İntegralleri şu şekilde ifade edilen en önemli fonksiyon sınıflarından biri: temel işlevler, rasyonel fonksiyonların bir sınıfıdır.

Tanım 1. Formun işlevi
- derece polinomlarıNVeMrasyonel denir. Tüm rasyonel fonksiyon, yani polinom, doğrudan integral alır. Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali, standart bir şekilde ana tablo integrallerine dönüştürülen terimlere ayrıştırılarak bulunabilir.

Tanım 2. Kesir
payın derecesi doğruysa doğru denirNaz payda güçleri M. Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya ona eşit olduğu kesire uygunsuz kesir denir.

Herhangi bir uygunsuz kesir bir polinomun toplamı olarak temsil edilebilir ve uygun kesir. Bu, sayıları bölmek gibi bir polinomu bir polinoma bölerek yapılır.

Örnek.

Bir kesir hayal edelim
bir polinom ve uygun bir kesirin toplamı olarak:

x - 1

İlk dönem
bölümde, baştaki terimin bölünmesi sonucu elde edilir
, baş terime bölünür X bölücü Sonra çarpıyoruz
bölen başına x-1 ve ortaya çıkan sonuç temettüden düşülür; Eksik bölümün geri kalan terimleri de benzer şekilde bulunur.

Polinomları böldüğümüzde şunu elde ederiz:

Bu eyleme bir parçanın tamamının seçilmesi denir.

Tanım 3. En basit kesirler, aşağıdaki türlerin uygun rasyonel kesirleridir:

BEN.

II.
(K=2, 3,…).

III.
kare trinomial nerede

IV.
burada K=2, 3, …; ikinci dereceden üç terimli
gerçek kökleri yoktur.

a) paydayı genişlet
en basit gerçek faktörlere (cebirin temel teoremine göre, bu genişleme şu formdaki doğrusal binomları içerebilir:
ve ikinci dereceden trinomialler
, kökleri olmayan);

b) belirli bir kesirin basit kesirlerin toplamına ayrışmasının bir diyagramını yazın. Ayrıca formun her bir faktörü
karşılık gelir k tip I ve II'nin bileşenleri:

formun her faktörüne
III ve IV tipi e şartlarına karşılık gelir:

Örnek.

Kesir genişletme şemasını yazın
en basitinin toplamı.

c) elde edilen en basit kesirlerin toplamasını yapın. Ortaya çıkan ve orijinal kesirlerin paylarının eşitliğini yazın;

d) karşılık gelen genişlemenin katsayılarını bulun:
(çözüm yöntemleri aşağıda tartışılacaktır);

e) katsayıların bulunan değerlerini ayrıştırma şemasına değiştirin.

Herhangi bir uygun rasyonel kesirin ayrıştırıldıktan sonra en basit terimlerle bütünleştirilmesi, aşağıdaki türlerden birinin integrallerini bulmaya indirgenir:

(k Ve e =2, 3, …).

İntegralin hesaplanması formül III'e indirgenir:

integral - formül II'ye:

integral ikinci dereceden bir üç terimli içeren fonksiyonların entegrasyon teorisinde belirtilen kuralla bulunabilir; - aşağıda örnek 4'te gösterilen dönüşümler yoluyla.

Örnek 1.

a) paydayı çarpanlarına ayırın:

b) integrali terimlere ayırmak için bir diyagram yazın:

c) basit kesirlerin eklenmesini gerçekleştirin:

Kesirlerin paylarının eşitliğini yazalım:

d) Bilinmeyen katsayılar A, B, C'yi bulmak için iki yöntem vardır.

İki polinom ancak ve ancak katsayıları eşitse eşittir eşit derece X, böylece karşılık gelen denklem sistemini oluşturabilirsiniz. Bu çözüm yöntemlerinden biridir.

Katsayılar

ücretsiz üyeler (katsayısı ):4A=8.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: A=2, B=1, C= - 10.

Diğer bir yöntem olan özel değerler ise aşağıdaki örnekte ele alınacaktır;

e) bulunan değerleri ayrıştırma şemasına değiştirin:

Ortaya çıkan toplamı integral işareti altında yerine koyarsak ve her terimi ayrı ayrı entegre edersek şunu buluruz:

Örnek 2.

Kimlik, içinde yer alan bilinmeyenlerin her türlü değeri için geçerli olan bir eşitliktir. Buna dayanarak özel değer yöntemi. Verilebilir X herhangi bir değer. Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri ortadan kaldıran değerlerin alınması hesaplamalar için daha uygundur.

İzin vermek x = 0. Daha sonra 1 = Bir 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Benzer şekilde x = - 2 sahibiz 1= - 2V*(-3), en x = 1 sahibiz 1 = 3A.

Buradan,

Örnek 3.

d) İlk önce kısmi değer yöntemini kullanıyoruz.

