ચાલો હવે મુખ્ય સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરફ આગળ વધીએ ગતિ સિદ્ધાંતવાયુઓ - સમીકરણ જે વિતરણ કાર્ય નક્કી કરે છે.

જો પરમાણુઓની અથડામણને એકસાથે અવગણવામાં આવી શકે, તો દરેક ગેસ પરમાણુ બંધ સબસિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે અને લિઓવિલે પ્રમેય પરમાણુઓના વિતરણ કાર્ય માટે માન્ય રહેશે, જે મુજબ

(જુઓ વી, § 3). અહીં કુલ વ્યુત્પન્નનો અર્થ થાય છે પરમાણુના તબક્કાના માર્ગ સાથે ભિન્નતા, તેના ગતિના સમીકરણો દ્વારા નિર્ધારિત. યાદ કરો કે લિઓવિલેનું પ્રમેય વિતરણ કાર્ય માટે ધરાવે છે જે ચોક્કસપણે ઘનતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે તબક્કાની જગ્યા(એટલે ​​​​કે ચલોની જગ્યામાં જે પ્રમાણભૂત રીતે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટા છે).

આ પરિસ્થિતિ દખલ કરતી નથી. અલબત્ત, હકીકત એ છે કે ફંક્શન f પોતે પછી અન્ય કોઈપણ ચલો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ગેરહાજરીમાં બાહ્ય ક્ષેત્રમુક્તપણે ફરતા પરમાણુના જથ્થાઓ સતત રહે છે અને માત્ર તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાય છે; તે જ સમયે

જો ગેસ, ઉદાહરણ તરીકે, પરમાણુના જડતાના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ પર કામ કરતા બાહ્ય ક્ષેત્રમાં હોય (કહો, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં), તો પછી

ક્ષેત્રમાંથી પરમાણુ પર કામ કરતું બળ ક્યાં છે.

અથડામણોને ધ્યાનમાં લેવાથી સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે (3.1); વિતરણ કાર્ય સાથે સતત રહેવાનું બંધ કરે છે તબક્કાના માર્ગો. (3.1) ને બદલે આપણે લખવું જોઈએ

જ્યાં પ્રતીકનો અર્થ થાય છે અથડામણને કારણે વિતરણ કાર્યના ફેરફારનો દર: તબક્કાના જથ્થામાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં અથડામણને કારણે એકમ સમય દીઠ ફેરફાર થાય છે

સમીકરણ (3.4) (માંથી (3.2)) માં વિતરણ કાર્યમાં કુલ ફેરફાર નક્કી કરે છે આપેલ બિંદુતબક્કાની જગ્યા; આ શબ્દ ફેઝ સ્પેસના આપેલ તત્વમાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં ઘટાડો (1 સેમાં) છે, જે તેમની મુક્ત હિલચાલ સાથે સંકળાયેલ છે.

જથ્થાને અથડામણ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે, અને સ્વરૂપના સમીકરણો (3.4) સામાન્ય રીતે ગતિ સમીકરણો કહેવાય છે. અલબત્ત ગતિ સમીકરણપ્રાપ્ત કરે છે વાસ્તવિક અર્થઅથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપની સ્થાપના કર્યા પછી જ. હવે આપણે આ મુદ્દા તરફ વળીશું.

જ્યારે બે પરમાણુઓ અથડાય છે, ત્યારે તેમના મૂલ્યોના મૂલ્યો Γ બદલાય છે. તેથી, પરમાણુ દ્વારા અનુભવાતી દરેક અથડામણ તેને આપેલ અંતરાલમાંથી બહાર લઈ જાય છે.

સંપૂર્ણ સંખ્યાદરેક સાથે સંક્રમણો સાથે અથડામણ શક્ય મૂલ્યો; આપેલ Γ માટે વોલ્યુમ dV માં એકમ સમય દીઠ થાય છે તે અવિભાજ્ય સમાન છે

જો કે, આવી અથડામણો ("આગમન") પણ થાય છે, જેના પરિણામે જે પરમાણુઓ શરૂઆતમાં આપેલ અંતરાલની બહાર પડેલા Γ ના મૂલ્યોના મૂલ્યો ધરાવતા હતા તે આ અંતરાલમાં આવે છે. આ આપેલ G માટે શક્ય તમામ સાથે ફરીથી સંક્રમણો સાથેની અથડામણો છે. આવી અથડામણની કુલ સંખ્યા (વોલ્યુમ ડીવીમાં એકમ સમય દીઠ) બરાબર છે

આગમનની ક્રિયાઓની સંખ્યામાંથી પ્રસ્થાનના કૃત્યોની સંખ્યાને બાદ કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે તમામ અથડામણના પરિણામે પ્રશ્નમાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં 1 સેકન્ડનો વધારો થાય છે.

જ્યાં સંક્ષિપ્તતા માટે આપણે સૂચવીએ છીએ

આમ, અમે અથડામણના અભિન્ન માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ:

ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં બીજા ટર્મમાં, એકીકરણ ઓવર ફંક્શન w પર લાગુ થાય છે; પરિબળો આ ચલો પર આધારિત નથી. તેથી, અભિન્નતાના આ ભાગને એકતા સંબંધનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે (2.9). પરિણામે, અથડામણ અભિન્ન સ્વરૂપ લે છે

જેમાં બંને પદો સમાન ગુણાંક સાથે દાખલ થાય છે.

અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપની સ્થાપના કર્યા પછી, અમને ગતિ સમીકરણ લખવાની તક મળી.

આ એકીકૃત-વિભેદક સમીકરણને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. તે સૌપ્રથમ 1872 માં ગતિ સિદ્ધાંતના સ્થાપક, લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું.

સમતુલા આંકડાકીય વિતરણગતિ સમીકરણને સમાન રીતે સંતોષવા જોઈએ. આ શરત ખરેખર પૂરી થઈ છે. સંતુલન વિતરણ સ્થિર છે અને (બાહ્ય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં) સજાતીય છે; તેથી જ ડાબી બાજુસમીકરણ (3.8) સમાન રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. શૂન્યની બરાબરઅથડામણ અભિન્ન: સમાનતાને કારણે (2.5), તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે એકીકરણ. અલબત્ત, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં ગેસનું સંતુલન વિતરણ પણ ગતિ સમીકરણને સંતોષે છે. તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે ગતિ સમીકરણની ડાબી બાજુ એ કુલ વ્યુત્પન્ન df/dt છે, જે માત્ર ગતિના અભિન્ન ઘટકોના આધારે કોઈપણ કાર્ય માટે સમાનરૂપે અદૃશ્ય થઈ જાય છે; સંતુલન વિતરણ માત્ર ગતિના અભિન્ન અંગ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે - સંપૂર્ણ ઊર્જાપરમાણુ

પ્રસ્તુત ગતિ સમીકરણની વ્યુત્પત્તિમાં, પરમાણુઓની અથડામણને અવકાશમાં એક બિંદુએ બનતી તાત્કાલિક ઘટનાઓ તરીકે આવશ્યકપણે ગણવામાં આવી હતી. તેથી તે સ્પષ્ટ છે કે ગતિ સમીકરણ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, અથડામણના સમયગાળાની તુલનામાં મોટા હોય તેવા સમયના અંતરાલોમાં અને અથડામણના ક્ષેત્રના કદની તુલનામાં મોટા અંતર પર વિતરણ કાર્યમાં ફેરફારનું નિરીક્ષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. . ક્રિયાની ત્રિજ્યાની તીવ્રતાનો છેલ્લો ક્રમ પરમાણુ દળો d (તેમના કદ સાથે મેળ ખાતા તટસ્થ અણુઓ માટે); અથડામણનો સમય તીવ્રતાના ક્રમનો છે. આ મૂલ્યો અંતર અને અવધિની નીચલી મર્યાદા નક્કી કરે છે, જેની વિચારણા ગતિ સમીકરણ દ્વારા માન્ય છે (આપણે § 16 માં આ પ્રતિબંધોના મૂળ પર પાછા આવીશું). પરંતુ વાસ્તવમાં, સામાન્ય રીતે આવા માટે કોઈ જરૂર (અથવા શક્યતા પણ) હોતી નથી વિગતવાર વર્ણનસિસ્ટમ વર્તન; આ માટે, ખાસ કરીને, પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ (ગેસના અણુઓનું અવકાશી વિતરણ) સમાન ચોકસાઈ સાથે સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર પડશે, જે વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. વાસ્તવિક માં શારીરિક સમસ્યાઓસમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા સિસ્ટમ પર લાદવામાં આવેલ લંબાઈ L અને સમય T ના લાક્ષણિક પરિમાણો છે (મેક્રોસ્કોપિક ગેસના જથ્થાના ગ્રેડિએન્ટ્સની લાક્ષણિક લંબાઈ, લંબાઈ અને તેમાં પ્રચારનો સમયગાળો ધ્વનિ તરંગોવગેરે). આવી સમસ્યાઓમાં, ફક્ત આ L અને T ની સરખામણીમાં નાનું હોય તેવા અંતર અને સમયે સિસ્ટમની વર્તણૂક પર દેખરેખ રાખવા માટે તે પૂરતું છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વોલ્યુમ અને સમયના ભૌતિક રીતે અનંત તત્વો માત્ર L અને તેની સરખામણીમાં નાના હોવા જોઈએ. ટી. આવા તત્વો ઉપર સરેરાશ આપવામાં આવે છે અને પ્રારંભિક શરતોકાર્યો

મોનોટોમિક ગેસ માટે, જથ્થાઓ Γ ને અણુ વેગના ત્રણ ઘટકોમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને (2.8) અનુસાર અથડામણ ઇન્ટિગ્રલમાં ફંક્શન w ને ફંક્શન દ્વારા બદલી શકાય છે.

પછી જુઓ (2.2%) અનુસાર વિભેદક અથડામણ ક્રોસ વિભાગ દ્વારા આ કાર્યને વ્યક્ત કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ

તેનું કાર્ય અને (2.2) અનુસાર નિર્ધારિત ક્રોસ સેક્શનમાં વેગ અને ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમોને વ્યક્ત કરતા -કાર્યકારી પરિબળો છે, જેના કારણે ચલો (આપેલ માટે) હકીકતમાં સ્વતંત્ર નથી. પરંતુ અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ (3.9) માં વ્યક્ત થયા પછી, અમે ધારી શકીએ છીએ કે આ -ફંક્શન્સ અનુરૂપ એકીકરણ દ્વારા પહેલેથી જ દૂર કરવામાં આવ્યા છે; પછી સામાન્ય સ્કેટરિંગ ક્રોસ સેક્શન હશે, જે ફક્ત સ્કેટરિંગ એંગલ પર આધાર રાખીને (આપેલ IR માટે) હશે.

જે એવી સિસ્ટમોનું વર્ણન કરે છે જે થર્મોડાયનેમિક સંતુલનથી દૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાનના ઢાળ અને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રોની હાજરીમાં). બોલ્ટ્ઝમેનના સમીકરણનો ઉપયોગ પ્રવાહી અને વાયુઓમાં ગરમી અને વિદ્યુત ચાર્જના પરિવહનનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે અને તેમાંથી વિદ્યુત વાહકતા, હોલ ઇફેક્ટ, સ્નિગ્ધતા અને થર્મલ વાહકતા જેવા પરિવહન ગુણધર્મો પ્રાપ્ત થાય છે. આ સમીકરણ દુર્લભ સિસ્ટમો માટે લાગુ પડે છે, જ્યાં કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો સમય ઓછો હોય છે (મોલેક્યુલર અરાજકતા પૂર્વધારણા).

ફોર્મ્યુલેશન

બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ સમય જતાં ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે ( t) ઘનતા વિતરણ કાર્યો f(x, પી, t) સિંગલ-પાર્ટીકલ ફેઝ સ્પેસમાં, જ્યાં xઅને પી- અનુક્રમે સંકલન અને ગતિ. વિતરણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે જેથી

તબક્કાના જથ્થામાં કણોની સંખ્યાના પ્રમાણસર d³x d³pએક સમયે t. બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ

અહીં એફ(x, t) એ પ્રવાહી અથવા વાયુના કણો પર કાર્ય કરતા દળોનું ક્ષેત્ર છે, અને m- કણોનો સમૂહ. કણો વચ્ચેની અથડામણ માટે સમીકરણની જમણી બાજુએ એક શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે. જો તે શૂન્ય હોય, તો કણો બિલકુલ અથડતા નથી. આ કેસને ઘણીવાર લિયુવિલે સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. જો દળોનું ક્ષેત્ર એફ(x, t) વિતરણ કાર્યના આધારે યોગ્ય સ્વ-સતત ફીલ્ડ સાથે બદલો f, પછી આપણે વ્લાસોવ સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જે સ્વ-સતત ક્ષેત્રમાં ચાર્જ થયેલ પ્લાઝ્મા કણોની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરે છે. શાસ્ત્રીય બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉપયોગ પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમજ સેમિકન્ડક્ટર અને ધાતુઓના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં થાય છે (વર્ણન કરવા માટે ગતિશીલ ઘટના, એટલે કે ચાર્જ અથવા હીટ ટ્રાન્સફર, ઇ-લિક્વિડમાં).

બોલ્ટ્ઝમેનના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ

પ્રથમ સિદ્ધાંતોમાંથી બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનું માઇક્રોસ્કોપિક વ્યુત્પત્તિ (માધ્યમના તમામ કણો માટેના ચોક્કસ લિયોવિલે સમીકરણ પર આધારિત) શાસ્ત્રીય અને શાસ્ત્રીય અને શાસ્ત્રીય અને કણો માટે જોડી સહસંબંધ કાર્યના સ્તરે બોગોલ્યુબોવ સમીકરણોની સાંકળને તોડીને હાથ ધરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ્સ. સાંકળમાં ગતિ સમીકરણો માટે એકાઉન્ટિંગ સહસંબંધ કાર્યોવધુ ઉચ્ચ ક્રમતમને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણમાં સુધારાઓ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

લિંક્સ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ" શું છે તે જુઓ:બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ - - [એ.એસ. ગોલ્ડબર્ગ. અંગ્રેજી-રશિયન ઊર્જા શબ્દકોશ. 2006] એનર્જી વિષયો સામાન્ય રીતે EN બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ ...

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ઇન્ટિગ્રોડિફરન્શિયલ સમીકરણ, જેમાંથી સિસ્ટમોના બિન-સંતુલન એકલ-કણ વિતરણ કાર્યો દ્વારા સંતુષ્ટ છે મોટી સંખ્યામાં h c, દા.ત. વેગ v અને કોઓર્ડિનેટ્સ r પર ગેસના અણુઓના f(v, r, t) વિતરણનું કાર્ય, માં ઇલેક્ટ્રોનના વિતરણનું કાર્ય... ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

ઇન્ટિગ્રોડિફરન્શિયલ સમીકરણ, તે ઉપરાંત મોટી સંખ્યામાં કણોની સિસ્ટમના અસંતુલન એકલ-કણ વિતરણ કાર્યો સંતુષ્ટ છે, ઉદાહરણ તરીકે, વેગ અને કોઓર્ડિનેટ્સ r પર ગેસના અણુઓનું વિતરણ કાર્ય, ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું વિતરણ કાર્ય,.. . ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

ઓછી ઘનતાવાળા વાયુઓમાં અસંતુલન પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતા વેગ ν અને કોઓર્ડિનેટ્સ r (સમય t પર આધાર રાખીને) ના વિતરણ કાર્ય f (ν, r, t) માટેનું સમીકરણ. ફંક્શન f વેગ સાથે કણોની સરેરાશ સંખ્યા નક્કી કરે છે... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

વ્લાસોવ સમીકરણ એ લાંબા અંતરને ધ્યાનમાં લેતા ચાર્જ થયેલા કણોના પ્લાઝ્માની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરતી સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. કુલોમ્બ દળોસ્વ-સતત ક્ષેત્ર દ્વારા. સૌપ્રથમ એ. એ. વ્લાસોવ દ્વારા એક લેખમાં પ્રસ્તાવિત અને બાદમાં દર્શાવેલ... ... વિકિપીડિયા

ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ અનુસાર સંભાવના ઘનતા કાર્યનું ઉત્ક્રાંતિ. ફોકર પ્લાન્ક સમીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક પૈકીનું એક છે વિભેદક સમીકરણો, કોઓર્ડિનેટ્સ અને... ... વિકિપીડિયાના સંભવિત ઘનતા કાર્યના સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે

બોલ્ટ્ઝમેનનું સમીકરણ, જેને બોલ્ટ્ઝમેનના ગતિ સમીકરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તેનું નામ લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે સૌપ્રથમ તેનો વિચાર કર્યો હતો. તે ગેસ અથવા પ્રવાહીમાં કણોના આંકડાકીય વિતરણનું વર્ણન કરે છે અને તે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનું એક છે... ... વિકિપીડિયા

IN ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, લિઓવિલેના પ્રમેયનું નામ આપવામાં આવ્યું છે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીજોસેફ લિયુવિલે, આંકડાકીય અને હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં મુખ્ય પ્રમેય છે. તે જણાવે છે કે તબક્કા અવકાશમાં વિતરણ કાર્ય સ્થિર છે... ... વિકિપીડિયા

મોસ્કો એનર્જી ઇન્સ્ટિટ્યુટ

(તકનીકી યુનિવર્સિટી)

ઇલેક્ટ્રોનિક એન્જિનિયરિંગ ફેકલ્ટી

વિષય પર અમૂર્ત

TO INETIC સમીકરણ બી ઓલ્ટ્ઝમેન.

પૂર્ણ:

કોર્કિન એસ.વી.

શિક્ષક

શેરકુનોવ યુ.બી.

કામનો બીજો ભાગ તદ્દન ભરચક છે જટિલ ગણિત . લેખક ( [ઇમેઇલ સુરક્ષિત], [ઇમેઇલ સુરક્ષિત])આ અભ્યાસક્રમને આદર્શ માનતા નથી, તે વધુ સંપૂર્ણ (અને સમજી શકાય તેવું) કાર્ય લખવા માટે માત્ર પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે જ સેવા આપી શકે છે. લખાણ એ પુસ્તકની નકલ નથી. સહાયક સાહિત્ય માટે અંત જુઓ.

અભ્યાસક્રમ "ઉત્તમ" ચિહ્ન સાથે સ્વીકારવામાં આવ્યો હતો. (કાર્યનું અંતિમ સંસ્કરણ થોડું ખોવાઈ ગયું છે. હું ઉપાંત્ય "સંસ્કરણ" નો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કરું છું).

પરિચય ……………………………………………………………………………… 3

દંતકથા………………………………………………………………. 4

§1 વિતરણ કાર્ય.

§2 કણોની અથડામણ.

§3 અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપનું નિર્ધારણ

અને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણો.

§4. નબળા અસંગત ગેસ માટે ગતિ સમીકરણ.

ગેસની થર્મલ વાહકતા.

કેટલાક સંમેલનો:

n - કણોની સાંદ્રતા;

d એ કણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે;

V એ સિસ્ટમનું ચોક્કસ વોલ્યુમ છે;

P એ અમુક ઘટનાની સંભાવના છે;

f - વિતરણ કાર્ય;

પરિચય.

ભૌતિકશાસ્ત્ર થર્મોડાયનેમિક્સ, આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ભૌતિક ગતિશાસ્ત્ર અભ્યાસની શાખાઓ શારીરિક પ્રક્રિયાઓ, મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ્સમાં બનતું - મોટી સંખ્યામાં માઇક્રોપાર્ટિકલ્સ ધરાવતાં શરીર. સિસ્ટમના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, આવા માઇક્રોપાર્ટિકલ્સ અણુઓ, પરમાણુઓ, આયનો, ઇલેક્ટ્રોન, ફોટોન અથવા અન્ય કણો હોઈ શકે છે. આજે, મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ્સની સ્થિતિનો અભ્યાસ કરવા માટે બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ છે - થર્મોડાયનેમિક, જે મેક્રોસ્કોપિક સરળતાથી માપી શકાય તેવા પરિમાણો દ્વારા સિસ્ટમની સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, દબાણ, વોલ્યુમ, તાપમાન, મોલ્સની સંખ્યા અથવા પદાર્થની સાંદ્રતા) અને, હકીકતમાં, ધ્યાનમાં લેતા નથી અણુ-પરમાણુ માળખુંપદાર્થો, અને વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમના અણુ-પરમાણુ મોડેલ પર આધારિત આંકડાકીય પદ્ધતિ. આ કાર્યમાં થર્મોડાયનેમિક પદ્ધતિની ચર્ચા કરવામાં આવશે નહીં. સિસ્ટમના કણોની વર્તણૂકના જાણીતા કાયદાઓના આધારે, આંકડાકીય પદ્ધતિ આપણને સમગ્ર મેક્રોસિસ્ટમના વર્તનના નિયમોને સંપૂર્ણ રીતે સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉકેલાઈ રહેલી સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે, આંકડાકીય અભિગમ સૂક્ષ્મ કણોની વર્તણૂક વિશે સંખ્યાબંધ ધારણાઓ (ધારણાઓ) બનાવે છે અને તેથી, આંકડાકીય પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલા પરિણામો માત્ર કરવામાં આવેલી ધારણાઓની મર્યાદામાં જ માન્ય છે. આંકડાકીય પદ્ધતિસમસ્યાઓ હલ કરવા માટે સંભવિત અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, સિસ્ટમમાં પૂરતું હોવું આવશ્યક છે મોટી સંખ્યામાંકણો આંકડાકીય પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવામાં આવેલી સમસ્યાઓમાંની એક મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમની સ્થિતિના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ છે. સિસ્ટમની સ્થિતિ સમય સાથે સ્થિર હોઈ શકે છે (સંતુલન સિસ્ટમ) અથવા સમય સાથે બદલાઈ શકે છે (બિન-સંતુલન સિસ્ટમ). ભૌતિક ગતિશાસ્ત્ર આવી સિસ્ટમોમાં બનતી સિસ્ટમો અને પ્રક્રિયાઓની અસંતુલન સ્થિતિઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે.

સમય જતાં વિકસિત થતી સિસ્ટમની સ્થિતિનું સમીકરણ એ ગતિ સમીકરણ છે, જેનો ઉકેલ કોઈપણ સમયે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. ગતિ સમીકરણોમાં રસ તેમની અરજીની સંભાવના સાથે સંકળાયેલ છે વિવિધ વિસ્તારોભૌતિકશાસ્ત્ર: ગેસના ગતિ સિદ્ધાંતમાં, એસ્ટ્રોફિઝિક્સમાં, પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પ્રવાહી મિકેનિક્સ. આ પેપર સ્થાપકોમાંથી એક દ્વારા મેળવેલા ગતિ સમીકરણની તપાસ કરે છે આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રઅને ભૌતિક ગતિશાસ્ત્રઑસ્ટ્રિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન 1872 માં અને તેમનું નામ ધરાવે છે.

§1 વિતરણ કાર્ય.

ગેસ કણો અસ્પષ્ટ છે (સમાન);

કણો ફક્ત જોડીમાં અથડાય છે (આપણે એક સાથે ત્રણ અથવા વધુ કણોની અથડામણને અવગણીએ છીએ);

અથડામણ પહેલાં તરત જ, કણો એકબીજા તરફ એક સીધી રેખામાં આગળ વધે છે;

પરમાણુઓની અથડામણ એ સીધી કેન્દ્રીય સ્થિતિસ્થાપક અસર છે;

અને. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ

શાસ્ત્રીય કણની અનુવાદાત્મક ગતિ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ

લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન, ઑસ્ટ્રિયન સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી, ઑસ્ટ્રિયન એકેડેમી ઑફ સાયન્સના સભ્ય, ક્લાસિકલ ગતિ સિદ્ધાંતના સ્થાપકોમાંના એક.

ચાલો હવે ધ્યાનમાં લઈએ કે તાપમાન T 1 અને T 2 ધરાવતા બે અલગ-અલગ રીતે ગરમ થયેલા વાયુઓ જ્યારે સંપર્કમાં આવે ત્યારે સમાન રીતે વર્તે છે. > ટી 1 . તેમાંથી એક ગરમ થાય છે, અન્ય ઠંડુ થાય છે, અને થોડા સમય પછી તેમનું તાપમાન સમાન (ટી) થઈ જાય છે. વાયુઓ રાજ્યમાં આવે છે થર્મલ સંતુલન અને ગરમીનું વિનિમય અટકે છે. ચાલો આકૃતિ સાથે શું કહેવામાં આવ્યું છે તે સમજાવીએ.

તેથી, ડબલ્યુઅને ટીબરાબર એ જ રીતે વર્તે છે: જ્યારે વાયુઓ સંપર્કમાં આવે છે, ત્યારે આ બંને લાક્ષણિકતાઓ એક જ રીતે બદલાય છે અને પછી તેની સરખામણી કરવામાં આવે છે, જે ઊર્જા અથવા થર્મલ સંતુલનની સ્થિતિને અનુરૂપ છે. સખત ગણતરીઓ બતાવે છે તેમ, આ લાક્ષણિકતાઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી છે પ્રમાણસર નિર્ભરતા: ટી ~ ડબલ્યુ.

ગેસનું તાપમાન તેના પરમાણુઓની ગતિ ઊર્જા દ્વારા માપવાનું પણ શક્ય બનશે. જો કે, આ અસુવિધાજનક હશે, ત્યારથી તે જ્યુલ્સમાં તાપમાન માપવા માટે જરૂરી રહેશે, જે, પ્રથમ, અસામાન્ય છે અને, બીજું, તાપમાનને ખૂબ ઓછી સંખ્યામાં વ્યક્ત કરશે. ઉદાહરણ તરીકે, 273 K બરાબર બરફનું ગલન તાપમાન 5.7 10 -21 Lz તરીકે દર્શાવવામાં આવશે. સામાન્ય કેલ્વિન પર તાપમાન જાળવવા (અથવા °C),સ્વીકારવા માટે સૌથી અનુકૂળ

પરિમાણીય પરિબળ ક્યાં છે k ([k] - J/K) K એકમોમાં તાપમાન માપન પ્રદાન કરે છે, અને સંખ્યાત્મક ગુણાંક 2/3 રજૂ કરવામાં આવ્યો છે કારણ કે તે ઉભો છે ડબલ્યુ થીક્લોસિયસ સમીકરણમાં. આ રીતે માપવામાં આવેલ તાપમાન દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે ટીઅને કૉલ કરો થર્મોડાયનેમિક તાપમાન:

છેલ્લા અભિવ્યક્તિ પરથી તે અનુસરે છે બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ:

જ્યાં k = 1.38 10 -23 J/K - બોલ્ટ્ઝમેન સતત(તેણી સંખ્યાત્મક મૂલ્યપછીથી આપણે તેને સૈદ્ધાંતિક રીતે મેળવીશું). બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે ભૌતિક અર્થશૂન્ય થર્મોડાયનેમિક તાપમાન (0 K): પર ટી= 0 હશે W k = 0,તે શૂન્ય કેલ્વિન પર, પરમાણુઓની હિલચાલ અટકી જાય છે (એટલે ​​​​કે થર્મલ મૂવમેન્ટ).

ગેસનું આંકડાકીય વર્ણન તેમના તબક્કાના અવકાશમાં ગેસના અણુઓના વિતરણ કાર્ય દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યાં પરમાણુના સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ છે, કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ સામાન્યકૃત આવેગનો સમૂહ છે, સમય છે (વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે. બિન-સ્થિર સ્થિતિમાં સમયસર). ઘણી વાર, પ્રતીક Г એ તમામ ચલોના સમૂહને સૂચવે છે કે જેના પર વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે, પરમાણુ અને સમયના કોઓર્ડિનેટ્સને બાદ કરતાં. જથ્થામાં છે મહત્વપૂર્ણ મિલકત: આ એવી ગતિવિધિઓ છે જે દરેક અણુ માટે તેની મુક્ત ગતિ દરમિયાન સ્થિર રહે છે.

આમ, મોનોટોમિક ગેસ માટે, જથ્થો એ અણુના ત્રણ ઘટકો છે. માટે ડાયટોમિક પરમાણુઆવેગ અને ટોર્કનો સમાવેશ થાય છે.

મૂળભૂત ગતિ સમીકરણ

વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતનું મૂળભૂત સમીકરણ (અથવા ગતિ સમીકરણ) એ વિતરણ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતું સમીકરણ છે.

સમીકરણ:

જ્યાં અથડામણ અભિન્ન છે, સમીકરણ (1) ને ગતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. પ્રતીકનો અર્થ પરમાણુઓની અથડામણને કારણે વિતરણ કાર્યમાં ફેરફારનો દર છે. અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ સ્થાપિત થયા પછી જ ગતિ સમીકરણ વાસ્તવિક અર્થ પ્રાપ્ત કરે છે. પછી ગતિ સમીકરણ (2) સ્વરૂપ લે છે. આ એકીકૃત-વિભેદક સમીકરણને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે:

શું છે તે સમજાવવું જરૂરી છે જમણી બાજુસમીકરણ (2).

જ્યારે બે અણુઓ અથડાય છે, ત્યારે તેમના મૂલ્યો બદલાય છે. તેથી, પરમાણુ દ્વારા અનુભવાતી દરેક અથડામણ તેને આપેલ અંતરાલ dમાંથી બહાર લઈ જાય છે. સંક્રમણો સાથે અથડામણની કુલ સંખ્યા આપેલ G માટે તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે, વોલ્યુમ dV માં એકમ સમય દીઠ થાય છે, તે અવિભાજ્ય સમાન છે:

(આઉટગોઇંગ કણો)

કેટલાક અણુઓ, અથડામણને કારણે, ડીજી અંતરાલમાં આવે છે (સંક્રમણો સાથે અથડામણ ). આવી અથડામણની કુલ સંખ્યા (વોલ્યુમ ડીવીમાં એકમ સમય દીઠ) બરાબર છે:

(આવતા કણો).

જો આપણે આગમનની ક્રિયાઓની સંખ્યામાંથી પ્રસ્થાનના કૃત્યોની સંખ્યાને બાદ કરીએ, તો તે સ્પષ્ટ છે કે તમામ અથડામણના પરિણામે, પ્રશ્નમાં પરમાણુઓની સંખ્યા 1c દ્વારા વધે છે.

વાયુમાં ગતિશીલ ઘટનાના ગુણાત્મક વિચારણા માટે, અથડામણના અવિભાજ્ય અંદાજનો ઉપયોગ સરેરાશ મુક્ત માર્ગ l (બે અનુગામી અથડામણો વચ્ચે પરમાણુ દ્વારા પસાર કરાયેલ ચોક્કસ સરેરાશ અંતર) ની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. રેશિયોને ફ્રી રન ટાઈમ કહેવામાં આવે છે. અથડામણના અભિન્ન અંદાજ માટે, એક ધારે છે:

અંશ (3) માં તફાવત એ ધ્યાનમાં લે છે કે સંતુલન વિતરણ કાર્ય માટે અથડામણ અભિન્ન 0 તરફ વળે છે. બાદબાકીનું ચિહ્ન એ હકીકતને વ્યક્ત કરે છે કે અથડામણ એ આંકડાકીય સંતુલન સ્થાપિત કરવા માટેની એક પદ્ધતિ છે.

બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ

બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ નાના વાયુની સ્થિતિના ઉત્ક્રાંતિનું સૂક્ષ્મ વર્ણન આપે છે. ગતિ સમીકરણ એ સમયના પ્રથમ ક્રમનું એક સમીકરણ છે જે અમુક પ્રારંભિક બિનસંતુલન અવસ્થામાંથી અંતિમ સુધીના વિતરણ કાર્ય સાથે સિસ્ટમના બદલી ન શકાય તેવા સંક્રમણનું વર્ણન કરે છે; સંતુલન સ્થિતિસૌથી સંભવિત વિતરણ કાર્ય સાથે.

ગતિ સમીકરણ ઉકેલવું ખૂબ જ મુશ્કેલ છે ગાણિતિક બિંદુદ્રષ્ટિ તેને ઉકેલવામાં મુશ્કેલીઓ ફંક્શનની બહુપરીમાણીયતાને કારણે છે, જે સાત સ્કેલર ચલ પર આધારિત છે, અને જટિલ દેખાવસમીકરણની જમણી બાજુ.

જો વિતરણ કાર્ય માત્ર x સંકલન અને વેગ ઘટક પર આધાર રાખે છે, તો બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

અથડામણ પહેલા અને પછી પરમાણુઓના વિતરણ કાર્યો ક્યાં અને છે; - પરમાણુઓની ગતિ; પરમાણુઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પર આધાર રાખીને, ઘન કોણ dW દીઠ વિભેદક અસરકારક સ્કેટરિંગ ક્રોસ વિભાગ છે. - અથડામણના પરિણામે વિતરણ કાર્યમાં ફેરફાર. - કણોની સંખ્યાની ઘનતામાં ફેરફાર. કણ પર કામ કરતું બળ છે.

જો ગેસમાં સમાન પ્રકારના કણો હોય, તો ગતિ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:

જ્યાં - બિંદુની નજીકના તબક્કાના જથ્થાના ઘટકમાં કણોની સરેરાશ સંખ્યા ( - બિંદુની નજીકના કણોની સંખ્યાની ઘનતામાં ફેરફાર ( એકમ સમય દીઠ ટી સમયે.

બોલ્ટ્ઝમેનનું સમીકરણ માન્ય છે જો:

જો સિસ્ટમ આંકડાકીય સંતુલનની સ્થિતિમાં હોય, તો અથડામણનું અભિન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉકેલ એ વિતરણ છે. યોગ્ય પરિસ્થિતિઓ માટે બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ ઉકેલવાથી આપણે ગતિ ગુણાંકની ગણતરી કરી શકીએ છીએ અને મેક્રોસ્કોપિક સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ વિવિધ પ્રક્રિયાઓટ્રાન્સફર ( , સ્નિગ્ધતા, ). પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં, બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉકેલ એ જાણીતું બેરોમેટ્રિક સૂત્ર છે.

બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણના ઉકેલોના આધારે, ગેસનું મેક્રોસ્કોપિક વર્તન, સ્નિગ્ધતાની ગણતરી અને થર્મલ વાહકતા ગુણાંક સમજાવવામાં આવે છે.

કિનેમેટિક સમીકરણ એ દુર્લભ વાયુઓની ગતિશીલતા માટેનું મૂળભૂત સમીકરણ છે અને તેનો ઉપયોગ એરોડાયનેમિક ગણતરીઓ માટે થાય છે. વિમાનચાલુ ઉચ્ચ ઊંચાઈફ્લાઇટ

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1