આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેઓ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે.

\[\sqrtх\] પ્રતીક ધરાવતા સમીકરણોને વર્ગમૂળવાળા સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા \ નું વર્ગમૂળ નીચે મુજબ છે: બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, જેનો ચોરસ \ બરાબર છે.

\[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. મૂળ ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ. છેઅલગ અલગ રીતે

આવા સમીકરણોના ઉકેલો:

સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરીને સંખ્યાનું વર્ગીકરણ; જો શક્ય હોય તો, મૂળમાંથી દૂર કરીને તેને સરળ બનાવવું;

સંપૂર્ણ મૂળ ઉપયોગકાલ્પનિક સંખ્યાઓ સંખ્યાઓનું મૂળ મેળવવા માટે;

નકારાત્મક પાત્ર

લાંબા ડિવિઝન અલ્ગોરિધમનો એપ્લિકેશન;

અને અન્ય.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો નીચેના સમીકરણને વર્ગમૂળ સાથે હલ કરીએ:

\[\sqrt (x-5) =3\]

રેડિકલથી છુટકારો મેળવવા માટે અમે સમીકરણની દરેક બાજુને જાતે જ ગુણાકાર કરીએ છીએ:

હવે આપણી સમક્ષ સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ છે, જે નીચે પ્રમાણે ઉકેલી શકાય છે:

હું બીજગણિત સમીકરણ ઓનલાઈન ક્યાં ઉકેલી શકું?

તમે અમારી વેબસાઇટ https://site પર બીજગણિતીય સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. મફત ઓનલાઈન સોલ્વર તમને કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણોને સેકન્ડોની બાબતમાં ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે વિડિઓ સૂચનાઓ પણ જોઈ શકો છો અને અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખી શકો છો. અને જો તમારી પાસે હજુ પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથ http://vk.com/pocketteacher માં પૂછી શકો છો. અમારા જૂથમાં જોડાઓ, અમે તમને મદદ કરવામાં હંમેશા ખુશ છીએ.

અનસાયક્લોપીડિયામાંથી સામગ્રી- ફોર્મ P(x 1, ..., x n) = O ના સમીકરણો, જ્યાં P એ x 1, ..., x n ચલોમાં બહુપદી છે. આ ચલોને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ (a 1, ..., a n) આ સમીકરણને સંતોષે છે જો, x 1 ને 1 સાથે, x 2 ને 2 સાથે બદલીને, વગેરે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ (3, 4, 5) સમીકરણ x 2 + y 2 = z 2 ને સંતોષે છે, કારણ કે 3 2 + 4 2 = 5 2). એક અજ્ઞાતમાં બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષતી સંખ્યાને તે સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. સંતોષકારક સંખ્યાઓના તમામ સેટનો સમૂહ આ સમીકરણ, આ સમીકરણના ઘણા ઉકેલો છે. બે બીજગણિતીય સમીકરણો કે જેમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. બહુપદી P ની ડિગ્રીને P(x 1, ..., x n) = 0 સમીકરણની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3x - 5y + z = c એ પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ છે, x 2 + y 2 = z 2 એ બીજી ડિગ્રી છે, અને x 4 એ 3x 3 + 1 = 0 - ચોથી ડિગ્રી છે. પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય પણ કહેવામાં આવે છે (રેખીય સમીકરણો જુઓ).

એક અજ્ઞાત સાથે બીજગણિત સમીકરણ છે અંતિમ સંખ્યામૂળ, અને સાથેના બીજગણિત સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ મોટી સંખ્યામાંઅજ્ઞાત પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે અનંત સમૂહસંખ્યાઓનો ચોક્કસ સમૂહ. તેથી, તેઓ સામાન્ય રીતે n અજ્ઞાત સાથેના વ્યક્તિગત બીજગણિત સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ સમીકરણોની સિસ્ટમો અને સંખ્યાઓના સેટને શોધે છે જે આપેલ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને એક સાથે સંતોષે છે. આ બધા સમૂહોનું સંયોજન સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ છે: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)).

