ઓસિલેશન લાક્ષણિકતાઓ

તબક્કોસિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે, એટલે કે સંકલન, ઝડપ, પ્રવેગક, ઊર્જા, વગેરે.

ચક્રીય આવર્તનઓસિલેશનના તબક્કામાં ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિ ઓસીલેટરી સિસ્ટમલાક્ષણિકતા પ્રારંભિક તબક્કો

ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર A- સંતુલન સ્થિતિથી આ સૌથી મોટું વિસ્થાપન છે

પીરિયડ ટી- આ તે સમયગાળો છે જે દરમિયાન બિંદુ એક સંપૂર્ણ ઓસિલેશન કરે છે.

ઓસિલેશન આવર્તનએકમ સમય t દીઠ સંપૂર્ણ ઓસિલેશનની સંખ્યા છે.

આવર્તન, ચક્રીય આવર્તન અને ઓસિલેશનનો સમયગાળો આ રીતે સંબંધિત છે

સ્પંદનોના પ્રકાર

બંધ પ્રણાલીઓમાં થતા ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે મફતઅથવા પોતાનાવધઘટ સ્પંદનો જે પ્રભાવ હેઠળ થાય છે બાહ્ય દળો, કહેવાય છે ફરજ પડી. પણ છે સ્વ-ઓસિલેશન્સ(આપમેળે દબાણ).

જો આપણે બદલાતી લાક્ષણિકતાઓ (કંપનવિસ્તાર, આવર્તન, અવધિ, વગેરે) અનુસાર ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી તેમને વિભાજિત કરી શકાય છે હાર્મોનિક, વિલીન, વધતું(તેમજ લાકડાંઈ નો વહેર, લંબચોરસ, જટિલ).

માં મફત સ્પંદનો સાથે વાસ્તવિક સિસ્ટમોઊર્જા નુકશાન હંમેશા થાય છે. યાંત્રિક ઊર્જાખર્ચવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, હવાના પ્રતિકારના દળોને દૂર કરવા માટે કાર્ય કરવા પર. ઘર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે, અને થોડા સમય પછી ઓસિલેશન બંધ થાય છે. દેખીતી રીતે, શું વધુ શક્તિચળવળનો પ્રતિકાર, સ્પંદનો જેટલી ઝડપથી બંધ થાય છે.

દબાણયુક્ત સ્પંદનો. પડઘો

ફોર્સ્ડ ઓસિલેશન્સ અનડેમ્પ્ડ છે. તેથી, દરેક ઓસિલેશન અવધિ માટે ઊર્જાના નુકસાનને ફરી ભરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, સમયાંતરે બદલાતા બળ સાથે ઓસીલેટીંગ બોડીને પ્રભાવિત કરવું જરૂરી છે. દબાણયુક્ત ઓસિલેશન આવર્તન પર થાય છે સમાન આવર્તનબાહ્ય બળમાં ફેરફાર.

દબાણયુક્ત સ્પંદનો

દબાણયુક્ત યાંત્રિક સ્પંદનોનું કંપનવિસ્તાર પહોંચે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્યઘટનામાં કે ડ્રાઇવિંગ ફોર્સની આવર્તન ઓસીલેટરી સિસ્ટમની આવર્તન સાથે એકરુપ છે. આ ઘટના કહેવામાં આવે છે પડઘો.

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સમયાંતરે તેના પોતાના સ્પંદનો સાથે દોરીને સમયસર ખેંચીએ, તો આપણે તેના સ્પંદનોના કંપનવિસ્તારમાં વધારો જોશું.

જો તમે કાચની ધાર સાથે ભીની આંગળી ખસેડો છો, તો કાચ રિંગિંગ અવાજો કરશે. તે ધ્યાનપાત્ર ન હોવા છતાં, આંગળી તૂટક તૂટક હલનચલન કરે છે અને ટૂંકા વિસ્ફોટોમાં કાચમાં ઊર્જાનું પરિવહન કરે છે, જેના કારણે કાચ વાઇબ્રેટ થાય છે.

કાચની દિવાલો પણ વાઇબ્રેટ થવા લાગે છે જો તમે તેને તેના તરફ નિર્દેશ કરો છો. ધ્વનિ તરંગતેની પોતાની સમાન આવર્તન સાથે. જો કંપનવિસ્તાર ખૂબ મોટી થઈ જાય, તો કાચ પણ તૂટી શકે છે. પ્રતિધ્વનિને કારણે, જ્યારે F.I. ચલિયાપિન ગાયું, ત્યારે ઝુમ્મરના સ્ફટિક પેન્ડન્ટ્સ ધ્રૂજતા (ગુણો). બાથરૂમમાં રેઝોનન્સની ઘટના પણ જોઇ શકાય છે. જો તમે અલગ-અલગ ફ્રીક્વન્સીઝના અવાજો હળવેથી ગાઓ છો, તો એક ફ્રીક્વન્સી પર પડઘો ઊભો થશે.

IN સંગીતનાં સાધનોરેઝોનેટરની ભૂમિકા તેમના આવાસના ભાગો દ્વારા કરવામાં આવે છે. વ્યક્તિ પાસે તેનું પોતાનું રેઝોનેટર પણ હોય છે - આ મૌખિક પોલાણ છે, જે ઉત્પાદિત અવાજોને વિસ્તૃત કરે છે.

રેઝોનન્સની ઘટનાને વ્યવહારમાં ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ઉપયોગી હોઈ શકે છે, અન્યમાં તે નુકસાનકારક હોઈ શકે છે. રેઝોનન્સ અસાધારણ ઘટનાવિવિધ યાંત્રિક પ્રણાલીઓમાં ઉલટાવી શકાય તેવું નુકસાન થઈ શકે છે, જેમ કે અયોગ્ય રીતે ડિઝાઇન કરેલ પુલ. આમ, 1905 માં, સેન્ટ પીટર્સબર્ગમાં ઇજિપ્તીયન બ્રિજ જ્યારે તેની પાસેથી પસાર થતો હતો ત્યારે ઘોડાની ટુકડી તૂટી પડી અને 1940 માં, યુએસએમાં ટાકોમા બ્રિજ તૂટી પડ્યો.

