રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય

જાહેર શૈક્ષણિક સંસ્થા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

"USSURI સ્ટેટ પેડાગોજિકલ ઇન્સ્ટિટ્યુટ"

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતની ફેકલ્ટી

ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં અભ્યાસક્રમ

વિષય: "સતત પરંતુ અલગ ન કરી શકાય તેવા કાર્યો"

દ્વારા પૂર્ણ: Plyasheshnik Ksenia

જૂથ 131 નો વિદ્યાર્થી

વડા: ડેલ્યુકોવા વાય.વી.

Ussuriysk - 2011

પરિચય ................................................... ........................................................ 3

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ................................................ ................................... 4

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય................................................ ................... ....... 5

વ્યુત્પન્ન વિના સતત કાર્યનું ઉદાહરણ................................. 10

વ્યાયામનો ઉકેલ ................................................. ..................................... 13

નિષ્કર્ષ ................................................... ..................................... 21

સંદર્ભો ................................................... ........................................ 22

પરિચય

અભ્યાસક્રમ કાર્ય સાતત્ય અને એક ચલના કાર્યના વ્યુત્પન્નના અસ્તિત્વ વચ્ચેના જોડાણના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. ધ્યેયના આધારે, નીચેના કાર્યો સેટ કરવામાં આવ્યા હતા:

1. શૈક્ષણિક સાહિત્યનો અભ્યાસ કરો;

2. વાન ડેર વેર્ડન દ્વારા બાંધવામાં આવેલ સતત કાર્યના ઉદાહરણનો અભ્યાસ કરો કે જેમાં કોઈપણ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન નથી;

3. કસરત પદ્ધતિ નક્કી કરો.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

બાર્ટેલ લીંડર્ટ વાન ડેર વેર્ડન (ડચ બાર્ટેલ લીંડર્ટ વેન ડેર વેર્ડન, ફેબ્રુઆરી 2, 1903, એમ્સ્ટરડેમ, નેધરલેન્ડ - 12 જાન્યુઆરી, 1996, ઝ્યુરિચ, સ્વિટ્ઝર્લેન્ડ) - ડચ ગણિતશાસ્ત્રી.

તેણે એમ્સ્ટરડેમ યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસ કર્યો, પછી ગોટીંગેન યુનિવર્સિટીમાં, જ્યાં એમી નોથેરનો તેમના પર ભારે પ્રભાવ હતો.

બીજગણિત, બીજગણિત ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં મુખ્ય કાર્યો, જ્યાં તેમણે (આન્દ્રે વેઇલ અને ઓ. ઝારિસ્કી સાથે) કઠોરતાનું સ્તર વધાર્યું, અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, જ્યાં તેમણે પ્રશ્નોના જૂથ સિદ્ધાંતના ઉપયોગ પર કામ કર્યું ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ(હર્મન વેઇલ અને યુ. વિગ્નર સાથે). તેમનું ક્લાસિક પુસ્તક આધુનિક બીજગણિત (1930) અમૂર્ત બીજગણિત પરના અનુગામી પાઠ્યપુસ્તકો માટેનું મોડેલ બન્યું અને ઘણી આવૃત્તિઓમાંથી પસાર થયું.

વેન ડેર વેર્ડેન ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં અગ્રણી નિષ્ણાતોમાંના એક છે. પ્રાચીન વિશ્વ. તેમનું જાગૃત વિજ્ઞાન (ઓન્ટવેકેન્ડે વેટેન્સચેપ 1950, રશિયન અનુવાદ 1959) માં ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રના ઇતિહાસનો વિસ્તૃત હિસાબ આપે છે. પ્રાચીન ઇજિપ્ત, બેબીલોન અને ગ્રીસ. આ પુસ્તકના રશિયન અનુવાદના પરિશિષ્ટમાં "ધ પાયથાગોરિયન ડોક્ટ્રિન ઑફ હાર્મની" (1943) લેખ છે - સંગીતની સંવાદિતા પર પાયથાગોરિયન મંતવ્યોની મૂળભૂત રજૂઆત.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય

એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા. ડાબી અને જમણી મર્યાદા

વ્યાખ્યા (કોચી મર્યાદા, ભાષામાં સંખ્યાને એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો

વ્યાખ્યા (પડોશની ભાષામાં) સંખ્યાને બિંદુ પરના કાર્યની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો સંખ્યાના કોઈપણ -પડોશ માટે બિંદુનો -પડોશી અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે જલદી

વ્યાખ્યા (હેઈન અનુસાર) જો કોઈ ક્રમમાં કન્વર્ઝન થાય તો સંખ્યાને બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, ફંક્શન મૂલ્યોનો અનુરૂપ ક્રમ સંખ્યા સાથે કન્વર્જ થાય છે

વ્યાખ્યા સંખ્યાને એક બિંદુ પર ફંક્શનની ડાબી મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો

વ્યાખ્યા એક સંખ્યાને બિંદુ પર કાર્યની જમણી મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો

પ્રમેય (મર્યાદાના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ)

એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ત્યાં ડાબી અને જમણી મર્યાદાઓ એકબીજાની સમાન હોય.

વ્યુત્પન્નનો ખ્યાલ. એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ.

સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને ધ્યાનમાં લો

1. ચાલો ઇન્ક્રીમેન્ટ લઈએ. ચાલો બિંદુને વધારો આપીએ.

2. ચાલો બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ. અને

3. .

4. .

અને દલીલની વૃદ્ધિ કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે, પછી આ મર્યાદાને બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. તે અનંત પણ હોઈ શકે છે.

બિંદુ પર ફંક્શનનું લેફ્ટ (ડાબી બાજુનું) વ્યુત્પન્ન , અને જો

એક મર્યાદિત મર્યાદા છે પછી તેને બિંદુ પરના કાર્યનું જમણું-હેન્ડ ડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે.

ફંક્શન એક બિંદુ પર હોય છે જો અને માત્ર જો તેના ડાબા અને જમણા ડેરિવેટિવ્સ બિંદુ પર એકરૂપ થાય:

( ( .

કાર્યને ધ્યાનમાં લો ચાલો બિંદુ પર એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ

આથી, ( =-1; ( =1 અને ( ( , એટલે કે, ફંક્શનને બિંદુ પર કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.

એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા 1 (મુખ્ય) કાર્યને બિંદુ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો કાર્યની મર્યાદા પર હોય મૂલ્યની સમાનઆ બિંદુએ કાર્યો.

વ્યાખ્યા 2 (ભાષામાં કાર્યને એક બિંદુ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો ε, δ>0, જેમ કે.

વ્યાખ્યા 3 (હેઈન અનુસાર, અનુક્રમની ભાષામાં) એક બિંદુ પર કાર્યને સતત કહેવામાં આવે છે જો કોઈ પણ ક્રમ બિંદુ પર કન્વર્જ થતા ફંક્શન મૂલ્યોનો અનુરૂપ ક્રમ .

વ્યાખ્યા 4 (વૃદ્ધિની ભાષામાં) જો દલીલની અમર્યાદિત વૃદ્ધિ ફંક્શનના અનંત વધારાને અનુરૂપ હોય તો બિંદુ પર કાર્યને સતત કહેવામાં આવે છે.

વિભેદક કાર્યનો ખ્યાલ

વ્યાખ્યા 1 સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરેલ કાર્ય (એક બિંદુએ તેને ડિફરન્સિએબલ કહેવામાં આવે છે જો આ બિંદુએ તેની વૃદ્ધિને (*) તરીકે રજૂ કરી શકાય, જ્યાં A કોન્સ્ટ, થી સ્વતંત્ર, પર અનંત છે

વ્યાખ્યા 2 એક ફંક્શન કે જે સમૂહમાં કોઈપણ બિંદુએ અલગ કરી શકાય તેવું હોય તેને સમૂહ પર વિભેદક કહેવાય છે.

ભિન્નતા અને સાતત્ય વચ્ચેનો સંબંધ

પ્રમેય. જો કોઈ ફંક્શન કોઈ બિંદુ પર અલગ હોય, તો તે બિંદુ પર સતત છે.

પુરાવો.

ફંક્શન આપવા દો જ્યાં બિંદુ પર ફંક્શન અલગ છે

કન્વર્ઝ પ્રમેય. જો ફંક્શન સતત હોય, તો તે અલગ છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય સાચું નથી.

B ભિન્નતાપાત્ર નથી, તેમ છતાં સતત.

વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ

વ્યાખ્યા એક કાર્ય જે બિંદુ પર સતત નથી તે બિંદુ પર અખંડિત છે, અને બિંદુ પોતે જ વિરામ બિંદુ કહેવાય છે.

વિરામ બિંદુઓના બે વર્ગીકરણ છે: પ્રકાર I અને પ્રકાર II.

વ્યાખ્યા એક બિંદુને પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો આ બિંદુએ એકબીજા સાથે અસમાન એકતરફી મર્યાદાઓ હોય.

વ્યાખ્યા એક બિંદુને દૂર કરી શકાય તેવા અંતરનો બિંદુ કહેવામાં આવે છે yva, જો , પરંતુ તેઓ બિંદુ પરના કાર્યના મૂલ્યની બરાબર નથી.

વ્યાખ્યા જો આ બિંદુએ એક બાજુની મર્યાદાઓ સમાન હોય અથવા એક બાજુની મર્યાદાઓમાંથી એક અનંત હોય અથવા બિંદુ પર કોઈ મર્યાદા ન હોય તો બિંદુને બીજા પ્રકારનો વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

· – અનંત

· – અનંત અથવા – અનંત

ચિહ્નો સમાન સંકલનની બાજુમાંવી

વેયરસ્ટ્રાસ ચિહ્ન.

જો સભ્યો કાર્યાત્મક શ્રેણી(1) ડોમેનમાં અસમાનતાઓને સંતોષો જ્યાં કેટલાક કન્વર્જન્ટનો શબ્દ છે સંખ્યા શ્રેણીપછી શ્રેણી (1) એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે.

પ્રમેય 1 વિધેયો દો એક અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આ અંતરાલના અમુક સમયે બધા સતત હોય છે. જો શ્રેણી (1) અંતરાલમાં એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય, તો બિંદુ પરની શ્રેણીનો સરવાળો પણ સતત રહેશે.

વ્યુત્પન્ન વિના સતત કાર્યનું ઉદાહરણ

આ પ્રકારનું પ્રથમ ઉદાહરણ વીયરસ્ટ્રાસ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું; તેનું કાર્ય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

જ્યાં 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). આ શ્રેણીને કન્વર્જન્ટ પ્રોગ્રેસન દ્વારા મુખ્ય કરવામાં આવે છે, તેથી (શ્રેણીના એકસમાન કન્વર્જન્સના ચિહ્નો), તે એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે, અને તેનો સરવાળો x નું સર્વત્ર સતત કાર્ય છે. ઉદ્યમી સંશોધન દ્વારા, વેયરસ્ટ્રાસ એ બતાવવામાં સક્ષમ હતા કે, તેમ છતાં, કોઈપણ સમયે તેના માટે કોઈ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી.

અહીં આપણે વાન ડેર વેર્ડન દ્વારા એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈશું, જે આવશ્યકપણે સમાન વિચાર પર બનેલ છે, માત્ર ઓસીલેટીંગ વણાંકો y = cosωχ ઓસીલેટીંગ તૂટેલી રેખાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

તેથી, ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ સંપૂર્ણ મૂલ્યસંખ્યા χ અને નજીકના પૂર્ણાંક વચ્ચેનો તફાવત. આ ફંક્શન ફોર્મના દરેક અંતરાલમાં રેખીય હશે, જ્યાં s પૂર્ણાંક છે; તે સતત છે અને તેનો સમયગાળો 1 છે. તેનો આલેખ તૂટેલી રેખા છે, તે ફિગ 1 માં બતાવેલ છે; તૂટેલી લાઇનની વ્યક્તિગત લિંક્સ ±1 નો કોણીય ગુણાંક ધરાવે છે.

ચાલો પછી k=1,2,3,… માટે ધારીએ:

આ ફંક્શન ફોર્મના અંતરાલોમાં રેખીય હશે; તે સતત પણ હોય છે અને તેનો સમયગાળો હોય છે. તેનો ગ્રાફ પણ તૂટી ગયો છે, પરંતુ નાના દાંત સાથે; ફિગ. 1(b), ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનનો ગ્રાફ બતાવે છે. બધા કિસ્સાઓમાં ઢોળાવતૂટેલી લાઇનની વ્યક્તિગત લિંક્સ અને અહીં ±1 ની બરાબર છે.

ચાલો હવે x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે, સમાનતા દ્વારા ફંક્શન f(x) વ્યાખ્યાયિત કરીએ

કારણ કે, દેખીતી રીતે, 0≤ (k =0,1,2,...), જેથી શ્રેણીને કન્વર્જન્ટ પ્રોગ્રેસન દ્વારા મુખ્ય કરવામાં આવે, તો પછી (વેઅરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના કિસ્સામાં) શ્રેણી એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે, અને ફંક્શન સર્વત્ર સતત છે.

ચાલો કોઈપણ મૂલ્ય પર અટકીએ. તેની અંદર (જ્યાં n = 0,1,2,...), ઉણપ અને અધિકતા દ્વારા ગણતરી કરીને, અમે તેને ફોર્મની સંખ્યાઓ વચ્ચે બંધ કરીશું:

≤ , પૂર્ણાંક ક્યાં છે.

(n =0,1,2,…).

તે દેખીતું છે કે બંધ અંતરાલો એક બીજાની અંદર માળખામાં હોય છે. તેમાંના દરેકમાં એક બિંદુ એવો છે કે બિંદુથી તેનું અંતર અંતરાલની અડધી લંબાઈ જેટલું છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ n વધે તેમ વિકલ્પો.

ચાલો હવે ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર બનાવીએ

=

પરંતુ જ્યારે k > n, સંખ્યા એ ફંક્શનના સમયગાળાનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે, ત્યારે શ્રેણીના અનુરૂપ પદો 0 માં ફેરવાય છે અને તેને અવગણી શકાય છે. જો k ≤ n હોય, તો પછી એક ફંક્શન કે જે અંતરાલમાં રેખીય છે તે તેના પર રહેલા અંતરાલમાં પણ રેખીય હશે, અને

(k=0,1,…,n).

આમ, આખરે આપણી પાસે છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે n બેકી હોય ત્યારે આ ગુણોત્તર સમ પૂર્ણાંક જેટલો હોય છે અને જ્યારે n સમ હોય ત્યારે વિષમ સંખ્યા હોય છે. અહીંથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર કોઈપણ મર્યાદિત મર્યાદાટેન્ડ્સ કરી શકતા નથી, તેથી અમારા ફંક્શનમાં કોઈ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી.

કસરતોનો ઉકેલ

વ્યાયામ 1 (, નંબર 909)

કાર્ય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: . સાતત્યનું અન્વેષણ કરો અને અસ્તિત્વ શોધો

Na એ બહુપદી તરીકે સતત છે;

ચાલુ (0;1) બહુપદી તરીકે સતત છે;

ઓન (1;2) એ બહુપદી તરીકે સતત છે;

ચાલુ (2; એ પ્રાથમિક કાર્ય તરીકે સતત છે.

ભંગાણ માટે શંકાસ્પદ બિંદુઓ

ડાબી મર્યાદા જમણી મર્યાદા જેટલી અને બિંદુ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની બરાબર હોવાથી, કાર્ય બિંદુ પર સતત રહે છે.

ડાબી મર્યાદા બિંદુ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની બરાબર હોવાથી, કાર્ય બિંદુ પર અવ્યવસ્થિત છે.

1 રસ્તો. એક બિંદુ પર ફંક્શનનું કોઈ સીમિત વ્યુત્પન્ન નથી, ચાલો આપણે તેનાથી વિરુદ્ધ ધારીએ. એક બિંદુ પર ફંક્શનનું મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન થવા દો એક બિંદુ પર સતત હોય છે (પ્રમેય 1 દ્વારા: જો કોઈ કાર્ય બિંદુ પર અલગ હોય, તો તે સતત છે.

પદ્ધતિ 2. ચાલો બિંદુ x =0 પર ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદા શોધીએ.

વ્યાયામ 2 (, №991)

તે કાર્ય બતાવો એક અવ્યવસ્થિત વ્યુત્પન્ન છે.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

બિંદુ પર મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી

કારણ કે - અનંત નાનું કાર્ય, - મર્યાદિત.

ચાલો સાબિત કરીએ કે કાર્ય બિંદુ પર કોઈ મર્યાદા નથી.

તેને સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે દલીલ મૂલ્યોના બે ક્રમ 0 માં કન્વર્જ થાય છે, જે કન્વર્જ થતા નથી

આઉટપુટ: કાર્ય બિંદુ પર કોઈ મર્યાદા નથી.

વ્યાયામ 3 (, નંબર 995)

બતાવો કે ફંક્શન જ્યાં સતત ફંક્શન છે અને બિંદુ પર કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી. એકતરફી ડેરિવેટિવ્સ શું સમાન છે?

એકતરફી મર્યાદાઓ સમાન નથી; કાર્યમાં બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન નથી.

વ્યાયામ 4 (, નંબર 996)

આપેલ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન કાર્ય ન હોય તેવા સતત કાર્યનું ઉદાહરણ બનાવો:

બિંદુઓ પર કાર્યને ધ્યાનમાં લો

ચાલો એકતરફી મર્યાદા શોધીએ

એકતરફી મર્યાદાઓ સમાન નથી; કાર્યમાં બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન નથી. તેવી જ રીતે, ફંક્શનમાં અન્ય બિંદુઓ પર કોઈ ડેરિવેટિવ્સ નથી

વ્યાયામ 5 (, નંબર 125)

બતાવો કે બિંદુ પર કાર્યનું કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનનો વધારો શોધીએ

ચાલો એક બિંદુ પર ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર દલીલની વૃદ્ધિ સાથે બનાવીએ

ચાલો હદ સુધી જઈએ

વ્યાયામ 6 (, №128)

તે કાર્ય બતાવો બિંદુ પર કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.

ચાલો ઈન્ક્રીમેન્ટ લઈએ ચાલો પોઈન્ટને ઈન્ક્રીમેન્ટ આપીએ

ચાલો બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ અને

ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનનો વધારો શોધીએ

ચાલો એક બિંદુ પર ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણોત્તર દલીલની વૃદ્ધિ સાથે બનાવીએ

ચાલો હદ સુધી જઈએ

નિષ્કર્ષ: બિંદુ પર મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી.

વ્યાયામ 7 (, №131)

સાતત્ય માટે કાર્ય તપાસો

- ભંગાણ માટે શંકાસ્પદ બિંદુ

ડાબી મર્યાદા બિંદુ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની બરાબર હોવાથી, કાર્ય બિંદુ પર સતત રહે છે અને પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ છે.

નિષ્કર્ષ

કોર્સ વર્ક "સતત પરંતુ વિભેદક કાર્યો નહીં" ની વિભાવનાથી સંબંધિત સામગ્રી રજૂ કરે છે, આ કાર્યના લક્ષ્યો પ્રાપ્ત કરવામાં આવ્યા છે, સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી છે.

સંદર્ભો

1. બી.પી. ડેમિડોવિચ, / કોર્સ માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ ગાણિતિક વિશ્લેષણ. ટ્યુટોરીયલભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત ફેકલ્ટીના વિદ્યાર્થીઓ માટે શિક્ષણશાસ્ત્રની સંસ્થાઓ. – એમ.: શિક્ષણ, 1990 –624 પૃષ્ઠ.

2. જી.એન. બર્મન, / ગાણિતિક વિશ્લેષણના અભ્યાસક્રમ માટે સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. – એમ.: નૌકા, 1977 – 416 પૃષ્ઠ.

3. G. M. Fikhtengolts, / કોર્સ ઓફ ડિફરન્શિયલ અને અભિન્ન કલનભાગ II. - એમ., વિજ્ઞાન, 1970-800.

4. I.A. વિનોગ્રાડોવા, /ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કાર્યો અને કસરતો, ભાગ 1. – એમ.: બસ્ટર્ડ, 2001 – 725 પૃષ્ઠ.

5. ઇન્ટરનેટ સંસાધન \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. ઇન્ટરનેટ સંસાધન \http://www.mahelp.spb.ru/ma.htm.

જટિલ વીયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં - કેટલાક વાસ્તવિક સંખ્યા, પરંતુ ક્યાં તો , અથવા તરીકે લખાયેલ છે. ફંક્શનના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અનુક્રમે કોસાઇન અને વેઇઅરસ્ટ્રાસ સિનુસોઇડ્સ કહેવામાં આવે છે.

કાર્ય સતત છે, પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી. જો કે, કેસમાં તેનું ઔપચારિક સામાન્યીકરણ સતત અને અલગ-અલગ બંને છે.

કાર્ય ઉપરાંત, આ વિભાગ તેના કેટલાક વિકલ્પોની ચર્ચા કરે છે; તેમની પ્રસ્તુતિની જરૂરિયાત વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનને ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતે આપેલા નવા અર્થને કારણે છે.

કાર્યનું આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ.શબ્દ "સ્પેક્ટ્રમ", મારા મતે, અર્થો સાથે ઓવરલોડ છે. આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ સમૂહનો સંદર્ભ આપે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોઅનુરૂપ ઘટકોના કંપનવિસ્તારને ધ્યાનમાં લીધા વિના ફ્રીક્વન્સીઝ.

સામયિક કાર્યનું આવર્તન વર્ણપટ એ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો ક્રમ છે. બ્રાઉનિયન ફંક્શનનું આવર્તન વર્ણપટ છે. વીયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું આવર્તન વર્ણપટ એ થી સુધીનો એક અલગ ક્રમ છે.

ફંક્શનનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ.સબ-એનર્જી સ્પેક્ટ્રમને અનુરૂપ ઘટકોના ઊર્જા મૂલ્યો (ચોરસ કંપનવિસ્તાર) સાથે મળીને અનુમતિપાત્ર આવર્તન મૂલ્યોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે. ફંક્શનમાં ફોર્મના દરેક આવર્તન મૂલ્ય માટે ફોર્મની ઊર્જાની વર્ણપટ રેખા હોય છે . પરિણામે, ફ્રીક્વન્સીઝ પર કુલ ઊર્જા મૂલ્ય કન્વર્જ થાય છે અને તેના પ્રમાણસર છે .

અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ગતિ સાથે સરખામણી.અમે અગાઉ ધ્યાનમાં લીધેલા અન્ય કેટલાક કેસોમાં કુલ ઉર્જા પ્રમાણસર છે: અપૂર્ણાંક સામયિક રેન્ડમ ફોરિયર-બ્રાઉન-વિનર ફંક્શન્સ, અનુમતિપાત્ર ફ્રીક્વન્સીઝ કે જેના માટે ફોર્મ છે , અને અનુરૂપ ફ્યુરિયર ગુણાંક સમાન છે; રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના પ્રમાણસર વસ્તીની સતત વર્ણપટની ઘનતા સાથે. નવીનતમ પ્રક્રિયાઓપ્રકરણ 27 માં વર્ણવેલ અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન કાર્યો કરતાં વધુ કંઈ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય બ્રાઉનિયન ગતિમાં વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના સંચિત સ્પેક્ટ્રમને શોધી શકાય છે, જેની વર્ણપટની ઘનતા પ્રમાણસર છે. નોંધપાત્ર તફાવત: બ્રાઉનિયન સ્પેક્ટ્રમ એકદમ સતત છે, જ્યારે ફ્યુરિયર-બ્રાઉન-વિનર અને વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શન્સનો સ્પેક્ટ્રા અલગ છે.

બિન-ભિન્નતા.એ સાબિત કરવા માટે કે ફંક્શનમાં કોઈપણ મૂલ્ય માટે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી, વેયરસ્ટ્રાસને બે જોડવા પડ્યા નીચેની શરતો: એક વિષમ પૂર્ણાંક છે, જેના પરિણામે ફંક્શન ફ્યુરિયર શ્રેણી છે, અને . જરૂરી અને પૂરતી શરતો(અને ) અમારા દ્વારા હાર્ડીના લેખમાંથી લેવામાં આવ્યા હતા.

ઊર્જા વપરાશ.સ્પેક્ટ્રા માટે ટેવાયેલા ભૌતિકશાસ્ત્રીને, હાર્ડીની સ્થિતિ સ્પષ્ટ લાગે છે. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી તેના ફ્યુરિયર ગુણાંકને વડે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે તેવા પ્રયોગમૂલક નિયમને લાગુ કરીને, ભૌતિકશાસ્ત્રી ફંક્શનના ઔપચારિક વ્યુત્પન્ન માટે શોધે છે કે ફ્યુરિયર ગુણાંક c નું ચોરસ કંપનવિસ્તાર બરાબર છે . θ કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ પર કુલ ઊર્જા અનંત હોવાથી, તે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે સ્પષ્ટ બને છે કે વ્યુત્પન્ન નક્કી કરી શકાતું નથી.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે રીમેન, બિન-વિભેદ્યતાના ઉદાહરણની શોધમાં, કાર્ય સાથે આવ્યા હતા , જેની સ્પેક્ટ્રલ ઉર્જા કરતાં વધુ ફ્રીક્વન્સીઝ પર , પ્રમાણસર છે, જ્યાં. આમ, સમાન હ્યુરિસ્ટિક તર્કનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ ધારી શકે છે કે વ્યુત્પન્ન બિન-વિભેદક છે. આ નિષ્કર્ષ માત્ર આંશિક રીતે સાચો છે, કારણ કે ચોક્કસ મૂલ્યો પર વ્યુત્પન્ન હજી પણ અસ્તિત્વમાં છે (જુઓ).

અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિચલન/આપત્તિ."આપત્તિ" શબ્દ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વીસમી સદીના પ્રથમ દાયકામાં દેખાયો, જ્યારે રેલે અને જીન્સે સ્વતંત્ર રીતે બ્લેકબોડી રેડિયેશનનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો, જે મુજબ આવર્તનની આસપાસની પહોળાઈની આવર્તન શ્રેણીની ઊર્જા પ્રમાણસર છે. આનો અર્થ એ છે કે સ્પેક્ટ્રમની કુલ ઊર્જા છે ઉચ્ચ આવર્તનઅનંત - જે સિદ્ધાંત માટે ખૂબ જ આપત્તિજનક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. મુશ્કેલીનો સ્ત્રોત સ્પેક્ટ્રમના અલ્ટ્રાવાયોલેટ ભાગની બહારની ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી આવતો હોવાથી, ઘટનાને અલ્ટ્રાવાયોલેટ (યુવી) આપત્તિ કહેવામાં આવે છે.

દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે પ્લાન્ક તેનું નિર્માણ કરે છે ક્વોન્ટમ થિયરીખંડેર પર કે જેમાં યુવી આપત્તિએ કિરણોત્સર્ગના સિદ્ધાંતને ફેરવ્યો.

ઐતિહાસિક પીછેહઠ.ચાલો નોંધ લઈએ (જોકે મને એ સમજાતું નથી કે આ પહેલાં કોઈએ આવું કેમ કર્યું નથી; કોઈ પણ સંજોગોમાં, મને ઉપલબ્ધ સ્ત્રોતોમાં સમાન કંઈ મળ્યું નથી) કે જૂના ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જૂના ગણિત બંનેના મૃત્યુનું કારણ એક જ છે. ભિન્નતા કે જે તેમની માન્યતાને નબળી પાડે છે સતત કાર્યોખાલી અલગ હોવા જોઈએ. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ પ્રતિક્રિયા આપી સરળ ફેરફારરમતના નિયમો, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ બિન-વિભેદક કાર્યો અને તેમના ઔપચારિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે જીવવાનું શીખવું પડ્યું. (બાદનું એ સામાન્યકૃત શ્વાર્ઝ ફંક્શનનું એકમાત્ર ઉદાહરણ છે જેનો વારંવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ થાય છે.)

સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ ડિસ્ક્રીટ સ્પેક્ટ્રમની શોધમાં. ઇન્ફ્રારેડ વિચલન.જોકે આવર્તન સ્પેક્ટ્રમબ્રાઉનિયન ફંક્શન સતત, સ્કેલ-અપરિવર્તનશીલ છે અને પર અસ્તિત્વમાં છે, સમાન મૂલ્યને અનુરૂપ વેઇઅરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમ અલગ છે અને મૂલ્ય દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે. નીચલી મર્યાદાની હાજરી માત્ર એ હકીકતને કારણે છે કે વેયરસ્ટ્રાસની સંખ્યા શરૂઆતમાં પૂર્ણાંક હતી, અને કાર્ય સામયિક હતું. આ સંજોગોને દૂર કરવા માટે, તેને દેખીતી રીતે માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લેવાની મંજૂરી આપવી જોઈએ. અને ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ સ્કેલ-અપરિવર્તક બનવા માટે, દરેક આવર્તન ઘટકને કંપનવિસ્તાર સાથે સાંકળવા માટે તે પૂરતું છે.

કમનસીબે, પરિણામી શ્રેણી અલગ પડે છે, અને ઓછી-આવર્તન ઘટકો જવાબદાર છે. આ ખામીને ઇન્ફ્રારેડ (IR) ડાયવર્જન્સ (અથવા "આપત્તિ") કહેવામાં આવે છે. ભલે તે બની શકે, આપણે આ વિચલનને સહન કરવું પડશે, કારણ કે અન્યથા નીચલી મર્યાદા ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમમાં સહજ સ્વ-સમાનતા સાથે સંઘર્ષમાં આવે છે.

સંશોધિત વેરસ્ટ્રાસ ફંક્શન, ફોકલ સમયના સંદર્ભમાં સ્વ-સંબંધિત.સૌથી સરળ પ્રક્રિયા, જે વ્યક્તિને વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનના ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમને મૂલ્ય સુધી ચાલુ રાખવા અને વિનાશક પરિણામોને ટાળવા માટે પરવાનગી આપે છે, તેમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: પ્રથમ આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ , અને માત્ર ત્યારે જ તેને માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લેવાની મંજૂરી આપો. મૂલ્યોને અનુરૂપ વધારાના શબ્દો એકરૂપ થાય છે, અને તેમનો સરવાળો સતત અને ભિન્ન હોય છે. કાર્ય આ રીતે સુધારેલ છે

હજુ પણ સતત છે, પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી.

વધુમાં, તે અર્થમાં સ્કેલ-અપરિવર્તક છે

.

તેથી કાર્ય પર આધાર રાખતો નથી. આપણે તેને અલગ રીતે કહી શકીએ: કાર્ય સાથે પર આધાર રાખતો નથી. એટલે કે, કાર્ય , તેના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો ફોર્મ અને ફોકલ સમયના મૂલ્યોના સંદર્ભમાં સ્વ-સંબંધિત છે.

ગૌસીયન રેન્ડમ કાર્યોસામાન્યકૃત વેરસ્ટ્રાસ સ્પેક્ટ્રમ સાથે.વાસ્તવવાદ અને વ્યાપક પ્રયોજ્યતા તરફ આગળનું પગલું એ સામાન્યકૃત વેરસ્ટ્રાસ ફંક્શનનું રેન્ડમાઇઝેશન છે. સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ કુદરતી પદ્ધતિસ્વતંત્ર સંકુલ ગૌસીયન દ્વારા તેના ફ્યુરીયર ગુણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલોશૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને એકમ તફાવત સાથે. પરિણામી ફંક્શનના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને યોગ્ય રીતે વેરસ્ટ્રાસ-ગૌસ (સુધારેલા) ફંક્શન કહી શકાય. કેટલાક અર્થમાં, આ કાર્યોને અંદાજિત અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન કાર્યો ગણી શકાય. જ્યારે મૂલ્યો એકરૂપ થાય છે, ત્યારે તેમનો સ્પેક્ટ્રા એ હકીકત જેટલો જ સમાન હોય છે કે આમાંના એક સ્પેક્ટ્રા સતત છે અને અન્ય અલગ પરવાનગી આપે છે. વધુમાં, ઓરે અને માર્કસના પરિણામો (જુઓ. પાનું 490) વેયરસ્ટ્રાસ-ગૉસ ફંક્શનને લાગુ પડે છે, અને તેમના લેવલ સેટના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ફંક્શનના લેવલ સેટના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો સાથે મેળ ખાય છે.

અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરાયેલ પૂર્વવર્તીને ધ્યાનમાં લેતા બ્રાઉનિયન ગતિ, આપણે ધારી શકીએ છીએ કે વેયરસ્ટ્રાસ-રેડેમેકર ફંક્શનના શૂન્ય-સેટ્સનું પરિમાણ બરાબર હશે. આ ધારણામાં પુષ્ટિ થયેલ છે, પરંતુ માત્ર પૂર્ણાંકો માટે.

સિંઘે વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શનની અન્ય ઘણી વિવિધતાઓનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. તેમાંના કેટલાકના સેટનું પરિમાણ શૂન્ય અંદાજવામાં સરળ છે. સામાન્ય રીતે, આધુનિક સૈદ્ધાંતિક વિચારની સિદ્ધિઓને ધ્યાનમાં લેતા, આ વિષય સ્પષ્ટપણે વધુ વિગતવાર અભ્યાસને પાત્ર છે.

વ્યાખ્યા 1. ફંક્શન કહેવાય છે વિભેદક બિંદુ પર , જો આ બિંદુએ તેની વૃદ્ધિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

, (2.1)

જ્યાં
અને તેના પર નિર્ભર નથી
, એ
ખાતે
.

પ્રમેય 1. કાર્ય
, બિંદુ પર અલગ જો અને માત્ર જો તે આ બિંદુએ મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન હોય
.

પુરાવો.આવશ્યકતા. કાર્ય કરવા દો
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું , એટલે કે સમાનતા (2.1) ધરાવે છે. માં વિભાજન કરવું
, અમને મળે છે
. ખાતે મર્યાદામાં જવું
, આપણે તે જોઈએ છીએ
, એટલે કે જમણી બાજુની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને તેની બરાબર છે એ, જેનો અર્થ છે કે ડાબી બાજુએ પણ મર્યાદા છે, એટલે કે.
, અને
.

પર્યાપ્તતા. તેને અસ્તિત્વમાં રહેવા દો
. પછી, પ્રકરણ 1 ના § 16 ના પ્રમેય 1 દ્વારા
, ક્યાં પર એક અનંત કાર્ય છે
. આથી, એટલે કે. કાર્ય બિંદુ પર અલગ છે .

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. પ્રમેય 1 થી તે અનુસરે છે કે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક કાર્ય ધરાવતા કાર્યની વિભાવનાઓ સમાન છે. તેથી, મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યને વિભેદક કહી શકાય, જે અમુક પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો કરે છે.

કાર્યોની સાતત્યતા અને ભિન્નતાના ગુણધર્મો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? થાય છે

પ્રમેય 2. જો કાર્ય
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું , પછી તે આ બિંદુએ સતત છે.

પુરાવો. કારણ કે બિંદુ પર
, આપણી પાસે છે, જેનો અર્થ બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય છે .

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વાતચીત સાચી નથી, એટલે કે, ત્યાં સતત કાર્યો છે જે અલગ નથી.

ઉદાહરણ 1. ચાલો બતાવીએ કે ફંક્શન
સતત પરંતુ એક બિંદુ પર અલગ નથી
.

ઉકેલ. ચાલો બિંદુ પર ફંક્શનનો વધારો શોધીએ
, ઇન્ક્રીમેન્ટને અનુરૂપ
દલીલ અમારી પાસે છે. તેથી જ
, એટલે કે, કાર્ય
એક બિંદુ પર સતત
. બીજી બાજુ,,

, એટલે કે બિંદુ પર એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ
સમાન નથી, તેથી, આ બિંદુએ આ કાર્ય અલગ નથી.

ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં એવા કાર્યોના ઉદાહરણો છે જે સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુ પર સતત હોય છે, પરંતુ વિભેદક નથી. તેમની પાસે એક જટિલ ડિઝાઇન છે.

પ્રમેય 3. કાર્ય કરવા દો
બિંદુ પર છે વ્યુત્પન્ન
, કાર્ય
અનુરૂપ બિંદુ પર છે
વ્યુત્પન્ન
. પછી જટિલ કાર્ય
બિંદુ પર છે વ્યુત્પન્ન

અથવા, ટૂંકમાં,
.

પુરાવો. ચાલો મૂલ્ય આપીએ વધારો
. પછી આપણને અનુરૂપ વધારો મળે છે
કાર્યો
અને વધારો
કાર્યો
. પ્રમેય 1 દ્વારા આપણી પાસે છે

, ક્યાં
ખાતે
.

.

નોંધ કરો કે જો
, પછી
પ્રમેય 2 દ્વારા, તેથી
. આથી,.

સમાનતાની જમણી બાજુએ મર્યાદા હોવાથી, ડાબી બાજુએ પણ મર્યાદા છે અને

.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. પ્રમેય 3 કેસ માટે સાબિત થયું છે જ્યારે જટિલ કાર્ય
એક મધ્યવર્તી ચલ છે
. જો ત્યાં ઘણા મધ્યવર્તી ચલો છે, તો વ્યુત્પન્નની ગણતરી સમાન રીતે કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો
,
,
, તે.

§ 3. ભિન્નતાના નિયમો. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન

પ્રમેય 1. કાર્ય કરવા દો
, સતત, સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ
અને આંતરિક બિંદુ પર અલગ આ સેગમેન્ટ, અને
. પછી વ્યસ્ત કાર્ય
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
, અને
.

પુરાવો. નોંધ કરો કે પ્રમેયની શરતો હેઠળ વ્યસ્ત કાર્ય
અસ્તિત્વમાં છે, અંતરાલ પર સતત અને સખત રીતે એકવિધ છે
પ્રકરણ 1 ના § 19 થી પ્રમેયના આધારે.

ચાલો તેનો અર્થ આપીએ વધારો
. પછી
ઇન્ક્રીમેન્ટ મળશે

(કાર્ય થી
સખત રીતે એકવિધ). તેથી આપણે લખી શકીએ છીએ
. ક્યારથી
વ્યસ્ત કાર્યની સાતત્યને કારણે અને
અને, ધારણા દ્વારા, ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે
, અમારી પાસે છે
. આ અસ્તિત્વ સૂચવે છે અને સમાનતા
.

ઉદાહરણપ્રમેય સાબિત થયો છે. 1. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો આર્ક્સીન,x આર્ક્સીન,આર્કોસ આર્ક્સીન,arctg આર્ક્સીન/

ઉકેલ arcctg
, અમારી પાસે છે
. પ્રમેય 1 દ્વારા આપણી પાસે છે (ત્યારથી

અને વત્તા ચિહ્ન સાથે રુટ લો).

પ્રમેયતેવી જ રીતે,
2. જો કાર્યો
અને બિંદુ પર ડેરિવેટિવ્ઝ છે , પછી બિંદુ પર
ડેરિવેટિવ્ઝ અને કાર્યો છે
(જો

) અને સૂત્રો માન્ય છે)
;એ)
;b)
.

પુરાવો.) અને સૂત્રો માન્ય છેવી
) દો વધારો
. ચાલો આપીએ . પછી કાર્યો,u,વિ y
, અને

ઇન્ક્રીમેન્ટ મળશે
. ) અને સૂત્રો માન્ય છેઅહીંથી

એવી
અને સમાનતા ) અને સૂત્રો માન્ય છે) સાબિત થયું છે.

,
. બિંદુ સમાન એ).

bવી
) અમારી પાસે છે
,
,
,, એટલે કે સૂત્ર ધરાવે છે b).

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

. અમારી પાસે છે, એટલે કે સૂત્ર ધરાવે છે
પરિણામો
.

. 1) જો ) અને સૂત્રો માન્ય છે, તે 2) ફોર્મ્યુલા) કોઈપણ માટે ધરાવે છે

પુરાવોમર્યાદિત સંખ્યા
શરતો

. 1) કારણ કે , અમારી પાસે છે. IN

ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લો
, ક્યાં . પછી કાર્યો 2. જો કાર્યો u- માંથી કેટલાક કાર્યો એક્સ. ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ ખાતેબિંદુ કે જ્યાં કાર્યો અલગ છે . પછી કાર્યો 2. જો કાર્યો u.આ કરવા માટે, કાર્યની કલ્પના કરો ખાતેફોર્મમાં
જટિલ કાર્યના ભિન્નતાના નિયમ દ્વારા, પ્રમેય 2 અને § 1 ના ઉદાહરણ 1 ના આધારે આપણી પાસે

આમ,

નોંધ કરો કે પરિણામી સૂત્રમાં પ્રથમ શબ્દ ભિન્નતાનું પરિણામ છે કેવી રીતે ઘાતાંકીય કાર્ય, અને બીજું - જેમ પાવર કાર્ય. ઉપયોગમાં લેવાતી વિભેદક તકનીક કહેવામાં આવે છે લઘુગણક તફાવત . જ્યારે ફંક્શનને અલગ પાડવામાં આવે છે તે ઘણા પરિબળોનું ઉત્પાદન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો પણ અનુકૂળ હોઈ શકે છે.

ચાલો હવે ફંક્શનના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણ તરફ આગળ વધીએ. જો કાર્ય નિર્ભરતા ખાતેદલીલ થી એક્સસીધા સેટ નથી, પરંતુ કેટલાક ત્રીજા ચલનો ઉપયોગ કરીને t, પરિમાણ કહેવાય છે, સૂત્રો

, (3.1)

પછી તેઓ કહે છે કે કાર્ય ખાતેથી એક્સપેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત.

જો એક્સ 2. જો કાર્યો ખાતેપ્લેન પરના બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે, પછી સમીકરણો (3.1) દરેક મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલા છે
બિંદુ
વિમાનમાં. પરિવર્તન સાથે tબિંદુ
પ્લેન પરના કેટલાક વળાંકનું વર્ણન કરે છે. સમીકરણો (3.1) ને આ વળાંકના પેરામેટ્રિક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો

(3.2)

અર્ધ-અક્ષો સાથે લંબગોળના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે ) અને સૂત્રો માન્ય છે 2. જો કાર્યો b.

જો (3.1) માં સમીકરણ
પ્રમાણમાં પરવાનગી છે t,
, તે પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણકાર્યોને સ્પષ્ટ રીતે ઘટાડી શકાય છે:

.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ ફંક્શન પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે. આ કરવા માટે, ધારો કે કાર્યો
2. જો કાર્યો
વિભેદક, અને
અમુક અંતરાલ પર, અને કાર્ય માટે
ત્યાં એક વ્યસ્ત કાર્ય છે
, મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન કર્યા
. પછી, જટિલ અને ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર વ્યસ્ત કાર્યોઅમે શોધીએ છીએ:
. આમ,

. (3.3)

ઉદાહરણ તરીકે, વ્યુત્પન્ન સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય (3.2) ફોર્મ ધરાવે છે

.

એક બિંદુ પર પરિમાણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત વળાંક માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ
પરિમાણ મૂલ્યને અનુરૂપ , સમીકરણ (1.4) માંથી મેળવવામાં આવે છે, જો તેના બદલે
અવેજી :

,

અહીંથી
અમારી પાસે છે

. (3.4)

એ જ રીતે, સમીકરણ (1.5) થી આપણે સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અથવા (3.5)

ચાલો હવે મૂળભૂતના ડેરિવેટિવ્ઝના સારાંશ કોષ્ટકો લખીએ પ્રાથમિક કાર્યોઅને અગાઉ મેળવેલ ભિન્નતાના નિયમો.

ભિન્નતાના નિયમો

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

5. જો
પરિણામો
.
6. જો
.

તે
7. જો
. 8..

તે પછી, વ્યસ્ત કાર્ય છે

1.
, ક્યાં
. 2.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

3.
. 4.
.
.

5.
. 6.
.

7.
. 8.
.

9.
. 10.
.

11.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
. 12.
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
.

, ખાસ કરીને, ચાલો પ્લેન પર એક રસપ્રદ સેટ બનાવીએ IN
નીચે પ્રમાણે: વિભાજીત કરો, ચોરસ સીધી રેખાઓ દ્વારા 9 સુધીમાંઅને મૂળ ચોરસના શિરોબિંદુઓને અડીને નહીં, તેમાંથી પાંચને ખુલ્લામાં ફેંકી દો. પછી, અમે બાકીના દરેક ચોરસને 9 ભાગોમાં પણ વિભાજીત કરીએ છીએ, અને તેમાંથી પાંચને કાઢી નાખીએ છીએ, વગેરે. ગણતરીપાત્ર સંખ્યાના પગલાં પછી બાકી રહેલ સેટ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે બીઅને ચાલો ફોન કરીએ સિઅરપિન્સકી કબ્રસ્તાન. ચાલો કાઢી નાખવામાં આવેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ:

સિઅરપિન્સકી કબ્રસ્તાન સંપૂર્ણ છે અને ક્યાંય નથી ગાઢ સમૂહ.

ચાલો સમૂહની ખંડિત રચનાની નોંધ લઈએ.

2.2 કેન્ટરનો કાંસકો

ચાલો ફોન કરીએ કેન્ટર કાંસકોઘણા ડીપ્લેનમાં ઓક્સી, તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરે છે
, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેની શરતોને સંતોષે છે:
, ક્યાં
- ધરી પર કેન્ટર સેટ ઓય. કેન્ટર કાંસકો એ પ્લેનમાં ક્યાંય પણ ગાઢ સેટ નથી. ઘણા ડીતમામ બિંદુઓ સમાવે છે
મૂળ એકમ ચોરસ, જેના એબ્સીસાસ મનસ્વી છે
, અને ઓર્ડિનેટ્સને તૃતીય અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે જેમાં તેના તૃતીય ચિહ્નો વચ્ચે એકમ નથી.

શું તે સેટ કરવું શક્ય છે બી(સિઅરપિન્સકી કબ્રસ્તાન) અને ડી(કેન્ટર કોમ્બ) કેન્ટર સમૂહ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે
સેગમેન્ટના પૂરક અને કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનની કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને? તે સ્પષ્ટ છે કે સેટ બી 2. જો કાર્યો ડીસરળ રીતે વ્યક્ત કરો:

બી=
x

ડી= x

3 કેન્ટર કાર્ય

શું આ સેગમેન્ટ પર જ સેગમેન્ટ પર ક્યાંય ગાઢ ન હોય તેવા સેટને સતત મેપ કરવાનું શક્ય છે?

હા, ચાલો કેન્ટર સેટ લઈએ, જે ક્યાંય ગાઢ નથી. બાંધકામના પ્રથમ પગલા પર, અમે પ્રથમ પ્રકારના સંલગ્ન અંતરાલના બિંદુઓ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય 0.5 જેટલું સેટ કરીએ છીએ. બીજા પગલા પર, બીજા પ્રકારના દરેક સંલગ્ન અંતરાલ માટે આપણે અનુક્રમે ફંક્શન વેલ્યુ 0.25 અને 0.75 અસાઇન કરીએ છીએ. તે. આપણે દરેક સેગમેન્ટને અક્ષમાં વિભાજીત કરીએ છીએ ઓયઅડધા ભાગમાં ( વિ i) અને અનુરૂપ સંલગ્ન અંતરાલમાં મૂલ્યની સમાન ફંક્શનની કિંમત સેટ કરો યી.

પરિણામે, અમને એક બિન-ઘટતું કાર્ય પ્રાપ્ત થયું (તે "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાં સાબિત થયું હતું), સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત અને સેટમાંથી દરેક બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં સ્થિર \
. બાંધકામ કાર્ય
કહેવાય છે કેન્ટર કાર્ય(કેન્ટર ફંક્શન), અને તેનો આલેખ નીચે છે ""શેતાનની સીડી"".

ફંક્શનની ફ્રેક્ટલ સ્ટ્રક્ચર નોંધો:

કાર્ય
નીચેની અસમાનતાને સંતોષે છે:

કેન્ટર ફંક્શન અંતરાલ પર સતત છે. તે ઘટતું નથી અને તેના મૂલ્યોનો સમૂહ સમગ્ર સેગમેન્ટની રચના કરે છે. તેથી, કાર્ય
કોઈ કૂદકા નથી. અને કારણ કે એકવિધ કાર્યમાં કૂદકા સિવાય અન્ય વિરામ બિંદુઓ હોઈ શકતા નથી (સાતત્ય માપદંડ જુઓ એકવિધ કાર્યો), પછી તે સતત છે.

એક રસપ્રદ અવલોકન એ છે કે સતત કેન્ટર કાર્યનો ગ્રાફ
"કાગળમાંથી પેન્સિલ ઉપાડ્યા વિના" દોરવાનું અશક્ય છે.

1. એક કાર્ય કે જે દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી

ચાલો એક સહાયક કાર્ય બનાવીએ
એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું:

અને
.

આગળ આપણે પરિમાણને ઠીક કરીએ છીએ . પ્રથમ અને પછીના પગલાઓ પર આપણે તે મુજબ પોઈન્ટ સેટ કરીશું આગામી નિયમ: x-અક્ષ સાથે અડીને દરેક બે અગાઉ બાંધેલા બિંદુઓ માટે 2. જો કાર્યો અમે બે નવા પોઈન્ટ બનાવીશું 2. જો કાર્યો બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસના કેન્દ્રની તુલનામાં કેન્દ્રિય સપ્રમાણતા 2. જો કાર્યો ગુણાંક સાથે k. એટલે કે, પ્રથમ પગલા પર બે નવા મુદ્દા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે:

અને
, વગેરે

ચાલુ (m+1)-એબ્સીસાસ સાથે અગાઉ બાંધેલા પોઈન્ટ ઉપરાંત om પગલું

,

નજીકના પહેલાથી બાંધેલા બિંદુઓ વચ્ચે x-અક્ષ સાથે તમામ જગ્યાઓમાં બે બિંદુઓ બાંધવામાં આવે છે. આ બાંધકામ નીચે પ્રમાણે હાથ ધરવામાં આવે છે: અડીને આવેલા બિંદુઓ (બાજુઓ સાથે લંબચોરસ) વચ્ચેના એબ્સીસા અક્ષ સાથેની જગ્યાઓ a 2. જો કાર્યો b) દરેકને 3 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. પછી નીચેની યોજનાઓમાંથી એક અનુસાર બે નવા બિંદુઓ બનાવવામાં આવે છે:

પડોશી બિંદુઓમાંથી કયા પર આધાર રાખે છે અથવા ઉપર, ડાબી અથવા જમણી યોજનાનો ઉપયોગ કરો. પ્રથમ પગલા પર, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, અમે સ્વીકારીએ છીએ a = b = 1.

અમે m = 1, 2, 3, …. માટે ગણનાપાત્ર સંખ્યામાં બાંધકામનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે એક ફ્રેકટલ મેળવીશું જે દરેક સ્ટ્રીપમાં સમાવિષ્ટ તેના કોઈપણ ભાગોના અમુક સંલગ્ન રૂપાંતરણ (સ્ટ્રેચિંગ, કમ્પ્રેશન, રોટેશન) સુધી સમાન હશે:

;

ફ્રેક્ટલ બાંધવાના પરિણામે, આપણે ફંક્શન મેળવીએ છીએ
, પોઈન્ટના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત

,
;
(*)

જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

બાંધવામાં આવેલ કાર્યમાં કયા ગુણધર્મો છે?

ફોર્મ (*) ના દરેક બિંદુએ ક્યાં તો કડક મહત્તમ અથવા કડક લઘુત્તમ છે, એટલે કે. કાર્ય(આર્ક્સીન) g

ક્યાંય મોનોટોનિક નથી, અને સેગમેન્ટ પર કડક આત્યંતિક બિંદુઓના ગાઢ સેટ છે;

ફંક્શન g(x) સતત છે, અને પોઈન્ટ (*) ના સમૂહ પર પણ એકસરખી રીતે સતત છે; સેગમેન્ટ પર સતત બાંધવામાં આવેલ ફંક્શનમાં કોઈપણ બિંદુ નથીઆ સેગમેન્ટના

એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ પણ;

ઉપરોક્ત ગુણધર્મો "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાં સાબિત થયા હતા. ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, અમે પરિમાણ ધારણ કર્યું છે

. આ પરિમાણના મૂલ્યને બદલીને, તમે ફંક્શનના પરિવારોને તેમના પોતાના વિશિષ્ટ ગુણધર્મો સાથે મેળવી શકો છો.

ચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: .

આગળ આપણે પરિમાણને ઠીક કરીએ છીએ. પ્રથમ અને પછીના પગલાઓ પર, અમે નીચેના નિયમ અનુસાર પોઈન્ટનો ઉલ્લેખ કરીશું: એબ્સીસા અક્ષને અડીને આવેલા દરેક બે અગાઉ બાંધેલા પોઈન્ટ માટે, અમે બે નવા પોઈન્ટ બનાવીશું અને પોઈન્ટ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસના કેન્દ્રને કેન્દ્રીય રીતે સમપ્રમાણરીતે સાપેક્ષ બનાવીશું. ગુણાંક સાથે k. એટલે કે, પ્રથમ પગલા પર બે નવા મુદ્દા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે:

ચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: , વગેરે

ચાલુ (m+1)-એબ્સીસાસ સાથે અગાઉ બાંધેલા પોઈન્ટ ઉપરાંત om પગલું

,

નજીકના પહેલાથી બાંધેલા બિંદુઓ વચ્ચે x-અક્ષ સાથે તમામ જગ્યાઓમાં બે બિંદુઓ બાંધવામાં આવે છે. આ બાંધકામ નીચે પ્રમાણે હાથ ધરવામાં આવે છે: અડીને આવેલા બિંદુઓ (બાજુઓ સાથે લંબચોરસ) વચ્ચેના એબ્સીસા અક્ષ સાથેની જગ્યાઓ aચાલો એક સેગમેન્ટ પર સ્ટેપ બાય સ્ટેપ પર સહાયક ફંક્શન બનાવીએ. શૂન્ય સ્ટેપ પર આપણે બે પોઈન્ટ સેટ કરીશું: b) દરેકને 3 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. પછી નીચેની યોજનાઓમાંથી એક અનુસાર બે નવા બિંદુઓ બનાવવામાં આવે છે:

પડોશી બિંદુઓમાંથી કયો ઉચ્ચ અથવા વધુ છે તેના આધારે, અમે ડાબી અથવા જમણી યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ પગલા પર, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, અમે સ્વીકારીએ છીએ a = b = 1.

અમે m = 1, 2, 3, …. માટે ગણનાપાત્ર સંખ્યામાં બાંધકામનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે એક ફ્રેકટલ મેળવીશું જે ચોક્કસ સુધી સમાન હશે સંલગ્ન રૂપાંતરદરેક સ્ટ્રીપમાં સમાયેલ તેના કોઈપણ ભાગોનું (સ્ટ્રેચિંગ, કમ્પ્રેશન, રોટેશન)

;

ફ્રેક્ટલ બનાવવાના પરિણામે, આપણે પોઈન્ટના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય મેળવીએ છીએ

જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

બાંધવામાં આવેલ કાર્યમાં કયા ગુણધર્મો છે?

· ફોર્મ (*) ના દરેક બિંદુ પર ક્યાં તો કડક મહત્તમ અથવા કડક લઘુત્તમ છે, એટલે કે. કાર્ય g(x)ક્યાંય મોનોટોનિક નથી, અને સેગમેન્ટ પર કડક આત્યંતિક બિંદુઓના ગાઢ સેટ છે;

· ફંક્શન g(x) સતત છે, અને પોઈન્ટ (*) ના સમૂહ પર પણ એકસરખી રીતે ચાલુ છે;

સેગમેન્ટ પર સતત બનેલા ફંક્શનમાં આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુએ એકતરફી ડેરિવેટિવ્સ પણ હોતા નથી;

ઉપરોક્ત ગુણધર્મો "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાં સાબિત થયા હતા.

ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, અમે પરિમાણ ધારણ કર્યું છે. આ પરિમાણના મૂલ્યને બદલીને, તમે ફંક્શનના પરિવારોને તેમના પોતાના વિશિષ્ટ ગુણધર્મો સાથે મેળવી શકો છો.

· આ કાર્યો સતત અને સખત રીતે એકવિધ રીતે વધી રહ્યા છે. તેમની પાસે પોઈન્ટના સેટ પર શૂન્ય અને અનંત ડેરિવેટિવ્ઝ (અનુક્રમે, ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ) છે જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

· પ્રાપ્ત રેખીય કાર્ય y = x

· ફંક્શનના પરિવારના ગુણધર્મો પ્રથમ શ્રેણીમાંથી k ના મૂલ્યો જેવા જ છે.

· અમે Cantor ફંક્શન મેળવ્યું છે, જેનો અમારા દ્વારા અગાઉ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

· આ ફંક્શન્સ સતત છે, ક્યાંય એકવિધ નથી, કડક મિનિમા અને મેક્સિમા, શૂન્ય અને અનંત (બંને ચિહ્નોના) એકતરફી વ્યુત્પન્ન બિંદુઓના સેટ પર છે જે સેગમેન્ટમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

· . આ કાર્યઉપર અમારા દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

· આ શ્રેણીમાંથી ફંક્શનમાં ફંક્શન પરના સમાન ગુણધર્મો છે.

નિષ્કર્ષ.

મારા કાર્યમાં, મેં "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સમાંથી કેટલાક ઉદાહરણોનો અમલ કર્યો. IN આ કામમેં વિઝ્યુલાઇઝ કરેલા પ્રોગ્રામ્સના સ્ક્રીનશોટ દાખલ કરવામાં આવ્યા હતા. હકીકતમાં, તેઓ બધા ઇન્ટરેક્ટિવ છે; ચોક્કસ પગલું, તેને પુનરાવર્તિત રીતે જાતે બનાવો અને સ્કેલને નજીક લાવો. બાંધકામ અલ્ગોરિધમ્સ, તેમજ કેટલાક પુસ્તકાલય કાર્યો હાડપિંજરમાટે ખાસ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા અને સુધારેલ હતા આ પ્રકારસમસ્યાઓ (મુખ્યત્વે ફ્રેકટલ્સ ગણવામાં આવતા હતા).

આ સામગ્રી નિઃશંકપણે શિક્ષકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થશે અને "ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો" કોર્સના પ્રવચનો માટે સારો સાથ છે. આ વિઝ્યુલાઇઝેશનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ બાંધવામાં આવેલા સેટની પ્રકૃતિને વધુ સારી રીતે સમજવામાં અને વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સામગ્રીને સમજવાની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

વર્ણવેલ પ્રોગ્રામ્સ www.visualmath.ru પ્રોજેક્ટના વિઝ્યુઅલ મોડ્યુલોની લાઇબ્રેરીમાં શામેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અહીં કેન્ટર ફંક્શન છે જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે:

ભવિષ્યમાં, વિઝ્યુલાઇઝ્ડ કાર્યોની સૂચિને વિસ્તૃત કરવાની અને વધુ માટે બાંધકામ એલ્ગોરિધમ્સમાં સુધારો કરવાની યોજના છે. કાર્યક્ષમ કાર્યકાર્યક્રમો www.visualmath.ru પ્રોજેક્ટમાં કામ કરવાથી નિઃશંકપણે ઘણો લાભ અને અનુભવ, ટીમ વર્ક કૌશલ્યો, શક્ય તેટલી સ્પષ્ટ રીતે શૈક્ષણિક સામગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની અને પ્રસ્તુત કરવાની ક્ષમતા મળી છે.

સાહિત્ય.

1. બી. ગેલ્બૌમ, જે. ઓલ્મસ્ટેડ, વિશ્લેષણમાં પ્રતિઉદાહરણ. એમ.: મીર.1967.

2. બી.એમ. મકારોવ એટ અલ વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ. નેવસ્કી બોલી, 2004.

3. બી. મેન્ડેલબ્રોટ. પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ. ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર કોમ્પ્યુટર સ્ટડીઝ, 2002.

4. યુ.એસ. ઓચન, TFDP પર સમસ્યાઓ અને પ્રમેયનો સંગ્રહ. એમ.: જ્ઞાન. 1963.

5. વી.એમ. ગાણિતિક વિશ્લેષણ દરમિયાન શિબિન્સકી ઉદાહરણો અને પ્રતિઉદાહરણ. એમ.: સ્નાતક શાળા, 2007.

6. આર.એમ ગતિશીલ સિસ્ટમો, એમ.: પોસ્ટમાર્કેટ, 2000.

7. એ. એ. નિકિટિન, ગાણિતિક વિશ્લેષણના પસંદ કરેલા પ્રકરણો // મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 2011 / એડ. એસ.એ. લોઝકિન. એમ.: મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સ અને મેથેમેટિક્સ ફેકલ્ટીનો પ્રકાશન વિભાગ. એમ.વી. લોમોનોસોવા, 2011. પૃષ્ઠ 71-73.

8. આર.એમ. ક્રોનોવર, ફ્રેક્ટલ્સ એન્ડ ચેઓસ ઇન ડાયનેમિક સિસ્ટમ્સ, એમ.: પોસ્ટમાર્કેટ, 2000.

9. દરેક જગ્યાએ સતત, પરંતુ ક્યાંય બિન-વિભેદક કાર્ય // XVI ઇન્ટરનેશનલ લોમોનોસોવ રીડિંગ્સ: કલેક્શન વૈજ્ઞાનિક કાર્યો. – અર્ખાંગેલ્સ્ક: પોમેરેનિયન સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 2004. P.266-273.

ખુલ્લા સમૂહોની ગણતરીપાત્ર સંખ્યા (સંલગ્ન અંતરાલો)નું જોડાણ ખુલ્લું છે, અને ખુલ્લા સમૂહનું પૂરક બંધ છે.

બિંદુનો કોઈપણ પડોશી ) અને સૂત્રો માન્ય છેકેન્ટર સેટ, માંથી ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ છે, તેનાથી અલગ છે એ.

બંધ અને સમાવતું નથી અલગ બિંદુઓ(દરેક બિંદુ એક મર્યાદા છે).

ત્યાં વધુમાં વધુ એક ગણી શકાય એવો સમૂહ છે જે દરેક જગ્યાએ ગાઢ છે.

A સમૂહ A જગ્યા R માં ક્યાંય ગીચ નથી જો કોઈ હોય તો ઓપન સેટઆ જગ્યામાં બીજો ખુલ્લો સમૂહ છે, જે સમૂહ A ના બિંદુઓથી સંપૂર્ણપણે મુક્ત છે.

એક બિંદુ, જેમાંથી કોઈપણ પડોશમાં આપેલ સમૂહના પોઈન્ટનો અગણિત સમૂહ હોય છે.

અમે કહીશું કે પ્લેનમાં સેટ ક્યાંય ગાઢ નથી મેટ્રિક જગ્યા R, જો આ જગ્યાના કોઈપણ ખુલ્લા વર્તુળમાં બીજું ખુલ્લું વર્તુળ હોય, તો આ સમૂહના બિંદુઓથી સંપૂર્ણપણે મુક્ત.