İzin vermek x = 0, Daha sonra 1 = Bir 1, Bir = 1.

Şu tarihte: x = - 1 sahibiz - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) veya 6 = - 3V, B = - 2.

C ve D katsayılarını bulmak için iki denklem daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için başka değerleri de alabilirsiniz X, Örneğin x = 1 Ve x = 2. İlk yöntemi kullanabilirsiniz, yani. herhangi bir özdeş güçteki katsayıları eşitleyin Xörneğin ne zaman Ve . Aldık

1 = A+B+C ve 4 = C +D- İÇİNDE.

bilmek bir = 1, B = -2, bulacağız C = 2, D = 0 .

Böylece katsayılar hesaplanırken her iki yöntem de birleştirilebilir.

Son integral yeni bir değişken belirleme yönteminde belirtilen kurala göre ayrı ayrı buluyoruz. Vurgulayalım mükemmel kare paydada:

diyelimki
Daha sonra
Şunu elde ederiz:

Önceki eşitliği yerine koyarsak, şunu buluruz:

Örnek 4.

Bulmak

Entegrasyonla elimizde:

Birinci integrali formül III'e dönüştürelim:

İkinci integrali formül II'ye dönüştürelim:

Üçüncü integralde değişkeni değiştiriyoruz:

(Dönüşümleri gerçekleştirirken trigonometri formülünü kullandık

İntegralleri bulun:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Kendi kendine test soruları.

Bu rasyonel kesirlerden hangisi doğrudur:

2. Bir kesri basit kesirlerin toplamına ayırma şeması doğru yazılmış mı?

İşte sunuyoruz detaylı çözümler aşağıdaki rasyonel kesirlerin entegrasyonuna ilişkin üç örnek:
, , .

örnek 1

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada integral işaretinin altında rasyonel bir fonksiyon vardır, çünkü integrand polinomların bir kesridir. Payda polinom derecesi ( 3 ) pay polinomunun derecesinden küçüktür ( 4 ). Bu nedenle öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir.

1. Kesirin tamamını seçelim. x'i böl 4 x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Buradan
.

2. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için kübik denklemi çözmeniz gerekir:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x = yerine koyalım 1 :
.

1 . x'e böl - 1 :

Buradan
.
Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem.
.
Denklemin kökleri: , .
Daha sonra
.

3. Kesri en basit haline ayıralım.

.

Böylece şunu bulduk:
.
Haydi entegre olalım.

Cevap

Örnek 2

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada kesrin payı sıfır dereceli bir polinomdur ( 1 =x0). Payda üçüncü dereceden bir polinomdur. Çünkü 0 < 3 ise kesir doğrudur. Bunu basit kesirlere ayıralım.

1. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tane olduğunu varsayalım bütün kök. O halde bu sayının böleni 3 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 3, -1, -3 .
x = yerine koyalım 1 :
.

Böylece bir kök x = bulduk 1 . x'i böl 3 + 2 x - 3 x'te - 1 :

Bu yüzden,
.

İkinci dereceden denklemin çözümü:
X 2 + x + 3 = 0.
Diskriminantı bulun: D = 1 2 - 4 3 = -11. D'den beri< 0 ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Böylece paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ettik:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x = yerine koyalım 1 . O zaman x - 1 = 0 ,
.

yerine koyalım (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

hadi eşitleyelim (2.1) x için katsayılar 2 :
;
0 = A + B;
.

3. Haydi entegre olalım.
(2.2) .
İkinci integrali hesaplamak için paydaki paydanın türevini izole edip paydayı kareler toplamına indirgeriz.

;
;
.

I hesapla 2 .

.
Denklemden beri x 2 + x + 3 = 0 gerçek kökleri yoktur, bu durumda x 2 + x + 3 > 0. Bu nedenle modül işareti ihmal edilebilir.

teslim ediyoruz (2.2) :
.

Cevap

Örnek 3

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada integral işaretinin altında polinomların bir kısmı var. Bu nedenle integral rasyonel bir fonksiyondur. Paydaki polinomun derecesi eşittir 3 . Kesirin paydasının polinomunun derecesi şuna eşittir: 4 . Çünkü 3 < 4 ise kesir doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrıştırılabilir. Ancak bunu yapmak için paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir.

1. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için dördüncü derecenin denklemini çözmeniz gerekir:
.
En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni 2 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

Böylece bir kök x = bulduk -1 . x'e böl - (-1) = x + 1:

Bu yüzden,
.

Şimdi üçüncü derece denklemi çözmemiz gerekiyor:
.
Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

Böylece başka bir kök x = bulduk -1 . Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız:
.

Denklemden beri x 2 + 2 = 0 gerçek kökleri olmadığında paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.

2. Kesri en basit haline ayıralım. Şu formda bir genişletme arıyoruz:
.
Kesrin paydasından kurtuluruz, ile çarparız (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
x = yerine koyalım -1 . Sonra x + 1 = 0 ,
.