એક અજાણ્યા સાથે 1લી ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો પહેલેથી જ ઉકેલાઈ ગયા હતા પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને પ્રાચીન બેબીલોન. બેબીલોનીયન શાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે કેવી રીતે નિર્ણય લેવો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો, તેમજ સરળ સિસ્ટમો રેખીય સમીકરણોઅને 2જી ડિગ્રીના સમીકરણો. વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તેઓએ 3જી ડિગ્રીના કેટલાક સમીકરણો પણ ઉકેલ્યા, ઉદાહરણ તરીકે x 3 + x = a. IN પ્રાચીન ગ્રીસનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવામાં આવ્યા હતા ભૌમિતિક બાંધકામો. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસ (III સદી) એ બીજગણિતીય સમીકરણો અને આવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી જેમાં ઘણા અજાણ્યા હતા. તર્કસંગત સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, તેણે તર્કસંગત સંખ્યામાં સમીકરણ x 4 - y 4 + z 4 = n 2, સમીકરણોની સિસ્ટમ y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3, વગેરે ઉકેલી. (જુઓ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો).

કેટલાક ભૌમિતિક સમસ્યાઓ: સમઘનનું બમણું, ખૂણાનું ત્રિવિભાજન (જુઓ. ક્લાસિક સમસ્યાઓપ્રાચીનકાળ), નિયમિત હેપ્ટાગોનનું નિર્માણ - ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે ઘન સમીકરણો. ઉકેલ દરમિયાન, આંતરછેદના બિંદુઓ શોધવાનું જરૂરી હતું કોનિક વિભાગો(અંદાજ, પેરાબોલાસ અને હાયપરબોલાસ). લાભ લે છે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ, મધ્યયુગીન પૂર્વના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘન સમીકરણોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કર્યો. જો કે, તેઓ તેમને ઉકેલવા માટે એક ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં અસમર્થ હતા. પશ્ચિમ યુરોપીયન ગણિતની પ્રથમ મોટી શોધ 16મી સદીમાં મળી હતી. ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર. કારણ કે તે સમયે નકારાત્મક સંખ્યાઓહજુ સુધી વ્યાપક બન્યું નથી, x 3 + px = q, x 3 + q = px, વગેરે જેવા સમીકરણોના પ્રકારોનું અલગથી વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી હતું. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી એસ. ડેલ ફેરો (1465-1526) એ x 3 સમીકરણ હલ કર્યું. + px = q અને તેના જમાઈ અને વિદ્યાર્થી A. M. Fiore ને ઉકેલની વાત કરી, જેમણે નોંધપાત્ર સ્વ-શિક્ષિત ગણિતશાસ્ત્રી N. Tartaglia (1499-1557) ને ગણિતની ટુર્નામેન્ટમાં પડકાર્યો હતો. ટુર્નામેન્ટના થોડા દિવસો પહેલા, ટાર્ટાગ્લિયા મળી સામાન્ય પદ્ધતિક્યુબિક સમીકરણો ઉકેલ્યા અને જીત્યા, તેને ઓફર કરેલી તમામ 30 સમસ્યાઓ ઝડપથી ઉકેલી. જો કે, સમીકરણ x 3 + px + q = 0 ઉકેલવા માટે ટાર્ટાગ્લિયા દ્વારા મળેલ સૂત્ર

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

સુધીની સંખ્યાના ખ્યાલનું બીજગણિતીય પ્રતીકવાદ અને સામાન્યીકરણનું નિર્માણ જટિલ સંખ્યાઓ XVII-XVIII સદીઓમાં મંજૂરી. સંશોધન સામાન્ય ગુણધર્મોબીજગણિતીય સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ, તેમજ એક અને અનેક ચલોમાં બહુપદીના સામાન્ય ગુણધર્મો.

સૌથી વધુ એક મહત્વપૂર્ણ કાર્યો 17મી-18મી સદીમાં બીજગણિત સમીકરણોનો સિદ્ધાંત. 5મી ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર શોધી રહ્યો હતો. 18મી સદીના ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકના પ્રયત્નો દ્વારા બીજગણિતશાસ્ત્રીઓની ઘણી પેઢીઓની નિરર્થક શોધો પછી. જે. લેગ્રેન્જ (1736-1813), ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક પી. રુફિની (1765-1822) અને નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એન. એબેલ XVIII ના અંતમાં - પ્રારંભિક XIXવી. તે સાબિત થયું હતું કે માત્ર અંકગણિત કામગીરી અને મૂળના નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા કોઈપણ 5મી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ સૂત્ર નથી. આ અભ્યાસો ઇ. ગેલોઈસના કાર્ય દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યા હતા, જેની થિયરી કોઈપણ સમીકરણ માટે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે શું તેના મૂળ રેડિકલમાં વ્યક્ત થાય છે. આ પહેલા પણ K. F. Gauss એ અભિવ્યક્તિની સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું હતું ચોરસ રેડિકલસમીકરણ x n - 1 = 0 ના મૂળ, જેમાં હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત n-gon બનાવવાની સમસ્યા ઓછી થાય છે. ખાસ કરીને, આ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત હેપ્ટાગોન, નાઈનગોન, વગેરેનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે. - આવા બાંધકામ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે n એ ફોર્મ 2 2k + 1 ની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અથવા અલગ-અલગનું ઉત્પાદન હોય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓઆ પ્રકારની.

ઉકેલ માટે સૂત્રોની શોધ સાથે ચોક્કસ સમીકરણોકોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ માટે મૂળના અસ્તિત્વના પ્રશ્નની તપાસ કરવામાં આવી હતી. 18મી સદીમાં ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી જે. ડી'આલેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે જટિલ ગુણાંક સાથે બિન-શૂન્ય ડિગ્રીનું કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ ઓછામાં ઓછું એક હોય છે. જટિલ મૂળ. ડી'એલેમ્બર્ટના પુરાવામાં ગાબડા હતા, જે પછી ગૌસ દ્વારા ભરવામાં આવ્યા હતા nth બહુપદી x ની શક્તિઓ n રેખીય પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થાય છે.

હાલમાં, બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સિદ્ધાંત ગણિતના સ્વતંત્ર ક્ષેત્રમાં ફેરવાઈ ગયો છે જેને બીજગણિત ભૂમિતિ કહેવાય છે. તે આવા સમીકરણોની સિસ્ટમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉચ્ચ પરિમાણોની રેખાઓ, સપાટીઓ અને મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરે છે.

બીજગણિત સમીકરણો. વ્યાખ્યા

વિધેયો f(x) અને μ(x) ને અમુક સમૂહ A પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. અને એક સમૂહ X શોધવાનું જરૂરી છે કે જેના પર આ વિધેયો લે છે સમાન મૂલ્યો, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે: f(x) = q(x).

આ ફોર્મ્યુલેશન સાથે, આ સમાનતાને અજાણ્યા x સાથેનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણને બીજગણિત કહેવામાં આવે છે જો અજાણ્યા - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ નિષ્કર્ષણ પર માત્ર બીજગણિતની ક્રિયાઓ કરવામાં આવે. કુદરતી સૂચક.

બીજગણિતીય સમીકરણોમાં માત્ર બીજગણિતીય કાર્યો (પૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક) હોય છે. માં બીજગણિતીય સમીકરણ સામાન્ય દૃશ્યવાસ્તવિક ગુણાંક સાથે nth ડિગ્રીના બહુપદી દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

સમૂહ A ને સમૂહ (વિસ્તાર) કહેવામાં આવે છે. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોઆ સમીકરણ માટે અજાણ છે.

સમૂહ Xને ઉકેલોનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે, અને તેના દરેક ઉકેલો x=a આ સમીકરણનું મૂળ છે. સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ઘણા વૈજ્ઞાનિક અને એન્જિનિયરિંગ સમસ્યાઓતે ફોર્મના સમીકરણને ઉકેલવા માટે જરૂરી છે

જ્યાં f(x) એ આપેલ સતત બિનરેખીય કાર્ય છે.

વિશ્લેષણાત્મક રીતે ફક્ત સરળ સમીકરણો માટે ઉકેલો શોધવાનું શક્ય છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રકાર (1) ના સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે.

સમીકરણ (1) નો સંખ્યાત્મક ઉકેલ સામાન્ય રીતે બે તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કે, તમારે ચલ x માં પરિવર્તનના આવા અંતરાલો શોધવાની જરૂર છે જ્યાં ફક્ત એક જ રુટ સ્થિત છે. આ સમસ્યા સામાન્ય રીતે ગ્રાફિકલી ઉકેલવામાં આવે છે. બીજા તબક્કે, વ્યક્તિગત મૂળ સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. આ માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઉકેલ પદ્ધતિઓ બિનરેખીય સમીકરણોસીધા અને પુનરાવર્તિત વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સીધી પદ્ધતિઓ તમને સૂત્રના સ્વરૂપમાં મૂળ લખવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, વ્યવહારમાં આવતા સમીકરણો હંમેશા ઉકેલી શકાતા નથી સરળ પદ્ધતિઓ. તેમને ઉકેલવા માટે અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ, એટલે કે અનુગામી અંદાજની પદ્ધતિઓ.

સીધી પદ્ધતિઓ - ઉકેલ અગાઉથી મળી આવે છે જાણીતી સંખ્યા અંકગણિત કામગીરી, નિર્ણય કડક છે. ઉદાહરણો: ગૌસીયન પદ્ધતિ, પદ્ધતિ વર્ગમૂળ, ક્રેમરનો નિયમ, વગેરે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ એ અનુગામી અંદાજની પદ્ધતિઓ છે જેમાં આપેલ ચોકસાઈ સાથે સમીકરણ (સિસ્ટમ) ઉકેલવા માટે જરૂરી અંકગણિત કામગીરીની સંખ્યાની આગાહી કરવી અશક્ય છે. ઉદાહરણો: પદ્ધતિ સરળ પુનરાવર્તનો, ગૌસ-સીડેલ પદ્ધતિ, સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ, વગેરે.

આ પેપર સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરે છે અને તેની તુલના કરે છે અર્ધ વિભાગસેગમેન્ટ

બીજગણિત સમીકરણો - ફોર્મના સમીકરણો

ચલોમાં બહુપદી ક્યાં છે. આ ચલોને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ આ સમીકરણને સંતોષે છે જો, જ્યારે , દ્વારા , વગેરે દ્વારા બદલવામાં આવે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ (3, 4, 5) સમીકરણને સંતોષે છે, કારણ કે ). એક અજ્ઞાતમાં બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષતી સંખ્યાને તે સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. આપેલ સમીકરણને સંતોષતા સંખ્યાઓના તમામ સેટનો સમૂહ આ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ છે. બે બીજગણિતીય સમીકરણો કે જેમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. બહુપદીની ડિગ્રીને સમીકરણની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, - પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ, - બીજી ડિગ્રી, અને - ચોથી ડિગ્રી. પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય પણ કહેવામાં આવે છે (રેખીય સમીકરણો જુઓ).

એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂળ ધરાવે છે, અને મોટી સંખ્યામાં અજાણ્યા સાથે બીજગણિતીય સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ ચોક્કસ સંખ્યાના ચોક્કસ સમૂહોની અનંત સંખ્યામાં હોઈ શકે છે. તેથી, તેઓ સામાન્ય રીતે અજાણ્યાઓ સાથેના વ્યક્તિગત બીજગણિતીય સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ સમીકરણોની સિસ્ટમો અને સંખ્યાઓના સેટને શોધે છે જે આપેલ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને એક સાથે સંતોષે છે. આ બધા સમૂહોનું સંયોજન સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ છે: .

એક અજાણ્યા સાથે 1 લી ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો પ્રાચીન ઇજિપ્ત અને પ્રાચીન બેબીલોનમાં પહેલેથી જ ઉકેલાઈ ગયા હતા. બેબીલોનીયન શાસ્ત્રીઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણો તેમજ રેખીય સમીકરણોની સરળ પ્રણાલીઓ અને 2જી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવામાં સક્ષમ હતા. વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તેઓએ 3જી ડિગ્રીના કેટલાક સમીકરણો પણ ઉકેલ્યા, ઉદાહરણ તરીકે. પ્રાચીન ગ્રીસમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ભૌમિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવતા હતા. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફેન્ટસ (3જી સદી) એ બીજગણિતીય સમીકરણો અને આવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓને તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં ઘણી અજાણ્યાઓ સાથે ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, તેણે સમીકરણને તર્કસંગત સંખ્યામાં હલ કર્યું , સમીકરણોની સિસ્ટમ, વગેરે. (જુઓ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો).

કેટલીક ભૌમિતિક સમસ્યાઓ: ક્યુબને બમણું કરવું, એક ખૂણાનું ત્રિ-વિભાજન (જુઓ પ્રાચીનકાળની શાસ્ત્રીય સમસ્યાઓ), નિયમિત હેપ્ટાગોનનું નિર્માણ - ઘન સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. સોલ્યુશન દરમિયાન, કોનિક વિભાગો (એલિપ્સ, પેરાબોલાસ અને હાઇપરબોલાસ) ના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાનું જરૂરી હતું. ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, મધ્યયુગીન પૂર્વના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘન સમીકરણોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કર્યો. જો કે, તેઓ તેમને ઉકેલવા માટે એક ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં અસમર્થ હતા. પશ્ચિમ યુરોપીયન ગણિતની પ્રથમ મોટી શોધ 16મી સદીમાં મળી હતી. ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર. તે સમયે નકારાત્મક સંખ્યાઓ હજી વ્યાપક બની ન હતી, તેથી આવા પ્રકારના સમીકરણો વગેરેનું અલગથી વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી હતું. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી એસ. ડેલ ફેરો (1465-1526) એ સમીકરણ ઉકેલ્યા અને તેના પુત્રને ઉકેલની જાણ કરી. -લો અને વિદ્યાર્થી એ.-એમ. ફિઓરે, જેમણે નોંધપાત્ર સ્વ-શિક્ષિત ગણિતશાસ્ત્રી એન. ટાર્ટાગ્લિયા (1499-1557) ને ગાણિતિક ટુર્નામેન્ટમાં પડકાર્યો હતો. ટુર્નામેન્ટના થોડા દિવસો પહેલા, ટાર્ટાગ્લિયાએ ક્યુબિક સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સામાન્ય પદ્ધતિ શોધી કાઢી અને તેને ઓફર કરવામાં આવેલી તમામ 30 સમસ્યાઓને ઝડપથી હલ કરીને તે જીતી ગયો. જો કે, સમીકરણ ઉકેલવા માટે ટાર્ટાગ્લિયા દ્વારા મળેલ સૂત્ર

બીજગણિત પ્રતીકવાદની રચના અને જટિલ સંખ્યાઓ સુધીની સંખ્યાની વિભાવનાના સામાન્યીકરણથી 17મી-18મી સદીઓમાં શક્ય બન્યું. ઉચ્ચ ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણોના સામાન્ય ગુણધર્મો તેમજ એક અને અનેક ચલોમાં બહુપદીના સામાન્ય ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરો.

17મી-18મી સદીઓમાં બીજગણિત સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓ પૈકીની એક. 5મી ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર શોધી રહ્યો હતો. 18મી સદીના ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકના પ્રયાસો દ્વારા બીજગણિતશાસ્ત્રીઓની ઘણી પેઢીઓની નિરર્થક શોધો પછી. જે. લેગ્રેન્જ (1736-1813), ઈટાલિયન વૈજ્ઞાનિક પી. રુફિની (1765-1822) અને નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એન. એબેલ 18મીના અંતમાં - 19મી સદીની શરૂઆતમાં. તે સાબિત થયું હતું કે માત્ર અંકગણિત કામગીરી અને મૂળના નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા કોઈપણ 5મી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ સૂત્ર નથી. આ અભ્યાસો ઇ. ગેલોઈસના કાર્ય દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યા હતા, જેની થિયરી કોઈપણ સમીકરણ માટે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે શું તેના મૂળ રેડિકલમાં વ્યક્ત થાય છે. આ પહેલા પણ કે.એફ. ગૌસે સમીકરણના મૂળને ચોરસ રેડિકલમાં વ્યક્ત કરવાની સમસ્યા હલ કરી, જેમાં હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત ત્રિકોણ બનાવવાની સમસ્યા ઓછી થાય છે. ખાસ કરીને, આ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત હેપ્ટાગોન, નાઈનગોન, વગેરેનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે. - આવા બાંધકામ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે - ફોર્મની અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા આ પ્રકારની વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન.

ચોક્કસ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રોની શોધ સાથે, કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ માટે મૂળના અસ્તિત્વના પ્રશ્નની તપાસ કરવામાં આવી હતી. 18મી સદીમાં ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી જે. ડી'એલેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે જટિલ ગુણાંક સાથે બિન-શૂન્ય ડિગ્રીના કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક જટિલ મૂળ હોય છે, જે પાછળથી ગૌસ દ્વારા ભરવામાં આવ્યા હતા. આ પ્રમેયમાંથી તે અનુસર્યું કે ડિગ્રી 0 ની કોઈપણ બહુપદી રેખીય પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થઈ શકે છે.

હાલમાં, બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સિદ્ધાંત ગણિતના સ્વતંત્ર ક્ષેત્રમાં ફેરવાઈ ગયો છે જેને બીજગણિત ભૂમિતિ કહેવાય છે. તે આવા સમીકરણોની સિસ્ટમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉચ્ચ પરિમાણોની રેખાઓ, સપાટીઓ અને મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરે છે.