Çok değişkenli fonksiyonların ekstremumları. Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir ekstremum için yeterli koşul. Koşullu ekstremum. Lagrange çarpan yöntemi. En büyük ve en küçük değerleri bulma.

Ders 5.

Tanım 5.1. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde maksimum nokta işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) > f(x,y) tüm noktalar için (x, y) M 0.

Tanım 5.2. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde minimum puan işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) < f(x,y) tüm noktalar için (x, y) bir noktanın mahallesinden M 0.

Not 1. Maksimum ve minimum noktalar denir ekstrem noktalarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları.

Açıklama 2. Herhangi sayıda değişkenli bir fonksiyonun ekstrem noktası benzer şekilde belirlenir.

Teorem 5.1(bir ekstremum için gerekli koşullar). Eğer M 0 (x 0, y 0)– fonksiyonun ekstrem noktası z = f(x,y), o zaman bu noktada bu fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri sıfıra eşittir veya yoktur.

Kanıt.

Değişkenin değerini sabitleyelim en, sayma y = y 0. Daha sonra fonksiyon f (x, y 0) bir değişkenin fonksiyonu olacak X, hangisi için x = x 0 ekstrem noktadır. Dolayısıyla Fermat teoremine göre ya yoktur. Aynı ifade benzer şekilde için de kanıtlanmıştır.

Tanım 5.3.Çok değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesine ait, fonksiyonun kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. sabit noktalar bu fonksiyon.

Yorum. Bu nedenle, uç noktaya yalnızca sabit noktalarda ulaşılabilir, ancak bunların her birinde gözlemlenmesi zorunlu değildir.

Teorem 5.2 (yeterli koşullar ekstremum). Noktanın bir mahallesine izin ver M 0 (x 0, y 0) fonksiyonun durağan noktası olan z = f(x,y), bu fonksiyonun 3. dereceye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. O halde şunu belirtelim:

1) f(x,y)şu noktada var M 0 maksimum ise AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x,y)şu noktada var M 0 minimum ise AC-B² > 0, A > 0;

3) Kritik noktada hiçbir ekstremum yoksa AC-B² < 0;

4) eğer AC-B² = 0, daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Kanıt.

Fonksiyonun ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım. f(x,y), Durağan bir noktada birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğunu hatırlayarak:

Nerede Segment arasındaki açı ise M 0 M, Nerede M (x0 +Δ x, y 0 +Δ en) ve O ekseni Xφ'yi belirtin, ardından Δ x =Δ ρ çünkü φ, Δ y =Δρsinφ. Bu durumda Taylor formülü şu şekli alacaktır: . O halde parantez içindeki ifadeyi şu şekilde bölüp çarpabiliriz: A. Şunu elde ederiz:

Şimdi dördünü ele alalım olası vakalar:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и yeterince küçük Δρ'da. Bu nedenle bazı mahallelerde M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ e)< f (x 0, y 0), yani M 0– maksimum nokta.

2) izin ver AC-B² > 0, bir > 0. Daha sonra , Ve M 0– minimum puan.

3) İzin ver AC-B² < 0, A> 0. φ = 0 ışını boyunca argümanların artışını düşünün. Daha sonra (5.1)'den şu sonuç çıkar: yani bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon artar. Eğer bir ışın boyunca tg olacak şekilde hareket edersek φ 0 = -A/B, O bu nedenle bu ışın boyunca hareket ederken fonksiyon azalır. Yani, dönem M 0 bir ekstrem nokta değildir.

3`) Ne zaman AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

öncekine benzer.

3``) Eğer AC-B² < 0, A= 0 ise . burada. O halde yeterince küçük φ için 2 ifadesi Bçünküφ + C sinφ 2'ye yakın İÇİNDE yani sabit bir işareti korur, ancak sinφ noktanın yakınında işaret değiştirir M 0. Bu, fonksiyonun artışının sabit bir noktanın yakınında işaret değiştirdiği anlamına gelir; bu nedenle bu bir uç nokta değildir.

4) Eğer AC-B² = 0 ve , yani artışın işareti 2α 0'ın işaretiyle belirlenir. Aynı zamanda, bir ekstremumun varlığı sorusunu açıklığa kavuşturmak için daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.

Örnek. Fonksiyonun ekstremum noktalarını bulalım z = x² - 2 xy + 2sen² + 2 X. Durağan noktaları bulmak için sistemi çözüyoruz . Yani durağan nokta (-2,-1)'dir. burada bir = 2, İÇİNDE = -2, İLE= 4. Sonra AC-B² = 4 > 0 olduğundan, sabit bir noktada bir uç noktaya, yani minimuma ulaşılır (çünkü A > 0).

Tanım 5.4. Eğer fonksiyon bağımsız değişkenleri ise f (x 1 , x 2 ,…, x n) bağlı ek koşullar gibi M denklemler ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,φ2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olduğu durumda, denklemler (5.2) çağrılır bağlantı denklemleri.

Tanım 5.5. Fonksiyonun ekstremumu f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında buna denir. koşullu ekstremum.

Yorum. İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunun aşağıdaki geometrik yorumunu sunabiliriz: fonksiyonun argümanları f(x,y)φ denklemiyle ilişkilidir (x,y)= 0, O düzleminde bir eğri tanımlıyor xy. Bu eğrinin her noktasından O düzlemine dik açıların yeniden oluşturulması xy yüzeyle kesişene kadar z = f(x,y),φ eğrisinin üzerindeki yüzeyde uzanan uzamsal bir eğri elde ederiz (x,y)= 0. Görev, ortaya çıkan eğrinin uç noktalarını bulmaktır. Genel dava fonksiyonun koşulsuz uç noktalarıyla çakışmıyor f(x,y).

İki değişkenli bir fonksiyon için koşullu bir ekstremum için gerekli koşulları ilk önce aşağıdakileri tanıtarak belirleyelim: aşağıdaki tanım:

Tanım 5.6.İşlev L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Nerede λi – bazıları sabittir, denir Lagrange işlevi ve sayılar λi– belirsiz faktörler Lagrange.

Teorem 5.3(koşullu bir ekstremum için gerekli koşullar). Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(x,y) birleştirme denkleminin varlığında φ ( x, y)= 0'a yalnızca Lagrange fonksiyonunun sabit noktalarında ulaşılabilir L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Kanıt. Bağlantı denklemi örtülü bir ilişkiyi belirtir en itibaren X, bu nedenle şunu varsayacağız: en bir fonksiyon var X: y = y(x). Daha sonra z karmaşık bir fonksiyon var X ve kritik noktaları duruma göre belirlenir: . (5.4) Bağlantı denkleminden şu sonuç çıkar: . (5.5)

Eşitliği (5.5) bir λ sayısıyla çarpıp (5.4)'e ekleyelim. Şunu elde ederiz:

, veya .

Son eşitlik sabit noktalarda sağlanmalıdır ve buradan şu sonuç çıkar:

(5.6)

Üç bilinmeyen için üç denklemden oluşan bir sistem elde edilir: x, y ve λ ve ilk iki denklem Lagrange fonksiyonunun durağan noktasının koşullarıdır. Yardımcı bilinmeyen λ'yı sistemden (5.6) hariç tutarak, orijinal fonksiyonun koşullu bir ekstremuma sahip olabileceği noktaların koordinatlarını buluruz.

Açıklama 1. Bulunan noktada koşullu bir ekstremun varlığı, Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevlerinin Teorem 5.2'ye benzetilerek incelenmesiyle kontrol edilebilir.

Açıklama 2. Fonksiyonun koşullu uç noktasına ulaşılabilecek noktalar f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (5.2) karşılandığında sistemin çözümleri olarak tanımlanabilir. (5.7)

Örnek. Fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulalım z = xy verilen x + y= 1. Lagrange fonksiyonunu oluşturalım L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) şuna benzer:

Burada -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. burada L(x,y)şeklinde temsil edilebilir L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dolayısıyla bulunan durağan noktada L(x,y) bir maksimuma sahiptir ve z = xy – koşullu maksimum

z - /(x, y) fonksiyonu bir D bölgesinde tanımlansın ve Mo(xo, Vo) bu bölgenin bir iç noktası olsun. Tanım. Tüm koşulları sağlayanlar için eşitsizliğin doğru olduğu bir sayı varsa, o zaman Mo(xo, y) noktasına /(x, y) fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir; eğer tüm Dx, Du için koşulları sağlıyorsa | o zaman Mo(xo,yo) noktasına ince yerel minimum denir. Başka bir deyişle, M0(x0, y0) noktası, eğer A/o(x0, y0) noktasının 6'lı bir komşuluğu varsa, f(x, y) fonksiyonunun maksimum veya minimum noktasıdır; Bunun M(x, y) noktaları komşuluğunda, fonksiyonun artışı işaretini korur. Örnekler. 1. Fonksiyon noktası için - minimum nokta (Şek. 17). 2. Fonksiyon için 0(0,0) noktası maksimum noktadır (Şekil 18). 3. Bir fonksiyon için 0(0,0) noktası yerel maksimum noktadır. 4 Aslında, 0(0, 0) noktasının bir komşuluğu vardır, örneğin j yarıçaplı bir daire (bkz. Şekil 19), herhangi bir noktada 0(0,0) noktasından farklı olarak, fonksiyonun değeri /(x,y) 1'den küçük = Fonksiyonların yalnızca kesin maksimum ve minimum noktalarını şu durumlarda dikkate alacağız: katı eşitsizlik veya katı eşitsizlik, Mq noktasının bazı delinmiş 6-komşuluğundaki tüm M(x) y) noktaları için geçerlidir. Bir fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine maksimum, minimum noktasındaki değerine ise bu fonksiyonun minimumu denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına fonksiyonun ekstrem noktaları denir ve fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına da ekstremum noktaları denir. Teorem 11 (bir ekstremum için gerekli koşul). Eğer Extremum fonksiyonu birden fazla fonksiyonun fonksiyonu ise Değişkenler Kavramıçok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Maksimum ve en küçük değer sürekli fonksiyonlar noktasında bir ekstremum varsa, bu noktada her kısmi türev u ya yok olur ya da yoktur. M0(x0, yо) noktasında z = f(x) y) Fonksiyonunun bir ekstremumu olsun. Y değişkenine oo değerini verelim. O zaman z = /(x, y) fonksiyonu bir x değişkeninin fonksiyonu olacaktır. x = xo'da bir ekstremuma (maksimum veya minimum, Şekil 20) sahip olduğundan, x'e göre türevi = “o, | (*o,l>)" Sıfıra eşit veya yok. Benzer şekilde)'nin ya sıfıra eşit olduğuna ya da olmadığına inanıyoruz. = 0 ve χ = 0 olan veya bulunmayan noktalara kritik denir. fonksiyonun noktaları z = Dx, y). $£ = φ = 0 olan noktalara aynı zamanda fonksiyonun durağan noktaları da denir. Teorem 11 yalnızca ekstremum için yeterli olmayan gerekli koşulları ifade eder. 20 türevde sıfırdır. Ancak bu fonksiyon strumun imvatında incedir. Aslında fonksiyon 0(0,0) noktasında sıfıra eşittir ve M(x,y) noktalarında pozitif değerler alır. 0(0,0) noktasına keyfi olarak yakın, yani ve negatif değerler. Bunun için, (0, y) noktalarındaki noktalarda, keyfi olarak küçük olan 0(0,0) noktasına, belirtilen tipte bir mini-maks noktası denir (Şekil 21). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem 12 (iki değişkenli bir ekstremum için yeterli koşullar). Mo(xo»Yo) noktası f(x, y) fonksiyonunun sabit bir noktası olsun ve / noktasının bazı komşuluklarında, Mo noktasının kendisi de dahil olmak üzere, f(z, y) fonksiyonunun sürekli kısmi türevleri olsun ikinci sıraya kadar (dahil). Mo(xo, V0) noktasında /(xo, y) fonksiyonunun bir ekstremumu yoktur, eğer D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) fonksiyonunun ekstremumu mevcut olabilir veya olmayabilir. Bu durumda ileri araştırmalara ihtiyaç vardır. m Kendimizi teoremin 1) ve 2) numaralı ifadelerini kanıtlamakla sınırlayalım. /(i, y) fonksiyonu için ikinci dereceden Taylor formülünü yazalım: burada. Koşula göre, D/ artışının işaretinin (1)'in sağ tarafındaki üç terimlinin işareti, yani ikinci diferansiyel d2f'nin işareti tarafından belirlendiği açıktır. Kısaca belirtelim. O zaman eşitlik (l) şu şekilde yazılabilir: MQ(yani, V0) noktasında elimizde olsun... Koşul gereği, f(s, y) fonksiyonunun ikinci dereceden kısmi türevleri sürekli olduğundan, o zaman (3) eşitsizliği aynı zamanda M0(s0,yo) noktasının bazı komşuluklarında da geçerli olacaktır. Koşul sağlanırsa (А/0 noktasında ve süreklilik nedeniyle /,z(s,y) türevi Af0 noktasının bir komşuluğunda işaretini koruyacaktır. А Ф 0 olduğu bölgede, elimizdeki Bundan açıktır ki, eğer M0(x0) y0 noktasının bir komşuluğunda ЛС - В2 > 0 ise, o zaman AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 üçlüsünün işareti bu noktada A'nın işaretiyle çakışır (yani , V0) (aynı zamanda C işaretiyle de geçerlidir, çünkü AC - B2 > 0 için A ve C farklı işaretlere sahip olamaz). (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) noktasındaki AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 toplamının işareti farkın işaretini belirlediğinden şu sonuca varıyoruz: aşağıdaki sonuca: Eğer sabit bir noktadaki (s0, V0) /(s,y) fonksiyonu koşulu sağlıyorsa, o zaman yeterince küçük || eşitsizlik tatmin edilecektir. Dolayısıyla (sq, V0) noktasında /(s, y) fonksiyonunun maksimumu vardır. Eğer koşul (s0, y0) durağan noktasında karşılanıyorsa, bu durumda tüm yeterince küçük |Dr| ve |Du| eşitsizlik doğrudur, bu da (so,yo) noktasında /(s, y) fonksiyonunun minimuma sahip olduğu anlamına gelir. Örnekler. 1. Fonksiyonu bir ekstremum için araştırın 4 Bir ekstremum için gerekli koşulları kullanarak fonksiyonun durağan noktalarını ararız. Bunu yapmak için u kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitliyoruz. Durağan bir noktadan bir denklem sistemi elde ediyoruz. Şimdi Teorem 12'yi kullanalım. Bu, Ml noktasında bir ekstremum olduğu anlamına gelir. Çünkü bu minimumdur. Eğer r fonksiyonunu forma dönüştürürsek, bunu görmek kolaydır. sağ kısım(") bu fonksiyonun mutlak minimumu olduğunda minimum olacaktır. 