Une preuve visuelle du théorème de Pythagore. Méthodes pour prouver le théorème de Pythagore

Shapovalova L.A. (Station Egorlykskaya, MBOU ESOSH n°11)

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Dans ce année académique j'ai rencontré théorème intéressant, il s'avère qu'il s'avère que depuis l'Antiquité :

"Un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les jambes."

La découverte de cette affirmation est généralement attribuée au philosophe et mathématicien grec Pythagore (VIe siècle avant JC). Mais l'étude des manuscrits anciens a montré que cette affirmation était connue bien avant la naissance de Pythagore.

Je me demandais pourquoi, dans ce cas, il était associé au nom de Pythagore.

Pertinence du sujet : Le théorème de Pythagore a grande importance: utilisé en géométrie littéralement à chaque étape. Je crois que les œuvres de Pythagore sont toujours d'actualité, car partout où nous regardons, partout nous pouvons voir les fruits de ses grandes idées, incarnées dans diverses industries la vie moderne.

Le but de mes recherches était de découvrir qui était Pythagore et ce qu'il avait à voir avec ce théorème.

En étudiant l'histoire du théorème, j'ai décidé de découvrir :

Existe-t-il d'autres preuves de ce théorème ?

Quelle est la signification de ce théorème dans la vie des gens ?

Quel rôle Pythagore a-t-il joué dans le développement des mathématiques ?

Extrait de la biographie de Pythagore

Pythagore de Samos est un grand scientifique grec. Sa renommée vient de son nom Théorème de Pythagore. Bien que nous sachions maintenant que ce théorème était connu dans Babylone antique 1200 ans avant Pythagore, et en Egypte 2000 ans avant lui, on connaissait un triangle rectangle de côtés 3, 4, 5, on l'appelle encore du nom de cet ancien scientifique.

On ne sait presque rien de manière fiable sur la vie de Pythagore, mais un grand nombre de légendes sont associées à son nom.

Pythagore est né en 570 avant JC sur l'île de Samos.

Pythagore avait une belle apparence, portait une longue barbe et un diadème doré sur la tête. Pythagore n'est pas un nom, mais un surnom que le philosophe a reçu parce qu'il parlait toujours correctement et de manière convaincante, comme un oracle grec. (Pythagore - « persuasif par la parole »).

En 550 avant JC, Pythagore prend une décision et se rend en Egypte. Donc, avant Pythagore, il s'ouvre pays inconnu et une culture inconnue. Pythagore fut très étonné et surpris dans ce pays, et après quelques observations de la vie des Egyptiens, Pythagore comprit que le chemin de la connaissance, protégé par la caste sacerdotale, passait par la religion.

Après onze années d'études en Égypte, Pythagore se rend dans son pays natal, où en chemin il se retrouve en captivité babylonienne. Là, il fait la connaissance de la science babylonienne, plus développée que celle égyptienne. Les Babyloniens savaient comment résoudre des problèmes linéaires, carrés et certains types de problèmes. équations cubiques. S'étant échappé de captivité, il n'a pas pu rester longtemps dans son pays natal en raison de l'atmosphère de violence et de tyrannie qui y régnait. Il décide de s'installer à Croton (une colonie grecque du nord de l'Italie).

C'est à Crotone que commença la période la plus glorieuse de la vie de Pythagore. Là, il a établi quelque chose comme une fraternité religieuse et éthique ou un secret ordre monastique, dont les membres étaient obligés de mener le style de vie dit pythagoricien.

Pythagore et les Pythagoriciens

Pythagore organisé en colonie grecque au sud de la péninsule des Apennins, une confrérie religieuse et éthique, comme un ordre monastique, qui sera plus tard appelé Union Pythagoricienne. Les membres du syndicat devaient adhérer à certains principes : premièrement, lutter pour le beau et le glorieux, deuxièmement, être utiles, et troisièmement, lutter pour le grand plaisir.

Le système de règles morales et éthiques, léguées par Pythagore à ses étudiants, a été compilé dans un code moral particulier des « Vers d'or » des Pythagoriciens, très populaires à l'époque de l'Antiquité, du Moyen Âge et de la Renaissance.

Le système de classes pythagoricien se composait de trois sections :

Enseignement des nombres - arithmétique,

Enseignements sur les figures - géométrie,

Doctrines sur la structure de l'Univers - astronomie.

Le système éducatif fondé par Pythagore a duré plusieurs siècles.

L’école pythagoricienne a beaucoup fait pour donner à la géométrie le caractère d’une science. La principale caractéristique de la méthode pythagoricienne était la combinaison de la géométrie et de l'arithmétique.

Pythagore a beaucoup traité des proportions et des progressions et, probablement, de la similitude des figures, puisqu'on lui attribue la résolution du problème : « Étant donné deux figures, construisez-en une troisième, égale en taille à l'une des données et similaire à la seconde. »

Pythagore et ses étudiants ont introduit le concept de nombres polygonaux, amicaux et parfaits et ont étudié leurs propriétés. Pythagore ne s’intéressait pas à l’arithmétique en tant que pratique du calcul, et il déclarait fièrement qu’il « plaçait l’arithmétique au-dessus des intérêts du marchand ».

Les membres de la Ligue Pythagoricienne résidaient dans de nombreuses villes de Grèce.

Les Pythagoriciens acceptaient également les femmes dans leur société. Le syndicat a prospéré pendant plus de vingt ans, puis la persécution de ses membres a commencé et de nombreux étudiants ont été tués.

Il existe de nombreuses légendes différentes sur la mort de Pythagore lui-même. Mais les enseignements de Pythagore et de ses étudiants ont continué à perdurer.

De l'histoire de la création du théorème de Pythagore

On sait désormais que ce théorème n’a pas été découvert par Pythagore. Cependant, certains pensent que c'est Pythagore qui en a donné le premier la preuve complète, tandis que d'autres lui nient ce mérite. Certains attribuent à Pythagore la preuve qu'Euclide donne dans le premier livre de ses Éléments. D'un autre côté, Proclus prétend que la preuve dans les Éléments appartient à Euclide lui-même. Comme on le voit, l'histoire des mathématiques n'a conservé pratiquement aucune donnée spécifique fiable sur la vie de Pythagore et ses activités mathématiques.

Nous commençons notre revue historique du théorème de Pythagore par Chine ancienne. Ici attention particulière attire livre de mathématiques Chu Pei. Cet essai parle de Triangle de Pythagore avec les côtés 3, 4 et 5 :

"Si un angle droit est décomposé en ses éléments constitutifs, alors la ligne reliant les extrémités de ses côtés sera 5, lorsque la base est 3 et la hauteur est 4."

Il est très simple de reproduire leur méthode de construction. Prenons une corde de 12 m de long et attachons-y une bande colorée à une distance de 3 m. d'une extrémité et à 4 mètres de l'autre. L'angle droit sera enserré entre des côtés de 3 à 4 mètres de long.

Chez les hindous, la géométrie était étroitement liée au culte. Il est très probable que le carré du théorème de l’hypoténuse était déjà connu en Inde vers le VIIIe siècle avant JC. A côté des prescriptions purement rituelles, il existe également des ouvrages à caractère théologique géométrique. Dans ces écrits, datant du IVe ou Ve siècle avant JC, on retrouve la construction angle droit en utilisant un triangle de côtés 15, 36, 39.

Au Moyen Âge, le théorème de Pythagore déterminait la limite, sinon du plus grand possible, du moins du bien. connaissances mathématiques. Le dessin caractéristique du théorème de Pythagore, qui est aujourd'hui parfois transformé par les écoliers, par exemple en un professeur vêtu d'une robe ou en un homme coiffé d'un haut-de-forme, était souvent utilisé à cette époque comme symbole des mathématiques.

En conclusion, nous présentons diverses formulations du théorème de Pythagore traduites du grec, du latin et de l'allemand.

Le théorème d'Euclide déclare (traduction littérale) :

« Dans un triangle rectangle, le carré du côté étendu sur l'angle droit égal au carré je suis sur les côtés contenant un angle droit.

Comme on le voit, dans différents pays Et différentes langues Il existe différentes versions de la formulation du théorème familier. Créé en des moments différents et dans différentes langues, ils reflètent l'essence d'une loi mathématique, dont la preuve comporte également plusieurs options.

Cinq façons de prouver le théorème de Pythagore

Preuve chinoise ancienne

Un ancien dessin chinois montre quatre égaux triangle rectangle avec les pattes a, b et l'hypoténuse c sont disposés de manière à ce que leur contour extérieur forme un carré de côté a + b, et que le contour intérieur forme un carré de côté c, construit sur l'hypoténuse

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Preuve par J. Hardfield (1882)

Disposons deux triangles rectangles égaux de manière à ce que la jambe de l'un d'eux soit la continuation de l'autre.

L'aire du trapèze considéré se trouve comme le produit de la moitié de la somme des bases et de la hauteur

En revanche, l'aire d'un trapèze est égale à la somme des aires des triangles résultants :

En égalisant ces expressions, on obtient :

La preuve est simple

Cette preuve est obtenue dans le cas le plus simple d’un triangle rectangle isocèle.

C'est probablement là que le théorème a commencé.

En fait, il suffit de regarder la mosaïque de triangles rectangles isocèles pour se convaincre de la validité du théorème.

Par exemple, pour le triangle ABC : le carré construit sur l'hypoténuse AC contient 4 triangles originaux, et les carrés construits sur les côtés en contiennent deux. Le théorème a été prouvé.

Preuve des anciens hindous

Un carré de côté (a + b) peut être divisé en parties comme sur la Fig. 12.a, ou comme sur la Fig. 12, b. Il est clair que les parties 1, 2, 3, 4 sont les mêmes sur les deux images. Et si vous soustrayez les égaux des (surfaces) égales, alors ils resteront égaux, c'est-à-dire c2 = a2 + b2.

La preuve d'Euclide

Pendant deux millénaires, la preuve la plus utilisée du théorème de Pythagore fut celle d’Euclide. Il est placé dans son célèbre livre «Principes».

Euclide a abaissé la hauteur BN du sommet de l'angle droit à l'hypoténuse et a prouvé que sa continuation divise le carré complété sur l'hypoténuse en deux rectangles dont les aires sont égales aux aires des carrés correspondants construits sur les côtés.

Le dessin utilisé pour prouver ce théorème est appelé en plaisantant « pantalon pythagoricien ». Pendant longtemps, il a été considéré comme l’un des symboles de la science mathématique.

Application du théorème de Pythagore

L'importance du théorème de Pythagore est que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être dérivés ou avec son aide et que de nombreux problèmes peuvent être résolus. A part ça, signification pratique Le théorème de Pythagore et son théorème inverse sont qu'avec leur aide, vous pouvez trouver les longueurs des segments sans mesurer les segments eux-mêmes. Ceci, pour ainsi dire, ouvre la voie d'une ligne droite à un plan, d'un plan à l'espace volumétrique et au-delà. C'est pour cette raison que le théorème de Pythagore est si important pour l'humanité, qui s'efforce de tout découvrir. plus de dimensions et créer des technologies dans ces dimensions.

Conclusion

Le théorème de Pythagore est si célèbre qu'il est difficile d'imaginer une personne qui n'en a pas entendu parler. J'ai appris qu'il existe plusieurs façons de prouver le théorème de Pythagore. J'ai étudié un certain nombre de sources historiques et mathématiques, y compris des informations sur Internet, et j'ai réalisé que le théorème de Pythagore est intéressant non seulement pour son histoire, mais aussi pour ce qu'il occupe. lieu important dans la vie et la science. Ceci est démontré par les différentes interprétations du texte de ce théorème et les modalités de sa preuve que j'ai données dans cet ouvrage.

Ainsi, le théorème de Pythagore est l'un des principaux et, pourrait-on dire, le plus théorème principal géométrie. Son importance réside dans le fait que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être déduits ou avec son aide. Le théorème de Pythagore est également remarquable car en soi il n’est pas du tout évident. Par exemple, les propriétés triangle isocèle visible directement sur le dessin. Mais peu importe à quel point vous regardez un triangle rectangle, vous ne verrez jamais qu’il existe une relation simple entre ses côtés : c2 = a2 + b2. C’est pourquoi la visualisation est souvent utilisée pour le prouver. Le mérite de Pythagore était d’avoir donné une preuve scientifique complète de ce théorème. La personnalité du scientifique lui-même, dont la mémoire n’est pas préservée par hasard par ce théorème, est intéressante. Pythagore est un merveilleux orateur, professeur et éducateur, organisateur de son école, axé sur l'harmonie de la musique et des nombres, la bonté et la justice, la connaissance et image saine vie. Il pourrait bien servir d’exemple pour nous, descendants lointains.

Lien bibliographique

PREUVE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

Preuves basées sur l'utilisation de la notion d'égalité de taille des chiffres.

Dans ce cas, nous pouvons considérer l’évidence selon laquelle un carré construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle donné est « composé » des mêmes figures que les carrés construits sur les côtés. On peut également envisager des preuves utilisant des réarrangements des sommes des figures et prenant en compte un certain nombre d'idées nouvelles.

Sur la fig. 2 montre deux carrés égaux. La longueur des côtés de chaque carré est a + b. Chacun des carrés est divisé en parties constituées de carrés et de triangles rectangles. Il est clair que si l'aire quadruple d'un triangle rectangle avec les pattes a, b est soustraite de l'aire du carré, alors des aires égales resteront, c'est-à-dire c 2 = a 2 + b 2 . Cependant, les anciens hindous, à qui appartient ce raisonnement, ne l'écrivaient généralement pas, mais

accompagnait le dessin d’un seul mot : « regarde ! » Il est fort possible que Pythagore ait proposé la même preuve.

Preuve additive.

Ces preuves sont basées sur la décomposition de carrés construits sur les jambes en figures auxquelles on peut ajouter un carré construit sur l'hypoténuse.

La preuve d'Einstein (Fig. 3) repose sur la décomposition d'un carré construit sur l'hypoténuse en 8 triangles.

Ici : ABC est un triangle rectangle d’angle droit C ; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Prouver indépendamment l'égalité par paires de triangles obtenus en divisant les carrés construits sur les pattes et l'hypoténuse.

Sur la fig. 4 montre une preuve du théorème de Pythagore utilisant la partition d'al-Nayriziyah, le commentateur médiéval de Bagdad sur les éléments d'Euclide. Dans cette partition, le carré construit sur l'hypoténuse est divisé en 3 triangles et 2 quadrilatères. Ici : ABC est un triangle rectangle d’angle droit C ; DE = BF.

Démontrez le théorème en utilisant cette partition.

· Sur la base de la preuve d'al-Nayriziyah, une autre décomposition des carrés en paires a été réalisée chiffres égaux(Fig. 5, ici ABC est un triangle rectangle d'angle droit C).

· Une autre preuve par la méthode de décomposition des carrés en parties égales, appelée « roue à pales », est présentée sur la Fig. 6. Ici : ABC est un triangle rectangle d’angle droit C ; O est le centre d'un carré construit sur un grand côté ; les lignes pointillées passant par le point O sont perpendiculaires ou parallèles à l'hypoténuse.

· Cette décomposition de carrés est intéressante car ses quadrilatères deux à deux égaux peuvent être mappés les uns sur les autres par translation parallèle. De nombreuses autres preuves du théorème de Pythagore peuvent être proposées en utilisant la décomposition de carrés en figures.

Preuves par méthode de construction.

L'essence de cette méthode est que des chiffres égaux sont ajoutés aux carrés construits sur les jambes et au carré construit sur l'hypoténuse de manière à obtenir des chiffres égaux.

· Sur la fig. La figure 7 montre la figure pythagoricienne habituelle - un triangle rectangle ABC avec des carrés construits sur ses côtés. A cette figure sont attachés les triangles 1 et 2, égaux au triangle rectangle d'origine.

La validité du théorème de Pythagore découle de l'égalité de taille des hexagones AEDFPB et ACBNMQ. Ici CÎEP, la ligne EP divise l'hexagone AEDFPB en deux quadrilatères de même taille, la ligne CM divise l'hexagone ACBNMQ en deux quadrilatères de même taille ; La rotation du plan de 90° autour du centre A fait correspondre le quadrilatère AEPB sur le quadrilatère ACMQ.

· Sur la fig. 8 Figure pythagoricienne complété en un rectangle dont les côtés sont parallèles aux côtés correspondants des carrés construits sur les pieds. Divisons ce rectangle en triangles et rectangles. Du rectangle obtenu, on soustrait d'abord tous les polygones 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, laissant un carré construit sur l'hypoténuse. Ensuite du même rectangle on soustrait les rectangles 5, 6, 7 et les rectangles ombrés, on obtient des carrés construits sur les pattes.

Montrons maintenant que les chiffres soustraits dans le premier cas sont de taille égale aux chiffres soustraits dans le second cas.

· Riz. 9 illustre la preuve donnée par Nassir-ed-Din (1594). Ici : PCL – ligne droite ;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c2 ;

donc c 2 = une 2 + b 2 .

Riz. La figure 11 illustre une autre preuve plus originale proposée par Hoffmann.

Ici : triangle ABC d'angle droit C ; le segment BF est perpendiculaire à CB et lui est égal, le segment BE est perpendiculaire à AB et lui est égal, le segment AD est perpendiculaire à AC et lui est égal ; les points F, C, D appartiennent à la même droite ; les quadrilatères ADFB et ACBE sont de taille égale, puisque ABF=ECB ; les triangles ADF et ACE sont de taille égale ; soustrayons aux deux quadrilatères égaux le triangle ABC qu'ils partagent, nous obtenons

Méthode de preuve algébrique.

· Riz. 12 illustre la preuve du grand mathématicien indien Bhaskari (célèbre auteur de Lilavati, XIIe siècle). Le dessin était accompagné d'un seul mot : REGARDEZ ! Parmi les preuves du théorème de Pythagore méthode algébrique La première place (peut-être la plus ancienne) est occupée par la preuve par similarité.

· Présentons dans une présentation moderne une de ces preuves, appartenant à Pythagore.

Sur la fig. 13 ABC – rectangulaire, C – angle droit, CM^AB, b1 – projection de la jambe b sur l'hypoténuse, a1 – projection de la jambe a sur l'hypoténuse, h – altitude du triangle dessiné vers l'hypoténuse.

Du fait que DABC est similaire à DACM, il s'ensuit

b 2 = cb 1 ; (1)

du fait que DABC est similaire à DBCM, il s'ensuit

une 2 = ca 1 . (2)

En additionnant les égalités (1) et (2) terme par terme, on obtient a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Si Pythagore offrait réellement une telle preuve, alors il connaissait également un certain nombre de théorèmes géométriques importants qui historiens modernes les mathématiciens l'attribuent généralement à Euclide.

Démonstration de Moehlmann (Fig. 14).

L'aire d'un triangle rectangle donné, d'une part, est égale à l'autre, où p est le demi-périmètre du triangle, r est le rayon du cercle qui y est inscrit.

d'où il s'ensuit que c2=a2+b2.

La preuve de Garfield.

Sur la figure 15, trois triangles rectangles forment un trapèze. Par conséquent, l'aire de cette figure peut être trouvée à l'aide de la formule d'aire trapèze rectangulaire, ou comme la somme des aires de trois triangles. Dans le premier cas, cette aire est égale à

dans la seconde

En égalisant ces expressions, nous obtenons le théorème de Pythagore.

Il existe de nombreuses preuves du théorème de Pythagore, réalisées soit par chacune des méthodes décrites, soit en utilisant une combinaison de diverses méthodes. Pour conclure l’examen des exemples de diverses preuves, nous présentons d’autres dessins illustrant les huit méthodes référencées dans les Éléments d’Euclide (Fig. 16 – 23). Dans ces dessins, la figure pythagoricienne est représentée par une ligne continue et les constructions supplémentaires sont représentées par une ligne pointillée.

Comme mentionné ci-dessus, les anciens Égyptiens, il y a plus de 2000 ans, utilisaient pratiquement les propriétés d'un triangle de côtés 3, 4, 5 pour construire un angle droit, c'est-à-dire qu'ils utilisaient en fait le théorème inverse du théorème de Pythagore. Présentons une preuve de ce théorème basée sur le critère de l'égalité des triangles (c'est-à-dire qui peut être introduit très tôt à l'école). Alors laisse les fêtes triangle ABC(Fig. 24) sont liés par la relation

c 2 = une 2 + b 2 . (3)

Montrons que ce triangle est rectangle.

Construisons un triangle rectangle A1B1C1 le long de deux branches dont les longueurs sont égales aux longueurs des branches a et b triangle donné(Fig. 25).

Soit la longueur de l'hypoténuse du triangle construit égale à c1. Puisque le triangle construit est rectangle, alors d'après le théorème de Pythagore nous avons : c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

En comparant les relations (3) et (4), on obtient que

c 1 2 = c 2, ou c 1 = c.

Ainsi, les triangles - donnés et construits - sont égaux, puisqu'ils ont respectivement trois côtés égaux. L'angle C1 est droit, donc l'angle C de ce triangle est également droit.

Preuve par méthode de décomposition

Il existe un certain nombre de preuves du théorème de Pythagore dans lesquelles les carrés construits sur les jambes et sur l'hypoténuse sont découpés de telle sorte que chaque partie du carré construit sur l'hypoténuse correspond à une partie de l'un des carrés construits sur les jambes. Dans tous ces cas, un simple coup d'œil sur le dessin suffit pour comprendre la preuve ; le raisonnement ici peut se limiter à un seul mot : « Regardez ! », comme cela se faisait dans les écrits des anciens mathématiciens hindous. Il convient cependant de noter qu'en fait la preuve ne peut être considérée comme complète tant que nous n'avons pas prouvé l'égalité de toutes les parties correspondantes. C'est presque toujours assez facile à faire, mais c'est possible (surtout si grandes quantités pièces) nécessitent beaucoup de travail.

La preuve d'Epstein

Commençons par la preuve d'Epstein (Fig. 1) ; son avantage est qu'ici comme composants les décompositions impliquent exclusivement des triangles. Pour comprendre le dessin, notons que la droite CD est tracée perpendiculairement à la droite EF.

La décomposition en triangles peut être rendue plus visuelle que sur la figure.

La preuve de Nielsen.

Sur la figure, les lignes auxiliaires ont été modifiées selon la suggestion de Nielsen.

La preuve de Boettcher.

La figure montre une décomposition de Bötcher très claire.

La preuve de Périgal.

Dans les manuels scolaires, on rencontre souvent la décomposition indiquée dans la figure (la soi-disant « roue à pales » ; cette preuve a été trouvée par Perigal). Par le centre O du carré construit sur la plus grande jambe, on trace des lignes droites parallèles et perpendiculaires à l'hypoténuse. La correspondance des parties de la figure est clairement visible sur le dessin.

La preuve de Gutheil.

La décomposition montrée sur la figure est due à Gutheil ; il se caractérise par une disposition claire pièces détachées, ce qui permet de voir immédiatement quelles simplifications entraînera le cas d'un triangle rectangle isocèle.

Preuve du 9ème siècle après JC

Auparavant, seules de telles preuves étaient présentées dans lesquelles un carré construit sur l'hypoténuse, d'une part, et des carrés construits sur les jambes, d'autre part, étaient composés de parties égales. De telles preuves sont appelées preuves par addition (« preuves additives ») ou, plus communément, preuves par décomposition. Jusqu'à présent, nous sommes partis de la disposition habituelle des carrés construits sur les côtés correspondants du triangle, c'est-à-dire à l'extérieur du triangle. Cependant, dans de nombreux cas, une disposition différente des carrés est plus avantageuse.

Sur la figure, les carrés construits sur les pieds sont placés en gradins, les uns à côté des autres. Ce chiffre, dont les preuves remontent au plus tard au 9ème siècle après JC. e., les hindous l’appelaient la « chaise de la mariée ». Une méthode pour construire un carré avec un côté égal à l'hypoténuse, ressort clairement du dessin. Partie générale deux carrés construits sur les pattes et un carré construit sur l'hypoténuse - pentagone ombré irrégulier 5. En y attachant les triangles 1 et 2, on obtient les deux carrés construits sur les pattes ; si l'on remplace les triangles 1 et 2 par les triangles égaux 3 et 4, on obtient un carré construit sur l'hypoténuse. Les images ci-dessous montrent deux différents endroits proche de celui donné dans la première figure.

Preuves par addition

Première preuve.

En plus des preuves utilisant la méthode d'addition, vous pouvez donner des exemples de preuves utilisant la soustraction, également appelées preuves par la méthode d'addition. L'idée générale de telles preuves est la suivante.

De deux zones égales vous devez soustraire des parties égales pour que dans un cas il reste deux carrés construits sur les jambes et dans l'autre un carré construit sur l'hypoténuse. Après tout, si en égalités

B-A=C et B 1 -A 1 =C 1

la partie A est de taille égale à la partie A 1 et la partie B est de taille égale à B 1, alors les parties C et C 1 sont également de taille égale.

Expliquons cette méthode avec un exemple. Sur la fig. à la figure pythagoricienne habituelle, sont rattachés en haut et en bas les triangles 2 et 3, égaux au triangle originel 1. La droite DG passera certainement par C. Notons maintenant (nous le prouverons plus tard) que les hexagones DABGFE et CAJKHB sont de taille égale. Si l'on soustrait les triangles 1 et 2 du premier d'entre eux, alors il nous restera des carrés construits sur les côtés, et si l'on soustrait du deuxième hexagone triangles égaux 1 et 3, alors il y aura un carré construit sur l'hypoténuse. Il s'ensuit que le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les jambes.

Reste à prouver que nos hexagones sont de taille égale. Notez que la ligne DG divise l'hexagone supérieur en parties égales ; on peut en dire autant de la droite CK et de l’hexagone inférieur. Faisons pivoter le quadrilatère DABG, qui est la moitié de l'hexagone DABGFE, autour du point A dans le sens des aiguilles d'une montre selon un angle de 90 ; alors il coïncidera avec le quadrilatère CAJK, qui est la moitié de l'hexagone CAJKHB. Par conséquent, les hexagones DABGFE et CAJKHB sont de taille égale.

Une autre preuve utilisant la méthode de soustraction.

Regardons une autre preuve utilisant la méthode de soustraction. Enfermons le dessin familier du théorème de Pythagore dans un cadre rectangulaire dont les directions des côtés coïncident avec les directions des branches du triangle. Continuons certains segments de la figure comme indiqué sur la figure, tandis que le rectangle se divise en plusieurs triangles, rectangles et carrés. Supprimons d'abord plusieurs parties du rectangle pour qu'il ne reste que le carré construit sur l'hypoténuse. Ces parties sont les suivantes :

1. triangles 1, 2, 3, 4 ;

2. rectangle 5 ;

3. rectangle 6 et carré 8 ;

4. rectangle 7 et carré 9 ;

Ensuite, on jette les parties du rectangle pour qu'il ne reste que les carrés construits sur les catatas. Ces pièces seront :

1. rectangles 6 et 7 ;

2. rectangle 5 ;

3. rectangle 1 (ombré) ;

4. rectangle 2 (ombré) ;

Il suffit de montrer que les parties retirées sont de taille égale. Ceci est facile à voir grâce à la disposition des figures. D'après la figure, il ressort clairement que :

1. le rectangle 5 est de taille égale à lui-même ;

2. quatre triangles 1,2,3,4 sont de taille égale à deux rectangles 6 et 7 ;

3. le rectangle 6 et le carré 8, pris ensemble, sont de taille égale au rectangle 1 (ombré) ;

4. le rectangle 7 et le carré 9 sont de taille égale au rectangle 2 (ombré) ;

La preuve est complète.

Autres preuves

La preuve d'Euclide

Cette preuve a été donnée par Euclide dans ses Éléments. Selon Proclus (Byzance), elle aurait été inventée par Euclide lui-même. La preuve d'Euclide est donnée dans la phrase 47 du premier livre des Éléments.

Les carrés correspondants sont construits sur l'hypoténuse et les branches du triangle rectangle ABC et il est prouvé que le rectangle BJLD est égal au carré ABFH, et le rectangle ICEL est égal au carré ACCC. Alors la somme des carrés sur les jambes sera égale au carré sur l'hypoténuse.

En fait, les triangles ABD et BFC sont égaux sur deux côtés et l'angle qui les sépare :

FB = AB, BC = BD

RFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

puisque le triangle ABD et le rectangle BJLD terrain d'entente BD et hauteur hors tout LD. De même

(BF-base commune, AB-hauteur commune). Ainsi, considérant que

De même, en utilisant l'égalité des triangles VSK et ACE, il est prouvé que

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

La preuve de Hawkins.

Donnons une preuve supplémentaire, qui est de nature informatique, mais très différente de toutes les précédentes. Il a été publié par l'Anglais Hawkins en 1909 ; il est difficile de dire si cela était connu auparavant.

Faites pivoter le triangle rectangle ABC d'angle droit C de 90° pour qu'il prenne la position A"CB". Prolongons l'hypoténuse A"B" au-delà du point A" jusqu'à ce qu'elle coupe la ligne AB au point D. Le segment B"D sera la hauteur du triangle B"AB. Considérons maintenant le quadrilatère ombré A"AB"B . Il peut être décomposé en deux triangles isocèles CAA" et SVV" (ou en deux triangles A"B"A et A"B"B).

Pythagore a sacrifié 100 taureaux. Caricatures Preuve théorèmes Pythagore... hypoténuse égal à la somme carrés de jambes ( Théorème Pythagore).Preuve:1. Montrons que le rectangle BJLD est égal...

En ce qui concerne l'histoire, bien que le théorème de Pythagore porte le nom de Pythagore, ce n'est pas lui qui l'a découvert. Parce que propriétés spéciales rectangle rectangulaire les scientifiques ont commencé à étudier bien plus tôt que lui. Cependant, il y a deux déclarations. La première dit que Pythagore a prouvé le théorème. Deuxièmement, ce n’est donc pas lui. Pour le moment, il est impossible de vérifier laquelle de ces opinions est vraie, mais malheureusement, s'il y avait une preuve de Pythagore, elle n'a pas survécu jusqu'à nos jours. Il existe également une opinion selon laquelle la preuve faite par Euclide a été faite par Pythagore et Euclide l'a rendue publique.
Sans doute en Egypte sous le règne des pharaons, des questions se sont posées avec le triangle rectangle. Il a également participé à l'histoire de Babylone. D'où nous pouvons conclure que ce théorème, suscite l'intérêt depuis l'Antiquité. Il existe actuellement 367 éléments de preuve différents. Quelque chose dont aucun autre théorème ne peut se vanter.

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Examinons les principales preuves.

1 Preuve du théorème de Pythagore.

On pense que cela moyen facile. Il utilise des triangles réguliers.

si l'on prend un rectangle isocèle triangle ABC, à partir de l'hypoténuse AC on peut construire un carré contenant 4 triangles semblables. En utilisant les jambes AB et BC, des carrés sont construits qui contiennent deux autres triangles identiques.

2 Preuve du théorème de Pythagore.

Il combine à la fois l'algèbre et la géométrie. Dessine un triangle rectangle ABC. Et 2 carrés égaux à deux longueurs de pattes a+b. Ensuite, nous ferons une construction, comme sur les figures 2, 3. En conséquence, nous obtenons deux carrés de côtés a et b. Le deuxième carré contient 4 triangles, formant ainsi un carré égal à l'hypoténuse c. Je me demande quoi superficie totale carrés sur la Fig. 2, 3 sont égaux.
En résumant le tout dans une formule, nous obtenons. a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. En ouvrant les parenthèses, nous obtenons a 2 +b 2 = a 2 +b 2. L'aire de la figure 3 est calculée comme S = c 2 ou a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 Preuve du théorème de Pythagore.

Preuve trouvée au XIIe siècle, dans l'Inde ancienne.

Construisons 4 triangles (rectangulaires) dans un carré. L'hypoténuse sera du côté c, les pattes du triangle sont a et b. On calcule l'aire des grands carrés - S=c 2, et interne
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. D'où nous concluons que c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b, et donc c 2 = a 2 + b 2.

4 Preuve du théorème de Pythagore.

Basée sur la géométrie, elle s’appelle la méthode Garfield. En construisant un triangle rectangle ABC, nous trouverons la preuve que BC2 = AC2 + AB2 Continuons le segment AC en créant une droite CD égale au segment AB. En reliant la droite et l’angle E perpendiculaire à AD on obtient ED. Les lignes directes AC et ED sont égales entre elles.

Pour preuve de cette action, nous utiliserons également deux méthodes, assimilant ces expressions.
Trouvez l'aire du polygone ABED. Puisque AB=CD, AC=ED, BC=CE, alors S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
On voit que ABCD est un trapèze. Cela signifie S ABCD = (DE+AB)*1/2AD.
Imaginons ces méthodes ensemble et assimilons-les :
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
Simplifions AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2.
En ouvrant les parenthèses on obtient : AB*AC+1/2ВС 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2АВ 2.
Résultat : BC 2 = AC 2 + AB 2. etc.

Ce ne sont pas toutes les façons de prouver le théorème de Pythagore, mais les principales le sont.

Autour et autour

Tout d’abord, par souci d’exhaustivité, je voudrais présenter ici la preuve du théorème de Pythagore, qui, à mon avis, est la plus élégante et la plus évidente. L'image ci-dessus montre deux carrés identiques : gauche et droite. On peut voir sur la figure qu'à gauche et à droite les aires des figures ombrées sont égales, puisque dans chacun des grands carrés il y a 4 triangles rectangles identiques ombrés. Cela signifie que les zones non ombrées (blanches) à gauche et à droite sont également égales. On note que dans le premier cas l'aire de la figure non ombrée est égale à , et dans le second cas l'aire de la région non ombrée est égale à . Ainsi, . Le théorème est prouvé !

Comment appeler ces numéros ? Vous ne pouvez pas les appeler des triangles, car quatre nombres ne peuvent pas former un triangle. Et ici ! Comme un éclair venu du bleu

Puisqu’il existe de tels quadruples de nombres, cela signifie qu’il doit y avoir un objet géométrique avec les mêmes propriétés reflétées dans ces nombres !

Il ne reste plus qu'à sélectionner un objet géométrique pour cette propriété, et tout se mettra en place ! Bien entendu, cette hypothèse était purement hypothétique et n’avait aucun fondement. Mais et si c'était le cas !

La sélection des objets a commencé. Étoiles, polygones, réguliers, irréguliers, à angle droit, etc. Encore une fois, rien ne rentre. Ce qu'il faut faire? Et à ce moment-là, Sherlock obtient sa deuxième avance.

Il faut augmenter la taille ! Puisque trois correspond à un triangle sur un plan, alors quatre correspond à quelque chose de tridimensionnel !

Oh non! Encore trop d'options ! Et en trois dimensions, il existe bien plus de types de corps géométriques. Essayez de tous les parcourir ! Mais tout n’est pas mauvais. Il y a aussi un angle droit et d'autres indices ! Qu'avons-nous ? Quatre de nombres égyptiens (même s'ils sont égyptiens, il faut les appeler quelque chose), un angle (ou des angles) droits et un certain objet en trois dimensions. La déduction a fonctionné ! Et... je crois que les lecteurs avertis ont déjà compris que nous parlons de sur les pyramides dont les trois angles sont droits à l’un des sommets. Vous pouvez même les appeler pyramides rectangulaires semblable à un triangle rectangle.

Nouveau théorème

La photo montre une pyramide avec le sommet au début coordonnées rectangulaires(la pyramide semble couchée sur le côté). La pyramide est formée de trois vecteurs mutuellement perpendiculaires tracés à partir de l'origine le long de axes de coordonnées. Autrement dit, chacun bord latéral Une pyramide est un triangle rectangle ayant un angle droit à l'origine. Les extrémités des vecteurs définissent le plan de coupe et forment la face de base de la pyramide.

Théorème

Qu'il y ait pyramide rectangulaire, formé de trois vecteurs mutuellement perpendiculaires, dans lesquels les aires des côtés des jambes sont égales à - , et l'aire de la face de l'hypoténuse est - . Alors

Formulation alternative : Pour une pyramide tétraédrique, dans laquelle à l'un des sommets tous les angles plans sont droits, la somme des carrés des aires des faces latérales est égale au carré de l'aire de la base.

Bien sûr, si le théorème habituel de Pythagore est formulé pour les longueurs des côtés des triangles, alors notre théorème est formulé pour les aires des côtés de la pyramide. Prouver ce théorème en trois dimensions est très simple si vous connaissez un peu l’algèbre vectorielle.

Preuve

Exprimons les aires en termes de longueurs des vecteurs.

Où .

Imaginons l'aire comme la moitié de l'aire d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et

Comme on le sait, produit vectoriel deux vecteurs est un vecteur dont la longueur est numériquement égale à l'aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.
C'est pourquoi

Ainsi,

Q.E.D !

Bien sûr, en tant que personne professionnellement engagée dans la recherche, cela s’est déjà produit dans ma vie, plus d’une fois. Mais ce moment fut le plus brillant et le plus mémorable. J'ai vécu toute la gamme des sentiments, des émotions et des expériences d'un découvreur. De la naissance d'une pensée, la cristallisation d'une idée, la découverte d'évidences - jusqu'à l'incompréhension totale et même le rejet que mes idées ont rencontré parmi mes amis, mes connaissances et, comme il me semblait alors, dans le monde entier. C'était unique ! J'avais l'impression d'être à la place de Galilée, Copernic, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein et bien d'autres découvreurs.

Épilogue

Dans la vie, tout s'est avéré beaucoup plus simple et prosaïque. J'étais en retard... Mais de combien ! A seulement 18 ans ! Sous de terribles tortures prolongées et ce n'est pas la première fois, Google m'a avoué que ce théorème avait été publié en 1996 !

L'article a été publié par Texas Press université technique. Les auteurs, des mathématiciens professionnels, ont introduit une terminologie (qui, soit dit en passant, coïncidait largement avec la mienne) et ont également prouvé un théorème généralisé valable pour un espace de toute dimension supérieure à un. Que se passe-t-il dans les dimensions supérieures à 3 ? Tout est très simple : à la place des faces et des zones, il y aura des hypersurfaces et des volumes multidimensionnels. Et l'énoncé, bien sûr, restera le même : la somme des carrés des volumes des faces latérales est égale au carré du volume de la base - seul le nombre de faces sera plus grand, et le volume de chacune d'entre eux seront égaux à la moitié du produit des vecteurs générateurs. C'est presque impossible à imaginer ! On ne peut que penser, comme disent les philosophes !

Étonnamment, lorsque j'ai appris qu'un tel théorème était déjà connu, je n'étais pas du tout contrarié. Quelque part au plus profond de mon âme, je soupçonnais qu'il était fort possible que je ne sois pas le premier, et j'ai compris que je devais toujours être préparé à cela. Mais cette expérience émotionnelle que j'ai vécue a allumé en moi une étincelle de chercheur qui, j'en suis sûr, ne s'effacera jamais maintenant !

P.S.

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Théorème de De Gois

Extrait de Wikipédia

En 1783, le théorème fut présenté à l'Académie des Sciences de Paris mathématicien français J.-P. de Gois, mais elle était connue auparavant de René Descartes et avant lui de Johann Fulgaber, qui fut probablement le premier à la découvrir en 1622. En plus vue générale le théorème a été formulé par Charles Tinsault (français) dans un rapport à l'Académie des sciences de Paris en 1774

Je n’avais donc pas 18 ans de retard, mais au moins quelques siècles de retard !

Sources

Les lecteurs en ont indiqué plusieurs dans les commentaires liens utiles. Voici ces liens et quelques autres :

Une chose dont vous pouvez être sûr à cent pour cent, c'est que lorsqu'on lui demande quel est le carré de l'hypoténuse, tout adulte répondra hardiment : « La somme des carrés des jambes ». Ce théorème est fermement ancré dans l’esprit de chacun. personne instruite, mais il suffit de demander à quelqu'un de le prouver et des difficultés peuvent surgir. Alors rappelons-nous et considérons différentes manières preuve du théorème de Pythagore.

Brève biographie

Le théorème de Pythagore est familier à presque tout le monde, mais pour une raison quelconque, la biographie de la personne qui l'a mis au monde n'est pas si populaire. Cela peut être corrigé. Par conséquent, avant d’explorer les différentes manières de prouver le théorème de Pythagore, vous devez connaître brièvement sa personnalité.

Pythagore - philosophe, mathématicien, penseur originaire de Aujourd'hui, il est très difficile de distinguer sa biographie des légendes qui se sont développées à la mémoire de ce grand homme. Mais comme il ressort des travaux de ses disciples, Pythagore de Samos est né sur l'île de Samos. Son père était un tailleur de pierre ordinaire, mais sa mère venait d'une famille noble.

À en juger par la légende, la naissance de Pythagore a été prédite par une femme nommée Pythia, en l'honneur de laquelle le garçon a été nommé. Selon sa prédiction, le garçon né était censé apporter beaucoup de bénéfices et de bien à l'humanité. C'est exactement ce qu'il a fait.

Naissance du théorème

Dans sa jeunesse, Pythagore a déménagé en Égypte pour y rencontrer de célèbres sages égyptiens. Après les avoir rencontrés, il fut autorisé à étudier, où il apprit toutes les grandes réalisations de la philosophie, des mathématiques et de la médecine égyptiennes.

C'est probablement en Égypte que Pythagore s'est inspiré de la majesté et de la beauté des pyramides et a créé ses propres pyramides. grande théorie. Cela peut choquer les lecteurs, mais les historiens modernes estiment que Pythagore n’a pas prouvé sa théorie. Mais il n'a transmis ses connaissances qu'à ses disciples, qui ont ensuite effectué tous les calculs mathématiques nécessaires.

Quoi qu'il en soit, aujourd'hui on ne connaît pas une seule méthode pour prouver ce théorème, mais plusieurs à la fois. Aujourd’hui, nous ne pouvons que deviner comment exactement les anciens Grecs effectuaient leurs calculs, nous allons donc examiner ici différentes manières de prouver le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore

Avant de commencer tout calcul, vous devez déterminer quelle théorie vous souhaitez prouver. Le théorème de Pythagore dit : « Dans un triangle dont l'un des angles est de 90°, la somme des carrés des pattes est égale au carré de l'hypoténuse. »

Il existe au total 15 façons différentes de prouver le théorème de Pythagore. C'est assez grand nombre, alors prêtons attention aux plus populaires d’entre eux.

Première méthode

Tout d’abord, définissons ce qui nous a été donné. Ces données s'appliqueront également à d'autres méthodes de preuve du théorème de Pythagore, il convient donc de rappeler immédiatement toutes les notations disponibles.

Supposons que l’on nous donne un triangle rectangle avec les pattes a, b et une hypoténuse égale à c. La première méthode de preuve est basée sur le fait qu’il faut tracer un carré à partir d’un triangle rectangle.

Pour ce faire, vous devez ajouter un segment égal à la jambe b à la longueur de la jambe a, et vice versa. Cela devrait donner deux côtés égaux du carré. Il ne reste plus qu'à tracer deux lignes parallèles et le carré est prêt.

À l'intérieur de la figure obtenue, vous devez dessiner un autre carré dont le côté est égal à l'hypoténuse du triangle d'origine. Pour ce faire, à partir des sommets ас et св, vous devez dessiner deux parallèle au segmentégal à Ainsi, nous obtenons trois côtés du carré, dont l'un est l'hypoténuse du triangle rectangle d'origine. Il ne reste plus qu'à dessiner le quatrième segment.

Sur la base du chiffre obtenu, nous pouvons conclure que l'aire du carré extérieur est (a + b) 2. Si vous regardez à l’intérieur de la figure, vous pouvez voir qu’en plus du carré intérieur, il y a quatre triangles rectangles. L'aire de chacun est de 0,5av.

L'aire est donc égale à : 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Donc (a+c) 2 =2ab+c 2

Et donc c 2 =a 2 +b 2

Le théorème a été prouvé.

Deuxième méthode : triangles similaires

Cette formule pour prouver le théorème de Pythagore a été dérivée d'une déclaration de la section de géométrie sur triangles similaires. Il précise que la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle à son hypoténuse et au segment de l'hypoténuse émanant du sommet de l'angle de 90°.

Les données initiales restent les mêmes, commençons donc tout de suite par la preuve. Réalisons perpendiculaire au côté CD du segment AB. D’après l’énoncé ci-dessus, les côtés des triangles sont égaux :

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Pour répondre à la question de savoir comment prouver le théorème de Pythagore, la preuve doit être complétée par la mise au carré des deux inégalités.

AC 2 = AB * AD et CB 2 = AB * DV

Il faut maintenant additionner les inégalités qui en résultent.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), où AD + DV = AB

Il s'avère que :

AC2 + CB2 =AB*AB

Et donc :

AC2 + CB2 = AB2

Preuve du théorème de Pythagore et diverses manières ses solutions nécessitent une approche multiforme de ce problème. Cependant, cette option est l’une des plus simples.

Une autre méthode de calcul

Une description des différentes manières de prouver le théorème de Pythagore peut ne rien dire tant que vous ne commencez pas à le pratiquer vous-même. De nombreuses méthodes impliquent non seulement calculs mathématiques, mais aussi la construction de nouvelles figures à partir du triangle originel.

DANS dans ce cas Il faut compléter un autre triangle rectangle VSD du côté BC. Ainsi, il existe maintenant deux triangles avec une branche commune BC.

Sachant que la région chiffres similaires ont un rapport comme les carrés de leurs dimensions linéaires similaires, alors :

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de 2 - à 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de 2 - à 2 =a 2

c 2 = une 2 + b 2

Étant donné que parmi les différentes méthodes de preuve du théorème de Pythagore pour la 8e année, cette option n'est guère adaptée, vous pouvez utiliser la méthode suivante.

La manière la plus simple de prouver le théorème de Pythagore. Avis

Selon les historiens, cette méthode a été utilisée pour la première fois pour prouver le théorème Grèce antique. C'est le plus simple, car il ne nécessite absolument aucun calcul. Si vous dessinez correctement l'image, alors la preuve de l'affirmation selon laquelle a 2 + b 2 = c 2 sera clairement visible.

Conditions de cette méthode sera légèrement différent du précédent. Pour prouver le théorème, supposons que le triangle rectangle ABC soit isocèle.

Nous prenons l’hypoténuse AC comme côté du carré et dessinons ses trois côtés. De plus, il est nécessaire de tracer deux lignes diagonales dans le carré résultant. De sorte qu’à l’intérieur vous obtenez quatre triangles isocèles.

Vous devez également tracer un carré vers les jambes AB et CB et tracer une ligne droite diagonale dans chacune d'elles. Nous traçons la première ligne du sommet A, la seconde du sommet C.

Vous devez maintenant examiner attentivement le dessin obtenu. Puisque sur l'hypoténuse AC il y a quatre triangles égaux à celui d'origine, et sur les côtés il y en a deux, cela indique la véracité de ce théorème.

D'ailleurs, grâce à cette méthode de preuve du théorème de Pythagore, phrase célèbre: « Pantalon pythagoricienégaux dans toutes les directions. »

La preuve de J. Garfield

James Garfield est le vingtième président des États-Unis d'Amérique. En plus d’avoir marqué l’histoire en tant que dirigeant des États-Unis, il était également un autodidacte doué.

Au début de sa carrière, il était professeur régulier à école publique, mais devient bientôt directeur de l'un des plus hauts établissements d'enseignement. Le désir de développement personnel lui a permis d'offrir nouvelle théorie preuve du théorème de Pythagore. Le théorème et un exemple de sa solution sont les suivants.

Vous devez d’abord dessiner deux triangles rectangles sur une feuille de papier afin que la jambe de l’un d’eux soit une continuation de la seconde. Les sommets de ces triangles doivent être reliés pour finalement former un trapèze.

Comme vous le savez, l'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases et de sa hauteur.

S=a+b/2 * (a+b)

Si nous considérons le trapèze résultant comme une figure composée de trois triangles, alors son aire peut être trouvée comme suit :

S=moy/2 *2 + s 2 /2

Nous devons maintenant égaliser les deux expressions originales

2ab/2 + c/2=(a+b)2/2

c 2 = une 2 + b 2

Plus d’un volume pourrait être écrit sur le théorème de Pythagore et les méthodes permettant de le prouver. aide pédagogique. Mais y a-t-il un sens à cela lorsque ces connaissances ne peuvent pas être appliquées dans la pratique ?

Application pratique du théorème de Pythagore

Malheureusement, dans le monde moderne programmes scolaires Ce théorème est destiné à être utilisé uniquement dans problèmes géométriques. Les diplômés quitteront bientôt l’école sans savoir comment mettre en pratique leurs connaissances et leurs compétences.

En fait, utilisez le théorème de Pythagore dans votre la vie quotidienne tout le monde peut. Et pas seulement dans activité professionnelle, mais aussi dans les tâches ménagères ordinaires. Considérons plusieurs cas où le théorème de Pythagore et les méthodes pour le prouver peuvent être extrêmement nécessaires.

Relation entre le théorème et l'astronomie

Il semblerait que les étoiles et les triangles sur papier puissent être connectés. En fait, l'astronomie est domaine scientifique, qui utilise largement le théorème de Pythagore.

Par exemple, considérons le mouvement faisceau lumineux dans l'espace. On sait que la lumière se déplace dans les deux sens à la même vitesse. Appelons la trajectoire AB le long de laquelle se déplace le rayon lumineux je. Et appelons la moitié du temps qu'il faut à la lumière pour aller du point A au point B t. Et la vitesse du faisceau - c. Il s'avère que : c*t=l

Si vous regardez ce même rayon depuis un autre avion, par exemple depuis un vaisseau spatial qui se déplace à une vitesse v, alors lorsque vous observez des corps de cette manière, leur vitesse changera. Dans ce cas, même les éléments fixes commenceront à se déplacer à une vitesse v dans la direction opposée.

Disons que le paquebot de bande dessinée navigue vers la droite. Ensuite, les points A et B, entre lesquels le faisceau se précipite, commenceront à se déplacer vers la gauche. De plus, lorsque le faisceau se déplace du point A au point B, le point A a le temps de se déplacer et, par conséquent, la lumière arrivera déjà à nouveau point C. Pour trouver la moitié de la distance de déplacement du point A, vous devez multiplier la vitesse du revêtement par la moitié du temps de trajet du faisceau (t").

Et pour savoir jusqu'où un rayon de lumière pourrait parcourir pendant ce temps, vous devez marquer la moitié du chemin avec une nouvelle lettre s et obtenir l'expression suivante :

Si nous imaginons que les points lumineux C et B, ainsi que le revêtement spatial, sont les sommets d'un triangle isocèle, alors le segment du point A au revêtement le divisera en deux triangles rectangles. Ainsi, grâce au théorème de Pythagore, vous pouvez déterminer la distance que pourrait parcourir un rayon de lumière.

Cet exemple, bien sûr, n'est pas le plus réussi, puisque seuls quelques-uns peuvent avoir la chance de l'essayer dans la pratique. Par conséquent, considérons des applications plus banales de ce théorème.

Portée de transmission du signal mobile

La vie moderne ne peut plus être imaginée sans l’existence des smartphones. Mais seraient-ils d'une grande utilité s'ils ne pouvaient connecter les abonnés via communications mobiles?!

La qualité des communications mobiles dépend directement de la hauteur à laquelle se trouve l’antenne de l’opérateur mobile. Afin de calculer à quelle distance d'une tour de téléphonie mobile un téléphone peut recevoir un signal, vous pouvez appliquer le théorème de Pythagore.

Disons que vous devez trouver la hauteur approximative d'une tour fixe pour qu'elle puisse distribuer un signal dans un rayon de 200 kilomètres.

AB (hauteur de la tour) = x ;

BC (rayon de transmission du signal) = 200 km ;

OS (rayon globe) = 6 380 km ;

OB=OA+ABOB=r+x

En appliquant le théorème de Pythagore, nous constatons que hauteur minimale la tour devrait mesurer 2,3 kilomètres de long.

Théorème de Pythagore dans la vie de tous les jours

Curieusement, le théorème de Pythagore peut être utile même dans des domaines quotidiens, comme déterminer la hauteur d'une armoire, par exemple. À première vue, il n'est pas nécessaire d'utiliser un tel calculs complexes, car vous pouvez simplement prendre des mesures à l'aide d'un ruban à mesurer. Mais beaucoup de gens se demandent pourquoi certains problèmes surviennent lors du processus d'assemblage si toutes les mesures ont été prises avec plus de précision.

Le fait est que la garde-robe est assemblée en position horizontale et ce n'est qu'alors qu'il est soulevé et installé contre le mur. Par conséquent, pendant le processus de levage de la structure, le côté de l'armoire doit se déplacer librement à la fois en hauteur et en diagonale de la pièce.

Supposons qu'il y ait une armoire d'une profondeur de 800 mm. Distance du sol au plafond - 2600 mm. Un fabricant de meubles expérimenté dira que la hauteur du meuble doit être inférieure de 126 mm à la hauteur de la pièce. Mais pourquoi exactement 126 mm ? Regardons un exemple.

Avec des dimensions idéales d’armoire, vérifions le fonctionnement du théorème de Pythagore :

CA =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - tout s'adapte.

Disons que la hauteur du meuble n'est pas de 2474 mm, mais de 2505 mm. Alors:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Par conséquent, cette armoire ne convient pas pour une installation dans cette pièce. Car le soulever en position verticale peut endommager son corps.

Peut-être qu'après avoir examiné différentes manières de prouver le théorème de Pythagore par différents scientifiques, nous pouvons conclure que c'est plus que vrai. Vous pouvez désormais utiliser les informations reçues dans votre vie quotidienne et être totalement sûr que tous les calculs seront non seulement utiles, mais également corrects.