Teğetin eğimini bulma. Bir fonksiyonun grafiğine teğetin eğimi nasıl bulunur?

Sertifika sınavında “Eğim açısının tanjantı olarak bir teğetin açısal katsayısı” konusuna çeşitli görevler verilmektedir. Durumlarına bağlı olarak mezunun tam bir cevap veya kısa bir cevap vermesi gerekebilir. Hazırlık aşamasında Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte öğrencinin hesaplama yapması gereken problemleri mutlaka tekrarlaması gerekir. eğim teğet.

Bunu yapmanıza yardımcı olacaktır eğitim portalı"Şkolkovo". Uzmanlarımız teorik ve pratik malzeme mümkün olduğu kadar erişilebilir. Buna aşina olan, herhangi bir düzeyde eğitim almış mezunlar, teğet açının tanjantını bulmanın gerekli olduğu türevlerle ilgili problemleri başarıyla çözebileceklerdir.

Temel anlar

Doğruyu bulmak ve rasyonel karar Birleşik Devlet Sınavındaki benzer görevler hatırlanmalıdır temel tanım: Türev, bir fonksiyonun değişim oranını temsil eder; fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada çizilen teğet açının tanjantına eşittir. Çizimi tamamlamak da aynı derecede önemlidir. Bulmanızı sağlayacak doğru çözüm Birleşik Devlet Sınavı sorunları teğet açının tanjantını hesaplamanın gerekli olduğu türev üzerinde. Açıklık sağlamak için grafiği OXY düzlemine çizmek en iyisidir.

Zaten okuduysanız Temel malzeme türevler konusunda ve benzer şekilde teğet açının tanjantının hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmeye başlamaya hazırız Birleşik Devlet Sınavı ödevleri, bu çevrimiçi olarak yapılabilir. Her görev için, örneğin “Bir türevin bir cismin hızı ve ivmesiyle ilişkisi” konusundaki problemler için doğru cevabı ve çözüm algoritmasını yazdık. Aynı zamanda öğrenciler görevleri tamamlama konusunda pratik yapabilirler. çeşitli seviyeler zorluklar. Gerekirse, çözümü öğretmenle daha sonra tartışabilmeniz için alıştırma “Favoriler” bölümüne kaydedilebilir.

Bir fonksiyonun grafiğine teğet kavramına zaten aşinasınız. x 0 yakınındaki x 0 noktasında diferansiyellenebilir f fonksiyonunun grafiği, pratik olarak teğet segmentinden farklı değildir; bu, (x 0 ; f (x 0)) ve ( noktalarından geçen l sekant segmentine yakın olduğu anlamına gelir. x 0 + Δx; f ( x 0 + Δx)). Bu kesenlerden herhangi biri grafiğin A (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçer (Şekil 1). İçinden geçen düz bir çizgiyi benzersiz şekilde tanımlamak için bu nokta A, eğimini belirtmeniz yeterlidir. Sekantın Δх→0 açısal katsayısı Δy/Δx, f '(x 0) sayısına yönelir (bunu teğetin açısal katsayısı olarak alacağız) derler ki teğet, sekantın Δх→0'daki sınırlayıcı konumudur.

Eğer f'(x 0) mevcut değilse, o zaman teğet ya mevcut değildir ((0; 0 noktasındaki y = |x| fonksiyonu gibi), bkz. şekil) ya da dikeydir (fonksiyonun grafiğindeki gibi) (0; 0), Şekil 2).

Dolayısıyla f fonksiyonunun xo noktasında bir türevinin varlığı, grafiğin (x 0, f (x 0)) noktasında (dikey olmayan) bir teğetin varlığına eşdeğerdir, oysa teğet eğim f"(x 0)'a eşittir. Bu geometrik anlamı türev

Xo noktasında diferansiyellenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine teğet, (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen ve f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan düz bir çizgidir.

f fonksiyonunun grafiğine x 1, x 2, x 3 noktalarında teğetler çizelim (Şekil 3) ve apsis ekseniyle oluşturdukları açılara dikkat edelim. (Bu, eksenin pozitif yönünden düz çizgiye pozitif yönde ölçülen açıdır.) α 1 açısının dar, α 3 açısının geniş ve α 2 açısının olduğunu görüyoruz. sıfıra eşitçünkü l düz çizgisi Ox eksenine paraleldir. Teğet dar açı pozitiftir, geniş negatiftir, tg 0 = 0. Bu nedenle

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Bireysel noktalarda teğetler oluşturmak, grafikleri daha doğru bir şekilde çizmenize olanak tanır. Yani, örneğin sinüs fonksiyonunun bir grafiğinin taslağını oluşturmak için önce bunu 0 noktalarında buluruz; π/2 ve π sinüsünün türevi 1'e eşittir; Sırasıyla 0 ve -1. Açısal katsayıları sırasıyla 1, 0 ve -1 olan (0; 0), (π/2,1) ve (π, 0) noktalarından geçen düz çizgiler oluşturalım (Şekil 4). Bu düz çizgiler ve Ox düz çizgisi tarafından oluşturulan sonuçtaki yamuk, sinüs grafiği böylece x 0'a eşit, π/2 ve π için karşılık gelen düz çizgilere değiyor.

Sıfır civarındaki sinüs grafiğinin pratik olarak y = x düz çizgisinden ayırt edilemeyeceğine dikkat edin. Örneğin eksenler boyunca ölçekler, bir birim 1 cm'lik bir parçaya karşılık gelecek şekilde seçilsin. Günahımız 0,5 ≈ 0,479425, yani |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02 ve seçilen ölçekte bu, 0,2 mm uzunluğunda bir parçaya karşılık gelir. Bu nedenle, (-0,5; 0,5) aralığındaki y = sin x fonksiyonunun grafiği, y = x düz çizgisinden (dikey yönde) 0,2 mm'den fazla sapmayacaktır; bu, yaklaşık olarak kalınlığına karşılık gelir. çizilmiş çizgi.

Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. İÇİNDE bu durumda Grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak Genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi oku.
• En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Eğimin bir fonksiyonun türevi aracılığıyla hesaplanması gereken problemleri ayırt etmeyi öğrenin. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin sizden bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

y = f(x) düz doğrusu, şekilde gösterilen grafiğe x0 noktasında (x0; f(x0)) koordinatlarıyla geçmesi ve f"(x0) açısal katsayısına sahip olması koşuluyla teğet olacaktır. Teğetin özelliklerini dikkate alarak bu katsayıyı bulmak zor değildir.

İhtiyacın olacak

• - matematiksel referans kitabı;
• - not defteri;
• - basit bir kalem;
• - dolma kalem;
• - iletki;
• - pusula.

Talimatlar

• Türevlenebilir f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki grafiğinin teğet parçadan farklı olmadığını lütfen unutmayın. Dolayısıyla (x0; f(x0)) ve (x0+Δx; f(x0 + Δx)) noktalarından geçerek l doğru parçasına oldukça yakındır. A noktasından geçen (x0; f(x0)) katsayılı bir düz çizgiyi belirtmek için eğimini belirtin. Ayrıca, Δy/Δx sekant tanjantına (Δх→0) eşittir ve aynı zamanda f'(x0) sayısına da yönelir.
• Eğer f'(x0) için herhangi bir değer yoksa, o zaman belki de teğet yoktur veya belki de dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında türevinin varlığı, (x0, f(x0)) noktasında fonksiyonun grafiğiyle temas halinde olan dikey olmayan bir tanjantın varlığıyla açıklanmaktadır. Bu durumda tanjantın açısal katsayısı f"(x0)'a eşit olur. Türevin geometrik anlamı yani tanjantın açısal katsayısının hesaplanması netleşir.
• Yani teğetin eğimini bulmak için fonksiyonun teğet noktasındaki türevinin değerini bulmanız gerekir. Örnek: y = x³ fonksiyonunun grafiğine apsis X0 = 1 olan noktada teğetin açısal katsayısını bulun. Çözüm: Bu fonksiyonun y΄(x) = 3x² türevini bulun; X0 = 1 noktasındaki türevin değerini bulunuz. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Teğetin X0 = 1 noktasındaki açı katsayısı 3'tür.
• Şekilde fonksiyonun grafiğine şu noktalara değecek şekilde ek teğetler çizin: x1, x2 ve x3. Bu teğetlerin oluşturduğu açıları apsis ekseni ile işaretleyin (açı pozitif yönde - eksenden teğet çizgisine kadar sayılır). Örneğin, çizilen teğet çizgisi OX eksenine paralel olduğundan, birinci açı α1 dar, ikinci açı (α2) geniş ve üçüncü açı (α3) sıfıra eşit olacaktır. Bu durumda teğet geniş açı Orada olumsuz anlam ve dar açının tanjantı pozitiftir, tg0'dır ve sonuç sıfırdır.

Bir x 0 noktasında sonlu türevi f (x 0) olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen düz çizgiye teğet denir.

Türev x 0 noktasında mevcut değilse ne olur? İki seçenek var:

1. Grafiğe teğet de yoktur. Klasik örnek- fonksiyon y = |x | (0; 0) noktasında.
2. Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin (1; π /2) noktasındaki y = arcsin x fonksiyonu için doğrudur.

Teğet denklem

Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b formundaki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevini bilmek yeterlidir.

O halde parça üzerinde türevi y = f '(x) olan bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Daha sonra herhangi bir x 0 ∈ (a; b) noktasında bu fonksiyonun grafiğine aşağıdaki denklemle verilen bir teğet çizilebilir:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Burada f '(x 0) x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0) fonksiyonun kendisinin değeridir.

Görev. y = x 3 fonksiyonu verildiğinde. Bu fonksiyonun grafiğine x 0 = 2 noktasındaki teğet için bir denklem yazınız.

Teğet denklemi: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilmiştir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.

Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevini bulalım: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Türevde x 0 = 2'yi yerine koyarız: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Toplamda şunu elde ederiz: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Bu teğet denklemidir.

Görev. f (x) = 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine x 0 = π /2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.

Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları göstereceğiz. Sahibiz:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f'(x 0) = f'(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Teğet denklemi:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

İÇİNDE ikinci durum düz çizginin yatay olduğu ortaya çıktı, çünkü açısal katsayısı k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.