Tüm bilimlerin kraliçesi olan matematiği incelerken, bir noktada herkes kesirlerle karşılaşır. Bu kavram (kesirlerin türleri veya onlarla yapılan matematiksel işlemler gibi) hiç de karmaşık olmasa da dikkatli bir şekilde ele alınmalıdır, çünkü gerçek hayat Okul dışında çok faydalı olacaktır. Öyleyse kesirler hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim: Nedirler, ne işe yararlar, türleri nelerdir ve onlarla nasıl farklı şeyler yapılabilir? Aritmetik işlemler.
Majesteleri kesri: nedir bu
Matematikte kesirler, her biri bir birimin bir veya daha fazla kısmından oluşan sayılardır. Bu tür kesirlere sıradan veya basit de denir. Kural olarak yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki sayı olarak yazılırlar, buna "kesirli" çizgi denir. Örneğin: ½, ¾.
Bu sayıların büyüğü veya birincisi paydır (sayıdan kaç parça alındığını gösterir), alttaki veya ikincisi ise paydadır (birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir).
Kesir çubuğu aslında bölme işareti olarak işlev görür. Örneğin 7:9=7/9
Geleneksel olarak ortak kesirler birden küçüktür. Ondalık sayılar bundan daha büyük olabilir.
Kesirler ne içindir? Her şey için evet çünkü gerçek dünya Tüm sayılar tam sayı değildir. Örneğin, kafeteryadaki iki kız öğrenci birlikte lezzetli bir çikolata satın aldı. Tatlıyı paylaşmak üzereyken bir arkadaşlarıyla tanıştılar ve ona da ikram etmeye karar verdiler. Ancak artık çikolatanın 12 kareden oluştuğunu göz önünde bulundurarak doğru şekilde bölmek gerekiyor.
İlk başta kızlar her şeyi eşit olarak bölmek istediler, sonra her biri dört parça alacaktı. Ancak iyice düşündükten sonra arkadaşlarına çikolatanın 1/3'ünü değil 1/4'ünü ikram etmeye karar verdiler. Ve kız öğrenciler kesirleri iyi çalışmadıkları için böyle bir durumda ellerinde ikiye bölünmesi çok zor olan 9 parçanın elde edileceğini hesaba katmadılar. Bu oldukça basit örnek, bir sayının bir bölümünü doğru şekilde bulmanın ne kadar önemli olduğunu göstermektedir. Ama hayatta benzer vakalar daha fazla.
Kesir türleri: sıradan ve ondalık
Tüm matematiksel kesirler iki büyük kategoriye ayrılır: sıradan ve ondalık. Bunlardan ilkinin özellikleri önceki paragrafta anlatılmıştı, bu yüzden şimdi ikinciye dikkat etmeye değer.
Ondalık, bir sayının kesirlerinin virgülle ayrılmış olarak, tire veya eğik çizgi olmadan yazılı olarak yazılan kesirlerinin konumsal gösterimidir. Örneğin: 0,75, 0,5.
Aslında ondalık sıradan olanla aynıdır, ancak paydası her zaman bir ve ardından sıfır gelir; adı da buradan gelir.
Ondalık noktadan önceki sayı Bütün parça ve ondan sonraki her şey kesirlidir. Bayıldım basit kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir. Böylece önceki örnekte belirtilen ondalık kesirler her zamanki gibi yazılabilir: ¾ ve ½.
Hem ondalık hem de sıradan kesirlerin pozitif veya negatif olabileceğini belirtmekte fayda var. Başlarında "-" işareti varsa, verilen kesir negatif, eğer "+" ise - o zaman pozitif.
Sıradan kesirlerin alt türleri
Bu tür basit kesirler vardır.
Ondalık kesrin alt türleri
Basit bir kesirden farklı olarak ondalık kesir yalnızca 2 türe ayrılır.
- Son - virgülden sonra sınırlı (sonlu) sayıda basamağa sahip olması nedeniyle bu adı almıştır: 19.25.
- Sonsuz kesir, virgülden sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir sayıdır. Örneğin 10'u 3'e böldüğümüzde sonuç şu olur: sonsuz kesir 3,333…
Kesirleri Ekleme
Kesirlerle çeşitli aritmetik işlemleri gerçekleştirmek, kesirlerle olduğundan biraz daha zordur. sıradan sayılar. Ancak temel kuralları anlarsanız onlarla herhangi bir örneği çözmek zor olmayacaktır.
Örneğin: 2/3+3/4. Bunların en küçük ortak katı 12 olacağından her paydada bu sayının olması gerekir. Bunu yapmak için ilk kesrin payını ve paydasını 4 ile çarpıyoruz, 8/12 çıkıyor, ikinci terim için de aynısını yapıyoruz ama sadece 3 - 9/12 ile çarpıyoruz. Artık örneği kolaylıkla çözebilirsiniz: 8/12+9/12= 17/12. Ortaya çıkan kesir yanlış bir değerdir çünkü pay paydadan büyüktür. 17:12 = 1 ve 5/12'ye bölünerek doğru karışıma dönüştürülebilir ve dönüştürülmelidir.
Karışık kesirler eklenirken önce tam sayılarla, sonra kesirlerle işlemler yapılır.
Örnek bir ondalık kesir ve bir normal kesir içeriyorsa, her ikisini de basit hale getirip ardından aynı paydaya getirip eklemek gerekir. Örneğin 3,1+1/2. 3.1 sayısı şu şekilde yazılabilir: karışık fraksiyon 3 ve 1/10 veya yanlış - 31/10. Terimlerin ortak paydası 10 olacaktır, yani 1/2'nin payını ve paydasını dönüşümlü olarak 5 ile çarpmanız gerekir, 5/10 elde edersiniz. O zaman her şeyi kolaylıkla hesaplayabilirsiniz: 31/10+5/10=35/10. Elde edilen sonuç uygunsuz indirgenebilir bir kesirdir, bunu azaltıyoruz normal görünüm, 5 azaltılarak: 7/2 = 3 ve 1/2 veya ondalık sayı - 3,5.
2 ondalık kesir eklerken, virgülden sonra aynı sayıda rakamın olması önemlidir. Durum böyle değilse, eklemeniz yeterlidir Gerekli miktar sıfırlar, çünkü ondalık kesirlerde bu ağrısız bir şekilde yapılabilir. Örneğin, 3,5+3,005. Bu sorunu çözmek için ilk sayıya 2 sıfır ekleyip ardından birer birer eklemeniz gerekir: 3.500+3.005=3.505.
Kesirlerde Çıkarma
Kesirleri çıkarırken, eklerken yaptığınızın aynısını yapmalısınız: azaltın ortak payda, bir payı diğerinden çıkarın ve gerekirse sonucu karışık kesire dönüştürün.
Örneğin: 16/20-5/10. Ortak payda 20 olacak. İkinci kesri bu paydaya getirmeniz gerekiyor, onun her iki parçasını da 2 ile çarparak 10/20 elde edersiniz. Artık örneği çözebilirsiniz: 16/20-10/20= 6/20. Ancak bu sonuç indirgenebilir kesirler için geçerli olduğundan her iki tarafı da 2'ye bölmek gerekir ve sonuç 3/10 olur.
Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmaya göre çok daha basit işlemlerdir. Gerçek şu ki, bu görevleri yerine getirirken ortak bir payda aramaya gerek yok.
Kesirleri çarpmak için her iki payı da birer birer çarpmanız ve ardından her iki paydayı da çarpmanız yeterlidir. Kesir indirgenebilir bir miktar ise, ortaya çıkan sonucu azaltın.
Örneğin: 4/9x5/8. Alternatif çarpma işleminden sonra sonuç 4x5/9x8=20/72 olur. Bu kesir 4'e kadar azaltılabilir, dolayısıyla örnekteki son cevap 5/18'dir.
Kesirler nasıl bölünür
Kesirleri bölmek de basit bir işlemdir; aslında mesele onları çarpmaktır. Bir kesri diğerine bölmek için ikinciyi ters çevirip birinciyle çarpmanız gerekir.
Örneğin 5/19 ve 5/7 kesirlerini bölmek. Örneği çözmek için ikinci kesrin paydasını ve payını değiştirip çarpmanız gerekir: 5/19x7/5=35/95. Sonuç 5 azaltılabilir - 7/19 çıkıyor.
Bir kesri asal sayıya bölmeniz gerekiyorsa, teknik biraz farklıdır. Başlangıçta bu sayıyı uygunsuz bir kesir olarak yazmalı ve ardından aynı şemaya göre bölmelisiniz. Örneğin 2/13:5 2/13:5/1 şeklinde yazılmalıdır. Şimdi 5/1'i çevirip elde edilen kesirleri çarpmanız gerekiyor: 2/13x1/5= 2/65.
Bazen karışık kesirleri bölmeniz gerekir. Onlara tam sayılarda olduğu gibi davranmalısınız: onları bileşik kesirlere dönüştürün, böleni ters çevirin ve her şeyi çarpın. Örneğin, 8 ½: 3. Her şeyi dönüştürün uygunsuz kesirler: 17/2: 3/1. Bunu 3/1 çevirme ve çarpma takip eder: 17/2x1/3= 17/6. Şimdi yanlış kesri doğru kesre çevirmelisiniz: 2 tam ve 5/6.
Yani kesirlerin ne olduğunu ve onlarla çeşitli aritmetik işlemleri nasıl gerçekleştirebileceğinizi anladıktan sonra, bunu unutmamaya çalışmalısınız. Sonuçta, insanlar her zaman bir şeyi eklemek yerine parçalara ayırmaya daha eğilimlidirler, bu nedenle bunu doğru şekilde yapabilmeniz gerekir.
Kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar keselim - ¼ olacak. Bunlar kesirler. Ve her şey basit görünüyordu. Bir yetişkin için. Çocuk için (ve bu konu sonunda çalışmaya başla ilkokul) soyut matematiksel kavramlar hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmen, doğru kesir ve yanlış kesirin, sıradan ve ondalık sayının ne olduğunu, onlarla hangi işlemlerin yapılabileceğini ve en önemlisi tüm bunların ne için gerekli olduğunu açıkça açıklamalıdır.
Ne tür kesirler vardır?
Tanımak yeni Konu okulda sıradan kesirlerle başlar. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve doğru sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.
Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örneğe bakalım: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."
Yeni konseptler
Sıradan kesirlere dönelim. İki tipte gelirler.
Uygun kesirin tanımı şu şekildedir: Payı eşit olan kesirdir. paydadan daha az. Neden önemlidir? Şimdi göreceğiz!
Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplam - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin kaç meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net anlaşılır. .
Yani, doğru ve yanlış kesirleri adlandırmada kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman düzensizdir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.
Bir kesrin temel özelliği
Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: Pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!
Kesinti
Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazması zahmetli olan ancak aslında kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.
Karışık sayılar
Uygunsuz bir kesir, karışık bir sayı olarak temsil edilebilir. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.
Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.
Gerçekleştirmek mümkün ters işlem- Bunu yapmak için parçanın tamamını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.
Çarpma ve bölme
İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Kesirleri Ekleme
Toplama işlemi yapmanız gerekiyorsa veya paydası ise ne yapmalısınız? farklı sayılar? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek, yani her iki kesirin alt kısmının aynı sayılara sahip olması gerekir.
Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü daha küçük değer 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen bir sayı yoktur.
Kullanım
Uygun olmayan kesirler ne için kullanılır? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.
Hadi alalım sonraki örnek: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)
Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).
Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.
Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.
Yaygın hatalar
Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.
Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, tek tek bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki: (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ü çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık. Ancak toplama yaparken terimlerden biriyle hiçbir işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.
Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İki doğru olanı alalım indirgenemez kesirler ve birbirlerine bölün: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur, ancak bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.
Parantez
Bunu herhangi bir durumda hatırla matematiksel ifadelerİşlem sırası, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlenir. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.
Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.
Bilgisayarda kesir nasıl yazılır
Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırıp aralarında çizim yaparlar. yatay çizgi. Tabii ki, daha basit bir seçenek var, bu arada, pek çok şey sağlıyor Ek özellikler gelecekte işinize yarayacak.
Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!
Bu işlevi kullanırsanız ekranda herhangi bir şeyi kullanabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. matematiksel işaretler, klavyede eksik ve ayrıca kesirleri klasik biçimde yazın. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Hatta böylesine düzgün bir kesir yazmanın bu kadar kolay olmasına şaşırabilirsiniz.
Matematik öğren
Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında pek çok alanda matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. okul konuları. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan, her şeyi zihninizde hesaplamayı öğreneceksiniz, ama giderek daha fazlasını öğreneceksiniz. karmaşık örnekler. Bu nedenle, doğru kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin. Müfredat, ödevinizi zamanında yapın ve başaracaksınız.
Yaygın kesirler \textit (doğru) ve \textit (uygun olmayan) kesirlere ayrılır. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.
Uygun Kesirler
Uygun kesir isminde ortak kesir Payı paydadan küçük olan $\frac(m)(n)$, yani milyon dolar
örnek 1
Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ kesirleri doğrudur yani bunların her birinde pay, paydadan daha küçüktür, bu da uygun kesir tanımını karşılar.
Kesirin bir ile karşılaştırılmasına dayanan bir uygun kesir tanımı vardır.
doğru birden küçükse:
Örnek 2
Örneğin, $\frac(6)(13)$ ortak kesri uygundur çünkü $\frac(6)(13) koşulu sağlandı
Uygunsuz kesirler
Uygunsuz kesir payı veya değerinden büyük olan sıradan bir $\frac(m)(n)$ kesiridir paydaya eşit yani $m\ge n$.
Örnek 3
Örneğin, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ kesirleri düzensizdir yani her birinde pay paydadan büyük veya paydaya eşit, bu da uygunsuz kesir tanımını karşılıyor.
Uygun olmayan bir kesrin bir ile karşılaştırılmasına dayanan bir tanımını verelim.
Ortak kesir $\frac(m)(n)$ yanlış 1'e eşit veya birden büyükse:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Örnek 4
Örneğin, $\frac(21)(4)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(21)(4) >1$ koşulu sağlandı;
$\frac(8)(8)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(8)(8)=1$ koşulu karşılandı.
Uygunsuz kesir kavramına daha yakından bakalım.
Örnek olarak $\frac(7)(7)$ uygunsuz kesirini ele alalım. Bu kesrin manası, yedi eşit parçaya bölünmüş bir cismin yedi hissesini almaktır. Böylece mevcut yedi paylaşımdan nesnenin tamamı oluşturulabilir. Onlar. uygunsuz kesir $\frac(7)(7)$ açıklar tüm konu ve $\frac(7)(7)=1$. Dolayısıyla payın paydaya eşit olduğu uygunsuz kesirler bir tam nesneyi tanımlar ve böyle bir kesir $1$ doğal sayısıyla değiştirilebilir.
$\frac(5)(2)$ -- bu beş saniyelik bölümlerden $2$ bütün nesneler oluşturabileceğiniz oldukça açıktır (bir bütün nesne $2$ parçalardan oluşacaktır ve iki tam nesneyi oluşturmak için $2+2=4$ hisseye ihtiyacınız var) ve geriye bir ikinci hisse kalıyor. Yani, $\frac(5)(2)$ uygunsuz kesri bir nesnenin $2$'ını ve bu nesnenin payını $\frac(1)(2)$ açıklar.
$\frac(21)(7)$ -- yirmi bir yedinci parçalardan $3$ bütün nesneler (her birinde $7$ paya sahip $3$ nesneler) yapabilirsiniz. Onlar. $\frac(21)(7)$ kesri $3$ bütün nesneleri tanımlar.
Ele alınan örneklerden şu sonuca varılabilir: sonraki çıktı: Pay, paydaya bölünebiliyorsa uygunsuz bir kesirin yerine doğal bir sayı gelebilir (örneğin, $\frac(7)(7)=1$ ve $\frac(21)(7)=3$), veya toplam doğal sayı ve pay, paydaya tamamen bölünemiyorsa uygun bir kesir (örneğin, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Bu yüzden bu tür kesirlere denir yanlış.
Tanım 1
Uygun olmayan bir kesri, bir doğal sayı ile bir uygun kesirin toplamı olarak temsil etme işlemine (örneğin, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) denir. bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak.
Uygunsuz kesirlerle çalışırken şunu gözlemleyebilirsiniz: yakın bağlantı aralarında ve karışık sayılar.
Uygunsuz bir kesir genellikle bir tam sayı ve bir kesir kısmından oluşan bir sayı olan karışık bir sayı olarak yazılır.
Uygun olmayan bir kesri tam sayı olarak yazmak için payı paydaya ve kalana bölmeniz gerekir. Bölüm, tam sayının tam kısmı, kalan kısım kesirli kısmın payı, bölen ise kesirli kısmın paydası olacaktır.
Örnek 5
$\frac(37)(12)$ uygunsuz kesirini karışık sayı olarak yazın.
Çözüm.
Payı paydaya kalanla bölün:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (kalan\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Cevap.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Karışık bir sayıyı bileşik kesir olarak yazmak için, paydayı sayının tam kısmı ile çarpmanız, kesirli kısmın payını ortaya çıkan çarpıma eklemeniz ve elde edilen miktarı kesrin payına yazmanız gerekir. Uygunsuz kesrin paydası, karışık sayının kesirli kısmının paydasına eşit olacaktır.
Örnek 6
$5\frac(3)(7)$ karışık sayısını uygunsuz kesir olarak yazın.
Çözüm.
Cevap.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Karışık sayıları ve uygun kesirleri toplama
Karışık Sayı Toplama$a\frac(b)(c)$ ve uygun kesir$\frac(d)(e)$, belirli bir kesirli sayının kesirli kısmının eklenmesiyle gerçekleştirilir:
Örnek 7
Uygun kesir $\frac(4)(15)$ ile karışık sayıyı $3\frac(2)(5)$ ekleyin.
Çözüm.
Karışık bir sayı ve uygun bir kesir eklemek için formülü kullanalım:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
\textit(5) sayısına bölerek $\frac(10)(15)$ kesirinin indirgenebilir olduğunu belirleyebiliriz. Azaltma işlemini yapıp toplama işleminin sonucunu bulalım:
Yani, $\frac(4)(15)$ doğru kesirini ve $3\frac(2)(5)$ karma sayısını toplamanın sonucu $3\frac(2)(3)$ olur.
Cevap:$3\frac(2)(3)$
Karışık sayıları ve bileşik kesirleri toplama
Uygunsuz kesirleri ve karışık sayıları toplama iki karışık sayının eklenmesine indirgenir; bunun için tüm parçayı yanlış kesirden ayırmak yeterlidir.
Örnek 8
$6\frac(2)(15)$ karışık sayısının ve $\frac(13)(5)$ uygunsuz kesirinin toplamını hesaplayın.
Çözüm.
Öncelikle $\frac(13)(5)$ hatalı kesirinden tamsayı kısmını çıkaralım:
Cevap:$8\frac(11)(15)$.
“Kesirler” kelimesi birçok insanın tüylerini diken diken eder. Çünkü okulu ve matematikte çözülen görevleri hatırlıyorum. Bu yerine getirilmesi gereken bir görevdi. Doğru ve yanlış kesirleri içeren problemleri bir bulmaca gibi ele alsanız ne olur? Sonuçta birçok yetişkin dijital ve Japonca bulmacaları çözüyor. Kuralları çözdük ve bu kadar. Burada da durum aynı. Kişinin yalnızca teoriye dalması gerekir - ve her şey yerine oturacaktır. Ve örnekler beyninizi eğitmenin bir yoluna dönüşecek.
Ne tür kesirler vardır?
Ne olduğuyla başlayalım. Kesir, bir kısmı bire sahip olan bir sayıdır. İki biçimde yazılabilir. İlkine sıradan denir. Yani yatay veya eğimli bir çizgiye sahip olan. Bölme işaretine eşdeğerdir.
Bu gösterimde çizginin üstündeki sayıya pay, altındaki sayıya ise payda adı verilir.
Sıradan kesirler arasında uygun ve yanlış kesirler ayırt edilir. Birincisi için payın mutlak değeri her zaman paydadan küçüktür. Yanlış olanlara böyle denir çünkü onlarda her şey tam tersidir. Bir uygun kesrin değeri her zaman birden küçüktür. Yanlış olan ise her zaman bu sayıdan büyüktür.
Ayrıca tamsayı ve kesirli kısmı olan karışık sayılar da vardır.
İkinci gösterim türü ondalık kesirdir. Onun hakkında ayrı bir konuşma var.
Uygunsuz kesirlerin karışık sayılardan farkı nedir?
Aslında hiçbir şey. Bunlar sadece aynı numaranın farklı kayıtlarıdır. Uygun olmayan kesirler, basit adımlardan sonra kolayca karışık sayılara dönüşür. Ve tam tersi.
Her şey bağlıdır özel durum. Bazen görevlerde uygunsuz bir kesir kullanmak daha uygundur. Bazen bunu tam sayıya dönüştürmek gerekir ve o zaman örnek çok kolay çözülecektir. Bu nedenle ne kullanılacağı: uygunsuz kesirler, karışık sayılar, problemi çözen kişinin gözlem becerisine bağlıdır.
Karışık sayı aynı zamanda tam sayı ve kesirli kısmın toplamı ile de karşılaştırılır. Üstelik ikincisi her zaman birden küçüktür.
Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak nasıl gösterebilirim?
Eğer yazılı olan birden fazla sayı ile herhangi bir işlem yapmanız gerekiyorsa farklı şekiller, o zaman onları aynı yapmanız gerekir. Yöntemlerden biri sayıları uygunsuz kesirler olarak temsil etmektir.
Bu amaçla aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:
- paydayı tam kısımla çarpın;
- payın değerini sonuca ekleyin;
- cevabı satırın üstüne yazın;
- paydayı aynı bırakın.
Karışık sayılardan uygunsuz kesirlerin nasıl yazılacağına dair örnekler:
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Uygunsuz bir kesir karışık sayı olarak nasıl yazılır?
Bir sonraki teknik yukarıda tartışılanın tam tersidir. Yani, tüm karışık sayıların yerini uygunsuz kesirler aldığında. Eylem algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:
- kalanı elde etmek için payın paydaya bölünmesi;
- bölümü karışık olanın tamamı yerine yazın;
- geri kalanı çizginin üstüne yerleştirilmelidir;
- bölen payda olacaktır.
Böyle bir dönüşümün örnekleri:
76/14; 76:14 = 5, kalan 6; cevap 5 tam ve 6/14 olacak; kesirli kısım bu örnekte 2 azaltmanız gerekiyor, 3/7 elde ediyorsunuz; son cevap 5 puan 3/7'dir.
108/54; bölme işleminden sonra kalansız 2 bölümü elde edilir; bu, tüm uygunsuz kesirlerin karışık sayı olarak temsil edilemeyeceği anlamına gelir; cevap bir tam sayı olacaktır - 2.
Bir tam sayıyı yanlış kesire nasıl dönüştürebilirim?
Böyle bir eylemin gerekli olduğu durumlar vardır. Bilinen bir paydaya sahip uygunsuz kesirler elde etmek için aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:
- bir tam sayıyı istenen paydayla çarpın;
- bu değeri satırın üstüne yazın;
- paydayı altına yerleştirin.
En basit seçenek, paydanın bire eşit. O zaman hiçbir şeyi çarpmanıza gerek yok. Örnekte verilen tamsayıyı yazıp satırın altına bir tane yerleştirmek yeterlidir.
Örnek: 5'i paydası 3 olan bileşik kesir yapın. 5'i 3 ile çarpmak 15'i verir. Bu sayı payda olacaktır. Görevin cevabı kesirdir: 15/3.
Farklı sayılarla problem çözmede iki yaklaşım
Örnek, iki sayının toplamı ve farkının yanı sıra çarpımı ve bölümünün de hesaplanmasını gerektirir: 2 tam sayı 3/5 ve 14/11.
İlk yaklaşımda karışık sayı uygunsuz bir kesir olarak temsil edilecektir.
Yukarıda anlatılan adımları uyguladıktan sonra şu değeri elde edeceksiniz: 13/5.
Toplamı bulmak için kesirleri azaltmanız gerekir. aynı payda. 13/5, 11 ile çarpıldığında 143/55 olur. Ve 14/11, 5 ile çarpıldıktan sonra şöyle görünecektir: 70/55. Toplamı hesaplamak için yalnızca payları eklemeniz gerekir: 143 ve 70 ve ardından cevabı bir paydayla yazın. 213/55 - Bu bileşik kesir sorunun cevabıdır.
Farkı bulurken aynı sayılar çıkarılır: 143 - 70 = 73. Cevap kesir olacaktır: 73/55.
13/5 ile 14/11'i çarparken ortak paydaya indirmenize gerek yok. Çiftler halinde pay ve paydaları çarpmak yeterlidir. Cevap: 182/55 olacaktır.
Aynı şey bölme için de geçerli. İçin doğru karar bölmeyi çarpma ile değiştirmeniz ve böleni ters çevirmeniz gerekir: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
İkinci yaklaşımda uygunsuz bir kesir karışık bir sayıya dönüşür.
Algoritmanın işlemlerini gerçekleştirdikten sonra 14/11, tamsayı kısmı 1 ve kesirli kısmı 3/11 olan karışık bir sayıya dönüşecektir.
Toplamı hesaplarken tam ve kesirli kısımları ayrı ayrı eklemeniz gerekir. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Son cevap 3 nokta 48/55'tir. İlk yaklaşımda kesir 213/55 idi. Karışık sayıya dönüştürerek doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. 213'ü 55'e böldüğümüzde bölüm 3, kalan 48 oluyor. Cevabın doğru olduğunu görmek çok kolay.
Çıkarma işleminde “+” işaretinin yerini “-” alır. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Kontrol etmek için, önceki yaklaşımdan elde edilen cevabın karışık bir sayıya dönüştürülmesi gerekir: 73, 55'e bölünür ve bölüm 1, kalan ise 18'dir.
Çarpımı ve bölümü bulmak için karışık sayıları kullanmak sakıncalıdır. Burada her zaman uygunsuz kesirlere geçilmesi tavsiye edilir.
Basit matematik kuralları ve teknikler sürekli kullanılmadığı takdirde çok çabuk unutulur. Terimler hafızadan daha da hızlı kaybolur.
Bunlardan biri basit eylemler– uygun olmayan bir kesirin düzgün veya başka bir deyişle karışık bir kesire dönüştürülmesi.
Uygunsuz kesir
Uygunsuz kesir, payın (çizginin üzerindeki sayı) paydadan (çizginin altındaki sayı) büyük veya ona eşit olduğu kesirdir. Bu kesir, kesirlerin eklenmesi veya bir kesirin bir tam sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Matematik kurallarına göre böyle bir kesrin uygun kesir haline dönüştürülmesi gerekir.
Uygun kesir
Diğer tüm kesirlerin uygun olarak adlandırıldığını varsaymak mantıklıdır. Kesin bir tanım, payı paydasından küçük olan bir kesirin doğru olarak adlandırılmasıdır. Tamsayı kısmı olan bir kesire bazen karışık kesir denir.
Uygun olmayan bir kesirin uygun bir kesire dönüştürülmesi
- İlk durum: pay ve payda birbirine eşittir. Böyle bir kesri dönüştürmenin sonucu birdir. Üçte üç ya da yüz yirmi beş yüz yirmi beşte olması önemli değil. Esasen böyle bir kesir, bir sayının kendisine bölünmesi eylemini ifade eder.
- İkinci durum: Pay, paydadan büyüktür. Burada sayıları kalanla bölme yöntemini hatırlamanız gerekir.
Bunu yapmak için paydaya kalansız bölünebilen pay değerine en yakın sayıyı bulmanız gerekir. Örneğin, on dokuz üçte birlik kesiriniz var. En numarayı kapatüçe bölünebilen on sekizdir. Bu altı. Şimdi elde edilen sayıyı paydan çıkarın. Bir tane alıyoruz. Geriye kalan bu. Dönüşümün sonucunu yazın: altı tam ve üçte biri.
Ancak kesri azaltmadan önce doğru tür kısaltılıp kısaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir.
Pay ve paydanın eşit olması durumunda bir kesirin azaltılması mümkündür ortak bölen. Yani her ikisinin de kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu tür bölenlerden birkaçı varsa, en büyüğünü bulmanız gerekir.
Örneğin, tüm çift sayıların böyle bir ortak böleni vardır - iki. Ve on altı on ikide bir kesirin bir ortak böleni daha var - dört. Bu en büyük bölen. Pay ve paydayı dörde bölün. Azaltma sonucu: üçte dört. Şimdi pratik olarak bu kesri uygun kesre dönüştürün.
