Trigonometrik fonksiyonların değer tablosu

Not. Bu trigonometrik fonksiyon değerleri tablosu, belirtmek için √ işaretini kullanır karekök. Kesir belirtmek için "/" sembolünü kullanın.

Ayrıca bakınız faydalı malzemeler:

İçin trigonometrik bir fonksiyonun değerini belirleme trigonometrik fonksiyonu gösteren çizginin kesişiminde bulun. Örneğin, sinüs 30 derece - günah (sinüs) başlıklı sütunu ararız ve bu tablo sütununun "30 derece" satırıyla kesişimini buluruz, kesişme noktalarında sonucu okuruz - yarım. Benzer şekilde buluyoruz kosinüs 60 derece, sinüs 60 derece (bir kez daha günah sütunu ile 60 derece çizgisinin kesişiminde sin 60 = √3/2 değerini buluyoruz), vb. Diğer “popüler” açıların sinüs, kosinüs ve teğet değerleri de aynı şekilde bulunur.

Radyan cinsinden sinüs pi, kosinüs pi, teğet pi ve diğer açılar

Aşağıdaki kosinüs, sinüs ve tanjant tablosu aynı zamanda bağımsız değişkeni olan trigonometrik fonksiyonların değerini bulmak için de uygundur. radyan cinsinden verilmiştir. Bunu yapmak için açı değerlerinin ikinci sütununu kullanın. Bu sayede popüler açıların değerini dereceden radyana çevirebilirsiniz. Örneğin ilk satırdaki 60 derecelik açıyı bulalım ve altındaki değerini radyan cinsinden okuyalım. 60 derece π/3 radyana eşittir.

Pi sayısı açıkça çevrenin neye bağlı olduğunu ifade eder. derece ölçüsü köşe. Böylece pi radyan 180 dereceye eşittir.

Pi (radyan) cinsinden ifade edilen herhangi bir sayı, pi (π) 180 ile değiştirilerek kolaylıkla dereceye dönüştürülebilir..

Örnekler:
1. sinüs pi.
günah π = günah 180 = 0
dolayısıyla pi'nin sinüsü 180 derecenin sinüsüne eşittir ve sıfıra eşittir.

2. Kosinüs pi.
cos π = cos 180 = -1
dolayısıyla pi'nin kosinüsü 180 derecenin kosinüsüne eşittir ve eksi bire eşittir.

3. Teğet pi
tg π = tg 180 = 0
dolayısıyla teğet pi, 180 derece teğet ile aynıdır ve sıfıra eşittir.

0 - 360 derece açılar için sinüs, kosinüs, teğet değerleri tablosu (ortak değerler)

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda fonksiyon değeri yerine bir çizgi belirtilirse (teğet (tg) 90 derece, kotanjant (ctg) 180 derece), o zaman açının derece ölçüsünün belirli bir değeri için fonksiyon belirli bir değeri yoktur. Çizgi yoksa hücre boştur, bu da henüz girmediğimiz anlamına gelir istenen değer. En yaygın açı değerlerinin kosinüs, sinüs ve teğet değerlerine ilişkin mevcut verilerin çoğunu çözmek için oldukça yeterli olmasına rağmen, kullanıcıların bize hangi sorguları getirdiğiyle ilgileniyoruz ve tabloyu yeni değerlerle destekliyoruz. sorunlar.

En popüler açılar için sin, cos, tg trigonometrik fonksiyonların değer tablosu
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 derece
(sayısal değerler “Bradis tablolarına göre”)

Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Teğet ve kotanjantın yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım dar açı. Bu trigonometrinin temelidir.

Bunu hatırlayalım dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönmüş bir açı.

Dar açı- 90 dereceden az.

Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)

Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece A açısının karşısındaki taraf gösterilir.

Açı karşılık gelen değerle gösterilir Yunan mektubu.

Hipotenüs bir dik üçgenin karşısındaki kenardır dik açı.

Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.

Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.

Sinüs dar açı dik üçgen- bu bir tutum karşı taraf hipotenüse göre:

Kosinüs Dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:

Teğet Dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:

Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):

Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.

Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.

Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?

Bunu biliyoruz herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.

arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .

Bir üçgenin iki açısını bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?

Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını yaparken karşılaştıkları şey budur. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.

Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek hepsini bulabilirsin trigonometrik fonksiyonlarözel tablolara göre. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.

Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.

Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.

FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.

1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .

Sorun dört saniyede çözüldü.

O zamandan beri , .

2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak .

Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulalım.

Sorun çözüldü.

Genellikle problemlerde açılı ve veya açılı üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere hatırlayın!

Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.

Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat daha büyüktür.

Dik üçgenleri çözen, yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulma problemlerine baktık. Ama hepsi bu değil! İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri Matematikte bir üçgenin dış açısının sinüsü, kosinüsü, tanjantı veya kotanjantıyla ilgili birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazla bilgi vereceğiz.

Trigonometrik kimlikler- bunlar, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve diğerlerinin bilinmesi koşuluyla bu işlevlerden herhangi birini bulmanızı sağlayan eşitliklerdir.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu kimlik, bir açının sinüsünün karesi ile bir açının kosinüsünün karesinin toplamının bire eşit olduğunu söyler; bu, pratikte, kosinüsü bilindiğinde bir açının sinüsünü hesaplamayı mümkün kılar ve bunun tersi de geçerlidir. .

Dönüştürürken trigonometrik ifadeler Bu kimlik çok sık kullanılır; bu, bir açının kosinüs ve sinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine ve ayrıca değiştirme işleminin ters sırada gerçekleştirilmesine olanak tanır.

Sinüs ve kosinüs kullanarak teğet ve kotanjantı bulma

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu kimlikler sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından oluşur. Sonuçta, eğer ona bakarsanız, tanım gereği y ordinatı bir sinüstür ve apsis x bir kosinüstür. O zaman teğet olacak orana eşit \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ve oran \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bir kotanjant olacaktır.

Şunu da ekleyelim ki, ancak içerdikleri trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu \alpha açıları için özdeşlikler geçerli olacaktır, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Örneğin: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) farklı olan \alpha açıları için geçerlidir \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dışında bir \alpha açısı için z bir tamsayıdır.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu özdeşlik yalnızca farklı olan \alpha açıları için geçerlidir. \frac(\pi)(2) z. Aksi takdirde kotanjant veya tanjant belirlenmeyecektir.

Yukarıdaki noktalara dayanarak şunu elde ederiz: tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Şunu takip ediyor tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dolayısıyla anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantları karşılıklı olarak ters sayılardır.

Teğet ve kosinüs, kotanjant ve sinüs arasındaki ilişkiler

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alfa açısı ile 1'in tanjantının karesinin toplamı, bu açının kosinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik, dışındaki tüm \alpha için geçerlidir. \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ile \alfa açısının kotanjantının karesinin toplamı sinüsün ters karesine eşittir verilen açı. Bu kimlik \pi z'den farklı herhangi bir \alpha için geçerlidir.

Trigonometrik kimlikleri kullanan problemlerin çözümlerine örnekler

Örnek 1

\sin \alpha ve tg \alpha'yı bulun, eğer \cos \alpha=-\frac12 Ve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Çözümü göster

Çözüm

\sin \alpha ve \cos \alpha fonksiyonları aşağıdaki formülle ilişkilidir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu formülde yerine koyma \cos \alpha = -\frac12, şunu elde ederiz:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Bu denklemin 2 çözümü vardır:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte sinüs pozitiftir, yani \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Örnek 2

\cos \alpha ve ctg \alpha if ve'yi bulun \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Çözümü göster

Çözüm

Formülde yerine koyma \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilen numara \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alıyoruz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu denklemin iki çözümü var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte kosinüs negatiftir, yani \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Ctg \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Karşılık gelen değerleri biliyoruz.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bunun mülkiyeti matematik bilimi formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını gerektirir, ayrıca gelişmiş mekansal düşünme. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar okul çocukları ve öğrenciler için sıklıkla zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.

Trigonometride kavramlar

anlamak temel kavramlar trigonometri, öncelikle bir dik üçgenin ve bir daire içindeki açının ne olduğuna ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından birinin ölçüsü 90 derece olan üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak bu figür insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat ve astronomi alanlarında sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, insanlar bu şeklin özelliklerini inceleyerek ve analiz ederek, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldiler.

Dik üçgenlerle ilişkili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs bir üçgenin dik açının karşısındaki tarafıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak uygulamalı bilimler astronomi ve jeodezi gibi bilim adamları bunu kullanıyor. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, açılarının toplamının her zaman 180 dereceden büyük olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Bir dik üçgende bir açının sinüsü, istenilen açının karşısındaki kenarın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik kenar ile hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğundan, bu değerlerin her ikisinin de büyüklüğü her zaman birden küçüktür.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı tarafının bitişik tarafına veya sinüsün kosinüse oranına eşit bir değerdir. Kotanjant ise istenen açının bitişik tarafının karşı tarafa oranıdır. Bir açının kotanjantı, bir açının tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.

Birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit. Böyle bir daire inşa edilmiştir Kartezyen sistem koordinatlar, dairenin merkezi başlangıç ​​noktasıyla çakışırken ve başlangıç ​​pozisyonu Yarıçap vektörü, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü ile belirlenir. Çember üzerindeki her noktanın iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzlemindeki daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip apsis eksenine dik bir noktayı bırakarak, yarıçapın seçilen noktaya (C harfiyle gösterilir) oluşturduğu, X eksenine çizilen dik bir üçgen elde ederiz. (kesişme noktası G harfiyle gösterilir) ve apsis ekseninin segmenti koordinatların başlangıcı (nokta A harfiyle gösterilir) ile kesişme noktası G arasındadır. Ortaya çıkan ACG üçgeni, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs, AC ve GC'nin ise kenarlar olduğu bir daire. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açı α (alfa) olarak tanımlanır. Yani, çünkü α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu dikkate alındığında cos α=AG olduğu ortaya çıkar. Benzer şekilde sin α=CG.

Ek olarak, bu verileri bilerek, çember üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, çünkü cos α=AG ve sin α=CG, yani C noktası verilen koordinatlar(çünkü α;sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek tan α = y/x ve cot α = x/y olduğunu belirleyebiliriz. Açıları negatif koordinat sisteminde dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyon değerleri

Trigonometrik fonksiyonların özünü göz önünde bulundurarak birim çember, bu fonksiyonların değerlerini bazı açılar için türetebilirsiniz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değer bulunan denklemlere trigonometrik denir. sin x = α, k - herhangi bir tam sayı değerine sahip kimlikler:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. günah x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

k'nin herhangi bir tam sayı olduğu cos x = a değerine sahip kimlikler:

1. çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x = -1, x = π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

k'nin herhangi bir tam sayı olduğu tg x = a değerine sahip kimlikler:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arktan α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:

1. bebek karyolası x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Azaltma formülleri

Bu kategori sabit formüller formun trigonometrik fonksiyonlarından bir argümanın fonksiyonlarına geçilebileceği, yani herhangi bir değerin açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını 0'dan aralığın açısının karşılık gelen göstergelerine indirgeyebileceği yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 90 dereceye kadar.

Bir açının sinüsüne göre fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller şuna benzer:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Açının kosinüsü için:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala bağlı olarak mümkündür. Birincisi, eğer açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• çünkü günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkinci olarak, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Negatif fonksiyonlarla aynı şey.

Toplama formülleri

Bu formüller trigonometrik fonksiyonları aracılığıyla iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Tipik olarak açılar α ve β olarak gösterilir.

Formüller şöyle görünür:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * günah.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * günah.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Çift ve üçlü açı trigonometrik formülleri sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını a açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü basitleştirerek sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Üründen toplama geçiş

Bu formüller, bir toplamın bir ürüne geçişinin kimliklerinden kaynaklanır:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Derece azaltma formülleri

Bu kimliklerde kare ve kübik derece sinüs ve kosinüs, bir çoklu açının birinci derecesinin sinüs ve kosinüsü ile ifade edilebilir:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Evrensel ikame

Evrensel formüller trigonometrik ikame Trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade edin.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn ile;
• çünkü x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• karyola x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn ile.

Özel durumlar

Özel protozoa vakaları trigonometrik denklemler aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için bölümler:

Kosinüs için bölümler:

Teğet için bölümler:

Kotanjant için bölümler:

Teoremler

Sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır: basit ve genişletilmiş. Basit teorem sinüsler: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları, α, β, γ ise karşıt açılardır.

Genişletilmiş sinüs teoremi keyfi üçgen: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin içine yazıldığı dairenin yarıçapını belirtir.

Kosinüs teoremi

Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.

Teğet teoremi

Formül, iki açının teğetleri ile karşıt kenarların uzunluğu arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dır. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotanjant teoremi

Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuna bağlar. Eğer a, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşısındaki açılar ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarı çevresi ise, aşağıdaki kimlikler geçerlidir:

• bebek karyolası A/2 = (p-a)/r;
• bebek karyolası B/2 = (p-b)/r;
• bebek karyolası C/2 = (p-c)/r.

Başvuru

Trigonometri - sadece teorik bilim ile ilgili matematiksel formüller. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte kullanılır farklı endüstriler insan faaliyeti- astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm işi, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant trigonometrinin temel kavramlarıdır; bunların yardımıyla bir üçgenin kenarlarının açıları ve uzunlukları arasındaki ilişkiler matematiksel olarak ifade edilebilir ve gerekli miktarlar kimlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla bulunabilir.

Dik üçgenin çözümüyle ilgili problemler göz önüne alındığında, sinüs ve kosinüs tanımlarını ezberlemek için bir teknik sunacağıma söz verdim. Bunu kullanarak, hangi tarafın hipotenüse (komşu veya karşı) ait olduğunu her zaman hızlı bir şekilde hatırlayacaksınız. Fazla uzatmamaya karar verdim gerekli malzeme aşağıda lütfen okuyun 😉

Gerçek şu ki 10-11. sınıf öğrencilerinin bu tanımları hatırlamakta ne kadar zorlandıklarını defalarca gözlemledim. Bacağın hipotenüsü ifade ettiğini çok iyi hatırlıyorlar ama hangisi- unuturlar ve kafası karışmış. Sınavda bildiğiniz gibi hatanın bedeli kaybedilen puandır.

Direkt olarak sunacağım bilgilerin matematikle alakası yoktur. O'nunla bağlantısı var yaratıcı düşünme ve sözlü-mantıksal iletişim yöntemleriyle. Tam olarak böyle hatırlıyorum, ilk ve son keztanım verileri. Bunları unutursanız, sunulan teknikleri kullanarak her zaman kolayca hatırlayabilirsiniz.

Size dik üçgende sinüs ve kosinüs tanımlarını hatırlatmama izin verin:

Kosinüs Bir dik üçgende dar açı, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:

Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:

Peki kosinüs kelimesiyle ne gibi çağrışımlarınız var?

Muhtemelen herkesin kendine ait bir yeri vardır 😉Bağlantıyı unutmayın:

Böylece ifade hemen hafızanızda görünecektir -

«… YANINDAKİ bacağın hipotenüse oranı».

Kosinüs belirleme sorunu çözüldü.

Dik üçgende sinüs tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, o zaman kosinüs tanımını hatırlayarak, dik üçgendeki akut açının sinüsünün karşı tarafın hipotenüse oranı olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Sonuçta, yalnızca iki bacak vardır; eğer bitişik bacak kosinüs tarafından "işgal edilmişse", o zaman yalnızca karşı bacak sinüste kalır.

Peki ya teğet ve kotanjant? Karışıklık aynı. Öğrenciler bunun bir bacak ilişkisi olduğunu biliyorlar, ancak sorun hangisinin hangisine atıfta bulunduğunu hatırlamaktır - ya bitişiktekinin tersi ya da tam tersi.

Tanımlar:

Teğet Bir dik üçgende dar açı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:

Kotanjant Bir dik üçgende dar açı, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır:

Nasıl hatırlanır? İki yol var. Biri aynı zamanda sözlü-mantıksal bir bağlantı kullanıyor, diğeri ise matematiksel bir bağlantı kullanıyor.

MATEMATİKSEL YÖNTEM

Böyle bir tanım var - akut açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

*Formülü ezberledikten sonra, bir dik üçgendeki dar açının tanjantının karşı kenarın bitişik kenara oranı olduğunu her zaman belirleyebilirsiniz.

Aynı şekilde.Akut açının kotanjantı, açının kosinüsünün sinüsüne oranıdır:

Bu yüzden! Bu formülleri hatırlayarak her zaman şunu belirleyebilirsiniz:

- Bir dik üçgende dar bir açının tanjantı, karşı tarafın bitişik olana oranıdır.

- Bir dik üçgende bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır.

KELİME-MANTIK YÖNTEMİ

Teğet hakkında. Bağlantıyı unutmayın:

Yani teğetin tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, bu mantıksal bağlantıyı kullanarak ne olduğunu kolayca hatırlayabilirsiniz.

“... karşı tarafın bitişik tarafa oranı”

Kotanjant hakkında konuşursak, tanjant tanımını hatırlayarak kotanjant tanımını kolayca dile getirebilirsiniz -

“...bitişik tarafın karşı tarafa oranı”

Web sitesinde teğet ve kotanjantı hatırlamanın ilginç bir yolu var " Matematiksel tandem " , Bakmak.

EVRENSEL YÖNTEM

Sadece ezberleyebilirsiniz.Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, sözel-mantıksal bağlantılar sayesinde kişi, yalnızca matematiksel olanları değil, bilgileri uzun süre hatırlar.

Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.