ખૂબ જ રસપ્રદ સમીકરણો અને તેમના ઉકેલો. સરળ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

કાર્યનો ટેક્સ્ટ છબીઓ અને સૂત્રો વિના પોસ્ટ કરવામાં આવ્યો છે.
સંપૂર્ણ સંસ્કરણવર્ક પીડીએફ ફોર્મેટમાં "વર્ક ફાઇલ્સ" ટેબમાં ઉપલબ્ધ છે

પરિચય

"સમીકરણ એ સોનેરી ચાવી છે જે તમામ ગાણિતિક તલ ખોલે છે"

એસ. કોવલ

શાળામાં મેળવેલ ગણિતનું શિક્ષણ એ જીવનનો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. આધુનિક માણસ. આપણી આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ કોઈક રીતે ગણિત સાથે જોડાયેલી છે. ઘણા ઉકેલો વ્યવહારુ સમસ્યાઓસમીકરણો ઉકેલવામાં ઘટાડો કરે છે વિવિધ પ્રકારો.

સમીકરણો સૌથી વધુ છે વિશાળ વિષયસમગ્ર બીજગણિત અભ્યાસક્રમ. ભૂતકાળમાં શૈક્ષણિક વર્ષબીજગણિત પાઠમાં આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણો વિશે શીખ્યા. ચતુર્ભુજ સમીકરણોગણિતના ક્ષેત્રમાં અને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં, વિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

IN શાળા અભ્યાસક્રમમૂળભૂત ગણિતનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે ઉકેલોચતુર્ભુજ સમીકરણો. જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની અન્ય તકનીકો છે, જેમાંથી કેટલીક તમને ઝડપથી અને તર્કસંગત રીતે ઉકેલવા દે છે.

અમે ગ્રેડ 8-9 ના 84 વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે બે પ્રશ્નો પર એક સર્વે કર્યો:

તમે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની કઈ પદ્ધતિઓ જાણો છો?

તમે મોટાભાગે કયાનો ઉપયોગ કરો છો?

સર્વેક્ષણના પરિણામોના આધારે, નીચેના પરિણામો પ્રાપ્ત થયા:

પ્રાપ્ત પરિણામોનું પૃથ્થકરણ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને રુટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે અને તેઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા તે અંગે પૂરતા પ્રમાણમાં જાણતા નથી.

આમ, અમે જે વિષય પસંદ કર્યો છે તે સુસંગત છે.

અમે અમારી જાતને સેટ કરી છે લક્ષ્ય: ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની બિનપરંપરાગત રીતોનું અન્વેષણ કરો, ગ્રેડ 8 અને 9 ના વિદ્યાર્થીઓનો પરિચય આપો વિવિધ રીતેનિર્ણયો, પસંદ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો તર્કસંગત માર્ગચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું.

આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, તમારે નીચેનાને હલ કરવાની જરૂર છે કાર્યો:

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની વિવિધ રીતો વિશે માહિતી એકત્રિત કરવી,

મળેલા ઉકેલોમાં નિપુણતા મેળવો,

એક્સેલમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક પ્રોગ્રામ બનાવો,

પર પાઠ અથવા ઇત્તર પ્રવૃત્તિ માટે ઉપદેશાત્મક સામગ્રી વિકસાવો બિન-માનક પદ્ધતિઓચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા,

ગ્રેડ 8-9 ના વિદ્યાર્થીઓ સાથે "ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની અસામાન્ય રીતો" પાઠ ચલાવો.

અભ્યાસનો હેતુ: ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

અભ્યાસનો વિષય: ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની વિવિધ રીતો.

અમે માનીએ છીએ કે કાર્યનું વ્યવહારુ મહત્વ ગણિતના પાઠોમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકો અને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનામાં રહેલું છે અને અભ્યાસેતર પ્રવૃત્તિઓ, તેમજ આ સામગ્રી સાથે ગ્રેડ 8-9 ના વિદ્યાર્થીઓને પરિચિત કરવા માટે.

પ્રકરણ 1. ક્વોડ્રેટ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની અસામાન્ય પદ્ધતિઓ

1. 1. ગુણાંકના ગુણધર્મ (a,b,c)

પદ્ધતિ ગુણાંકના ગુણધર્મો પર આધારિત છે a,b,c:

જો a+b+c=0,પછી = 1, =

ઉદાહરણ:

-6x 2 + 2x +4=0,પછી = 1, = = .

જો a - b+c=0,પછી = -1, = -

ઉદાહરણ:

2017x 2 + 2001х +16 =0,પછી = -1, -.

1. 1. ગુણાંકની અવલંબન (a,b,c)

ગુણાંકની નીચેની અવલંબન માન્ય છે: a,b,c:

જો b=a 2 +1, c=a, તો x 1 =-a; x 2 = - .

જો b=-(a 2 +1), a=c, તો x 1 =a; x 2 =.

જો b=a 2 -1, c=-a, તો x 1 =-a; x 2 = .

જો b=-(a 2 -1), -a=c, તો x 1 =a; x 2 = - .

ચાલો નીચેના સમીકરણોને હલ કરીએ:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. મુખ્ય ગુણોત્તરનું "ટ્રાન્સફર"

ગુણાંક એમફત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર, જાણે તેને "ફેંકવામાં" આવે છે, તેથી જ તેને "ફેંકવું" પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આગળ, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ જોવા મળે છે. મળેલા મૂળને અગાઉ સ્થાનાંતરિત ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, આનો આભાર આપણે સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

2 થી ની મતભેદ “ચાલો ફેરવીએ” મફત સભ્ય, પરિણામે આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

ખાતે 2 - 3у + 2 = 0.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ

ખાતે 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

ખાતે 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

જવાબ: 0.5; 1.

1. 1. ઉકેલની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

જો સમીકરણમાં એ x 2 + bx + c= 0 બીજા અને ત્રીજા પદ પર ખસેડો જમણી બાજુ, પછી આપણને એ મળે છે x 2 = -bx-c .

ચાલો નિર્ભરતા ગ્રાફ બનાવીએ ખાતે= કુહાડી 2 અને ખાતે= -bx-cએક સંકલન પ્રણાલીમાં.

પ્રથમ અવલંબનનો આલેખ એ મૂળમાંથી પસાર થતો પેરાબોલા છે. બીજા અવલંબનનો ગ્રાફ સીધો છે.

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા બે બિંદુઓ પર છેદે છે, આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસ એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે;

એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા સ્પર્શ કરી શકે છે (માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ), એટલે કે. સમીકરણનો એક ઉકેલ છે;

એક સીધી રેખા અને પેરાબોલામાં નથી સામાન્ય બિંદુઓ, એટલે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

ચાલો નીચેના સમીકરણોને હલ કરીએ:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આપણે ફંક્શન y = x 2 નો ગ્રાફ અને ફંક્શન y = - 2x + 3 નો ગ્રાફ બનાવીશું. આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસને ચિહ્નિત કરીને, અમને જવાબ મળે છે.

જવાબ: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આપણે ફંક્શન y = x 2 નો ગ્રાફ અને ફંક્શન y = -6x - 9 નો ગ્રાફ બનાવીશું. ટેન્જેન્ટ પોઈન્ટના એબ્સીસાને નિયુક્ત કર્યા પછી, આપણને જવાબ મળશે.

જવાબ: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપણે ફંક્શન y = 2x 2 નો ગ્રાફ અને ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીશું.

પેરાબોલા y = 2x 2 અને સીધી રેખા y = - 4x - 7 માં સામાન્ય બિંદુઓ નથી, તેથી સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

1. 1. હોકાયંત્રો અને શાસકોનો ઉપયોગ કરીને ક્વાડ્રેટ સમીકરણો ઉકેલવા

ચાલો સમીકરણ aх 2 +bх+c=0 હલ કરીએ:

ચાલો બિંદુઓ S(-b:2a,(a+c):2a) - વર્તુળનું કેન્દ્ર અને બિંદુ A(0,1) બનાવીએ.

ત્રિજ્યા SA નું વર્તુળ દોરો.

ઓક્સ અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ એ મૂળ સમીકરણના મૂળ છે.

આ કિસ્સામાં, ત્રણ કેસો શક્ય છે:

1) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા વધારે છે ( AS>SK, અથવા આર>), વર્તુળ ધરીને છેદે છે ઓહબે બિંદુઓ પર..B( એક્સ 1 ; 0) અને D(x 2 ;0), ક્યાં એક્સ 1 અને એક્સ 2 - ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ ઓહ 2 + bx + c = 0.

2) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે ( AS = SВ, અથવા આર =), વર્તુળ ધરીને સ્પર્શે છે ઓહબિંદુ B પર( એક્સ 1 ; 0), ક્યાં એક્સ 1 - ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ.

3) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા ઓછી છે ( એ.એસ< SВ , અથવા આર< ), વર્તુળમાં x-અક્ષ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી, આ કિસ્સામાં સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

એ) AS > SВઅથવા આર>, b) AS = SВઅથવા આર =વી) એ.એસ< SВ, અથવા આર< .

બે ઉકેલો એક્સ 1 અને એક્સ 2 . એક ઉકેલ એક્સ 1.. કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

ઉકેલ:

ચાલો ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરીએ એસ.એ.જ્યાં એ (0;1).

જવાબ: x 1 = 1, x 2 = 3.

ઉદાહરણ 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

ઉકેલ: ચાલો S: x=3, y=5 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.

જવાબ: x=3.

ઉદાહરણ 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

ઉકેલ:વર્તુળ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ: x= - 2 અને y = 3.

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી

1. 1. નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

નોમોગ્રામ (ગ્રીક "નોમોસ" માંથી - કાયદો અને ગ્રામ), ગ્રાફિકલ રજૂઆતઘણા ચલોના કાર્યો, જે ગણતરીઓ વિના કાર્યાત્મક અવલંબન શોધવા માટે સરળ ભૌમિતિક કામગીરી (ઉદાહરણ તરીકે, શાસક લાગુ કરવા) નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો.

આ સંગ્રહના પૃષ્ઠ 83 પર સ્થિત ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવાની જૂની અને હવે ભૂલી ગયેલી પદ્ધતિ છે: બ્રાડિસ વી.એમ. "ચાર-અંકના ગાણિતિક કોષ્ટકો." - એમ., “ડ્રોફા”, 2000. કોષ્ટક XXII. સમીકરણ ઉકેલવા માટે નોમોગ્રામ z 2 + pz + q = 0(જુઓ પરિશિષ્ટ 1).

આ નોમોગ્રામ, ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલ્યા વિના, તેના ગુણાંકમાંથી સમીકરણના મૂળ નક્કી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે.

નોમોગ્રામનું વક્રીકૃત સ્કેલ સૂત્રો અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું છે: ઓબી= , એબી =

માનતા OS = p, ED = q, OE = a(બધા સે.મી.માં), ત્રિકોણની સમાનતાથી સાનઅને સીડીએફઅમે તે પ્રમાણ મેળવીએ છીએ જેમાંથી, અવેજી અને સરળીકરણ પછી, સમીકરણ z 2 + pz + q = 0 અનુસરે છે, અને અક્ષર z નો અર્થ વક્ર સ્કેલ પરના કોઈપણ બિંદુનું ચિહ્ન છે.

ઉદાહરણ 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

p સ્કેલ પર આપણને માર્ક -9 અને q સ્કેલ માર્ક 8 મળે છે. આપણે આ ગુણ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ છીએ, જે નોમોગ્રામના વક્ર સ્કેલને 1 અને 8 પર છેદે છે. તેથી, સમીકરણના મૂળ 1 છે. અને 8.

જવાબ: 1; 8.

તે આ સમીકરણ છે જે પૃષ્ઠ 83 પર બ્રાડીસ કોષ્ટકમાં ઉકેલવામાં આવ્યું છે (જુઓ પરિશિષ્ટ 1).

ઉદાહરણ 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

આ સમીકરણના ગુણાંકને 2 વડે ભાગતા, આપણને સમીકરણ મળે છે:

z 2 - 4.5z + 1 = 0.નોમોગ્રામ મૂળ આપે છે z 1 = 4 અને z 2 = 0,5.

જવાબ: 4; 0.5.

ઉદાહરણ 3:x 2 - 25x + 66 = 0

p અને q ગુણાંક સ્કેલ બંધ છે. ચાલો અવેજી કરીએ x = 5z, અમને સમીકરણ મળે છે:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

જેને આપણે નોમોગ્રામની મદદથી હલ કરીએ છીએ.

અમને z મળે છે 1 = 0,6 અને z 2 = 4,4,

જ્યાં x 1 = 5z 1 = 3,0 અને x 2 = 5z 2 = 22,0.

જવાબ: 3; 22.

ઉદાહરણ 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , એ નકારાત્મક મૂળઆપણે બાદબાકી કરીને શોધીએ છીએ હકારાત્મક મૂળમાંથી - પી , તે z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

જવાબ: 1; -6.

ઉદાહરણ 5: z 2 - 2z - 8 = 0,નોમોગ્રામ હકારાત્મક z રુટ આપે છે 1 =4, અને ઋણ z બરાબર છે 2 = - પી -4 =

= 2 - 4= -2.

જવાબ: 4; -2.

પ્રકરણ 2. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને રુટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા ચતુર્થાંશ સમીકરણ ઉકેલવું

સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે અમે એક પ્રોગ્રામ બનાવવાનું નક્કી કર્યું એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને- તે વ્યાપક છે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ. ગણતરીઓ હાથ ધરવા, કોષ્ટકો અને આકૃતિઓનું સંકલન કરવા, સરળ ગણતરી કરવા અને જટિલ કાર્યો. તે Microsoft Office સ્યુટનો એક ભાગ છે.

શીટ એક્સેલ પ્રોગ્રામ્સ, જ્યાં સૂત્રો પ્રદર્શિત થાય છે:

એક્સેલ શીટ દર્શાવે છે નક્કર ઉદાહરણચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલો x 2 - 14x - 15 = 0:

પ્રકરણ 3. ચતુર્થાંશ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની વિવિધ રીતોની સરખામણી

"બીજગણિતના વિદ્યાર્થી માટે ત્રણ કે ચાર ઉકેલવા કરતાં એક જ સમસ્યાને ત્રણ અલગ અલગ રીતે હલ કરવી તે ઘણી વખત વધુ ઉપયોગી છે. વિવિધ કાર્યો. એક સમસ્યાનું નિરાકરણ વિવિધ પદ્ધતિઓ, તમે સરખામણી દ્વારા શોધી શકો છો કે કયું ટૂંકું અને વધુ કાર્યક્ષમ છે. આ રીતે અનુભવ વિકસિત થાય છે."

વોલ્ટર વોરવિક સોયર

કાર્ય દરમિયાન, અમે સામગ્રી એકઠી કરી અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા (મૂળ શોધવા) રીતોનો અભ્યાસ કર્યો. વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોનું નિરાકરણ પરિશિષ્ટ 2 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

અભ્યાસ કરે છે અલગ અલગ રીતેચતુર્ભુજ સમીકરણો હલ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે દરેક સમીકરણ માટે તમે મૂળ શોધવા માટે સૌથી અસરકારક અને તર્કસંગત વિકલ્પ પસંદ કરી શકો છો. દરેક ઉકેલ ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં અનન્ય અને અનુકૂળ છે. કેટલીક ઉકેલ પદ્ધતિઓ તમને સમય બચાવવા માટે પરવાનગી આપે છે, જે OGE પરના કાર્યોને હલ કરતી વખતે મહત્વપૂર્ણ છે, અન્ય ખૂબ મોટા ગુણાંક સાથે સમીકરણ ઉકેલવામાં મદદ કરે છે. અમે દરેક પદ્ધતિના ગુણદોષને પ્રતિબિંબિત કરતી કોષ્ટકનું સંકલન કરીને વિવિધ ઉકેલ પદ્ધતિઓની તુલના કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

અમે વિકાસ કર્યો છે હેન્ડઆઉટ. તમે પરિશિષ્ટ 3 માં વિષય પરના કાર્યોની બેંક સાથે પરિચિત થઈ શકો છો.

ઉપયોગ કરીને માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલ, અમે સંકલિત કર્યું છે સ્પ્રેડશીટ, જે તમને મૂળ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની આપમેળે ગણતરી કરવાની પરવાનગી આપે છે.

અમે એક પાઠ હાથ ધર્યો અસામાન્ય રીતે 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. વિદ્યાર્થીઓને પદ્ધતિઓ ખરેખર ગમતી હતી; તેઓએ નોંધ્યું કે મેળવેલ જ્ઞાન તેમના માટે ઉપયોગી થશે વધુ શિક્ષણ. પાઠનું પરિણામ વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય હતું, જેમાં તેઓએ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે વિવિધ વિકલ્પો રજૂ કર્યા હતા (જુઓ પરિશિષ્ટ 4).

કાર્ય સામગ્રીનો ઉપયોગ જેઓ ગણિતને પ્રેમ કરે છે અને જેઓ ગણિત વિશે વધુ જાણવા માગે છે તે બંને દ્વારા કરી શકાય છે.

સાહિત્ય

બ્રાડિસ વી. એમ. “માટે ચાર-અંકના ગાણિતિક કોષ્ટકો ઉચ્ચ શાળા", એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2000.

Vilenkin N.Ya. "8મા ધોરણ માટે બીજગણિત", એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 2000.

ગેલિત્સ્કી એમ.એલ. "બીજગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ", એમ.: પ્રોસ્વેશેની 2002.

ગ્લેઝર જી. આઇ. "શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ", એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 1982.

ઝ્વાવિચ એલ.આઈ. "બીજગણિત 8મો ગ્રેડ", એમ.: નેમોસીન, 2002.

મકરીચેવ યુ.એન. "બીજગણિત 8 મી ગ્રેડ", એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 2015.

પ્લુઝનિકોવ I. “ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો” // શાળામાં ગણિત. - 2000.- નંબર 40.

પ્રેસમેન એ.એ. "હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું"//M., કવંત, નંબર 4/72, p.34.

સવિન એ.પી. " જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશયુવાન ગણિતશાસ્ત્રી"

એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 1989.

ઇન્ટરનેટ સંસાધનો:

http://revolution.allbest.ru/

પરિશિષ્ટ 1

"બ્રાડીસ વી.એમ.નું કલેક્શન."

પરિશિષ્ટ 2

"બધી રીતે સમીકરણ ઉકેલવું"

મૂળ સમીકરણ:4x 2 +3x -1 = 0.

1. ભેદભાવ D નો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેનું સૂત્ર

4x 2 +3x -1 = 0

ડી = b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. વિયેટાનું પ્રમેય

4x 2 +3x -1 = 0,સમીકરણને 4 વડે વિભાજીત કરો જેથી તે ઘટે

એક્સ 2 +x -=0

એક્સ 1 = -1

એક્સ 2 =

3. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

એક્સ 1 = x 2 = -1

4. જૂથ પદ્ધતિ

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,ઉત્પાદન =0 જ્યારે એક પરિબળ =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

એક્સ 1 = x 2 = -1

5. ગુણાંકના ગુણધર્મો

4x 2 +3x -1 = 0

જો a - b+c=0, તો = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. મુખ્ય ગુણાંકને "ફેંકવાની" પદ્ધતિ

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

વિયેટાનું પ્રમેય:

y 1 = -4

y 2 = 1

ચાલો મળેલા મૂળને મુખ્ય ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરીએ અને આપણા સમીકરણના મૂળ મેળવીએ:

એક્સ 1 = -1

એક્સ 2 =

7. હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ

4x 2 +3x -1 = 0

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના કેન્દ્ર બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ:

એક્સ 1 = -1

એક્સ 2 =

8. ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીશું y = 4x 2 અને કાર્યનો ગ્રાફ

y = - 3x+1.આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસને નિયુક્ત કર્યા પછી, અમને જવાબ મળે છે:

એક્સ 1 = -1

9. નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરવો

4x 2 +3x -1 = 0,સમીકરણ 1/4 ના ગુણાંકને વિભાજીત કરો, આપણને સમીકરણ મળે છે

એક્સ 2 +x -= 0.

નોમોગ્રામ હકારાત્મક મૂળ આપે છે = ,

અને આપણે - p માંથી હકારાત્મક મૂળને બાદ કરીને નકારાત્મક મૂળ શોધીએ છીએ , તે

x 2 = - p -=- -= -1.

10. ઉકેલ આપેલ સમીકરણ EXCEL માં

પરિશિષ્ટ 3

"વિષય માટે ડિડેક્ટિકલ સામગ્રી

“ચતુર્થાંશ સમીકરણો ઉકેલવા" »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

પરિશિષ્ટ 4

"વિદ્યાર્થીઓનું કામ"

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:

• બધા પર જ્ઞાનનો સારાંશ આપો સમીકરણોના પ્રકાર, સમીકરણો ઉકેલવામાં ઉપયોગમાં લેવાતી તમામ પદ્ધતિઓના મહત્વ પર ભાર મૂકે છે.
• પાઠમાં વિવિધ તકનીકો દ્વારા વિદ્યાર્થીઓના કાર્યને વધુ તીવ્ર બનાવવું.
• સમીકરણો ઉકેલવામાં સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કૌશલ્યોનું પરીક્ષણ કરો.
• એ હકીકત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો કે એક સમીકરણ અનેક રીતે ઉકેલી શકાય છે

શૈક્ષણિક:

• આઇસીટીના ઉપયોગ દ્વારા વિદ્યાર્થીઓનો વિષયમાં રસ વધારવો.
• વિદ્યાર્થીઓને વિષય પરની ઐતિહાસિક સામગ્રીથી પરિચિત કરો.
• વિકાસ માનસિક પ્રવૃત્તિસમીકરણનો પ્રકાર અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ નક્કી કરતી વખતે.

શૈક્ષણિક:

• વર્ગખંડમાં શિસ્ત સ્થાપિત કરો.
• પોતાની જાતમાં, અન્ય વ્યક્તિમાં અને આપણી આસપાસની દુનિયામાં સૌંદર્યને સમજવાની ક્ષમતા વિકસાવવી.

પાઠનો પ્રકાર:

• જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણનો પાઠ.

પાઠનો પ્રકાર:

• સંયુક્ત.

સામગ્રી અને તકનીકી સાધનો:

• કોમ્પ્યુટર
• સ્ક્રીન
• પ્રોજેક્ટર
• વિષયની રજૂઆત સાથે ડિસ્ક

પદ્ધતિઓ અને તકનીકો:

• પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કરીને
• આગળની વાતચીત
• મૌખિક કાર્ય
• રમત ક્ષણો
• જોડીમાં કામ કરો
• બોર્ડમાં કામ કરો
• નોટબુકમાં કામ કરો

પાઠ યોજના:

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ (1 મિનિટ)
2. પાઠના વિષયનું ડીકોડિંગ (3 મિનિટ)
3. પાઠના વિષય અને હેતુનું નિવેદન (1 મિનિટ)
4. સૈદ્ધાંતિક વોર્મ-અપ (3 મિનિટ)
5. ઐતિહાસિક પ્રવાસ (3 મિનિટ)
6. રમત "અધિક દૂર કરો" (2 મિનિટ)
7. સર્જનાત્મક કાર્ય(2 મિનિટ)
8. કાર્ય "ભૂલ શોધો" (2 મિનિટ)
9. એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (સ્લાઇડ પર) (3 મિનિટ)
10. એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (બોર્ડ પર) (24 મિનિટ)
11. જોડીમાં સ્વતંત્ર કાર્ય પછી સમજૂતી (5 મિનિટ)
12. વ્યક્તિગત હોમવર્ક (1 મિનિટ)
13. પાઠ સારાંશ પ્રતિબિંબ (1 મિનિટ)

પાઠ એપિગ્રાફ:

"તમે માત્ર આનંદ દ્વારા શીખી શકો છો, જ્ઞાનને પચાવવા માટે, તમારે તેને ભૂખ સાથે ગ્રહણ કરવાની જરૂર છે."
એ.ફ્રાન્સ

પાઠ સારાંશ

સંસ્થાકીય ભાગ

હું પાઠ માટે વિદ્યાર્થીઓની તત્પરતા તપાસું છું અને જેઓ પાઠમાં ગેરહાજર છે તેમને ચિહ્નિત કરું છું. ગાય્ઝ, 19મી સદીના ફ્રેન્ચ લેખક એ. ફ્રાન્સે એક વખત ટિપ્પણી કરી હતી, "તમે માત્ર આનંદ દ્વારા જ શીખી શકો છો, જ્ઞાનને પચાવવા માટે, તમારે તેને ભૂખ સાથે ગ્રહણ કરવાની જરૂર છે." તો ચાલો આપણા પાઠમાં લેખકની સલાહને અનુસરીએ અને જ્ઞાનને ખૂબ ભૂખથી પચાવીએ, કારણ કે તે આપણા જીવનમાં ઉપયોગી થશે.

પાઠના વિષયનું ડીકોડિંગ

વધુ જટિલ કાર્ય તરફ આગળ વધવા માટે, ચાલો આપણા મગજને સરળ કાર્યો સાથે લંબાવીએ. અમારા પાઠનો વિષય એનક્રિપ્ટ થયેલ છે, મૌખિક કાર્યોને હલ કરીને અને તેનો જવાબ શોધીને, દરેક જવાબનો પોતાનો અક્ષર છે તે જાણીને, અમે પાઠનો વિષય જાહેર કરીશું. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 3

પાઠના વિષય અને હેતુની વાતચીત

તમે જાતે આજે પાઠના વિષયનું નામ આપ્યું છે

"સમીકરણોના પ્રકારો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ."પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 4

ધ્યેય: તમામ પ્રકારના સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ યાદ કરો અને સામાન્ય બનાવો. બધી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણ ઉકેલો. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 5 આઇન્સ્ટાઇનનું નિવેદન વાંચો પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 5

સૈદ્ધાંતિક વોર્મ-અપ

પ્રશ્નો પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 7

જવાબો

1. સમાનતા ધરાવે છે ચલ મૂલ્ય, અમુક પત્ર દ્વારા નિયુક્ત.
2. આનો અર્થ એ છે કે તેના બધા મૂળ શોધવા, અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.
3. ચલનું મૂલ્ય કે જેના પર સમીકરણ સાચું બને છે.
4. આ વ્યાખ્યા પછી, પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 12,13,14 વિશે એક કવિતા વાંચો

છેલ્લા 2 પ્રશ્નોના જવાબો પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 9,10,11

ઐતિહાસિક પ્રવાસ

પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 15 "સમીકરણની શોધ કોણે અને ક્યારે કરી" વિશે ઐતિહાસિક માહિતી

ચાલો કલ્પના કરીએ કે એક આદિમ માતા નામનું ... જો કે, તેણીનું કદાચ નામ પણ ન હતું, તેણીએ તેના 4 બાળકોને આપવા માટે એક ઝાડમાંથી 12 સફરજન ચૂંટ્યા. તેણી કદાચ માત્ર 12 જ નહીં, પણ ચારની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણતી ન હતી, અને ચોક્કસપણે તે જાણતી ન હતી કે 12 ને 4 વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું. અને તેણે કદાચ આ રીતે સફરજન વિભાજિત કર્યા: પહેલા તેણીએ દરેક બાળકને એક સફરજન આપ્યું, પછી બીજું સફરજન , પછી બીજા એકલા અને પછી મેં જોયું કે ત્યાં વધુ સફરજન નથી અને બાળકો ખુશ હતા. જો આપણે આ ક્રિયાઓને આધુનિક ગાણિતિક ભાષામાં લખીએ, તો આપણને x4=12 મળે છે, એટલે કે, મારી માતાએ સમીકરણ બનાવવાની સમસ્યા હલ કરી. દેખીતી રીતે, ઉપરોક્ત પ્રશ્નનો જવાબ આપવો અશક્ય છે. સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓ લોકો માનવ બન્યા ત્યારથી સામાન્ય બુદ્ધિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરે છે. 3-4 હજાર વર્ષ પૂર્વે પણ, ઇજિપ્તવાસીઓ અને બેબીલોનિયનો સરળ સમીકરણોને હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, જેનું સ્વરૂપ અને ઉકેલની પદ્ધતિઓ આધુનિક સમીકરણો જેવી ન હતી. ગ્રીક લોકોને ઇજિપ્તવાસીઓનું જ્ઞાન વારસામાં મળ્યું અને આગળ વધ્યા. શુભકામનાઓસમીકરણોના સિદ્ધાંતનો વિકાસ ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફન્ટસ (III સદી) દ્વારા પ્રાપ્ત થયો હતો, જેના વિશે તેઓએ લખ્યું હતું:

તેણે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી.
તેણે ગંધ અને વરસાદની આગાહી કરી.
ખરેખર, તેમનું જ્ઞાન અદ્ભુત છે.

મધ્ય એશિયાના ગણિતશાસ્ત્રી મુહમ્મદ અલ ખોરેઝમી (9મી સદી) એ સમીકરણો ઉકેલવામાં મોટો ફાળો આપ્યો હતો. તેમનું પ્રખ્યાત પુસ્તક અલ-ખ્વારિઝમી સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત છે. તેને "કિતાબ અલ-જબર વાલ-મુકાબલા" કહેવામાં આવે છે, એટલે કે "પૂરક અને વિરોધનું પુસ્તક". આ પુસ્તક યુરોપિયનો માટે જાણીતું બન્યું, અને તેના શીર્ષકમાંથી "અલ-જબર" શબ્દ પરથી "બીજગણિત" શબ્દ આવ્યો - ગણિતના મુખ્ય ભાગોમાંના એકનું નામ. ત્યારબાદ, ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સમીકરણોની સમસ્યાઓ પર કામ કર્યું. 15મી સદીમાં રહેતા જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી સ્ટીફેલ દ્વારા x2+in=0 ફોર્મમાં ઘટાડીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેનો સામાન્ય નિયમ ઘડવામાં આવ્યો હતો. ડચ ગણિતશાસ્ત્રી ગિરાર્ડ (16મી સદી), તેમજ ડેસકાર્ટેસ અને ન્યૂટનના કાર્યો પછી, ઉકેલ પદ્ધતિએ આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કર્યું. તેના ગુણાંક પર સમીકરણના મૂળની અવલંબન વ્યક્ત કરતા સૂત્રો વિએથ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટ 16મી સદીમાં રહેતા હતા. તેમણે ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રની વિવિધ સમસ્યાઓના અભ્યાસમાં મહાન યોગદાન આપ્યું હતું; ખાસ કરીને, તેમણે સમીકરણના ગુણાંક માટે અક્ષર હોદ્દો રજૂ કર્યા. ચાલો હવે તેમના જીવનના એક રસપ્રદ એપિસોડથી પરિચિત થઈએ. ફ્રાન્કો-સ્પેનિશ યુદ્ધ દરમિયાન, રાજા હેનરી III હેઠળ વિયેટને ખૂબ જ ખ્યાતિ મળી. સ્પેનિશ જિજ્ઞાસુઓએ ખૂબ જ જટિલ ગુપ્ત લેખનની શોધ કરી, જેના કારણે સ્પેનિયાર્ડ્સ તેમના દુશ્મનો સાથે પત્રવ્યવહાર કરે છે. હેનરી IIIફ્રાન્સમાં પણ.

નિરર્થક ફ્રેન્ચોએ કોડની ચાવી શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો, અને પછી રાજા વિએટા તરફ વળ્યો. તેઓ કહે છે કે વિયેટને સતત બે અઠવાડિયાના કામમાં કોડની ચાવી મળી, ત્યારબાદ, સ્પેન માટે અણધારી રીતે, ફ્રાન્સે એક પછી એક યુદ્ધ જીતવાનું શરૂ કર્યું. કોડને ડિસિફર કરી શકાતો નથી તે વિશ્વાસથી, સ્પેનિયાર્ડ્સે વિયેટ પર શેતાન સાથે જોડાણ હોવાનો આરોપ મૂક્યો અને તેને દાવ પર સળગાવી દેવાની સજા ફટકારી. સદભાગ્યે, તેમને તપાસમાં પ્રત્યાર્પણ કરવામાં આવ્યું ન હતું અને એક મહાન ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે ઇતિહાસમાં નીચે ગયો.

રમત "અધિક દૂર કરો"

રમતનો હેતુસમીકરણોના પ્રકારોમાં ઓરિએન્ટેશન.

અમને ત્રણ આપવામાં આવે છે સમીકરણોનો સ્તંભ, માંતેમાંથી દરેક માટે, સમીકરણો અમુક માપદંડો અનુસાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેમાંથી એક અનાવશ્યક છે અને તેને શોધવાનું છે; પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 16

સર્જનાત્મક કાર્ય

આ કાર્યનો હેતુ: ગાણિતિક ભાષણની સમજ સાંભળવી, બાળકોને સમીકરણોના પ્રકારોમાં દિશામાન કરવું.

સ્ક્રીન પર તમે 9 સમીકરણો જુઓ છો. દરેક સમીકરણનો પોતાનો નંબર હોય છે, હું આ સમીકરણના પ્રકારને નામ આપીશ, અને તમારે આ પ્રકારનું સમીકરણ શોધવાનું રહેશે, અને તે જે નંબરની નીચે તે દેખાય છે તે જ મૂકવો જોઈએ, પરિણામે તમને 9-અંકનો નંબર મળશે પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 17

1. ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ.
2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ
3. ઘન સમીકરણ
4. લઘુગણક સમીકરણ
5. રેખીય સમીકરણ
6. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ
7. ઘાતાંકીય સમીકરણ
8. અતાર્કિક સમીકરણ
9. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ

કાર્ય "ભૂલ શોધો"

એક વિદ્યાર્થીએ સમીકરણો હલ કર્યા, પરંતુ આખો વર્ગ હસી પડ્યો, તેણે દરેક સમીકરણમાં ભૂલ કરી છે, તમારું કાર્ય તેને શોધવાનું અને તેને સુધારવાનું છે. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 18

એક સમીકરણને અનેક રીતે ઉકેલવું

હવે ચાલો એક સમીકરણને તમામ સંભવિત રીતે હલ કરીએ, વર્ગમાં સમય બચાવવા માટે, સ્ક્રીન પર એક સમીકરણ. હવે તમે આ સમીકરણના પ્રકારને નામ આપો, અને આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે સમજાવો. 19-27

એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (બોર્ડ પર)

અમે ઉદાહરણ જોયું, અને હવે ચાલો બોર્ડ પરના સમીકરણને દરેક સંભવિત રીતે હલ કરીએ.

X-2 - અતાર્કિક સમીકરણ

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ.

X 2 +2x+4x-1-4=0

અમે આ સમીકરણને બોર્ડમાં 9 રીતે હલ કરીએ છીએ.

જોડીમાં સ્વતંત્ર કાર્ય અને બોર્ડમાં સમજૂતી દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે

અને હવે તમે જોડીમાં કામ કરશો, હું તમારા ડેસ્ક પર એક સમીકરણ આપું છું, તમારું કાર્ય સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરવાનું છે, આ સમીકરણને હલ કરવાની બધી રીતોની સૂચિ બનાવો, તમારા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત રીતે 1-2 ઉકેલો. (2 મિનિટ)

જોડીમાં કામ કરવા માટેના કાર્યો

સમીકરણ ઉકેલો

પછી સ્વતંત્ર કાર્યજોડીમાં, એક પ્રતિનિધિ બોર્ડમાં આવે છે, તેનું સમીકરણ રજૂ કરે છે, એક રીતે ઉકેલે છે

વ્યક્તિગત હોમવર્ક(ભેદ કરી શકાય તેવું)

સમીકરણ ઉકેલો

(સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરો, એક અલગ શીટ પર બધી રીતે ઉકેલો)

પ્રતિબિંબ પાઠ સારાંશ.

હું પાઠનો સારાંશ આપું છું, એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરું છું કે એક સમીકરણ ઘણી રીતે ઉકેલી શકાય છે, માર્કસ આપો, કોણ સક્રિય હતું અને કોને વધુ સક્રિય થવાની જરૂર છે તે વિશે નિષ્કર્ષ દોરો. મેં કાલિનિનનું નિવેદન પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 28 વાંચ્યું

આજના પાઠ માટે અમે જે લક્ષ્યો નક્કી કર્યા છે તેને ધ્યાનથી જુઓ:

• તમને શું લાગે છે કે અમે શું કરી શક્યા?
• શું આટલું સારું કામ ન કર્યું?
• તમને ખાસ કરીને શું ગમ્યું અને યાદ છે?
• આજે કંઈક નવું શીખવા મળ્યું...
• મારું જ્ઞાન પાઠ દરમિયાન ઉપયોગી હતું...
• તે મારા માટે મુશ્કેલ હતું ...
• મને પાઠ ગમ્યો...

સાહિત્ય.

1. ડોરોફીવ જી.વી. "ઉચ્ચ શાળા અભ્યાસક્રમ માટે ગણિતમાં લેખિત પરીક્ષા લેવા માટેના કાર્યોનો સંગ્રહ" - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2006.
2. ગાર્નર માર્ટિન. ગણિતની કોયડાઓઅને મનોરંજન.
3. ઇવલેવ બી.એમ., સહક્યાન એસ.એમ. ડિડેક્ટિક સામગ્રીબીજગણિત પર અને 10મા ધોરણ, 11મા ધોરણ માટે વિશ્લેષણની શરૂઆત. એમ.: જ્ઞાન. 2002.

રજૂ કરતું સમીકરણ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, સામાન્ય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે. બીજગણિતીય દૃષ્ટિકોણથી, તેનું વર્ણન a*x^2+b*x+c=0 સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ સૂત્રમાં, x એ અજ્ઞાત છે જેને શોધવાની જરૂર છે (તેને ફ્રી ચલ કહેવાય છે); a, b અને c - સંખ્યાત્મક મતભેદ. દર્શાવેલ ઘટકો સંબંધિત સંખ્યાબંધ નિયંત્રણો છે: ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાંક a 0 ની બરાબર ન હોવો જોઈએ.

સમીકરણ ઉકેલવું: ભેદભાવની વિભાવના

તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે ખ્યાલ માટે જરૂરી છે કે માત્ર ગુણાંક a 0 થી સખત રીતે અલગ હોવો જોઈએ. પરિણામે, ગુણાંક b 0 ની બરાબર હોઈ શકે છે, અને આ કિસ્સામાં સમીકરણ પોતે a*x^2+c સ્વરૂપનું છે. =0. આવી સ્થિતિમાં, ભેદભાવ અને મૂળની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોમાં 0 ના ગુણાંક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. તેથી, આ કિસ્સામાં ભેદભાવ કરનારની ગણતરી D=-4ac તરીકે કરવામાં આવશે.

સકારાત્મક ભેદભાવ સાથે સમીકરણ ઉકેલવું

શૂન્ય અને નકારાત્મક ભેદભાવ સાથે સમીકરણ ઉકેલવું

સામાન્ય મંત્રાલય અને વ્યાવસાયિક શિક્ષણઆરએફ

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

જિમ્નેશિયમ નંબર 12

રચના

વિષય પર: સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

આના દ્વારા પૂર્ણ: ધોરણ 10 "A" ના વિદ્યાર્થી

ક્રુત્કો એવજેની

દ્વારા ચકાસાયેલ: ગણિતના શિક્ષક ઇસ્ખાકોવા ગુલસુમ અક્રમોવના

ટ્યુમેન 2001

યોજના..................................................... ................................................................ ...................................... 1

પરિચય .................................................... ........................................................ ............. ........................ 2

મુખ્ય ભાગ................................................ ................................................... ........................ 3

નિષ્કર્ષ ................................................... ................................................................ ...... ............... 25

અરજી................................................ ................................................................ ...................... 26

વપરાયેલ સાહિત્યની યાદી................................................ ........................................... 29

યોજના.

પરિચય.

ઐતિહાસિક માહિતી.

સમીકરણો. બીજગણિત સમીકરણો.

એ) મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ.

b) રેખીય સમીકરણ અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ.

c) ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

d) દ્વિપદી સમીકરણો અને તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા.

ડી) ઘન સમીકરણોઅને તેને હલ કરવાની રીતો.

e) દ્વિપક્ષીય સમીકરણઅને તેને હલ કરવાની રીત.

g) ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

g) સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઅને ઉકેલમાંથી પદ્ધતિઓ.

h) તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણઅને તે જે રીતે છે

અને) અતાર્કિક સમીકરણોઅને તેને હલ કરવાની રીતો.

j) નિશાની હેઠળ અજાણ્યા સમીકરણો.

ચોક્કસ મૂલ્ય અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ.

ગુણાતીત સમીકરણો.

એ) ઘાતાંકીય સમીકરણોઅને તેમને હલ કરવાની રીત.

b) લઘુગણક સમીકરણોઅને તેમને હલ કરવાની રીત.

પરિચય

માં ગણિતનું શિક્ષણ મેળવ્યું માધ્યમિક શાળા, છે આવશ્યક ઘટક સામાન્ય શિક્ષણઅને સામાન્ય સંસ્કૃતિઆધુનિક માણસ. આધુનિક માણસની આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ ગણિત સાથે જોડાયેલી છે. એ નવીનતમ સિદ્ધિઓભૌતિકશાસ્ત્ર, ટેકનોલોજી અને માહિતી ટેકનોલોજીભવિષ્યમાં પણ સ્થિતિ એવી જ રહેશે તેમાં કોઈ શંકા નથી. તેથી, ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે જેને તમારે કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવાની જરૂર છે.

આ કાર્ય ઉપરોક્ત વિષય પર અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીને સારાંશ અને વ્યવસ્થિત કરવાનો પ્રયાસ છે. મેં સામગ્રીને સરળથી શરૂ કરીને, મુશ્કેલીના ક્રમમાં ગોઠવી છે. તેમાં શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાંથી અમને જાણીતા સમીકરણોના પ્રકાર અને વધારાની સામગ્રીનો સમાવેશ થાય છે. તે જ સમયે, મેં સમીકરણોના પ્રકારો બતાવવાનો પ્રયાસ કર્યો જે શાળાના અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી, પરંતુ ઉચ્ચ શિક્ષણમાં પ્રવેશ કરતી વખતે જેનું જ્ઞાન જરૂરી હોઈ શકે છે. શૈક્ષણિક સંસ્થા. મારા કામમાં, સમીકરણો હલ કરતી વખતે, મેં મારી જાતને ફક્ત આટલા સુધી મર્યાદિત ન રાખી માન્ય ઉકેલ, પણ જટિલ સૂચવે છે, કારણ કે મને લાગે છે કે અન્યથા સમીકરણ ફક્ત વણઉકેલાયેલ છે. છેવટે, જો કોઈ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી. કમનસીબે, સમયના અભાવે, હું મારી પાસેની તમામ સામગ્રી રજૂ કરી શક્યો ન હતો, પરંતુ અહીં પ્રસ્તુત સામગ્રી સાથે પણ ઘણા પ્રશ્નો ઉભા થઈ શકે છે. હું આશા રાખું છું કે મારું જ્ઞાન મોટાભાગના પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે પૂરતું છે. તેથી, હું સામગ્રી રજૂ કરવાનું શરૂ કરું છું.

ગણિત... ક્રમ દર્શાવે છે,

સમપ્રમાણતા અને નિશ્ચિતતા,

અને આ સૌંદર્યના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારો છે.

એરિસ્ટોટલ.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે ઋષિઓએ અજાણ્યા જથ્થાઓ ધરાવતી સમાનતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે કદાચ કોઈ સિક્કા અથવા પાકીટ નહોતા. પરંતુ ત્યાં ઢગલા, તેમજ પોટ્સ અને બાસ્કેટ હતા, જે સ્ટોરેજ કેશની ભૂમિકા માટે યોગ્ય હતા જે અજ્ઞાત સંખ્યામાં વસ્તુઓને પકડી શકે છે. "અમે એક ઢગલા શોધી રહ્યા છીએ જે, બે તૃતીયાંશ, સાડા અને સાતમા ભાગ સાથે મળીને 37 બનાવે છે...", ઇજિપ્તીયન લેખક અહેમસે 2જી સહસ્ત્રાબ્દી બીસીમાં શીખવ્યું. પ્રાચીનોમાં ગાણિતિક સમસ્યાઓમેસોપોટેમિયા, ભારત, ચીન, ગ્રીસ, અજાણ્યા જથ્થામાં બગીચામાં મોરની સંખ્યા, ટોળામાં બળદની સંખ્યા, મિલકતનું વિભાજન કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી વસ્તુઓની સંપૂર્ણતા દર્શાવવામાં આવી છે. લેખિકાઓ, અધિકારીઓ અને દીક્ષાર્થીઓ હિસાબ વિજ્ઞાનમાં સારી રીતે પ્રશિક્ષિત છે ગુપ્ત જ્ઞાનપાદરીઓએ આવા કાર્યોનો તદ્દન સફળતાપૂર્વક સામનો કર્યો.

અમારા સુધી પહોંચેલા સ્ત્રોતો સૂચવે છે કે પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો પાસે કેટલાક હતા સામાન્ય તકનીકોઅજ્ઞાત જથ્થા સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. જો કે, એક પણ પેપિરસ નહીં, એક પણ નહીં માટીની ગોળીઆ તકનીકોનું કોઈ વર્ણન આપવામાં આવ્યું નથી. લેખકો માત્ર ક્યારેક-ક્યારેક તેમની સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ અસ્પષ્ટ ટિપ્પણીઓ સાથે પ્રદાન કરે છે જેમ કે: "જુઓ!", "આ કરો!", "તમને યોગ્ય મળ્યું." આ અર્થમાં, અપવાદ એલેક્ઝાન્ડ્રિયા (III સદી) ના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસનું "અંકગણિત" છે - તેમના ઉકેલોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત સાથે સમીકરણો કંપોઝ કરવા માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ.

જો કે, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પ્રથમ માર્ગદર્શિકા જે વ્યાપકપણે જાણીતી બની હતી તે 9મી સદીના બગદાદના વૈજ્ઞાનિકનું કાર્ય હતું. મુહમ્મદ બિન મુસા અલ-ખ્વારીઝમી. આ ગ્રંથના અરબી નામમાંથી "અલ-જબર" શબ્દ - "કિતાબ અલ-જાબેર વાલ-મુકાબલા" ("પુનઃસ્થાપન અને વિરોધનું પુસ્તક") - સમય જતાં જાણીતા શબ્દ "બીજગણિત"માં ફેરવાઈ ગયો, અને કાર્ય અલ-ખ્વારિઝ્મીએ પોતે સમીકરણો ઉકેલવાના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સેવા આપી હતી.

સમીકરણો બીજગણિત સમીકરણો

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

બીજગણિતમાં, બે પ્રકારની સમાનતાઓ ગણવામાં આવે છે - ઓળખ અને સમીકરણ.

ઓળખએક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના તમામ (સ્વીકાર્ય) મૂલ્યો માટે ધરાવે છે). નિશાની સાથે ઓળખ રેકોર્ડ કરવી

સમીકરણએ એક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના ચોક્કસ મૂલ્યો માટે જ ધરાવે છે. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરો, સમસ્યાની શરતો અનુસાર, અસમાન હોઈ શકે છે: કેટલાક તેમના તમામ સ્વીકારી શકે છે માન્ય મૂલ્યો(તેમને કહેવામાં આવે છે પરિમાણોઅથવા ગુણાંકસમીકરણો અને સામાન્ય રીતે પ્રથમ અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે લેટિન મૂળાક્ષરો:

IN સામાન્ય દૃશ્યસમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

સંખ્યા પર આધાર રાખીને અજ્ઞાત સમીકરણએક, બે, વગેરે અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ કહેવાય છે.

રેખીય સમીકરણો. ઉકેલો, ઉદાહરણો.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

રેખીય સમીકરણો.

રેખીય સમીકરણો સૌથી વધુ નથી જટિલ વિષય શાળા ગણિત. પરંતુ ત્યાં કેટલીક યુક્તિઓ છે જે પ્રશિક્ષિત વિદ્યાર્થીને પણ કોયડારૂપ કરી શકે છે. ચાલો તેને શોધી કાઢીએ?)

સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણને ફોર્મના સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

કુહાડી + b = 0 જ્યાં a અને b- કોઈપણ સંખ્યાઓ.

2x + 7 = 0. અહીં a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 અહીં a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 અહીં a=12, b=1/2

કંઈ જટિલ નથી, બરાબર? ખાસ કરીને જો તમે શબ્દો પર ધ્યાન આપતા નથી: "જ્યાં a અને b કોઈપણ સંખ્યાઓ છે"... અને જો તમે નોટિસ અને બેદરકારીથી તેના વિશે વિચારો છો?) છેવટે, જો a=0, b=0(કોઈપણ સંખ્યા શક્ય છે?), તો પછી આપણને એક રમુજી અભિવ્યક્તિ મળે છે:

પરંતુ તે બધુ જ નથી! જો, કહો, a=0,એ b=5,આ સંપૂર્ણપણે સામાન્યની બહાર કંઈક હોવાનું બહાર આવ્યું છે:

જે હેરાન કરે છે અને ગણિતમાં આત્મવિશ્વાસને નબળી પાડે છે, હા...) ખાસ કરીને પરીક્ષા દરમિયાન. પરંતુ આ વિચિત્ર અભિવ્યક્તિઓમાંથી તમારે X પણ શોધવાની જરૂર છે! જે બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી. અને, આશ્ચર્યજનક રીતે, આ X શોધવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. આપણે આ કરવાનું શીખીશું. આ પાઠમાં.

રેખીય સમીકરણને તેના દેખાવ દ્વારા કેવી રીતે ઓળખવું? તે શું આધાર રાખે છે દેખાવ.) યુક્તિ એ છે કે માત્ર સ્વરૂપના સમીકરણોને રેખીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે કુહાડી + b = 0 , પણ કોઈપણ સમીકરણો કે જે પરિવર્તન અને સરળીકરણ દ્વારા આ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. અને કોણ જાણે છે કે તે નીચે આવે છે કે નહીં?)

કેટલાક કિસ્સાઓમાં રેખીય સમીકરણ સ્પષ્ટ રીતે ઓળખી શકાય છે. ચાલો કહીએ, જો આપણી પાસે એવું સમીકરણ છે જેમાં પ્રથમ ડિગ્રી અને સંખ્યાઓ માટે માત્ર અજાણ્યા છે. અને સમીકરણમાં ના છે દ્વારા વિભાજિત અપૂર્ણાંક અજ્ઞાત , આ મહત્વપૂર્ણ છે! અને દ્વારા વિભાજન સંખ્યાઅથવા સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક - તે આવકાર્ય છે! ઉદાહરણ તરીકે:

આ એક રેખીય સમીકરણ છે. અહીં અપૂર્ણાંકો છે, પરંતુ ચોરસ, ઘન, વગેરેમાં x નથી અને છેદમાં x નથી, એટલે કે. ના x દ્વારા વિભાજન. અને અહીં સમીકરણ છે

રેખીય કહી શકાય નહીં. અહીં એક્સ તમામ પ્રથમ ડિગ્રીમાં છે, પરંતુ ત્યાં છે x સાથે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજન. સરળીકરણો અને રૂપાંતરણો પછી, તમે એક રેખીય સમીકરણ, ચતુર્ભુજ સમીકરણ અથવા તમને જોઈતું કંઈપણ મેળવી શકો છો.

તે તારણ આપે છે કે જ્યાં સુધી તમે તેને લગભગ હલ ન કરો ત્યાં સુધી કેટલાક જટિલ ઉદાહરણમાં રેખીય સમીકરણને ઓળખવું અશક્ય છે. આ અસ્વસ્થ છે. પરંતુ સોંપણીઓમાં, એક નિયમ તરીકે, તેઓ સમીકરણના સ્વરૂપ વિશે પૂછતા નથી, બરાબર? સોંપણીઓ સમીકરણો માટે પૂછે છે નક્કી કરો.આ મને ખુશ કરે છે.)

રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા. ઉદાહરણો.

સમગ્ર ઉકેલ રેખીય સમીકરણોસમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણોનો સમાવેશ થાય છે. માર્ગ દ્વારા, આ પરિવર્તનો (તેમાંથી બે!) ઉકેલોનો આધાર છે ગણિતના તમામ સમીકરણો.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉકેલ કોઈપણસમીકરણ આ જ પરિવર્તનોથી શરૂ થાય છે. રેખીય સમીકરણોના કિસ્સામાં, તે (ઉકેલ) આ પરિવર્તનો પર આધારિત છે અને સંપૂર્ણ જવાબ સાથે સમાપ્ત થાય છે. તે લિંકને અનુસરવાનું અર્થપૂર્ણ છે, ખરું ને?) વધુમાં, ત્યાં રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ છે.

પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણ જોઈએ. કોઈપણ મુશ્કેલીઓ વિના. ધારો કે આપણે આ સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર છે.

x - 3 = 2 - 4x

આ એક રેખીય સમીકરણ છે. X ની તમામ પ્રથમ શક્તિમાં છે, X ના દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી. પરંતુ, હકીકતમાં, તે કેવા પ્રકારનું સમીકરણ છે તેનાથી અમને કોઈ ફરક પડતો નથી. આપણે તેને હલ કરવાની જરૂર છે. અહીં યોજના સરળ છે. સમીકરણની ડાબી બાજુએ X સાથે બધું એકત્રિત કરો, જમણી બાજુએ X (સંખ્યાઓ) વિના બધું.

આ કરવા માટે તમારે ટ્રાન્સફર કરવાની જરૂર છે - 4x in ડાબી બાજુ, ચિહ્નના ફેરફાર સાથે, અલબત્ત, અને - 3 - જમણી બાજુએ. માર્ગ દ્વારા, આ છે સમીકરણોનું પ્રથમ સમાન પરિવર્તન.આશ્ચર્ય થયું? આનો અર્થ એ છે કે તમે લિંકને અનુસરી નથી, પરંતુ નિરર્થક...) અમને મળે છે:

x + 4x = 2 + 3

અહીં સમાન છે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

સંપૂર્ણ સુખ માટે આપણને શું જોઈએ છે? હા, જેથી ડાબી બાજુએ શુદ્ધ X હોય! પાંચ રસ્તામાં છે. પાંચની મદદથી છુટકારો મેળવવો સમીકરણોનું બીજું સમાન રૂપાંતરણ.જેમ કે, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને 5 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. અમને તૈયાર જવાબ મળે છે:

એક પ્રાથમિક ઉદાહરણ, અલબત્ત. આ વોર્મિંગ અપ માટે છે.) તે ખૂબ જ સ્પષ્ટ નથી કે મને અહીં શા માટે સમાન પરિવર્તનો યાદ આવ્યા? ઠીક છે. ચાલો બળદને શિંગડાથી લઈ જઈએ.) ચાલો કંઈક વધુ નક્કર નક્કી કરીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં સમીકરણ છે:

આપણે ક્યાંથી શરૂઆત કરીએ? X ની સાથે - ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી બાજુએ? તે શક્ય છે. નાના પગલામાં લાંબો રસ્તો. અથવા તમે તેને સાર્વત્રિક અને શક્તિશાળી રીતે તરત જ કરી શકો છો. જો, અલબત્ત, તમારી પાસે તમારા શસ્ત્રાગારમાં સમીકરણોના સમાન પરિવર્તનો છે.

હું તમને પૂછું છું મુખ્ય પ્રશ્ન: આ સમીકરણ વિશે તમને સૌથી વધુ શું નાપસંદ છે?

100 માંથી 95 લોકો જવાબ આપશે: અપૂર્ણાંક ! જવાબ સાચો છે. તો ચાલો તેમાંથી છુટકારો મેળવીએ. તેથી, અમે તરત જ શરૂ કરીએ છીએ બીજું ઓળખ પરિવર્તન. તમારે ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકને શું વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને છેદ સંપૂર્ણપણે ઘટી જાય? તે સાચું છે, 3 પર. અને જમણી બાજુએ? 4 દ્વારા. પરંતુ ગણિત આપણને બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે સમાન નંબર. આપણે કેવી રીતે બહાર નીકળી શકીએ? ચાલો બંને બાજુઓને 12 વડે ગુણાકાર કરીએ! તે. પર સામાન્ય છેદ. પછી ત્રણ અને ચાર બંને ઘટશે. ભૂલશો નહીં કે તમારે દરેક ભાગને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે સંપૂર્ણપણે. પ્રથમ પગલું કેવું દેખાય છે તે અહીં છે:

કૌંસનું વિસ્તરણ:

ધ્યાન આપો! અંશ (x+2)મેં તેને કૌંસમાં મૂક્યું! આ એટલા માટે છે કારણ કે જ્યારે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમગ્ર અંશનો ગુણાકાર થાય છે! હવે તમે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો:

બાકીના કૌંસને વિસ્તૃત કરો:

ઉદાહરણ નથી, પરંતુ નિર્ભેળ આનંદ!) હવે માંથી જોડણી યાદ કરીએ જુનિયર વર્ગો: X સાથે - ડાબી બાજુ, X વગર - જમણી બાજુ!અને આ પરિવર્તન લાગુ કરો:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

અને બંને ભાગોને 25 વડે વિભાજીત કરો, એટલે કે. ફરીથી બીજું પરિવર્તન લાગુ કરો:

બસ. જવાબ: એક્સ=0,16

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: મૂળ ગૂંચવણભર્યા સમીકરણને સરસ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અમે બેનો ઉપયોગ કર્યો (માત્ર બે!) ઓળખ પરિવર્તન- સમાન સંખ્યા દ્વારા સમીકરણના ચિહ્ન અને ગુણાકાર-વિભાજનના ફેરફાર સાથે ડાબે-જમણે અનુવાદ. આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિ! અમે સાથે આ રીતે કામ કરીશું કોઈપણ સમીકરણો ચોક્કસ કોઈપણ. તેથી જ હું કંટાળાજનક રીતે આ સમાન પરિવર્તનો વિશે હંમેશાં પુનરાવર્તન કરું છું.)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત સરળ છે. અમે સમીકરણ લઈએ છીએ અને તેને સરળ બનાવીએ છીએ ઓળખ પરિવર્તનપ્રતિભાવ પ્રાપ્ત કરતા પહેલા. અહીં મુખ્ય સમસ્યાઓ ગણતરીમાં છે, ઉકેલના સિદ્ધાંતમાં નહીં.

પરંતુ... સૌથી પ્રાથમિક રેખીય સમીકરણોને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં એવા આશ્ચર્યો છે કે તેઓ તમને મજબૂત મૂર્ખ બનાવી શકે છે...) સદનસીબે, આવા માત્ર બે આશ્ચર્ય હોઈ શકે છે. ચાલો તેમને વિશેષ કેસ કહીએ.

રેખીય સમીકરણો ઉકેલવામાં ખાસ કિસ્સાઓ.

પ્રથમ આશ્ચર્ય.

ચાલો કહીએ કે તમને તે મળી ગયું સૌથી પ્રાથમિક સમીકરણ, કંઈક આના જેવું:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

સહેજ કંટાળીને, અમે તેને X સાથે ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ... ચિહ્નના ફેરફાર સાથે, બધું સંપૂર્ણ છે... અમને મળે છે:

2x-5x+3x=5-2-3

અમે ગણતરી કરીએ છીએ, અને... અરે!!! અમને મળે છે:

આ સમાનતા પોતે જ વાંધાજનક નથી. શૂન્ય ખરેખર શૂન્ય બરાબર. પણ X ખૂટે છે! અને આપણે જવાબમાં લખવું જોઈએ, x બરાબર શું છે?નહિંતર, ઉકેલ ગણાય નહીં, ખરું...) ડેડ એન્ડ?

શાંત! આવા શંકાસ્પદ કિસ્સાઓમાં, સૌથી સામાન્ય નિયમો તમને બચાવશે. સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા? સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ છે, x ની બધી કિંમતો શોધો જે, જ્યારે માં બદલવામાં આવે છે મૂળ સમીકરણ, આપણને સાચી સમાનતા આપશે.

પરંતુ આપણી પાસે સાચી સમાનતા છે પહેલેથીતે કામ કર્યું! 0=0, કેટલું વધુ સચોટ?! આ x શું થાય છે તે શોધવાનું બાકી છે. X ના કયા મૂલ્યોને બદલી શકાય છે મૂળસમીકરણ જો આ x છે શું તેઓ હજુ પણ શૂન્ય થઈ જશે?આવો?)

હા!!! X ને બદલી શકાય છે કોઈપણ!તમને કયા જોઈએ છે? ઓછામાં ઓછું 5, ઓછામાં ઓછું 0.05, ઓછામાં ઓછું -220. તેઓ હજુ પણ સંકોચાઈ જશે. જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરતા હો, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો.) X ના કોઈપણ મૂલ્યોને તેમાં બદલો મૂળસમીકરણ અને ગણતરી. તે બધા સમય કામ કરશે શુદ્ધ સત્ય: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 અને તેથી વધુ.

અહીં તમારો જવાબ છે: x - કોઈપણ સંખ્યા.

જવાબ વિવિધ ગાણિતિક પ્રતીકોમાં લખી શકાય છે, સાર બદલાતો નથી. આ એક સંપૂર્ણ સાચો અને સંપૂર્ણ જવાબ છે.

બીજું આશ્ચર્ય.

ચાલો એ જ પ્રાથમિક રેખીય સમીકરણ લઈએ અને તેમાં માત્ર એક સંખ્યા બદલીએ. આ અમે નક્કી કરીશું:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

સમાન સમાન પરિવર્તનો પછી, અમને કંઈક રસપ્રદ મળે છે:

આની જેમ. અમે એક રેખીય સમીકરણ હલ કર્યું અને એક વિચિત્ર સમાનતા મેળવી. બોલતા ગાણિતિક ભાષા, અમને મળ્યું ખોટી સમાનતા.અને બોલતા સરળ ભાષામાં, આ સાચું નથી. રેવ. પરંતુ તેમ છતાં, આ નોનસેન્સ માટે ખૂબ જ સારું કારણ છે યોગ્ય નિર્ણયસમીકરણો.)

ફરીથી આપણે સામાન્ય નિયમોના આધારે વિચારીએ છીએ. x શું છે, જ્યારે મૂળ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, ત્યારે તે આપણને આપશે સાચુંસમાનતા? હા, કોઈ નહીં! આવા કોઈ એક્સ નથી. તમે જે પણ મુકો છો તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, બધું ઓછું થઈ જશે, ફક્ત બકવાસ જ રહેશે.)

અહીં તમારો જવાબ છે: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

આ પણ એક સંપૂર્ણ સંપૂર્ણ જવાબ છે. ગણિતમાં આવા જવાબો વારંવાર જોવા મળે છે.

આની જેમ. હવે, હું આશા રાખું છું કે, કોઈપણ (માત્ર રેખીય નહીં) સમીકરણને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં X ના અદ્રશ્ય થવાથી તમને જરાય મૂંઝવણ નહીં થાય. આ પહેલેથી જ પરિચિત બાબત છે.)

હવે જ્યારે આપણે રેખીય સમીકરણોમાં તમામ ક્ષતિઓ સાથે વ્યવહાર કર્યો છે, તે તેમને ઉકેલવા માટે અર્થપૂર્ણ છે.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.