અસમાનતા સિસ્ટમ.
ઉદાહરણ 1. અભિવ્યક્તિનું ડોમેન શોધો
ઉકેલ.ચિહ્ન હેઠળ વર્ગમૂળચોક્ક્સ હોવુ જોઈએ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, જેનો અર્થ છે કે બે અસમાનતાઓ એક સાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ: આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ કહે છે કે અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે સમસ્યા ઓછી થાય છે

પરંતુ આપણે હજી સુધી આવા ગાણિતિક મોડેલ (અસમાનતાઓની સિસ્ટમ) નો સામનો કર્યો નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમે હજી સુધી ઉદાહરણનો ઉકેલ પૂર્ણ કરી શક્યા નથી.

અસમાનતાઓ કે જે સિસ્ટમ બનાવે છે તે સર્પાકાર કૌંસ સાથે જોડવામાં આવે છે (તે જ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સાચું છે). ઉદાહરણ તરીકે, રેકોર્ડ કરો

મતલબ કે અસમાનતાઓ 2x - 1 > 3 અને 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

કેટલીકવાર અસમાનતાની સિસ્ટમ ડબલ અસમાનતાના રૂપમાં લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાની સિસ્ટમ

ડબલ અસમાનતા તરીકે લખી શકાય 3<2х-1<11.

9મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં, અમે માત્ર બે અસમાનતાઓની સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું.

અસમાનતાની સિસ્ટમનો વિચાર કરો

તમે તેના કેટલાક ચોક્કસ ઉકેલો પસંદ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે x = 3, x = 4, x = 3.5. હકીકતમાં, x = 3 માટે પ્રથમ અસમાનતા ફોર્મ 5 > 3 લે છે, અને બીજી અસમાનતા 7 સ્વરૂપ લે છે< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

તે જ સમયે, મૂલ્ય x = 5 એ અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ નથી. જ્યારે x = 5, ત્યારે પ્રથમ અસમાનતા 9 > 3 સ્વરૂપ લે છે - એક સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા, અને બીજી અસમાનતા 13 સ્વરૂપ લે છે< 11- неверное числовое неравенство .
અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ વિશિષ્ટ ઉકેલો શોધવા. તે સ્પષ્ટ છે કે ઉપર દર્શાવવામાં આવેલ અનુમાન એ અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવાની પદ્ધતિ નથી. IN નીચેના ઉદાહરણઅમે બતાવીશું કે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે લોકો સામાન્ય રીતે કેવી રીતે તર્ક કરે છે.

ઉદાહરણ 3.અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ.

અ)સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતાને ઉકેલતા, આપણે 2x > 4, x > 2 શોધીએ છીએ; સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાને ઉકેલતા, આપણે 3x શોધીએ છીએ< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b)સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતાને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ x > 2; સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાને હલ કરીને, અમે શોધીએ છીએ ચાલો આ અંતરાલોને એક સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ, પ્રથમ અંતરાલ માટે ઉપલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીને અને બીજા માટે નીચલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીને (ફિગ. 23). અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સિસ્ટમની અસમાનતાઓના ઉકેલોનું આંતરછેદ હશે, એટલે કે. અંતરાલ જ્યાં બંને હેચિંગ્સ એકરૂપ થાય છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં આપણે બીમ મેળવીએ છીએ

વી)સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતાને હલ કરીને, આપણે x શોધીએ છીએ< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં કરેલા તર્કને સામાન્ય બનાવીએ. ધારો કે આપણે અસમાનતાઓની વ્યવસ્થાને હલ કરવાની જરૂર છે

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ (a, b) એ અસમાનતા fx 2 > g(x) નો ઉકેલ હોઈએ અને અંતરાલ (c, d) એ અસમાનતા f 2 (x) > s 2 (x) નો ઉકેલ બનીએ. ). ચાલો આ અંતરાલોને એક સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ, પ્રથમ અંતરાલ માટે ઉપલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીને અને બીજા માટે નીચલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીને (ફિગ. 25). અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સિસ્ટમની અસમાનતાઓના ઉકેલોનું આંતરછેદ છે, એટલે કે. અંતરાલ જ્યાં બંને હેચિંગ્સ એકરૂપ થાય છે. ફિગ માં. 25 એ અંતરાલ (c, b) છે.

હવે આપણે અસમાનતાઓની સિસ્ટમને સરળતાથી હલ કરી શકીએ છીએ જે આપણે ઉપર ઉદાહરણ 1 માં મેળવી છે:

સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતાને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ x > 2; સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાને ઉકેલતા, આપણે x શોધીએ છીએ< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

અલબત્ત, અસમાનતાની વ્યવસ્થામાં સમાવિષ્ટ હોવું જરૂરી નથી રેખીય અસમાનતાઓ, જેમ કે તે અત્યાર સુધી હતું; કોઈપણ તર્કસંગત (અને માત્ર તર્કસંગત જ નહીં) અસમાનતાઓ થઈ શકે છે. તકનીકી રીતે, તર્કસંગત બિન-રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ સાથે કામ કરવું, અલબત્ત, વધુ જટિલ છે, પરંતુ અહીં મૂળભૂત રીતે કંઈ નવું નથી (રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમોની તુલનામાં).

ઉદાહરણ 4.અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ.

1) અમારી પાસે રહેલી અસમાનતા ઉકેલો
ચાલો સંખ્યા રેખા પર પોઈન્ટ -3 અને 3 ને ચિહ્નિત કરીએ (ફિગ. 27). તેઓ રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે, અને દરેક અંતરાલ પર p(x) = (x- 3)(x + 3) અભિવ્યક્તિ સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે - આ ચિહ્નો ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 27. અસમાનતા p(x) > 0 જે અંતરાલો ધરાવે છે તેમાં અમને રસ છે (તેઓ ફિગ. 27 માં શેડમાં છે), અને જે બિંદુઓ પર સમાનતા p(x) = 0 ધરાવે છે, એટલે કે. પોઈન્ટ x = -3, x = 3 (તેઓ ફિગ 2 7 માં શ્યામ વર્તુળો સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે). આમ, ફિગમાં. 27 રજૂ કર્યા હતા ભૌમિતિક મોડેલપ્રથમ અસમાનતા માટે ઉકેલો.

2) અમારી પાસે રહેલી અસમાનતાનો ઉકેલ લાવો
ચાલો સંખ્યા રેખા (ફિગ. 28) પર બિંદુઓ 0 અને 5 ને ચિહ્નિત કરીએ. તેઓ રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે, અને દરેક અંતરાલ પર અભિવ્યક્તિ<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (ફિગ. 28 માં છાંયો), અને બિંદુઓ કે જેના પર સમાનતા g (x) - O સંતુષ્ટ છે, એટલે કે. પોઈન્ટ x = 0, x = 5 (તેઓ અંજીર 28 માં શ્યામ વર્તુળો સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે). આમ, ફિગમાં. આકૃતિ 28 સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાને ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક મોડેલ રજૂ કરે છે.

3) ચાલો આપણે સમાન સંકલન રેખા પર સિસ્ટમની પ્રથમ અને બીજી અસમાનતાના મળેલા ઉકેલોને ચિહ્નિત કરીએ, પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલો માટે ઉપલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીને અને બીજાના ઉકેલો માટે નીચલા હેચિંગનો ઉપયોગ કરીએ (ફિગ. 29). અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સિસ્ટમની અસમાનતાઓના ઉકેલોનું આંતરછેદ હશે, એટલે કે. અંતરાલ જ્યાં બંને હેચિંગ્સ એકરૂપ થાય છે. આવા અંતરાલ એક સેગમેન્ટ છે.

ઉદાહરણ 5.અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ:

અ)પ્રથમ અસમાનતામાંથી આપણે x >2 શોધીએ છીએ. ચાલો બીજી અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ. ચોરસ ત્રિપદી x 2 + x + 2 પાસે કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, અને તેનો અગ્રણી ગુણાંક (x 2 નો ગુણાંક) હકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ x માટે અસમાનતા x 2 + x + 2>0 ધરાવે છે, અને તેથી સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી. અસમાનતાની સિસ્ટમ માટે આનો અર્થ શું છે? મતલબ કે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

b)પ્રથમ અસમાનતામાંથી આપણે x > 2 શોધીએ છીએ, અને બીજી અસમાનતા x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ છે. અસમાનતાની સિસ્ટમ માટે આનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે તેના ઉકેલમાં x>2 સ્વરૂપ છે, એટલે કે. પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલ સાથે સુસંગત છે.

જવાબ:

એ) કોઈ ઉકેલ નથી; b) x >2.

આ ઉદાહરણ એ નીચેના ઉપયોગીનું ઉદાહરણ છે

1. જો એક ચલ સાથે અનેક અસમાનતાઓની સિસ્ટમમાં એક અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

2. જો એક ચલ સાથે બે અસમાનતાઓની સિસ્ટમમાં, ચલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે એક અસમાનતા સંતોષાય છે, તો સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાનો ઉકેલ છે.

આ વિભાગને સમાપ્ત કરીને, ચાલો આપણે શરૂઆતમાં આપેલ ઇચ્છિત સંખ્યા વિશેની સમસ્યા પર પાછા ફરીએ અને તેઓ કહે છે તેમ, તમામ નિયમો અનુસાર તેને હલ કરીએ.

ઉદાહરણ 2(જુઓ પૃષ્ઠ 29). હેતુ કુદરતી સંખ્યા. તે જાણીતું છે કે જો તમે ઇચ્છિત સંખ્યાના વર્ગમાં 13 ઉમેરો છો, તો સરવાળો થશે વધુ કામઆયોજિત સંખ્યા અને સંખ્યા 14. જો તમે આયોજિત સંખ્યાના વર્ગમાં 45 ઉમેરશો, તો સરવાળો આયોજિત સંખ્યા અને સંખ્યા 18 ના ગુણાંક કરતા ઓછો થશે. કઈ સંખ્યા આયોજિત છે?

ઉકેલ.

પ્રથમ તબક્કો. ગાણિતિક મોડલ દોરે છે.
ઇચ્છિત સંખ્યા x, જેમ આપણે ઉપર જોયું તેમ, અસમાનતાઓની સિસ્ટમને સંતોષવી આવશ્યક છે

બીજો તબક્કો. સંકલિત ગાણિતિક મોડેલ સાથે કામ કરીએ છીએ, ચાલો સિસ્ટમની પ્રથમ અસમાનતાને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ
x2- 14x+ 13 > 0.

ચાલો ત્રિકોણીય x 2 - 14x + 13 ના મૂળ શોધીએ: x 2 = 1, x 2 = 13. પેરાબોલા y = x 2 - 14x + 13 (ફિગ. 30) નો ઉપયોગ કરીને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે અમને જે અસમાનતામાં રસ છે તે છે x પર સંતુષ્ટ< 1 или x > 13.

ચાલો સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાને x2 - 18 2 + 45 ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

અસમાનતાઓ અને અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓ આવરી લેવાયેલા વિષયોમાંથી એક છે ઉચ્ચ શાળાબીજગણિતમાં. મુશ્કેલી સ્તરની દ્રષ્ટિએ, તે સૌથી મુશ્કેલ નથી, કારણ કે તેમાં સરળ નિયમો છે (થોડા સમય પછી તેના પર વધુ). એક નિયમ તરીકે, શાળાના બાળકો અસમાનતાની પ્રણાલીઓને સરળતાથી હલ કરવાનું શીખે છે. આ એ હકીકતને કારણે પણ છે કે શિક્ષકો તેમના વિદ્યાર્થીઓને આ વિષય પર ફક્ત "તાલીમ" આપે છે. અને તેઓ મદદ કરી શકતા નથી પરંતુ આ કરી શકતા નથી, કારણ કે ભવિષ્યમાં અન્યનો ઉપયોગ કરીને તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે ગાણિતિક માત્રા, અને OGE અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર પણ પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. IN શાળા પાઠ્યપુસ્તકોઅસમાનતાઓ અને અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓનો વિષય ખૂબ વિગતવાર આવરી લેવામાં આવ્યો છે, તેથી જો તમે તેનો અભ્યાસ કરવા જઈ રહ્યા છો, તો તેનો આશરો લેવો શ્રેષ્ઠ છે. આ લેખ માત્ર મોટી સામગ્રીનો સારાંશ આપે છે અને તેમાં કેટલીક ભૂલો હોઈ શકે છે.

અસમાનતાની સિસ્ટમનો ખ્યાલ

જો તમે તરફ વળો વૈજ્ઞાનિક ભાષા, તો પછી આપણે "અસમાનતાઓની સિસ્ટમ" ના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. આ એક ગાણિતિક મોડલ છે જે અનેક અસમાનતાઓને રજૂ કરે છે. આ મોડેલને, અલબત્ત, ઉકેલની જરૂર છે, અને આ કાર્યમાં સૂચિત સિસ્ટમની તમામ અસમાનતાઓ માટેનો સામાન્ય જવાબ હશે (સામાન્ય રીતે આ તેમાં લખાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે: "અસમાનતાઓની સિસ્ટમ 4 x + 1 > ઉકેલો. 2 અને 30 - x > 6... "). જો કે, ઉકેલોના પ્રકારો અને પદ્ધતિઓ તરફ આગળ વધતા પહેલા, તમારે કંઈક બીજું સમજવાની જરૂર છે.

અસમાનતાઓની સિસ્ટમો અને સમીકરણોની સિસ્ટમો

અભ્યાસની પ્રક્રિયામાં નવો વિષયઘણી વાર ગેરસમજ ઊભી થાય છે. એક તરફ, બધું સ્પષ્ટ છે અને તમે શક્ય તેટલી વહેલી તકે કાર્યોને હલ કરવાનું શરૂ કરવા માંગો છો, પરંતુ બીજી બાજુ, કેટલીક ક્ષણો "છાયા" માં રહે છે અને સંપૂર્ણપણે સમજી શકાતી નથી. ઉપરાંત, પહેલાથી પ્રાપ્ત જ્ઞાનના કેટલાક ઘટકો નવા સાથે જોડાયેલા હોઈ શકે છે. આ "ઓવરલેપિંગ" ના પરિણામે, ભૂલો વારંવાર થાય છે.

તેથી, આપણે આપણા વિષયનું વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં, આપણે સમીકરણો અને અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમો વચ્ચેના તફાવતોને યાદ રાખવું જોઈએ. આ કરવા માટે, અમારે ફરી એકવાર સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે કે ડેટા શું રજૂ કરે છે. ગાણિતિક ખ્યાલો. સમીકરણ હંમેશા સમાનતા હોય છે, અને તે હંમેશા કંઈક સમાન હોય છે (ગણિતમાં આ શબ્દ "=" ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). અસમાનતા એ એક મોડેલ છે જેમાં એક જથ્થા બીજા કરતા વધુ અથવા ઓછી હોય છે, અથવા એક નિવેદન ધરાવે છે કે તે સમાન નથી. આમ, પ્રથમ કિસ્સામાં, સમાનતા વિશે વાત કરવી યોગ્ય છે, અને બીજામાં, પ્રારંભિક ડેટાની અસમાનતા વિશે, નામથી જ તે કેટલું સ્પષ્ટ લાગે છે. સમીકરણો અને અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓ વ્યવહારીક રીતે એકબીજાથી અલગ હોતી નથી અને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓ સમાન છે. માત્ર એટલો જ તફાવત એ છે કે પ્રથમ કિસ્સામાં સમાનતાઓનો ઉપયોગ થાય છે, અને બીજા કિસ્સામાં અસમાનતાનો ઉપયોગ થાય છે.

અસમાનતાના પ્રકાર

બે પ્રકારની અસમાનતાઓ છે: સંખ્યાત્મક અને અજ્ઞાત ચલ સાથે. પ્રથમ પ્રકાર પૂરા પાડવામાં આવેલ મૂલ્યો (સંખ્યાઓ) રજૂ કરે છે જે એકબીજા સાથે અસમાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, 8 > 10. બીજો એક અજ્ઞાત ચલ ધરાવતી અસમાનતા છે (કેટલાક અક્ષર દ્વારા સૂચિત લેટિન મૂળાક્ષરો, મોટેભાગે X). આ ચલ શોધવાની જરૂર છે. કેટલા છે તેના પર આધાર રાખીને, ગાણિતિક મોડલ એક સાથે અસમાનતાઓ (તેઓ એક ચલ સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમ બનાવે છે) અથવા અનેક ચલો (તેઓ અનેક ચલો સાથે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવે છે) વચ્ચે તફાવત કરે છે.

છેલ્લા બે પ્રકારો, તેમના બાંધકામની ડિગ્રી અને ઉકેલની જટિલતાના સ્તર અનુસાર, સરળ અને જટિલમાં વહેંચાયેલા છે. સરળને રેખીય અસમાનતા પણ કહેવામાં આવે છે. તેઓ, બદલામાં, કડક અને બિન-કડકમાં વહેંચાયેલા છે. સખત લોકો ખાસ કરીને "કહે છે" કે એક જથ્થા આવશ્યકપણે કાં તો ઓછી અથવા વધુ હોવી જોઈએ, તેથી આ શુદ્ધ અસમાનતા છે. કેટલાક ઉદાહરણો આપી શકાય છે: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, વગેરે. બિન-કડકમાં સમાનતાનો પણ સમાવેશ થાય છે. એટલે કે, એક મૂલ્ય બીજા મૂલ્ય (“≥” ચિહ્ન) કરતા વધારે અથવા સમાન હોઈ શકે છે અથવા અન્ય મૂલ્ય (“≤” ચિહ્ન) કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોઈ શકે છે. રેખીય અસમાનતાઓમાં પણ, ચલ મૂળ, ચોરસ અથવા કોઈપણ વસ્તુ દ્વારા વિભાજ્ય નથી, તેથી જ તેને "સરળ" કહેવામાં આવે છે. જટિલમાં અજાણ્યા ચલોનો સમાવેશ થાય છે જેને શોધવા માટે અમલની જરૂર હોય છે. વધુ ગાણિતિક ક્રિયાઓ. તેઓ મોટાભાગે ચોરસ, સમઘન અથવા મૂળની નીચે સ્થિત હોય છે, તે મોડ્યુલર, લઘુગણક, અપૂર્ણાંક, વગેરે હોઈ શકે છે. પરંતુ અમારું કાર્ય અસમાનતાઓની સિસ્ટમોના ઉકેલને સમજવાની જરૂરિયાત હોવાથી, અમે રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ વિશે વાત કરીશું. . જો કે, તે પહેલાં, તેમની મિલકતો વિશે થોડાક શબ્દો કહેવા જોઈએ.

અસમાનતાના ગુણધર્મ

અસમાનતાના ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. જો કોઈ ઑપરેશનનો ઉપયોગ બાજુઓના ક્રમમાં ફેરફાર કરવા માટે કરવામાં આવે તો અસમાનતાની નિશાની ઉલટાવી દેવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2, તો t 2 ≥ t 1).
2. અસમાનતાની બંને બાજુઓ તમને પોતાની સાથે સમાન સંખ્યા ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2 હોય, તો પછી t 1 + સંખ્યા ≤ t 2 + સંખ્યા).
3. સમાન દિશામાં નિશાની સાથેની બે અથવા વધુ અસમાનતાઓ તેમની ડાબી અને જમણી બાજુઓને ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, તો t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન વસ્તુ દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે હકારાત્મક સંખ્યા(ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2 અને સંખ્યા ≤ 0, તો પછી સંખ્યા · t 1 ≥ સંખ્યા · t 2).
5. બે કે તેથી વધુ અસમાનતાઓ કે જેમાં સકારાત્મક શબ્દો અને એક જ દિશામાં નિશાની હોય તે પોતાને એકબીજાથી ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 પછી t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. અસમાનતાના બંને ભાગો પોતાને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં અસમાનતાની નિશાની બદલાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2 અને સંખ્યા ≤ 0 હોય, તો પછી સંખ્યા · t 1 ≥ નંબર · ટી 2).
7. તમામ અસમાનતાઓમાં સંક્રમણની મિલકત હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો t 1 ≤ t 2 અને t 2 ≤ t 3 હોય, તો પછી t 1 ≤ t 3).

હવે, અસમાનતાઓને લગતા સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે તેમની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેના નિયમોના વિચારણા પર સીધા આગળ વધી શકીએ છીએ.

અસમાનતાઓની નિરાકરણ પ્રણાલી. સામાન્ય માહિતી. ઉકેલો

ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ઉકેલ એ ચલના મૂલ્યો છે જે આપેલ સિસ્ટમની તમામ અસમાનતાઓ માટે યોગ્ય છે. અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ એ ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અમલીકરણ છે જે આખરે સમગ્ર સિસ્ટમના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે અથવા સાબિત કરે છે કે તેની પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. આ કિસ્સામાં, ચલ ખાલી સંખ્યાત્મક સમૂહ સાથે સંબંધિત હોવાનું કહેવાય છે (નીચે લખેલ છે: ચલ દર્શાવતો પત્ર∈ (સાઇન “ખાલી સેટ”) ø (સાઇન “ખાલી સેટ”), ઉદાહરણ તરીકે, x ∈ ø (વાંચો: “ચલ “x” ખાલી સેટનું છે”). અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને હલ કરવાની ઘણી રીતો છે: ગ્રાફિકલ, બીજગણિત, અવેજી પદ્ધતિ. તે નોંધવું યોગ્ય છે કે તેઓ તેમાંના છે ગાણિતિક મોડેલો, જેમાં ઘણા અજાણ્યા ચલો છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં માત્ર એક જ છે, અંતરાલ પદ્ધતિ યોગ્ય છે.

ગ્રાફિક પદ્ધતિ

તમને ઘણી અજ્ઞાત જથ્થાઓ (બે અને ઉપરથી) સાથે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પદ્ધતિનો આભાર, રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ તદ્દન સરળતાથી અને ઝડપથી ઉકેલી શકાય છે, તેથી તે સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ છે. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે ગ્રાફ બનાવવાથી ગાણિતિક ક્રિયાઓ લખવાનું પ્રમાણ ઘટાડે છે. પેનમાંથી થોડો વિરામ લેવો, શાસક સાથે પેન્સિલ ઉપાડવી અને કામ કરવાનું શરૂ કરવું તે ખાસ કરીને સુખદ બને છે. આગળની ક્રિયાઓતેમની મદદ સાથે જ્યારે ઘણું કામ થઈ ગયું હોય અને તમને થોડી વિવિધતા જોઈતી હોય. જોકે આ પદ્ધતિકેટલાક લોકોને તે ગમતું નથી કારણ કે તેઓએ કાર્યથી દૂર રહેવું પડશે અને તેમની માનસિક પ્રવૃત્તિને ચિત્રમાં ફેરવવી પડશે. જો કે, આ એક ખૂબ જ અસરકારક પદ્ધતિ છે.

નો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે ગ્રાફિક પદ્ધતિ, દરેક અસમાનતાની તમામ શરતોને તેમનામાં સ્થાનાંતરિત કરવી જરૂરી છે ડાબી બાજુ. ચિહ્નો ઉલટાવી દેવામાં આવશે, શૂન્ય જમણી બાજુએ લખવું જોઈએ, પછી દરેક અસમાનતાને અલગથી લખવાની જરૂર છે. પરિણામે, અસમાનતાઓમાંથી કાર્યો મેળવવામાં આવશે. આ પછી, તમે પેંસિલ અને શાસક લઈ શકો છો: હવે તમારે પ્રાપ્ત કરેલ દરેક કાર્યનો ગ્રાફ દોરવાની જરૂર છે. સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ જે તેમના આંતરછેદના અંતરાલમાં હશે તે અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

બીજગણિત માર્ગ

તમને બે અજાણ્યા ચલો સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે પરવાનગી આપે છે. ઉપરાંત, અસમાનતા હોવી જોઈએ સમાન ચિહ્ન સાથેઅસમાનતાઓ (એટલે ​​​​કે, તેમાં ફક્ત "મોટા કરતાં" ચિહ્ન અથવા ફક્ત "ઓછું" ચિહ્ન, વગેરે હોવું જોઈએ.) તેની મર્યાદાઓ હોવા છતાં, આ પદ્ધતિ પણ વધુ જટિલ છે. તે બે તબક્કામાં લાગુ પડે છે.

પ્રથમમાં અજ્ઞાત ચલોમાંના એકમાંથી છુટકારો મેળવવાની ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ તમારે તેને પસંદ કરવાની જરૂર છે, પછી આ ચલની સામે સંખ્યાઓની હાજરી તપાસો. જો તેઓ ત્યાં ન હોય (પછી ચલ એક અક્ષર જેવો દેખાશે), તો અમે કંઈપણ બદલતા નથી, જો ત્યાં હોય તો (ચલનો પ્રકાર હશે, ઉદાહરણ તરીકે, 5y અથવા 12y), તો તે બનાવવું જરૂરી છે. ખાતરી કરો કે દરેક અસમાનતામાં પસંદ કરેલ ચલની સામેની સંખ્યા સમાન છે. આ કરવા માટે, તમારે અસમાનતાના દરેક શબ્દને વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે સામાન્ય ગુણક, ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રથમ અસમાનતામાં 3y અને બીજામાં 5y લખાયેલ હોય, તો પ્રથમ અસમાનતાના તમામ પદોને 5 વડે અને બીજામાં 3 વડે ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે. પરિણામ અનુક્રમે 15y અને 15y છે.

ઉકેલનો બીજો તબક્કો. દરેક અસમાનતાની ડાબી બાજુને તેમની જમણી બાજુઓ પર સ્થાનાંતરિત કરવી જરૂરી છે, દરેક શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલવું અને જમણી બાજુ શૂન્ય લખવું. પછી મજાનો ભાગ આવે છે: અસમાનતા ઉમેરતી વખતે પસંદ કરેલ ચલ (અન્યથા "ઘટાડો" તરીકે ઓળખાય છે) થી છુટકારો મેળવવો. આ એક ચલ સાથે અસમાનતામાં પરિણમે છે જેને ઉકેલવાની જરૂર છે. આ પછી, તમારે તે જ વસ્તુ કરવી જોઈએ, ફક્ત અન્ય અજાણ્યા ચલ સાથે. પ્રાપ્ત પરિણામો સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

અવેજી પદ્ધતિ

જો નવું ચલ રજૂ કરવું શક્ય હોય તો તમને અસમાનતાની સિસ્ટમને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્ય રીતે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે અસમાનતાના એક શબ્દમાં અજ્ઞાત ચલને ચોથા ઘાતમાં વધારવામાં આવે છે, અને બીજા શબ્દમાં તેનો વર્ગ કરવામાં આવે છે. આમ, આ પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમમાં અસમાનતાની ડિગ્રી ઘટાડવાનો છે. નમૂનાની અસમાનતા x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 આ રીતે ઉકેલાય છે. એક નવું ચલ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, ઉદાહરણ તરીકે t. તેઓ લખે છે: "ચાલો t = x 2," પછી મોડેલને નવા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવામાં આવે છે. અમારા કિસ્સામાં, અમને t 2 - t - 1 ≤0 મળે છે. આ અસમાનતાને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાની જરૂર છે (થોડા સમય પછી તેના પર વધુ), પછી ચલ X પર પાછા જાઓ, પછી અન્ય અસમાનતા સાથે તે જ કરો. પ્રાપ્ત જવાબો સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે.

અંતરાલ પદ્ધતિ

અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને હલ કરવાની આ સૌથી સરળ રીત છે, અને તે જ સમયે તે સાર્વત્રિક અને વ્યાપક છે. તેનો ઉપયોગ માધ્યમિક શાળાઓમાં અને ઉચ્ચ શાળાઓમાં પણ થાય છે. તેનો સાર એ હકીકતમાં રહેલો છે કે વિદ્યાર્થી નંબર લાઇન પર અસમાનતાના અંતરાલો શોધે છે, જે નોટબુકમાં દોરવામાં આવે છે (આ ગ્રાફ નથી, પરંતુ સંખ્યાઓ સાથેની એક સામાન્ય રેખા છે). જ્યાં અસમાનતાના અંતરાલો એકબીજાને છેદે છે, ત્યાં સિસ્ટમનો ઉકેલ મળી આવે છે. અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે આ પગલાંને અનુસરવાની જરૂર છે:

1. પ્રત્યેક અસમાનતાની તમામ શરતો વિરુદ્ધમાં બદલાતી ચિહ્ન સાથે ડાબી બાજુએ સ્થાનાંતરિત થાય છે (શૂન્ય જમણી બાજુએ લખાયેલ છે).
2. અસમાનતાઓ અલગથી લખવામાં આવે છે, અને તેમાંથી દરેકનો ઉકેલ નક્કી કરવામાં આવે છે.
3. સંખ્યા રેખા પર અસમાનતાના આંતરછેદ જોવા મળે છે. આ આંતરછેદો પર સ્થિત તમામ સંખ્યાઓ ઉકેલ હશે.

મારે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ?

દેખીતી રીતે તે સૌથી સરળ અને સૌથી અનુકૂળ લાગે છે, પરંતુ એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે કાર્યોની જરૂર હોય છે ચોક્કસ પદ્ધતિ. મોટેભાગે તેઓ કહે છે કે તમારે ગ્રાફ અથવા અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાની જરૂર છે. બીજગણિત માર્ગઅને અવેજીનો ઉપયોગ ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે અથવા બિલકુલ નહીં, કારણ કે તે તદ્દન જટિલ અને ગૂંચવણમાં મૂકે છે, અને તે ઉપરાંત, તેઓ અસમાનતાઓને બદલે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે, તેથી તમારે આલેખ અને અંતરાલો દોરવાનો આશરો લેવો જોઈએ. તેઓ સ્પષ્ટતા લાવે છે, જે ગાણિતિક કામગીરીના કાર્યક્ષમ અને ઝડપી અમલમાં ફાળો આપી શકે તેમ નથી.

જો કંઈક કામ કરતું નથી

બીજગણિતમાં કોઈ ચોક્કસ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સ્વાભાવિક રીતે, તેની સમજ સાથે સમસ્યાઓ ઊભી થઈ શકે છે. અને આ સામાન્ય છે, કારણ કે આપણું મગજ એવી રીતે બનાવવામાં આવ્યું છે કે તે સમજી શકતું નથી જટિલ સામગ્રીએક જ સમયે ઘણીવાર તમારે ફકરાને ફરીથી વાંચવાની, શિક્ષકની મદદ લેવાની અથવા સમસ્યા હલ કરવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની જરૂર પડે છે. લાક્ષણિક કાર્યો. અમારા કિસ્સામાં, તેઓ, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવા દેખાય છે: "3 x + 1 ≥ 0 અને 2 x - 1 > 3 અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો." આમ, વ્યક્તિગત ઈચ્છા, બહારના લોકોની મદદ અને પ્રેક્ટિસ કોઈપણ જટિલ વિષયને સમજવામાં મદદ કરે છે.

સોલ્વર?

ઉકેલ પુસ્તક પણ ખૂબ જ યોગ્ય છે, પરંતુ હોમવર્કની નકલ કરવા માટે નહીં, પરંતુ સ્વ-સહાય માટે. તેમાં તમે ઉકેલો સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમો શોધી શકો છો, તેમને (ટેમ્પ્લેટ્સ તરીકે) જુઓ, ઉકેલના લેખકે કાર્ય સાથે કેવી રીતે સામનો કર્યો તે બરાબર સમજવાનો પ્રયાસ કરો અને પછી તમારા પોતાના પર તે જ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

તારણો

બીજગણિત એ શાળાના સૌથી મુશ્કેલ વિષયોમાંનો એક છે. સારું, તમે શું કરી શકો? ગણિત હંમેશા આના જેવું રહ્યું છે: કેટલાક માટે તે સરળ છે, પરંતુ અન્ય લોકો માટે તે મુશ્કેલ છે. પરંતુ કોઈ પણ સંજોગોમાં, તે યાદ રાખવું જોઈએ સામાન્ય શિક્ષણ કાર્યક્રમતે એવી રીતે બનાવવામાં આવ્યું છે કે કોઈપણ વિદ્યાર્થી તેને સંભાળી શકે. વધુમાં, વ્યક્તિએ ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ મોટી રકમસહાયકો તેમાંના કેટલાકનો ઉપર ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે.

રેખીય, ચતુર્ભુજ અને ઉકેલ માટેનો કાર્યક્રમ અપૂર્ણાંક અસમાનતાઓમાત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ નહીં, તે દોરી જાય છે વિગતવાર ઉકેલસ્પષ્ટતા સાથે, એટલે કે. ગણિત અને/અથવા બીજગણિતમાં જ્ઞાન ચકાસવા માટે ઉકેલ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

તદુપરાંત, જો અસમાનતાઓમાંથી એકને હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં તેને હલ કરવી જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણ, પછી તેનું વિગતવાર સોલ્યુશન પણ પ્રદર્શિત થાય છે (તેમાં સ્પોઇલર છે).

આ પ્રોગ્રામ હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે તૈયારીમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે પરીક્ષણો, માતાપિતાને તેમના બાળકોના અસમાનતાના ઉકેલો પર દેખરેખ રાખવા માટે.

આ પ્રોગ્રામ હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે માધ્યમિક શાળાઓપરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારીમાં, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? ગૃહ કાર્યગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો. નાના ભાઈઓઅથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

અસમાનતા દાખલ કરવાના નિયમો

કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે.

સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દાખલ કરી શકાય છે.
વધુમાં, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાત્ર દશાંશ તરીકે જ નહીં, પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે પણ દાખલ કરી શકાય છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો.
દશાંશમાં અપૂર્ણાંકઅવધિ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા સમગ્રથી અલગ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, તમે દાખલ કરી શકો છો દશાંશઆની જેમ: 2.5x - 3.5x^2

સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે.

દાખલ કરતી વખતે સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકઅંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: /
આખો ભાગએમ્પરસેન્ડ દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ: &
ઇનપુટ: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
પરિણામ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

અભિવ્યક્તિઓ દાખલ કરતી વખતે તમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ સરળ બનાવવામાં આવે છે.
દાખ્લા તરીકે: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

પસંદ કરો યોગ્ય નિશાનીઅસમાનતાઓ અને નીચેના બોક્સમાં બહુપદી દાખલ કરો.

એવું જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
મહેરબાની કરી રાહ જુવો સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, તો પછી તમે આ વિશે લખી શકો છો પ્રતિસાદ ફોર્મ.
ભૂલી ના જતા કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતા સિસ્ટમો. સંખ્યાત્મક અંતરાલો

તમે 7મા ધોરણમાં સિસ્ટમના ખ્યાલથી પરિચિત થયા છો અને બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શીખ્યા છો. આગળ આપણે એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું. અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓના ઉકેલોના સેટ અંતરાલો (અંતરો, અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સ, કિરણો) નો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. તમે સંખ્યાના અંતરાલોના સંકેતથી પણ પરિચિત થશો.

જો અસમાનતામાં \(4x > 2000\) અને \(5x \leq 4000\) અજાણ્યો નંબર x સમાન છે, પછી આ અસમાનતાઓને એકસાથે ગણવામાં આવે છે અને તે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવે છે તેવું કહેવાય છે: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(એરે) \ અધિકાર .$$

તાણવુંબતાવે છે કે x ના આવા મૂલ્યો શોધવા જરૂરી છે જેના માટે સિસ્ટમની બંને અસમાનતાઓ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવાય છે. આ સિસ્ટમ- એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતાની સિસ્ટમનું ઉદાહરણ.

એક અજ્ઞાત સાથેની અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજ્ઞાતનું મૂલ્ય છે જેના પર સિસ્ટમની બધી અસમાનતાઓ સાચી બને છે. સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ. અસમાનતાઓની સિસ્ટમને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

અસમાનતા \(x \geq -2 \) અને \(x \leq 3 \) ને બેવડી અસમાનતા તરીકે લખી શકાય છે: \(-2 \leq x \leq 3 \).

એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમોના ઉકેલો અલગ છે નંબર સેટ. આ સમૂહોના નામ છે. હા, ચાલુ સંખ્યા અક્ષસંખ્યાઓ x નો સમૂહ જેમ કે \(-2 \leq x \leq 3 \) બિંદુ -2 અને 3 પર છેડાવાળા સેગમેન્ટ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો \(a એક સેગમેન્ટ છે અને [a; b] દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

જો \(a એક અંતરાલ છે અને તે (a; b) દ્વારા સૂચિત છે

અસમાનતાઓને સંતોષતી સંખ્યાઓના સમૂહ \(x\) \(a \leq x અડધા-અંતરો છે અને અનુક્રમે [a; b) અને (a; b] સૂચવવામાં આવે છે.

સેગમેન્ટ્સ, અંતરાલો, અર્ધ-અંતરો અને કિરણો કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક અંતરાલો.

આમ, સંખ્યાત્મક અંતરાલોઅસમાનતાના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

બે અજ્ઞાતમાં અસમાનતાનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે (x; y) જે વિપરીત થાય છે આ અસમાનતાસાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો. આમ, અસમાનતા x > y ના ઉકેલો હશે, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓની જોડી (5; 3), (-1; -1), ત્યારથી \(5 \geq 3 \) અને \(-1 \geq - 1\)

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ પ્રણાલી

એક અજાણ્યા સાથે રેખીય અસમાનતાને કેવી રીતે હલ કરવી તે તમે પહેલેથી જ શીખ્યા છો. શું તમે જાણો છો કે અસમાનતાની સિસ્ટમ અને સિસ્ટમનો ઉકેલ શું છે? તેથી, એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાઓની સિસ્ટમોને હલ કરવાની પ્રક્રિયા તમને કોઈ મુશ્કેલીઓનું કારણ બનશે નહીં.

અને તેમ છતાં, ચાલો તમને યાદ અપાવીએ: અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે, તમારે દરેક અસમાનતાને અલગથી હલ કરવાની જરૂર છે, અને પછી આ ઉકેલોનું આંતરછેદ શોધો.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાની મૂળ પ્રણાલીને આ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવી હતી:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(એરે)\જમણે. $$

અસમાનતાઓની આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સંખ્યા રેખા પર દરેક અસમાનતાના ઉકેલને ચિહ્નિત કરો અને તેમના આંતરછેદને શોધો:

આંતરછેદ એ સેગમેન્ટ છે [-2; 3] - અસમાનતાની મૂળ વ્યવસ્થાનો આ ઉકેલ છે.