Haydi farklılaşalım (3.1) :

;

.
x = yerine koyalım -1 ve şunu hesaba katın: x + 1 = 0 :
;
; .

yerine koyalım (3.1) x = 0 :
0 = 2 Bir + 2 B + D;
.

hadi eşitleyelim (3.1) x için katsayılar 3 :
;
1 =B+C;
.

Böylece basit kesirlere ayrıştırmayı bulduk:
.

3. Haydi entegre olalım.

.

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali.
Yöntem belirsiz katsayılar

Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda devamı sayılabilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, sistemleri çözmekle meşgul olacağız. doğrusal denklemler. Bu konuda acilen Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit kelimelerle Kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı Kesirlerin İntegrali.

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu

Hemen bir örnek ve standart algoritma Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralinin çözümleri.

örnek 1

Aşama 1. Kesirli rasyonel bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey şunu bulmaktır: sonraki soru: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak yapılır ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun bariz yolu parantezleri açmak ve getirmektir. benzer terimler, ancak bunu daha kolay yapabilirsiniz her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece alamayacağımız çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Eğer içindeyse bu örnekte pay polinomu 3, 4, 5 vb. içeriyordu. derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesine eşit veya büyük olması durumu ders sonunda tartışılacaktır.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize şunu soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. İkinci dereceden denklemin çözümü:

diskriminant Sıfırın üstünde Bu, trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Payda çarpanlarına alınabilecek HER ŞEY - çarpanlara ayırıyoruz

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor: büyük kesir birkaç küçük şeye dönüşüyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, ilgili teorem matematiksel analiz iddia ediyor - MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, ihtimaller Hoşçakal Bilmiyoruz, bu nedenle adı belirsiz katsayılar yöntemidir.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, detaylı olarak sadece bir kez anlatacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Bakış açısından net açıklama Katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak bunu zamandan tasarruf etmek için asla yapmıyorsam da):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
Öncelikle son derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareyi her zaman sıfırla atayabileceğiniz için: Sağ tarafta hiçbir değişken yoksa ve/veya Ücretsiz Üye sonra sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh... şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda yardımcı doçent, terimleri sayı doğrusuna dağıtıp en büyüklerini seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi sistemin 2. ve 3. denklemlerinde ifade edip yerine koyuyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda 1. denklemden tam olarak ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada her şey o kadar da zor değil: doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz belirsiz integral ve entegre edin. Lütfen üç integralin her birinin altında "serbest" ifadesinin bulunduğunu unutmayın. karmaşık fonksiyon, sınıfa entegrasyonunun özelliklerinden bahsettim Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Aşama 1. Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Kare üç terimli yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı bir esere dönüşmemektedir. Kapüşon. Az iş.

Aşama 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci kuvveti “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), payda ayrıştırırken yazmanız gerekir doğrusal fonksiyon belirsiz katsayılarla (bizim durumumuzda belirsiz katsayılarla ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Aşama 1. Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. Bazı Kesirlerin İntegrali.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde tam kareyi izole etmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı) Bazı Kesirlerin İntegrali).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.

KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.

Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış bazı özellikler Karışık sayılar ve bunlara yönelik operasyonlar.

Basit rasyonel kesirlerin integrali.

Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.

Bayıldım uygunsuz kesirşu şekilde temsil edilebilir: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).

Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.

Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.

3) (daha önce okuduk).

Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).

Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 1.

Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :

Örnek 2.

Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 3.

Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'ün basit kesirleri olacaktır. türleri:

Verilen açılımlardaki bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:

1. Eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.

2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.

3. kombine yöntem.

Örnek 5. Bir kesri genişletin en basitine.

Çözüm:

A ve B katsayılarını bulalım.

Yöntem 1 - özel değer yöntemi:

Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:

Cevap:

Rasyonel kesirlerin integrali.

Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesrin paydasının bulunmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali sıfıra eşit, rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar gibi temel fonksiyonlarla bulunur ve ifade edilir.

Kanıt.

Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: . Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X) ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.

Yorum. Bu durumda asıl zorluk, paydanın faktörlere ayrıştırılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.

Örnek 1. İntegrali bulun

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin entegrasyonu Rasyonel kesirlerin entegrasyonu için genel kural

derece polinomu Kesirli-rasyonel fonksiyon Kesirli-rasyonel fonksiyon bir fonksiyondur orana eşit iki polinom: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m ise rasyonel kesir denir.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygun olmayan bir kesri azaltın doğru tür: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir, ayrıca basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu şu şekilde açıklayalım: aşağıdaki örnekler: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayı karşılaştırma yöntemi ve kısmi değişken değerleri yöntemi. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını orijinal kesirlere eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali İntegral bu türden ikame kullanarak: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, bunu belirsiz katsayılı basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırarak veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirsiz katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx