfi sistem doğrusal denklemler (herhangi biri için)
Ve ).

Bir doğrusal denklem sisteminin çözümü için varlık teoremi

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken bu sistemin uyumlu mu yoksa tutarsız mı olduğu sorusunun cevabı ancak hesaplamaların sonunda verilebilir. Bununla birlikte, bir denklem sisteminin uyumluluğu veya uyumsuzluğu sorununu, çözümü bulmadan çözmek çoğu zaman önemlidir. Bu sorunun cevabı aşağıdaki Kronecker-Capelli teoremi ile verilmektedir.

Sistem verilsin
ile doğrusal denklemler bilinmiyor:

(10)

Sistemin (10) tutarlı olabilmesi için sistem matrisinin sıralamasının gerekli ve yeterli olması gerekmektedir.

.

genişletilmiş matrisinin rütbesine eşitti

.

Üstelik eğer
ise sistem (10)'un benzersiz bir çözümü vardır; eğer
ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Homojen bir doğrusal denklem sistemi (tüm serbest terimler sıfıra eşittir) düşünün:

.

Bu sistem sıfır çözüme sahip olduğundan her zaman tutarlıdır.

Aşağıdaki teorem, sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olduğu koşulları verir.

Terema. İçin homojen sistem Doğru denklemlerinin çözümü sıfır olduğundan determinantının olması gerekli ve yeterlidir. sıfıra eşitti:

.

Böylece eğer
, o zaman çözüm tek çözümdür. Eğer
O halde sıfırdan farklı sonsuz sayıda başka çözüm vardır. Üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan homojen bir sistemin çözümlerini bulmanın yollarından birini şu durumda gösterelim:
.

Eğer kanıtlanabilirse
ve birinci ve ikinci denklemler orantısızdır (doğrusal olarak bağımsızdır), bu durumda üçüncü denklem ilk ikisinin sonucudur. Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan homojen bir sistemin çözümü, üç bilinmeyenli iki denklemin çözümüne indirgenir. İsteğe bağlı değerlerin atanabileceği sözde serbest bilinmeyen ortaya çıkar.

Örnek 4. Sistemin tüm çözümlerini bulun:

.

Çözüm. Bu sistemin belirleyicisi

.

Bu nedenle sistemin sıfır çözümü vardır. Örneğin ilk iki denklemin orantılı olmadığını, dolayısıyla doğrusal olarak bağımsız olduklarını fark edebilirsiniz. Üçüncüsü, ilk ikisinin sonucudur (ilk denkleme ikincinin iki katını eklerseniz ortaya çıkar). Bunu reddederek üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:

.

Örneğin şunu varsayarsak:
, alıyoruz

.

İki doğrusal denklem sistemini çözerken şunu ifade ederiz: Ve başından sonuna kadar :
. Buna göre sistemin çözümü şu şekilde yazılabilir:
, Nerede - keyfi sayı.

Örnek 5. Sistemin tüm çözümlerini bulun:

.

Çözüm. Bu sistemde yalnızca bir bağımsız denklemin (diğer ikisinin orantılı) olduğunu görmek kolaydır. Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan sistem, üç bilinmeyenli bir denkleme indirgenmiştir. İki serbest bilinmeyen ortaya çıkıyor. Örneğin ilk denklemden bulma
keyfi için Ve , bu sistemin çözümlerini elde ediyoruz. Çözümün genel formu şu şekilde yazılabilir: Ve - keyfi sayılar.

Kendi kendine test soruları

Sistemi çözmek için Cramer kuralını formüle edin ile doğrusal denklemler bilinmiyor.

Sistemleri çözmede matris yönteminin özü nedir?

Bir doğrusal denklem sistemini çözmek için Gauss yöntemi nedir?

Kronecker-Capelli teoremini belirtin.

Homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümlerinin varlığı için gerekli ve yeterli koşulu formüle edin.

Kendi kendine çözüm örnekleri

Sistemlerin tüm çözümlerini bulun:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Hangi değerlerde olduğunu belirleyin Ve denklem sistemi

a) benzersiz bir çözümü vardır;

b) çözümü yok;

c) sonsuz sayıda çözümü vardır.

16.
; 17.
;

Aşağıdaki homojen sistemlerin tüm çözümlerini bulun:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Örneklere verilen yanıtlar

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- keyfi sayı.

6.
, Nerede - keyfi sayı.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ͼ;

11.
, Nerede - keyfi sayı.

12. , nerede Ve - keyfi sayılar.

13.
; 14.
Nerede Ve - keyfi sayılar.

15. Ǿ; 16.a)
; B)
; V)
.

17.a)
; B)
; V)
;

18.
; 19.
; 20. nerede - keyfi sayı.

21. , nerede - keyfi sayı.

22. , nerede - keyfi sayı.

23. , nerede Ve - keyfi sayılar.

Video eğitimi 2:Denklem sistemlerini çözme

Ders: İki bilinmeyenli en basit denklem sistemleri

İki bilinmeyenli denklemler

Bu konuda iki bilinmeyen içeren denklemlere bakacağız. Genellikle bu tür denklemleri çözmek için bilinmeyenlerin sayısı kadar denklemin olması gerekir.

İki bilinmeyenli denklemler aşağıdaki biçimdedir:

a, b, c, d- bunlar rakamlar yakınlarda durmak değişkenlerde (x, y).

Sistem denklemini çözün- bu, her iki denklemi doğru eşitliğe getirecek değişkenlerin değerini bulmak anlamına gelir.

Her denklemin birden fazla cevabı olabilir, ancak denklem sisteminin cevabı her iki denkleme de uyan sayı çifti olacaktır.

Bir denklem sisteminin çözümü, bazılarını daha sonra ele alacağımız analitik ve grafiksel olarak yorumlanabilir.

Bir denklem sistemini çözmek için grafiksel yöntem

Her biri için verilen denklemler bir düzlemde kendi grafiğinizi oluşturabilirsiniz - bunlardan herhangi biri olabilir ünlü çizelgeler işlevler. Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesiştiği nokta olacaktır. Bu noktaçözüm olacak ordinat ve apsise karşılık gelecek kendi koordinatına sahip olacaktır.

Grafikten çeşitli çözüm türleri elde edilebilir:

1. Çok sayıda çözüm. Örneğin, bir denklem temsil edilecekse trigonometrik fonksiyon ve ikincisi düz bir çizgidir, örneğin OX eksenine paralel, o zaman bu düz çizgi ikinci fonksiyonun grafiğini belirli bir periyodiklikle birçok noktada kesecektir.

2. Tek çözüm. Bu durumda fonksiyonların grafikleri bir noktada kesişecektir. Tipik olarak bu resim, denklemlerin grafikleri düz çizgiler ise gözlenir.

3. İki çözüm. Yani denklemlerin grafikleri iki noktada kesişecektir. Bu genellikle fonksiyonlardan birinin grafiği bir parabol olduğunda gözlenir.

4. Hiçbir çözümün yok. Bazı fonksiyon grafikleri hiç kesişmeyebilir, bu durumda sistemin çözümü olmayacaktır.

Analitik çözümün temel yöntemleri

Grafik kullanarak çözmek her zaman uygun değildir, çünkü fonksiyonların kesişme noktası koordinatların başlangıç ​​noktasından oldukça uzakta olabilir veya kesirli koordinatlara sahip olabilir. Sisteme çözümü en doğru şekilde bulmak için kullanmak daha iyidir analitik yöntemlerçözümler.

1. Oyuncu değişikliği

Bir sistemi ikame yöntemini kullanarak çözmek için, denklemlerden birinde bilinmeyenlerden birini ifade edip onu ikinci denklemde yerine koymanız gerekir.

x = (c – by) / a

d (c – by) / a + ey = f

Bu değiştirmeden sonra denklemlerden birinde bir bilinmeyen olacak ve ardından denklem çözülecektir. bilinen bir şekilde. Değişkenlerden biri bulunduğunda değeri birinci denklemde yerine konulur ve böylece ikinci değişken bulunur.

2. Denklemleri toplama veya çıkarma yöntemi

Bu yöntem bilinmeyenlerden birinden kurtulmanızı sağlar. Yani "x" değişkeninden kurtulmak istediğinizi düşünelim. İle bu yöntem gerçekleştiğinde, ilk denklemi terimsel olarak d ile, ikinci denklemi terimsel olarak a ile çarpmanız gerekir. Bundan sonra "x" değişkeni için aynı katsayıları elde edeceksiniz. Bir denklemi diğerinden çıkarırsanız bir bilinmeyenden kurtulabilirsiniz. Bilinen yöntemler kullanılarak daha fazla denklem.

İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca “Doğal veya tam sayılarla denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı ediliyor. Birleşik Devlet Sınavı materyalleri ve üzerinde giriş sınavları Bu tür sorunlar giderek yaygınlaşıyor.

Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?

Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.

2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.

Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.

İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:

A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);

B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;

G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit olan sayılar olacaktır. Çözüm kümesi verilen denklem(k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir değerdir gerçek sayı.

İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi ayırmaya ve özellikleri kullanmaya dayalı yöntemlerdir. ikinci dereceden denklem ifadelerin sınırlılıkları, değerlendirme yöntemleri. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmaya yönelik bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.

Faktorizasyon

Örnek 1.

Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.

Çözüm.

Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:

y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.

Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.

Sıfıra eşit değil negatif sayılar

Örnek 2.

Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Çözüm.

Gruplandırma:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.

Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.

Cevap: (2/3; 3/2).

Tahmin yöntemi

Örnek 3.

Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Çözüm.

Her parantez içinde tam bir kareyi vurguluyoruz:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim parantez içindeki ifadelerin anlamı.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.

Cevap: (-1; 2).

İkili denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım ikinci değişkenler derece. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.

Örnek 4.

Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Çözüm.

Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin yalnızca D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda bir çözümü olacaktır. Y'nin değerini yerine koyun orijinal denklem ve x = 3 olduğunu buluyoruz.

Cevap: (3; 4).

Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.

Örnek 5.

Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Çözüm.

Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 olarak yeniden yazalım. Sağ taraf ortaya çıkan denklem 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak 5'e bölünmeyen bir sayının karesi 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve hiçbir sayı yoktur. çözümler.

Cevap: Kök yok.

Örnek 6.

Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Çözüm.

Vurgulayalım mükemmel kareler her bir parantez içinde:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Sol taraf denklem her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| koşulu altında mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.

Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).

Örnek 7.

Denklemi sağlayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.

Çözüm.

Tam kareleri seçelim:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı toplarsak iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:

(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Cevap: -17.

İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi halledebilirsiniz.

Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyali tamamen veya kısmen kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.