Eksik pay veya payda nasıl doğru şekilde bulunur? Doğru ve yanlış kesirler

Basit matematik kuralları ve teknikler sürekli kullanılmadığı takdirde çok çabuk unutulur. Terimler hafızadan daha da hızlı kaybolur.

Bu basit eylemlerden biri dönüştürmektir. uygun kesir doğru olana veya başka bir deyişle karıştırılmış.

Uygunsuz kesir

Uygunsuz kesir, payın (çizginin üzerindeki sayı) paydadan (çizginin altındaki sayı) büyük veya ona eşit olduğu kesirdir. Bu kesir, kesirlerin eklenmesi veya bir kesirin bir tam sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Matematik kurallarına göre böyle bir kesrin uygun kesir haline dönüştürülmesi gerekir.

Uygun kesir

Diğer tüm kesirlerin uygun olarak adlandırıldığını varsaymak mantıklıdır. Kesin tanım - payı olan bir kesir paydadan daha az. Olan bir kesir bütün kısım bazen karışık denir.

Uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürme

• İlk durum: pay ve payda birbirine eşittir. Böyle bir kesri dönüştürmenin sonucu birdir. Üçte üç ya da yüz yirmi beş yüz yirmi beşte olması önemli değil. Esasen böyle bir kesir, bir sayının kendisine bölünmesi eylemini ifade eder.

• İkinci durum: Pay, paydadan büyüktür. Burada sayıları kalanla bölme yöntemini hatırlamanız gerekir.
  Bunu yapmak için paydaya kalansız bölünebilen pay değerine en yakın sayıyı bulmanız gerekir. Örneğin, on dokuz üçte bir kesiriniz var. En numarayı kapatüçe bölünebilen on sekizdir. Bu altı. Şimdi elde edilen sayıyı paydan çıkarın. Bir tane alıyoruz. Geriye kalan bu. Dönüşümün sonucunu yazın: altı tam ve üçte biri.

Ancak kesri azaltmadan önce doğru tür kısaltılıp kısaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir.
Pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa kesri azaltabilirsiniz. Yani her ikisinin de kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu tür bölenlerden birkaçı varsa, en büyüğünü bulmanız gerekir.
Örneğin, tüm çift sayıların böyle bir ortak böleni vardır - iki. Ve on altı on ikide bir kesirin bir ortak böleni daha var - dört. Bu en büyük bölen. Pay ve paydayı dörde bölün. Azaltma sonucu: üçte dört. Şimdi pratik olarak bu kesri uygun kesire dönüştürün.

Kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar keselim - ¼ olacak. Bunlar kesirler. Ve her şey basit görünüyordu. Bir yetişkin için. Çocuk için (ve bu konu sonunda çalışmaya başla ortaokul) soyut matematiksel kavramlar hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmen, doğru kesir ve yanlış kesirin, sıradan ve ondalık sayının ne olduğunu, onlarla hangi işlemlerin yapılabileceğini ve en önemlisi tüm bunların ne için gerekli olduğunu açıkça açıklamalıdır.

Kesirler nedir?

Tanışmak yeni konu okulda şununla başlıyor sıradan kesirler. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve uygun sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örneğe bakalım: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."

Yeni konseptler

Sıradan kesirlere dönelim. İki tipte gelirler.

Düzgün kesirin tanımı şu şekildedir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Bu neden önemli? Şimdi göreceğiz!

Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplam - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin kaç meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net anlaşılır. .

Yani, doğru ve yanlış kesirleri adlandırmada kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman düzensizdir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!

Kesinti

Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazması zahmetli olan ancak aslında kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.

Karışık sayılar

Uygunsuz bir kesir şu şekilde temsil edilebilir: karışık sayı. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.

Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.

Gerçekleştirmek mümkün ters işlem- Bunu yapmak için parçanın tamamını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.

Çarpma ve bölme

İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Kesirleri Ekleme

Toplama işlemi yapmanız gerekiyorsa veya paydası ise ne yapmalısınız? farklı sayılar? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek, yani her iki kesirin alt kısmının aynı sayılara sahip olması gerekir.

Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü daha küçük değer 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen bir sayı yoktur.

Kullanım

Bunlar ne için? uygunsuz kesirler? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.

Hadi alalım sonraki örnek: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)

Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).

Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.

Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.

Yaygın Hatalar

Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.

Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, tek tek bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki: (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ü çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık. Ancak toplama yaparken terimlerden biriyle hiçbir işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.

Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İki doğru olanı alalım indirgenemez kesirler ve birbirlerine bölün: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur ama bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.

Parantez

Bunu herhangi bir durumda hatırla matematiksel ifadelerİşlem sırası, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlenir. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.

Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.

Bilgisayarda kesir nasıl yazılır

Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırıp aralarında çizim yaparlar. yatay çizgi. Tabii ki, daha basit bir seçenek var, bu arada, pek çok şey sağlıyor ek özellikler gelecekte işinize yarayacak.

Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!

Bu işlevi kullanırsanız ekranda herhangi bir şeyi kullanabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. matematiksel işaretler, klavyede eksik ve ayrıca kesirleri klasik biçimde yazın. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Böyle bir düzgün kesirin yazılmasının bu kadar kolay olmasına bile şaşırabilirsiniz.

Matematik öğren

Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında pek çok alanda matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. okul konuları. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan, her şeyi zihninizde hesaplamayı öğreneceksiniz, ama giderek daha fazlasını öğreneceksiniz. karmaşık örnekler. Bu nedenle, doğru kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin. müfredat, ödevinizi zamanında yapın ve başaracaksınız.

Yaygın kesirler \textit (doğru) ve \textit (uygun olmayan) kesirlere ayrılır. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.

Uygun Kesirler

Uygun kesir Payın paydadan küçük olduğu sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$ olarak adlandırılır; milyon dolar

Örnek 1

Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ kesirleri doğrudur yani bunların her birinde pay, paydadan daha küçüktür, bu da uygun kesir tanımını karşılar.

Kesirin bir ile karşılaştırılmasına dayanan bir uygun kesir tanımı vardır.

doğru birden küçükse:

Örnek 2

Örneğin, $\frac(6)(13)$ ortak kesri uygundur çünkü $\frac(6)(13) koşulu sağlandı

Uygunsuz kesirler

Uygunsuz kesir payı veya değerinden büyük olan sıradan bir $\frac(m)(n)$ kesiridir paydaya eşit yani $m\ge n$.

Örnek 3

Örneğin, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ kesirleri düzensizdir , yani her birinde payın paydadan büyük veya paydaya eşit olması, uygunsuz kesir tanımını karşılıyor.

Birle karşılaştırmasına dayanan uygunsuz bir kesrin tanımını verelim.

Ortak kesir $\frac(m)(n)$ yanlış 1'e eşit veya birden büyükse:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Örnek 4

Örneğin, $\frac(21)(4)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(21)(4) >1$ koşulu sağlandı;

$\frac(8)(8)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(8)(8)=1$ koşulu karşılandı.

Uygunsuz kesir kavramına daha yakından bakalım.

Örnek olarak $\frac(7)(7)$ uygunsuz kesirini ele alalım. Bu kesrin manası, yedi eşit parçaya bölünmüş bir cismin yedi hissesini almaktır. Böylece mevcut yedi paylaşımdan nesnenin tamamı oluşturulabilir. Onlar. uygunsuz kesir $\frac(7)(7)$ açıklar tüm konu ve $\frac(7)(7)=1$. Dolayısıyla payın paydaya eşit olduğu uygunsuz kesirler bir tam nesneyi tanımlar ve böyle bir kesir $1$ doğal sayısıyla değiştirilebilir.

$\frac(5)(2)$ -- bu beş saniyelik bölümlerden $2$ bütün nesneler (bir bütün nesne $2$ parçalardan oluşacaktır ve iki tam nesne oluşturmak için) oluşturabileceğiniz oldukça açıktır. $2+2=4$ hisseye ihtiyacınız var) ve geriye bir ikinci hisse kalıyor. Yani, $\frac(5)(2)$ uygunsuz kesri bir nesnenin $2$'ını ve bu nesnenin payını $\frac(1)(2)$ açıklar.

$\frac(21)(7)$ -- yirmi bir yedinci parçalardan $3$ bütün nesneler (her birinde $7$ paya sahip $3$ nesneler) yapabilirsiniz. Onlar. $\frac(21)(7)$ kesri $3$ bütün nesneleri tanımlar.

Ele alınan örneklerden şu sonuca varılabilir: sonraki çıktı: Pay, paydaya bölünebiliyorsa uygunsuz bir kesirin yerine doğal bir sayı gelebilir (örneğin, $\frac(7)(7)=1$ ve $\frac(21)(7)=3$), veya pay, paydaya tamamen bölünemiyorsa doğal sayı ile doğru kesir kesirlerinin toplamı (örneğin, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Bu yüzden bu tür kesirlere denir yanlış.

Tanım 1

Uygun olmayan bir kesri, bir doğal sayı ile bir uygun kesirin toplamı olarak temsil etme işlemine (örneğin, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) denir. tüm parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak.

Uygunsuz kesirlerle çalışırken şunu gözlemleyebilirsiniz: yakın bağlantı aralarında ve karışık sayılar.

Uygunsuz bir kesir genellikle bir tam sayı ve bir kesir kısmından oluşan bir sayı olan karışık bir sayı olarak yazılır.

Uygun olmayan bir kesri tam sayı olarak yazmak için payı paydaya ve kalana bölmeniz gerekir. Bölüm, tam sayının tam kısmı, kalan kısım kesirli kısmın payı, bölen ise kesirli kısmın paydası olacaktır.

Örnek 5

$\frac(37)(12)$ uygunsuz kesirini karışık sayı olarak yazın.

Çözüm.

Payı paydaya kalanla bölün:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (kalan\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Cevap.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Karışık bir sayıyı bileşik kesir olarak yazmak için, paydayı sayının tam kısmı ile çarpmanız, kesirli kısmın payını ortaya çıkan çarpıma eklemeniz ve elde edilen miktarı kesrin payına yazmanız gerekir. Uygunsuz kesrin paydası, karışık sayının kesirli kısmının paydasına eşit olacaktır.

Örnek 6

$5\frac(3)(7)$ karışık sayısını uygunsuz kesir olarak yazın.

Çözüm.

Cevap.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Karışık sayıları ve uygun kesirleri toplama

Karışık Sayı Toplama$a\frac(b)(c)$ ve uygun kesir$\frac(d)(e)$, belirli bir kesirli sayının kesirli kısmının eklenmesiyle gerçekleştirilir:

Örnek 7

Uygun kesir $\frac(4)(15)$ ile karışık sayıyı $3\frac(2)(5)$ ekleyin.

Çözüm.

Karışık bir sayı ve uygun bir kesir eklemek için formülü kullanalım:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5) sayısına bölerek $\frac(10)(15)$ kesirinin indirgenebilir olduğunu belirleyebiliriz. Azaltma işlemini yapıp toplama işleminin sonucunu bulalım:

Yani, $\frac(4)(15)$ doğru kesirini ve $3\frac(2)(5)$ karışık sayısını toplamanın sonucu $3\frac(2)(3)$ olur.

Cevap:$3\frac(2)(3)$

Karışık sayıları ve bileşik kesirleri toplama

Uygunsuz kesirleri ve karışık sayıları toplama iki karışık sayının eklenmesine indirgenir; bunun için tüm parçayı yanlış kesirden ayırmak yeterlidir.

Örnek 8

$6\frac(2)(15)$ karışık sayısının ve $\frac(13)(5)$ uygunsuz kesirinin toplamını hesaplayın.

Çözüm.

Öncelikle $\frac(13)(5)$ hatalı kesirinden tamsayı kısmını çıkaralım:

Cevap:$8\frac(11)(15)$.

Tüm bilimlerin kraliçesi olan matematiği incelerken, bir noktada herkes kesirlerle karşılaşır. Bu kavram (kesirlerin türleri veya onlarla yapılan matematiksel işlemler gibi) hiç de karmaşık olmasa da dikkatli bir şekilde ele alınmalıdır, çünkü gerçek hayat Okul dışında çok faydalı olacaktır. Öyleyse kesirler hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim: Nedirler, ne işe yararlar, türleri nelerdir ve onlarla nasıl farklı şeyler yapılabilir? aritmetik işlemler.

Majesteleri kesri: nedir bu

Matematikte kesirler, her biri bir birimin bir veya daha fazla kısmından oluşan sayılardır. Bu tür kesirlere sıradan veya basit de denir. Kural olarak yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki sayı şeklinde yazılırlar, buna "kesirli" çizgi denir. Örneğin: ½, ¾.

Bu sayıların büyüğü veya birincisi paydır (sayıdan kaç parça alındığını gösterir), alttaki veya ikincisi ise paydadır (birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir).

Kesir çubuğu aslında bölme işareti olarak işlev görür. Örneğin 7:9=7/9

Geleneksel olarak ortak kesirler birden küçüktür. Ondalık sayılar bundan daha büyük olabilir.

Kesirler ne içindir? Her şey için evet çünkü gerçek dünya Tüm sayılar tam sayı değildir. Örneğin, kafeteryadaki iki kız öğrenci birlikte lezzetli bir çikolata satın aldı. Tatlıyı paylaşmak üzereyken bir arkadaşlarıyla tanıştılar ve ona da ikram etmeye karar verdiler. Ancak artık çikolatanın 12 kareden oluştuğunu göz önünde bulundurarak doğru şekilde bölmek gerekiyor.

İlk başta kızlar her şeyi eşit olarak bölmek istediler, sonra her biri dört parça alacaktı. Ancak iyice düşündükten sonra arkadaşlarına çikolatanın 1/3'ünü değil 1/4'ünü ikram etmeye karar verdiler. Ve kız öğrenciler kesirleri iyi çalışmadıkları için böyle bir durumda ellerinde ikiye bölünmesi çok zor olan 9 parçanın elde edileceğini hesaba katmadılar. Oldukça basit olan bu örnek, bir sayının bir bölümünü doğru şekilde bulmanın ne kadar önemli olduğunu göstermektedir. Ama hayatta benzer vakalarçok daha fazlası.

Kesir türleri: sıradan ve ondalık

Tüm matematiksel kesirler iki büyük kategoriye ayrılır: sıradan ve ondalık. Bunlardan ilkinin özellikleri önceki paragrafta anlatılmıştı, bu yüzden şimdi ikinciye dikkat etmeye değer.

Ondalık, bir sayının kesirlerinin virgülle ayrılmış olarak, tire veya eğik çizgi olmadan yazılı olarak yazılan kesirlerinin konumsal gösterimidir. Örneğin: 0,75, 0,5.

Aslında ondalık kesir sıradan bir kesirle aynıdır, ancak paydası her zaman bir ve ardından sıfır gelir; adı da buradan gelir.

Virgülden önceki sayı bir tamsayı kısmıdır ve ondan sonraki her şey bir kesirdir. Bayıldım basit kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir. Böylece önceki örnekte belirtilen ondalık kesirler her zamanki gibi yazılabilir: ¾ ve ½.

Hem ondalık hem de sıradan kesirlerin pozitif veya negatif olabileceğini belirtmekte fayda var. Başlarında "-" işareti varsa, verilen kesir negatif, eğer "+" ise - o zaman pozitif.

Sıradan kesirlerin alt türleri

Bu tür basit kesirler vardır.

Ondalık kesrin alt türleri

Basit bir kesirden farklı olarak ondalık kesir yalnızca 2 türe ayrılır.

• Son - bu adı, ondalık noktadan sonra sınırlı (sonlu) sayıda basamağa sahip olması nedeniyle aldı: 19.25.
• Sonsuz kesir, virgülden sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir sayıdır. Örneğin 10'u 3'e böldüğümüzde sonuç şu olur: sonsuz kesir 3,333…

Kesirleri Ekleme

Kesirlerle çeşitli aritmetik işlemleri gerçekleştirmek, kesirlerle olduğundan biraz daha zordur. sıradan sayılar. Ancak temel kuralları anlarsanız onlarla herhangi bir örneği çözmek zor olmayacaktır.

Örneğin: 2/3+3/4. Bunların en küçük ortak katı 12 olacağından her paydada bu sayının olması gerekir. Bunu yapmak için ilk kesrin payını ve paydasını 4 ile çarpıyoruz, 8/12 çıkıyor, ikinci terim için de aynısını yapıyoruz ama sadece 3 - 9/12 ile çarpıyoruz. Artık örneği kolaylıkla çözebilirsiniz: 8/12+9/12= 17/12. Ortaya çıkan kesir yanlış bir değerdir çünkü pay paydadan büyüktür. 17:12 = 1 ve 5/12'ye bölünerek doğru karışıma dönüştürülebilir ve dönüştürülmelidir.

Karışık kesirler eklenirken önce tam sayılarla, sonra kesirlerle işlemler yapılır.

Örnek bir ondalık kesir ve sıradan bir kesir içeriyorsa, her ikisini de basit hale getirmek, sonra bunları aynı paydaya getirip eklemek gerekir. Örneğin 3,1+1/2. 3.1 sayısı şu şekilde yazılabilir: karışık fraksiyon 3 ve 1/10 veya yanlış - 31/10. Ortak payda terimler için 10 olacaktır, yani 1/2'nin pay ve paydasını sırasıyla 5 ile çarpmanız gerekir, 5/10 elde edersiniz. O zaman her şeyi kolaylıkla hesaplayabilirsiniz: 31/10+5/10=35/10. Elde edilen sonuç uygunsuz indirgenebilir bir kesirdir, bunu azaltıyoruz normal görünüm, 5 azaltılarak: 7/2 = 3 ve 1/2 veya ondalık sayı - 3,5.

2 ondalık kesir eklerken virgülden sonra aynı sayıda rakamın olması önemlidir. Durum böyle değilse, eklemeniz yeterlidir gerekli miktar sıfırlar, çünkü ondalık kesirlerde bu ağrısız bir şekilde yapılabilir. Örneğin, 3,5+3,005. Bu sorunu çözmek için ilk sayıya 2 sıfır ekleyip ardından birer birer eklemeniz gerekir: 3.500+3.005=3.505.

Kesirlerde Çıkarma

Kesirleri çıkarırken, eklerken yaptığınızın aynısını yapmalısınız: ortak bir paydaya azaltın, bir payı diğerinden çıkarın ve gerekirse sonucu karışık kesire dönüştürün.

Örneğin: 16/20-5/10. Ortak payda 20 olacaktır. İkinci kesri bu paydaya getirmeniz gerekiyor, onun her iki kısmını da 2 ile çarparak 10/20 elde edersiniz. Artık örneği çözebilirsiniz: 16/20-10/20= 6/20. Ancak bu sonuç indirgenebilir kesirler için geçerli olduğundan her iki tarafı da 2'ye bölmek gerekir ve sonuç 3/10 olur.

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri bölme ve çarpma - çok daha fazlası basit adımlar toplama ve çıkarmadan daha fazlası. Gerçek şu ki, bu görevleri yerine getirirken ortak bir payda aramaya gerek yok.

Kesirleri çarpmak için her iki payı da birer birer çarpmanız ve ardından her iki paydayı da çarpmanız yeterlidir. Kesir indirgenebilir bir miktar ise, ortaya çıkan sonucu azaltın.

Örneğin: 4/9x5/8. Alternatif çarpma işleminden sonra sonuç 4x5/9x8=20/72 olur. Bu kesir 4'e kadar azaltılabilir, dolayısıyla örnekteki son cevap 5/18'dir.

Kesirler nasıl bölünür

Kesirleri bölmek de basit bir işlemdir; aslında mesele yine de onları çarpmaktır. Bir kesri diğerine bölmek için ikinciyi ters çevirip birinciyle çarpmanız gerekir.

Örneğin 5/19 ve 5/7 kesirlerini bölmek. Örneği çözmek için ikinci kesrin paydasını ve payını değiştirip çarpmanız gerekir: 5/19x7/5=35/95. Sonuç 5 azaltılabilir - 7/19 çıkıyor.

Bir kesri asal sayıya bölmeniz gerekiyorsa teknik biraz farklıdır. Başlangıçta bu sayıyı uygunsuz bir kesir olarak yazmalı ve ardından aynı şemaya göre bölmelisiniz. Örneğin 2/13:5 2/13:5/1 şeklinde yazılmalıdır. Şimdi 5/1'i çevirip elde edilen kesirleri çarpmanız gerekiyor: 2/13x1/5= 2/65.

Bazen karışık kesirleri bölmeniz gerekir. Onlara tam sayılarda olduğu gibi davranmalısınız: onları bileşik kesirlere dönüştürün, böleni ters çevirin ve her şeyi çarpın. Örneğin, 8 ½: 3. Her şeyi bileşik kesirlere dönüştürün: 17/2: 3/1. Bunu 3/1 çevirme ve çarpma takip eder: 17/2x1/3= 17/6. Şimdi yanlış kesri doğru kesre çevirmelisiniz: 2 tam ve 5/6.

Yani kesirlerin ne olduğunu ve onlarla çeşitli aritmetik işlemleri nasıl gerçekleştirebileceğinizi anladıktan sonra, bunu unutmamaya çalışmalısınız. Sonuçta, insanlar her zaman bir şeyi eklemek yerine parçalara ayırmaya daha eğilimlidirler, bu nedenle bunu doğru şekilde yapabilmeniz gerekir.

Uygun kesir

Çeyrekler

1. Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; iki pozitif olmayan sayılar A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- o zaman negatif A > B.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Kesirleri Ekleme Ekleme işlemi. A Ve B Herhangi bir rasyonel sayı için sözde var toplama kuralı C toplama kuralı. Aynı zamanda sayının kendisi isminde miktar A Ve B sayılar ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplama .
3. . Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: Ekleme işlemi. A Ve B Herhangi bir rasyonel sayı için Çarpma işlemi.çarpma kuralı toplama kuralı C toplama kuralı. Aynı zamanda sayının kendisi onlara bazı rasyonel sayılar atar miktar A Ve B iş ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denirçarpma .
4. . Çarpma kuralı şuna benzer: Sıra ilişkisinin geçişliliği. A , B Ve toplama kuralı Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A Eğer B Ve B Eğer toplama kuralı az A Eğer toplama kuralı, O A ve eğer B Ve B ve eğer toplama kuralı az A ve eğer toplama kuralı eşittir
5. . 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez. Eklemenin ilişkilendirilebilirliği. Emir
6. üç ekleme Rasyonel sayılar sonucu etkilemez.
7. Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
8. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
11. Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
12. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
13. Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Sola ve sağ taraf rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyebilirsiniz.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arşimet Aksiyomu. A Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tam sayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek mantıklıdır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. J Ben kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada

- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve

- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir. Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü hiçbir şekilde ifade edilemez. rasyonel sayı

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek yaratır yanıltıcı izlenim Rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Pisagor teoreminden, bir dik üçgenin hipotenüsünün, dik kenarlarının kareleri toplamının karekökü olarak ifade edildiğini biliyoruz. O. bir ikizkenarın hipotenüs uzunluğu dik üçgen birim ayağı olan bir sayıya eşittir, yani karesi 2 olan bir sayıya.

Bir sayının herhangi bir rasyonel sayı ile temsil edilebileceğini varsayarsak, o zaman böyle bir tamsayı vardır. M ve böyle bir doğal sayı N, bu ve kesir indirgenemez, yani sayılar M Ve N- karşılıklı olarak basit.

Eğer öyleyse yani M 2 = 2N 2. Bu nedenle sayı M 2 çifttir ama ikisinin çarpımıdır tek sayılar tek, yani sayının kendisi M ayrıca hatta. Yani bir doğal sayı var k, öyle ki sayı Mşeklinde temsil edilebilir M = 2k. Sayı karesi M bu anlamda M 2 = 4k 2 ama öte yandan M 2 = 2N 2, 4 anlamına gelir k 2 = 2N 2 veya N 2 = 2k 2. Sayı için daha önce gösterildiği gibi M, bu şu anlama gelir: sayı N- hatta M. Ama ikisi de ikiye bölündüğü için aralarında asal değiller. Ortaya çıkan çelişki bunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlıyor.