ડિગ્રી 2 ઉદાહરણોના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો - સૂત્રો, ઉકેલો, ઉદાહરણો

પાઠનો પ્રકાર: નવી સામગ્રીનું સમજૂતી. કાર્ય જૂથોમાં થાય છે. દરેક જૂથમાં એક નિષ્ણાત હોય છે જે વિદ્યાર્થીઓના કાર્યનું નિરીક્ષણ કરે છે અને માર્ગદર્શન આપે છે. આ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે નબળા વિદ્યાર્થીઓને પોતાનામાં વિશ્વાસ રાખવામાં મદદ કરે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

વિષય પર પાઠ

" સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો"

(10મું ધોરણ)

લક્ષ્ય:

1. સજાતીય ખ્યાલ રજૂ કરો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો I અને II ડિગ્રી;
2. ડિગ્રી I અને II ના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ ઘડવું અને કાર્ય કરવું;
3. વિદ્યાર્થીઓને ડિગ્રી I અને II ના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો હલ કરવાનું શીખવો;
4. પેટર્નને ઓળખવા અને સામાન્યીકરણ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
5. વિષયમાં રસને ઉત્તેજીત કરો, એકતા અને તંદુરસ્ત સ્પર્ધાની ભાવના વિકસાવો.

પાઠનો પ્રકાર : નવા જ્ઞાનની રચનાનો પાઠ.

આચાર સ્વરૂપ: જૂથોમાં કામ કરો.

સાધનો: કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા ઇન્સ્ટોલેશન

પાઠ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ

વર્ગમાં રેટિંગ સિસ્ટમજ્ઞાન મૂલ્યાંકન (શિક્ષક જ્ઞાન મૂલ્યાંકન પ્રણાલી સમજાવે છે, વિદ્યાર્થીઓમાંથી શિક્ષક દ્વારા પસંદ કરાયેલ સ્વતંત્ર નિષ્ણાત દ્વારા મૂલ્યાંકન શીટ ભરીને). પાઠ પ્રસ્તુતિ સાથે છે. પરિશિષ્ટ 1.

સ્કોર શીટ નં.

II. મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરી રહ્યું છે..

અમે "ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો" વિષયનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આજે પાઠમાં અમે તમને બીજા પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓનો પરિચય કરાવીશું અને તેથી અમે જે શીખ્યા તેનું પુનરાવર્તન કરીશું. તમામ પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તેઓને સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. ચાલો આપણે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મુખ્ય પ્રકારોને યાદ કરીએ. અભિવ્યક્તિઓ સાથે મેળ કરવા માટે તીરનો ઉપયોગ કરો.

III. શીખવાની પ્રેરણા.

ક્રોસવર્ડ પઝલ ઉકેલવા માટે અમારી પાસે કામ છે. તેને હલ કર્યા પછી, આપણે એક નવા પ્રકારના સમીકરણોનું નામ શોધીશું જે આપણે આજે વર્ગમાં હલ કરવાનું શીખીશું.

બોર્ડ પર પ્રશ્નો રજૂ કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓ અનુમાન કરે છે, એક સ્વતંત્ર નિષ્ણાત પ્રવેશ કરે છે સ્કોર શીટપ્રતિભાવ આપતા વિદ્યાર્થીઓ માટે પોઈન્ટ.

ક્રોસવર્ડ પઝલ હલ કર્યા પછી, બાળકો "સમાન્ય" શબ્દ વાંચશે.

ક્રોસવર્ડ.

જો તમે દાખલ કરો સાચા શબ્દો, પછી તમને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના પ્રકારોમાંથી એકનું નામ મળશે.

1. ચલનું મૂલ્ય જે સમીકરણને સાચું બનાવે છે? (મૂળ)

2.કોણનો એકમ? (રેડિયન)

3.ઉત્પાદનમાં સંખ્યાત્મક પરિબળ? (ગુણાંક)

4. અભ્યાસ કરતા ગણિતનો વિભાગ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો? (ત્રિકોણમિતિ)

5.જે ગાણિતિક મોડેલત્રિકોણમિતિ કાર્યોની રજૂઆત માટે જરૂરી છે? (વર્તુળ)

6. કયું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય સમ છે? (કોસાઇન)

7. સાચી સમાનતા શું કહેવાય છે? (ઓળખ)

8. ચલ સાથે સમાનતા? (સમીકરણ)

9. કર્યા સમીકરણો સમાન મૂળ? (સમકક્ષ)

10. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે? (ઉકેલ)

IV. નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

પાઠનો વિષય "સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો" છે. (પ્રસ્તુતિ)

ઉદાહરણો:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 પાપ 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin 2x + 2cos 2x = 1

વી. સ્વતંત્ર કાર્ય

ઉદ્દેશ્યો: તમામ પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું વ્યાપકપણે પરીક્ષણ કરવું, વિદ્યાર્થીઓને સ્વ-વિશ્લેષણ અને સ્વ-નિયંત્રણ માટે ઉત્તેજીત કરવા.
વિદ્યાર્થીઓને 10 મિનિટ માટે લેખિત કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યાર્થીઓ નકલ કરવા માટે કાગળના કોરા ટુકડા પર કામ કરે છે. જેમ જેમ સમય પસાર થાય છે તેમ, ટોચ એકત્રિત કરવામાં આવે છે સ્વતંત્ર કાર્ય, અને ઉકેલો વિદ્યાર્થીઓને નકલ કરવા માટે છોડી દેવામાં આવે છે.
સ્વતંત્ર કાર્યની તપાસ (3 મિનિટ) પરસ્પર તપાસ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.
. વિદ્યાર્થીઓ તપાસ કરવા માટે રંગીન પેનનો ઉપયોગ કરે છે લેખિત કાર્યોતમારા પાડોશી અને ઇન્સ્પેક્ટરનું નામ લખો. પછી તેઓ કાગળો સોંપે છે.

પછી તેઓ તેને સ્વતંત્ર નિષ્ણાતને સોંપે છે.

વિકલ્પ 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) પાપ 2x⁄sin x =0

વિકલ્પ 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. પાઠનો સારાંશ

VII. ગૃહકાર્ય:

હોમવર્ક – 12 પોઈન્ટ (3 સમીકરણો 4 x 3 = 12 હોમવર્ક માટે સોંપવામાં આવ્યા હતા)

વિદ્યાર્થી પ્રવૃત્તિ - 1 જવાબ - 1 પોઈન્ટ (4 પોઈન્ટ મહત્તમ)

સમીકરણો ઉકેલવા 1 બિંદુ

સ્વતંત્ર કાર્ય - 4 પોઇન્ટ

બે અજાણ્યા સાથે બિનરેખીય સમીકરણો

વ્યાખ્યા 1. A ને અમુક રહેવા દો સંખ્યાઓની જોડીનો સમૂહ (x; y). તેઓ કહે છે કે સેટ A આપવામાં આવ્યો છેસંખ્યાત્મક કાર્ય zબે ચલોમાંથી

x અને y , જો કોઈ નિયમનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હોય જેની મદદથી A સેટમાંથી સંખ્યાઓની દરેક જોડી ચોક્કસ સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોય. વ્યાયામબે ચલો x અને y માંથી z ઘણીવાર સૂચવોતેથી:

જ્યાં f (x , y) - ફંક્શન સિવાયનું કોઈપણ કાર્ય

f (x , y) = ax+by+c ,

જ્યાં a, b, c - આપેલ નંબરો.

વ્યાખ્યા 3. સમીકરણ ઉકેલવું (2)નંબરોની જોડી પર કૉલ કરો ( x; y), જેના માટે સૂત્ર (2) સાચી સમાનતા છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો

કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ બિન-ઋણાત્મક હોવાથી, તે સૂત્ર (4) પરથી અનુસરે છે કે અજ્ઞાત x અને y સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષે છે

જેનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે (6; 3).

જવાબ: (6; 3)

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

તેથી, સમીકરણ (6) નો ઉકેલ છે અનંત સમૂહસંખ્યાઓની જોડીપ્રકાર

(1 + y ; y) ,

જ્યાં y કોઈપણ સંખ્યા છે.

રેખીય

વ્યાખ્યા 4. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

નંબરોની જોડી પર કૉલ કરો ( x; y), જ્યારે તેમને આ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોમાં બદલીને, યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક રેખીય છે, તેનું સ્વરૂપ છે

g(x , y)

ઉદાહરણ 4. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમ (7) ના પ્રથમ સમીકરણમાંથી અજાણ્યા x દ્વારા અજ્ઞાત y વ્યક્ત કરીએ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ:

સમીકરણ ઉકેલવું

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

આથી,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક સજાતીય છે

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક સજાતીય છે, તેનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં a, b, c નંબરો આપવામાં આવે છે, અને g(x , y) - બે ચલોનું કાર્ય x અને y.

ઉદાહરણ 6. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સજાતીય સમીકરણ હલ કરીએ

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

અજાણ્યા xના સંદર્ભમાં તેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ તરીકે ગણવું:

.

કિસ્સામાં x = - 5y, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (11)માંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

5y 2 = - 20 ,

જેના કોઈ મૂળ નથી.

કિસ્સામાં

સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (11)માંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

,

જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે y 1 = 3 , y 2 = - 3 . આમાંના દરેક મૂલ્યો અને અનુરૂપ મૂલ્ય x માટે શોધીને, અમે સિસ્ટમના બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

જવાબ: (- 2; 3), (2; - 3)

અન્ય પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 8. સમીકરણોની સિસ્ટમ (MIPT) ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો નવા અજ્ઞાત u અને v નો પરિચય કરીએ, જે સૂત્રો અનુસાર x અને y દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

નવા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં સિસ્ટમ (12) ને ફરીથી લખવા માટે, અમે પહેલા અજ્ઞાત x અને y ને u અને v ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ. સિસ્ટમ (13) થી તે તેને અનુસરે છે

ચાલો આ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી ચલ x નાબૂદ કરીને રેખીય સિસ્ટમ (14) ઉકેલીએ.

• આ હેતુ માટે, અમે સિસ્ટમ પર નીચેના પરિવર્તનો કરીએ છીએ (14):
• અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને યથાવત છોડીશું;

બીજા સમીકરણમાંથી આપણે પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરીએ છીએ અને પરિણામી તફાવત સાથે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને બદલીએ છીએ.

પરિણામે, સિસ્ટમ (14) સમકક્ષ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે

સૂત્રો (13) અને (15) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મૂળ સિસ્ટમ (12) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ (16) રેખીય છે, તેથી આપણે તેમાંથી અજ્ઞાત u ને અજાણ્યા v દ્વારા વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ અને આ અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલી શકીએ છીએ.

છેલ્લી વિગત, ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી C1 કાર્યો કેવી રીતે ઉકેલવા - સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા.અમે તમને આ અંતિમ પાઠમાં તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા તે જણાવીશું.

આ સમીકરણો શું છે? ચાલો તેમને લખીએ સામાન્ય દૃશ્ય.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

જ્યાં `a` અને `b` કેટલાક સ્થિરાંકો છે. આ સમીકરણને પ્રથમ ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ ડિગ્રીનું એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ

આવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તમારે તેને `\cos x` વડે ભાગવાની જરૂર છે. પછી તે ફોર્મ લેશે

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

આવા સમીકરણનો જવાબ આર્કટેન્જેન્ટનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી લખવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે `\cos x ≠0`. આને ચકાસવા માટે, અમે સમીકરણમાં કોસાઈનને બદલે શૂન્ય બદલીએ છીએ અને શોધીએ છીએ કે સાઈન પણ હોવી જોઈએ. શૂન્ય બરાબર. જો કે, તેઓ એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતા નથી, જેનો અર્થ છે કે કોસાઇન શૂન્ય નથી.

આ વર્ષની વાસ્તવિક પરીક્ષાના કેટલાક પ્રશ્નોમાં એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ સામેલ હતું. ની લિંકને અનુસરો. અમે સમસ્યાનું થોડું સરળ સંસ્કરણ લઈશું.

પ્રથમ ઉદાહરણ. પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણનો ઉકેલ

$$\sin x + \cos x = 0.$$

`\cos x` વડે ભાગાકાર કરો.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

હું પુનરાવર્તન કરું છું, સમાન કાર્ય યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર હતું :) અલબત્ત, તમારે હજી પણ મૂળ પસંદ કરવાની જરૂર છે, પરંતુ આનાથી કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓ પણ ન થવી જોઈએ.

ચાલો હવે આગળ વધીએ આગામી પ્રકારસમીકરણો

બીજી ડિગ્રીનું એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ

સામાન્ય રીતે તે આના જેવો દેખાય છે:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

જ્યાં 'a, b, c' કેટલાક સ્થિરાંકો છે.

આવા સમીકરણો `\cos^2 x` (જે ફરીથી શૂન્ય નથી) વડે ભાગાકાર કરીને ઉકેલાય છે. ચાલો તરત જ એક ઉદાહરણ જોઈએ.

બીજું ઉદાહરણ. બીજી ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણનો ઉકેલ

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x` વડે ભાગાકાર કરો.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

ચાલો `t = \tg x` ને બદલીએ.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ

$$\tg x = 3, \text( or ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( or ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

જવાબ મળી ગયો છે.

ત્રીજું ઉદાહરણ. બીજી ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણનો ઉકેલ

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

બધું બરાબર હશે, પરંતુ આ સમીકરણ સજાતીય નથી - જમણી બાજુનું `-2` આપણી સાથે દખલ કરે છે. શું કરવું? ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ અને તેનો ઉપયોગ કરીને `-2` લખીએ.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x` વડે ભાગાકાર કરો.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

રિપ્લેસમેન્ટ `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

વિપરીત અવેજી કર્યા પછી, અમને મળે છે:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( or ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

આ છેલ્લું ઉદાહરણઆ પાઠમાં.

હંમેશની જેમ, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: તાલીમ આપણા માટે બધું છે. વ્યક્તિ ગમે તેટલો હોશિયાર હોય, તાલીમ વિના કૌશલ્યનો વિકાસ થતો નથી. પરીક્ષા દરમિયાન, આ ચિંતા, ભૂલો અને સમયની ખોટથી ભરપૂર છે (આ યાદી જાતે ચાલુ રાખો). અભ્યાસ કરવાની ખાતરી કરો!

તાલીમ કાર્યો

સમીકરણો ઉકેલો:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. આ અસાઇનમેન્ટ તરફથી છે વાસ્તવિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2013. કોઈએ ડિગ્રીના ગુણધર્મોનું જ્ઞાન રદ કર્યું નથી, પરંતુ જો તમે ભૂલી ગયા હો, તો એક નજર નાખો;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. સાતમા પાઠનું સૂત્ર કામમાં આવશે.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

બસ એટલું જ. અને હંમેશની જેમ, છેલ્લે: ટિપ્પણીઓમાં પ્રશ્નો પૂછો, પસંદ કરો, વિડિઓઝ જુઓ, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખો.

આજે આપણે સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો અભ્યાસ કરીશું. પ્રથમ, ચાલો પરિભાષા જોઈએ: એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ શું છે. તે નીચેની લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે:

1. તેમાં ઘણી શરતો હોવી આવશ્યક છે;
2. બધી શરતો સમાન ડિગ્રી હોવી જોઈએ;
3. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ ઓળખમાં સમાવિષ્ટ તમામ કાર્યોમાં આવશ્યકપણે સમાન દલીલ હોવી આવશ્યક છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો

ચાલો શરતો પસંદ કરીએ

અને જો પ્રથમ મુદ્દા સાથે બધું સ્પષ્ટ છે, તો બીજા વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરવી યોગ્ય છે. તેનો અર્થ શું છે સમાન ડિગ્રીશરતો? ચાલો પ્રથમ સમસ્યા જોઈએ:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

આ સમીકરણમાં પ્રથમ પદ છે 3cosx 3\cos x. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં માત્ર એક જ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે - cosx\cos x - અને અન્ય કોઈ ત્રિકોણમિતિ વિધેયો અહીં હાજર નથી, તેથી આ પદની ડિગ્રી 1 છે. બીજા સાથે સમાન - 5sinx 5\sin x - અહીં માત્ર સાઈન હાજર છે, એટલે કે આ પદની ડિગ્રી પણ એકની બરાબર છે. તેથી, આપણી સમક્ષ એક ઓળખ છે જેમાં બે ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંના દરેકમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્ય હોય છે, અને માત્ર એક. આ પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ છે.

ચાલો બીજા અભિવ્યક્તિ તરફ આગળ વધીએ:

4પાપ2 x+sin2x−3=0

4((\sin)^(2))x+\sin 2x-3=0

આ બાંધકામના પ્રથમ સભ્ય છે 4પાપ2 x 4((\sin )^(2))x.

હવે આપણે નીચેનો ઉકેલ લખી શકીએ છીએ:

પાપ2 x=sinx⋅sinx

((\sin)^(2))x=\sin x\cdot \sin x

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રથમ શબ્દમાં બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે, એટલે કે તેની ડિગ્રી બે છે. ચાલો બીજા તત્વ સાથે વ્યવહાર કરીએ - sin2x\sin 2x. ચાલો આ સૂત્ર - સૂત્રને યાદ કરીએ ડબલ કોણ:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

અને ફરીથી, પરિણામી સૂત્રમાં આપણી પાસે બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે - સાઈન અને કોસાઈન. આમ, આ બાંધકામ શબ્દનું પાવર મૂલ્ય પણ બે જેટલું છે.

ચાલો ત્રીજા તત્વ તરફ આગળ વધીએ - 3. ગણિતના કોર્સમાંથી ઉચ્ચ શાળાઅમને યાદ છે કે કોઈપણ સંખ્યાને 1 વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે, તેથી અમે તેને લખીએ છીએ:

˜ 3=3⋅1

અને એકમને નીચેના સ્વરૂપમાં મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે:

1=પાપ2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

તેથી, અમે 3 ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

3=3(પાપ2 x⋅ cos2 x)=3પાપ2 x+3 cos2 x

3=3\left((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

આમ, અમારું શબ્દ 3 બે ઘટકોમાં વિભાજિત થયેલ છે, જેમાંથી દરેક એકરૂપ છે અને બીજી ડિગ્રી ધરાવે છે. પ્રથમ ટર્મમાં સાઈન બે વાર થાય છે, બીજામાં કોસાઈન પણ બે વાર થાય છે. આમ, 3 ને બે ઘાતના ઘાત સાથે શબ્દ તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે.

ત્રીજા અભિવ્યક્તિ સાથે સમાન વસ્તુ:

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx=2 cos3 x

ચાલો જોઈએ. પ્રથમ મુદત છે પાપ3 x((\sin )^(3))x એ ત્રીજી ડિગ્રીનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે. બીજું તત્વ - પાપ2 xcosx((\sin)^(2))x\cos x.

પાપ2 ((\sin )^(2)) એ પાવર મૂલ્ય બે વડે ગુણાકાર સાથેની લિંક છે cosx\cos x એ પ્રથમ શબ્દ છે. કુલ મળીને, ત્રીજી મુદતમાં પણ ત્રણનું પાવર મૂલ્ય છે. છેલ્લે, જમણી બાજુએ બીજી લિંક છે - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x એ ત્રીજી ડિગ્રીનું તત્વ છે. આમ, આપણી સમક્ષ ત્રીજા અંશનું એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે.

અમારી પાસે ત્રણ ઓળખ લખેલી છે વિવિધ ડિગ્રીઓ. બીજી અભિવ્યક્તિ પર ફરીથી ધ્યાન આપો. મૂળ રેકોર્ડમાં, એક સભ્યની દલીલ છે 2x 2x. અમને ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને તેને રૂપાંતરિત કરીને આ દલીલમાંથી છૂટકારો મેળવવાની ફરજ પડી છે, કારણ કે અમારી ઓળખમાં સમાવિષ્ટ તમામ કાર્યોમાં આવશ્યકપણે સમાન દલીલ હોવી જોઈએ. અને આ સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો માટે જરૂરી છે.

અમે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને અંતિમ ઉકેલ લખીએ છીએ

અમે શરતોને અલગ કરી છે, ચાલો ઉકેલ તરફ આગળ વધીએ. પાવર ઘાતાંકને ધ્યાનમાં લીધા વિના, આ પ્રકારની સમાનતાને ઉકેલવા હંમેશા બે પગલામાં કરવામાં આવે છે:

1) તે સાબિત કરો

cosx≠0

\cos x\ne 0. આ કરવા માટે, મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખના સૂત્રને યાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે (પાપ2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) અને આ ફોર્મ્યુલામાં અવેજી કરો cosx=0\cos x=0. અમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળશે:

પાપ2 x=1sinx=±1

\શરૂ(સંરેખિત કરો)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

પ્રાપ્ત મૂલ્યોને બદલીને, એટલે કે તેના બદલે cosx\cos x શૂન્ય છે, અને તેના બદલે sinx\sin x — 1 અથવા -1, મૂળ અભિવ્યક્તિમાં, આપણે ખોટી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવીશું. આ તેનું સમર્થન છે

cosx≠0

2) બીજું પગલું તાર્કિક રીતે પ્રથમથી અનુસરે છે. ત્યારથી

cosx≠0

\cos x\ne 0, આપણે બંધારણની આપણી બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ છીએ cosn x((\cos )^(n))x, જ્યાં n n - બસ પાવર ઘાતાંકસજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ. આ આપણને શું આપે છે:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(એરે)\]

આનો આભાર, આપણું બોજારૂપ પ્રારંભિક બાંધકામ સમીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે nસ્પર્શકના સંદર્ભમાં n-ડિગ્રી, જેનો ઉકેલ ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી લખી શકાય છે. તે સમગ્ર અલ્ગોરિધમનો છે. ચાલો જોઈએ કે તે વ્યવહારમાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

અમે વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ

કાર્ય નંબર 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

અમે પહેલાથી જ શોધી કાઢ્યું છે કે આ એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે જેની ઘાત એક સમાન છે. તેથી, સૌ પ્રથમ, ચાલો તે શોધી કાઢીએ cosx≠0\cos x\ne 0. ધારો કે વિપરીત, તે

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

અમે પરિણામી મૂલ્યને અમારી અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ, અમને મળે છે:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

તેના આધારે આપણે એમ કહી શકીએ cosx≠0\cos x\ne 0. ચાલો આપણા સમીકરણને વડે ભાગીએ cosx\cos x, કારણ કે આપણા સમગ્ર અભિવ્યક્તિમાં પાવર મૂલ્ય છે, એક સમાન. અમને મળે છે:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(સંરેખિત)

આ નથી કોષ્ટક મૂલ્ય, તેથી જવાબમાં સમાવેશ થશે arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

ત્યારથી arctg arctg arctg એ એક વિચિત્ર કાર્ય છે, આપણે દલીલમાંથી "માઈનસ" લઈ શકીએ છીએ અને તેને arctg ની સામે મૂકી શકીએ છીએ. અમને અંતિમ જવાબ મળે છે:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

કાર્ય નંબર 2

4પાપ2 x+sin2x−3=0

4((\sin)^(2))x+\sin 2x-3=0

જેમ તમને યાદ છે, તમે તેને હલ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે કેટલાક પરિવર્તનો કરવાની જરૂર છે. અમે પરિવર્તનો હાથ ધરીએ છીએ:

4પાપ2 x+2sinxcosx−3 (પાપ2 x+ cos2 x)=0 4પાપ2 x+2sinxcosx−3 પાપ2 x−3 cos2 x=0પાપ2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2) ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (સંરેખિત કરો)

અમને ત્રણ ઘટકોનું માળખું મળ્યું. પ્રથમ ટર્મમાં આપણે જોઈએ છીએ પાપ2 ((\sin )^(2)), એટલે કે તેની શક્તિ મૂલ્ય બે છે. બીજી મુદતમાં આપણે જોઈએ છીએ sinx\sin x અને cosx\cos x - ફરીથી બે કાર્યો છે, તેઓ ગુણાકાર છે, તેથી સામાન્ય ડિગ્રીફરીથી બે. ત્રીજી કડીમાં આપણે જોઈએ છીએ cos2 x((\cos )^(2))x - પ્રથમ મૂલ્ય જેવું જ.

ચાલો તે સાબિત કરીએ cosx=0\cos x=0 એ આ બાંધકામનો ઉકેલ નથી. આ કરવા માટે, ચાલો વિરુદ્ધ ધારીએ:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\ \1=0 \\\અંત(એરે)\]

અમે તે સાબિત કર્યું છે cosx=0\cos x=0 એ ઉકેલ ન હોઈ શકે. ચાલો બીજા પગલા પર આગળ વધીએ - આપણી આખી અભિવ્યક્તિને વડે વિભાજીત કરીએ cos2 x((\cos )^(2))x. શા માટે ચોરસ? કારણ કે આ સજાતીય સમીકરણનો ઘાત ઘાત બે બરાબર છે:

પાપ2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)અને \frac((\sin )^(2))x)((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\અંત(સંરેખિત)

શું તે નક્કી કરવું શક્ય છે આ અભિવ્યક્તિભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને? અલબત્ત તમે કરી શકો છો. પરંતુ હું પ્રમેય યાદ રાખવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું, પ્રમેયની વાતચીતવિએટા, અને અમને મળે છે કે અમે આ બહુપદીને બે સરળ બહુપદીના રૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ, એટલે કે:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ ટેક્સ્ટ( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(સંરેખિત)

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે કે શું ઓળખના ઉકેલોના દરેક જૂથ માટે અલગ-અલગ ગુણાંક લખવા યોગ્ય છે કે પરેશાન ન થવું અને દરેક જગ્યાએ એક જ ગુણાંક લખવો. અંગત રીતે, મને લાગે છે કે તે વાપરવા માટે વધુ સારું અને વધુ વિશ્વસનીય છે વિવિધ અક્ષરોજેથી તમે ગંભીર સ્થિતિમાં દાખલ થાવ તકનીકી યુનિવર્સિટીસાથે વધારાના પરીક્ષણોગણિતમાં, પરીક્ષકોએ જવાબમાં ખામી શોધી ન હતી.

કાર્ય નંબર 3

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ ત્રીજી ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે, કોઈ ખાસ સૂત્રોની જરૂર નથી, અને આપણા માટે જે જરૂરી છે તે શબ્દને ખસેડવાનું છે. 2cos3 xડાબી બાજુએ 2((\cos )^(3))x. ચાલો ફરીથી લખીએ:

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક તત્વ ત્રણ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવે છે, તેથી આ સમીકરણની શક્તિ મૂલ્ય ત્રણ છે. ચાલો તેને હલ કરીએ. સૌ પ્રથમ, આપણે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે cosx=0\cos x=0 એ રુટ નથી:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(એરે)\]

ચાલો આ સંખ્યાઓને અમારા મૂળ બાંધકામમાં બદલીએ:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)& ((\ડાબે(\pm 1 \જમણે))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

આથી, cosx=0\cos x=0 એ ઉકેલ નથી. અમે તે સાબિત કર્યું છે cosx≠0\cos x\ne 0. હવે જ્યારે આપણે આ સાબિત કર્યું છે, ચાલો આપણા ભાગ પાડીએ મૂળ સમીકરણપર cos3 x((\cos )^(3))x. શા માટે સમઘન માં? કારણ કે અમે હમણાં જ સાબિત કર્યું છે કે અમારા મૂળ સમીકરણમાં ત્રીજી શક્તિ છે:

પાપ3 xcos3 x+પાપ2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)& \frac(((\sin )^(3))x)((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ:

tgx=t

ચાલો બાંધકામ ફરીથી લખીએ:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

અમારા પહેલાં ઘન સમીકરણ. તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? શરૂઆતમાં, જ્યારે હું આ વિડિયો ટ્યુટોરીયલને એકસાથે મૂકી રહ્યો હતો, ત્યારે મેં સૌપ્રથમ ફેક્ટરિંગ બહુપદી અને અન્ય તકનીકો વિશે વાત કરવાનું આયોજન કર્યું. પરંતુ માં આ કિસ્સામાંબધું ખૂબ સરળ છે. જુઓ, અમારી ઓળખ આપવામાં આવી છે, સાથે શબ્દ સાથે સૌથી મોટી હદ સુધીખર્ચ 1. વધુમાં, બધા ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી કોરોલરીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જે જણાવે છે કે તમામ મૂળ સંખ્યા -2 ના વિભાજક છે, એટલે કે મુક્ત શબ્દ.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: -2 ને શેના વડે ભાગવામાં આવે છે? 2 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી, ત્યાં ઘણા બધા વિકલ્પો નથી. આ નીચેની સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે: 1; 2; -1; -2. નકારાત્મક મૂળતરત જ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. શા માટે? કારણ કે તે બંને નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં 0 કરતા વધારે છે, તેથી t3 ((t)^(3)) મોડ્યુલસ કરતાં વધુ હશે t2 ((t)^(2)). અને સમઘન એક વિષમ કાર્ય હોવાથી, તેથી ક્યુબમાં સંખ્યા નકારાત્મક હશે, અને t2 ((t)^(2)) - હકારાત્મક, અને આ સમગ્ર બાંધકામ, સાથે t=−1 t=-1 અને t=−2 t=-2, 0 થી વધુ નહીં હોય. તેમાંથી -2 બાદ કરો અને એવી સંખ્યા મેળવો જે ચોક્કસપણે 0 કરતા ઓછી હોય. ચાલો આમાંની દરેક સંખ્યાને બદલીએ:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

અમે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવી છે. આથી, t=1 t=1 એ મૂળ છે.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 એ રુટ નથી.

કોરોલરી અને તે જ બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ બહુપદી જેનું મૂળ છે x0 ((x)_(0)), તેને ફોર્મમાં રજૂ કરો:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

અમારા કિસ્સામાં, ભૂમિકામાં x x એ ચલ છે tટી, અને ભૂમિકામાં x0 ((x)_(0)) એ 1 ના બરાબર મૂળ છે. આપણને મળે છે:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

બહુપદી કેવી રીતે શોધવી પી (ટી)પી\ડાબે(ટી\જમણે)? દેખીતી રીતે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

P(t) = t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

ચાલો અવેજી કરીએ:

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

તેથી, આપણા મૂળ બહુપદીને શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આમ, અમે અમારી મૂળ સમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય હોય છે. અમે પહેલાથી જ પ્રથમ ગુણકને ધ્યાનમાં લીધું છે. ચાલો બીજાને જોઈએ:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

અનુભવી વિદ્યાર્થીઓ કદાચ પહેલાથી જ સમજી ગયા છે કે આ બાંધકામમાં કોઈ મૂળ નથી, પરંતુ ચાલો હજુ પણ ભેદભાવની ગણતરી કરીએ.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

ભેદભાવ 0 કરતા ઓછો છે, તેથી અભિવ્યક્તિનું કોઈ મૂળ નથી. કુલ મળીને, વિશાળ બાંધકામ સામાન્ય સમાનતામાં ઘટાડવામાં આવ્યું હતું:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(એરે)\]

નિષ્કર્ષમાં, હું છેલ્લા કાર્ય પર કેટલીક ટિપ્પણીઓ ઉમેરવા માંગુ છું:

1. શું સ્થિતિ હંમેશા સંતુષ્ટ થશે? cosx≠0\cos x\ne 0, અને શું આ ચેક કરવા યોગ્ય છે? અલબત્ત, હંમેશા નહીં. કિસ્સાઓમાં જ્યાં cosx=0\cos x=0 એ આપણી સમાનતાનો ઉકેલ છે; આપણે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું ​​જોઈએ, અને પછી એક સંપૂર્ણ સજાતીય સમીકરણ કૌંસમાં રહેશે.
2. બહુપદીને બહુપદી વડે વિભાજિત કરવાનું શું છે. ખરેખર, મોટાભાગની શાળાઓ આનો અભ્યાસ કરતી નથી, અને જ્યારે વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ વખત આવી ડિઝાઇન જુએ છે, ત્યારે તેઓ થોડો આંચકો અનુભવે છે. પરંતુ, વાસ્તવમાં, આ એક સરળ અને સુંદર તકનીક છે જે સમીકરણોને હલ કરવાનું ખૂબ સરળ બનાવે છે ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ. અલબત્ત, એક અલગ વિડિયો ટ્યુટોરીયલ તેને સમર્પિત કરવામાં આવશે, જે હું નજીકના ભવિષ્યમાં પ્રકાશિત કરીશ.

કી પોઈન્ટ્સ

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો તમામ પ્રકારના પર એક પ્રિય વિષય છે પરીક્ષણો. તેઓ ખૂબ જ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - ફક્ત એકવાર પ્રેક્ટિસ કરો. અમે શું વાત કરી રહ્યા છીએ તે સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક નવી વ્યાખ્યા રજૂ કરીએ.

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ એ એક છે જેમાં પ્રત્યેક બિન-શૂન્ય પદ ત્રિકોણમિતિ પરિબળોની સમાન સંખ્યા ધરાવે છે. આ સાઈન, કોસાઈન્સ અથવા તેના સંયોજનો હોઈ શકે છે - ઉકેલ પદ્ધતિ હંમેશા સમાન હોય છે.

એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણની ડિગ્રી એ બિન-શૂન્ય શરતોમાં સમાવિષ્ટ ત્રિકોણમિતિ પરિબળોની સંખ્યા છે:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1લી ડિગ્રીની ઓળખ;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2જી ડિગ્રી;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3જી ડિગ્રી;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - અને આ સમીકરણ સજાતીય નથી, કારણ કે જમણી બાજુએ એક એકમ છે - બિન-શૂન્ય શબ્દ જેમાં કોઈ ત્રિકોણમિતિ પરિબળો નથી;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 - પણ અસંગત સમીકરણ. તત્વ sin2x\sin 2x એ બીજી ડિગ્રી છે (કારણ કે તે રજૂ કરી શકાય છે

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x એ પ્રથમ છે, અને શબ્દ 3 સામાન્ય રીતે શૂન્ય છે, કારણ કે તેમાં કોઈ સાઈન અથવા કોસાઈન નથી.

સામાન્ય ઉકેલ યોજના

ઉકેલ યોજના હંમેશા સમાન હોય છે:

ચાલો માની લઈએ કે cosx=0\cos x=0. પછી sinx=±1\sin x=\pm 1 - આ મુખ્ય ઓળખથી અનુસરે છે. ચાલો અવેજી કરીએ sinx\sin x અને cosxમૂળ અભિવ્યક્તિમાં \cos x, અને જો પરિણામ બકવાસ છે (ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ 5=0 5=0), બીજા બિંદુ પર જાઓ;

આપણે દરેક વસ્તુને કોસાઈનની શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ: cosx, cos2x, cos3x... - સમીકરણની શક્તિ મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. અમે સ્પર્શક સાથે સામાન્ય સમાનતા મેળવીએ છીએ, જે tgx=t ને બદલ્યા પછી સુરક્ષિત રીતે ઉકેલી શકાય છે.

tgx=tમળેલા મૂળ મૂળ અભિવ્યક્તિનો જવાબ હશે.

રોકો! ચાલો આ બોજારૂપ સૂત્રને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

કેટલાક ગુણાંક સાથે પાવરમાં પ્રથમ ચલ પ્રથમ આવવું જોઈએ. અમારા કિસ્સામાં તે છે

અમારા કિસ્સામાં તે છે. જેમ આપણે શોધી કાઢ્યું, આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ ચલ પરની ડિગ્રી કન્વર્જ થાય છે. અને પ્રથમ ડિગ્રીનું બીજું ચલ સ્થાને છે. ગુણાંક.

અમારી પાસે છે.

પ્રથમ ચલ એ પાવર છે, અને બીજું ચલ ગુણાંક સાથે વર્ગ છે. આ સમીકરણમાં છેલ્લું પદ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારું સમીકરણ ફોર્મ્યુલાના રૂપમાં વ્યાખ્યાને બંધબેસે છે.

ચાલો વ્યાખ્યાનો બીજો (મૌખિક) ભાગ જોઈએ.

અમારી પાસે બે અજાણ્યા છે અને. તે અહીં એકરૂપ થાય છે.

ચાલો બધી શરતોને ધ્યાનમાં લઈએ. તેમાં, અજાણ્યાઓની ડિગ્રીનો સરવાળો સમાન હોવો જોઈએ.

ડિગ્રીનો સરવાળો બરાબર છે.

શક્તિઓનો સરવાળો (એટ અને એટ) બરાબર છે.

ડિગ્રીનો સરવાળો બરાબર છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બધું બંધબેસે છે !!!

હવે વ્યાખ્યાનો અભ્યાસ કરીએ સજાતીય સમીકરણો.

કયા સમીકરણો એકરૂપ છે તે નક્કી કરો:

સજાતીય સમીકરણો - સંખ્યાઓ સાથેના સમીકરણો:

ચાલો સમીકરણને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.

જો આપણે દરેક પદને અવયવ કરીને દરેક પદને વિભાજીત કરીએ, તો આપણને મળે છે

અને આ સમીકરણ સંપૂર્ણપણે સજાતીય સમીકરણોની વ્યાખ્યા હેઠળ આવે છે.

સજાતીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?

ઉદાહરણ 2.

ચાલો સમીકરણને વડે વિભાજીત કરીએ.

અમારી સ્થિતિ અનુસાર, y સમાન હોઈ શકે નહીં. તેથી અમે સુરક્ષિત રીતે વિભાજીત કરી શકીએ છીએ

રિપ્લેસમેન્ટ કરીને, અમે એક સરળ મેળવીએ છીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

આ ઘટેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ હોવાથી, અમે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

રિવર્સ અવેજી કર્યા પછી, અમને જવાબ મળે છે

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ચાલો સમીકરણને (શરત દ્વારા) વિભાજીત કરીએ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 4.

જો શોધો.

અહીં તમારે ભાગાકાર નહીં, પરંતુ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. ચાલો સમગ્ર સમીકરણને આના દ્વારા ગુણાકાર કરીએ:

ચાલો બદલીએ અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

વિપરીત અવેજી કર્યા પછી, અમને જવાબ મળે છે:

જવાબ:

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા.

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા ઉપર વર્ણવેલ ઉકેલ પદ્ધતિઓથી અલગ નથી. ફક્ત અહીં, અન્ય વસ્તુઓની સાથે, તમારે થોડી ત્રિકોણમિતિ જાણવાની જરૂર છે. અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવામાં સમર્થ થાઓ (આ માટે તમે વિભાગ વાંચી શકો છો).

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આવા સમીકરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.

સમીકરણ ઉકેલો.

આપણે એક લાક્ષણિક સજાતીય સમીકરણ જોઈએ છીએ: અને તે અજ્ઞાત છે, અને દરેક શબ્દમાં તેમની શક્તિઓનો સરવાળો સમાન છે.

આવા સજાતીય સમીકરણો ઉકેલવા મુશ્કેલ નથી, પરંતુ સમીકરણોને વિભાજિત કરતા પહેલા, તે કિસ્સામાં ધ્યાનમાં લો જ્યારે

આ કિસ્સામાં, સમીકરણ ફોર્મ લેશે: , તેથી. પરંતુ સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે સમાન ન હોઈ શકે, કારણ કે મૂળભૂત રીતે ત્રિકોણમિતિ ઓળખ. તેથી, અમે તેને સુરક્ષિત રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:

સમીકરણ આપવામાં આવ્યું હોવાથી, પછી વિએટાના પ્રમેય મુજબ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 6.

સમીકરણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સમીકરણને વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે:

પરંતુ સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે સમાન ન હોઈ શકે, કારણ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ અનુસાર. તેથી જ.

