આધાર અને બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર. સિલિન્ડરનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

સિલિન્ડર એ એક આકૃતિ છે જેમાં સમાવેશ થાય છે નળાકાર સપાટીઅને બે વર્તુળો સમાંતર સ્થિત છે. સિલિન્ડરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી એ એક કાર્ય છે ભૌમિતિક વિભાગગણિત, જે એકદમ સરળ રીતે ઉકેલાય છે. તેને હલ કરવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જે અંતે હંમેશા એક સૂત્ર પર આવે છે.

સિલિન્ડરનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો - ગણતરીના નિયમો

• સિલિન્ડરનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે બાજુની સપાટીના ક્ષેત્ર સાથે બેઝના બે વિસ્તારો ઉમેરવાની જરૂર છે: S = Sside + 2Sbase. વધુ વિગતવાર સંસ્કરણમાં, આ સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• આપેલની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર ભૌમિતિક શરીરજો તેની ઊંચાઈ અને તેના પાયા પર આવેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય તો તેની ગણતરી કરી શકાય છે. IN આ કિસ્સામાંજો આપવામાં આવે તો કોઈ વર્તુળના પરિઘમાંથી ત્રિજ્યા વ્યક્ત કરી શકે છે. જો જનરેટરનું મૂલ્ય શરતમાં ઉલ્લેખિત હોય તો ઊંચાઈ શોધી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, જનરેટિક્સ ઊંચાઈની બરાબર હશે. આ શરીરની બાજુની સપાટી માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે: S= 2 π rh.
• વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આધારનો વિસ્તાર ગણવામાં આવે છે: S osn = π r 2 . કેટલીક સમસ્યાઓમાં, ત્રિજ્યા આપી શકાતી નથી, પરંતુ પરિઘ આપી શકાય છે. આ સૂત્ર સાથે, ત્રિજ્યા એકદમ સરળતાથી વ્યક્ત થાય છે. С=2π r, r= С/2π. તમારે એ પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે ત્રિજ્યા અડધો વ્યાસ છે.
• આ બધી ગણતરીઓ કરતી વખતે, સંખ્યા π નો સામાન્ય રીતે 3.14159 માં અનુવાદ થતો નથી... તેને ફક્ત આગળ ઉમેરવાની જરૂર છે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, જે ગણતરીના પરિણામે પ્રાપ્ત થયું હતું.
• આગળ, તમારે ફક્ત પાયાના મળેલા ક્ષેત્રને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી સંખ્યામાં આકૃતિની બાજુની સપાટીનો ગણતરી કરેલ વિસ્તાર ઉમેરવાની જરૂર છે.
• જો સમસ્યા સૂચવે છે કે સિલિન્ડર સમાવે છે અક્ષીય વિભાગઅને આ એક લંબચોરસ છે, પછી ઉકેલ થોડો અલગ હશે. આ કિસ્સામાં, લંબચોરસની પહોળાઈ શરીરના પાયા પર પડેલા વર્તુળનો વ્યાસ હશે. આકૃતિની લંબાઈ સિલિન્ડરની જનરેટ્રીક્સ અથવા ઊંચાઈ જેટલી હશે. ગણતરી કરવાની જરૂર છે જરૂરી મૂલ્યોઅને તેને પહેલાથી જ જાણીતા ફોર્મ્યુલામાં બદલો. આ કિસ્સામાં, આધારનો વિસ્તાર શોધવા માટે લંબચોરસની પહોળાઈને બે વડે વિભાજિત કરવી આવશ્યક છે. બાજુની સપાટી શોધવા માટે, લંબાઈને બે ત્રિજ્યા અને સંખ્યા π વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
• તમે આપેલ ભૌમિતિક શરીરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી તેના વોલ્યુમ દ્વારા કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે V=π r 2 h સૂત્રમાંથી ગુમ થયેલ મૂલ્ય મેળવવાની જરૂર છે.
• સિલિન્ડરના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવામાં કંઈ જટિલ નથી. તમારે માત્ર સૂત્રો જાણવાની જરૂર છે અને તેમાંથી ગણતરીઓ હાથ ધરવા માટે જરૂરી જથ્થાઓ મેળવવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે.

પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર. આ લેખમાં આપણે નિયમિત પિરામિડની સમસ્યાઓ જોઈશું. હું તમને યાદ કરાવું કે નિયમિત પિરામિડ એ એક પિરામિડ છે જેનો આધાર નિયમિત બહુકોણ છે, પિરામિડની ટોચ આ બહુકોણની મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત છે.

આવા પિરામિડનો બાજુનો ચહેરો એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ નિયમિત પિરામિડ, એપોથેમ કહેવાય છે, SF - એપોથેમ:

નીચે પ્રસ્તુત સમસ્યાના પ્રકારમાં, તમારે સમગ્ર પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર અથવા તેની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે. બ્લોગે નિયમિત પિરામિડ સાથેની ઘણી સમસ્યાઓની ચર્ચા કરી છે, જ્યાં તત્વો (ઊંચાઈ, આધાર ધાર, બાજુની ધાર) શોધવાનો પ્રશ્ન ઊભો થયો હતો.

IN યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સોંપણીઓએક નિયમ તરીકે, નિયમિત ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણ અને ષટ્કોણ પિરામિડ ગણવામાં આવે છે. મેં નિયમિત પંચકોણીય અને હેપ્ટાગોનલ પિરામિડ સાથે કોઈ સમસ્યા જોઈ નથી.

સમગ્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર સરળ છે - તમારે પિરામિડના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે:

ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

આધારની બાજુઓ સાચી છે ચતુષ્કોણીય પિરામિડ 72 ની બરાબર છે, બાજુની પાંસળી 164 ની બરાબર છે. આ પિરામિડની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પિરામિડની સપાટીનો વિસ્તાર બાજુની સપાટી અને આધારના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલો છે:

*બાજુની સપાટી સમાન ક્ષેત્રફળના ચાર ત્રિકોણ ધરાવે છે. પિરામિડનો આધાર ચોરસ છે.

આપણે આનો ઉપયોગ કરીને પિરામિડની બાજુના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

આમ, પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર છે:

જવાબ: 28224

આધારની બાજુઓ સાચી છે ષટ્કોણ પિરામિડ 22 છે, બાજુની કિનારીઓ 61 છે. આ પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધો.

નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડનો આધાર નિયમિત ષટ્કોણ છે.

આ પિરામિડની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં 61,61 અને 22 બાજુઓ સાથે સમાન ત્રિકોણના છ ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે:

ચાલો હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:

આમ, બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે:

જવાબ: 3240

*ઉપર પ્રસ્તુત સમસ્યાઓમાં, બાજુના ચહેરાનો વિસ્તાર અન્ય ત્રિકોણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, પરંતુ આ માટે તમારે એપોથેમની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

27155. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર શોધો જેની પાયાની બાજુઓ 6 છે અને જેની ઊંચાઈ 4 છે.

પિરામિડની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ જાણવાની જરૂર છે:

આધારનું ક્ષેત્રફળ 36 છે કારણ કે તે બાજુ 6 સાથેનો ચોરસ છે.

બાજુની સપાટી ચાર ચહેરાઓ ધરાવે છે, જે છે સમાન ત્રિકોણ. આવા ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે, તમારે તેનો આધાર અને ઊંચાઈ (એપોથેમ) જાણવાની જરૂર છે:

*ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પાયાના ગુણાંક અને આ આધાર તરફ દોરેલી ઊંચાઈના અડધા જેટલું છે.

આધાર જાણીતો છે, તે છ બરાબર છે. ચાલો ઊંચાઈ શોધીએ. જમણો ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો (પીળા રંગમાં પ્રકાશિત):

એક પગ 4 ની બરાબર છે, કારણ કે આ પિરામિડની ઊંચાઈ છે, બીજો 3 ની બરાબર છે, કારણ કે તે છે અડધા સમાનઆધાર પાંસળી. અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણને શોધી શકીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે:

આમ, સમગ્ર પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર છે:

જવાબ: 96

27069. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુઓ 10 જેટલી હોય છે, બાજુની કિનારીઓ 13 જેટલી હોય છે. આ પિરામિડની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

27070. નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડના પાયાની બાજુઓ 10 જેટલી હોય છે, બાજુની કિનારીઓ 13 જેટલી હોય છે. આ પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીના વિસ્તાર માટેના સૂત્રો પણ છે. નિયમિત પિરામિડમાં, આધાર છે ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણબાજુની સપાટી, તેથી:

પી- આધાર પરિમિતિ, l- પિરામિડનું એપોથેમ

*આ સૂત્ર ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પર આધારિત છે.

જો તમે આ સૂત્રો કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે તે વિશે વધુ જાણવા માંગતા હો, તો તેને ચૂકશો નહીં, લેખોના પ્રકાશનને અનુસરો.બસ એટલું જ. તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

પિરામિડ- બહુકોણ અને ત્રિકોણમાંથી બનેલા પોલિહેડ્રોનની જાતોમાંની એક કે જે પાયા પર સ્થિત છે અને તેના ચહેરા છે.

તદુપરાંત, પિરામિડની ટોચ પર (એટલે ​​​​કે એક બિંદુએ) બધા ચહેરા એક થયા છે.

પિરામિડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તે નક્કી કરવું યોગ્ય છે કે તેની બાજુની સપાટી ઘણા ત્રિકોણ ધરાવે છે. અને અમે તેનો ઉપયોગ કરીને તેમના વિસ્તારો સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ

વિવિધ સૂત્રો. ત્રિકોણ વિશે આપણે જે ડેટા જાણીએ છીએ તેના આધારે, અમે તેમના ક્ષેત્રને શોધીએ છીએ.

અમે કેટલાક સૂત્રોની યાદી આપીએ છીએ જેનો ઉપયોગ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે થઈ શકે છે:

1. S = (a*h)/2 . આ કિસ્સામાં, આપણે ત્રિકોણની ઊંચાઈ જાણીએ છીએ h , જે બાજુ પર નીચે આવે છે a .
2. S = a*b*sinβ . અહીં ત્રિકોણની બાજુઓ છે a , b , અને તેમની વચ્ચેનો કોણ છે β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . અહીં ત્રિકોણની બાજુઓ છે a, b, c . ત્રિકોણમાં અંકિત થયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે આર .
4. S = (a*b*c)/4*R . ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે આર .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . આ સૂત્રજ્યારે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય ત્યારે જ ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
6. S = (a²*√3)/4 . અમે આ સૂત્રને સમભુજ ત્રિકોણ પર લાગુ કરીએ છીએ.

આપણા પિરામિડના ચહેરા હોય તેવા તમામ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કર્યા પછી જ આપણે તેની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીશું.

પિરામિડની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, કોઈ મુશ્કેલીઓ ઊભી થતી નથી: તમારે બધા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. ચાલો તેને સૂત્ર સાથે વ્યક્ત કરીએ:

Sp = ΣSi

અહીં સિ પ્રથમ ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે, અને એસ n - પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. નિયમિત પિરામિડને જોતાં, તેના બાજુના ચહેરા ઘણા સમબાજુ ત્રિકોણ દ્વારા રચાય છે,

« ભૂમિતિ એ આપણી માનસિક ક્ષમતાઓને તીક્ષ્ણ બનાવવાનું સૌથી શક્તિશાળી સાધન છે».

ગેલિલિયો ગેલિલી.

અને ચોરસ પિરામિડનો આધાર છે. વધુમાં, પિરામિડની ધારની લંબાઈ 17 સે.મી. ચાલો વિસ્તાર શોધીએઆ પિરામિડની બાજુની સપાટી.

અમે આના જેવું કારણ આપીએ છીએ: આપણે જાણીએ છીએ કે પિરામિડના ચહેરા ત્રિકોણ છે, તે સમભુજ છે. આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે આ પિરામિડની ધારની લંબાઈ કેટલી છે. તે અનુસરે છે કે બધા ત્રિકોણ સમાન છે બાજુઓ, તેમની લંબાઈ 17 સે.મી.

આ દરેક ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

તેથી, કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસ પિરામિડના પાયા પર આવેલો છે, તે તારણ આપે છે કે આપણી પાસે ચાર સમભુજ ત્રિકોણ છે. આનો અર્થ એ છે કે પિરામિડની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

અમારો જવાબ નીચે મુજબ છે: 500.548 cm² - આ પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે.

સૂચનાઓ

સૌ પ્રથમ, તે સમજવું યોગ્ય છે કે પિરામિડની બાજુની સપાટી ઘણા ત્રિકોણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જેનાં ક્ષેત્રો સૌથી વધુ ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. વિવિધ સૂત્રો, જાણીતા ડેટાના આધારે:

S = (a*h)/2, જ્યાં h એ ઉંચાઈ એ a ની બાજુમાં છે;

S = a*b*sinβ, જ્યાં a, b ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને β એ આ બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે;

S = (r*(a + b + c))/2, જ્યાં a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને r એ આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે;

S = (a*b*c)/4*R, જ્યાં R એ વર્તુળની ફરતે ઘેરાયેલ ત્રિકોણની ત્રિજ્યા છે;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (જો ત્રિકોણ કાટખૂણે હોય તો);

S = S = (a²*√3)/4 (જો ત્રિકોણ સમભુજ હોય ​​તો).

હકીકતમાં, આ ફક્ત સૌથી મૂળભૂત છે જાણીતા સૂત્રોત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે.

ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પિરામિડના ચહેરા હોય તેવા તમામ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કર્યા પછી, તમે આ પિરામિડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આ અત્યંત સરળ રીતે કરવામાં આવે છે: તમારે બધા ત્રિકોણના ક્ષેત્રો ઉમેરવાની જરૂર છે જે રચાય છે બાજુની સપાટીપિરામિડ આ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:

Sp = ΣSi, જ્યાં Sp એ બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે, Si એ i-th ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે, જે તેની બાજુની સપાટીનો ભાગ છે.

વધુ સ્પષ્ટતા માટે, આપણે એક નાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ: નિયમિત પિરામિડ આપવામાં આવે છે, જેની બાજુના ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ દ્વારા રચાય છે, અને તેના પાયા પર એક ચોરસ છે. આ પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આ પિરામિડની ધારની લંબાઈ 17 સેમી છે.

ઉકેલ: આ પિરામિડની ધારની લંબાઈ જાણીતી છે, તે જાણીતું છે કે તેના ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે બાજુની સપાટી પરના તમામ ત્રિકોણની બધી બાજુઓ 17 સેમી જેટલી છે તેથી, આમાંથી કોઈપણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે સૂત્ર લાગુ કરવું પડશે:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

તે જાણીતું છે કે પિરામિડના પાયા પર એક ચોરસ આવેલું છે. આમ, તે સ્પષ્ટ છે કે ડેટા સમભુજ ત્રિકોણચાર પછી પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

જવાબ: પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 500.548 cm² છે

પ્રથમ, ચાલો પિરામિડની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ. બાજુની સપાટી એ તમામ બાજુના ચહેરાઓના વિસ્તારોનો સરવાળો છે. જો તમે નિયમિત પિરામિડ સાથે કામ કરી રહ્યાં છો (એટલે ​​​​કે, જે તેના પાયા પર નિયમિત બહુકોણ ધરાવે છે, અને શિરોબિંદુ આ બહુકોણના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત છે), તો પછી સમગ્ર બાજુની સપાટીની ગણતરી કરવા માટે તે પરિમિતિને ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે. આધાર (એટલે ​​​​કે, બેઝ પિરામિડ પર પડેલા બહુકોણની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો) બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ દ્વારા (અન્યથા એપોથેમ કહેવાય છે) અને પરિણામી મૂલ્યને 2 વડે વિભાજીત કરો: Sb = 1/2P* h, જ્યાં Sb એ બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે, P એ આધારની પરિમિતિ છે, h એ બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે (એપોથેમ).

જો તમારી સામે મનસ્વી પિરામિડ હોય, તો તમારે બધા ચહેરાના વિસ્તારોની અલગથી ગણતરી કરવી પડશે અને પછી તેમને ઉમેરવા પડશે. પિરામિડના બાજુના ચહેરાઓ ત્રિકોણ હોવાથી, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: S=1/2b*h, જ્યાં b એ ત્રિકોણનો આધાર છે અને h એ ઊંચાઈ છે. જ્યારે બધા ચહેરાઓના વિસ્તારોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર મેળવવા માટે તેમને ઉમેરવાનું બાકી રહે છે.

પછી તમારે પિરામિડના પાયાના વિસ્તારની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ગણતરી માટેના સૂત્રની પસંદગી પિરામિડના પાયા પર કયા બહુકોણ છે તેના પર આધાર રાખે છે: નિયમિત (એટલે ​​​​કે, સમાન લંબાઈની બધી બાજુઓ સાથેનો એક) અથવા અનિયમિત. ચોરસ નિયમિત બહુકોણબહુકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા દ્વારા પરિમિતિનો ગુણાકાર કરીને અને પરિણામી મૂલ્યને 2 વડે વિભાજીત કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: Sn=1/2P*r, જ્યાં Sn એ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ છે, P એ પરિમિતિ છે અને r એ બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

કાપવામાં આવેલ પિરામિડ એ બહુહેડ્રોન છે જે પિરામિડ અને તેના ક્રોસ વિભાગ દ્વારા રચાય છે, આધારની સમાંતર. પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધવો બિલકુલ મુશ્કેલ નથી. તે ખૂબ જ સરળ છે: ક્ષેત્રફળ દ્વારા પાયાના અડધા સરવાળાના ગુણાંક સમાન છે. ચાલો બાજુની સપાટીના વિસ્તારની ગણતરીના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. ધારો કે આપણને નિયમિત પિરામિડ આપવામાં આવે છે. આધારની લંબાઈ b = 5 cm, c = 3 cm એપોથેમ a = 4 cm પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે પહેલા પાયાની પરિમિતિ શોધવાની જરૂર છે. મોટા પાયામાં તે p1=4b=4*5=20 cm બરાબર હશે. નાનો આધારસૂત્ર નીચે મુજબ હશે: p2=4c=4*3=12 cm તેથી, વિસ્તાર બરાબર હશે: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

જો પિરામિડના પાયા પર અનિયમિત બહુકોણ હોય, તો આખી આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે સૌપ્રથમ બહુકોણને ત્રિકોણમાં તોડવું પડશે, દરેકના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી પડશે અને પછી તેમને ઉમેરો. અન્ય કિસ્સાઓમાં, પિરામિડની બાજુની સપાટી શોધવા માટે, તમારે તેના દરેક બાજુના ચહેરાનો વિસ્તાર શોધવા અને પરિણામો ઉમેરવાની જરૂર છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પિરામિડની બાજુની સપાટી શોધવાનું કાર્ય સરળ બનાવી શકાય છે. જો એક બાજુનો ચહેરો આધારને લંબરૂપ હોય અથવા બે અડીને બાજુના ચહેરા પાયા પર લંબ હોય, તો પિરામિડનો આધાર તેની બાજુની સપાટીના ભાગનો ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ માનવામાં આવે છે, અને તે સૂત્રો દ્વારા સંબંધિત છે.

પિરામિડની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી પૂર્ણ કરવા માટે, બાજુની સપાટીના વિસ્તારો અને પિરામિડનો આધાર ઉમેરો.

પિરામિડ એ બહુકોણ છે, જેનો એક ચહેરો (આધાર) એક મનસ્વી બહુકોણ છે, અને બાકીના ચહેરાઓ (બાજુઓ) ત્રિકોણ ધરાવે છે. ખૂણાઓની સંખ્યા અનુસાર, પિરામિડના પાયા ત્રિકોણાકાર (ટેટ્રાહેડ્રોન), ચતુષ્કોણીય અને તેથી વધુ છે.

પિરામિડ એ બહુકોણના રૂપમાં આધાર ધરાવતો બહુહેડ્રોન છે, અને બાકીના ચહેરાઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ સાથે ત્રિકોણ છે. એપોથેમ એ નિયમિત પિરામિડની બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે, જે તેના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવે છે.

પિરામિડ એ બહુકોણ છે, જેનો આધાર બહુકોણ છે, અને બાજુના ચહેરા ત્રિકોણ છે જેમાં એક સામાન્ય શિરોબિંદુ હોય છે. ચોરસ સપાટીઓ પિરામિડબાજુના વિસ્તારોના સરવાળા સમાન સપાટીઓઅને મેદાન પિરામિડ.

તમને જરૂર પડશે

• કાગળ, પેન, કેલ્ક્યુલેટર

સૂચનાઓ

પ્રથમ આપણે બાજુના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ છીએ સપાટીઓ . બાજુની સપાટી દ્વારા અમારો અર્થ તમામ બાજુના ચહેરાઓનો સરવાળો થાય છે. જો તમે નિયમિત પિરામિડ (એટલે ​​​​કે, જેમાં નિયમિત બહુકોણ હોય છે અને શિરોબિંદુ આ બહુકોણના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે) સાથે કામ કરી રહ્યાં છો, તો પછી સમગ્ર બાજુની ગણતરી કરવા માટે સપાટીઓતે આધારની પરિમિતિને ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે (એટલે ​​​​કે, પાયા પર પડેલા બહુકોણની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો પિરામિડ) બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ દ્વારા (અન્યથા કહેવાય છે) અને પરિણામી મૂલ્યને 2 વડે વિભાજીત કરો: Sb=1/2P*h, જ્યાં Sb એ બાજુનો વિસ્તાર છે સપાટીઓ, પી - આધારની પરિમિતિ, h - બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ (એપોથેમ).

જો તમારી સામે મનસ્વી પિરામિડ હોય, તો તમારે બધા ચહેરાના વિસ્તારોની ગણતરી કરવી પડશે અને પછી તેમને ઉમેરવું પડશે. બાજુના ચહેરા હોવાથી પિરામિડછે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: S=1/2b*h, જ્યાં b એ ત્રિકોણનો આધાર છે અને h એ ઊંચાઈ છે. જ્યારે બધા ચહેરાના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે બાકીનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે તેમને ઉમેરવાનું બાકી છે. સપાટીઓ પિરામિડ.

પછી તમારે આધારના વિસ્તારની ગણતરી કરવાની જરૂર છે પિરામિડ. ગણતરી માટેની પસંદગી પિરામિડના પાયા પર બહુકોણ છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખે છે: નિયમિત (એટલે ​​​​કે, જેની બાજુઓ બધી સમાન લંબાઈ હોય) અથવા. ચોરસનિયમિત બહુકોણની ગણતરી બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા દ્વારા પરિમિતિનો ગુણાકાર કરીને અને પરિણામી મૂલ્યને 2 વડે વિભાજીત કરીને કરી શકાય છે: Sn = 1/2P*r, જ્યાં Sn એ બહુકોણનો વિસ્તાર છે, P છે પરિમિતિ, અને r એ બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

જો આધાર પર પિરામિડએક અનિયમિત બહુકોણ આવેલું છે, પછી સમગ્ર આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે તમારે ફરીથી બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવું પડશે, દરેકના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી પડશે અને પછી તેમને ઉમેરવા પડશે.

વિસ્તારની ગણતરી પૂર્ણ કરવી સપાટીઓ પિરામિડ, ચોરસ બાજુ ફોલ્ડ કરો સપાટીઓઅને મેદાન પિરામિડ.

વિષય પર વિડિઓ

બહુકોણ રજૂ કરે છે ભૌમિતિક આકૃતિ, તૂટેલી લાઇન બંધ કરીને બનાવવામાં આવે છે. બહુકોણના ઘણા પ્રકારો છે, જે શિરોબિંદુઓની સંખ્યાના આધારે અલગ પડે છે. વિસ્તારની ગણતરી દરેક પ્રકારના બહુકોણ માટે ચોક્કસ રીતે કરવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

જો તમારે ચોરસ અથવા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય તો બાજુઓની લંબાઈનો ગુણાકાર કરો. જો તમારે વિસ્તાર જાણવાની જરૂર હોય જમણો ત્રિકોણ, તેને એક લંબચોરસ બનાવો, તેના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો અને તેને બે વડે વિભાજીત કરો.

જો આકૃતિમાં 180 ડિગ્રી (એક બહિર્મુખ બહુકોણ) કરતાં વધુ ન હોય તો વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, જ્યારે તેના તમામ શિરોબિંદુઓ સંકલન ગ્રીડમાં હોય, અને તે પોતાને છેદે નહીં.
આવા બહુકોણની આસપાસ એક લંબચોરસ દોરો જેથી તેની બાજુઓ ગ્રીડ રેખાઓ (સંકલન અક્ષો) ની સમાંતર હોય. આ કિસ્સામાં, બહુકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક લંબચોરસનું શિરોબિંદુ હોવું આવશ્યક છે.

ફક્ત કાપેલામાં જ બે પાયા હોઈ શકે છે પિરામિડ. આ કિસ્સામાં, બીજો આધાર મોટા પાયાની સમાંતર વિભાગ દ્વારા રચાય છે પિરામિડ. એક શોધો કારણોજો તે જાણીતું હોય તો શક્ય છે અથવા રેખીય તત્વોબીજું

તમને જરૂર પડશે

• - પિરામિડના ગુણધર્મો;
• - ત્રિકોણમિતિ કાર્યો;
• - આંકડાઓની સમાનતા;
• - બહુકોણના વિસ્તારો શોધવા.

સૂચનાઓ

જો આધાર છે નિયમિત ત્રિકોણ, તેને શોધો ચોરસબાજુના વર્ગને 3 ના વર્ગમૂળ વડે ગુણાકાર કરીને 4 વડે ભાગ્યા. જો આધાર ચોરસ હોય, તો તેની બાજુને બીજી ઘાત સુધી વધારી દો. IN સામાન્ય કેસ, કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ માટે, સૂત્ર S=(n/4) a² ctg(180º/n) લાગુ કરો, જ્યાં n એ નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા છે, a તેની બાજુની લંબાઈ છે.

ફોર્મ્યુલા b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) નો ઉપયોગ કરીને નાના આધારની બાજુ શોધો. અહીં એક - મોટો આધાર, h – કાપેલી ઊંચાઈ પિરામિડ, α – ડાયહેડ્રલ કોણતેના આધાર પર, n – બાજુઓની સંખ્યા કારણો(તે સમાન છે). સૂત્રમાં તેની બાજુ S=(n/4) b² ctg(180º/n) ની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમની જેમ જ બીજા આધારનો વિસ્તાર શોધો.

જો પાયા અન્ય પ્રકારના બહુકોણ છે, તો તેમાંથી એકની બધી બાજુઓ જાણીતી છે કારણો, અને બીજી બાજુઓમાંથી એક, પછી બાકીની બાજુઓને સમાન ગણો. ઉદાહરણ તરીકે, મોટા પાયાની બાજુઓ 4, 6, 8 સે.મી. મોટી બાજુનાના પાયાના ઘા 4 સે.મી., 4/8 = 2 (દરેકમાં બાજુઓ લો કારણો), અને બીજી બાજુઓની ગણતરી કરો 6/2=3 cm, 4/2=2 cm આપણને બાજુના નાના પાયા પર 2, 3, 4 cm મળે છે. હવે તેમની ગણતરી ત્રિકોણના ક્ષેત્રો તરીકે કરો.

જો કાપેલા તત્વોમાં અનુરૂપ તત્વોનો ગુણોત્તર જાણીતો હોય, તો વિસ્તારોનો ગુણોત્તર કારણોઆ તત્વોના ચોરસના ગુણોત્તર સમાન હશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સંબંધિત પક્ષો જાણીતા છે કારણો a અને a1, પછી a²/a1²=S/S1.

હેઠળ વિસ્તાર પિરામિડસામાન્ય રીતે તેના બાજુના વિસ્તારનો ઉલ્લેખ કરે છે અથવા સંપૂર્ણ સપાટી. આ ભૌમિતિક શરીરના આધાર પર બહુકોણ છે. બાજુના ચહેરાપાસે ત્રિકોણાકાર આકાર. તેમની પાસે છે સામાન્ય શિરોબિંદુ, જે ટોચનું પણ છે પિરામિડ.

તમને જરૂર પડશે

• - કાગળની શીટ;
• - પેન;
• - કેલ્ક્યુલેટર;
• - આપેલ પરિમાણો સાથેનો પિરામિડ.

સૂચનાઓ

કાર્યમાં આપેલ પિરામિડને ધ્યાનમાં લો. બહુકોણ તેના આધાર પર નિયમિત છે કે અનિયમિત છે તે નક્કી કરો. સાચાની બધી બાજુઓ સમાન છે. આ કિસ્સામાં વિસ્તાર પરિમિતિ અને ત્રિજ્યાના અડધા ઉત્પાદન જેટલો છે. બાજુ l ની લંબાઈને બાજુઓની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને પરિમિતિ શોધો, એટલે કે, P=l*n. આધારનો વિસ્તાર So=1/2P*r સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં P એ પરિમિતિ છે અને r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

અનિયમિત બહુકોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી અલગ રીતે કરવામાં આવે છે. બાજુઓ વિવિધ લંબાઈ ધરાવે છે. થી

સમાંતરપાઈપ એ ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે અને તેના પાયા પર સમાંતર ચતુષ્કોણ છે. લેટરલ અને ગણતરી માટે તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે સંપૂર્ણ વિસ્તારઆકૃતિની સપાટીઓ, જેના માટે માત્ર સમાંતરના ત્રણ પરિમાણોની લંબાઈની જરૂર છે.

લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

લંબચોરસ અને સીધા સમાંતર પાઇપ વચ્ચે તફાવત કરવો જરૂરી છે. સીધી આકૃતિનો આધાર કોઈપણ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે છે. આવી આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી અન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવી આવશ્યક છે.

લંબચોરસ સમાંતર ના પાર્શ્વીય ચહેરાઓનો સરવાળો S એ સરળ સૂત્ર P*h નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, જ્યાં P એ પરિમિતિ છે અને h એ ઊંચાઈ છે. આકૃતિ દર્શાવે છે કે એક લંબચોરસ સમાંતર વિરોધી ચહેરાઓસમાન હોય છે, અને ઊંચાઈ h આધારની લંબરૂપ ધારની લંબાઈ સાથે એકરુપ હોય છે.

ક્યુબોઇડનો સપાટી વિસ્તાર

આકૃતિના કુલ ક્ષેત્રમાં બાજુ અને 2 પાયાના ક્ષેત્રનો સમાવેશ થાય છે. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો:

જ્યાં a, b અને c એ ભૌમિતિક શરીરના પરિમાણો છે.
વર્ણવેલ સૂત્રો સમજવામાં સરળ છે અને ભૂમિતિની ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ઉપયોગી છે. ઉદાહરણ લાક્ષણિક કાર્યનીચેની છબીમાં પ્રસ્તુત.

આ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે આધાર ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમઅવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આપણે પરિમાણ x અને 3 સાથે ચહેરાને આધાર તરીકે લઈએ, તો Sside ની કિંમતો અલગ હશે, અને Stotal 94 cm2 રહેશે.

ક્યુબનો સપાટી વિસ્તાર

ક્યુબ છે ક્યુબોઇડ, જેમાં તમામ 3 પરિમાણ એકબીજાના સમાન છે. આ સંદર્ભમાં, ક્યુબના કુલ અને બાજુના ક્ષેત્ર માટેના સૂત્રો પ્રમાણભૂત કરતા અલગ છે.

ક્યુબની પરિમિતિ 4a છે, તેથી, Sside = 4*a*a = 4*a2. આ અભિવ્યક્તિઓ યાદ રાખવા માટે જરૂરી નથી, પરંતુ કાર્યોના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવે છે.