Shapovalova L.A. (Station Egorlykskaya, MBOU ESOSH n°11)
1. Glazer G.I. Histoire des mathématiques en école VII – VIIIe année, manuel pour les enseignants, - M : Education, 1982.
2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. « Derrière les pages d'un manuel de mathématiques » Un manuel destiné aux élèves de la 5e à la 6e année. – M. : Éducation, 1989.
3. Zenkevitch I.G. "Esthétique d'un cours de mathématiques." – M. : Éducation, 1981.
4. Litzman V. Théorème de Pythagore. – M., 1960.
5. Volochinov A.V. "Pythagore". – M., 1993.
6. Pichurin L.F. "Derrière les pages d'un manuel d'algèbre." – M., 1990.
7. Zemliakov A.N. "Géométrie en 10e année." – M., 1986.
8. Journal « Mathématiques » 17/1996.
9. Journal « Mathématiques » 3/1997.
10. Antonov N.P., Vygodsky M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Collection de problèmes pour mathématiques élémentaires" – M., 1963.
11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Manuel de mathématiques". – M., 1973.
12. Shchetnikov A.I. "Doctrine pythagoricienne du nombre et de la grandeur." – Novossibirsk, 1997.
13. " Chiffres réels. Expressions irrationnelles» 8e année. Maison d'édition Université de Tomsk. –Tomsk, 1997.
14. Atanasyan M.S. "Géométrie" de la 7e à la 9e année. – M. : Éducation, 1991.
15. URL : www.moypifagor.narod.ru/
16. URL : http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
Dans ce année académique j'ai rencontré théorème intéressant, il s'avère qu'il s'avère que depuis l'Antiquité :
"Un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les jambes."
La découverte de cette affirmation est généralement attribuée au philosophe et mathématicien grec Pythagore (VIe siècle avant JC). Mais l'étude des manuscrits anciens a montré que cette affirmation était connue bien avant la naissance de Pythagore.
Je me demandais pourquoi, dans ce cas, il était associé au nom de Pythagore.
Pertinence du sujet : Le théorème de Pythagore a grande importance: utilisé en géométrie littéralement à chaque étape. Je crois que les œuvres de Pythagore sont toujours d'actualité, car partout où nous regardons, partout nous pouvons voir les fruits de ses grandes idées, incarnées dans diverses industries la vie moderne.
Le but de mes recherches était de découvrir qui était Pythagore et ce qu'il avait à voir avec ce théorème.
En étudiant l'histoire du théorème, j'ai décidé de découvrir :
Existe-t-il d'autres preuves de ce théorème ?
Quelle est la signification de ce théorème dans la vie des gens ?
Quel rôle Pythagore a-t-il joué dans le développement des mathématiques ?
Extrait de la biographie de Pythagore
Pythagore de Samos est un grand scientifique grec. Sa renommée est associée au nom du théorème de Pythagore. Bien que nous sachions maintenant que ce théorème était connu dans Babylone antique 1200 ans avant Pythagore, et en Egypte 2000 ans avant lui, on savait triangle rectangle de côtés 3, 4, 5, on l'appelle encore du nom de cet ancien savant.
On ne sait presque rien de manière fiable sur la vie de Pythagore, mais son nom est associé grand nombre légendes.
Pythagore est né en 570 avant JC sur l'île de Samos.
Pythagore avait une belle apparence, portait une longue barbe et un diadème doré sur la tête. Pythagore n'est pas un nom, mais un surnom que le philosophe a reçu parce qu'il parlait toujours correctement et de manière convaincante, comme un oracle grec. (Pythagore - « persuasif par la parole »).
En 550 avant JC, Pythagore prend une décision et se rend en Egypte. Donc, avant Pythagore, il s'ouvre pays inconnu et une culture inconnue. Pythagore fut très étonné et surpris dans ce pays, et après quelques observations de la vie des Egyptiens, Pythagore comprit que le chemin de la connaissance, protégé par la caste sacerdotale, passait par la religion.
Après onze années d'études en Égypte, Pythagore se rend dans son pays natal, où en chemin il se retrouve en captivité babylonienne. Là, il fait la connaissance de la science babylonienne, plus développée que celle égyptienne. Les Babyloniens savaient comment résoudre des problèmes linéaires, carrés et certains types de problèmes. équations cubiques. S'étant échappé de captivité, il n'a pas pu rester longtemps dans son pays natal en raison de l'atmosphère de violence et de tyrannie qui y régnait. Il décide de s'installer à Croton ( colonie grecque en Italie du Nord).
C'est à Crotone que commença la période la plus glorieuse de la vie de Pythagore. Là, il fonda quelque chose comme une confrérie religieuse et éthique ou un ordre monastique secret, dont les membres étaient obligés de mener le mode de vie dit pythagoricien.
Pythagore et les Pythagoriciens
Pythagore organisa dans la colonie grecque du sud de la péninsule des Apennins une confrérie religieuse et éthique, telle qu'un ordre monastique, qui sera plus tard appelé l'Union Pythagoricienne. Les membres du syndicat devaient adhérer à certains principes : premièrement, lutter pour le beau et le glorieux, deuxièmement, être utiles, et troisièmement, lutter pour le grand plaisir.
Le système de règles morales et éthiques, léguées par Pythagore à ses étudiants, a été compilé dans un code moral particulier des « Vers d'or » des Pythagoriciens, très populaires à l'époque de l'Antiquité, du Moyen Âge et de la Renaissance.
Le système de classes pythagoricien se composait de trois sections :
Enseignement des nombres - arithmétique,
Enseignements sur les figures - géométrie,
Doctrines sur la structure de l'Univers - astronomie.
Le système éducatif fondé par Pythagore a duré plusieurs siècles.
L’école pythagoricienne a beaucoup fait pour donner à la géométrie le caractère d’une science. La principale caractéristique de la méthode pythagoricienne était la combinaison de la géométrie et de l'arithmétique.
Pythagore a beaucoup traité des proportions et des progressions et, probablement, de la similitude des figures, puisqu'on lui attribue la résolution du problème : « Étant donné deux figures, construisez-en une troisième, égale en taille à l'une des données et similaire à la seconde. »
Pythagore et ses étudiants ont introduit le concept de nombres polygonaux, amicaux et parfaits et ont étudié leurs propriétés. Pythagore ne s’intéressait pas à l’arithmétique en tant que pratique du calcul, et il déclarait fièrement qu’il « plaçait l’arithmétique au-dessus des intérêts du marchand ».
Les membres de la Ligue Pythagoricienne résidaient dans de nombreuses villes de Grèce.
Les Pythagoriciens acceptaient également les femmes dans leur société. Le syndicat a prospéré pendant plus de vingt ans, puis la persécution de ses membres a commencé et de nombreux étudiants ont été tués.
Il existe de nombreuses légendes différentes sur la mort de Pythagore lui-même. Mais les enseignements de Pythagore et de ses étudiants ont continué à perdurer.
De l'histoire de la création du théorème de Pythagore
On sait désormais que ce théorème n’a pas été découvert par Pythagore. Cependant, certains pensent que c'est Pythagore qui en a donné le premier la preuve complète, tandis que d'autres lui nient ce mérite. Certains attribuent à Pythagore la preuve qu'Euclide donne dans le premier livre de ses Éléments. D'un autre côté, Proclus prétend que la preuve dans les Éléments appartient à Euclide lui-même. Comme on le voit, l'histoire des mathématiques n'a conservé pratiquement aucune donnée spécifique fiable sur la vie de Pythagore et ses activités mathématiques.
Nous commençons notre revue historique du théorème de Pythagore par Chine ancienne. Ici attention particulière attire livre de mathématiques Chu Pei. Cet essai parle de Triangle de Pythagore avec les côtés 3, 4 et 5 :
"Si un angle droit est décomposé en ses éléments constitutifs, alors la ligne reliant les extrémités de ses côtés sera 5, lorsque la base est 3 et la hauteur est 4."
Il est très simple de reproduire leur méthode de construction. Prenons une corde de 12 m de long et attachons-y une bande colorée à une distance de 3 m. d'une extrémité et à 4 mètres de l'autre. L'angle droit sera enserré entre des côtés de 3 à 4 mètres de long.
Chez les hindous, la géométrie était étroitement liée au culte. Il est très probable que le carré du théorème de l’hypoténuse était déjà connu en Inde vers le VIIIe siècle avant JC. A côté des prescriptions purement rituelles, il existe également des ouvrages à caractère théologique géométrique. Dans ces écrits datant du IVe ou Ve siècle avant JC, on rencontre la construction d'un angle droit à l'aide d'un triangle de côtés 15, 36, 39.
Au Moyen Âge, le théorème de Pythagore déterminait la limite, sinon du plus grand possible, du moins du bien. connaissances mathématiques. Le dessin caractéristique du théorème de Pythagore, qui est aujourd'hui parfois transformé par les écoliers, par exemple en un professeur vêtu d'une robe ou en un homme coiffé d'un haut-de-forme, était souvent utilisé à cette époque comme symbole des mathématiques.
En conclusion, nous présentons diverses formulations du théorème de Pythagore traduites du grec, du latin et de l'allemand.
Le théorème d'Euclide déclare (traduction littérale) :
« Dans un triangle rectangle, le carré du côté étendu sur l'angle droit égal aux carrés sur les côtés contenant un angle droit.
Comme on le voit, dans différents pays Et différentes langues Il existe différentes versions de la formulation du théorème familier. Créé en des moments différents et dans différentes langues, ils reflètent l'essence d'une loi mathématique, dont la preuve comporte également plusieurs options.
Cinq façons de prouver le théorème de Pythagore
Preuve chinoise ancienne
Dans l'ancien dessin chinois, quatre triangles rectangles égaux avec les pattes a, b et l'hypoténuse c sont disposés de telle sorte que leur contour extérieur forme un carré de côté a + b et que le contour intérieur forme un carré de côté c, construit sur l'hypoténuse.
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Preuve par J. Hardfield (1882)
Disposons deux triangles rectangles égaux de manière à ce que la jambe de l'un d'eux soit la continuation de l'autre.
L'aire du trapèze considéré se trouve comme le produit de la moitié de la somme des bases et de la hauteur
En revanche, l'aire d'un trapèze est égale à la somme des aires des triangles résultants :
En égalisant ces expressions, on obtient :
La preuve est simple
Cette preuve est obtenue dans le cas le plus simple d’un triangle rectangle isocèle.
C'est probablement là que le théorème a commencé.
En fait, il suffit de regarder la mosaïque de triangles rectangles isocèles pour se convaincre de la validité du théorème.
Par exemple, pour le triangle ABC : le carré construit sur l'hypoténuse AC contient 4 triangles originaux, et les carrés construits sur les côtés en contiennent deux. Le théorème a été prouvé.
Preuve des anciens hindous
Un carré de côté (a + b) peut être divisé en parties comme sur la Fig. 12.a, ou comme sur la Fig. 12, b. Il est clair que les parties 1, 2, 3, 4 sont les mêmes sur les deux images. Et si vous soustrayez les égaux des (surfaces) égales, alors ils resteront égaux, c'est-à-dire c2 = a2 + b2.
La preuve d'Euclide
Pendant deux millénaires, la preuve la plus utilisée du théorème de Pythagore fut celle d’Euclide. Il est placé dans son célèbre livre «Principes».
Euclide a abaissé la hauteur BN du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse et a prouvé que sa continuation divise le carré complété sur l'hypoténuse en deux rectangles dont les aires sont égales aux aires des carrés correspondants construits sur les côtés.
Le dessin utilisé pour prouver ce théorème est appelé en plaisantant « pantalon pythagoricien ». Pendant longtemps, il a été considéré comme l’un des symboles de la science mathématique.
Application du théorème de Pythagore
L'importance du théorème de Pythagore est que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être dérivés ou avec son aide et que de nombreux problèmes peuvent être résolus. De plus, l'importance pratique du théorème de Pythagore et de son théorème inverse réside dans le fait qu'avec leur aide, vous pouvez trouver les longueurs des segments sans mesurer les segments eux-mêmes. Ceci, pour ainsi dire, ouvre la voie d'une ligne droite à un plan, d'un plan à l'espace volumétrique et au-delà. C'est pour cette raison que le théorème de Pythagore est si important pour l'humanité, qui s'efforce de tout découvrir. plus de dimensions et créer des technologies dans ces dimensions.
Conclusion
Le théorème de Pythagore est si célèbre qu'il est difficile d'imaginer une personne qui n'en a pas entendu parler. J'ai appris qu'il existe plusieurs façons de prouver le théorème de Pythagore. J'ai étudié un certain nombre de sources historiques et mathématiques, y compris des informations sur Internet, et j'ai réalisé que le théorème de Pythagore est intéressant non seulement pour son histoire, mais aussi pour ce qu'il occupe. lieu important dans la vie et la science. Ceci est démontré par les différentes interprétations du texte de ce théorème et les modalités de sa preuve que j'ai données dans cet ouvrage.
Ainsi, le théorème de Pythagore est l'un des principaux et, pourrait-on dire, le plus théorème principal géométrie. Son importance réside dans le fait que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être déduits ou avec son aide. Le théorème de Pythagore est également remarquable car en soi il n’est pas du tout évident. Par exemple, les propriétés triangle isocèle visible directement sur le dessin. Mais peu importe à quel point vous regardez un triangle rectangle, vous ne verrez jamais qu’il existe une relation simple entre ses côtés : c2 = a2 + b2. C’est pourquoi la visualisation est souvent utilisée pour le prouver. Le mérite de Pythagore était d’avoir donné une preuve scientifique complète de ce théorème. La personnalité du scientifique lui-même, dont la mémoire n’est pas préservée par hasard par ce théorème, est intéressante. Pythagore est un merveilleux orateur, professeur et éducateur, organisateur de son école, axé sur l'harmonie de la musique et des nombres, la bonté et la justice, la connaissance et image saine vie. Il pourrait bien servir d’exemple pour nous, descendants lointains.
Lien bibliographique
Tumanova S.V. PLUSIEURS FAÇONS DE PREUVER LE THÉORÈME DE PYTHAGORE // Débuter en science. – 2016. – N° 2. – P. 91-95 ;URL : http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (date d'accès : 21/02/2019).
Différentes façons de prouver le théorème de Pythagore
élève de 9ème classe "A"
Établissement d'enseignement municipal école secondaire n°8
Responsable scientifique :
professeur de mathématiques,
Établissement d'enseignement municipal école secondaire n°8
Art. Novorojdestvenskaïa
Région de Krasnodar.
Art. Novorojdestvenskaïa
ANNOTATION.
Le théorème de Pythagore est à juste titre considéré comme le plus important dans le domaine de la géométrie et mérite une attention particulière. C'est la base pour résoudre l'ensemble problèmes géométriques, la base de l'étude théorique et cours pratique la géométrie plus tard. Le théorème est entouré de riches matériel historique associé à son apparence et à ses méthodes de preuve. L'étude de l'histoire du développement de la géométrie inculque l'amour pour ce sujet, favorise le développement de l'intérêt cognitif, de la culture générale et de la créativité, et développe également les compétences de recherche.
Par conséquent activité de recherche L'objectif du travail a été atteint, qui était de reconstituer et de généraliser les connaissances sur la preuve du théorème de Pythagore. Réussi à trouver et à examiner diverses manières preuves et approfondir les connaissances sur le sujet, en allant au-delà des pages du manuel scolaire.
Le matériel collecté nous convainc en outre que le théorème de Pythagore est grand théorème la géométrie, a une énorme importance théorique et pratique.
Introduction. Contexte historique 5 Partie principale 8
3. Conclusion 19
4. Littérature utilisée 20
1. INTRODUCTION. CONTEXTE HISTORIQUE.
L'essence de la vérité est qu'elle est pour nous pour toujours,
Quand au moins une fois dans sa vision nous voyons la lumière,
Et le théorème de Pythagore après tant d'années
Pour nous, comme pour lui, c'est indéniable, impeccable.
Pour se réjouir, Pythagore fit un vœu aux dieux :
Pour avoir touché une sagesse infinie,
Il a abattu cent taureaux, grâce aux éternels ;
Il a offert des prières et des louanges après la victime.
Depuis, quand les taureaux le sentent, ils poussent,
Que la piste mène à nouveau les gens à une nouvelle vérité,
Ils rugissent furieusement, donc ça ne sert à rien d'écouter,
Un tel Pythagore leur a insufflé la terreur pour toujours.
Aux taureaux, impuissants nouvelle vérité résister,
Que reste-t-il ? - Juste en fermant les yeux, en rugissant, en tremblant.
On ne sait pas comment Pythagore a prouvé son théorème. Ce qui est sûr, c'est qu'il l'a découvert sous la forte influence de la science égyptienne. Cas particulier Le théorème de Pythagore - les propriétés d'un triangle de côtés 3, 4 et 5 - était connu des constructeurs de pyramides bien avant la naissance de Pythagore, et il a lui-même étudié auprès de prêtres égyptiens pendant plus de 20 ans. Une légende a été préservée selon laquelle, après avoir prouvé son célèbre théorème, Pythagore a sacrifié un taureau aux dieux, et selon d'autres sources, même 100 taureaux. Ceci contredit cependant les informations sur les opinions morales et religieuses de Pythagore. Dans des sources littéraires, on peut lire qu’il « interdit même de tuer les animaux, et encore moins de s’en nourrir, car les animaux ont une âme, tout comme nous ». Pythagore ne mangeait que du miel, du pain, des légumes et parfois du poisson. En relation avec tout cela, l'entrée suivante peut être considérée comme plus plausible : "... et même lorsqu'il découvrit que dans un triangle rectangle l'hypoténuse correspond aux jambes, il sacrifia un taureau fait de pâte de blé."
La popularité du théorème de Pythagore est si grande que ses preuves se trouvent même dans la fiction, par exemple dans l'histoire « Le jeune Archimède » du célèbre écrivain anglais Huxley. La même preuve, mais pour le cas particulier d’un triangle rectangle isocèle, est donnée dans le dialogue « Ménon » de Platon.
Conte de fées "Maison".
« Loin, très loin, là où même les avions ne volent pas, se trouve le pays de la Géométrie. Dans ce pays insolite Il y avait une ville étonnante : la ville de Teorem. Un jour, une belle fille nommée Hypoténuse est venue dans cette ville. Elle a essayé de louer une chambre, mais peu importe où elle postulait, elle a été refusée. Finalement, elle s'approcha de la maison branlante et frappa. Un homme qui se faisait appeler Angle Droit lui ouvrit la porte et invita Hypoténuse à vivre avec lui. L'hypoténuse est restée dans la maison dans laquelle vivaient Right Angle et ses deux jeunes fils, nommés Katetes. Depuis, la vie dans la maison Right Angle a changé d’une nouvelle manière. L'hypoténuse a planté des fleurs sur la fenêtre et des roses rouges dans le jardin de devant. La maison avait la forme d'un triangle rectangle. Les deux jambes ont vraiment aimé l'hypoténuse et lui ont demandé de rester pour toujours dans leur maison. Le soir, cette sympathique famille se retrouve à la table familiale. Parfois, Right Angle joue à cache-cache avec ses enfants. Le plus souvent, il doit chercher, et l'hypoténuse se cache si habilement qu'elle peut être très difficile à trouver. Un jour, alors qu'il jouait, Right Angle remarqua propriété intéressante: s'il parvient à retrouver les pattes, alors trouver l'hypoténuse n'est pas difficile. Donc l’Angle Droit utilise ce modèle, je dois le dire, avec beaucoup de succès. Le théorème de Pythagore est basé sur la propriété de ce triangle rectangle.
(Extrait du livre de A. Okunev « Merci pour la leçon, les enfants »).
Une formulation humoristique du théorème :
Si on nous donne un triangle
Et de plus, à angle droit,
C'est le carré de l'hypoténuse
On peut toujours trouver facilement :
On carre les jambes,
On trouve la somme des puissances -
Et d'une manière si simple
Nous arriverons au résultat.
En étudiant l'algèbre et les débuts de l'analyse et de la géométrie en 10e, je suis devenu convaincu qu'en plus de la méthode de preuve du théorème de Pythagore discutée en 8e, il existe d'autres méthodes de preuve. Je les soumets à votre considération.
2. PARTIE PRINCIPALE.
Théorème. Dans un triangle rectangle il y a un carré
L'hypoténuse est égale à la somme des carrés des jambes.
1 MÉTHODE.
En utilisant les propriétés des aires des polygones, nous établirons une relation remarquable entre l’hypoténuse et les jambes d’un triangle rectangle.
Preuve.
un, c et l'hypoténuse Avec(Fig. 1, a).
Prouvons que c²=a²+b².
Preuve.
Complétons le triangle en un carré de côté a + b comme le montre la fig. 1, b. L'aire S de ce carré est (a + b)². En revanche, ce carré est composé de quatre triangles rectangles égaux dont chacun a une aire de ½ oh , et un carré de côté Avec, donc S = 4 * ½ ah + c² = 2ah + c².
Ainsi,
(a + b)² = 2 ah + c²,
c²=a²+b².
Le théorème a été prouvé.
2 MÉTHODE.
Après avoir étudié le sujet " Triangles similaires« J’ai découvert qu’on peut appliquer la similitude des triangles à la preuve du théorème de Pythagore. À savoir, j'ai utilisé l'affirmation selon laquelle la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle à l'hypoténuse et au segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et l'altitude tirée du sommet de l'angle droit.
Considérons un triangle rectangle d'angle droit C, CD – hauteur (Fig. 2). Prouvons que CA² +NE² = AB²
.
Preuve.
Basé sur l’énoncé concernant la jambe d’un triangle rectangle :
AC = , SV = .
Mettons au carré et additionnons les égalités résultantes :
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB ;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), où AD+DB=AB, alors
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
La preuve est complète.
3 MÉTHODE.
Pour prouver le théorème de Pythagore, vous pouvez appliquer la définition du cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle. Regardons la fig. 3.
Preuve:
Soit ABC un triangle rectangle donné d'angle droit C. Tirons l'altitude CD du sommet de l'angle droit C.
Par définition du cosinus d'un angle :
cos A = AD/AC = AC/AB. Donc AB * AD = AC²
De même,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
D'où AB * BD = BC².
En additionnant les égalités résultantes terme par terme et en notant que AD + DB = AB, on obtient :
CA² + soleil² = AB (AD + DB) = AB²
La preuve est complète.
4 MÉTHODE.
Après avoir étudié le sujet « Relations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle », je pense que le théorème de Pythagore peut être prouvé d'une autre manière.
Considérons un triangle rectangle avec des pattes un, c et l'hypoténuse Avec. (Fig. 4).
Prouvons que c²=a²+b².
Preuve.
péché B= haute qualité ; parce que B= climatisation , alors, en mettant au carré les égalités résultantes, on obtient :
péché² B= po²/s² ; cos² DANS= a²/c².
En les additionnant, on obtient :
péché² DANS+cos² B=в²/с²+ а²/с², où sin² DANS+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², donc,
c²= a² + b².
La preuve est complète.
5 MÉTHODE.
Cette preuve est basée sur la découpe de carrés construits sur les jambes (Fig. 5) et le placement des pièces obtenues sur un carré construit sur l'hypoténuse.
6 MÉTHODE.
Pour preuve sur le côté Soleil nous construisons BCD abc(Fig.6). Nous savons que la région chiffres similaires sont liés comme des carrés de leurs dimensions linéaires similaires :
En soustrayant la seconde de la première égalité, on obtient
c2 = a2 + b2.
La preuve est complète.
7 MÉTHODE.
Donné(Fig.7) :
ABC,= 90° , soleil= une, CA=b, AB = c.
Prouver:c2 = a2 +b2.
Preuve.
Laisse la jambe b UN. Continuons le segment NE par point DANS et construis un triangle DMO pour que les points M Et UN s'allonger d'un côté de la ligne droite CD et, en plus, BD =b, BDM= 90°, DM= a, alors DMO= abc sur deux côtés et l'angle entre eux. Points A et M se connecter avec des segments SUIS. Nous avons MARYLAND. CD Et A.C. CD,ça veut dire que c'est droit CA parallèle à la ligne MARYLAND. Parce que MARYLAND.< АС, puis tout droit CD Et SUIS. pas parallèle. Donc, AMDC- trapèze rectangulaire.
Dans les triangles rectangles ABC et DMO 1 + 2 = 90° et 3 + 4 = 90°, mais puisque = =, alors 3 + 2 = 90° ; Alors MAV=180° - 90° = 90°. Il s'est avéré que le trapèze AMDC est divisé en trois triangles rectangles qui ne se chevauchent pas, puis par les axiomes d'aire
(une+b)(une+b)
En divisant tous les termes de l'inégalité par , on obtient
UNb + c2 + uneb = (une +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
La preuve est complète.
8 MÉTHODE.
Cette méthode est basée sur l'hypoténuse et les jambes d'un triangle rectangle ABC. Il construit les carrés correspondants et prouve que le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les jambes (Fig. 8).
Preuve.
1) DBC= Expédié par Amazon= 90° ;
DBC+ abc= Expédié par Amazon+ ABC, Moyens, FBC = Administrateur de base de données.
Ainsi, FBC=ABD(sur deux côtés et l'angle entre eux).
2) 
,
où AL DE, puisque BD - terrain d'entente, DL- hauteur totale.
3) 
, puisque FB est une fondation, AB- hauteur totale.
4) 
5) De même, on peut prouver que 
6) En additionnant terme par terme, on obtient :
, BC2
= AB2 + AC2
.
La preuve est complète.
9 MÉTHODE.
Preuve.
1) Laissez ABDE- un carré (Fig. 9) dont le côté est égal à l'hypoténuse d'un triangle rectangle abc= s, BC = a, AC =b).
2) Laissez NSP Colombie-Britannique Et NSP = soleil, puisque 1 + 2 = 90° (comme les angles aigus d'un triangle rectangle), 3 + 2 = 90° (comme l'angle d'un carré), AB= BD(côtés de la place).
Moyens, abc= BDK(par hypoténuse et angle aigu).
3) Laissez EL D.K., A.M. E.L. On peut facilement prouver que ABC = BDK = DEL = EAM (avec les jambes UN Et b). Alors KS= CM= M.L.= L.K.= UN -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (un - b),Avec2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
La preuve est complète.
10 MÉTHODE.
La preuve peut être effectuée sur une figure appelée en plaisantant " Pantalon pythagoricien" (Fig. 10). Son idée est de transformer des carrés construits sur les côtés en triangles égaux qui constituent ensemble le carré de l'hypoténuse.
abc déplacez-le comme indiqué par la flèche, et il prend position KDN. Le reste du chiffre AKDCB aire égale du carré AKDC c'est un parallélogramme AKNB.
Un modèle de parallélogramme a été réalisé AKNB. Nous réorganisons le parallélogramme comme esquissé dans le contenu de l'œuvre. Montrer la transformation d'un parallélogramme en triangle à aire égale, devant les élèves, découpez un triangle sur le modèle et déplacez-le vers le bas. Ainsi, l'aire du carré AKDC s'est avéré être égal à l'aire du rectangle. De même, nous convertissons l'aire d'un carré en aire d'un rectangle.
Faisons une transformation pour un carré construit sur pied UN(Fig. 11, a) :
a) le carré est transformé en un parallélogramme égal (Fig. 11.6) :
b) le parallélogramme tourne d'un quart de tour (Fig. 12) :
c) le parallélogramme est transformé en un rectangle égal (Fig. 13) : 11 MÉTHODE.
Preuve:
PCL- droit (Fig. 14);
CLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ=b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
La preuve est terminée .
12 MÉTHODE.
Riz. La figure 15 illustre une autre preuve originale du théorème de Pythagore.
Ici: triangle ABC avec angle droit C ; segment B.F. perpendiculaire NE et qui lui est égal, le segment ÊTRE perpendiculaire AB et qui lui est égal, le segment ANNONCE perpendiculaire CA et égal à lui ; points F, C,D appartiennent à la même lignée; quadrilatères ADFB Et ASVE de taille égale, puisque ABF = BCE ; triangles FAD Et AS de taille égale ; soustraire des deux quadrilatères égaux le triangle qu'ils partagent ABC, nous obtenons
, c2 = a2 +
b2.
La preuve est complète.
13 MÉTHODE.
L'aire d'un triangle rectangle donné, d'un côté, est égale à ,
d'autre part, ,
3. CONCLUSIONS.
Grâce à l'activité de recherche, l'objectif du travail a été atteint, qui était de reconstituer et de généraliser les connaissances sur la preuve du théorème de Pythagore. Il a été possible de trouver et d'envisager différentes manières de le prouver et d'approfondir les connaissances sur le sujet, en dépassant les pages du manuel scolaire.
Le matériel que j'ai rassemblé me convainc encore plus que le théorème de Pythagore est un grand théorème de géométrie et qu'il a une énorme signification théorique et pratique. En conclusion, je voudrais dire : la raison de la popularité du théorème trinitaire de Pythagore est sa beauté, sa simplicité et sa signification !
4. LITTÉRATURE UTILISÉE.
1. Algèbre divertissante. . Moscou "Science", 1978.
2. Hebdomadaire application éducative au journal “Premier Septembre”, 24/2001.
3. Géométrie 7-9. etc.
4. Géométrie 7-9. etc.
Théorème de Pythagore
De même, le triangle CBH est similaire au triangle ABC. En introduisant la notation 
1. Placez quatre triangles rectangles égaux comme indiqué sur la figure. 
L'idée de la preuve d'Euclide est la suivante : essayons de prouver que la moitié de l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des demi-aires des carrés construits sur les jambes, puis les aires de le grand et les deux petits carrés sont égaux. Regardons le dessin de gauche. Sur celui-ci, nous avons construit des carrés sur les côtés d'un triangle rectangle et tracé un rayon s partant du sommet de l'angle droit C perpendiculaire à l'hypoténuse AB, il coupe le carré ABIK, construit sur l'hypoténuse, en deux rectangles - BHJI et HAKJ, respectivement. Il s'avère que les aires de ces rectangles sont exactement égales aux aires des carrés construits sur les pattes correspondantes. Essayons de prouver que l'aire du carré DECA est égale à l'aire du rectangle AHJK. Pour ce faire, nous utiliserons une observation auxiliaire : L'aire d'un triangle de même hauteur et base que. le rectangle donné est égal à la moitié de l'aire du rectangle donné. C'est une conséquence de la définition de l'aire d'un triangle comme la moitié du produit de la base et de la hauteur. De cette observation, il s'ensuit que l'aire du triangle ACK est égale à l'aire du triangle AHK (non représenté sur la figure), qui à son tour est égale à la moitié de l'aire du rectangle AHJK. Montrons maintenant que l'aire du triangle ACK est également égale à la moitié de l'aire du carré DECA. La seule chose à faire pour cela est de prouver l'égalité des triangles ACK et BDA (puisque l'aire du triangle BDA est égale à la moitié de l'aire du carré selon la propriété ci-dessus). Cette égalité est évidente, les triangles sont égaux des deux côtés ainsi que l'angle qui les sépare. A savoir - AB=AK,AD=AC - l'égalité des angles CAK et BAD est facile à prouver par la méthode du mouvement : on fait tourner le triangle CAK de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors il est évident que les côtés correspondants des deux triangles dans la question coïncidera (du fait que l’angle au sommet du carré est de 90°). Le raisonnement pour l’égalité des aires du carré BCFG et du rectangle BHJI est tout à fait similaire. Ainsi, nous avons prouvé que l'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse est composée des aires des carrés construits sur les jambes. 
Considérons le dessin, comme le montre la symétrie, le segment CI coupe le carré ABHJ en deux parties identiques (puisque les triangles ABC et JHI sont de construction égale). En utilisant une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous constatons l’égalité des chiffres ombrés CAJI et GDAB. Il est maintenant clair que l'aire de la figure que nous avons ombrée est égale à la somme de la moitié des aires des carrés construits sur les jambes et de l'aire du triangle d'origine. En revanche, elle est égale à la moitié de l'aire du carré construit sur l'hypoténuse, plus l'aire du triangle d'origine. La dernière étape de la preuve est laissée au lecteur.Ceux qui s'intéressent à l'histoire du théorème de Pythagore, étudié dans le programme scolaire, seront également curieux de connaître la publication en 1940 d'un livre contenant trois cent soixante-dix preuves de ce théorème apparemment simple. Mais cela a intrigué l'esprit de nombreux mathématiciens et philosophes. différentes époques. Dans le Livre Guinness des Records, il est enregistré comme le théorème ayant le plus nombre maximum preuve.
Histoire du théorème de Pythagore
Associé au nom de Pythagore, le théorème était connu bien avant la naissance du grand philosophe. Ainsi, en Égypte, lors de la construction de structures, le rapport d'aspect d'un triangle rectangle était pris en compte il y a cinq mille ans. Les textes babyloniens mentionnent le même rapport hauteur/largeur d'un triangle rectangle 1200 ans avant la naissance de Pythagore.
La question se pose, pourquoi alors l'histoire dit-elle que l'origine du théorème de Pythagore lui appartient ? Il ne peut y avoir qu'une seule réponse : il a prouvé le rapport des côtés d'un triangle. Il a fait ce que ceux qui utilisaient simplement le rapport hauteur/largeur et l'hypoténuse établis par l'expérience n'avaient pas fait il y a des siècles.
De la vie de Pythagore
Le futur grand scientifique, mathématicien, philosophe est né sur l'île de Samos en 570 avant JC. Les documents historiques ont conservé des informations sur le père de Pythagore, qui était sculpteur pierres précieuses, mais il n'y a aucune information sur la mère. On disait du garçon qui était né qu'il était un enfant extraordinaire qui montrait enfance passion pour la musique et la poésie. Les historiens incluent Hermodamas et Phérécyde de Syros comme professeurs du jeune Pythagore. Le premier a introduit le garçon dans le monde des muses, et le second, étant philosophe et fondateur école italienne philosophie, dirigea le regard du jeune homme vers le logos.
À l'âge de 22 ans (548 avant JC), Pythagore se rend à Naucratis pour étudier la langue et la religion des Égyptiens. Ensuite, son chemin s'est arrêté à Memphis, où, grâce aux prêtres, après avoir subi leurs ingénieux tests, il a compris la géométrie égyptienne, ce qui a peut-être incité le jeune homme curieux à prouver le théorème de Pythagore. L’histoire attribuera plus tard ce nom au théorème.
Captivité du roi de Babylone
Sur le chemin du retour en Hellas, Pythagore est capturé par le roi de Babylone. Mais être en captivité a profité à l'esprit curieux du mathématicien en herbe, il avait beaucoup à apprendre ; En effet, à cette époque, les mathématiques à Babylone étaient plus développées qu’en Égypte. Il a passé douze ans à étudier les mathématiques, la géométrie et la magie. Et c'est peut-être la géométrie babylonienne qui a été impliquée dans la preuve du rapport des côtés d'un triangle et dans l'histoire de la découverte du théorème. Pythagore avait suffisamment de connaissances et de temps pour cela. Mais il n’existe aucune confirmation ou réfutation documentaire de ce qui s’est produit à Babylone.
En 530 avant JC. Pythagore s'échappe de captivité vers son pays natal, où il vit à la cour du tyran Polycrate dans le statut de demi-esclave. Pythagore n'est pas satisfait d'une telle vie, et il se retire dans les grottes de Samos, puis se rend dans le sud de l'Italie, où se trouvait alors la colonie grecque de Croton.
Ordre monastique secret
Sur la base de cette colonie, Pythagore organisa une ordre monastique, qui était une union religieuse et société scientifique simultanément. Cette société avait sa propre charte, qui parlait du respect d'un mode de vie particulier.
Pythagore a soutenu que pour comprendre Dieu, une personne doit connaître des sciences telles que l'algèbre et la géométrie, connaître l'astronomie et comprendre la musique. Travaux de recherche se résumait à la connaissance du côté mystique des nombres et de la philosophie. Il convient de noter que les principes prêchés à cette époque par Pythagore ont aujourd’hui un sens en termes d’imitation.
De nombreuses découvertes faites par les étudiants de Pythagore lui sont attribuées. Cependant, en bref, l'histoire de la création du théorème de Pythagore par les historiens et biographes anciens de l'époque est directement associée au nom de ce philosophe, penseur et mathématicien.
Enseignements de Pythagore
Peut-être que l'idée du lien entre le théorème et le nom de Pythagore a été motivée par la déclaration du grand Grec selon laquelle tous les phénomènes de notre vie sont cryptés dans le fameux triangle avec ses jambes et son hypoténuse. Et ce triangle est la « clé » pour résoudre tous les problèmes émergents. Le grand philosophe a dit qu’il faut voir le triangle, alors on peut considérer que le problème est résolu aux deux tiers.
Pythagore ne parlait de son enseignement qu'à ses étudiants oralement, sans prendre de notes et en le gardant secret. Malheureusement, l'enseignement le plus grand philosophe n'a pas survécu jusqu'à ce jour. Quelque chose s'en est échappé, mais il est impossible de dire ce qui est vrai et ce qui est faux dans ce qui est devenu connu. Même avec l’histoire du théorème de Pythagore, tout n’est pas certain. Les historiens des mathématiques doutent de la paternité de Pythagore ; à leur avis, le théorème a été utilisé plusieurs siècles avant sa naissance.
Théorème de Pythagore
Cela peut paraître étrange, mais faits historiques il n'y a aucune preuve du théorème par Pythagore lui-même - ni dans les archives ni dans aucune autre source. DANS version moderne on pense qu’il n’appartient qu’à Euclide lui-même.
Il existe des preuves provenant de l'un des plus grands historiens des mathématiques, Moritz Cantor, qui a découvert sur un papyrus conservé au musée de Berlin des écrits écrits par les Égyptiens vers 2300 avant JC. e. égalité, qui se lit comme suit : 3² + 4² = 5².
Bref historique du théorème de Pythagore
La formulation du théorème des « Principes » euclidiens, en traduction, sonne de la même manière que dans l'interprétation moderne. Il n'y a rien de nouveau dans sa lecture : le carré du côté opposé angle droit, est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit. Le fait que les anciennes civilisations de l'Inde et de la Chine aient utilisé le théorème est confirmé par le traité « Zhou - bi suan jin ». Il contient des informations sur le triangle égyptien, qui décrit le rapport hauteur/largeur comme 3:4:5.
Non moins intéressant est un autre livre mathématique chinois, « Chu Pei », qui mentionne également le triangle de Pythagore avec des explications et des dessins qui coïncident avec les dessins de géométrie hindoue de Bashara. À propos du triangle lui-même, le livre dit que si un angle droit peut être décomposé en ses éléments constitutifs, alors la ligne qui relie les extrémités des côtés sera égale à cinq si la base est égale à trois et la hauteur est égale à quatre. .
Traité indien "Sulva Sutra", datant d'environ 7e-5e siècles avant JC. e., parle de construire un angle droit en utilisant Triangle égyptien.
Preuve du théorème
Au Moyen Âge, les étudiants considéraient aussi la preuve d'un théorème tâche difficile. Les élèves faibles apprenaient les théorèmes par cœur, sans comprendre le sens de la preuve. À cet égard, ils ont reçu le surnom de « ânes », car le théorème de Pythagore était pour eux un obstacle insurmontable, comme un pont pour un âne. Au Moyen Âge, les étudiants inventaient un vers humoristique au sujet de ce théorème.
Pour prouver le théorème de Pythagore de la manière la plus simple, vous devez simplement mesurer ses côtés, sans utiliser le concept d'aire dans la preuve. La longueur du côté opposé à l'angle droit est c, et a et b lui sont adjacents, nous obtenons ainsi l'équation : a 2 + b 2 = c 2. Cette affirmation, comme mentionné ci-dessus, est vérifiée en mesurant la longueur des côtés d'un triangle rectangle.
Si l'on commence la preuve du théorème en considérant l'aire des rectangles construits sur les côtés du triangle, on peut déterminer l'aire de la figure entière. Elle sera égale à l'aire d'un carré de côté (a + b), et d'autre part, à la somme des aires de quatre triangles et du carré intérieur.
(une + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;
une 2 + 2ab + b 2 ;
c 2 = a 2 + b 2 , ce qui devait être prouvé.
Importance pratique Le théorème de Pythagore dit qu’il peut être utilisé pour trouver la longueur de segments sans les mesurer. Lors de la construction des structures, les distances, le placement des supports et des poutres sont calculés et les centres de gravité sont déterminés. Le théorème de Pythagore s'applique à tous technologies modernes. Ils n'ont pas oublié le théorème lors de la création de films en dimensions 3D-6D, où en plus des trois dimensions auxquelles nous sommes habitués : la hauteur, la longueur, la largeur, le temps, l'odeur et le goût sont pris en compte. Quel est le lien entre les goûts et les odeurs et le théorème, demandez-vous ? Tout est très simple - lors de la projection d'un film, vous devez calculer où et quelles odeurs et quels goûts diriger dans la salle.
Peut-être qu'il y en aura davantage. Des possibilités illimitées de découverte et de création de nouvelles technologies attendent les esprits curieux.
Le potentiel de créativité est généralement attribué à sciences humaines, laissant naturellement l'analyse au scientifique, approche pratique et un langage sec de formules et de chiffres. Les mathématiques ne peuvent pas être classées comme matière de sciences humaines. Mais sans créativité, vous n’irez pas loin dans la « reine de toutes les sciences » – les gens le savent depuis longtemps. Depuis l’époque de Pythagore, par exemple.
Malheureusement, les manuels scolaires n'expliquent généralement pas qu'en mathématiques, il est important non seulement de fourrer des théorèmes, des axiomes et des formules. Il est important de comprendre et de ressentir ses principes fondamentaux. Et en même temps, essayez de libérer votre esprit des clichés et des vérités élémentaires - ce n'est que dans de telles conditions que naissent toutes les grandes découvertes.
De telles découvertes incluent ce que nous connaissons aujourd’hui sous le nom de théorème de Pythagore. Avec son aide, nous essaierons de montrer que les mathématiques non seulement peuvent, mais doivent être passionnantes. Et que cette aventure convient non seulement aux nerds aux lunettes épaisses, mais à tous ceux qui sont forts d'esprit et forts d'esprit.
De l'histoire du problème
À proprement parler, bien que le théorème soit appelé « théorème de Pythagore », Pythagore lui-même ne l’a pas découvert. Le triangle rectangle et ses propriétés particulières ont été étudiés bien avant lui. Il y en a deux points polaires avis sur cette question. Selon une version, Pythagore aurait été le premier à trouver une preuve complète du théorème. Selon un autre, la preuve n'appartient pas à la paternité de Pythagore.
Aujourd’hui, on ne peut plus vérifier qui a raison et qui a tort. Ce que l’on sait, c’est que la preuve de Pythagore, si elle a jamais existé, n’a pas survécu. Cependant, certains suggèrent que la célèbre preuve des Éléments d’Euclide pourrait appartenir à Pythagore, et qu’Euclide n’a fait que l’enregistrer.
On sait également aujourd'hui que des problèmes concernant un triangle rectangle se retrouvent dans des sources égyptiennes datant de l'époque du pharaon Amenemhat Ier, en babylonien. tablettes d'argile période du règne du roi Hammourabi, dans l'ancien traité indien « Sulva Sutra » et l'ancien ouvrage chinois « Zhou-bi suan jin ».
Comme vous pouvez le constater, le théorème de Pythagore occupe l’esprit des mathématiciens depuis l’Antiquité. Ceci est confirmé par environ 367 éléments de preuve différents qui existent aujourd’hui. En cela, aucun autre théorème ne peut rivaliser avec lui. Parmi les auteurs de preuves célèbres, on peut citer Léonard de Vinci et le vingtième président américain James Garfield. Tout cela témoigne de l'extrême importance de ce théorème pour les mathématiques : la plupart des théorèmes de géométrie en dérivent ou y sont liés d'une manière ou d'une autre.
Preuves du théorème de Pythagore
DANS manuels scolaires Ils donnent principalement des preuves algébriques. Mais l’essence du théorème est en géométrie, alors considérons d’abord les preuves du célèbre théorème qui sont basées sur cette science.
Preuve 1
Pour la plupart preuve simple Le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle doit être donné conditions idéales: que le triangle soit non seulement rectangulaire, mais aussi isocèle. Il y a des raisons de croire que c’est précisément ce type de triangle que les mathématiciens de l’Antiquité envisageaient initialement.
Déclaration "Un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur ses pattes" peut être illustré par le dessin suivant :
Regardez le triangle rectangle isocèle ABC : Sur l'hypoténuse AC, vous pouvez construire un carré composé de quatre triangles égaux à l'ABC d'origine. Et sur les côtés AB et BC, un carré est construit, chacun contenant deux triangles similaires.
À propos, ce dessin a servi de base à de nombreuses blagues et dessins animés consacrés au théorème de Pythagore. Le plus célèbre est sans doute "Les pantalons pythagoriciens sont égaux dans toutes les directions":
Preuve 2
Cette méthode combine algèbre et géométrie et peut être considérée comme une variante de l’ancienne preuve indienne du mathématicien Bhaskari.
Construire un triangle rectangle avec des côtés a, b et c(Fig.1). Construisez ensuite deux carrés avec des côtés égal à la somme longueurs de deux jambes, – (a+b). Dans chacun des carrés, réalisez des constructions comme sur les figures 2 et 3.
Dans le premier carré, construisez quatre triangles similaires à ceux de la figure 1. Le résultat est deux carrés : un de côté a, le second de côté b.
Dans le deuxième carré, quatre triangles semblables construits forment un carré avec un côté égal à l'hypoténuse c.
La somme des aires des carrés construits sur la figure 2 est égale à l'aire du carré que nous avons construit de côté c sur la figure 3. Cela peut être facilement vérifié en calculant l'aire des carrés de la figure. 2 selon la formule. Et l'aire du carré inscrit sur la figure 3. en soustrayant les aires de quatre triangles rectangles égaux inscrits dans le carré de l'aire d'un grand carré avec un côté (a+b).
En écrivant tout cela, nous avons : une 2 +b 2 =(une+b) 2 – 2ab. Ouvrez les supports et complétez tout le nécessaire calculs algébriques et prends ça une 2 +b 2 = une 2 +b 2. Dans ce cas, la zone inscrite sur la figure 3. le carré peut également être calculé à l'aide de la formule traditionnelle S = c 2. Ceux. une 2 +b 2 =c 2– vous avez prouvé le théorème de Pythagore.
Preuve 3
L'ancienne preuve indienne elle-même a été décrite au XIIe siècle dans le traité « La Couronne de la connaissance » (« Siddhanta Shiromani ») et comme argument principal, l'auteur utilise un appel adressé aux talents mathématiques et aux capacités d'observation des étudiants et des adeptes : « Regarder!"
Mais nous analyserons cette preuve plus en détail :
À l’intérieur du carré, construisez quatre triangles rectangles comme indiqué sur le dessin. Notons le côté du grand carré, également appelé hypoténuse, Avec. Appelons les jambes du triangle UN Et b. D'après le dessin, le côté du carré intérieur est (a-b).
Utilisez la formule pour l'aire d'un carré S = c 2 pour calculer l'aire du carré extérieur. Et en même temps, calculez la même valeur en additionnant l'aire du carré intérieur et les aires des quatre triangles rectangles : (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Vous pouvez utiliser les deux options pour calculer l'aire d'un carré afin de vous assurer qu'elles donnent le même résultat. Et cela vous donne le droit d'écrire ça c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. À la suite de la solution, vous recevrez la formule du théorème de Pythagore c 2 = une 2 + b 2. Le théorème a été prouvé.
Preuve 4
Cette curieuse preuve chinoise ancienne était appelée « chaise de la mariée » - en raison de la figure en forme de chaise qui résulte de toutes les constructions :
Il utilise le dessin que nous avons déjà vu sur la figure 3 dans la deuxième preuve. Et le carré intérieur de côté c est construit de la même manière que dans l’ancienne preuve indienne donnée ci-dessus.
Si vous coupez mentalement deux triangles rectangles verts du dessin de la figure 1, déplacez-les vers côtés opposés attachez un carré de côté c et d'hypoténuses aux hypoténuses des triangles lilas, vous obtiendrez une figure appelée « chaise de la mariée » (Fig. 2). Pour plus de clarté, vous pouvez faire la même chose avec des carrés et des triangles en papier. Vous veillerez à ce que la « chaise de la mariée » soit formée de deux carrés : des petits avec un côté b et grand avec un côté un.
Ces constructions ont permis aux anciens mathématiciens chinois et à nous, qui les avons suivis, de conclure que c 2 = une 2 + b 2.
Preuve 5
C'est une autre façon de trouver une solution au théorème de Pythagore en utilisant la géométrie. C'est ce qu'on appelle la méthode Garfield.
Construire un triangle rectangle abc. Nous devons prouver que BC2 = AC2 + AB2.
Pour ce faire, continuez la jambe CA et construire un segment CD, qui est égal à la jambe AB. Abaisser la perpendiculaire ANNONCE segment ED. Segments ED Et CA sont égaux. Reliez les points E Et DANS, et aussi E Et AVEC et obtenez un dessin comme l'image ci-dessous :
Pour prouver ce point, nous recourons à nouveau à la méthode que nous avons déjà essayée : trouvons la zone le chiffre résultant de deux manières et assimilez les expressions les unes aux autres.
Trouver l'aire d'un polygone COUCHÉ peut être fait en additionnant les aires des trois triangles qui le forment. Et l'un d'eux, URE, est non seulement rectangulaire, mais aussi isocèle. N'oublions pas non plus que AB = CD, AC = ED Et BC=SE– cela nous permettra de simplifier l’enregistrement et de ne pas le surcharger. Donc, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
En même temps, il est évident que COUCHÉ- C'est un trapèze. Par conséquent, nous calculons son aire à l'aide de la formule : SABED =(DE+AB)*1/2AD. Pour nos calculs, il est plus pratique et plus clair de représenter le segment ANNONCE comme la somme des segments CA Et CD.
Écrivons les deux façons de calculer l'aire d'une figure, en mettant un signe égal entre elles : AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Nous utilisons l'égalité des segments déjà connue et décrite ci-dessus pour simplifier côté droit entrées : AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ouvrons maintenant les parenthèses et transformons l'égalité : AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Après avoir terminé toutes les transformations, nous obtenons exactement ce dont nous avons besoin : BC2 = AC2 + AB2. Nous avons prouvé le théorème.
Bien entendu, cette liste de preuves est loin d’être complète. Le théorème de Pythagore peut également être prouvé à l'aide de vecteurs, nombres complexes, équations différentielles, stéréométrie, etc. Et même les physiciens : si, par exemple, on verse du liquide dans des volumes carrés et triangulaires similaires à ceux représentés sur les dessins. En versant du liquide, vous pouvez prouver l'égalité des aires et le théorème lui-même en conséquence.
Quelques mots sur les triplés pythagoriciens
Cette question est peu ou pas étudiée dans les programmes scolaires. En attendant, il est très intéressant et a grande valeur en géométrie. Les triplets de Pythagore sont utilisés pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Les comprendre peut vous être utile dans la poursuite de vos études.
Alors, que sont les triplés pythagoriciens ? C'est comme ça qu'ils l'appellent nombres naturels, rassemblés par trois, dont la somme des carrés de deux est égale au troisième nombre du carré.
Les triplets de Pythagore peuvent être :
- primitif (les trois nombres sont relativement premiers) ;
- pas primitif (si chaque nombre d'un triplet est multiplié par le même nombre, vous obtenez un nouveau triplet, qui n'est pas primitif).
Même avant notre ère, les anciens Égyptiens étaient fascinés par la manie des nombres de triplets pythagoriciens : dans les problèmes, ils considéraient un triangle rectangle dont les côtés étaient de 3, 4 et 5 unités. À propos, tout triangle dont les côtés sont égaux aux nombres du triplet de Pythagore est rectangulaire par défaut.
Exemples de triplets pythagoriciens : (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), etc.
Application pratique du théorème
Le théorème de Pythagore est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture et en construction, en astronomie et même en littérature.
Tout d'abord à propos de la construction : le théorème de Pythagore est largement utilisé dans les problèmes différents niveaux complexité. Par exemple, regardez une fenêtre romane :
Notons la largeur de la fenêtre comme b, alors le rayon du demi-cercle majeur peut être noté R. et exprimer à travers b : R = b/2. Le rayon des demi-cercles plus petits peut également être exprimé par b : r=b/4. Dans ce problème nous nous intéressons au rayon du cercle intérieur de la fenêtre (appelons-le p).
Le théorème de Pythagore est juste utile pour calculer r. Pour ce faire, nous utilisons un triangle rectangle, indiqué par une ligne pointillée sur la figure. L'hypoténuse d'un triangle est constituée de deux rayons : b/4+p. Une jambe représente le rayon b/4, un autre b/2-p. En utilisant le théorème de Pythagore, nous écrivons : (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Ensuite, nous ouvrons les parenthèses et obtenons b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformons cette expression en pb/2=b 2 /4-pb. Et puis nous divisons tous les termes par b, nous en présentons des similaires pour obtenir 3/2*p=b/4. Et à la fin on découvre que p=b/6- c'est ce dont nous avions besoin.
À l'aide du théorème, vous pouvez calculer la longueur des chevrons pour un toit à pignon. Déterminez la hauteur de la tour communications mobiles le signal doit atteindre un certain règlement. Et même installer régulièrement arbre de Noël sur la place de la ville. Comme vous pouvez le constater, ce théorème ne vit pas seulement dans les pages des manuels, mais est souvent utile dans la vie réelle.
En littérature, le théorème de Pythagore a inspiré les écrivains depuis l’Antiquité et continue de le faire à notre époque. Par exemple, l’écrivain allemand du XIXe siècle Adelbert von Chamisso s’est inspiré d’un sonnet :
La lumière de la vérité ne se dissipera pas de sitôt,
Mais après avoir brillé, il est peu probable qu'il se dissipe
Et comme il y a des milliers d'années,
Cela ne suscitera ni doutes ni litiges.
Le plus sage quand il touche ton regard
Lumière de la vérité, remercie les dieux ;
Et cent taureaux abattus mentent -
Un cadeau de retour de l'heureux Pythagore.
Depuis lors, les taureaux rugissent désespérément :
A toujours alarmé la tribu des taureaux
Événement mentionné ici.
Il leur semble : le moment est sur le point de venir,
Et ils seront à nouveau sacrifiés
Un excellent théorème.
(traduction de Viktor Toporov)
Et au vingtième siècle écrivain soviétique Evgeniy Veltistov dans son livre « Adventures of Electronics » a consacré un chapitre entier aux preuves du théorème de Pythagore. Et un autre demi-chapitre sur une histoire sur un monde bidimensionnel qui pourrait exister si le théorème de Pythagore devenait une loi fondamentale et même une religion pour un seul monde. Vivre là-bas serait beaucoup plus facile, mais aussi beaucoup plus ennuyeux : par exemple, personne là-bas ne comprend le sens des mots « rond » et « moelleux ».
Et dans le livre « Les aventures de l'électronique », l'auteur, par la bouche du professeur de mathématiques Taratar, dit : « L'essentiel en mathématiques est le mouvement de la pensée, les nouvelles idées. C'est précisément cette envolée créatrice de la pensée qui donne naissance au théorème de Pythagore - ce n'est pas pour rien qu'il a autant de preuves variées. Cela vous aide à dépasser les limites du familier et à regarder les choses familières d'une nouvelle manière.
Conclusion
Cet article est conçu pour vous aider à regarder au-delà programme scolaire en mathématiques et apprenez non seulement les preuves du théorème de Pythagore qui sont données dans les manuels « Géométrie 7-9 » (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) et « Géométrie 7-11 » (A.V. Pogorelov), mais aussi d'autres moyens intéressants de prouver le fameux théorème. Et découvrez également des exemples de la façon dont le théorème de Pythagore peut être appliqué dans la vie de tous les jours.
Premièrement, ces informations vous permettront de bénéficier de plus scores élevés dans les cours de mathématiques - informations sur le sujet de sources supplémentaires sont toujours très appréciés.
Deuxièmement, nous voulions vous aider à comprendre comment les mathématiques science intéressante. S'assurer exemples spécifiques qu'il y a toujours une place pour la créativité. Nous espérons que le théorème de Pythagore et cet article vous inspireront recherches indépendantes et des découvertes passionnantes en mathématiques et dans d'autres sciences.
Dites-nous dans les commentaires si vous avez trouvé intéressantes les preuves présentées dans l’article. Avez-vous trouvé ces informations utiles dans vos études ? Écrivez-nous ce que vous pensez du théorème de Pythagore et de cet article - nous serons heureux de discuter de tout cela avec vous.
site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source est requis.
