Türevin işareti ile fonksiyonun monotonluğunun doğası arasındaki bağlantıyı gösterme.

Lütfen aşağıdaki hususlara son derece dikkat edin. Bakın size verilenin programı! Fonksiyon veya türevi

Türevin bir grafiği verilirse o zaman sadece fonksiyon işaretleri ve sıfırlarla ilgileneceğiz. Prensip olarak herhangi bir “tepe” veya “oyuk”la ilgilenmiyoruz!

Görev 1.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Çözüm:

Şekilde azalan fonksiyon alanları renkli olarak vurgulanmıştır:

Fonksiyonun bu azalan bölgeleri 4 tam sayı değeri içerir.

Görev 2.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti düz bir çizgiyle paralel olduğunda (veya çakıştığında) (veya bu aynı şeydir), eğim sıfıra eşitse tanjantın açısal katsayısı vardır.

Bu da teğetin eksene paralel olduğu anlamına gelir, çünkü eğim, teğetin eksene olan eğim açısının teğetidir.

Bu nedenle grafikte uç noktalar (maksimum ve minimum noktalar) buluyoruz - bu noktalarda grafiğe teğet fonksiyonlar eksene paralel olacaktır.

Böyle 4 nokta var.

Görev 3.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti eğimi olan bir doğruya paralel (veya çakıştığı) için, teğetin de bir eğimi vardır.

Bu da temas noktalarında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle, grafikte kaç noktanın koordinatına eşit olduğuna bakıyoruz.

Gördüğünüz gibi dört nokta var.

Görev 4.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Türev ekstremum noktalarda sıfıra eşittir. Bunlardan 4 tanesine sahibiz:

Görev 5.

Şekilde bir fonksiyonun grafiği ve x eksenindeki on bir nokta gösterilmektedir:. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Çözüm:

Azalan fonksiyon aralıklarında türevi alır negatif değerler. Ve fonksiyon noktalarda azalır. Böyle 4 nokta var.

Görev 6.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun ekstremum noktalarının toplamını bulun.

Çözüm:

Ekstrem noktalar– bunlar maksimum puanlar (-3, -1, 1) ve minimum puanlardır (-2, 0, 3).

Ekstrem noktaların toplamı: -3-1+1-2+0+3=-2.

Görev 7.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Çözüm:

Şekil, fonksiyonun türevinin negatif olmadığı aralıkları vurgulamaktadır.

Küçük artan aralıkta tam sayı noktaları yoktur; artan aralıkta dört tam sayı değeri vardır: , ve .

Toplamları:

Görev 8.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözüm:

Şekilde türevi pozitif olan tüm aralıklar renkli olarak vurgulanmıştır, bu da fonksiyonun kendisinin bu aralıklarda arttığı anlamına gelir.

En büyüğünün uzunluğu 6'dır.

Görev 9.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Segmentin hangi noktasında en yüksek değer.

Çözüm:

Grafiğin ilgilendiğimiz segment üzerinde nasıl davrandığını görelim türevin yalnızca işareti .

Bu segmentteki grafik eksenin altında olduğundan türevin işareti eksidir.

Belediye eğitim kurumu

"Saltykovskaya ikincil ortaokul

Rtishchevsky bölgesi Saratov bölgesi»

Matematikte ustalık sınıfı

11. sınıfta

konuyla ilgili

"FONKSİYONUN TÜREVİ

KULLANIM GÖREVLERİNDE"

Bir matematik öğretmeni tarafından yürütülen

Beloglazova L.S.

2012-2013 akademik yıl

Ana sınıfın amacı : Öğrencilerin “Bir fonksiyonun türevi” konusundaki teorik bilgileri tek bir fonksiyonun problemlerini çözmek için uygulama becerilerini geliştirmek devlet sınavı.

Görevler

Eğitici: Öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerini özetlemek ve sistemleştirmek

“Bir fonksiyonun türevi”, bu konudaki Birleşik Devlet Sınavı problemlerinin prototiplerini ele alır, öğrencilere problemleri bağımsız olarak çözerek bilgilerini test etme fırsatı sunar.

Eğitici: hafızanın, dikkatin, özgüvenin ve öz kontrol becerilerinin gelişimini teşvik etmek; temel anahtar yeterliliklerin oluşturulması (karşılaştırma, yan yana getirme, nesnelerin sınıflandırılması, tanımlama) yeterli yollarçözümler eğitici görev verilen algoritmalara dayalı olarak, belirsizlik durumlarında bağımsız hareket etme, kişinin faaliyetlerini kontrol etme ve değerlendirme, zorlukların nedenlerini bulma ve ortadan kaldırma yeteneği).

Eğitici: terfi:

öğrenciler arasında öğrenmeye karşı sorumlu bir tutum geliştirmek;

matematiğe sürdürülebilir ilginin geliştirilmesi;

pozitif yaratmak içsel motivasyon matematik okumak için.

Teknolojiler: Bireysel olarak farklılaştırılmış öğrenme, BİT.

Öğretim yöntemleri: sözlü, görsel, pratik, problemli.

Çalışma biçimleri: bireysel, önden, çiftler halinde.

Ders için ekipman ve materyaller: Her öğrenci için projektör, ekran, bilgisayar, simülatör (Ek No. 1), ders için sunum (Ek No. 2), bireysel olarak – farklılaştırılmış kartlarİçin bağımsız çalışmaçiftler halinde (Ek No. 3),İnternet sitelerinin listesi, ayrı ayrı farklılaştırılmış Ev ödevi (Ek No. 4).

Ana sınıf için açıklama. Bu ana sınıf, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için 11. sınıfta yapılır. Sınav problemlerini çözerken “Bir fonksiyonun türevi” konusundaki teorik materyalin uygulanması amaçlanmaktadır.

Ana sınıfın süresi– 30 dakika

Ana sınıf yapısı

I.Organizasyon anı -1 dk.

II .Konunun mesajı, ana sınıfın hedefleri, eğitim faaliyetleri için motivasyon - 1 dk.

III. Ön çalışma. Eğitim “Görevler B8 Birleşik Devlet Sınavı”. Simülatörle çalışmanın analizi - 6 dk.

IV.Bireysel olarak - farklılaştırılmış çalışmaçiftler halinde. Bağımsız çözüm sorunlar B14. Akran değerlendirmesi - 7 dk.

V. Bireysel ödevleri kontrol etmek. Birleşik Devlet Sınavının C5 parametresiyle ilgili sorun

3 dakika

VI. Çevrimiçi test. Test sonuçlarının analizi - 9 dk.

VII. Bireysel - farklılaştırılmış ödev -1 dk.

VIII.Ders notları - 1 dk.

IX.Ders özeti. Yansıma -1 dk.

Ana sınıfın ilerlemesi

BEN .Organizasyon anı.

II .Konunun mesajı, ana sınıfın hedefleri, eğitim faaliyetleri için motivasyon.

(Slayt 1-2, Ek No. 2)

Dersimizin konusu “Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde bir fonksiyonun türevi”. “Küçük küçüktür ama pahalıdır” sözünü herkes bilir. Matematikteki bu “sürgülü vanalardan” biri de türevdir. Türev birçok şeyi çözmek için kullanılır pratik problemler matematik, fizik, kimya, ekonomi ve diğer disiplinler. Sorunları basit, güzel ve ilginç bir şekilde çözmenizi sağlar.

“Türev” konusu, birleşik devlet sınavının B bölümünün (B8, B14) görevlerinde sunulmaktadır. Bazı C5 problemleri türevler kullanılarak da çözülebilir. Ancak bu sorunları çözmek iyi bir şey gerektirir matematik eğitimi Ve alışılmışın dışında düşünme.

Testlerin yapısını ve içeriğini düzenleyen belgelerle çalıştınız mı? ölçüm malzemeleri matematikte birleşik devlet sınavı 2013. Sonuç olarak“Türev” konusundaki USE problemlerini başarıyla çözmek için hangi bilgi ve becerilere ihtiyacınız var?.

(Slayt 3-4, Ek No. 2)

Biz okudu"Kodlayıcı Birleşik Devlet Sınavı için kontrol ölçüm materyallerinin hazırlanmasına yönelik MATEMATİK içerik öğeleri”

"Seviye gereksinimlerinin kodlayıcısı lisansüstü eğitim», "Şartname ölçüm malzemelerinin kontrolü","Demo versiyonubirleşik devlet sınavı 2013'ün kontrol ölçüm materyalleri" veöğrendim “Türev” konusundaki problemleri başarılı bir şekilde çözmek için bir fonksiyon ve onun türevi hakkında hangi bilgi ve becerilere ihtiyaç vardır.

Gerekli

• BİLMEK

N türevlerin hesaplanmasına ilişkin kurallar;

temel elementer fonksiyonların türevleri;

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı;
bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi;
Bir fonksiyonun türevini kullanarak incelenmesi.

YAPABİLMEK

fonksiyonlarla eylemler gerçekleştirin (bir fonksiyonun davranışını ve özelliklerini bir grafik kullanarak tanımlayın, en büyük ve en küçük değerlerini bulun).

KULLANMAK

alanında edinilen bilgi ve beceriler pratik aktiviteler Ve günlük yaşam.

“Türev” konusunda teorik bilgiye sahipsiniz. Bugün yapacağızKULLANIM SORUNLARINI ÇÖZMEK İÇİN TÜREV FONKSİYONUNA İLİŞKİN BİLGİYİ UYGULAMAYI ÖĞRENİN. ( Slayt 4, Ek No. 2)

Sebepsiz değil Aristoteles şunu söyledi “ZİHİN SADECE BİLGİDE DEĞİL, BİLGİYİ UYGULAMADA UYGULAMA YETENEĞİNDE DE VARDIR”( Slayt 5, Ek No. 2)

Dersin sonunda dersimizin amacına döneceğiz ve ona ulaşıp ulaşmadığımızı öğreneceğiz.

III . Ön çalışma. Eğitim “Görevler B8 Birleşik Devlet Sınavı” (Ek No. 1) . Simülatörle çalışmanın analizi.

Önerilen dört cevaptan doğru cevabı seçin.

Sizce B8 görevini tamamlamanın zorluğu nedir?

Ne düşünüyorsun tipik hatalar Bu sorunu çözerken mezunların sınava girmesine izin veriliyor mu?

Görev B8'deki soruları yanıtlarken, bir fonksiyonun davranışını ve özelliklerini bir türev grafiği kullanarak ve bir türev fonksiyonunun davranışını ve özelliklerini bir fonksiyon grafiği kullanarak tanımlayabilmelisiniz. Ve bunun için iyiye ihtiyacın var teorik bilgişu konularda: “Geometrik ve mekanik anlamda türev. Bir fonksiyonun grafiğine teğet. Türevin fonksiyonların incelenmesine uygulanması."

Hangi görevlerin size zorluk çıkardığını analiz edin?

Hangi teorik konular bilmen mi gerekiyor?

IV. Çiftler halinde bireysel olarak farklılaştırılmış çalışma. Bağımsız problem çözme S14. Akran değerlendirmesi. (Ek No. 3)

Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını, ekstremumlarını, maksimumunu ve maksimumunu bulmak için problem çözme algoritmasını (B14 Birleşik Durum Sınavı) hatırlayın. en düşük değerler türevini kullanarak bir aralıkta çalışır.

Türevleri kullanarak problemleri çözün.

Öğrencilere bir problem verilir:

“Düşünsene, B14'teki bazı problemleri türevi kullanmadan farklı bir şekilde çözmek mümkün mü?”

1 çift(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. y = 10x-ln (x+9)+6 fonksiyonunun minimum noktasını bulun

2)B14.Fonksiyonun en büyük değerini bulunsen =

- İkinci sorunu iki şekilde çözmeye çalışın.

2 çift(Saninskaya T., Sazanov A.)

1)B14.y=(x-10) fonksiyonunun en küçük değerini bulun segmentte

2)B14. y= - fonksiyonunun maksimum noktasını bulun

(Öğrenciler problem çözmenin ana aşamalarını tahtaya yazarak çözümlerini savunurlar. 1 çiftten oluşan öğrenciler (Lukyanova D., Gavryushina D.) 2 numaralı sorunu çözmek için iki yol sağlayın).

Sorunu çözmek. Sonuç: Öğrencilerin yapması gerekenler:

“Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerinin bulunmasına ilişkin bazı B14 Birleşik Devlet Sınavı problemleri, fonksiyonların özelliklerine bağlı olarak türevler kullanılmadan çözülebilir.”

Görevde hangi hatayı yaptığınızı analiz edin?

Hangi teorik soruları gözden geçirmeniz gerekiyor?

V. Bireysel ödevleri kontrol etmek. C5 parametresiyle ilgili sorun (KULLANIM) ( Slayt 7-8, Ek No. 2)

Lukyanova K.'ye bireysel bir ev ödevi verildi: Birleşik Devlet Sınavına hazırlık ders kitaplarından parametreli (C5) bir problem seçin ve türevi kullanarak çözün.

(Öğrenci problemin fonksiyonel çözümüne dayalı bir çözüm sunar. grafik yöntemi Birleşik Devlet Sınavının C5 problemlerini çözme yöntemlerinden biri olarak ve verir kısa açıklama bu yöntem).

C5 Birleşik Durum Sınavı problemlerini çözerken bir fonksiyon ve onun türevi hakkında hangi bilgiler gereklidir?

VI. B8, B14 görevleri için çevrimiçi test. Test sonuçlarının analizi.

Sınıfta test etmek için web sitesi:

Kim hata yapmadı?

Kimler test etmekte zorluk yaşadı? Neden?

Hangi görevlerde hatalar yapıldı?

Bilmeniz gereken teorik konular nelerdir?

VI BEN. Bireysel olarak farklılaştırılmış ödevler

(Slayt 9, başvuru No. 2), (Ek No. 4).

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için İnternet sitelerinin bir listesini hazırladım. Ayrıca bu siteleri de ziyaret edebilirsiniz.N – astartest. Bir sonraki ders için şunları yapmanız gerekir: 1) tekrar edin teorik materyal“Bir fonksiyonun türevi” konusunda;

2) web sitesinde " Açık banka matematik ödevleri" ( ) B8 ve B14 görevlerinin prototiplerini bulun ve en az 10 problemi çözün;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. parametrelerle ilgili problemleri çözer. Öğrencilerin geri kalanı 1-8 arasındaki problemleri çözmelidir (seçenek 1).

VI II. Ders notları.

Bu ders için kendinize kaç notu verirdiniz?

Derste daha iyisini yapabileceğini düşünüyor musun?

IX. Ders özeti. Refleks

Çalışmamızı özetleyelim. Dersin amacı neydi? Sizce bu hedefe ulaşıldı mı?

Tahtaya bakın ve bir cümlede cümlenin başlangıcını seçerek size en uygun cümleye devam edin.

hissettim...

Öğrendim...

Yaptım...

Yapabildim...

Yapmaya çalışacağım …

buna şaşırdım …

Ben istedim...

Ders sırasında bilginizin zenginleştiğini söyleyebilir misiniz?

Bir fonksiyonun türeviyle ilgili teorik soruları tekrarladınız. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin (B8, B14) prototiplerini çözerken bilgilerini uyguladılar ve K. Lukyanova, artan karmaşıklıktaki bir görev olan C5 görevini bir parametreyle tamamladı.

Sizinle çalışmak bir zevkti ve Umarım matematik derslerinde edindiğiniz bilgileri sadece matematikte değil, başarıyla uygulayabilirsiniz. Birleşik Devlet Sınavını geçmek, aynı zamanda ileriki çalışmalarında da.

Dersimi İtalyan filozofun sözleriyle bitirmek istiyorum. Thomas Aquinas“Bilgi o kadar kıymetli bir şeydir ki, onu herhangi bir kaynaktan edinmek ayıp değildir.” (Slayt 10, Ek No. 2).

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanızda başarılar diliyorum!

Giriş seviyesi

Bir fonksiyonun türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünelim. Yani yukarı aşağı gidiyor ama sağa sola dönmüyor. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir seviyede sıfır rakımdır; yaşamda deniz seviyesini öyle kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken aynı zamanda yukarı veya aşağı da hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket), fonksiyonun değeri de değişir (ordinat ekseni boyunca hareket). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim mi? Bu nasıl bir değer olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafeye doğru ilerlerken yüksekliğin ne kadar değişeceği. Nitekim yolun farklı kesimlerinde, (x ekseni boyunca) bir kilometre ileriye doğru ilerleyerek, yükselecek veya alçalacağız. farklı miktarlar deniz seviyesine göre metre (koordinat ekseni boyunca).

İlerlemeyi gösterelim (“delta x” okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani bu nicelikteki bir değişikliktir, bir değişikliktir; peki o nedir? Doğru, büyüklükte bir değişiklik.

Önemli: Bir ifade tek bir bütündür, tek bir değişkendir. “Delta”yı asla “x”ten veya başka bir harften ayırmayın!

Böylece yatay olarak ileriye doğru ilerledik. Yolun çizgisini fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani ilerledikçe daha da yükseliriz.

Değerin hesaplanması kolaydır: Başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra kendimizi yüksekte bulursak, o zaman. Eğer bitiş noktası ilkinden daha düşük olduğu ortaya çıktı, negatif olacak - bu, yükseldiğimiz değil alçaldığımız anlamına geliyor.

Tekrar "diklik" konusuna dönelim: Bu, bir birim mesafe ileri gidildiğinde yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde bir kilometre ileri gidildiğinde yolun bir kilometre yukarıya çıktığını varsayalım. O halde bu yerdeki eğim eşittir. Peki ya yol m ileri giderken km düşerse? O halde eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesine bakalım. Bölümün başlangıcını zirveden yarım kilometre önce ve sonunu yarım kilometre sonra alırsanız yüksekliğin hemen hemen aynı olduğunu görürsünüz.

Yani bizim mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Kilometrelerce uzakta çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir şekilde değerlendirilmesi için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre hareket ettikçe yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta yolun ortasında bir direk varsa onu kolayca geçebiliriz. O halde hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha fazladır!

İÇİNDE gerçek hayat Mesafeleri en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle kavram icat edildi sonsuz küçük yani mutlak değer isimlendirebileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin şöyle diyorsunuz: trilyonuncu! Ne kadar az? Ve bu sayıyı -'ye bölerseniz daha da az olacaktır. Ve benzeri. Bir niceliğin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra doğru gider” şeklinde okuruz). Anlamak çok önemli bu sayının sıfır olmadığını! Ama buna çok yakın. Bu, ona bölebileceğiniz anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının karşısındaki kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan modülo daha büyüktür. Eğer en büyüğünü bulursan olası sayılar, bunu ikiyle çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve hala sonsuzluk Dahası ne olacak? Aslında sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirmeyle yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün şu anlama gelmediğini hatırlatmama izin verin: sıfıra eşit. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz oldukça fazla sonuç elde edebilirsiniz. normal numara, Örneğin, . Yani küçük bir değer diğerinden tam olarak kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar ne için? Yol, diklik... Araba rallisine gitmiyoruz ama matematik öğretiyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, yalnızca farklı adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

Kademeli olarak matematikte değişim diyorlar. Bağımsız değişkenin () eksen boyunca hareket ettikçe ne ölçüde değiştiğine denir argüman artışı Eksen boyunca bir mesafe kadar ileri doğru hareket edildiğinde fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve belirlenir.

Yani bir fonksiyonun türevi ne zamana oranıdır. Türevi fonksiyonla aynı harfle, yalnızca sağ üstte bir asal sayıyla veya basitçe belirtiriz. Şimdi bu gösterimleri kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatif olur.

Türev sıfıra eşit olabilir mi? Kesinlikle. Örneğin düz yatay bir yolda gidiyorsak diklik sıfırdır. Ve bu doğru, yükseklik hiç değişmiyor. Türev ile aynı: türev sabit fonksiyon(sabitler) sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfıra eşittir.

Tepe örneğini hatırlayalım. Segmentin uçlarını birlikte düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı farklı taraflar uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani bölüm eksene paralel olacak şekilde üstten:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün işaretidir. Segmentimizi kendine paralel olarak yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda tepeye sonsuz derecede yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğiliminde değildir ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede durduğumuzda, sola veya sağa doğru küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilecek kadar değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama da var: Tepe noktasının solunda fonksiyon artar ve sağında azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyon arttığında türevi pozitif, azaldığında ise negatif olur. Ancak atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle negatif ile negatif arasında pozitif değerler mutlaka bulunması gerekir. Köşe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynı durum çukur (soldaki fonksiyonun azaldığı, sağdaki fonksiyonun arttığı alan) için de geçerlidir:

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı büyüklük olarak değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? Şimdi bu (tartışma) ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi oradan dans edeceğiz.

Koordinatı olan bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse fonksiyon da oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Bağımsız değişkenin artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Aynı şey bir noktada fonksiyon için de geçerlidir.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar aynı argüman artışıyla, fonksiyon artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin farklı olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun dikliği farklı noktalarda farklıdır). Bu nedenle bir türev yazarken hangi noktada olduğunu belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu, argümanın bir dereceye kadar (mantıklı, değil mi?) geçerli olduğu bir fonksiyondur.

Üstelik - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum- bu durumda üs:

Bir noktadaki türevini bulalım. Türevin tanımını hatırlayalım:

Yani argüman 'dan 'a değişir. Fonksiyonun artışı nedir?

Artış şudur. Ancak herhangi bir noktadaki bir fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:

Türev şuna eşittir:

Türevi şuna eşittir:

b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .

Şimdi şunu hatırlayalım. Bu, artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir, çünkü bu son derece küçüktür ve bu nedenle diğer terimin arka planına göre önemsizdir:

Böylece başka bir kural bulduk:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı formülünü kullanarak ilk parantezi açın veya küp farkı formülünü kullanarak ifadenin tamamını çarpanlara ayırın. Önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanarak bunu kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece aşağıdakileri elde ettim:

Ve şunu bir kez daha hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Şunu alıyoruz: .

d) Büyük kuvvetler için de benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, tamsayı bile olmayan, keyfi bir üssü olan bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

Kural şu ​​şekilde formüle edilebilir: "Derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve ardından azaltılır."

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türev tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını hesaplayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Bu nasıl?” gibi sorularınız varsa. Derece nerede?”, “” konusunu hatırlayın!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, yalnızca kesirlidir: .
   Yani bizim karekök- bu sadece göstergeli bir derecedir:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse “” konusunu tekrarlayın!!! (derece hakkında negatif gösterge)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım üzerinden (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi her zamanki gibi aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

Trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir olguyu kullanacağız:

İfade ile.

Kanıtı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için Birleşik Devlet Sınavını iyi bir şekilde geçmeniz gerekir). Şimdi bunu grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon mevcut olmadığında grafikteki noktanın kesildiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakın demektir.

Ek olarak, bir hesap makinesi kullanarak bu kuralı kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, utanmayın, bir hesap makinesi alın, henüz Birleşik Devlet Sınavında değiliz.

O halde deneyelim: ;

Hesap makinenizi Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Ne kadar az olursa o kadar çok olduğunu görüyoruz. daha yakın değer ile ilişki

a) Fonksiyonu düşünün. Her zamanki gibi, artışını bulalım:

Sinüs farkını çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz (“” konusunu hatırlayın): .

Şimdi türev:

Bir değişiklik yapalım: . O halde sonsuz küçük için aynı zamanda sonsuz küçüktür: . için ifade şu şekli alır:

Şimdi de bunu şu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda sonsuz küçük bir miktar (yani, at) ihmal edilebilirse ne olur?

Yani anlıyoruz sonraki kural:sinüsün türevi kosinüse eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte tek bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. Öncelikle türevini bulalım genel görünüm ve ardından değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada buna benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. Onu kendine getirmeye çalışalım
   normal görünümlü:
   .
   Harika, artık formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Bu nedir????

Tamam haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı henüz bilmiyoruz. Burada çeşitli fonksiyon türlerinin bir kombinasyonu var. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte herhangi bir değer için türevi aynı zamanda fonksiyonun kendi değerine eşit olan bir fonksiyon vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu fonksiyonun temeli bir sabittir; sonsuzdur ondalık yani irrasyonel bir sayı (gibi). Buna “Euler sayısı” denir, bu nedenle harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim hemen bakalım ters fonksiyon. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette.

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Cevaplar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar türev açısından benzersiz derecede basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra analiz edeceğiz. hadi kuralları gözden geçirelim farklılaşma.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Hepsi bu. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçilerin diferansiyeli, bir fonksiyonun aynı artışıdır. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayı(sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü bu doğrusal fonksiyon, Unutma?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: hadi girelim yeni özellik ve artışını bulun:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o yüzden fonksiyonumuzu yeni bir temele taşımaya çalışalım:

Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

İşe yaradı mı?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Cevaplar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani artık yazılamayan bir sayıdır. basit biçimde. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel türevleri ve logaritmik fonksiyonlar Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç görünmezler, ancak onları bilmekten zarar gelmez.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Ne oldu " karmaşık fonksiyon"? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için adımların tersini uygulamanız gerekir. ters sıra.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli Özellik Karmaşık işlevler: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Cevaplar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. ile ilgili olarak orijinal örnekşuna benziyor:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, o kadar “harici” olacaktır. karşılık gelen fonksiyon. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Resimde y = f(x fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir) ) ve apsis x 0 noktasındaki teğetini bulun. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Şekilde (-1;17) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin. f(x)

aralıkta 0, ardından f(x)" fonksiyonu" title="Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4 noktaları arasında bulun , x 5, x 6 ve x 7, f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktalardır. Buna karşılık, aralıkta f (x) > 0 ise bulunan nokta sayısını yazın. f(x) fonksiyonu" class="link_thumb"> 8 !}Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Bir aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu bu aralıkta artar Cevap: 2 aralıkta 0, sonra f(x)">0 fonksiyonu, sonra f(x) fonksiyonu bu aralıkta artar Cevap: Aralıkta 2">0, sonra f(x)" fonksiyonu başlık= "Açık Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında, f(x) fonksiyonunun türevi pozitiftir. Bulunan nokta sayısını yazın. Eğer aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu."> title="Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Bir aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu"> !}

Şekilde (-9; 2) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir. -8 segmentinin hangi noktasında; -4 f(x) fonksiyonu en büyük değeri alır mı? -8 segmentinde; -4 f(x)

y = f(x) fonksiyonu (-5; 6) aralığında tanımlanır. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. x 1, x 2, ..., x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Cevap: 3 Nokta x 1, x 4, x 6 ve x 7 uç noktalardır. x 4 noktasında f(x) yoktur

Literatür 4 Cebir ve başlangıç ​​analizi dersi. için öğretici eğitim kurumları temel seviye/ Sh. A. Alimov ve diğerleri, - M .: Prosveshchenie, Semenov A. L. Birleşik Devlet Sınavı: Matematikte 3000 problem. – M .: Yayınevi “Sınav”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. 7-11. Sınıflar için örneklerle cebir ve analizin başlangıcı için görsel bir rehber. – M.: Ilexa, Elektronik kaynak Birleşik Devlet Sınavı görev bankasını açın.