Entegrasyon kesirli rasyonel fonksiyon.
Yöntem belirsiz katsayılar

Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda devamı sayılabilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, sistemleri çözmekle meşgul olacağız. doğrusal denklemler. Bu konuda acilen Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit kelimelerle Kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı Kesirlerin İntegrali.

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu

Hemen bir örnek ve standart algoritma Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralinin çözümleri.

Örnek 1

Adım 1. Kesirli rasyonel bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey şunu bulmaktır: sonraki soru: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak yapılır ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun bariz yolu parantezleri açmak ve getirmektir. benzer terimler, ancak bunu daha kolay yapabilirsiniz her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece alamayacağımız çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Eğer içindeyse bu örnekte pay polinom 3, 4, 5 vb.'yi içeriyordu. derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesine eşit veya büyük olması durumu ders sonunda tartışılacaktır.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize şunu soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem:

diskriminant sıfırdan büyük Bu, trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Paydadaki HER ŞEY çarpanlara ayrılabilir - çarpanlara ayrılabilir

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor: büyük kesir birkaç küçük parçaya dönüşüyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, ilgili teorem matematiksel analiz iddia ediyor - MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, ihtimaller Güle güle Bilmiyoruz, dolayısıyla adı belirsiz katsayılar yöntemi.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, detaylı olarak sadece bir kez anlatacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Bakış açısından net açıklama Katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak bunu zamandan tasarruf etmek için asla yapmıyorsam da):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
Öncelikle son derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareyi her zaman sıfırla atayabileceğiniz için: Sağ tarafta hiçbir değişken yoksa ve/veya ücretsiz üye sonra sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh... şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda yardımcı doçent, terimleri sayı doğrusuna dağıtıp en büyüklerini seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi ifade edip sistemin 2. ve 3. denklemlerine yerleştiriyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda 1. denklemden tam olarak ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse orada. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada her şey o kadar da zor değil: doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz belirsiz integral ve entegre edin. Lütfen üç integralin her birinin altında "serbest" ifadesinin bulunduğunu unutmayın. karmaşık fonksiyon, sınıfa entegrasyonunun özelliklerinden bahsettim Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Adım 1. Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Kare üç terimli yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı bir esere dönüşmemektedir. Kapüşon. Daha az iş.

Adım 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci üssü “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), payda ayrıştırırken yazmanız gerekir doğrusal fonksiyon belirsiz katsayılarla (bizim durumumuzda belirsiz katsayılarla ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Adım 1. Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Adım 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. Bazı Kesirlerin İntegrali.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde yalnızlaşmaya başlıyoruz mükemmel kare(dersin sondan bir önceki paragrafı Bazı Kesirlerin İntegrali).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.

Aşağıdakiler de dahil olmak üzere fonksiyonların entegrasyonuna ilişkin test çalışmaları: rasyonel kesirler 1. ve 2. sınıf öğrencilerine soruldu. İntegral örnekleri esas olarak matematikçilerin, ekonomistlerin ve istatistikçilerin ilgisini çekecektir. Bu örnekler soruldu deneme çalışması LNU'da onun adıyla anılıyor. Ben Frank. Şartlar aşağıdaki örnekler"İntegral bulun" veya "İntegral hesaplayın", böylece yerden ve zamandan tasarruf etmek için bunlar yazılmamıştır.

Örnek 15. Kesirli-rasyonel fonksiyonların integraline geldik. Onlar işgal etti özel yerİntegraller arasında, çünkü hesaplamak ve öğretmenlerin yalnızca integralle ilgili değil, bilginizi test etmelerine yardımcı olmak da çok zaman gerektirir. İntegralin altındaki fonksiyonu basitleştirmek için payda, integralin altındaki fonksiyonu iki basit ifadeye bölmemizi sağlayacak bir ifade ekleyip çıkarıyoruz.

Sonuç olarak, oldukça hızlı bir şekilde bir integral buluyoruz, ikincisinde kesri temel kesirlerin toplamına genişletmemiz gerekiyor

Ortak bir paydaya indirgendiğinde aşağıdaki sayıları elde ederiz

Daha sonra parantezleri açın ve gruplayın

Değeri eşitliyoruz eşit derece Sağda ve solda "X". Sonuç olarak, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden (SLAE) oluşan bir sisteme ulaşıyoruz.

Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Sonunda alacaksın sonraki çözüm SLAU
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz

Bu, örneği sonlandırıyor.

Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlangıç olarak kübik denklem Kesirin paydasında bulunan, onu basit faktörlere ayıracağız

Daha sonra kesri daha basit parçalara ayırıyoruz

Hadi bir araya getirelim sağ taraf ortak paydaya gidin ve paydaki parantezleri açın.

Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim

Hadi değiştirelim A, B, C değerleri genişlemeye girin ve integrali hesaplayın

İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.

Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu ikiye ayırıyoruz asal faktörler

Daha fazla alınan kesirli fonksiyon tutarı yaz basit kesirler ve onları altına getir ortak payda

Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

Buradan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz

bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz:

Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
Benzer örneklerİnternette rasyonel kesirlerin integrali hakkında çok şey var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bu sadece fikirlerden oluştuğu içindir... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının veya şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

İlk bölümde oldukça ilkellerin var olduğuna dikkat çekildi. basit işlevler artık aracılığıyla ifade edilemeyen temel işlevler. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki oranını temsil eden cebirsel polinomlar. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisi olarak adlandırılır:

nerede ve polinomlardır.

şunu hatırlatalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon ) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede – gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi takdirde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesirin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şu şekilde sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

3) ,

4) ,

bir tamsayı nerede, yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

1. ve 2. türdeki basit kesirlerin entegrasyonu büyük zorluklar yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki ikame yoluyla görünüşe geliyor

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

Çözüm . Dikkat . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun

KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.

Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış Karmaşık sayıların bazı özellikleri ve bunlarla ilgili işlemler.

Basit rasyonel kesirlerin integrali.

Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. Buna denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.

Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).

Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.

Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.

3) (daha önce okuduk).

Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).

Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 1.

Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :

Örnek 2.

Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 3.

Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'ün basit kesirleri olacaktır. türleri:

Yukarıdaki açılımlarda bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:

1. eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.

2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.

3. kombine yöntem.

Örnek 5. Bir kesri genişletin en basitine.

Çözüm:

A ve B katsayılarını bulalım.

Yöntem 1 - özel değer yöntemi:

Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:

Cevap:

Rasyonel kesirlerin integrali.

Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesirin, paydasının sıfıra eşit olmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali mevcuttur ve temel işlevler, yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar aracılığıyla ifade edilir.

Kanıt.

Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: . Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X) ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.