ચાલો બદલીએ અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

ચાલો વિપરીત અવેજી કરીએ અને શોધીએ અને:

જવાબ:

સજાતીય ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા.

સજાતીય સમીકરણો એ જ રીતે ઉકેલાય છે જેમ ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. જો તમે કેવી રીતે નક્કી કરવું તે ભૂલી ગયા છો ઘાતાંકીય સમીકરણો- અનુરૂપ વિભાગ () જુઓ!

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 7.

સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો તેને આની જેમ કલ્પના કરીએ:

આપણે એક સામાન્ય સજાતીય સમીકરણ જોઈએ છીએ, જેમાં બે ચલો અને શક્તિઓનો સરવાળો છે. ચાલો સમીકરણને આમાં વહેંચીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અવેજી કરીને, આપણે નીચેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ (શૂન્ય વડે ભાગાકાર વિશે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી - તે હંમેશા શૂન્ય કરતા સખત હોય છે):

વિએટાના પ્રમેય મુજબ:

જવાબ: .

ઉદાહરણ 8.

સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો તેને આની જેમ કલ્પના કરીએ:

ચાલો સમીકરણને આમાં વહેંચીએ:

ચાલો બદલીએ અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

મૂળ સ્થિતિને સંતોષતી નથી. ચાલો વિપરીત અવેજીકરણ કરીએ અને શોધીએ:

જવાબ:

સજાતીય સમીકરણો. મધ્યમ સ્તર

પ્રથમ, એક સમસ્યાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું સજાતીય સમીકરણો શું છે અને સજાતીય સમીકરણોનો ઉકેલ શું છે.

સમસ્યા હલ કરો:

જો શોધો.

અહીં તમે એક વિચિત્ર વસ્તુ જોઈ શકો છો: જો આપણે દરેક શબ્દને આનાથી વિભાજીત કરીએ, તો આપણને મળશે:

એટલે કે, હવે ત્યાં કોઈ અલગ નથી અને, - હવે સમીકરણમાં ચલ એ ઇચ્છિત મૂલ્ય છે. અને આ એક સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે જે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે: મૂળનું ઉત્પાદન સમાન છે, અને સરવાળો એ સંખ્યાઓ છે અને.

જવાબ:

ફોર્મના સમીકરણો

સજાતીય કહેવાય છે. એટલે કે, આ બે અજાણ્યાઓ સાથેનું સમીકરણ છે, જેમાંના દરેક શબ્દમાં આ અજાણ્યાઓની શક્તિઓનો સરખો સરવાળો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના ઉદાહરણમાં આ રકમ બરાબર છે. સજાતીય સમીકરણો આ ડિગ્રીના અજાણ્યાઓમાંથી એક દ્વારા ભાગાકાર કરીને ઉકેલી શકાય છે:

અને ચલોનું અનુગામી રિપ્લેસમેન્ટ: . આમ આપણે એક અજ્ઞાત સાથે પાવર સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

મોટાભાગે આપણે બીજી ડિગ્રીના સમીકરણોનો સામનો કરીશું (એટલે ​​​​કે, ચતુર્ભુજ), અને આપણે જાણીએ છીએ કે તેમને કેવી રીતે હલ કરવું:

નોંધ કરો કે આપણે સમગ્ર સમીકરણને ચલ વડે વિભાજિત (અને ગુણાકાર) ત્યારે જ કરી શકીએ છીએ જો આપણને ખાતરી હોય કે આ ચલ શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે! ઉદાહરણ તરીકે, જો અમને શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો અમે તરત જ સમજીએ છીએ કે કારણ કે તે વિભાજિત કરવું અશક્ય છે. એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં આ એટલું સ્પષ્ટ નથી, જ્યારે આ ચલ શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે કેસને અલગથી તપાસવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે:

સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ:

આપણે અહીં એક સામાન્ય સજાતીય સમીકરણ જોઈએ છીએ: અને તે અજ્ઞાત છે, અને દરેક શબ્દમાં તેમની શક્તિઓનો સરવાળો સમાન છે.

પરંતુ, વડે ભાગતા પહેલા અને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ સાપેક્ષ મેળવતા પહેલા, આપણે કેસ ક્યારે ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ ફોર્મ લેશે: , જેનો અર્થ થાય છે. પરંતુ સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતા નથી, કારણ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ અનુસાર: . તેથી, અમે તેને સુરક્ષિત રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:

હું આશા રાખું છું કે આ ઉકેલ સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે? જો નહિં, તો વિભાગ વાંચો. જો તે સ્પષ્ટ નથી કે તે ક્યાંથી આવ્યું છે, તો તમારે વધુ વહેલા પાછા ફરવાની જરૂર છે - વિભાગમાં.

તમારા માટે નક્કી કરો:

1. જો શોધો.
2. જો શોધો.
3. સમીકરણ ઉકેલો.

અહીં હું સંક્ષિપ્તમાં સજાતીય સમીકરણોનો સીધો ઉકેલ લખીશ:

ઉકેલો:

જવાબ:.

પરંતુ અહીં આપણે ભાગાકાર કરવાને બદલે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

જવાબ:

જો તમે હજુ સુધી ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો લીધા નથી, તો તમે આ ઉદાહરણ છોડી શકો છો.

અહીંથી આપણે ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે, ચાલો સૌ પ્રથમ ખાતરી કરીએ કે એકસો શૂન્યની બરાબર નથી:

અને આ અશક્ય છે.

જવાબ:.

સજાતીય સમીકરણો. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

તમામ સજાતીય સમીકરણોના ઉકેલને અજ્ઞાતમાંથી એક દ્વારા વિભાજનમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે અને ચલોના વધુ ફેરફાર થાય છે.

અલ્ગોરિધમ: