વિષમ સત્તાઓ સાથે બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો શોધો. ઉચ્ચ ગણિતમાં સમીકરણો બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ

બહુપદી સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

હેઠળ બહુપદીફોર્મની અભિવ્યક્તિ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જ્યાં પૂર્ણાંક છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા,
- કોઈપણ સંખ્યાઓ; અને
. આ અભિવ્યક્તિમાં એક પદ પણ હોઈ શકે છે - આવા બહુપદી કહેવાય છે એકવિધ.

ચાલો એક મનસ્વી બહુપદી હોઈએ અને . નંબર nકહેવાય છે બહુપદીની ડિગ્રીf(x) અને deg( f(x)).

ચાલો બહુપદી પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મો પૈકી એકની નોંધ લઈએ: જો f(x) અને g(x) પછી બે બહુપદી છે

ડિગ્રી( f(x) g(x))=ડિગ્રી( f(x))+ડિગ્રી( g(x));

ડિગ્રી( f(x) ± g(x)) ≤ મહત્તમ(deg( f(x)), ડિગ્રી( g(x))}

(મહત્તમ( a,b) મતલબ સૌથી મોટી સંખ્યા aઅને b).

કાર્ય 1. બહુપદીના ઉદાહરણો આપો જેમ કે

a) ડિગ્રી( f(x) + g(x)) = મહત્તમ (ડિગ્રી( f(x)), ડિગ્રી( g(x))};

b) ડિગ્રી( f(x) + g(x)) < max {deg(f(x)), ડિગ્રી( g(x))}.

કાર્ય 2.ઓળખ સાબિત કરો:

a) ( x – 1)(x n–1 + x n- 2 +…+ 1) = x n – 1;

b) ( x + 1)(x 2 n – x 2 n –1 + x 2 n –2 – …– x + 1) = x 2 n +1 + 1.

ઉકેલ. a) ( x – 1)(x n –1 + x n – 2 +…+ 1) = x n - x n – 1 + x n -1 - x n – 2 + x n – 2 – x n – 3 +…+ એક્સ 2 –એક્સ + એક્સ – 1 = = x n – 1.

પ્રથમ અને છેલ્લી સિવાય કૌંસ ખોલવાથી પરિણમેલી તમામ શરતો, એકબીજાને રદ કરો.

ચલને બદલે xબહુપદી માટે f(x) તમે કોઈપણ નંબર બદલી શકો છો c. પરિણામ ચોક્કસ સંખ્યા હશે. આ નંબર કહેવાય છે બહુપદીનું મૂલ્યf(x) ખાતે x = c(અથવા બિંદુ પર c) અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે f(c).

ચાલો આપણે બહુપદીના મૂલ્યોથી સંબંધિત અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી બે સરળ સમાનતાઓની નોંધ લઈએ:

મફત સભ્યબહુપદીનું બિંદુ 0 પર તેના મૂલ્ય જેટલું છે,

બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો બિંદુ 1 પરના તેના મૂલ્ય જેટલો છે,

કાર્ય 3.મુક્ત પદ અને બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ.કૌંસ અને કાસ્ટિંગ ખોલ્યા પછી સમાન સભ્યોઅભિવ્યક્તિ મુક્ત પદ સાથે બહુપદી બનાવે છે
અને ગુણાંકનો સરવાળો f(1) = 1.

જવાબ:
, 1.

કાર્ય 4.બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો શોધો
સમ અને વિષમ શક્તિઓ માટે x.

નંબર cકહેવાય છે બહુપદીનું મૂળf(x), જો બિંદુ પર બહુપદીનું મૂલ્ય હોય cશૂન્ય બરાબર. નંબર cબહુપદીનું મૂળ છે f(x), જો f(c) = 0.

બહુપદીના સિદ્ધાંતમાં મૂળની વિભાવના કેન્દ્રિય છે. બહુપદીઓની વિભાજ્યતા, તેમના અવયવીકરણ અને વિવિધ બીજગણિત સમીકરણોના ઉકેલનો સિદ્ધાંત આ ખ્યાલ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે.

ચાલો હવે બહુપદીઓની સમાનતાના ખ્યાલની ચર્ચા કરીએ. જો આપણે બહુપદીને જોઈએ ઔપચારિક અભિવ્યક્તિઓચલ સાથે x, તો પછી બે બહુપદીઓને સમાન ગણવું સ્વાભાવિક છે જો તેમની પાસે સમાન ડિગ્રી હોય અને તેમના અનુરૂપ ગુણાંક સમાન હોય. બહુપદીની આ સમાનતા કહેવાય છે બીજગણિત અર્થમાં સમાનતા, એટલે કે જો , અને બહુપદી f(x) અને g(x) સમાન છે, પછી m = nઅને a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , …, a n = b n .

જો કે, બહુપદીને કાર્ય તરીકે જોઈ શકાય છે. પરંતુ પછી આપણે બે બહુપદીઓની સમાનતા વિશે બે કાર્યોની સમાનતા તરીકે વાત કરી શકીએ છીએ. તે જાણીતું છે કે બે કાર્યો સમાન કહેવાય છે જો તેમની પાસે વ્યાખ્યાનું સમાન ડોમેન હોય અને વ્યાખ્યાના આ ડોમેનમાંથી દરેક સંખ્યા બંને કાર્યો દ્વારા સમાન સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોય. બહુપદીની સમાનતા, આ અર્થમાં સમજાય છે, કહેવાશે કાર્યાત્મક અર્થમાં સમાનતા. જો બહુપદી f(x) અને g(x) સમાન છે, પછી કોઈપણ માટે
અમારી પાસે છે f(c) = g(c).

તેથી, બહુપદીના સમૂહ પર આપણી પાસે સમાનતાના બે ખ્યાલો છે. બહુપદીઓની સમાનતાના ખ્યાલની આ વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો બે બહુપદીઓ બીજગણિતીય અર્થમાં સમાન હોય, તો તે કાર્યાત્મક અર્થમાં સમાન હોય છે, અને ઊલટું.

કાર્ય 5.બહુપદીમાં
એક મૂળ 3 છે. શોધો f(x).

ઉકેલ.કારણ કે x 0 = 3 એ બહુપદીનું મૂળ છે f(x), તે f(x 0) = $0. એટલે કે
, ક્યાં a = 4.

જવાબ: જરૂરી બહુપદી
.

કાર્ય 6.પૂર્ણાંકો શોધો aઅને b, જેના માટે બહુપદીના મૂળમાંથી એક સમાન છે
.

ઉકેલ.આપેલ
- બહુપદીનું મૂળ f(x), અર્થ f(x 0) = 0.

ચાલો તમામ શરતોને એકત્રિત કરીએ
, જમણી બાજુએ. કારણ કે aઅને bપૂર્ણાંકો છે, તો સમાનતા ત્યારે જ સંતુષ્ટ થાય છે જ્યારે તેના બંને ભાગો શૂન્ય સમાન હોય. આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે
.

આ સિસ્ટમને ઉકેલવાથી, અમે તે શોધીએ છીએ a = –12$, b = 6.

જવાબ: જરૂરી બહુપદી.

કાર્ય 7.બહુપદી શોધો f(x) બીજી ડિગ્રી, શરતોને સંતોષે છે f(1) = 6, f(–2) = 21, f(3) = 16.

ઉકેલ.બહુપદી f(x) અમે ફોર્મમાં શોધીશું
. અજ્ઞાત ગુણાંક નક્કી કરવા માટે, અમે બહુપદીના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ આપેલ પોઈન્ટ:

આ સિસ્ટમનો ઉકેલ a = 2, b = –3, c = 7.

જવાબ: જરૂરી બહુપદી
.

કાર્ય 8.અજ્ઞાત ગુણાંકના કયા મૂલ્યો માટે સમાનતાઓ માન્ય છે?

બહુપદીની વિભાજ્યતા

તેઓ કહે છે કે બહુપદીf(x) બહુપદી વડે વિભાજ્યg(x) ≠ 0 જો આવી બહુપદી અસ્તિત્વમાં હોય q(x) જે સમાનતા ધરાવે છે

f(x) = g(x) q(x) (1)

જો f(x) દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે g(x), તો પછી તેને આ રીતે લખવાનો રિવાજ છે
.

ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતામાંથી x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x+ 1 તે તેને અનુસરે છે
અને
.

બહુપદી q(x) સમાનતામાં (1) કહેવાય છે ખાનગીવિભાગમાંથી f(x) ચાલુ g(x). નોંધ કરો કે બહુપદી q(x) સમાનતામાં (1) અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય (શેષ સાથે ભાગાકાર વિશે).કોઈપણ બહુપદી માટે f(x) અને કોઈપણ બિન-શૂન્ય બહુપદી g(x) બહુપદીની એક અનન્ય જોડી છે q(x) અને આર(x), જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે

f(x) = g(x) q(x) + આર(x), (2)

બહુપદી ક્યાં છે આર(x) કાં તો શૂન્ય છે અથવા ડિગ્રી કરતાં ઓછી ડિગ્રી ધરાવે છે g(x). ■

વ્યવહારમાં, ભાગ અને શેષ શોધવા માટે, સામાન્ય રીતે "કોણ દ્વારા ભાગાકાર" તરીકે ઓળખાતી ગણતરી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

કાર્ય 9.વડે ભાગાકાર કરતી વખતે અવશેષ અને શેષ શોધો
.

ઉકેલ.

ખાનગી મળી
અને બાકીના
.

જવાબ: અપૂર્ણ ભાગ અને શેષ.

કાર્ય 10.કયા મૂલ્ય પર aબહુપદી
બહુપદી વડે વિભાજ્ય x- 2? જવાબ: એ = –1.

કાર્ય 11.કયા બિન-શૂન્ય મૂલ્યો પર aઅને bબહુપદી
બહુપદી વડે વિભાજ્ય
? જવાબ: એ = –1; b = –2.

બેઝાઉટનું પ્રમેય

બહુપદીનો વિચાર કરો
.

ચાલો વિભાજન કરીએ f(x) ચાલુ x – 1, x – 2, x+ 3 શેષ સાથે ( આર- બાકી):

f(x) = (x – 1)(x 2 + 4x – 3) – 9, આર = –9$;

f(x) = (x – 2)(x 2 + 5x + 3), આર = 0;

f(x) = (x + 3)(x 2 – 7) + 15, આર = 15.

ચાલો બહુપદીના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ f(x) પોઈન્ટ પર x = 1, x = 2, x = –3.

f(1) = –9, f(2) = 0, f(–3) = 15.

તમે નોંધ કરી શકો છો કે ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, બાકીની દરેક વખતે સંખ્યા ઉત્પન્ન કરે છે મૂલ્ય સમાનઅનુરૂપ બિંદુ પર બહુપદી. આ સંયોગ ભાગ્યે જ આકસ્મિક છે. નીચેનું પ્રમેય માન્ય છે, રમી રહ્યું છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાબહુપદી અને તેના ઉપયોગના સિદ્ધાંતમાં.

પ્રમેય (બેઝઆઉટ).બહુપદી શેષ f(xદ્વિપદી દ્વારા x – aબહુપદીના મૂલ્યની બરાબર f(x) બિંદુ પર x = a.

આ પ્રમેયનો મુખ્ય કોરોલરી હશે

કોરોલરી 1.બહુપદી f(x) દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે x – aજો અને માત્ર જો નંબર aતેનું મૂળ છે.

કાર્ય 12.બહુપદી f(x) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે x- 3 5 ની બાકીની આપે છે, અને જ્યારે વિભાજિત થાય છે x– 1 – શેષ 7. શેષ શું આપે છે f(xજ્યારે ( x – 3)(x – 1)?

ઉકેલ.વિભાજક ( x – 3)( x– 1) ડિગ્રી 2 ધરાવે છે. તેથી, શેષ એ ડિગ્રીનો બહુપદી છે જે પ્રથમ કરતા વધારે નથી, એટલે કે આર(x) = કુહાડી + b, અને આપણે શોધવાની જરૂર છે aઅને b. ચાલો આપણે દ્વારા ભાગાંક દર્શાવીએ q(x). પછી f(x) = (x – 3)( x – 1)q(x) + (કુહાડી + b). અવેજીમાં x= 3, આપણને મળે છે f(3) = 3a + b, પરંતુ શરત દ્વારા અને બેઝાઉટના પ્રમેયના આધારે f(3) = 5, તેથી 3 a + b= 5. એ જ રીતે માટે x= 1 આપણને મળે છે a + b= 7. બે અજ્ઞાત સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ a = –1, b= 8. તેથી આર(x) = – x + 8.

જવાબ: આર(x) = – x + 8.

કાર્ય 13.કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે તે સાબિત કરો a, b, c, સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે b – a – c.

ઉકેલ.ચાલો વિચાર કરીએ આ અભિવ્યક્તિબહુપદીની જેમ f(b) ચલને સંબંધિત b, ગણતરી aઅને cનિશ્ચિત પરિમાણો, અને તેના મૂલ્યની ગણતરી કરો b = a + c: f(a + c) = 0. બેઝાઉટના પ્રમેયના સહભાગ દ્વારા, બહુપદી f(b) દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે b – a – c. દ્વિપદીના અગ્રણી ગુણાંકથી b – a – c 1 ની બરાબર છે, પછી ભાગના ગુણાંક પૂર્ણાંકો હશે, જે "કોણ દ્વારા વિભાજન" પદ્ધતિથી અનુસરે છે. તેથી, આ પૂર્ણાંક વડે વિભાજ્ય છે b – a – c, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચાલો બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી થોડા વધુ પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈએ.

કોરોલરી 2.જો a 1 , a 2 , …, a k- બહુપદીના વિવિધ મૂળ f(x), તે f(x) ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજિત થાય છે (3)

કોરોલરી 3.બિનશૂન્ય બહુપદીના વિશિષ્ટ મૂળની સંખ્યા તેની ડિગ્રી કરતાં વધુ નથી.

હકીકતનો ઉલ્લેખ પહેલેથી જ કરવામાં આવ્યો છે કે જો બે બહુપદી સમાન હોય, એટલે કે, તેમના મૂલ્યો કોઈપણ માટે એકરૂપ
પછી તેમના સહગુણાંકો એકરુપ થાય છે સમાન ડિગ્રી x. હવે આપણે આ નિવેદનને ખૂબ જ મજબૂત બનાવી શકીએ છીએ.

કોરોલરી 3.જો બે બહુપદીના મૂલ્યો જેની ડિગ્રી કરતા વધારે ન હોય n, એકરુપ ( n+ 1)મો બિંદુ, તો આ બહુપદીઓ સમાન છે.

કાર્ય 14.તે સાબિત કરો કે કોઈપણ જોડી પ્રમાણે અલગ સંખ્યાઓ માટે a, b, c ઓળખ ધરાવે છે.

ઉકેલ.ચાલો ઓળખની ડાબી બાજુને $f(x)$ દ્વારા સાબિત કરીએ. બહુપદી ડિગ્રી f(x) બે કરતાં વધુ નહીં (ખરેખર, દરેક પદમાં કૌંસ ખોલીને, અમે રેખીય દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરતી વખતે મેળવીએ છીએ x, ચોરસ ત્રિપદી). સાબિત થઈ રહેલી ઓળખની જમણી બાજુએ નંબર 1 છે, જેને બહુપદી તરીકે જોઈ શકાય છે. g(x) શૂન્ય ડિગ્રી, એટલે કે. ડિગ્રી g(x) પણ બે કરતા વધારે નથી.

અમારી પાસે છે f(a) = 1 = g(a). (બહુપદી g(x) કોઈપણ મૂલ્ય માટે 1 ની બરાબર છે x). તેવી જ રીતે, f(b) = g(b) અને f(c) = g(c). તેથી બે બહુપદી f(x) અને g(x), જેની ડિગ્રી બે કરતા વધુ નથી, લો સમાન મૂલ્યોત્રણ બિંદુઓ પર: x = a, x = b, x = c. તેથી, કોરોલરી 3 દ્વારા f(x) = g(x) અને ઓળખ સાબિત થાય છે.

કાર્ય 15.જ્યારે વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધો x + 1.

જવાબ: આર = –6.

કાર્ય 16.ગણતરી કરો f(4), જો. જવાબ: f(4) = 136.

કાર્ય 17.વિભાજન કામગીરી કર્યા વિના, જ્યારે ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધો x+ 3. જવાબ: આર = –1.

કાર્ય 18.કયા મૂલ્ય પર kબહુપદી
દ્વારા વિભાજિત x + 4?

જવાબ: k = 11.

કાર્ય 19.બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે બહુપદીના ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ
દ્વિપદી દ્વારા x- 2 બરાબર 9? જવાબ: a = 3.

કાર્ય 20.શું પર aઅને bબહુપદી
દ્વારા વિભાજિત x- 1 અને xબાકી વગર + 2? જવાબ: a = –4; b = 5.

કાર્ય 21. nબહુપદી x n – a nદ્વારા વિભાજિત x – a.

કાર્ય 22.કોઈપણ કુદરતી માટે તે સાબિત કરો nબહુપદી x 2 n +1 + a 2 n+1 વડે ભાગ્યા x + a.

કાર્ય 23.બહુપદી સાબિત કરો x 2 n – a 2 nદ્વારા વિભાજિત x – aઅને ચાલુ x + aકોઈપણ કુદરતી હેઠળ n.

કાર્ય 24.બહુપદી સાબિત કરો x 2 n + a 2 nદ્વારા વિભાજ્ય નથી x + aબિલકુલ નહિ x – aભલે ગમે તે હોય n.

કાર્ય 25.બહુપદી f(x) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે x– 2 એ 2 ની શેષ આપે છે, અને જ્યારે વિભાજિત કરવામાં આવે છે x+ 3 શેષ 7 આપે છે. ભાગાકારનો શેષ ભાગ શોધો f(x) ચાલુ x 2 + x – 6.

જવાબ: આર = –x + 4.

કાર્ય 26.બહુપદીને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી વડે ભાગતી વખતે શેષ શોધો x 2 – x – 2.

જવાબ: આર = x –6

કાર્ય 27.સાબિત કરો કે બહુપદીનો બાકીનો ભાગ પી(xદ્વિપદી દ્વારા કુહાડી + bપર બહુપદીના મૂલ્યની બરાબર x = –b/a.

કાર્ય 28.બહુપદીને દ્વિપદી 2 વડે ભાગતી વખતે શેષ શોધો x – 3.

જવાબ: આર = 71/8.

હોર્નર યોજના

બહુપદીનું વિભાજન કરતી વખતે બેઝાઉટનું પ્રમેય તમને શેષ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે f(xદ્વિપદી દ્વારા x – a. પરંતુ કેટલીક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ફક્ત બાકીના જ નહીં, પણ ભાગને પણ જાણવું જરૂરી છે. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ કેવી રીતે કરવું (ઉદાહરણ તરીકે, કોણ દ્વારા વિભાજન કરીને). બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજિત કરતી વખતે x – aભાગ અને શેષને શોધવા માટે, હોર્નર સ્કીમ તરીકે ઓળખાતી સરળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ડિગ્રીની બહુપદી હોઈએ n. પછી, ભાગના ગુણાંક નક્કી કરવા માટે, અમે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
.

ટેબલના રૂપમાં હોર્નરની યોજના લખવી અનુકૂળ છે

બહુપદી P(x) રુટ તરીકે સંખ્યા a ધરાવે છે તે દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે (હા), એટલે કે, તે ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

P(x) = (x - a) Q(x),

જ્યાં Q(x)- એક દ્વારા ઓછી ડિગ્રીનું બહુપદી (આ કિસ્સામાં, જો P(x)પછી પૂર્ણાંક ગુણાંક ધરાવે છે Q(x)- સમાન). ડિગ્રીનું બહુપદી nવધુ નથી nમૂળ (ગુણવત્તાને ધ્યાનમાં લેતા પણ). તે અનુસરે છે કે જો બે બહુપદી P(x)અને Q(x)ડિગ્રી, વધુ નહીં nકરતાં વધુમાં સમાન મૂલ્યો લો nપોઈન્ટ, તો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન છે.

બે ચલોમાં બહુપદી માટે બીજગણિતીય ઓળખનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે એક્સઅને ખાતે.

ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ

1. પરિબળ:

a) x 5 + x + 1;

b) (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3 ;

c) x 3 + y 3 + z 3 - xyz.

a) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) =

X 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 3 – x 2)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) =

= (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 + 1);

b) જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક શરતો પૂરી થાય છે ત્યારે બહુપદી અદૃશ્ય થઈ જાય છે

a = b, b = c, c = a,

તેથી તે દરેક ત્રણ તફાવતોમાં વહેંચાયેલું છે

a - b, b - c, c - a,

તેનો અર્થ, તેમના કામ પર પણ.

મૂળ બહુપદીમાં ડિગ્રી 3 હોવાથી, પછી ઉત્પાદન

(a – b)(b – c)(c – a)

(ડિગ્રી 3 નો બહુપદી પણ) તે માત્ર સંખ્યાત્મક પરિબળ k માં અલગ પડે છે.

તેથી,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(a – b)(b – c)(c – a).

a = 1, b = 0, c = –1 માટે આપણને મળે છે

1 + 1 – 8 = k 1 1 (–2),

ક્યાંથી k = 3, જેનો અર્થ થાય છે

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(a – b)(b – c)(c – a).

c) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. સાબિત કરો કે બે જુદી જુદી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાને, અન્ય બે જુદી જુદી કુદરતી સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાથી ગુણાકાર કરીને, બે કુદરતી સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

સાબિતી નીચેના બીજગણિત પરિવર્તનોમાંથી સીધું અનુસરે છે:

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2) =

= (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

3. સાબિત કરો કે કોઈપણ x, y, z, t માટે x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt બિન-નકારાત્મક છે. જ્યારે તે શૂન્ય બરાબર હોય ત્યારે તમામ કિસ્સાઓ શોધો.

ચાલો આ બહુપદીને બિન-નકારાત્મક શબ્દોના સરવાળા તરીકે નીચેની રીતે રજૂ કરીએ:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2) 2 + (z 2 – t 2) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2) 2 + (y 2 – t 2) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2) 2 + (y 2 – z 2) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

જો સમાનતા હોય તો જ

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

એટલે કે, જો

|x| = |y| = |z| = |t| અને xyzt > 0.

4. શું બહુપદી P(x) = 2x 4 + 8x 3 + 12x 2 + 8x + 1 એ અમુક અન્ય બહુપદીનો વર્ગ છે?

ધારો કે બીજી ડિગ્રી બહુપદી Q(x) આવી છે

P(x) = Q(x) · Q(x).

પછી, ત્યારથી P(–1) = –1, પછી Q(–1) Q(–1) = –1

5. શું વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદી P(x) છે જેમ કે P(x) > 2015 · P"(x) બધા x માટે?

હા, તે અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણ તરીકે,

P(x) = x 2 + 2015 2.

પછી

P"(x) = 2x,

P(x) – 2015 P"(x) = x 2 + 2015 2 – 2 x 2015 = (x – 2015) 2 > 0.

6. બહુપદી (x 7 + x – 1) 2014 ની વિચિત્ર શક્તિઓ x માટે ગુણાંકનો સરવાળો શોધો.

બહુપદી

P(x) = (x 7 + x – 1) 2014 અને P(–x) = (–x 7 – x – 1) 2014

તેઓ x ની વિચિત્ર શક્તિઓ માટેના ગુણાંકના ચિહ્નોમાં જ અલગ પડે છે. તેથી બહુપદી

Q(x) = P(x) – P(–x)

x ની માત્ર વિષમ શક્તિઓ હશે અને જરૂરી સરવાળો Q(1) ના અડધા મૂલ્યની બરાબર છે. કારણ કે

Q(1) = Р(1) – Р(–1) = 1 – 3 2014,

પછી બહુપદી (x 7 + x – 1) 2014 ની વિચિત્ર શક્તિઓ x માટે ગુણાંકનો સરવાળો બરાબર છે

7. સાબિત કરો કે બહુપદી

તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે, x પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે.

નોંધ કરો કે મૂળ બહુપદીને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

P(x) = (1 / 2 5 7 9)(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 1)( x + 4).

સતત નવ પૂર્ણાંકો વચ્ચે ચોક્કસપણે 2, 5, 7, 9 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ હશે, પછી કોઈપણ પૂર્ણાંક k માટે ગુણાંક

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

ઉત્પાદન પરસ્પર વિભાજ્ય છે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2·5·7·9. તેથી, સંખ્યા P(k) એ પૂર્ણાંક છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

8. તે જાણીતું છે કે ax 3 + bx 2 + cx + d, જ્યાં a, b, c, d આ પૂર્ણાંકો છે, કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે x 5 વડે વિભાજ્ય છે.સાબિત કરો કે બધી સંખ્યાઓ a, b, c, d 5 વડે વિભાજ્ય છે.

x = 0 ને બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ કે d એ 5 નો ગુણાંક છે.

આને ધ્યાનમાં લેતા અને x = ±1ની જગ્યાએ, આપણે શોધીએ છીએ કે a + b + c અને –a + b – c 5 ના ગુણાંક છે. તેથી, 2b અને 2a + 2c એ 5 ના ગુણાંક છે, જેનો અર્થ છે b અને a + c 5 ના ગુણાંક છે.

x = 2 ને બદલીને, આપણને તે મળે છે2(4a + c) + 4b + d = 6a + 2(a + c) + 4b + d એ 5 નો ગુણાંક છે. આનો અર્થ એ કે a એ 5 નો ગુણાંક છે અને તેથી, c એ 5 નો ગુણાંક છે.

9. સંપૂર્ણ ચોરસ બનવા માટે બહુપદી x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b માટે a અને b ની કિંમતો શું હોવી જોઈએ?

ચોથા અંશનો ઘટાડો થયેલ બહુપદી એ તેના ઘટાડેલા વર્ગનો જ હોઈ શકે છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી. તેથી,

x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b = (x 2 + px + q) 2 .

ત્રિપદીને જમણી બાજુએ વર્ગીકરણ કરીને અને ઓળખની બંને બાજુઓમાં દલીલની સમાન શક્તિઓ પર ગુણાંકને સમાન કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

સમીકરણોની આ પદ્ધતિને હલ કર્યા પછી, આપણે p = 1/2, q = a = 7/8, b = 49/64 શોધીએ છીએ.

જવાબ: a = 7/8, b = 49/64.

10. ડિગ્રી n નો બહુપદી P(x) n અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. જે સૌથી મોટી સંખ્યાતેના ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોઈ શકે?

વિભેદક કાર્યના કોઈપણ બે મૂળની વચ્ચે તેના વ્યુત્પન્નનું મૂળ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે બહુપદી P"(x), જેની ડિગ્રી બરાબર છેn – 1, n – 1 જુદા જુદા વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, એટલે કે, તેના કોઈ બહુવિધ મૂળ નથી. ચાલુ રાખીને, અમે શોધીએ છીએ કે બહુપદી P(x) ના તમામ વ્યુત્પન્ન સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે બહુપદી P(x) ના કોઈપણ સતત બે ગુણાંકમાંથી ઓછામાં ઓછું એક નથી શૂન્ય બરાબર. ખરેખર, જો x k અને x k+1 ના ગુણાંક શૂન્યની બરાબર હોય, તો વ્યુત્પન્ન P (k) (x) પાસે મુક્ત પદ અને x નું ગુણાંક શૂન્ય બરાબર છે. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે 0 એ P(k)(x) ના મૂળનો ગુણાંક છે, જે એવું નથી.
ચાલો બહુપદીના ગુણાંકને જોડીમાં વિભાજીત કરીએ, જો n સમ હોય તો અગ્રણી ગુણાંકને જોડી વગર છોડીએ. જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, શૂન્ય ગુણાંકની સંખ્યા જોડીની સંખ્યા કરતાં વધી જતી નથી, એટલે કે, સમ n માટે n/2 અને વિષમ n માટે (n+1) / 2.
ઉદાહરણો. બહુપદી

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

ડિગ્રી n = 2k અને

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

શક્તિઓ n = 2k + 1 દર્શાવે છે કે આ પરિણામ સુધારી શકાતું નથી: પ્રથમ માટે, તમામ વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંક અને બીજા માટે, બધી સમ શક્તિઓ માટે, શૂન્ય સમાન છે.

ઉકેલો વિના સમસ્યાઓ

1. પરિબળ:

a) x 8 + x 7 + 1;

b) (a - x) y 3 - (a - y) x 3 + (x - y) a 3;

c) (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3.

2. સાબિત કરો કે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કોઈ બહુપદી P(x) નથી જેના માટે

P(6) = 5 અને P(14) = 9.

3. બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો શોધો ( x 2 - 3x+ 1) 100 કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી.

4. બહુપદી P(x) અને Q(x) જેમ કે P(x 3) + Q(x 3) x 2 + x + 1 વડે વિભાજ્ય છે. સાબિત કરો કે P(x) + Q(x) x વડે વિભાજ્ય છે - 1.

5. બહુપદી P(x) = (x 2 + x + 1) n ના વિષમ ગુણાંકની સંખ્યા શોધો.

આ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. જો પૂર્ણાંક આ બહુપદીનું મૂળ છે, તો તે સંખ્યા 16નો વિભાજક છે. આમ, જો આપેલ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે માત્ર ±1 સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે; ±2; ±4; ±8; ±16. પ્રત્યક્ષ ચકાસણી દ્વારા, અમને ખાતરી છે કે સંખ્યા 2 એ આ બહુપદીનું મૂળ છે, એટલે કે, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), જ્યાં Q (x) એ બહુપદીનું મૂળ છે. બીજી ડિગ્રી. પરિણામે, બહુપદી પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે, જેમાંથી એક છે (x – 2). બહુપદી Q (x) નો પ્રકાર શોધવા માટે અમે કહેવાતી હોર્નર યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ રેકોર્ડિંગની કોમ્પેક્ટનેસ અને ક્ષમતા છે ઝડપી વિભાજનબહુપદી થી દ્વિપદી. વાસ્તવમાં, હોર્નરની સ્કીમ એ ગ્રૂપિંગ પદ્ધતિને રેકોર્ડ કરવાનું બીજું સ્વરૂપ છે, જોકે, બાદમાંની જેમ, તે સંપૂર્ણપણે બિન-દૃશ્ય છે. જવાબ (ફેક્ટરાઇઝેશન) અહીં જાતે જ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તેને મેળવવાની પ્રક્રિયા જોતા નથી. અમે હોર્નરની યોજનાના સખત પુરાવામાં જોડાઈશું નહીં, પરંતુ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે જ બતાવીશું.

તેની ઉપરના કોષમાંથી નંબર નીચેની લાઇનના બીજા કોષમાં "ખસેડવામાં" આવે છે, એટલે કે, 1. પછી તેઓ આ કરે છે. સમીકરણનું મૂળ (નંબર 2) છેલ્લી લેખિત સંખ્યા (1) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને પરિણામ તે સંખ્યા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે જે આગામી ફ્રી સેલની ઉપરની પંક્તિમાં છે, અમારા ઉદાહરણમાં અમારી પાસે છે:

વગેરે. સામાન્ય શૈક્ષણિક પ્રકૃતિની છે અને છે મહાન મૂલ્યસમગ્ર અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉચ્ચ ગણિત. આજે આપણે "શાળા" સમીકરણોનું પુનરાવર્તન કરીશું, પરંતુ માત્ર "શાળા" સમીકરણો જ નહીં - પરંતુ તે જે દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે. વિવિધ કાર્યો vyshmat હંમેશની જેમ, વાર્તા લાગુ રીતે કહેવામાં આવશે, એટલે કે. હું વ્યાખ્યાઓ અને વર્ગીકરણ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ નહીં, પરંતુ તમારી સાથે બરાબર શેર કરીશ વ્યક્તિગત અનુભવઉકેલો માહિતી મુખ્યત્વે નવા નિશાળીયા માટે બનાવાયેલ છે, પરંતુ વધુ અદ્યતન વાચકો પણ પોતાને માટે ઘણું બધું શોધી શકશે. રસપ્રદ ક્ષણો. અને અલબત્ત ત્યાં હશે નવી સામગ્રી, આગળ જવું ઉચ્ચ શાળા.

તો સમીકરણ…. ઘણા લોકો આ શબ્દને કંપારી સાથે યાદ કરે છે. મૂળ સાથેના "સુસંસ્કૃત" સમીકરણો શું છે... ...તેના વિશે ભૂલી જાઓ! કારણ કે પછી તમે આ પ્રજાતિના સૌથી હાનિકારક "પ્રતિનિધિઓ" ને મળશો. અથવા કંટાળાજનક ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોડઝનેક ઉકેલ પદ્ધતિઓ સાથે. સાચું કહું તો, હું ખરેખર તેમને મારી જાતને પસંદ નથી કરતો... ગભરાશો નહીં! - પછી મોટે ભાગે "ડેંડિલિઅન્સ" 1-2 પગલામાં સ્પષ્ટ ઉકેલ સાથે તમારી રાહ જોશે. જો કે "બોર્ડોક" ચોક્કસપણે ચોંટે છે, તમારે અહીં ઉદ્દેશ્ય બનવાની જરૂર છે.

વિચિત્ર રીતે, ઉચ્ચ ગણિતમાં આદિમ સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરવો વધુ સામાન્ય છે જેમ કે રેખીયસમીકરણો

આ સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ છે “x” (રુટ) નું એવું મૂલ્ય શોધવું જે તેને સાચી સમાનતામાં ફેરવે. ચાલો ચિહ્નના ફેરફાર સાથે "ત્રણ" ને જમણી બાજુએ ફેંકીએ:

અને "બે" ને રીસેટ કરો જમણી બાજુ (અથવા, સમાન વસ્તુ - બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો) :

તપાસવા માટે, ચાલો જીતેલી ટ્રોફીને તેમાં બદલીએ મૂળ સમીકરણ :

સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે જે મૂલ્ય મળ્યું છે તે ખરેખર મૂળ છે આપેલ સમીકરણ. અથવા, જેમ તેઓ પણ કહે છે, આ સમીકરણને સંતોષે છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે રૂટ પણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે દશાંશ:
અને આ ખરાબ શૈલીને વળગી ન રહેવાનો પ્રયાસ કરો! મેં કારણને એક કરતા વધુ વાર પુનરાવર્તિત કર્યું, ખાસ કરીને, પરના પ્રથમ પાઠમાં ઉચ્ચ બીજગણિત.

માર્ગ દ્વારા, સમીકરણ "અરબીમાં" પણ ઉકેલી શકાય છે:

અને સૌથી રસપ્રદ શું છે - આ પ્રવેશસંપૂર્ણપણે કાનૂની! પરંતુ જો તમે શિક્ષક નથી, તો આ ન કરવું વધુ સારું છે, કારણ કે મૌલિકતા અહીં સજાપાત્ર છે =)

અને હવે તેના વિશે થોડું

ગ્રાફિકલ ઉકેલ પદ્ધતિ

સમીકરણનું સ્વરૂપ છે અને તેનું મૂળ છે "X" સંકલન આંતરછેદ બિંદુઓ રેખીય કાર્ય ગ્રાફશેડ્યૂલ સાથે રેખીય કાર્ય (x અક્ષ):

એવું લાગે છે કે ઉદાહરણ એટલું પ્રાથમિક છે કે અહીં વિશ્લેષણ કરવા માટે વધુ કંઈ નથી, પરંતુ એક વધુ અણધારી સૂક્ષ્મતા તેમાંથી "સ્ક્વિઝ્ડ" થઈ શકે છે: ચાલો સમાન સમીકરણ ફોર્મમાં રજૂ કરીએ અને કાર્યોના ગ્રાફ બનાવીએ:

તે જ સમયે, કૃપા કરીને બે વિભાવનાઓને ગૂંચવશો નહીં: સમીકરણ એ સમીકરણ છે, અને કાર્ય- આ એક કાર્ય છે! કાર્યો માત્ર મદદસમીકરણના મૂળ શોધો. જેમાંથી બે, ત્રણ, ચાર અથવા તો અનંત ઘણા હોઈ શકે છે. આ અર્થમાં સૌથી નજીકનું ઉદાહરણ જાણીતું છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ, ઉકેલ અલ્ગોરિધમ કે જેના માટે એક અલગ ફકરો પ્રાપ્ત થયો છે "ગરમ" શાળાના સૂત્રો. અને આ કોઈ સંયોગ નથી! જો તમે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકો અને જાણો પાયથાગોરિયન પ્રમેય, તો પછી, કોઈ કહી શકે છે, "અડધુ ઉચ્ચ ગણિત પહેલેથી જ તમારા ખિસ્સામાં છે" =) અતિશયોક્તિપૂર્ણ, અલબત્ત, પરંતુ સત્યથી દૂર નથી!

તેથી, ચાલો આળસુ ન બનીએ અને કેટલાક ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો:

, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણ બે અલગ અલગ છે માન્યમૂળ

તે ચકાસવું સરળ છે કે બંને મળેલા મૂલ્યો ખરેખર આ સમીકરણને સંતોષે છે:

જો તમે અચાનક સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ ભૂલી ગયા હો, અને હાથમાં કોઈ સાધન/સહાયક હાથ ન હોય તો શું કરવું? આ પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પરીક્ષા અથવા પરીક્ષા દરમિયાન. અમે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ! અને ત્યાં બે માર્ગો છે: તમે કરી શકો છો બિંદુ દ્વારા બિંદુ બનાવોપેરાબોલા , ત્યાંથી શોધી કાઢે છે કે તે અક્ષને ક્યાં છેદે છે (જો તે બિલકુલ ઓળંગી જાય). પરંતુ કંઈક વધુ ઘડાયેલું કરવું વધુ સારું છે: ફોર્મમાં સમીકરણની કલ્પના કરો, વધુ ગ્રાફ દોરો સરળ કાર્યો- અને "X" કોઓર્ડિનેટ્સતેમના આંતરછેદના બિંદુઓ સ્પષ્ટપણે દૃશ્યમાન છે!


જો તે તારણ આપે છે કે સીધી રેખા પેરાબોલાને સ્પર્શે છે, તો સમીકરણમાં બે એકરૂપ (બહુવિધ) મૂળ છે. જો તે તારણ આપે છે કે સીધી રેખા પેરાબોલાને છેદેતી નથી, તો ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

આ કરવા માટે, અલબત્ત, તમારે બિલ્ડ કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે પ્રાથમિક કાર્યોનો આલેખ, પરંતુ બીજી બાજુ, એક શાળાનો બાળક પણ આ કુશળતા કરી શકે છે.

અને ફરીથી - એક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે, અને ફંક્શન્સ એ ફંક્શન્સ છે જે માત્ર મદદ કરીસમીકરણ ઉકેલો!

અને અહીં, માર્ગ દ્વારા, એક વધુ વસ્તુ યાદ રાખવી યોગ્ય રહેશે: જો સમીકરણના તમામ ગુણાંકને બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તેના મૂળ બદલાશે નહીં.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ સમાન મૂળ ધરાવે છે. એક સરળ "સાબિતી" તરીકે, હું કૌંસમાંથી સતત લઈશ:
અને હું તેને પીડારહિત રીતે દૂર કરીશ (હું બંને ભાગોને "માઈનસ બે" વડે વિભાજિત કરીશ):

પરંતુ!જો આપણે કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ , તો પછી તમે અહીં સતતથી છૂટકારો મેળવી શકતા નથી! ગુણકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવા માટે જ તે માન્ય છે: .

ઘણા લોકો ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિને ઓછું આંકે છે, તેને કંઈક “અનુષ્ઠાન” ગણીને, અને કેટલાક આ શક્યતાને સંપૂર્ણપણે ભૂલી પણ જાય છે. અને આ મૂળભૂત રીતે ખોટું છે, કારણ કે ગ્રાફનું કાવતરું ક્યારેક પરિસ્થિતિને બચાવે છે!

બીજું ઉદાહરણ: ધારો કે તમને સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણના મૂળ યાદ નથી: . સામાન્ય સૂત્રમાં છે શાળા પાઠ્યપુસ્તકો, પર તમામ સંદર્ભ પુસ્તકોમાં પ્રાથમિક ગણિત, પરંતુ તેઓ તમારા માટે ઉપલબ્ધ નથી. જો કે, સમીકરણ ઉકેલવું મહત્વપૂર્ણ છે (ઉર્ફ "બે"). ત્યાં એક માર્ગ છે! - કાર્યોના આલેખ બનાવો:


જે પછી અમે શાંતિથી તેમના આંતરછેદ બિંદુઓના "X" કોઓર્ડિનેટ્સ લખીએ છીએ:

ત્યાં અનંતપણે ઘણા મૂળ છે, અને બીજગણિતમાં તેમના કન્ડેન્સ્ડ નોટેશન સ્વીકારવામાં આવે છે:
, ક્યાં ( – પૂર્ણાંકોનો સમૂહ) .

અને, "દૂર ગયા" વિના, એક ચલ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ વિશે થોડાક શબ્દો. સિદ્ધાંત સમાન છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાનો ઉકેલ કોઈપણ “x” છે, કારણ કે સાઇનસૉઇડ લગભગ સંપૂર્ણપણે સીધી રેખા હેઠળ આવેલું છે. અસમાનતાનો ઉકેલ એ અંતરાલોનો સમૂહ છે જેમાં સાઇનસૉઇડના ટુકડા સીધી રેખાની ઉપર સખત રીતે આવેલા હોય છે. (x-અક્ષ):

અથવા, ટૂંકમાં:

પરંતુ અહીં અસમાનતાના ઘણા ઉકેલો છે: ખાલી, કારણ કે સાઇનસૉઇડનો કોઈ બિંદુ સીધી રેખાની ઉપર નથી.

શું એવું કંઈ છે જે તમે સમજી શકતા નથી? વિશેના પાઠનો તાકીદે અભ્યાસ કરો સેટઅને કાર્ય આલેખ!

ચાલો ગરમ કરીએ:

કાર્ય 1

નીચેના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલો:

પાઠના અંતે જવાબો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અભ્યાસ કરવા માટે ચોક્કસ વિજ્ઞાનસૂત્રો અને સંદર્ભ પુસ્તકો ઘડવાની જરૂર નથી! તદુપરાંત, આ એક મૂળભૂત રીતે ખામીયુક્ત અભિગમ છે.

જેમ કે મેં પાઠની શરૂઆતમાં જ તમને ખાતરી આપી હતી, ઉચ્ચ ગણિતના પ્રમાણભૂત અભ્યાસક્રમમાં જટિલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અત્યંત ભાગ્યે જ ઉકેલવા પડે છે. તમામ જટિલતા, એક નિયમ તરીકે, સમીકરણો સાથે સમાપ્ત થાય છે, જેનો ઉકેલ એ મૂળના બે જૂથો છે જે સૌથી સરળ સમીકરણોમાંથી ઉદ્ભવે છે અને . બાદમાં ઉકેલવા વિશે વધુ ચિંતા કરશો નહીં - પુસ્તકમાં જુઓ અથવા તેને ઇન્ટરનેટ પર શોધો =)

ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિ ઓછા મામૂલી કેસોમાં પણ મદદ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના "રાગટેગ" સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

તેના સોલ્યુશનની સંભાવનાઓ દેખાય છે... બિલકુલ એવું લાગતું નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત ફોર્મમાં સમીકરણની કલ્પના કરવી પડશે, બિલ્ડ કરો. કાર્ય આલેખઅને બધું અતિ સરળ બનશે. વિશે લેખની મધ્યમાં એક ચિત્ર છે અનંત કાર્યો (આગામી ટેબમાં ખુલશે).

સમાન ગ્રાફિકલ પદ્ધતિતમે શોધી શકો છો કે સમીકરણમાં પહેલેથી જ બે મૂળ છે, અને તેમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે, અને બીજું, દેખીતી રીતે, અતાર્કિકઅને સેગમેન્ટને અનુસરે છે. આપેલ મૂળઆશરે ગણતરી કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પર્શક પદ્ધતિ. માર્ગ દ્વારા, કેટલીક સમસ્યાઓમાં, એવું બને છે કે તમારે મૂળ શોધવાની જરૂર નથી, પરંતુ શોધો શું તેઓ બિલકુલ અસ્તિત્વમાં છે?. અને અહીં, પણ, એક ડ્રોઇંગ મદદ કરી શકે છે - જો ગ્રાફ એકબીજાને છેદે નહીં, તો ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ.
હોર્નર યોજના

અને હવે હું તમને તમારી નજર મધ્ય યુગ તરફ ફેરવવા અને શાસ્ત્રીય બીજગણિતના અનન્ય વાતાવરણને અનુભવવા માટે આમંત્રિત કરું છું. સામગ્રીની વધુ સારી સમજણ માટે, હું ભલામણ કરું છું કે તમે ઓછામાં ઓછું થોડું વાંચો જટિલ સંખ્યાઓ.

તેઓ શ્રેષ્ઠ છે. બહુપદી.

અમારી રુચિનો હેતુ ફોર્મના સૌથી સામાન્ય બહુપદી હશે સમગ્રગુણાંક કુદરતી સંખ્યાકહેવાય છે બહુપદીની ડિગ્રી, સંખ્યા – ઉચ્ચતમ ડિગ્રીનો ગુણાંક (અથવા માત્ર ઉચ્ચતમ ગુણાંક), અને ગુણાંક છે મફત સભ્ય.

હું આ બહુપદીને સંક્ષિપ્તમાં દ્વારા દર્શાવીશ.

બહુપદીના મૂળસમીકરણના મૂળને બોલાવો

મને લોહ તર્ક ગમે છે =)

ઉદાહરણો માટે, લેખની શરૂઆતમાં જ જાઓ:

1 લી અને 2 જી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવામાં કોઈ સમસ્યા નથી, પરંતુ જેમ જેમ તમે વધારો કરશો આ કાર્ય વધુને વધુ મુશ્કેલ બનશે. જોકે બીજી બાજુ, બધું વધુ રસપ્રદ છે! અને આ તે જ છે જે પાઠનો બીજો ભાગ સમર્પિત કરવામાં આવશે.

પ્રથમ, શાબ્દિક રીતે સિદ્ધાંતની અડધી સ્ક્રીન:

1) કોરોલરી અનુસાર બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય, ડિગ્રી બહુપદી બરાબર છે જટિલમૂળ કેટલાક મૂળ (અથવા તો બધા) ખાસ કરીને હોઈ શકે છે માન્ય. તદુપરાંત, વાસ્તવિક મૂળોમાં સમાન (બહુવિધ) મૂળ હોઈ શકે છે (ઓછામાં ઓછા બે, મહત્તમ ટુકડાઓ).

જો અમુક જટિલ સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ હોય, તો જોડાણતેની સંખ્યા પણ આ બહુપદીનું મૂળ છે (સંયુક્ત જટિલ મૂળજેવો દેખાય છે).

સૌથી સરળ ઉદાહરણએક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે જે પ્રથમ વખત 8 માં દેખાયું હતું (જેમ)વર્ગ, અને જે આપણે અંતે વિષયમાં "સમાપ્ત" કર્યું જટિલ સંખ્યાઓ. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: એક ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં કાં તો બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ હોય છે, અથવા બહુવિધ મૂળ હોય છે, અથવા સંયોજિત જટિલ મૂળ હોય છે.

2) થી બેઝાઉટનું પ્રમેયતે અનુસરે છે કે જો સંખ્યા એ સમીકરણનું મૂળ છે, તો અનુરૂપ બહુપદીને પરિબળ બનાવી શકાય છે:
, જ્યાં ડિગ્રીની બહુપદી છે.

અને ફરીથી, અમારું જૂનું ઉદાહરણ: કારણ કે સમીકરણનું મૂળ છે, પછી . જે પછી જાણીતી “શાળા”નું વિસ્તરણ મેળવવું મુશ્કેલ નથી.

બેઝાઉટના પ્રમેયના કોરોલરીમાં ખૂબ જ વ્યવહારુ મૂલ્ય છે: જો આપણે 3જી ડિગ્રીના સમીકરણનું મૂળ જાણીએ, તો આપણે તેને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકીએ છીએ. અને થી ચતુર્ભુજ સમીકરણબાકીના મૂળને ઓળખવું સરળ છે. જો આપણે 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણનું મૂળ જાણીએ, તો પછી ડાબી બાજુને ઉત્પાદનમાં વિસ્તૃત કરવું શક્ય છે, વગેરે.

અને અહીં બે પ્રશ્નો છે:

પ્રશ્ન એક. આ ખૂબ જ મૂળ કેવી રીતે શોધવું? સૌ પ્રથમ, ચાલો તેની પ્રકૃતિને વ્યાખ્યાયિત કરીએ: ઉચ્ચ ગણિતની ઘણી સમસ્યાઓમાં તે શોધવું જરૂરી છે તર્કસંગત, ખાસ કરીને સમગ્રબહુપદીના મૂળ, અને આ સંદર્ભે, આગળ આપણે તેમાં મુખ્યત્વે રસ લઈશું.... ...તેઓ એટલા સારા, એટલા રુંવાટીવાળું છે કે તમે તેમને શોધવા માંગો છો! =)

પ્રથમ વસ્તુ જે ધ્યાનમાં આવે છે તે પસંદગી પદ્ધતિ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનો વિચાર કરો. અહીંનો કેચ ફ્રી ટર્મમાં છે - જો તે શૂન્યની બરાબર હોત, તો બધું સારું હોત - અમે કૌંસમાંથી "x" લઈએ છીએ અને મૂળ પોતે જ સપાટી પર "પડે છે":

પરંતુ અમારું મફત શબ્દ "ત્રણ" ની બરાબર છે, અને તેથી અમે સમીકરણમાં અવેજી કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ વિવિધ નંબરો, "મૂળ" હોવાનો દાવો કરે છે. સૌ પ્રથમ, એકલ મૂલ્યોનું અવેજી પોતે સૂચવે છે. ચાલો અવેજી કરીએ:

પ્રાપ્ત ખોટુંસમાનતા, આમ, એકમ "ફીટ ન હતું." ઠીક છે, ચાલો બદલીએ:

પ્રાપ્ત સાચુંસમાનતા એટલે કે, મૂલ્ય આ સમીકરણનું મૂળ છે.

3જી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે, ત્યાં છે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ (કહેવાતા કાર્ડાનો સૂત્રો), પરંતુ હવે અમને થોડા અલગ કાર્યમાં રસ છે.

કારણ કે - આપણા બહુપદીનું મૂળ છે, બહુપદીને સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે અને ઉદ્ભવે છે બીજો પ્રશ્ન: "નાનો ભાઈ" કેવી રીતે શોધવો?

સૌથી સરળ બીજગણિતીય વિચારણાઓ સૂચવે છે કે આ કરવા માટે આપણે દ્વારા ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે. બહુપદીને બહુપદી વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું? સમાન શાળા પદ્ધતિશેર કરેલ સામાન્ય સંખ્યાઓ- "કૉલમમાં"! આ પદ્ધતિમેં પાઠના પ્રથમ ઉદાહરણોમાં તેની વિગતવાર ચર્ચા કરી જટિલ મર્યાદાઓ, અને હવે આપણે બીજી પદ્ધતિ જોઈશું, જેને કહેવાય છે હોર્નર યોજના.

પ્રથમ આપણે "ઉચ્ચ" બહુપદી લખીએ છીએ દરેક સાથે , શૂન્ય ગુણાંક સહિત:
, જે પછી આપણે કોષ્ટકની ટોચની પંક્તિમાં આ ગુણાંક (કડક ક્રમમાં) દાખલ કરીએ છીએ:

અમે ડાબી બાજુએ રુટ લખીએ છીએ:

હું તરત જ એક આરક્ષણ કરીશ કે જો "લાલ" નંબર હોય તો હોર્નરની યોજના પણ કામ કરે છે નથીબહુપદીનું મૂળ છે. જો કે, ચાલો વસ્તુઓમાં ઉતાવળ ન કરીએ.

અમે ઉપરથી અગ્રણી ગુણાંકને દૂર કરીએ છીએ:

નીચલા કોષોને ભરવાની પ્રક્રિયા કંઈક અંશે ભરતકામની યાદ અપાવે છે, જ્યાં "માઈનસ વન" એ એક પ્રકારની "સોય" છે જે અનુગામી પગલાઓમાં પ્રવેશ કરે છે. અમે "કેરી ડાઉન" નંબરને (–1) વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ટોચના કોષમાંથી ઉત્પાદનમાં સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ:

અમે "લાલ સોય" દ્વારા મળેલ મૂલ્યનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ઉત્પાદનમાં નીચેના સમીકરણ ગુણાંક ઉમેરીએ છીએ:

અને અંતે, પરિણામી મૂલ્ય ફરીથી "સોય" અને ઉપલા ગુણાંક સાથે "પ્રક્રિયા" થાય છે:

છેલ્લા કોષમાં શૂન્ય અમને કહે છે કે બહુપદી વિભાજિત છે ટ્રેસ વિના (જેમ હોવું જોઈએ), જ્યારે વિસ્તરણ ગુણાંક સીધા કોષ્ટકની નીચેની લાઇનમાંથી "દૂર" કરવામાં આવે છે:

આમ, અમે સમીકરણમાંથી સમકક્ષ સમીકરણ તરફ આગળ વધ્યા અને બાકીના બે મૂળ સાથે બધું સ્પષ્ટ છે. (વી આ કિસ્સામાંઆપણને સંયોજિત જટિલ મૂળ મળે છે).

સમીકરણ, માર્ગ દ્વારા, ગ્રાફિકલી પણ ઉકેલી શકાય છે: પ્લોટ "વીજળી" અને જુઓ કે આલેખ x-અક્ષને પાર કરે છે () બિંદુ પર અથવા તે જ "ઘડાયેલું" યુક્તિ - અમે ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ છીએ, દોરો પ્રાથમિક ગ્રાફિક્સઅને તેમના આંતરછેદ બિંદુના "X" સંકલનને શોધો.

માર્ગ દ્વારા, કોઈપણ 3જી ડિગ્રી બહુપદી ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓછામાં ઓછા એક વખત અક્ષને છેદે છે, જેનો અર્થ છે અનુરૂપ સમીકરણ ઓછામાં ઓછુંએક માન્યમૂળ આ હકીકતવિષમ ડિગ્રીના કોઈપણ બહુપદી કાર્ય માટે માન્ય.

અને અહીં હું પણ રહેવા માંગુ છું મહત્વપૂર્ણ બિંદુ જે પરિભાષાથી સંબંધિત છે: બહુપદીઅને બહુપદી કાર્ય – તે સમાન વસ્તુ નથી! પરંતુ વ્યવહારમાં તેઓ વારંવાર વાત કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, "બહુપદીના ગ્રાફ" વિશે, જે, અલબત્ત, બેદરકારી છે.

જો કે, ચાલો હોર્નરની યોજના પર પાછા ફરીએ. મેં તાજેતરમાં ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, આ યોજના અન્ય નંબરો માટે કામ કરે છે, પરંતુ જો નંબર નથીસમીકરણનું મૂળ છે, તો પછી અમારા સૂત્રમાં બિન-શૂન્ય ઉમેરણ (શેષ) દેખાય છે:

ચાલો હોર્નરની યોજના અનુસાર "અસફળ" મૂલ્યને "ચલાવીએ". આ કિસ્સામાં, સમાન કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે - ડાબી બાજુએ એક નવી "સોય" લખો, ઉપરથી અગ્રણી ગુણાંકને ખસેડો. (ડાબે લીલો તીર), અને અમે જઈએ છીએ:

તપાસવા માટે, ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને પ્રસ્તુત કરીએ સમાન શરતો:
, બરાબર.

તે જોવાનું સરળ છે કે શેષ ("છ") પર બહુપદીનું મૂલ્ય બરાબર છે. અને હકીકતમાં - તે શું છે:
, અને તે પણ સરસ - આના જેવું:

ઉપરોક્ત ગણતરીઓથી તે સમજવું સરળ છે કે હોર્નરની યોજના માત્ર બહુપદીને પરિબળ કરવા માટે જ નહીં, પણ મૂળની "સંસ્કારી" પસંદગીને પણ હાથ ધરવા માટે પરવાનગી આપે છે. હું સૂચન કરું છું કે તમે એક નાના કાર્ય સાથે ગણતરીના અલ્ગોરિધમને સ્વતંત્ર રીતે એકીકૃત કરો:

કાર્ય 2

હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, શોધો સંપૂર્ણ મૂળસમીકરણ અને અનુરૂપ બહુપદીનું પરિબળ

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અહીં તમારે છેલ્લી કૉલમમાં શૂન્ય શેષ "ડ્રો" ન થાય ત્યાં સુધી ક્રમશઃ નંબરો 1, -1, 2, -2, ... - તપાસવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ થશે કે આ રેખાની "સોય" એ બહુપદીનું મૂળ છે

એક જ કોષ્ટકમાં ગણતરીઓ ગોઠવવાનું અનુકૂળ છે. વિગતવાર ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

મૂળ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ પ્રમાણમાં સારી છે સરળ કિસ્સાઓ, પરંતુ જો બહુપદીના ગુણાંક અને/અથવા ડિગ્રી મોટા હોય, તો પ્રક્રિયામાં વધુ સમય લાગી શકે છે. અથવા કદાચ સમાન સૂચિ 1, -1, 2, -2 માંથી કેટલાક મૂલ્યો છે અને ધ્યાનમાં લેવાનો કોઈ અર્થ નથી? અને, ઉપરાંત, મૂળ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, જે સંપૂર્ણપણે અવૈજ્ઞાનિક પોકિંગ તરફ દોરી જશે.

સદનસીબે, ત્યાં બે શક્તિશાળી પ્રમેય છે જે "ઉમેદવાર" મૂલ્યોની શોધને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે છે તર્કસંગત મૂળ:

પ્રમેય 1ચાલો વિચાર કરીએ અફરઅપૂર્ણાંક, ક્યાં. જો સંખ્યા સમીકરણનું મૂળ છે, તો મુક્ત પદને વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને અગ્રણી ગુણાંકને વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

ખાસ કરીને, જો અગ્રણી ગુણાંક છે, તો આ તર્કસંગત મૂળ પૂર્ણાંક છે:

અને અમે માત્ર આ સ્વાદિષ્ટ વિગત સાથે પ્રમેયનું શોષણ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણ પર પાછા ફરીએ. કારણ કે તેનો અગ્રણી ગુણાંક છે, તો અનુમાનિત તર્કસંગત મૂળ ફક્ત પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, અને મુક્ત શબ્દ આવશ્યકપણે આ મૂળમાં શેષ વિના વિભાજિત થવો જોઈએ. અને "ત્રણ" ને ફક્ત 1, -1, 3 અને -3 માં વિભાજિત કરી શકાય છે. એટલે કે, અમારી પાસે ફક્ત 4 "રુટ ઉમેદવારો" છે. અને, અનુસાર પ્રમેય 1, અન્ય તર્કસંગત સંખ્યાઓસિદ્ધાંતમાં આ સમીકરણના મૂળ ન હોઈ શકે.

સમીકરણમાં થોડા વધુ "દાવેદારો" છે: મફત શબ્દ 1, –1, 2, – 2, 4 અને –4 માં વહેંચાયેલો છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે નંબર 1, -1 એ સંભવિત મૂળની સૂચિના "નિયમિત" છે (પ્રમેયનું સ્પષ્ટ પરિણામ)અને સૌથી વધુ શ્રેષ્ઠ પસંદગીઅગ્રતા તપાસ માટે.

ચાલો વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ:

સમસ્યા 3

ઉકેલ: કારણ કે અગ્રણી ગુણાંક છે, તો અનુમાનિત તર્કસંગત મૂળ માત્ર પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, અને તે આવશ્યકપણે મુક્ત પદના વિભાજક હોવા જોઈએ. "માઈનસ ચાલીસ" ને સંખ્યાઓની નીચેની જોડીમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
- કુલ 16 "ઉમેદવારો".

અને અહીં એક આકર્ષક વિચાર તરત જ દેખાય છે: શું બધા નકારાત્મક અથવા બધા હકારાત્મક મૂળને નીંદણ કરવું શક્ય છે? કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે શક્ય છે! હું બે ચિહ્નો ઘડીશ:

1) જો બધાબહુપદીના ગુણાંક બિન-નકારાત્મક છે, તો તે હોઈ શકતું નથી હકારાત્મક મૂળ. કમનસીબે, આ અમારો કેસ નથી (હવે, જો આપણને એક સમીકરણ આપવામાં આવે - તો હા, જ્યારે બહુપદીના કોઈપણ મૂલ્યને બદલીએ ત્યારે, બહુપદીનું મૂલ્ય સખત હકારાત્મક હોય છે, જેનો અર્થ છે કે બધું હકારાત્મક સંખ્યાઓ (અને અતાર્કિક પણ)સમીકરણના મૂળ ન હોઈ શકે.

2) જો વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંક બિન-નકારાત્મક હોય, અને બધી સમ શક્તિઓ માટે (મફત સભ્ય સહિત)નકારાત્મક છે, તો બહુપદી પાસે હોઈ શકતું નથી નકારાત્મક મૂળ. આ અમારો કેસ છે! થોડું નજીકથી જોતાં, તમે જોઈ શકો છો કે જ્યારે તમે સમીકરણમાં કોઈપણ નકારાત્મક "x" ને બદલે છે ડાબી બાજુસખત નકારાત્મક હશે, જેનો અર્થ છે નકારાત્મક મૂળઅદૃશ્ય થઈ જવું

આમ, સંશોધન માટે 8 નંબરો બાકી છે:

અમે તેમને હોર્નરની યોજના અનુસાર ક્રમિક રીતે "ચાર્જ" કરીએ છીએ. હું આશા રાખું છું કે તમે પહેલેથી જ માનસિક ગણતરીઓમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે:

"બે" નું પરીક્ષણ કરતી વખતે નસીબ અમારી રાહ જોતું હતું. આમ, વિચારણા હેઠળના સમીકરણનું મૂળ છે, અને

તે સમીકરણનો અભ્યાસ કરવાનું બાકી છે . ભેદભાવ કરનાર દ્વારા આ કરવાનું સરળ છે, પરંતુ હું સમાન યોજનાનો ઉપયોગ કરીને સૂચક પરીક્ષણ કરીશ. પ્રથમ, ચાલો નોંધ લઈએ કે મફત શબ્દ 20 ની બરાબર છે, જેનો અર્થ થાય છે પ્રમેય 1 8 અને 40 નંબરો સંભવિત મૂળની સૂચિમાંથી બહાર નીકળી જાય છે, સંશોધન માટેના મૂલ્યોને છોડી દે છે (હોર્નરની યોજના અનુસાર એકને દૂર કરવામાં આવ્યો હતો).

આપણે ઉપરની લીટીમાં ત્રિનોમીના ગુણાંક લખીએ છીએ નવું ટેબલઅને અમે સમાન "બે" સાથે તપાસ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. શા માટે? અને કારણ કે મૂળ ગુણાકાર હોઈ શકે છે, કૃપા કરીને: - આ સમીકરણમાં 10 છે સમાન મૂળ. પરંતુ ચાલો વિચલિત ન થઈએ:

અને અહીં, અલબત્ત, હું થોડું ખોટું બોલતો હતો, એ જાણીને કે મૂળ તર્કસંગત છે. છેવટે, જો તેઓ અતાર્કિક અથવા જટિલ હતા, તો પછી મને બાકીની બધી સંખ્યાઓની અસફળ તપાસનો સામનો કરવો પડશે. તેથી, વ્યવહારમાં, ભેદભાવવાળા દ્વારા માર્ગદર્શન મેળવો.

જવાબ આપો: તર્કસંગત મૂળ: 2, 4, 5

અમે જે સમસ્યાનું વિશ્લેષણ કર્યું તેમાં અમે નસીબદાર હતા, કારણ કે: a) તેઓ તરત જ પડી ગયા નકારાત્મક મૂલ્યો, અને b) અમે ખૂબ જ ઝડપથી રુટ શોધી કાઢ્યું (અને સૈદ્ધાંતિક રીતે અમે આખી સૂચિ તપાસી શકીએ છીએ).

પરંતુ વાસ્તવમાં સ્થિતિ વધુ ખરાબ છે. હું તમને એક આકર્ષક રમત જોવા માટે આમંત્રિત કરું છું ધ લાસ્ટ હીરો»:

સમસ્યા 4

સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધો

ઉકેલ: દ્વારા પ્રમેય 1અનુમાનિતના અંશ તર્કસંગત મૂળશરત સંતોષવી પડશે (આપણે વાંચીએ છીએ કે "બાર એ el વડે વિભાજિત થાય છે"), અને છેદ - સ્થિતિ માટે. તેના આધારે, અમને બે સૂચિ મળે છે:

"સૂચિ el":
અને "સૂચિ અમ": (સદનસીબે, અહીંની સંખ્યા કુદરતી છે).

હવે ચાલો તમામ સંભવિત મૂળોની યાદી બનાવીએ. પ્રથમ, અમે "el સૂચિ" ને . તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સમાન નંબરો મેળવવામાં આવશે. સગવડ માટે, ચાલો તેમને કોષ્ટકમાં મૂકીએ:

ઘણા અપૂર્ણાંકો ઘટાડવામાં આવ્યા છે, પરિણામે મૂલ્યો જે પહેલાથી "હીરોની સૂચિ" માં છે. અમે ફક્ત "નવા લોકો" ઉમેરીએ છીએ:

એ જ રીતે, અમે સમાન "સૂચિ" ને આના દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

અને અંતે

આમ, અમારી રમતમાં સહભાગીઓની ટીમ પૂર્ણ થઈ છે:


કમનસીબે, આ સમસ્યામાં બહુપદી "હકારાત્મક" અથવા "નકારાત્મક" માપદંડને સંતોષતી નથી, અને તેથી અમે ટોચની અથવા નીચેની પંક્તિને કાઢી શકતા નથી. તમારે બધા નંબરો સાથે કામ કરવું પડશે.

તમને કેવું લાગે છે? આવો, તમારું માથું ઊંચું કરો - એક બીજું પ્રમેય છે જેને અલંકારિક રીતે "કિલર પ્રમેય" કહી શકાય…. ..."ઉમેદવારો", અલબત્ત =)

પરંતુ પ્રથમ તમારે ઓછામાં ઓછા એક માટે હોર્નરના ડાયાગ્રામ દ્વારા સ્ક્રોલ કરવાની જરૂર છે સમગ્રસંખ્યાઓ પરંપરાગત રીતે, ચાલો એક લઈએ. ટોચની લાઇનમાં આપણે બહુપદીના ગુણાંક લખીએ છીએ અને બધું સામાન્ય છે:

ચાર સ્પષ્ટપણે શૂન્ય ન હોવાથી, મૂલ્ય પ્રશ્નમાં રહેલા બહુપદીનું મૂળ નથી. પરંતુ તે અમને ખૂબ મદદ કરશે.

પ્રમેય 2જો કેટલાક માટે સામાન્ય રીતેબહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય છે: , પછી તેના તર્કસંગત મૂળ (જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો)શરત સંતોષો

અમારા કિસ્સામાં અને તેથી તમામ સંભવિત મૂળોએ સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે (ચાલો તેને શરત નંબર 1 કહીએ). આ ચાર ઘણા "ઉમેદવારો" ના "હત્યારા" હશે. નિદર્શન તરીકે, હું કેટલીક તપાસો જોઈશ:

ચાલો "ઉમેદવાર" તપાસીએ. આ કરવા માટે, ચાલો તેને કૃત્રિમ રીતે અપૂર્ણાંકના રૂપમાં રજૂ કરીએ, જેમાંથી તે સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે . ચાલો ટેસ્ટ તફાવતની ગણતરી કરીએ: . ચારને "માઈનસ બે" વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે: , જેનો અર્થ છે કે સંભવિત રુટ પરીક્ષણમાં પાસ થઈ ગયું છે.

ચાલો મૂલ્ય તપાસીએ. અહીં ટેસ્ટ તફાવત છે: . અલબત્ત, અને તેથી બીજો "વિષય" પણ સૂચિમાં રહે છે.