2. Fonksiyonu bir ekstremum için inceleyin. Fonksiyonun durağan noktalarını buluyoruz ve bunun için bir denklem sistemi oluşturuyoruz, böylece nokta durağan oluyor. Teorem 12'ye göre M noktasında hiçbir ekstremum olmadığından. * 3. Fonksiyonun ekstremumunu araştırın. Fonksiyonun durağan noktalarını bulun. Denklem sisteminden bunu elde ediyoruz, yani nokta durağandır. Daha sonra Teorem 12'nin bir ekstremun varlığı veya yokluğu hakkındaki soruyu yanıtlamadığını görüyoruz. Bu şekilde yapalım. Tanım gereği so noktasından ve A/o(0,0) noktasından farklı olan tüm noktalara ilişkin bir fonksiyon için r fonksiyonunun mutlak bir minimumu vardır. Benzer hesaplamalarla fonksiyonun noktada bir maksimuma sahip olduğunu, ancak fonksiyonun bu noktada bir ekstremumunun olmadığını tespit ederiz. n bağımsız değişkenden oluşan bir fonksiyonun bir noktada türevi olsun. Teorem 13'e göre (bir ekstremum için yeterli koşullara kadar), Mo noktasına fonksiyonun durağan noktası denir. Fonksiyon tanımlı olsun ve ince Mt(xi...)'nin bazı komşuluklarında ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olsun; bu, ikinci dereceden formda (f fonksiyonunun ikinci dereceden ikinci diferansiyeli pozitifse, durağan bir ince fonksiyondur) Belirli (negatif belirli), f fonksiyonunun minimum noktası (sırasıyla ince maksimum) incedir. İkinci dereceden form (4) işaret dönüşümlü ise, ince LG0'da olup olmadığını belirlemek için hiçbir ekstremum yoktur. olacak. ikinci dereceden form (4) pozitif veya negatif belirli, örneğin ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) kesinliği için Sylvester kriterini kullanabilirsiniz. 15.2. Koşullu ekstremum Şimdiye kadar, fonksiyonun argümanları herhangi bir ek koşula bağlı olmadığında, tüm tanım alanı boyunca bir fonksiyonun yerel ekstremumunu arıyorduk. Bu tür aşırılıklara koşulsuz denir. Bununla birlikte, genellikle koşullu ekstremumların bulunmasında sorunlar yaşanmaktadır. D bölgesinde z = /(x, y) fonksiyonu tanımlı olsun. Bu bölgede bir L eğrisinin verildiğini varsayalım ve f(x> y) fonksiyonunun ekstremumlarını yalnızca bunlar arasında bulmamız gerekiyor. L eğrisinin noktalarına karşılık gelen değerlerinin aynı uç noktalarına, L eğrisi üzerindeki z = f(x) y) fonksiyonunun koşullu ekstremumları denir. Tanım L eğrisi üzerinde yatan bir noktada olduğunu söylerler. M0(x0, V0) noktasının bir komşuluğuna ait olan ve M0(x0, V0) noktasının bazı komşuluklarına ait M(s, y) y) eğrisi L eğrisinin tüm noktalarında eşitsizlik sağlanırsa, f(x, y) fonksiyonu koşullu bir maksimuma (minimum) sahiptir. M0 noktasından (L eğrisi bir denklemle veriliyorsa, o zaman r - f(x,y) fonksiyonunun eğri üzerinde koşullu ekstremumunu bulma problemi şu şekilde formüle edilebilir: x fonksiyonunun ekstremumunu bulun) = /(z, y) D bölgesinde, şu şartla ki, z = y fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulurken, antilop argümanları artık bağımsız değişkenler olarak kabul edilemez: birbirleriyle şu şekilde ilişkilidirler: ilişki y) = 0, buna bağlantı denklemi denir. Koşulsuz ve koşullu ekstremum arasındaki ayrımı açıklığa kavuşturmak için, fonksiyonun koşulsuz maksimumunun (Şekil 23) bire eşit olduğu ve (0,0) noktasında elde edildiği bir örneğe bakalım. M noktasına karşılık gelir - pvvboloidin tepe noktası y = j bağlantı denklemini ekleyelim. O zaman koşullu maksimum açıkça buna eşit olacaktır. (o,|) noktasında ulaşılır ve topun y = j düzlemiyle kesişme çizgisi olan topun tepe noktasına karşılık gelir. Koşulsuz bir mvximum durumunda, yüzeyin tüm vuygulamaları arasında uygulanan bir mvximum'umuz vardır * = 1 - l;2 ~ y1; koşullu toplam - yalnızca pvraboloidv vllikvt noktaları arasında, xOy düzlemine değil, y = j düz çizgisinin* noktasına karşılık gelir. Bir fonksiyonun varlık ve bağlantı durumunda koşullu ekstremumunu bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki gibidir. Bağlantı denklemi y) - O, y'yi x argümanının benzersiz bir türevlenebilir fonksiyonu olarak tanımlasın: Fonksiyonda y yerine bir fonksiyon koyarak, bağlantı koşulunun zaten dikkate alındığı bir argümanın fonksiyonunu elde ederiz. Fonksiyonun (koşulsuz) ekstremumu istenen koşullu ekstremumdur. Örnek. Bir fonksiyonun ekstremumunu şu koşul altında bulun: Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri A Bağlantı denkleminden (2") y = 1-x'i buluruz. Bu y değerini (V) yerine koyarsak, bir fonksiyon elde ederiz: bir argüman x: Bunu uç nokta için inceleyelim: dolayısıyla x = 1 - kritik nokta; böylece r fonksiyonunun koşullu minimumunu sağlar (Şekil 24). Koşullu ekstremum problemini çözmenin başka bir yolunu Lagrange çarpan yöntemi olarak adlandıralım. Bir bağlantının varlığında bir fonksiyonun koşullu bir uç noktası olsun. Bağlantı denkleminin, xx noktasının belirli bir komşuluğunda sürekli türevlenebilir tek bir fonksiyonu tanımladığını varsayalım. /(r, ip(x)) fonksiyonunun xq noktasındaki x'e göre türevinin sıfıra eşit olması veya buna eşdeğer olması gerektiğini elde ettiğimizi düşünürsek sıfıra eşit f(x, y)'nin Mo" O noktasındaki diferansiyeli. Elde ettiğimiz bağlantı denkleminden (5) Son eşitliği henüz belirlenmemiş bir A sayısal faktörü ile çarparsak ve eşitlikle (4) terim terim toplarsak, şunu elde ederiz: (Bunu varsayıyoruz). Daha sonra dx'in keyfiliği sayesinde, Lagrange fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyonun noktasındaki koşulsuz ekstremum için gerekli koşulları ifade eden (6) ve (7) Eşitliklerini elde ederiz. /(x, y) fonksiyonunun noktası, A'nın bir olduğu Lagrange fonksiyonunun mutlaka sabit bir noktasıdır. sayısal katsayı. Buradan koşullu ekstremumu bulmak için bir kural elde ederiz: bir bağlantının varlığında bir fonksiyonun geleneksel ekstremumunun noktaları olabilecek noktaları bulmak için, 1) Lagrange fonksiyonunu oluştururuz, 2) bunun türevlerini eşitleyerek fonksiyonu sıfıra indirip bağlantı denklemini elde edilen denklemlere ekleyerek, A'nın değerlerini ve olası uç noktaların x, y koordinatlarını bulduğumuz üç denklemden oluşan bir sistem elde ederiz. Koşullu ekstremumun varlığı ve doğası sorunu, (8)'den elde edilen, dikkate alınan x0, V0, A değer sistemi için Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretinin incelenmesine dayanarak çözülür; ise (x0, V0) noktasında /(x, y) fonksiyonunun koşullu bir maksimumu vardır; d2F > 0 ise koşullu minimum. Özellikle, eğer sabit bir (xo, J/o) noktasında F(x, y) fonksiyonu için determinant D pozitifse, o zaman (®o, V0) noktasında f( fonksiyonunun koşullu maksimumu vardır. x, y), if ve /(x, y), if fonksiyonunun koşullu minimumu Örnek. Tekrar önceki örneğin koşullarına dönelim: x + y = 1 koşulu altında fonksiyonun ekstremumunu bulun. Sorunu Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak çözeceğiz. Lagrange fonksiyonu bu durumda Durağan noktaları bulmak için bir sistem oluştururuz. Sistemin ilk iki denkleminden x = y elde ederiz. Daha sonra sistemin üçüncü denkleminden (bağlantı denklemi) x - y = j'nin olası uç noktanın koordinatları olduğunu buluruz. Bu durumda (A = -1 olduğu belirtilir. Dolayısıyla Lagrange fonksiyonu. Lagrange fonksiyonu için koşulsuz bir ekstremum yoktur koşulu altında * = x2 + y2 fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır. P(x, y) ) henüz bir bağlantı varlığında /(x, y) fonksiyonu için koşullu bir ekstremumun olmadığı anlamına gelmez. Örnek: y 4 koşulu altında bir fonksiyonun ekstremumunu bulun. Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz ve için bir sistem yazıyoruz. A ve olası ekstremum noktalarının koordinatlarının belirlenmesi: İlk iki denklemden x + y = 0 elde edip x = y = A = 0 olan sisteme geliyoruz. Böylece, karşılık gelen fonksiyon Lagrange şu şekildedir: (0,0) noktasında F(x, y; 0) fonksiyonunun koşulsuz bir ekstremumu yoktur, ancak r = xy fonksiyonunun koşullu ekstremumu vardır. y = x olduğunda var. Aslında bu durumda r = x2. Bu, (0,0) noktasında koşullu bir minimumun olduğunu gösterir. "Lagrange çarpanları yöntemi, herhangi bir sayıda argümana sahip fonksiyonlar durumuna aktarılır. Bağlantı denklemleri varlığında fonksiyonun ekstremumu aransın. A|, Az,..., olmak üzere bir Lagrange fonksiyonu oluşturalım. A, belirlenmemiş sabit faktörler. F fonksiyonunun tüm birinci dereceden kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek ve elde edilen denklemlere bağlantı denklemlerini (9) ekleyerek, n ​​+ m denklemlerden oluşan bir sistem elde ederiz ve buradan Ab A3|..., At'yi ve x koordinatlarını belirleriz. \) x2). » Koşullu ekstremumun olası noktalarının xn'si. Lagrange yöntemi kullanılarak bulunan noktaların gerçekte koşullu bir ekstremum noktası olup olmadığı sorusu genellikle fiziksel veya geometrik nitelikteki hususlara dayanarak çözülebilir. 15.3. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri Bazı döngüsellerde sürekli olan z = /(x, y) fonksiyonunun en büyük (en küçük) değerini bulmak gerekli olsun. sınırlı alan D. Teorem 3'e göre bu bölgede fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri aldığı bir nokta (xo, V0) vardır. Eğer (xo, y0) noktası D alanının içinde yer alıyorsa, o zaman / fonksiyonu içinde bir maksimuma (minimum) sahiptir, dolayısıyla bu durumda ilgilendiğimiz nokta, /(x, fonksiyonunun kritik noktaları arasında yer alır) y). Ancak /(x, y) fonksiyonu en büyük (en küçük) değerine bölgenin sınırında ulaşabilmektedir. Bu nedenle sınırlı bir aralıkta z = /(x, y) fonksiyonunun aldığı en büyük (en küçük) değeri bulmak kapalı alan 2), fonksiyonun bu alan içinde elde edilen tüm maksimumlarını (minimum) ve ayrıca bu alanın sınırındaki fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmanız gerekir. Tüm bu sayıların en büyüğü (en küçüğü), z = /(x,y) fonksiyonunun 27. bölgede istenilen en büyük (en küçük) değeri olacaktır. Bunun türevlenebilir bir fonksiyon durumunda nasıl yapıldığını gösterelim. Prmmr. 4. bölgenin fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. D bölgesi içindeki fonksiyonun kritik noktalarını buluyoruz. Bunu yapmak için buradan x = y « 0 elde ediyoruz. 0 noktası (0,0), x fonksiyonunun kritik noktasıdır. Şimdi D alanının Г sınırında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. Sınırın bir kısmında y = 0 kritik bir noktadır ve = olduğundan bu noktada z = fonksiyonu vardır. 1 + y2'nin bir minimumu vardır, bire eşit. Г" parçasının uçlarında, ( noktalarında) var. Simetri hususlarını kullanarak, sınırın diğer kısımları için aynı sonuçları elde ederiz. Sonunda şunu elde ederiz: z = x2+y2 fonksiyonunun bölgedeki en küçük değeri "B sıfıra eşittir ve 0( 0, 0) iç noktasında elde edilir ve en yüksek değer bu fonksiyonun ikiye eşit olması sınırın dört noktasında elde edilir (Şekil 25) Şekil 25 Alıştırmalar Fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun: Fonksiyonların seviye çizgilerini oluşturun: 9 Fonksiyonların seviye yüzeylerini bulun üç bağımsız değişkenin denklemleri: Fonksiyonların limitlerini hesaplayın: Fonksiyonların kısmi türevlerini ve bunların kısmi türevlerini bulun tam diferansiyeller: Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun: 3 J'yi bulun. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar Koşullu ekstremum Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri 34. İki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi için formül kullanarak bulma ve fonksiyonlar: 35. Bir kompleksin türevi için formülü kullanma iki değişkenli fonksiyon, |J'yi ve fonksiyonları bulun: Örtülü olarak verilen jj fonksiyonlarını bulun: 40. Bul eğim x = 3 doğrusu ile kesiştiği noktada eğriye teğet. 41. x eğrisine teğet olanın Ox eksenine paralel olduğu noktaları bulun. . Aşağıdaki problemlerde T ve T'yi bulunuz: Yüzeyin teğet düzlemi ve normalinin denklemlerini yazınız: 49. x2 + 2y2 + 3r2 = 21 yüzeyinin teğet düzlemlerinin denklemlerini yazınız, düzleme paralel x + 4y + 6z = 0. Taylor formülünü kullanarak açılımın ilk üç veya dört terimini bulun: 50. (0, 0) noktasının yakınında y. Bir fonksiyonun ekstremum tanımını kullanarak, aşağıdaki fonksiyonları ekstremum için inceleyin :). İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşulları kullanarak fonksiyonun ekstremumunu inceleyin: 84. Kapalı bir daire içinde z = x2 - y2 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 85. En büyük ve en küçük değerleri bulun ​​​x = 0, y = 0, x + y = b düz çizgileriyle sınırlanan bir üçgende * = x2y(4-x-y) fonksiyonunun. 88. Hacmi V'ye eşit olmak koşuluyla yüzey alanı en küçük olan dikdörtgen açık havuzun boyutlarını belirleyin. 87. Boyutları bulun dikdörtgen paralel yüzlüçeyiz ile tam yüzey 5 maksimum ses seviyesi. Cevaplar 1. ve | Kenarları da dahil olmak üzere x doğru parçalarının oluşturduğu bir kare. 3. Eşmerkezli halka ailesi 2= 0,1,2,... .4. Düz çizgiler üzerindeki noktalar dışında düzlemin tamamı. Düzlemin y = -x? parabolünün üzerinde bulunan kısmı. 8. x çemberinin noktaları. Düz çizgiler hariç tüm düzlem x Kök ifadesi, sırasıyla sonsuz bir eşitsizlik serisine eşdeğer olan j * ^ veya j x ^ ^ iki durumda negatif değildir. Tanım alanı gölgeli karelerdir (Şekil 26); l sonsuz bir seriye eşdeğerdir. Fonksiyon noktalarla tanımlanır. a) Düz çizgiye paralel düz çizgiler x b) Merkezi orijinde olan eşmerkezli daireler. 10. a) paraboller y) paraboller y a) paraboller b) hiperboller | .Uçaklar xc. 13.Prime - Oz ekseni etrafında dönme tek boşluklu hiperboloidler; Oz ekseni etrafında dönen iki yapraklı hiperboloidler olduğunda, her iki yüzey ailesi de bir koni ile ayrılır; Limit yoktur, b) 0. 18. Önce y = kxt, sonra z lim z = -2 olsun, yani (0,0) noktasındaki verilen fonksiyonun limiti yoktur. 19. a) (0,0) noktası; b) nokta (0,0). 20. a) Kırık çizgi - daire x2 + y2 = 1; b) kırılma çizgisi y = x düz çizgisidir. 21. a) Çizgileri kesme - koordinat eksenleri Ah ve Ah; b) 0 (boş küme). 22. ve n'nin tam sayı olduğu tüm noktalar (m, n)

Koşullu ekstremum.

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değeri

En küçük kareler yöntemi.

FNP'nin yerel ekstremumu

Fonksiyon verilsin Ve= F(P), РÎDÌR N ve P 0 noktası olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) –dahili D kümesinin noktası.

Tanım 9.4.

1) P 0 noktasına denir maksimum nokta işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0) М D noktasının bir komşuluğu varsa, öyle ki herhangi bir P( noktası için) X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P) £ F(P 0) . Anlam F Maksimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir fonksiyonun maksimumu ve belirlenmiş F(P0) = maks F(P) .

2) P 0 noktasına denir minimum puan işlevler Ve= F(P), eğer bu U(P 0)Ì D noktasının herhangi bir P( noktası için olacak şekilde bir komşuluğu varsa X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , koşul sağlandı F(P)³ F(P 0) . Anlam F Minimum noktada (P 0) fonksiyonuna fonksiyon denir minimum fonksiyon ve belirlenmiş F(P 0) = dk F(P).

Bir fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarına denir ekstremum noktalar fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerlerine denir fonksiyonun ekstremumları.

Tanımdan da anlaşılacağı üzere eşitsizlikler F(P) £ F(P0) , F(P)³ F(P 0), fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, yalnızca P 0 noktasının belirli bir komşuluğunda karşılanmalıdır; bu, fonksiyonun aynı türden birkaç uç noktasına (birkaç minimum, birkaç maksimum) sahip olabileceği anlamına gelir. . Bu nedenle yukarıda tanımlanan ekstremumlara denir. yerel(yerel) aşırılıklar.

Teorem 9.1 (FNP'nin ekstremumu için gerekli koşul)

Eğer fonksiyon Ve= F(X 1 , X 2 , ..., xn) P 0 noktasında bir ekstremuma sahipse, bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri ya sıfıra eşittir ya da yoktur.

Kanıt. P 0 noktasında olsun ( A 1 , A 2 , ..., bir p) işlev Ve= F(P)'nin bir ekstremumu, örneğin bir maksimumu vardır. Argümanları düzeltelim X 2 , ..., xn, koyarak X 2 =A 2 ,..., xn = bir p. Daha sonra Ve= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., bir p) bir değişkenin fonksiyonudur X 1. Bu fonksiyona sahip olduğundan X 1 = A 1 ekstremum (maksimum), ardından F 1 ¢=0veya mevcut olmadığında X 1 =A 1 (tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli bir koşul). Ancak bu, P 0 noktasında (ekstrem nokta) var olduğu anlamına gelir veya mevcut değildir. Benzer şekilde diğer değişkenlere göre kısmi türevleri de düşünebiliriz. CTD.

Bir fonksiyonun tanım kümesinde birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar bu fonksiyon.

Teorem 9.1'den de anlaşılacağı üzere FNP'nin ekstremum noktaları fonksiyonun kritik noktaları arasında aranmalıdır. Ancak tek değişkenli bir fonksiyon için her kritik nokta bir ekstrem nokta değildir.

Teorem 9.2 (FNP'nin ekstremumu için yeterli koşul)

Fonksiyonun kritik noktası P 0 olsun Ve= F(P) ve bu fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyelidir. Daha sonra

ve eğer D 2 sen(P 0) > 0 ise P 0 bir noktadır minimum işlevler Ve= F(P);

b) eğer D 2 sen(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum işlevler Ve= F(P);

c) eğer D 2 sen(P 0) işaretle tanımlanmıyorsa, bu durumda P 0 bir uç nokta değildir;

Bu teoremi kanıt olmadan ele alacağız.

Teoremin şu durumu dikkate almadığını unutmayın: D 2 sen(P 0) = 0 veya mevcut değil. Bu, bu koşullar altında P 0 noktasında bir ekstremun varlığı sorununun açık kaldığı anlamına gelir - ihtiyacımız var ek araştırmaörneğin bir fonksiyonun bu noktadaki artışını incelemek.

Daha ayrıntılı matematik derslerinde, özellikle fonksiyon için kanıtlanmıştır. z = f(X,sen), ikinci dereceden diferansiyeli formun toplamı olan iki değişkenin

P 0 kritik noktasında bir ekstremum varlığının incelenmesi basitleştirilebilir.

, , 'yi gösterelim. Bir determinant oluşturalım

.

Çıkıyor:

D 2 z P 0 noktasında > 0, yani. P 0 – minimum nokta, eğer A(P 0) > 0 ve D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

eğer D(P 0)< 0, то D 2 z P 0 noktası civarında işaret değiştirir ve P 0 noktasında ekstremum yoktur;

D(Р 0) = 0 ise, o zaman Р 0 kritik noktasının yakınındaki fonksiyona ilişkin ilave çalışmalara da ihtiyaç vardır.

Böylece fonksiyon için z = f(X,sen) sahip olduğumuz iki değişkenden sonraki algoritma(buna “algoritma D” diyelim) bir ekstremumu bulmak için:

1) D( tanımının tanım kümesini bulun F) işlevler.

2) Kritik noktaları bulun; D'den alınan puanlar( F), bunun için ve sıfıra eşittir veya mevcut değildir.

3) Her kritik P 0 noktasında, ekstremum için yeterli koşulları kontrol edin. Bunu yapmak için bulun , burada , , ve D(P 0)'ı hesaplayın ve A(P 0).Sonra:

eğer D(P 0) >0 ise P 0 noktasında bir ekstremum vardır ve eğer A(P 0) > 0 – bu minimumdur ve eğer A(P 0)< 0 – максимум;

eğer D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ise ek araştırmaya ihtiyaç vardır.

4) Bulunan ekstremum noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayınız.

Örnek 1.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun z = X 3 + 8sen 3 – 3xy .

Çözüm. Bu fonksiyonun kapsamı tüm koordinat uçağı. Kritik noktaları bulalım.

, , Ş P 0 (0,0) , .

Ekstremum için yeterli koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Bulacağız

6X, = -3, = 48en Ve = 288xy – 9.

O zaman D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 noktasında bir ekstremum vardır ve bu yana A(P 1) = 3 >0 ise bu ekstremum minimumdur. yani dakika z=z(P1) = .

Örnek 2.

Fonksiyonun ekstremumunu bulun .

Çözüm : D( F) =R2 . Kritik noktalar: ; ne zaman mevcut değil en= 0, yani P 0 (0,0) bu fonksiyonun kritik noktasıdır.

2, = 0, = , = , ancak D(P 0) tanımlı değildir, dolayısıyla işaretini incelemek imkansızdır.

Aynı sebepten dolayı Teorem 9.2'yi doğrudan uygulamak imkansızdır - D 2 z bu noktada mevcut değil.

Fonksiyonun artışını düşünelim F(X, sen) P 0 noktasında. Eğer D F =F(P) - F(P 0)>0 "P, o zaman P 0 minimum noktadır, ancak D ise F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizim durumumuzda

D F = F(X, sen) – F(0, 0) = F(0+G X,0+D sen) – F(0, 0) = .

D'de X= 0,1 ve D sen= -0,008, D'yi elde ederiz F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 ve D sen= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, yani. P 0 noktası civarında hiçbir D koşulu sağlanmaz F <0 (т.е. F(X, sen) < F(0, 0) ve bu nedenle P 0 maksimum nokta değildir), ne de D koşulu F>0 (örn. F(X, sen) > F(0, 0) ve bu durumda P 0 minimum nokta değildir). Bu, bir ekstremum tanımı gereği bu fonksiyonun hiçbir ekstremumunun olmadığı anlamına gelir.

Koşullu ekstremum.

Fonksiyonun dikkate alınan ekstremumu denir şartsız, çünkü işlev argümanlarına hiçbir kısıtlama (koşul) getirilmemiştir.

Tanım 9.2. Fonksiyonun ekstremumu Ve = F(X 1 , X 2 , ... , xn), argümanlarının olması koşuluyla bulundu X 1 , X 2 , ... , xn j 1 denklemlerini karşılayın ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, burada P ( X 1 , X 2 , ... , xn) veya D( F), isminde koşullu ekstremum .

Denklemler j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, arandı bağlantı denklemleri.

Fonksiyonlara bakalım z = f(X,sen) iki değişken. Bağlantı denklemi bir ise, yani. o zaman koşullu bir ekstremum bulmak, ekstremumun fonksiyonun tanım alanının tamamında değil, D('de yer alan bir eğri üzerinde arandığı anlamına gelir. F) (yani, en yüksek veya en yüksek değil düşük puanlar yüzeyler z = f(X,sen) ve bu yüzeyin silindirle kesişme noktaları arasındaki en yüksek veya en alçak noktalar, Şekil 5).

Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(X,senİki değişkenin ) değeri aşağıdaki şekilde bulunabilir ( eleme yöntemi). Denklemden, değişkenlerden birini diğerinin fonksiyonu olarak ifade edin (örneğin, write ) ve değişkenin bu değerini fonksiyonda değiştirerek, ikincisini bir değişkenin fonksiyonu olarak yazın (dikkate alınan durumda) ). Bir değişkenin sonuç fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

1. Fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında sürekli türevlenebildiğini ve ikinci dereceden sürekli kısmi türevlerinin (saf ve karışık) olduğunu varsayalım.

2. İkinci dereceden determinantla ifade edelim

ekstrem değişken ders fonksiyonu

Teorem

Koordinatları olan nokta fonksiyon için sabit bir nokta ise, o zaman:

A) Yerel ekstremum noktasıdır ve yerel maksimumda yerel minimumdur;

C) nokta yerel bir ekstrem nokta değildir;

C) eğer, belki ikisi de.

Kanıt

Fonksiyonun Taylor formülünü kendimizi iki terimle sınırlayarak yazalım:

Teoremin koşullarına göre nokta durağan olduğundan, ikinci dereceden kısmi türevler sıfıra eşittir; Ve. Daha sonra

Haydi belirtelim

Daha sonra fonksiyonun artışı şu şekli alacaktır:

İkinci dereceden kısmi türevlerin (saf ve karışık) sürekliliği nedeniyle, teoremin koşullarına göre bir noktada şunu yazabiliriz:

Nerede veya; ,

1. Let ve, yani. veya.

2. Fonksiyonun artışını çarpın ve bölün, şunu elde ederiz:

3. İfadeyi ekleyelim kıvırcık parantezönce tam kare miktarlar:

4. Kıvrımlı parantez içindeki ifade negatif değildir, çünkü

5. Bu nedenle, eğer bir araçsa ve o zaman ve dolayısıyla tanıma göre nokta yerel bir minimum noktadır.

6. Eğer bir ortalama varsa ve o zaman tanıma göre koordinatları olan nokta yerel maksimum noktasıdır.

2. Düşünün ikinci dereceden üç terimli, onun ayırıcısı, .

3. Eğer öyleyse, polinomun öyle olduğu noktalar varsa

4. I'de elde edilen ifadeye göre fonksiyonun bir noktadaki toplam artışını şu şekilde yazıyoruz:

5. İkinci dereceden kısmi türevlerin sürekliliği nedeniyle teoremin koşullarına göre bir noktada şunu yazabiliriz:

Bu nedenle, herhangi bir nokta için ikinci dereceden üç terimlinin sıfırdan büyük olduğu bir noktanın komşuluğu vardır:

6. Bir noktanın komşuluğunu düşünün.

Herhangi bir değeri seçelim, yani nokta. Fonksiyonun artış formülünde olduğunu varsayarak

Ne elde ederiz:

7. O zamandan beri.

8. Benzer şekilde kök için tartışarak, bir noktanın herhangi bir -komşuluğunda bir nokta olduğunu ve dolayısıyla bu noktanın komşuluğunda işareti korumadığını, dolayısıyla bu noktada bir ekstremum olmadığını buluruz.

İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulurken, genellikle koşullu ekstremum olarak adlandırılan problemlerle ilgili sorunlar ortaya çıkar. Bu kavram iki değişkenli bir fonksiyon örneği kullanılarak açıklanabilir.

0xy düzleminde bir fonksiyon ve bir L doğrusu verilsin. Görev, L çizgisi üzerinde, P noktasının yakınında bulunan L çizgisi üzerindeki noktalarda, fonksiyonun değerinin bu fonksiyonun değerleriyle karşılaştırıldığında en büyük veya en küçük olduğu bir P (x, y) noktası bulmaktır. Bu tür P noktaları L doğrusu üzerindeki koşullu ekstremum noktaları fonksiyonları olarak adlandırılır. Her zamanki ekstrem noktadan farklı olarak, fonksiyonun koşullu ekstremum noktasındaki değeri, komşuluğunun tüm noktalarındaki fonksiyonun değerleriyle değil, yalnızca orada bulunanlarla karşılaştırılır. L hattında.

Adi ekstremum noktasının (koşulsuz ekstremum da derler), bu noktadan geçen herhangi bir doğru için aynı zamanda koşullu ekstremum noktası olduğu kesinlikle açıktır. Bunun tersi elbette doğru değildir: Koşullu uç nokta, sıradan uç nokta olmayabilir. Bunu bir örnekle açıklayalım.

Örnek No.1. Fonksiyonun grafiği üst yarımküredir (Şekil 2).

Pirinç. 2.

Bu fonksiyonun başlangıç ​​noktasında bir maksimumu vardır; yarım kürenin M tepe noktasına karşılık gelir. L çizgisi A ve B noktalarından geçen düz bir çizgi ise (denklemi), o zaman bu çizginin noktaları için fonksiyonun en büyük değerinin A ve B noktalarının ortasında bulunan noktada elde edildiği geometrik olarak açıktır. Bu, bu çizgideki koşullu ekstremum (maksimum) fonksiyonların noktasıdır; yarımküredeki M1 noktasına karşılık gelir ve şekilden burada herhangi bir sıradan ekstremumdan söz edilemeyeceği açıktır.

Kapalı bir bölgede bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin son kısmında, fonksiyonun bu bölgenin sınırındaki uç değerlerini bulmamız gerektiğini unutmayın; bir doğru üzerinde ve böylece koşullu ekstremum problemini çözeriz.

Tanım 1. Denklemi karşılayan bir noktada koşullu veya göreceli maksimumun (minimum) bulunduğunu söylüyorlar: eğer denklemi sağlayan herhangi bir nokta için eşitsizlik

Tanım 2. Formun bir denklemine kısıt denklemi denir.

Teorem

Eğer ve fonksiyonları bir noktanın komşuluğunda ve kısmi türevde sürekli türevlenebilirse ve nokta, kısıtlama denklemine göre fonksiyonun koşullu bir uç noktası ise, o zaman ikinci dereceden determinant sıfıra eşittir:

Kanıt

1. Teoremin koşullarına göre fonksiyonun kısmi türevi ve değeri olduğundan, belirli bir dikdörtgende

örtülü işlev tanımlandı

Bir noktadaki iki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun yerel bir ekstremuma sahip olması dolayısıyla veya olacaktır.

2. Nitekim birinci dereceden diferansiyel formülün değişmezlik özelliğine göre

3. Bağlantı denklemi bu formda temsil edilebilir, yani

4. Denklem (2)'yi ve (3)'ü çarpın ve ekleyin

Bu nedenle ne zaman

keyfi. vesaire.

Sonuçlar

Uygulamada iki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremum noktalarının aranması, bir denklem sisteminin çözülmesiyle gerçekleştirilir.

Yani yukarıdaki örnekte 1 numaralı bağlantı denklemine sahibiz. Buradan neyin maksimuma ulaştığını kontrol etmek kolaydır. Ama sonra iletişim denkleminden. Geometrik olarak bulunan P noktasını elde ederiz.

Örnek No. 2. Bağlama denklemine göre fonksiyonun koşullu ekstremum noktalarını bulun.

Kısmi türevleri bulalım verilen fonksiyon ve birleştirme denklemleri:

İkinci dereceden bir determinant oluşturalım:

Koşullu ekstremum noktaları bulmak için bir denklem sistemi yazalım:

Bu, fonksiyonun koşullu ekstremumunun koordinatlarla birlikte dört noktası olduğu anlamına gelir: .

Örnek No. 3. Fonksiyonun ekstremum noktalarını bulun.

Kısmi türevleri sıfıra eşitlersek: bir tane buluruz sabit nokta- Menşei. Burada,. Sonuç olarak, (0, 0) noktası bir ekstrem nokta değildir. Bir denklem bir denklemdir hiperbolik paraboloit(Şekil 3) Şekil (0, 0) noktasının bir uç nokta olmadığını göstermektedir.

Pirinç. 3.

Bir fonksiyonun kapalı bir bölgedeki en büyük ve en küçük değeri

1. Fonksiyonun sınırlı kapalı bir D kümesinde tanımlı ve sürekli olduğunu varsayalım.

2. Fonksiyonun bu bölgede, bölgenin tek tek noktaları hariç, sonlu kısmi türevleri olsun.

3. Weierstrass teoremine göre bu bölgede fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri aldığı bir nokta vardır.

4. Eğer bu noktalar D bölgesinin iç noktaları ise, o zaman elbette bir maksimum ya da minimuma sahip olacaklardır.

5. Bu durumda bizi ilgilendiren noktalar uç noktadaki şüpheli noktalar arasındadır.

6. Ancak fonksiyon D bölgesinin sınırında da en büyük veya en küçük değeri alabilir.

7. D bölgesindeki bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmak için tüm değerleri bulmanız gerekir. iç noktalar bir ekstremum için şüpheli, içlerindeki fonksiyonun değerini hesaplayın, ardından bölgenin sınır noktalarındaki fonksiyonun değeriyle karşılaştırın ve bulunan tüm değerlerin en büyüğü, kapalı D bölgesindeki en büyük değer olacaktır.

8. Yerel maksimum veya minimumu bulma yöntemi daha önce bölüm 1.2'de tartışılmıştı. ve 1.3.

9. Bölge sınırında fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma yöntemini dikkate almaya devam etmektedir.

10. İkili bir fonksiyon durumunda değişken alan genellikle bir eğri veya birkaç eğri ile sınırlı görünür.

11. Böyle bir eğri (veya birkaç eğri) boyunca değişkenler ya birbirine bağlıdır ya da her ikisi de bir parametreye bağlıdır.

12. Böylece sınırda fonksiyonun tek değişkene bağlı olduğu ortaya çıkar.

13. Tek değişkenli bir fonksiyonun en büyük değerini bulma yöntemi daha önce tartışılmıştı.

14. D bölgesinin sınırı verilsin parametrik denklemler:

Daha sonra bu eğri üzerinde iki değişkenin fonksiyonu şöyle olacaktır: karmaşık fonksiyon parametreden: . Böyle bir fonksiyon için en büyük ve en küçük değerler, tek değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirleme yöntemi kullanılarak belirlenir.

Tanım1: Bir fonksiyonun, herhangi bir nokta için öyle bir komşuluğu varsa, o noktada yerel maksimuma sahip olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik geçerlidir: . Bu durumda, yani fonksiyonun arttırılması< 0.

Tanım2: Bir fonksiyonun, herhangi bir nokta için öyle bir komşuluğu varsa, o noktada yerel minimuma sahip olduğu söylenir. M koordinatlarla (x, y) eşitsizlik geçerlidir: . Bu durumda, yani fonksiyonun artışı > 0 olur.

Tanım 3: Noktalar yerel minimum ve maksimum denir ekstrem noktalar.

Koşullu Aşırılıklar

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumlarını bulurken, sıklıkla sözde problemlerle ilgili problemler ortaya çıkar. koşullu ekstremum Bu kavram iki değişkenli bir fonksiyon örneği kullanılarak açıklanabilir.

Bir fonksiyon ve bir doğru verilsin L yüzeyde 0xy. Görev çizgiye çıkmaktır L böyle bir nokta bul P(x, y), bir fonksiyonun değerinin, bu fonksiyonun çizgi üzerindeki noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığında en büyük veya en küçük olduğu durum L, noktanın yakınında bulunan P. Bu tür noktalar P arandı koşullu uç noktalarçevrimiçi işlevler L. Alışılagelmiş ekstremum noktasının aksine, fonksiyonun koşullu ekstremum noktasındaki değeri, fonksiyonun komşuluğundaki tüm noktalardaki değil, yalnızca çizgi üzerinde bulunan değerleriyle karşılaştırılır. L.

Her zamanki ekstremum noktasının (ayrıca diyorlar ki) olduğu kesinlikle açıktır. koşulsuz ekstremum) aynı zamanda bu noktadan geçen herhangi bir çizgi için koşullu bir ekstremum noktasıdır. Bunun tersi elbette doğru değildir: Koşullu uç nokta, sıradan uç nokta olmayabilir. Ne söylediğimi açıklayayım olağan örnek. Fonksiyonun grafiği üst yarımküredir (Ek 3 (Şekil 3)).

Bu fonksiyonun başlangıç ​​noktasında bir maksimumu vardır; köşe buna karşılık gelir M yarımküreler. Eğer çizgi L noktalardan geçen bir çizgi var A Ve İÇİNDE(onun denklemi x+y-1=0), o zaman bu doğrunun noktaları için fonksiyonun en büyük değerinin noktalar arasında ortada bulunan noktada elde edildiği geometrik olarak açıktır. A Ve İÇİNDE. Bu, fonksiyonun bu doğru üzerindeki koşullu ekstremum (maksimum) noktasıdır; yarımküredeki M1 noktasına karşılık gelir ve şekilden burada herhangi bir sıradan ekstremumdan söz edilemeyeceği açıktır.

Kapalı bir bölgede bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin son kısmında, fonksiyonun bu bölgenin sınırındaki uç değerlerini bulmamız gerektiğini unutmayın; bir doğru üzerinde ve böylece koşullu ekstremum problemini çözeriz.

Şimdi x ve y değişkenlerinin (x, y) = 0 denklemiyle ilişkili olması koşuluyla Z= f(x, y) fonksiyonunun koşullu uç noktalarının pratik aramaya geçelim. Bu ilişkiye bağlantı denklemi. Eğer birleştirme denkleminden y açıkça x cinsinden ifade edilebiliyorsa: y=(x), tek değişkenli Z= f(x, (x)) = Ф(x) fonksiyonunu elde ederiz.

Bu fonksiyonun bir uç noktaya ulaştığı x değerini bulduktan ve ardından bağlantı denkleminden karşılık gelen y değerlerini belirledikten sonra koşullu ekstremun istenen noktalarını elde ederiz.

Yani yukarıdaki örnekte x+y-1=0 ilişki denkleminden y=1-x elde ederiz. Buradan

Z'nin maksimum değerine x = 0,5'te ulaştığını kontrol etmek kolaydır; ancak y = 0,5 bağlantı denkleminden geometrik değerlendirmelerden bulunan P noktasını tam olarak elde ederiz.

Koşullu ekstremum sorunu, bağlantı denklemi x=x(t), y=y(t) parametrik denklemlerle temsil edilebildiğinde çok basit bir şekilde çözülebilir. X ve y ifadelerini yerine koyma bu fonksiyon, yine tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemine geliyoruz.

Bağlanma denkleminin birden fazla olması durumunda karmaşık görünüm ve bir değişkeni diğeri cinsinden açıkça ifade edemiyorsak veya onu parametrik denklemlerle değiştiremiyorsak, o zaman koşullu bir ekstremum bulma görevi daha zor hale gelir. z= f(x, y) fonksiyonunun ifadesinde (x, y) değişkeninin = 0 olduğunu varsaymaya devam edeceğiz. z= f(x, y) fonksiyonunun toplam türevi şuna eşittir:

Türev y'nin türev kuralı kullanılarak bulunduğu yer örtülü işlev. Koşullu ekstremum noktalarında bulunan toplam türevin sıfıra eşit olması gerekir; bu x ve y ile ilgili bir denklem verir. Ayrıca birleştirme denklemini de sağlamaları gerektiğinden, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz.

İlk denklemi orantı şeklinde yazıp yeni bir yardımcı bilinmeyen ekleyerek bu sistemi çok daha kullanışlı bir hale getirelim:

(ön taraftaki eksi işareti kolaylık sağlamak içindir). Bu eşitliklerden aşağıdaki sisteme geçmek kolaydır:

f' x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 bağlantı denklemiyle birlikte bilinmeyenler x, y ve olan üç denklemden oluşan bir sistem oluşturur.

Bu denklemler (*) kullanılarak hatırlanması en kolay olanlardır. sonraki kural: fonksiyonun koşullu uç noktaları olabilecek noktaları bulmak için

Z= f(x, y) bağlantı denklemi (x, y) = 0 ile yardımcı bir fonksiyon oluşturmanız gerekir

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Bazı sabitlerin nerede olduğunu ve bu fonksiyonun ekstrem noktalarını bulmak için denklemler oluşturun.

Belirtilen denklem sistemi, kural olarak yalnızca gerekli koşulları sağlar; bu sistemi karşılayan her x ve y değer çifti mutlaka koşullu bir uç nokta değildir. Koşullu ekstremum noktaları için yeterli koşulları vermeyeceğim; Çoğu zaman sorunun spesifik içeriği, bulunan noktanın ne olduğunu ortaya koyar. Koşullu bir ekstremumdaki problemleri çözmek için açıklanan tekniğe Lagrange çarpan yöntemi denir.