સંભાવનાઓ પર કાર્ય કરવાની જરૂરિયાત ત્યારે થાય છે જ્યારે કેટલીક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી હોય છે, અને આ ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલી અન્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

જ્યારે તમારે સંયોજનની સંભાવના અથવા રેન્ડમ ઘટનાઓના તાર્કિક સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે સંભાવનાઓના ઉમેરણનો ઉપયોગ થાય છે.

ઘટનાઓનો સરવાળો એઅને બીસૂચવો એ + બીઅથવા એ ∪ બી. બે ઘટનાઓનો સરવાળો એ એવી ઘટના છે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને. આનો અર્થ એ છે કે એ + બી- જો અને માત્ર જો ઘટના અવલોકન દરમિયાન આવી હોય તો જ થાય છે એઅથવા ઘટના બી, અથવા એક સાથે એઅને બી.

જો ઘટનાઓ એઅને બીપરસ્પર અસંગત હોય છે અને તેમની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે, પછી સંભવિતતાના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને આમાંની એક ઘટના એક અજમાયશના પરિણામે બનશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.બેમાંથી એક વસ્તુ થવાની સંભાવના નથી સંયુક્ત ઘટનાઓ, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે:

ઉદાહરણ તરીકે, શિકાર કરતી વખતે, બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ શોટ, ઇવેન્ટ સાથે બતકને મારવું IN- બીજા શોટથી હિટ, ઘટના ( એ+ IN) – પ્રથમ અથવા બીજા શોટથી અથવા બે શોટમાંથી હિટ. તેથી, જો બે ઘટનાઓ એઅને IN- અસંગત ઘટનાઓ, પછી એ+ IN- આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અથવા બે ઘટનાઓની ઘટના.

ઉદાહરણ 1.એક બોક્સમાં સમાન કદના 30 બોલ છે: 10 લાલ, 5 વાદળી અને 15 સફેદ. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ જોયા વિના લેવામાં આવશે.

ઉકેલ. ચાલો માની લઈએ કે ઘટના એ- "લાલ બોલ લેવામાં આવ્યો છે", અને ઘટના IN- "વાદળી બોલ લેવામાં આવ્યો હતો." પછી ઇવેન્ટ "એક રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ લેવામાં આવે છે." ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ એ:

અને ઘટનાઓ IN:

ઘટનાઓ એઅને IN- પરસ્પર અસંગત, કારણ કે જો એક બોલ લેવામાં આવે, તો પછી દડા લઈ શકાતા નથી વિવિધ રંગો. તેથી, અમે સંભાવનાઓના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઘણી અસંગત ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.જો ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે:

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો પણ 1 ની બરાબર છે:

વિરોધી ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, અને ઘટનાઓના સંપૂર્ણ સમૂહની સંભાવના 1 છે.

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે પીઅને q. ખાસ કરીને,

શું અનુસરે છે નીચેના સૂત્રોવિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:

ઉદાહરણ 2.શૂટિંગ રેન્જમાં લક્ષ્યને 3 ઝોનમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ચોક્કસ શૂટર પ્રથમ ઝોનમાં લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે તેવી સંભાવના 0.15 છે, બીજા ઝોનમાં - 0.23, ત્રીજા ઝોનમાં - 0.17. શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના અને શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો:

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ઉમેરો

બે અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો એક ઘટનાની ઘટના એ જ અવલોકનમાં બીજી ઘટનાની ઘટનાને બાકાત ન રાખે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ડાઇ ફેંકવાની ઘટના એનંબર 4 રોલ આઉટ ગણવામાં આવે છે, અને ઘટના IN- એક સમાન નંબર રોલિંગ. 4 એક સમ સંખ્યા હોવાથી, બે ઘટનાઓ સુસંગત છે. વ્યવહારમાં, પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.સંયુક્ત ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, જેમાંથી સંભાવના બાદ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય આક્રમકબંને ઘટનાઓ, એટલે કે, સંભાવનાઓનું ઉત્પાદન. સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ માટેના સૂત્રમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ઘટનાઓ થી એઅને INસુસંગત, ઘટના એ+ INત્રણમાંથી એક થાય તો થાય છે શક્ય ઘટનાઓ: અથવા એબી. અસંગત ઘટનાઓના ઉમેરાના પ્રમેય અનુસાર, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ:

ઘટના એજો બેમાંથી એક અસંગત ઘટના બને તો થશે: અથવા એબી. જો કે, ઘણી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક ઘટના બનવાની સંભાવના આ બધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

તેવી જ રીતે:

અભિવ્યક્તિ (6) અને (7) ને અભિવ્યક્તિ (5) માં બદલીને, અમે સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

સૂત્ર (8) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ એઅને INહોઈ શકે છે:

• પરસ્પર સ્વતંત્ર;
• પરસ્પર નિર્ભર.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

પરસ્પર આધારિત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

જો ઘટનાઓ એઅને INઅસંગત છે, તો પછી તેમનો સંયોગ એક અશક્ય કેસ છે અને આમ, પી(એબી) = 0. અસંગત ઘટનાઓ માટે ચોથું સંભાવના સૂત્ર છે:

ઉદાહરણ 3.ઓટો રેસિંગમાં, જ્યારે તમે પ્રથમ કાર ચલાવો છો, ત્યારે તમારી જીતવાની વધુ સારી તક હોય છે, અને જ્યારે તમે બીજી કાર ચલાવો છો. શોધો:

• સંભાવના છે કે બંને કાર જીતશે;
• સંભાવના કે ઓછામાં ઓછી એક કાર જીતશે;

1) પ્રથમ કાર જીતશે તેવી સંભાવના બીજી કારના પરિણામ પર આધારિત નથી, તેથી ઘટનાઓ એ(પ્રથમ કાર જીતે છે) અને IN(બીજી કાર જીતશે) - ના આશ્રિત ઘટનાઓ. ચાલો બંને કાર જીતવાની સંભાવના શોધીએ:

2) બેમાંથી એક કાર જીતશે તેવી સંભાવના શોધો:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

સંભવિતતાની સમસ્યાનો ઉમેરો જાતે ઉકેલો, અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 4.બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટના બી- બીજા સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટનાની સંભાવના શોધો સી = એ + બી .

ગુણાકાર સંભાવનાઓ

જ્યારે ઘટનાઓના તાર્કિક ઉત્પાદનની સંભાવનાની ગણતરી કરવી આવશ્યક હોય ત્યારે સંભાવના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે.

આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ સ્વતંત્ર હોવી આવશ્યક છે. બે ઘટનાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે જો એક ઘટનાની ઘટના બીજી ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરતી નથી.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય.બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના એઅને INઆ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 5.સિક્કો સતત ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. સિક્કાના પ્રથમ ટૉસ પર, બીજી વખત અને ત્રીજી વખત શસ્ત્રોનો કોટ દેખાશે તેવી સંભાવના. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે આર્મ્સનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે:

સંભવિતતાના ગુણાકારની સમસ્યાઓ તમારી જાતે ઉકેલો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 6.નવ નવા ટેનિસ બોલનું બોક્સ છે. રમવા માટે, ત્રણ બોલ લેવામાં આવે છે, અને રમત પછી તેઓ પાછા મૂકવામાં આવે છે. બોલની પસંદગી કરતી વખતે, રમાયેલા દડાઓ ન રમાયેલા દડાઓથી અલગ પડતા નથી. તેની પછી સંભાવના કેટલી છે ત્રણ રમતોશું બૉક્સમાં કોઈ રમ્યા વિનાના બોલ બાકી છે?

ઉદાહરણ 7.કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે અક્ષરો "અંત" શબ્દ બનાવશે.

ઉદાહરણ 8.કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

ઉદાહરણ 9.ઉદાહરણ તરીકે સમાન કાર્ય 8, પરંતુ દરેક કાર્ડ દૂર કર્યા પછી ડેક પર પરત કરવામાં આવે છે.

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, તેમજ ઘણી ઘટનાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવનાની ગણતરી વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને 1 માંથી બાદ કરીને કરી શકાય છે, એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:

ઉદાહરણ 10.કાર્ગો પરિવહનના ત્રણ પ્રકારો દ્વારા પહોંચાડવામાં આવે છે: નદી, રેલ અને માર્ગ પરિવહન. કાર્ગો વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના નદી પરિવહન, 0.82 છે, રેલ દ્વારા 0.87, મોટર પરિવહન દ્વારા 0.90. કાર્ગો ઓછામાં ઓછા એક દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો ત્રણ પ્રકારપરિવહન

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

સંભાવના શું છે?

જ્યારે મેં આ શબ્દનો પ્રથમ વખત સામનો કર્યો, ત્યારે હું સમજી શક્યો ન હોત કે તે શું છે. તેથી, હું સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

સંભાવના એ તક છે કે જે ઘટના આપણે ઈચ્છીએ છીએ તે બનશે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે મિત્રના ઘરે જવાનું નક્કી કર્યું, તમને પ્રવેશદ્વાર અને તે ફ્લોર પણ યાદ છે કે જેના પર તે રહે છે. પરંતુ હું એપાર્ટમેન્ટનો નંબર અને લોકેશન ભૂલી ગયો હતો. અને હવે તમે દાદર પર ઉભા છો, અને તમારી સામે પસંદ કરવા માટે દરવાજા છે.

જો તમે પ્રથમ ડોરબેલ વગાડો છો, તો તમારો મિત્ર તમારા માટે દરવાજાનો જવાબ આપશે એવી તક (સંભાવના) શું છે? ત્યાં ફક્ત એપાર્ટમેન્ટ્સ છે, અને એક મિત્ર તેમાંથી એકની પાછળ જ રહે છે. સાથે સમાન તકઅમે કોઈપણ દરવાજો પસંદ કરી શકીએ છીએ.

પરંતુ આ તક શું છે?

દરવાજો, જમણો દરવાજો. પ્રથમ દરવાજાની રીંગ વગાડીને અનુમાન લગાવવાની સંભાવના: . એટલે કે, ત્રણમાંથી એક વખત તમે ચોક્કસ અનુમાન લગાવશો.

અમે જાણવા માંગીએ છીએ, એકવાર ફોન કર્યા પછી, અમે દરવાજો કેટલી વાર ધારીશું? ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ:

1. તમે ફોન કર્યો 1લીદરવાજો
2. તમે ફોન કર્યો 2જીદરવાજો
3. તમે ફોન કર્યો 3જીદરવાજો

હવે ચાલો બધા વિકલ્પો જોઈએ જ્યાં મિત્ર હોઈ શકે:

એ. માટે 1લીદરવાજો
b માટે 2જીદરવાજો
વી. માટે 3જીદરવાજો

ચાલો કોષ્ટક સ્વરૂપમાં બધા વિકલ્પોની તુલના કરીએ. ચેકમાર્ક વિકલ્પો સૂચવે છે જ્યારે તમારી પસંદગી મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય, ક્રોસ - જ્યારે તે એકરૂપ ન હોય.

તમે બધું કેવી રીતે જોશો કદાચ વિકલ્પોતમારા મિત્રનું સ્થાન અને કયા દરવાજા પર રિંગ કરવી તે તમારી પસંદગી.

એ દરેક વસ્તુ માટે અનુકૂળ પરિણામો . એટલે કે, તમે એકવાર ડોરબેલ વગાડીને અનુમાન લગાવશો, એટલે કે. .

આ સંભાવના છે - અનુકૂળ પરિણામનો ગુણોત્તર (જ્યારે તમારી પસંદગી તમારા મિત્રના સ્થાન સાથે એકરુપ હોય) અને સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા.

વ્યાખ્યા એ સૂત્ર છે. સંભાવના સામાન્ય રીતે p દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેથી:

આવા ફોર્મ્યુલા લખવા માટે તે ખૂબ અનુકૂળ નથી, તેથી ચાલો લઈએ - અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, અને માટે - કુલ જથ્થોપરિણામો

સંભાવનાને ટકાવારી તરીકે લખી શકાય છે આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી પરિણામને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

"પરિણામો" શબ્દે કદાચ તમારી નજર ખેંચી લીધી. ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિવિધ ક્રિયાઓને (અમારા કિસ્સામાં, આવી ક્રિયા ડોરબેલ છે) પ્રયોગો કહેતા હોવાથી, આવા પ્રયોગોના પરિણામને સામાન્ય રીતે પરિણામ કહેવામાં આવે છે.

સારું, ત્યાં અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ પરિણામો છે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ. ચાલો કહીએ કે અમે એક દરવાજો વગાડ્યો, પરંતુ તે અમારા માટે ખોલવામાં આવ્યો અજાણી વ્યક્તિ. અમે સાચું અનુમાન કર્યું નથી. શું સંભાવના છે કે જો આપણે બાકીના દરવાજામાંથી એકને રિંગ કરીએ, તો આપણો મિત્ર તે આપણા માટે ખોલશે?

જો તમે એવું વિચાર્યું હોય, તો આ એક ભૂલ છે. ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

અમારી પાસે બે દરવાજા બાકી છે. તેથી અમારી પાસે શક્ય પગલાં છે:

1) કૉલ કરો 1લીદરવાજો
2) કૉલ કરો 2જીદરવાજો

મિત્ર, આ બધું હોવા છતાં, ચોક્કસપણે તેમાંથી એકની પાછળ છે (છેવટે, તે અમે જેને બોલાવ્યા તેની પાછળ ન હતો):

એ) માટે મિત્ર 1લીદરવાજો
b) માટે મિત્ર 2જીદરવાજો

ચાલો ફરીથી ટેબલ દોરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે, જેમાંથી અનુકૂળ છે. એટલે કે, સંભાવના સમાન છે.

કેમ નહીં?

અમે ધ્યાનમાં લીધેલ પરિસ્થિતિ છે આશ્રિત ઘટનાઓનું ઉદાહરણ.પ્રથમ ઘટના પ્રથમ ડોરબેલ છે, બીજી ઘટના બીજી ડોરબેલ છે.

અને તેમને આશ્રિત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ નીચેની ક્રિયાઓને પ્રભાવિત કરે છે. છેવટે, જો પ્રથમ રિંગ પછી ડોરબેલનો જવાબ મિત્ર દ્વારા આપવામાં આવે, તો તે અન્ય બેમાંથી એકની પાછળ હોવાની સંભાવના કેટલી હશે? સાચું, .

પરંતુ જો ત્યાં આશ્રિત ઘટનાઓ હોય, તો તે પણ હોવી જોઈએ સ્વતંત્ર? તે સાચું છે, તેઓ થાય છે.

પાઠ્યપુસ્તકનું ઉદાહરણ સિક્કો ફેંકવાનું છે.

1. એકવાર સિક્કો ફેંકો. ઉદાહરણ તરીકે, હેડ મેળવવાની સંભાવના શું છે? તે સાચું છે - કારણ કે ત્યાં બધા વિકલ્પો છે (ક્યાં તો માથા અથવા પૂંછડીઓ, અમે તેની ધાર પર સિક્કાના ઉતરાણની સંભાવનાને અવગણીશું), પરંતુ તે ફક્ત અમને અનુકૂળ છે.
2. પરંતુ તે માથા ઉપર આવી. ઠીક છે, ચાલો તેને ફરીથી ફેંકીએ. હવે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? કંઈપણ બદલાયું નથી, બધું સમાન છે. કેટલા વિકલ્પો? બે. આપણે કેટલા ખુશ છીએ? એક.

અને તેને સતત એક હજાર વખત ઉપર આવવા દો. એક જ સમયે હેડ મેળવવાની સંભાવના સમાન હશે. ત્યાં હંમેશા વિકલ્પો છે, અને અનુકૂળ રાશિઓ.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓથી આશ્રિત ઘટનાઓને અલગ પાડવી સરળ છે:

1. જો પ્રયોગ એકવાર હાથ ધરવામાં આવે છે (તેઓ એકવાર સિક્કો ફેંકે છે, એકવાર ડોરબેલ વગાડે છે, વગેરે), તો ઘટનાઓ હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે.
2. જો પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે (એક સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે, ડોરબેલ ઘણી વખત વગાડવામાં આવે છે), તો પ્રથમ ઘટના હંમેશા સ્વતંત્ર હોય છે. અને પછી, જો અનુકૂળ લોકોની સંખ્યા અથવા તમામ પરિણામોની સંખ્યા બદલાય છે, તો ઘટનાઓ નિર્ભર છે, અને જો નહીં, તો તે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો સંભાવના નક્કી કરવાની થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. સતત બે વાર હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો બધું ધ્યાનમાં લઈએ શક્ય વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ-પૂંછડી
3. પૂંછડીઓ-માથાઓ
4. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં ફક્ત વિકલ્પો છે. આમાંથી આપણે માત્ર સંતુષ્ટ છીએ. એટલે કે, સંભાવના:

જો સ્થિતિ ફક્ત સંભાવના શોધવા માટે પૂછે છે, તો જવાબ ફોર્મમાં આપવો જોઈએ દશાંશ. જો તે સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હતું કે જવાબ ટકાવારી તરીકે આપવો જોઈએ, તો અમે વડે ગુણાકાર કરીશું.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ચોકલેટના બોક્સમાં, બધી ચોકલેટ એક જ રેપરમાં પેક કરવામાં આવે છે. જો કે, કેન્ડીમાંથી - બદામ સાથે, કોગ્નેક સાથે, ચેરી સાથે, કારામેલ સાથે અને નૌગાટ સાથે.

એક કેન્ડી લેવાની અને બદામ સાથે કેન્ડી મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે? ટકાવારી તરીકે તમારો જવાબ આપો.

ઉકેલ:

કેટલા સંભવિત પરિણામો છે? .

એટલે કે, જો તમે એક કેન્ડી લો છો, તો તે બોક્સમાં ઉપલબ્ધ તેમાંથી એક હશે.

કેટલા સાનુકૂળ પરિણામો?

કારણ કે બોક્સમાં માત્ર બદામ સાથેની ચોકલેટ હોય છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ફુગ્ગાના બોક્સમાં. જેમાંથી સફેદ અને કાળા છે.

1. બહાર નીકળવાની સંભાવના કેટલી છે સફેદ બોલ?
2. અમે બૉક્સમાં વધુ કાળા દડા ઉમેર્યા. હવે સફેદ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

એ) બૉક્સમાં માત્ર દડા છે. તેમાંથી સફેદ છે.

સંભાવના છે:

b) હવે બોક્સમાં વધુ બોલ છે. અને ત્યાં માત્ર ઘણા ગોરા બાકી છે - .

જવાબ:

કુલ સંભાવના

ચાલો કહીએ કે એક બોક્સમાં લાલ અને લીલા બોલ છે. લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? લીલો બોલ? લાલ કે લીલો બોલ?

લાલ બોલ દોરવાની સંભાવના

લીલો બોલ:

લાલ અથવા લીલો બોલ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તમામ સંભવિત ઘટનાઓનો સરવાળો () બરાબર છે. આ મુદ્દાને સમજવાથી તમને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ મળશે.

ઉદાહરણ 4.

બૉક્સમાં માર્કર્સ છે: લીલો, લાલ, વાદળી, પીળો, કાળો.

લાલ માર્કર નહીં દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ચાલો સંખ્યા ગણીએ અનુકૂળ પરિણામો.

લાલ માર્કર નથી, જેનો અર્થ છે લીલો, વાદળી, પીળો અથવા કાળો.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે.

જો તમને એવી સંભાવના શોધવાની જરૂર હોય કે બે (અથવા વધુ) સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એક પંક્તિમાં થશે?

ચાલો કહીએ કે આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે જો આપણે એક સિક્કો એકવાર પલટાવીએ, તો આપણને બે વાર માથા જોવા મળે તેવી સંભાવના શું છે?

અમે પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે -.

જો આપણે એક વખત સિક્કો ફેંકીએ તો? ગરુડને સતત બે વાર જોવાની સંભાવના કેટલી છે?

કુલ સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

હું તમારા વિશે જાણતો નથી, પરંતુ આ સૂચિનું સંકલન કરતી વખતે મેં ઘણી વખત ભૂલો કરી છે. વાહ! અને એકમાત્ર વિકલ્પ (પ્રથમ) અમને અનુકૂળ છે.

5 થ્રો માટે, તમે સંભવિત પરિણામોની સૂચિ જાતે બનાવી શકો છો. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમારા જેટલા મહેનતુ નથી.

તેથી, તેઓએ પ્રથમ નોંધ્યું અને પછી સાબિત કર્યું કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક વખતે એક ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ઘટે છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,

એ જ અશુભ સિક્કાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

પડકારમાં માથું મેળવવાની સંભાવના? . હવે આપણે સિક્કાને એકવાર પલટાવીએ છીએ.

સળંગ હેડ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

આ નિયમ માત્ર ત્યારે જ કામ કરતું નથી જ્યારે અમને સંભાવના શોધવા માટે કહેવામાં આવે કે એક જ ઘટના સળંગ ઘણી વખત બનશે.

જો આપણે સળંગ ટોસ માટે TAILS-HEADS-TAILS નો ક્રમ શોધવા માંગતા હોઈએ, તો અમે તે જ કરીશું.

પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના છે , હેડ - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ક્રમ મેળવવાની સંભાવના:

તમે ટેબલ બનાવીને તેને જાતે ચકાસી શકો છો.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવાનો નિયમ.

તો રોકો! નવી વ્યાખ્યા.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. ચાલો આપણો ઘસાઈ ગયેલો સિક્કો લઈએ અને તેને એકવાર ફેંકીએ.
સંભવિત વિકલ્પો:

1. ગરુડ-ગરુડ-ગરુડ
2. હેડ્સ-હેડ્સ-પૂંછડીઓ
3. હેડ્સ-ટેલ્સ-હેડ્સ
4. માથા-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ
5. પૂંછડીઓ-માથાઓ-માથાઓ
6. પૂંછડીઓ-માથાઓ-પૂંછડીઓ
7. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-માથાઓ
8. પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ-પૂંછડીઓ

તેથી, અસંગત ઘટનાઓ ચોક્કસ છે, આપેલ ઘટનાઓનો ક્રમ. - આ અસંગત ઘટનાઓ છે.

જો આપણે બે (અથવા વધુ) અસંગત ઘટનાઓની સંભાવના શું છે તે નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

તમારે સમજવાની જરૂર છે કે માથા અથવા પૂંછડીઓ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

જો આપણે ક્રમ (અથવા અન્ય કોઈ) થવાની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો અમે સંભાવનાઓના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ ટોસ પર હેડ અને બીજા અને ત્રીજા ટોસ પર પૂંછડીઓ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

પરંતુ જો આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે અનેક સિક્વન્સમાંથી એક મેળવવાની સંભાવના શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હેડ બરાબર એક વાર આવે છે, એટલે કે. વિકલ્પો અને, પછી આપણે આ સિક્વન્સની સંભાવનાઓ ઉમેરવી જોઈએ.

કુલ વિકલ્પો અમને અનુકૂળ છે.

દરેક ક્રમની ઘટનાની સંભાવનાઓને ઉમેરીને આપણે સમાન વસ્તુ મેળવી શકીએ છીએ:

આમ, જ્યારે આપણે ચોક્કસ, અસંગત, ઘટનાઓના ક્રમની સંભાવના નક્કી કરવા માંગીએ છીએ ત્યારે અમે સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ.

ક્યારે ગુણાકાર કરવો અને ક્યારે ઉમેરવું તે મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે તમને મદદ કરવા માટે એક સરસ નિયમ છે:

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ જ્યાં આપણે એક વખત સિક્કો ફેંક્યો અને એકવાર માથા જોવાની સંભાવના જાણવા માંગીએ છીએ.
શું થવું જોઈએ?

બહાર પડવું જોઈએ:
(માથા અને પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને પૂંછડીઓ અને માથા).
આ રીતે તે બહાર આવે છે:

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.

બોક્સમાં પેન્સિલો છે. લાલ, લીલો, નારંગી અને પીળો અને કાળો. લાલ કે લીલી પેન્સિલો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 6.

જો ડાઇ બે વાર ફેંકવામાં આવે તો કુલ 8 મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આપણે પોઈન્ટ કેવી રીતે મેળવી શકીએ?

(અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને) અથવા (અને).

એક (કોઈપણ) ચહેરો મેળવવાની સંભાવના છે.

અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ:

તાલીમ.

મને લાગે છે કે હવે તમે સમજો છો કે તમારે ક્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, તેને ક્યારે ઉમેરવી અને ક્યારે તેનો ગુણાકાર કરવો. તે નથી? ચાલો થોડી પ્રેક્ટિસ કરીએ.

કાર્યો:

ચાલો એક કાર્ડ ડેક લઈએ જેમાં સ્પેડ્સ, હાર્ટ્સ, 13 ક્લબ અને 13 હીરા સહિતના કાર્ડ્સ હોય. દરેક પોશાકના પાસાનો પો થી.

1. એક પંક્તિમાં ક્લબ દોરવાની સંભાવના શું છે (અમે ખેંચેલું પહેલું કાર્ડ પાછું ડેકમાં મૂકીએ છીએ અને તેને શફલ કરીએ છીએ)?
2. બ્લેક કાર્ડ દોરવાની સંભાવના શું છે (સ્પેડ અથવા ક્લબ્સ)?
3. ચિત્ર (જેક, રાણી, રાજા અથવા પાસાનો પો) દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?
4. સળંગ બે ચિત્રો દોરવાની સંભાવના કેટલી છે (અમે ડેકમાંથી દોરેલા પ્રથમ કાર્ડને દૂર કરીએ છીએ)?
5. બે કાર્ડ લેવાની સંભાવના શું છે - (જેક, રાણી અથવા રાજા) અને એક પાસાનો ક્રમ જેમાં કાર્ડ દોરવામાં આવ્યા છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

જવાબો:

જો તમે બધી સમસ્યાઓ જાતે હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, તો તમે મહાન છો! હવે તમે યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામમાં પ્રોબેબિલિટી થિયરી પ્રોબ્લેમ્સને નટ્સની જેમ ક્રેક કરશો!

સંભાવના સિદ્ધાંત. મધ્યમ સ્તર

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે આપણે ડાઇ ફેંકીએ છીએ. આ કેવું હાડકું છે, તમે જાણો છો? આને તેઓ તેના ચહેરા પર સંખ્યાઓ સાથે સમઘન કહે છે. કેટલા ચહેરા, આટલી સંખ્યા: થી કેટલા સુધી? થી.

તેથી અમે ડાઇસ રોલ કરીએ છીએ અને અમે ઇચ્છીએ છીએ કે તે ઉપર આવે અથવા. અને અમે તે મેળવીએ છીએ.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તેઓ કહે છે કે શું થયું શુભ પ્રસંગ(સમૃદ્ધ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે).

જો તે થયું, તો ઘટના પણ અનુકૂળ હશે. કુલ, માત્ર બે અનુકૂળ ઘટનાઓ બની શકે છે.

કેટલા પ્રતિકૂળ છે? કુલ સંભવિત ઘટનાઓ હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે પ્રતિકૂળ ઘટનાઓ ઘટનાઓ છે (આ જો અથવા ઘટી જાય).

વ્યાખ્યા:

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે. એટલે કે, સંભાવના દર્શાવે છે કે તમામ સંભવિત ઘટનાઓનું પ્રમાણ કેટલું અનુકૂળ છે.

સંભાવના દર્શાવે છે લેટિન અક્ષર(દેખીતી રીતે થી અંગ્રેજી શબ્દસંભાવના - સંભાવના).

ટકાવારી તરીકે સંભાવનાને માપવાનો રિવાજ છે (વિષયો અને જુઓ). આ કરવા માટે, સંભાવના મૂલ્યનો ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. સાથેના ઉદાહરણમાં ડાઇસસંભાવના

અને ટકાવારીમાં: .

ઉદાહરણો (તમારા માટે નક્કી કરો):

1. સિક્કો ફેંકતી વખતે હેડ મળવાની સંભાવના કેટલી છે? લેન્ડિંગ હેડની સંભાવના શું છે?
2. ડાઇસ ફેંકતી વખતે, મેળવવાની સંભાવના શું છે સમ સંખ્યા? અને કયો વિચિત્ર છે?
3. સરળ, વાદળી અને લાલ પેન્સિલોના બોક્સમાં. અમે રેન્ડમ પર એક પેંસિલ દોરીએ છીએ. એક સરળ મેળવવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલો:

1. કેટલા વિકલ્પો છે? માથા અને પૂંછડીઓ - ફક્ત બે. તેમાંથી કેટલા અનુકૂળ છે? માત્ર એક જ ગરુડ છે. તેથી સંભાવના

   તે પૂંછડીઓ સાથે સમાન છે: .

2. કુલ વિકલ્પો: (ક્યુબની કેટલી બાજુઓ છે, ઘણા વિવિધ વિકલ્પો). અનુકૂળ રાશિઓ: (આ બધી સમ સંખ્યાઓ છે:).
   સંભાવના. અલબત્ત, તે વિચિત્ર સંખ્યાઓ સાથે સમાન છે.
3. કુલ: . અનુકૂળ:. સંભાવના:.

કુલ સંભાવના

બૉક્સની બધી પેન્સિલો લીલા છે. લાલ પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ત્યાં કોઈ તકો નથી: સંભાવના (બધા પછી, અનુકૂળ ઘટનાઓ -).

આવી ઘટનાને અશક્ય કહેવામાં આવે છે.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? કુલ ઘટનાઓ જેટલી જ સાનુકૂળ ઘટનાઓ છે (બધી ઘટનાઓ અનુકૂળ છે). તેથી સંભાવના સમાન છે અથવા.

આવી ઘટનાને વિશ્વસનીય કહેવામાં આવે છે.

જો બોક્સમાં લીલી અને લાલ પેન્સિલો હોય, તો લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે? ફરી. ચાલો આની નોંધ લઈએ: લીલો ખેંચવાની સંભાવના સમાન છે, અને લાલ સમાન છે.

સરવાળે, આ સંભાવનાઓ બરાબર સમાન છે. એટલે કે, તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અથવા બરાબર છે.

ઉદાહરણ:

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો ન દોરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ:

અમે યાદ રાખીએ છીએ કે બધી સંભાવનાઓ ઉમેરે છે. અને લીલા થવાની સંભાવના સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે લીલો ન દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

આ યુક્તિ યાદ રાખો:ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ અને ગુણાકારનો નિયમ

તમે એક સિક્કો એક વાર ફ્લિપ કરો છો અને ઈચ્છો છો કે તે બંને વખત ઉપર આવે. આની સંભાવના શું છે?

ચાલો બધા સંભવિત વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈએ અને નક્કી કરીએ કે ત્યાં કેટલા છે:

હેડ-હેડ, પૂંછડી-માથા, હેડ-પૂંછડી, પૂંછડી-પૂંછડી. અન્ય શું?

કુલ વિકલ્પો. આમાંથી, ફક્ત એક જ અમને અનુકૂળ છે: ઇગલ-ઇગલ. કુલમાં, સંભાવના સમાન છે.

દંડ. હવે ચાલો એક વાર સિક્કો ફેરવીએ. ગણિત જાતે કરો. તે કામ કર્યું? (જવાબ).

તમે નોંધ્યું હશે કે દરેક અનુગામી ફેંકવાના ઉમેરા સાથે, સંભાવના અડધી થઈ જાય છે. સામાન્ય નિયમકહેવાય છે ગુણાકારનો નિયમ:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓ બદલાય છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ શું છે? બધું તાર્કિક છે: આ તે છે જે એકબીજા પર નિર્ભર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપણે સિક્કો ઘણી વખત ફેંકીએ છીએ, ત્યારે દરેક વખતે નવો ફેંકવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અગાઉના તમામ થ્રો પર આધારિત નથી. આપણે એક જ સમયે બે અલગ અલગ સિક્કા સરળતાથી ફેંકી શકીએ છીએ.

વધુ ઉદાહરણો:

1. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. તે બંને વખત આવવાની સંભાવના કેટલી છે?
2. સિક્કો એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. તે પ્રથમ વખત માથા ઉપર આવશે અને પછી બે વાર પૂંછડીઓ આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?
3. ખેલાડી બે ડાઇસ રોલ કરે છે. તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

જવાબો:

1. ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણાકારનો નિયમ કામ કરે છે: .
2. હેડની સંભાવના સમાન છે. પૂંછડીઓની સંભાવના સમાન છે. ગુણાકાર:
3. 12 માત્ર ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો બે -કી રોલ કરવામાં આવે: .

અસંગત ઘટનાઓ અને વધારાનો નિયમ

એકબીજાને પૂરક બનાવતી ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ સંભાવના. નામ સૂચવે છે તેમ, તેઓ એક સાથે થઈ શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે કોઈ સિક્કો પલટીએ, તો તે માથા અથવા પૂંછડીઓ ઉપર આવી શકે છે.

ઉદાહરણ.

પેન્સિલોના બોક્સમાં, તેમાંથી વાદળી, લાલ, લીલો, સાદો, પીળો અને બાકીના નારંગી છે. લીલો કે લાલ દોરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

લીલી પેન્સિલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે. લાલ -.

બધામાં અનુકૂળ ઘટનાઓ: લીલો + લાલ. આનો અર્થ એ છે કે લીલો અથવા લાલ દોરવાની સંભાવના સમાન છે.

સમાન સંભાવના આ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે: .

આ વધારાનો નિયમ છે:અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

મિશ્ર પ્રકારની સમસ્યાઓ

ઉદાહરણ.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. રોલ્સનાં પરિણામો અલગ હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.

આનો અર્થ એ છે કે જો પ્રથમ પરિણામ હેડ્સ છે, તો બીજું પૂંછડીઓ હોવું જોઈએ, અને ઊલટું. તે તારણ આપે છે કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની બે જોડી છે, અને આ જોડીઓ એકબીજા સાથે અસંગત છે. ક્યાં ગુણાકાર કરવો અને ક્યાં ઉમેરવું તે વિશે કેવી રીતે મૂંઝવણમાં ન આવવું.

આવી પરિસ્થિતિઓ માટે એક સરળ નિયમ છે. "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને શું થવાનું છે તેનું વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, આ કિસ્સામાં:

તે ઉપર આવવું જોઈએ (માથા અને પૂંછડીઓ) અથવા (પૂંછડીઓ અને માથા).

જ્યાં “અને” સંયોગ હશે ત્યાં ગુણાકાર થશે, અને જ્યાં “અથવા” હશે ત્યાં ઉમેરણ હશે:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

1. જો સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે તો સિક્કો બંને વખત એક જ બાજુ પર ઉતરે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
2. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. કુલ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલો:

બીજું ઉદાહરણ:

એકવાર સિક્કો ફેંકો. હેડ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

સંભાવના સિદ્ધાંત. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

સંભાવના એ તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે અનુકૂળ ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે જો એકની ઘટના બીજી બનવાની સંભાવનાને બદલતી નથી.

કુલ સંભાવના

તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંભાવના () ની બરાબર છે.

ઘટના બનશે નહીં તેવી સંભાવના ઘટના બનવાની સંભાવનાને બાદ કરવાની સમાન છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાનો નિયમ

સ્વતંત્ર ઘટનાઓના ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી હોય છે.

અસંગત ઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓ એવી છે જે પ્રયોગના પરિણામે એકસાથે ન બની શકે. અસંગત ઘટનાઓની શ્રેણી રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથઘટનાઓ

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરે છે.

શું થવું જોઈએ તે વર્ણવ્યા પછી, "AND" અથવા "OR" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને, "AND" ને બદલે આપણે ગુણાકારનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ, અને "OR" ને બદલે આપણે વધારાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

માટે સફળ સમાપ્તિયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની સામે ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા

1. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય અને આર્થિક અને તકનીકી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનું મહત્વ. સંભાવના અને તેની વ્યાખ્યા

લાંબા સમય સુધી, માનવતાએ તેની પ્રવૃત્તિઓ માટે માત્ર કહેવાતા નિર્ણાયક પેટર્નનો અભ્યાસ કર્યો અને તેનો ઉપયોગ કર્યો. જો કે, કારણ કે રેન્ડમ ઘટનાઓ આપણી ઇચ્છા વિના આપણા જીવનમાં વિસ્ફોટ કરે છે અને સતત આપણને ઘેરી લે છે, અને વધુમાં, લગભગ તમામ કુદરતી ઘટનાઓ પ્રકૃતિમાં રેન્ડમ હોવાથી, તેનો અભ્યાસ કેવી રીતે કરવો તે શીખવું અને આ હેતુ માટે અભ્યાસ પદ્ધતિઓ વિકસાવવી જરૂરી છે.

સ્વરૂપ સ્વરૂપ પ્રમાણે કારણભૂત જોડાણોપ્રકૃતિ અને સમાજના નિયમો બે વર્ગોમાં વહેંચાયેલા છે: નિર્ધારિત (પૂર્વનિર્ધારિત) અને આંકડાકીય.

ઉદાહરણ તરીકે, કાયદા પર આધારિત અવકાશી મિકેનિક્સગ્રહોની હાલમાં જાણીતી સ્થિતિ અનુસાર સૌર સિસ્ટમસૌર અને સહિત સમયના કોઈપણ સમયે તેમની સ્થિતિ લગભગ અસ્પષ્ટપણે અનુમાન કરી શકાય છે ચંદ્રગ્રહણ. આ નિર્ણાયક કાયદાનું ઉદાહરણ છે.

જો કે, બધી ઘટનાઓ માટે યોગ્ય નથી સચોટ આગાહી. આમ, લાંબા ગાળાના આબોહવા પરિવર્તનો અને ટૂંકા ગાળાના હવામાન ફેરફારો સફળ આગાહી માટેનો હેતુ નથી, એટલે કે. ઘણા કાયદાઓ અને દાખલાઓ નિર્ણાયક માળખામાં ખૂબ ઓછા બંધબેસે છે. આ પ્રકારના કાયદાઓને આંકડાકીય કાયદા કહેવામાં આવે છે. આ કાયદાઓ અનુસાર, સિસ્ટમની ભાવિ સ્થિતિ અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ માત્ર ચોક્કસ સંભાવના સાથે.

અન્યની જેમ સંભાવના સિદ્ધાંત ગાણિતિક વિજ્ઞાન, પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાતોમાંથી પુનર્જીવિત અને વિકસિત કરવામાં આવી હતી. તે સામૂહિક રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સમાં અંતર્ગત દાખલાઓનો અભ્યાસ કરે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત સામૂહિક અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે જે પરિસ્થિતિઓના ચોક્કસ સમૂહને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં આવે ત્યારે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે. કોઈપણની મુખ્ય મિલકત રેન્ડમ ઘટના, તેની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેના અમલીકરણનું માપ અથવા સંભાવના છે.

આપણે જે ઘટનાઓ (ઘટના) અવલોકન કરીએ છીએ તેને ત્રણ પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: વિશ્વસનીય, અશક્ય અને રેન્ડમ.

જે ઘટના ચોક્કસ બનવાની હોય તેને ચોક્કસ કહેવાય. અશક્ય એવી ઘટના છે જે આપણે જાણીએ છીએ કે બનશે નહીં. અવ્યવસ્થિત ઘટના એ એવી ઘટના છે જે કાં તો થઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત પોતે એક ઘટના બનશે કે નહીં તેની આગાહી કરવાનું કાર્ય સેટ કરતી નથી, કારણ કે રેન્ડમ ઘટના પરના તમામ કારણોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લેવું અશક્ય છે. બીજી બાજુ, તે તારણ આપે છે કે તે પૂરતું છે મોટી સંખ્યામાંસજાતીય રેન્ડમ ઘટનાઓ, તેમની ચોક્કસ પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ચોક્કસ પેટર્નને આધીન છે, એટલે કે, સંભવિત પેટર્ન.

તેથી, સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય સામૂહિક સજાતીય રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભવિત પેટર્નનો અભ્યાસ છે.

સમૂહને લગતા કેટલાક કાર્યો અવ્યવસ્થિત ઘટના, તેઓએ 17મી સદીની શરૂઆતમાં યોગ્ય ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. વિવિધની પ્રગતિ અને પરિણામોનો અભ્યાસ જુગાર, B. પાસ્કલ, P. Fermat અને H. Huygens in 17મી સદીના મધ્યમાંસદીઓ પાયો નાખ્યો શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતસંભાવનાઓ તેમના કાર્યોમાં તેઓએ રેન્ડમ ચલની સંભાવના અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલોનો ગર્ભિત ઉપયોગ કર્યો. માં જ પ્રારંભિક XVIIIવી. જે. બર્નૌલી સંભાવનાનો ખ્યાલ ઘડે છે.

સંભવિત સિદ્ધાંત મોઇવર, લેપ્લેસ, ગૌસ, પોઈસન અને અન્યને વધુ સફળતા આપે છે.

રશિયનો અને સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રીઓ, જેમ કે પી.એલ. ચેબીશેવ, એ.એ. માર્કોવ, એ.એમ. લ્યાપુનોવ, એસ.એન. બર્નસ્ટેઇન, એ.એન. કોલમોગોરોવ, એ.યા. ખિંચિન, એ. પ્રોખોરોવ, વગેરે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં એક વિશેષ સ્થાન ઉઝ્બેક શાળાનું છે, જેના અગ્રણી પ્રતિનિધિઓ વિદ્વાનો વી.આઇ. રોમનવોસ્કી, એસ.કે.એચ. સિરાઝ્દીનોવ, ટી.એ. સરિમસાકોવ, ટી.એ. અઝલારોવ, એસ.કે. ફરમાનવ, પ્રોફેસર આઈ.એસ. બાદલબેવ, એમ.યુ. ગફુરોવ, શ.એ. ખાશિમોવ અને અન્ય.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાતોએ, સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉદભવમાં ફાળો આપ્યો, તેના વિકાસને વિજ્ઞાન તરીકે ખવડાવ્યું, જે તેની વધુ અને વધુ શાખાઓ અને વિભાગોના ઉદભવ તરફ દોરી ગયું. સંભાવના સિદ્ધાંત પર આધારિત ગાણિતિક આંકડા, જેનું કાર્ય નમૂનામાંથી પુનઃનિર્માણ કરવાનું છે અમુક હદ સુધીવિશ્વસનીયતાના લક્ષણો સહજ છે વસ્તી. સિદ્ધાંત જેવી વિજ્ઞાનની શાખાઓ સંભાવના સિદ્ધાંતથી અલગ થઈ ગઈ છે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, સિદ્ધાંત કતાર, માહિતી સિદ્ધાંત, વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત, ઇકોનોમેટ્રિક મોડેલિંગ, વગેરે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉપયોગના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોમાં આર્થિક અને તકનીકી વિજ્ઞાનનો સમાવેશ થાય છે. હાલમાં, સંભાવના સિદ્ધાંત પર આધારિત મોડેલિંગ વિના, સહસંબંધના મોડેલો વિના આર્થિક અને તકનીકી ઘટનાના અભ્યાસની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે. રીગ્રેસન વિશ્લેષણ, પર્યાપ્તતા અને "સંવેદનશીલ" અનુકૂલનશીલ મોડલ.

ટ્રાફિક પ્રવાહમાં બનતી ઘટનાઓ, વિશ્વસનીયતાની ડિગ્રી ઘટકોરસ્તાઓ પર કાર, કાર અકસ્માતો, વિવિધ પરિસ્થિતિઓરસ્તાઓ ડિઝાઇન કરવાની પ્રક્રિયામાં, તેમના અનિશ્ચિતતાને કારણે, તેઓ સંભવિતતા સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમસ્યાઓની શ્રેણીમાં શામેલ છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત ખ્યાલો અનુભવ અથવા પ્રયોગ અને ઘટનાઓ છે. અમુક પરિસ્થિતિઓ અને સંજોગોમાં કરવામાં આવતી ક્રિયાઓને અમે પ્રયોગ કહીએ છીએ. પ્રયોગના દરેક ચોક્કસ અમલીકરણને પરીક્ષણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રયોગના દરેક કલ્પી શકાય તેવા પરિણામને પ્રાથમિક ઘટના કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓમાં પ્રાથમિક ઘટનાઓની ચોક્કસ સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે અને A, B, C, D,... દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ જેમ કે

1) પ્રયોગના પરિણામે, પ્રાથમિક ઘટનાઓમાંની એક હંમેશા થાય છે;

2) એક અજમાયશ દરમિયાન માત્ર એક જ વસ્તુ થશે પ્રાથમિક ઘટનાતેને પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા કહેવામાં આવે છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

આમ, કોઈપણ રેન્ડમ ઘટના એ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાનો સબસેટ છે. પ્રારંભિક ઘટનાઓની જગ્યાની વ્યાખ્યા દ્વારા, વિશ્વસનીય ઘટના દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. એક અશક્ય ઘટના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. ફેંકવું ડાઇસ. આ પ્રયોગને અનુરૂપ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

ઉદાહરણ 2. કુલ 6 બોલ માટે કલશમાં 2 લાલ, 3 વાદળી અને 1 સફેદ હોય છે. પ્રયોગમાં કલશમાંથી રેન્ડમ પર દડા દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રયોગને અનુરૂપ પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

જ્યાં પ્રાથમિક ઘટનાઓ હોય છે નીચેના મૂલ્યો: - એક સફેદ બોલ દેખાયો; - એક લાલ બોલ દેખાયો; - એક વાદળી બોલ દેખાયો. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:

એ - સફેદ બોલનો દેખાવ;

B - લાલ બોલનો દેખાવ;

સી - વાદળી બોલનો દેખાવ;

ડી - રંગીન (બિન-સફેદ) બોલનો દેખાવ.

અહીં આપણે જોઈએ છીએ કે આમાંની દરેક ઘટનામાં એક અથવા બીજી સંભાવના છે: કેટલીક - મોટી, અન્ય - ઓછી. દેખીતી રીતે, ઘટના B ની શક્યતાની ડિગ્રી ઘટના A કરતા વધારે છે; ઘટનાઓ C - ઘટનાઓ B કરતાં; ઘટનાઓ D - ઘટનાઓ C કરતાં. ઘટનાઓની તેમની સંભાવનાની ડિગ્રી અનુસાર જથ્થાત્મક રીતે એકબીજા સાથે તુલના કરવા માટે, દેખીતી રીતે, દરેક ઘટના સાથે સાંકળવું જરૂરી છે ચોક્કસ સંખ્યા, જે ઘટના જેટલી વધુ શક્ય છે.

આપણે આ સંખ્યાને વડે દર્શાવીએ છીએ અને તેને ઘટના A ની સંભાવના કહીએ છીએ. ચાલો હવે સંભાવનાની વ્યાખ્યા આપીએ.

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યાને મર્યાદિત સેટ થવા દો અને તેના તત્વો રહેવા દો. અમે ધારીશું કે તે સમાન રીતે શક્ય પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે, એટલે કે. દરેક પ્રાથમિક ઘટના હોતી નથી વધુ તકોઅન્ય કરતાં દેખાવ. જેમ જાણીતું છે, દરેક રેન્ડમ ઘટના A એ ઉપગણ તરીકે પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમાવેશ કરે છે. આ પ્રાથમિક ઘટનાઓને A માટે અનુકૂળ કહેવાય છે.

ઘટના A ની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં m એ A માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n એ સમાવિષ્ટ તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા છે.

જો ઉદાહરણમાં 1 A એ ઘટનાને દર્શાવે છે કે પોઈન્ટની એક સમાન સંખ્યામાં રોલ કરવામાં આવશે, તો પછી

ઉદાહરણ 2 માં, ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નીચેના મૂલ્યો ધરાવે છે:

નીચેના ગુણધર્મો સંભવિતતાની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે:

1. સંભાવના વિશ્વસનીય ઘટનાએક સમાન.

ખરેખર, જો કોઈ ઘટના વિશ્વસનીય હોય, તો બધી પ્રાથમિક ઘટનાઓ તેની તરફેણ કરે છે. આ કિસ્સામાં m=n અને તેથી

2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે.

ખરેખર, જો કોઈ ઘટના અશક્ય હોય, તો એક પણ પ્રાથમિક ઘટના તેની તરફેણ કરતી નથી. આ કિસ્સામાં m=0 અને તેથી

3. રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના છે હકારાત્મક સંખ્યા, શૂન્ય અને એક વચ્ચે બંધ.

ખરેખર, પ્રાથમિક ઘટનાઓની કુલ સંખ્યાનો માત્ર એક ભાગ જ રેન્ડમ ઘટનાની તરફેણ કરે છે. આ કિસ્સામાં, અને તેથી, અને તેથી,

તેથી, કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અસમાનતાને સંતોષે છે

ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી.

આમ, ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં m એ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n - કુલ સંખ્યાપરીક્ષણો

સંભાવના અને સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: સંભાવનાની વ્યાખ્યા માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે; સંબંધિત આવર્તનનું નિર્ધારણ ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા.

ઉદાહરણ 3. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા 80 સમાન ભાગોમાંથી, 3 ખામીયુક્ત ભાગોને ઓળખવામાં આવ્યા હતા. ખામીયુક્ત ભાગોની સંબંધિત આવર્તન છે

ઉદાહરણ 4. વર્ષ દરમિયાન, એક સુવિધા પર 24 નિરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, અને કાયદાના 19 ઉલ્લંઘનો નોંધાયા હતા. કાયદાના ઉલ્લંઘનની સંબંધિત આવર્તન છે

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પરીક્ષણોની સંખ્યા ઘણી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તનમાં થોડો ફેરફાર થાય છે (ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), ચોક્કસ સ્થિરતાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. સંખ્યા તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યાઘટના બનવાની સંભાવના છે.

આમ, જો સંબંધિત આવર્તન પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે, તો પરિણામી સંખ્યાને અંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે. આ સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા છે.

નિષ્કર્ષમાં આપણે વિચારણા કરીશું ભૌમિતિક વ્યાખ્યાસંભાવનાઓ

જો પ્રાથમિક ઘટનાઓની અવકાશને પ્લેન પર અથવા અવકાશમાં ચોક્કસ વિસ્તાર તરીકે ગણવામાં આવે છે, અને A તેના સબસેટ તરીકે, તો ઘટના A ની સંભાવના A ના વિસ્તારો અથવા વોલ્યુમોના ગુણોત્તર તરીકે ગણવામાં આવશે અને, અને શોધવામાં આવશે. નીચેના સૂત્રો અનુસાર:

પુનરાવર્તન અને નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો:

1. કારણભૂત સંબંધોના અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપ અનુસાર પ્રકૃતિ અને સમાજના નિયમો કયા વર્ગોમાં વહેંચાયેલા છે?

2. ઘટનાઓના કયા પ્રકારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

3. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય શું છે?

4. તમે સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસના ઇતિહાસ વિશે શું જાણો છો?

5. આર્થિક અને તકનીકી સમસ્યાઓ માટે સંભાવના સિદ્ધાંતનું મહત્વ શું છે?

6. પ્રયોગ, પરીક્ષણ, પ્રાથમિક ઘટના અને ઘટના શું છે, તેઓ કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે?

7. પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા શું કહેવાય છે?

8. ઘટનાની સંભાવના કેવી રીતે નક્કી થાય છે?

9. તમે સંભાવનાના કયા ગુણધર્મો જાણો છો?

10. તમે શું જાણો છો સંબંધિત આવર્તનઘટનાઓ?

11. સાર શું છે આંકડાકીય વ્યાખ્યાસંભાવનાઓ?

12. સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા શું છે?

એ.એન. કોલમોગોરોવનું જીવનચરિત્ર અને કાર્યો

એલિમેન્ટરી પ્રોબેબિલિટી થિયરી એ પ્રોબેબિલિટી થિયરીનો તે ભાગ છે જેમાં વ્યક્તિએ માત્ર સંભાવનાઓ સાથે જ વ્યવહાર કરવો પડે છે. મર્યાદિત સંખ્યાઘટનાઓ ગાણિતિક શિસ્ત તરીકે સંભાવના સિદ્ધાંત...

વેક્ટર જગ્યા. સમસ્યાનું નિરાકરણ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ ગ્રાફિકલી

હવે ચાલો કેટલીક લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ જોઈએ અને તેને ગ્રાફિકલી ઉકેલીએ. સમસ્યા 1. મહત્તમ Z = 1+ - , . ઉકેલ. નોંધ કરો કે આ સમસ્યાની અસમાનતાની સિસ્ટમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-વિમાનોમાં નથી સામાન્ય બિંદુઓ(આકૃતિ 2)