પ્રતિધ્વનિની ઘટનાનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે, નાના બળની મદદથી, સ્પંદનોના કંપનવિસ્તારમાં મોટો વધારો મેળવવો જરૂરી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, ભારે ભાષા મોટી ઘંટડીઘંટડીની કુદરતી આવર્તન જેટલી આવર્તન સાથે પ્રમાણમાં નાના બળનો ઉપયોગ કરીને રોકી શકાય છે.

હાર્મોનિક સ્પંદનો

ઑનલાઇન પરીક્ષણ

હાર્મોનિક ઓસિલેશન

હાર્મોનિક વાઇબ્રેશનનું સમીકરણ

હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું સમીકરણ સમયસર શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન સ્થાપિત કરે છે

માં કોસાઇન પ્લોટ પ્રારંભિક ક્ષણમહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે, અને સાઈન ગ્રાફ પ્રારંભિક ક્ષણે શૂન્ય મૂલ્ય ધરાવે છે. જો આપણે સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસિલેશનનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરીએ, તો ઓસિલેશન એક સાઇનસૉઇડનું પુનરાવર્તન કરશે. જો આપણે પોઝિશનમાંથી ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરીએ મહત્તમ વિચલન, પછી ઓસિલેશનનું વર્ણન કોસાઇન દ્વારા કરવામાં આવશે. અથવા આવા ઓસિલેશનને સાઈન ફોર્મ્યુલા દ્વારા પ્રારંભિક તબક્કા સાથે વર્ણવી શકાય છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન દરમિયાન ઝડપ અને પ્રવેગકમાં ફેરફાર

સાઈન અથવા કોસાઈનના નિયમ અનુસાર સમય જતાં શરીરના સંકલન જ નહીં. પરંતુ બળ, ઝડપ અને પ્રવેગક જેવા જથ્થાઓ પણ તે જ રીતે બદલાય છે. જ્યારે ઓસીલેટીંગ બોડી અંદર હોય ત્યારે બળ અને પ્રવેગક મહત્તમ હોય છે આત્યંતિક સ્થિતિ, જ્યાં વિસ્થાપન મહત્તમ હોય છે અને જ્યારે શરીર સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે શૂન્યની બરાબર હોય છે. ગતિ, તેનાથી વિપરીત, આત્યંતિક સ્થિતિમાં શૂન્ય છે, અને જ્યારે શરીર સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

જો ઓસિલેશન કોસાઇનના કાયદા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

જો ઓસિલેશન સાઈન લો અનુસાર વર્ણવવામાં આવે છે

મહત્તમ ઝડપ અને પ્રવેગક મૂલ્યો

અવલંબન v(t) અને a(t) ના સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, અમે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે મહત્તમ મૂલ્યોજ્યારે ત્રિકોણમિતિ પરિબળ 1 અથવા -1 હોય ત્યારે વેગ અને પ્રવેગ લેવામાં આવે છે. સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત

સમય પર ઝડપ અને સમય પર પ્રવેગની અવલંબન માટેના સૂત્રો ગાણિતિક રીતે મેળવી શકાય છે, સમયસર સંકલનની અવલંબન જાણીને. સમાન રીતે પ્રવેગિત ગતિની જેમ, અવલંબન v(t) એ x(t) નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે. અને અવલંબન a(t) એ x(t) નું બીજું વ્યુત્પન્ન છે.

ઓસિલેશન્સનું ભીનાશ એ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ દ્વારા ઊર્જાના નુકસાનને કારણે, સમય જતાં ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ધીમે ધીમે ઘટાડો છે.

ભીનાશ વગરના કુદરતી ઓસિલેશન એ એક આદર્શીકરણ છે. એટેન્યુએશનના કારણો અલગ હોઈ શકે છે. યાંત્રિક પ્રણાલીમાં, ઘર્ષણની હાજરીથી કંપન ભીના થાય છે. IN ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સર્કિટસિસ્ટમ બનાવતા વાહકોમાં ગરમીનું નુકસાન કંપન ઊર્જામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. જ્યારે ઓસીલેટરી સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત તમામ ઉર્જાનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યારે ઓસિલેશન બંધ થઈ જશે. તેથી કંપનવિસ્તાર ભીના ઓસિલેશન જ્યાં સુધી તે શૂન્ય સમાન ન થાય ત્યાં સુધી ઘટે છે.

કુદરતી ઓસિલેશનની જેમ ભીના થયેલા ઓસિલેશન, જે સિસ્ટમમાં પ્રકૃતિમાં અલગ હોય છે, તેને એક જ દૃષ્ટિકોણથી ગણી શકાય - સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ. જો કે, કંપનવિસ્તાર અને અવધિ જેવી લાક્ષણિકતાઓને પુનઃવ્યાખ્યાની જરૂર છે, અને અન્યને કુદરતી અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન માટે સમાન લાક્ષણિકતાઓની તુલનામાં ઉમેરા અને સ્પષ્ટતાની જરૂર છે. સામાન્ય ચિહ્નોઅને ભીના ઓસિલેશનની વિભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:

ઓસિલેશન પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘટાડાને ધ્યાનમાં લઈને વિભેદક સમીકરણ મેળવવું આવશ્યક છે કંપન ઊર્જા.

ઓસિલેશન સમીકરણ એ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

ભીના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમય પર આધાર રાખે છે.

આવર્તન અને અવધિ ઓસિલેશનના એટેન્યુએશનની ડિગ્રી પર આધારિત છે.

તબક્કો અને પ્રારંભિક તબક્કો સતત ઓસિલેશન માટે સમાન અર્થ ધરાવે છે.

3.1. યાંત્રિક ભીના ઓસિલેશન

યાંત્રિક સિસ્ટમ: સ્પ્રિંગ લોલક ઘર્ષણ દળોને ધ્યાનમાં લે છે.

લોલક પર કામ કરતી દળો:

સ્થિતિસ્થાપક બળ. , જ્યાં k એ સ્પ્રિંગ જડતા ગુણાંક છે, x એ સંતુલન સ્થિતિમાંથી લોલકનું વિસ્થાપન છે.

પ્રતિકાર શક્તિ. પ્રતિકાર શક્તિને ધ્યાનમાં લો, ઝડપ માટે પ્રમાણસર v ચળવળ (આ અવલંબન પ્રતિકારક દળોના મોટા વર્ગ માટે લાક્ષણિક છે): . માઈનસ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે પ્રતિકારક શક્તિની દિશા શરીરની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ છે. પ્રતિકાર ગુણાંક r આંકડાકીય રીતે બળ સમાનશરીરની હિલચાલની એકમ ગતિએ ઉદ્ભવતા પ્રતિકાર:

ગતિનો કાયદોવસંત લોલક- આ ન્યુટનનો બીજો નિયમ છે:

m a = એફદા.ત. + એફપ્રતિકાર

તે બંનેને ધ્યાનમાં લેતા , આપણે ન્યુટનનો બીજો નિયમ ફોર્મમાં લખીએ છીએ:

.

સમીકરણની તમામ શરતોને m વડે વિભાજીત કરીને, તે બધાને પર ખસેડો જમણી બાજુ, અમને મળે છે વિભેદક સમીકરણ ભીના થયેલા ઓસિલેશન્સ:

ચાલો આપણે સૂચવીએ, જ્યાં β- એટેન્યુએશન ગુણાંક, , જ્યાં ω 0 એ ઓસીલેટરી સિસ્ટમમાં ઉર્જાની ખોટની ગેરહાજરીમાં અનડેમ્પ્ડ ફ્રી ઓસિલેશનની આવર્તન છે.

નવા સંકેતમાં, ભીના ઓસિલેશનના વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

.

આ સેકન્ડ ઓર્ડર રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે.

ડમ્પ્ડ ઓસિલેશન સમીકરણનીચેના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે:

પરિશિષ્ટ 1 બતાવે છે કે ચલોને બદલીને ભીના ઓસિલેશનના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ કેવી રીતે મેળવવો.

ભીની આવર્તન:

(ભૌતિક અર્થમાત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ છે, તેથી).

ભીના ઓસિલેશનનો સમયગાળો:

.

અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન માટેના સમયગાળાની વિભાવનામાં જે અર્થ મૂકવામાં આવ્યો હતો તે ભીના ઓસિલેશન માટે યોગ્ય નથી, કારણ કે ઓસીલેટરી એનર્જીના નુકસાનને કારણે ઓસીલેટરી સિસ્ટમ ક્યારેય તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછી આવતી નથી. ઘર્ષણની હાજરીમાં, સ્પંદનો ધીમી હોય છે: .

ભીના ઓસિલેશનનો સમયગાળોએ ન્યૂનતમ સમયગાળો છે જે દરમિયાન સિસ્ટમ એક દિશામાં બે વાર સંતુલન સ્થિતિ પસાર કરે છે.

માટે યાંત્રિક સિસ્ટમઅમારી પાસે વસંત લોલક છે:

, .

ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર:

વસંત લોલક માટે.

ભીના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર એ સ્થિર મૂલ્ય નથી, પરંતુ સમય જતાં બદલાય છે, તેટલી ઝડપથી ઉચ્ચ ગુણાંકβ તેથી, કંપનવિસ્તાર માટેની વ્યાખ્યા, જે અગાઉ અપૂરતું મુક્ત ઓસિલેશન માટે આપવામાં આવી હતી, તે ભીના ઓસિલેશન માટે બદલવી આવશ્યક છે.

નાના એટેન્યુએશન માટે ભીના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તારસમયગાળા દરમિયાન સંતુલન સ્થિતિથી સૌથી મોટું વિચલન કહેવાય છે.

ચાર્ટવિસ્થાપન વિરુદ્ધ સમય અને કંપનવિસ્તાર વિરુદ્ધ સમય પ્લોટ આકૃતિ 3.1 અને 3.2 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

આકૃતિ 3.1 - ભીના ઓસિલેશન માટે સમયસર વિસ્થાપનની અવલંબન

આકૃતિ 3.2 - ભીના ઓસિલેશન માટે સમયસર કંપનવિસ્તારનું અવલંબન

3.2. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ભીના ઓસિલેશન

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ભીના ઓસિલેશન e માં ઉદ્ભવે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસીલેટરી સિસ્ટમ, LCR - સર્કિટ કહેવાય છે (આકૃતિ 3.3).

આકૃતિ 3.3.

વિભેદક સમીકરણઅમે બંધ એલસીઆર સર્કિટ માટે કિર્ચહોફના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ છીએ: સક્રિય પ્રતિકાર (R) અને કેપેસિટર (C) પર વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો સમાન છે પ્રેરિત emf, સર્કિટ સર્કિટમાં વિકસિત:

વોલ્ટેજ ડ્રોપ:

સક્રિય પ્રતિકાર પર: , જ્યાં હું સર્કિટમાં વર્તમાન તાકાત છે;

કેપેસિટર (C) પર: , જ્યાં q એ કેપેસિટર પ્લેટોમાંથી એક પર ચાર્જનું પ્રમાણ છે.

સર્કિટમાં વિકસિત EMF એ પ્રેરિત EMF છે જે ઇન્ડક્ટરમાં થાય છે જ્યારે તેમાં વર્તમાન બદલાય છે, અને તેથી ચુંબકીય પ્રવાહતેના ક્રોસ વિભાગ દ્વારા: (ફેરાડેનો કાયદો).

ચાલો કિર્ચહોફના કાયદાને પ્રતિબિંબિત કરતા સમીકરણમાં U R , U C મૂલ્યોને બદલીએ, આપણને મળે છે:

.

વર્તમાન તાકાત ચાર્જના વ્યુત્પન્ન તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે, પછી , અને વિભેદક સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

.

ચાલો આપણે સૂચિત કરીએ, અને આ સંકેતમાં આપણે ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ ફોર્મમાં મેળવીએ છીએ:

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવા અથવા ચાર્જ માટે ઓસિલેશન સમીકરણકેપેસિટર પ્લેટો પર આના જેવો દેખાય છે:

ભીના ચાર્જ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તારફોર્મ ધરાવે છે:

ભીની આવર્તન LCR સર્કિટમાં:

.

સમયગાળોવિલીન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પંદનો:

.

ચાલો ફોર્મમાં ચાર્જ માટે સમીકરણ લઈએ, તો પછી વોલ્ટેજ સમીકરણકેપેસિટરની પ્લેટો પર આ રીતે લખી શકાય છે:
.

જથ્થો કહેવાય છે સમગ્ર કેપેસિટરમાં વોલ્ટેજ કંપનવિસ્તાર.

વર્તમાન સમય સાથે સર્કિટમાં ફેરફાર થાય છે. વર્તમાન માટે સમીકરણસમોચ્ચમાં ગુણોત્તર અને વેક્ટર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

વર્તમાન માટે અંતિમ સમીકરણ છે:

જ્યાં - પ્રારંભિક તબક્કો.

તે α ની બરાબર નથી, કારણ કે વર્તમાન તાકાત સાઈન અનુસાર બદલાતી નથી, જે ચાર્જનું વ્યુત્પન્ન હશે, પરંતુ કોસાઈન અનુસાર.

ઉર્જાસર્કિટમાં ઓસિલેશનમાં ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડની ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે

અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઊર્જા

કુલ ઊર્જાકોઈપણ સમયે:

જ્યાં ડબલ્યુ 0 – કુલ ઊર્જા t=0 સમયે સર્કિટ .

3.3. ભીના ઓસિલેશનની લાક્ષણિકતાઓ

1.એટેન્યુએશન ગુણાંક β.

ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર ભીના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર બદલાય છે:

સમય τ દરમિયાન ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર “e” વખત ઘટવા દો (“e” એ કુદરતી લઘુગણકનો આધાર છે, e ≈ 2.718). પછી, એક તરફ, , અને બીજી બાજુ, કંપનવિસ્તાર A zat વર્ણવ્યા પછી. (t) અને A zat. (t+τ), અમારી પાસે છે . આ સંબંધોમાંથી તે βτ = 1 અનુસરે છે, તેથી

સમયગાળો τ જે દરમિયાન કંપનવિસ્તાર "e" વખત ઘટે છે તેને કહેવામાં આવે છે આરામનો સમય.

એટેન્યુએશન ગુણાંકβ એ છૂટછાટના સમયના વિપરિત પ્રમાણસરનું મૂલ્ય છે.

2. લોગરીધમિક ઘટાડોભીનાશ δ- સમયાંતરે વિભાજિત બે ક્રમિક કંપનવિસ્તારના ગુણોત્તરના કુદરતી લઘુગણકની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન ભૌતિક જથ્થો.

ઓસીલેટરી સિસ્ટમની ઊર્જામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે ધીમે ધીમે ઘટાડોકંપન કંપનવિસ્તાર, કારણ કે

આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે સ્પંદનો નાશ પામે છે .

માં પણ આવી જ સ્થિતિ ઊભી થાય છે ઓસીલેટરી સર્કિટ. એક વાસ્તવિક કોઇલ જે સર્કિટનો ભાગ છે તે હંમેશા સક્રિય પ્રતિકાર ધરાવે છે. જ્યારે કોઇલના સક્રિય પ્રતિકારમાંથી પ્રવાહ વહે છે, ત્યારે જૌલ ગરમી છોડવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, સર્કિટની ઊર્જા ઘટશે, જે ચાર્જ, વોલ્ટેજ અને વર્તમાનના ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો તરફ દોરી જશે.

અમારું કાર્ય- કયા કાયદા દ્વારા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે તે શોધો, કયા કાયદા દ્વારા ઓસીલેટીંગ જથ્થા પોતે બદલાય છે, કયા આવર્તન સાથે ભીના થયેલા ઓસિલેશન થાય છે, કેટલા સમય સુધી ઓસિલેશન "મૃત્યુ પામે છે."

§1 ચીકણું ઘર્ષણ સાથે સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશનનું ભીનાશ

ચાલો એક ઓસીલેટરી સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ જેમાં ચીકણું ઘર્ષણનું બળ કાર્ય કરે છે.આવી ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ઉદાહરણ ગાણિતિક લોલક છે જે હવામાં ઓસીલેટ થાય છે.

આ કિસ્સામાં, જ્યારે સિસ્ટમ દ્વારા સંતુલન સ્થિતિમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે

લોલક પર બે દળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવશે: અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ અને પ્રતિકારક બળ (ચીકણું ઘર્ષણ બળ).

ન્યુટનનો બીજો નિયમ નીચે મુજબ લખવામાં આવશે:

(1)

આપણે જાણીએ છીએ કે નીચી ઝડપે ચીકણું ઘર્ષણનું બળ ચળવળની ગતિના પ્રમાણસર છે:

પછી સમીકરણ (2) ફોર્મ લેશે:

અમે નીચેના સ્વરૂપમાં ગતિનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

(3)

જ્યાં d એ ભીનાશ ગુણાંક છે, તે ઘર્ષણ ગુણાંક r પર આધાર રાખે છે,

w 0 - આદર્શ ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન (ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં).

સમીકરણ (3) ઉકેલતા પહેલા, ઓસીલેટરી સર્કિટનો વિચાર કરો. કોઇલનો સક્રિય પ્રતિકાર કેપેસીટન્સ C અને ઇન્ડક્ટન્સ L સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.

ચાલો કિર્ચહોફનો બીજો કાયદો લખીએ

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે, , .

પછી કિર્ચહોફનો બીજો કાયદો ફોર્મ લેશે:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને આના દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ

આખરે આપણને મળે છે

વિભેદક સમીકરણો (3) અને (3’) ની ગાણિતિક ઓળખ પર ધ્યાન આપો. આ આશ્ચર્યજનક નથી. અમે પહેલાથી જ સર્કિટમાં લોલક અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેશનની પ્રક્રિયાની સંપૂર્ણ ગાણિતિક ઓળખ બતાવી છે. દેખીતી રીતે, સર્કિટમાં અને ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમોમાં કંપન ભીના થવાની પ્રક્રિયાઓ પણ તે જ રીતે થાય છે.

સમીકરણ (3) ઉકેલવાથી, આપણે ઉપરના બધા પ્રશ્નોના જવાબો મેળવીશું.

પછી ઇચ્છિત સમીકરણ (3) માટે આપણે અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ

તે જોવાનું સરળ છે કે વાસ્તવિક ઓસીલેટરી સર્કિટમાં કેપેસિટરનો ચાર્જ કાયદા અનુસાર બદલાશે

પ્રાપ્ત પરિણામનું વિશ્લેષણ:

1 પરિણામે સંયુક્ત ક્રિયાઅર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ અને ડ્રેગ ફોર્સ સિસ્ટમ કદાચ પ્રતિબદ્ધ ઓસીલેટરી ગતિ. આ માટે, શરત w 0 2 - d 2 > 0 સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમમાં ઘર્ષણ ઓછું હોવું જોઈએ.

2 ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન w 2 = w 0 2 - d 2 ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં સિસ્ટમના ઓસિલેશનની આવર્તન સાથે મેળ ખાતી નથી< w 0 2 . સમય જતાં, ભીના થયેલા ઓસિલેશનની આવર્તન યથાવત રહે છે.

જો ડેમ્પિંગ ગુણાંક d નાનો હોય, તો ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન કુદરતી આવર્તન w 0 ની નજીક છે.

4 જો w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

જ્યાં .

સીધા અવેજીકરણ દ્વારા તે ચકાસવું સરળ છે કે કાર્ય (4) ખરેખર સમીકરણ (3) નો ઉકેલ છે. દેખીતી રીતે, બે ઘાતાંકીય કાર્યોનો સરવાળો નથી સામયિક કાર્ય. સાથે ભૌતિક બિંદુપરિપ્રેક્ષ્યમાં, આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં ઓસિલેશન્સ થશે નહીં. સિસ્ટમને સંતુલન સ્થિતિમાંથી દૂર કર્યા પછી, તે ધીમે ધીમે તેના પર પાછા આવશે. આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે એપિરિયોડિક .

§2 સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ સાથે સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશન્સ કેટલી ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે?

એટેન્યુએશનમાં ઘટાડો

માટે વિદ્યુત સ્પંદનોસર્કિટમાં, એટેન્યુએશન ગુણાંક કોઇલના પરિમાણો પર આધાર રાખે છે: કોઇલનો સક્રિય પ્રતિકાર વધુ, કેપેસિટર, વોલ્ટેજ અને વર્તમાન ઘટતા ચાર્જના કંપનવિસ્તાર ઝડપી.

કાર્ય એ ઘટતા ઘાતાંકીય કાર્યનું ઉત્પાદન છે અને હાર્મોનિક કાર્ય, એટલે જ કાર્ય હાર્મોનિક નથી. પરંતુ તેની પાસે છે અમુક હદ સુધી"પુનરાવર્તન", જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે કાર્યના મેક્સિમા, મિનિમા અને શૂન્ય સમયના સમાન અંતરાલો પર થાય છે. ફંક્શનનો આલેખ બે ઘાતાંકો સુધી મર્યાદિત સાઇનસૉઇડ છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પરિણામ તમે કયા સળંગ બે સમયગાળાને ધ્યાનમાં લો છો તેના પર નિર્ભર નથી - ઓસીલેટરી ચળવળની શરૂઆતમાં અથવા થોડો સમય પસાર થયા પછી. દરેક સમયગાળા માટે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર બદલાય છે ચાલુ નથી સમાન કદ, એ સમાન સંખ્યામાં વખત !!

તે જોવું મુશ્કેલ નથી સમયના કોઈપણ અલગ-અલગ સમયગાળા માટે, ભીના થયેલા ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમાન સંખ્યામાં વખત ઘટે છે.

આરામનો સમય

આરામનો સમય કહેવામાં આવે છે સમય કે જે દરમિયાન ભીના ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર e વખત ઘટે છે:

પછી .

અહીંથી એટેન્યુએશન ગુણાંકનો ભૌતિક અર્થ સ્થાપિત કરવો મુશ્કેલ નથી:

આમ, ભીનાશ ગુણાંક એ છૂટછાટના સમયનો પરસ્પર છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ઓસીલેટરી સર્કિટમાં ભીનાશ ગુણાંક બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે સમય c પછી ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

લોગરીધમિક ભીનાશમાં ઘટાડો

મોટે ભાગે, ઓસિલેશનના ભીનાશનો દર લઘુગણક ભીનાશ ઘટાડાની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. આ માટે તેઓ લે છે કુદરતી લઘુગણકસમયના સમયગાળા દ્વારા વિભાજિત કંપનવિસ્તારના ગુણોત્તરમાંથી.

ચાલો લોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડીક્રમેન્ટનો ભૌતિક અર્થ શોધીએ.

ચાલો N ને આરામના સમય દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા ગણીએ, એટલે કે, એ ઓસિલેશનની સંખ્યા કે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે ઇએકવાર દેખીતી રીતે, .

તે જોઈ શકાય છે કે લઘુગણક ભીનાશમાં ઘટાડો એ જથ્થો છે સંખ્યાના પરસ્પરઓસિલેશન, જેના પછી કંપનવિસ્તાર ઘટે છે ઇએકવાર

ચાલો કહીએ કે, આનો અર્થ એ છે કે 100 ઓસિલેશન પછી કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ

લઘુગણક ભીનાશના ઘટાડા અને આરામના સમય ઉપરાંત, ઓસિલેશનના ભીનાશની ઝડપને આવા મૂલ્ય દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ . ગુણવત્તા પરિબળ હેઠળ

સમયની મનસ્વી ક્ષણે ઓસીલેટરી સિસ્ટમની ઊર્જા સમાન છે. સમયગાળા દરમિયાન ઉર્જાની ખોટ એ સમયની એક ક્ષણની ઊર્જા અને સમય પછીની ઊર્જા વચ્ચેના તફાવત તરીકે શોધી શકાય છે, સમયગાળાની સમાન:

પછી

ઘાતાંકીય કાર્યએક પંક્તિ માં ગોઠવી શકાય છે ખાતે<< 1. после подстановки получаем .

અમે ઉપાડ પર પ્રતિબંધ લાદ્યો<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

સિસ્ટમના ક્વોલિટી ફેક્ટર માટે અમે જે ફોર્મ્યુલા મેળવ્યા છે તે હજુ કંઈ કહેતા નથી. ચાલો કહીએ કે ગણતરીઓ ગુણવત્તા પરિબળ Q = 10 નું મૂલ્ય આપે છે. આનો અર્થ શું છે? સ્પંદનો કેટલી ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે? આ સારું છે કે ખરાબ?

અમે અગાઉ પૂછેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકીએ છીએ: N = 8.

કઈ ઓસીલેટરી સિસ્ટમ વધુ સારી છે - ઉચ્ચ અથવા નીચી ગુણવત્તાના પરિબળ સાથે? આ પ્રશ્નનો જવાબ તમે ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમમાંથી શું મેળવવા માંગો છો તેના પર આધાર રાખે છે.

જો તમે ઇચ્છો છો કે સિસ્ટમ બંધ કરતા પહેલા શક્ય તેટલી વધુ ઓસિલેશન કરે, તો સિસ્ટમના ગુણવત્તા પરિબળને વધારવાની જરૂર છે. કેવી રીતે? ગુણવત્તા પરિબળ ઓસીલેટરી સિસ્ટમના પરિમાણો દ્વારા જ નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી આ પરિમાણોને યોગ્ય રીતે પસંદ કરવા જરૂરી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સેન્ટ આઇઝેક કેથેડ્રલમાં સ્થાપિત ફોકોલ્ટ લોલક નબળા રીતે ભીના થયેલા ઓસિલેશન્સ કરવા માટે માનવામાં આવતું હતું. પછી

લોલકના ગુણવત્તા પરિબળને વધારવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો તેને ભારે બનાવવાનો છે.

વ્યવહારમાં, વિપરિત સમસ્યાઓ ઘણીવાર ઊભી થાય છે: શક્ય તેટલી ઝડપથી ઉદ્ભવતા સ્પંદનોને ભીના કરવા જરૂરી છે (ઉદાહરણ તરીકે, માપવાના સાધનની સોયના કંપન, કારના શરીરના કંપન, વહાણના કંપન વગેરે). જે સિસ્ટમમાં એટેન્યુએશનને વધારવાની મંજૂરી આપે છે તેને ડેમ્પર્સ (અથવા શોક શોષક) કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર આંચકા શોષક, પ્રથમ અંદાજમાં, તેલ (ચીકણું પ્રવાહી) થી ભરેલું સિલિન્ડર છે, જેમાં સંખ્યાબંધ નાના છિદ્રો સાથેનો પિસ્ટન ખસેડી શકે છે. પિસ્ટન લાકડી શરીર સાથે જોડાયેલ છે, અને સિલિન્ડર વ્હીલ એક્સલ સાથે જોડાયેલ છે. શરીરના પરિણામી સ્પંદનો ઝડપથી મરી જાય છે, કારણ કે ફરતા પિસ્ટનને સિલિન્ડરમાં ભરાતા ચીકણું પ્રવાહીથી તેના માર્ગમાં ઘણા પ્રતિકારનો સામનો કરવો પડે છે.

§ 3 શુષ્ક ઘર્ષણ સાથે સિસ્ટમોમાં સ્પંદનોનું ભીનાશ

જો સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ સિસ્ટમમાં કાર્ય કરે તો ઓસિલેશનનું ભીનાશ મૂળભૂત રીતે અલગ રીતે થાય છે. આ તે છે જે વસંત લોલકને અટકાવે છે, જે કોઈપણ સપાટી પર ઓસીલેટ થાય છે.

નોંધ કરો કે ડાબેથી જમણે ચળવળ દરમિયાન, ઘર્ષણ બળ દિશા અને તીવ્રતામાં સતત હોય છે.

આ અમને જણાવવા દે છે કે સમયગાળાના પ્રથમ અર્ધ દરમિયાન વસંત લોલક સતત બળ ક્ષેત્રમાં હોય છે.

જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં - જમણેથી ડાબે - ઘર્ષણ બળ દિશા બદલશે, પરંતુ સમગ્ર સંક્રમણ દરમિયાન તે તીવ્રતા અને દિશામાં સ્થિર રહેશે. આ પરિસ્થિતિ ફરીથી સતત બળ ક્ષેત્રમાં લોલકના ઓસિલેશનને અનુરૂપ છે. માત્ર હવે આ ક્ષેત્ર અલગ છે! તેણે દિશા બદલી. પરિણામે, જમણેથી ડાબે ખસેડતી વખતે સંતુલનની સ્થિતિ પણ બદલાઈ ગઈ. તે હવે D રકમથી જમણી તરફ ખસી ગયું છે l 0 .

ચાલો સમયસર શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનનું નિરૂપણ કરીએ. સમયગાળાના દરેક અર્ધભાગ માટે ચળવળ એક હાર્મોનિક ઓસિલેશન છે, આલેખ સાઇનસૉઇડ્સના અડધા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે, જેમાંથી દરેક તેની સંતુલન સ્થિતિને અનુરૂપ પ્લોટ કરવામાં આવે છે. અમે "સાથે ટાંકા સાથે ઉકેલો" ની કામગીરી હાથ ધરીશું.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણ સાથે આ કેવી રીતે થાય છે તે બતાવીએ.

સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા લોડનો સમૂહ 200 ગ્રામ, સ્પ્રિંગની જડતા 20 N/m અને લોડ અને ટેબલની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.1 થવા દો. લોલકને ઓસીલેટરી ગતિમાં સેટ કરવામાં આવ્યું હતું, જે વસંતને લંબાવતું હતું

સ્નિગ્ધ ઘર્ષણવાળી ઓસીલેટરી સિસ્ટમ્સથી વિપરીત, શુષ્ક ઘર્ષણવાળી સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર રેખીય કાયદા અનુસાર સમય જતાં ઘટે છે - દરેક સમયગાળા માટે તે સ્થિરતા ઝોનની બે પહોળાઈથી ઘટે છે.

અન્ય વિશિષ્ટ લક્ષણ એ છે કે શુષ્ક ઘર્ષણ સાથેની સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશન, સૈદ્ધાંતિક રીતે પણ, અનિશ્ચિત સમય માટે થઈ શકતું નથી. શરીર "સ્થિરતા ઝોન" માં અટકે કે તરત જ તેઓ બંધ થઈ જાય છે.

§4 સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

સમસ્યા 1 ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમોમાં ભીના ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ફેરફારની પ્રકૃતિ

t 1 = 5 મિનિટ દરમિયાન લોલકના ભીના થયેલા ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં 2 ગણો ઘટાડો થયો. t 2 કયા સમય દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર 8 ગણું ઘટશે? ટી 3 પછી કેટલા સમય પછી આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ કે લોલક ઓસીલેટીંગ બંધ થઈ ગયું છે?

ઉકેલ:

સમય જતાં સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ સાથે સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર

કે ત્વરિત રીતે ઘટતું નથી, સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ક્યાં છે, અને ભીનાશ ગુણાંક છે.

1 અમે કંપનવિસ્તારમાં ફેરફારનો નિયમ બે વાર લખીએ છીએ

2 આપણે એકસાથે સમીકરણો હલ કરીએ છીએ. અમે દરેક સમીકરણ લોગરીધમ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ

બીજા સમીકરણને પ્રથમ નહિ પણ ભાગાકાર કરો અને સમય t 2 શોધો

4

પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે

છેલ્લા સમીકરણને સમીકરણ દ્વારા વિભાજીત કરો (*)

સમસ્યા 2 ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમોમાં ભીના થયેલા ઓસિલેશનનો સમયગાળો

જો પ્રાકૃતિક ઓસિલેશનનો સમયગાળો T 0 = 1 s હોય અને લઘુગણક ભીનાશનો ઘટાડો હોય તો સિસ્ટમ T ના ભીના થયેલા ઓસિલેશનનો સમયગાળો નક્કી કરો. આ સિસ્ટમ સંપૂર્ણ બંધ થાય તે પહેલાં કેટલા ઓસિલેશન કરશે?

ઉકેલ:

1 ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમમાં ભીના થયેલા ઓસિલેશનનો સમયગાળો લાંબો સમયગાળોઅને કુદરતી કંપનો (સિસ્ટમમાં ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં). ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન, તેનાથી વિપરીત, કુદરતી આવર્તન કરતા ઓછી છે અને તે સમાન છે , એટેન્યુએશન ગુણાંક ક્યાં છે.

2 ચાલો ચક્રીય આવર્તનને સમયગાળાની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરીએ. અને ધ્યાનમાં લો કે લોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડિક્રમેન્ટ આના સમાન છે:

3 પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે .

સિસ્ટમની ઊર્જા લોલકની મહત્તમ સંભવિત ઊર્જા જેટલી છે

પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે

5 અમે લઘુગણક ઘટાડા દ્વારા એટેન્યુએશન ગુણાંક વ્યક્ત કરીએ છીએ, અમે મેળવીએ છીએ

બંધ કરતા પહેલા સિસ્ટમ જે ઓસિલેશન કરશે તેની સંખ્યા બરાબર છે

સમસ્યા 3 કંપનવિસ્તાર અડધું ન થાય ત્યાં સુધી લોલક દ્વારા કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા

લોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડીક્રીમેન્ટ q = 3×10 -3 છે. સંપૂર્ણ ઓસિલેશનની સંખ્યા નક્કી કરો કે જે લોલક તેના ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારને અડધાથી ઘટાડવા માટે બનાવવી જોઈએ.

ઉકેલ:

3 તે જોવાનું સરળ છે કે તે લઘુગણક ભીનાશમાં ઘટાડો છે. અમને મળે છે

ઓસિલેશનની સંખ્યા શોધવી

કાર્ય 4 ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ

લોલકનું ગુણવત્તા પરિબળ નક્કી કરો જો તે સમય દરમિયાન જે દરમિયાન 10 ઓસિલેશન કરવામાં આવ્યા હતા, કંપનવિસ્તારમાં 2 ગણો ઘટાડો થયો. લોલકને રોકવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ઉકેલ:

1 ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમય સાથે ઝડપથી ઘટે છે, જ્યાં સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર હોય છે અને તે ભીનાશ ગુણાંક છે.

ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર 2 ગણું ઘટતું હોવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

2 ઓસિલેશન સમયને ઓસિલેશન સમયગાળાના ઉત્પાદન અને તેમની સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

પરિણામી સમય મૂલ્યને અભિવ્યક્તિમાં બદલો (*)

3 તે જોવાનું સરળ છે કે તે લઘુગણક ભીનાશમાં ઘટાડો છે. આપણને લોગરીધમિક એટેન્યુએશન ડીક્રમેન્ટ સમાન મળે છે

4 ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ

સિસ્ટમની ઊર્જા લોલકની મહત્તમ સંભવિત ઊર્જા જેટલી છે

પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે

તે સમય શોધો કે જેના પછી ઓસિલેશન બંધ થઈ જશે .

સમસ્યા 5 મેગ્નેટ ઓસિલેશન

વાસ્યા લિસિચકિન, સમગ્ર શાળામાં જાણીતા પ્રયોગકર્તા, તેમના પ્રિય સાહિત્યિક પાત્ર કોલોબોકની ચુંબકીય મૂર્તિને રેફ્રિજરેટરની દિવાલ સાથે વાઇબ્રેટ બનાવવાનું નક્કી કર્યું. તેણે k = 10 N/m જડતા સાથે આકૃતિને સ્પ્રિંગ સાથે જોડી, તેને 10 સેમી સુધી લંબાવી અને તેને છોડ્યું. જો પૂતળાનું દળ m = 10 ગ્રામ હોય, તો મૂર્તિ અને દિવાલ વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક μ = 0.4 હોય, અને તેને F = 0.5 N બળ વડે દિવાલથી તોડી શકાય છે, તો કોલોબોક કેટલા ઓસિલેશન કરશે.

ઉકેલ:

1 જ્યારે સૌથી નીચલા સ્થાનેથી ઉચ્ચતમ સ્થાને ખસેડવામાં આવે છે, જ્યારે ભારની ગતિ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને સંખ્યાત્મક રીતે સમાન હોય છે. . આમ, વસંત લોલક ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણના દળો દ્વારા બનાવવામાં આવેલ સતત બળ ક્ષેત્રમાં છે. સતત બળ ક્ષેત્રમાં, લોલકની સંતુલન સ્થિતિ બદલાય છે:

નવી "સંતુલન સ્થિતિ" માં વસંતનો ખેંચાણ ક્યાં છે.

2 જ્યારે સર્વોચ્ચ સ્થાનેથી સૌથી નીચી સ્થિતિ તરફ જતી વખતે, જ્યારે ભારની ગતિ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તે સંખ્યાત્મક રીતે સમાન હોય છે. . આમ, વસંત લોલક ફરીથી ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણના દળો દ્વારા બનાવવામાં આવેલ સતત બળ ક્ષેત્રમાં છે. સતત બળ ક્ષેત્રમાં, લોલકની સંતુલન સ્થિતિ બદલાય છે:

નવી "સંતુલન સ્થિતિ" માં વસંતનું વિરૂપતા ક્યાં છે, "-" ચિહ્ન સૂચવે છે કે આ સ્થિતિમાં વસંત સંકુચિત છે.

3 સ્થિરતા ઝોન વસંત વિકૃતિ દ્વારા મર્યાદિત છે - 1 સે.મી.થી 3 સે.મી. અને તે 4 સે.મી. જેટલો છે, જેમાં સ્પ્રિંગ વિરૂપતા 1 સેમી છે, તે લોડની સ્થિતિને અનુરૂપ છે જેમાં કોઈ નથી. ઘર્ષણ બળ. સ્થિરતા ઝોનમાં, વસંતનું સ્થિતિસ્થાપક બળ મોડ્યુલસમાં પરિણામી બળ કરતાં ઓછું હોય છે. મહત્તમ સ્થિર ઘર્ષણ બળઅને ગુરુત્વાકર્ષણ. જો લોલક સ્થિરતા ઝોનમાં અટકી જાય, તો ઓસિલેશન બંધ થાય છે.

4 દરેક સમયગાળા માટે, વસંત વિરૂપતા સ્થિરતા ઝોનની બે પહોળાઈથી ઘટે છે, એટલે કે. 8 cm એક ઓસિલેશન પછી, સ્પ્રિંગનું વિરૂપતા 10 cm - 8 cm = 2 cm જેટલું થઈ જશે આનો અર્થ એ છે કે એક ઓસિલેશન પછી કોલોબોક આકૃતિ સ્થિરતા ઝોનમાં પ્રવેશે છે અને તેના ઓસિલેશન બંધ થઈ જાય છે.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે §5 કાર્યો

ટેસ્ટ "ડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ"

1 ઓસિલેશનને ભીના કરીને અમારો અર્થ...

એ) ઓસિલેશન આવર્તનમાં ઘટાડો; બી) ઓસિલેશન અવધિમાં ઘટાડો;

બી) ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો; ડી) ઓસિલેશનના તબક્કામાં ઘટાડો.

2 ફ્રી ઓસિલેશનના ભીનાશનું કારણ છે

એ) અવ્યવસ્થિત પરિબળોની સિસ્ટમ પર અસર જે ઓસિલેશનને અટકાવે છે;

બી) સમયાંતરે બદલાતી બાહ્ય બળની ક્રિયા;

સી) સિસ્ટમમાં ઘર્ષણ બળની હાજરી;

ડી) અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળમાં ધીમે ધીમે ઘટાડો જે લોલકને સંતુલન સ્થિતિમાં પરત કરે છે.

એ) 5 સેમી; બી) 4 સેમી; બી) 3 સે.મી.;

ડી) જવાબ આપવો અશક્ય છે, કારણ કે સમય અજ્ઞાત છે.

6 બે સરખા લોલક, અલગ-અલગ ચીકણા માધ્યમમાં હોવાથી, ઓસીલેટ. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે આ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમય જતાં બદલાય છે. કયા માધ્યમમાં વધુ ઘર્ષણ થાય છે?

7 બે લોલક, સમાન વાતાવરણમાં હોવાથી, ઓસીલેટ. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે આ ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર સમય જતાં બદલાય છે. કયા લોલકનું દળ સૌથી વધુ છે?

સી) જવાબ આપવો અશક્ય છે, કારણ કે સંકલન અક્ષ માપેલ નથી અને ગણતરીઓ કરી શકાતી નથી.

8 કઈ આકૃતિ સમયસર ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમમાં ભીના ઓસિલેશનના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે?

એ) 1; બી) 2; બી) 3; ડી) બધા ગ્રાફ સાચા છે.

9 ચીકણું ઘર્ષણ ધરાવતી સિસ્ટમોમાં ઓસિલેશનના ભીનાશને દર્શાવતા ભૌતિક જથ્થાઓ અને તેમની વ્યાખ્યા અને ભૌતિક અર્થ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરો. ટેબલ ભરો

A) આ સમયગાળાની સમાન સમય પછી ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર છે;

બી) આ સમયગાળાની સમાન સમય પછી ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારના ગુણોત્તરનો કુદરતી લઘુગણક છે;

બી) આ તે સમય છે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે ઇ એકવાર;

જી) ડી) ઇ)

જી) આ મૂલ્ય એ ઓસિલેશનની સંખ્યાનો પરસ્પર છે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે ઇ એકવાર;

H) આ મૂલ્ય બતાવે છે કે ઓસિલેશનના સમયગાળાની સમાન સમયગાળામાં ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર કેટલી વખત ઘટે છે.

10 સાચું નિવેદન કરો.

સારી ગુણવત્તા એટલે...

એ) સમયગાળા દરમિયાન વિખરાયેલી ઊર્જા W અને સિસ્ટમ Eની કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર 2p ગણો વધ્યો;

બી) સમયગાળાની સમાન સમયગાળા પછી કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર;

સી) કંપનવિસ્તાર ઇ વખત દ્વારા ઘટે છે તે સમય સુધીમાં સિસ્ટમ બનાવે છે તે ઓસિલેશનની સંખ્યા.

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગુણવત્તા પરિબળની ગણતરી કરવામાં આવે છે...

એ) બી) સી)

ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ તેના પર આધાર રાખે છે...

એ) સિસ્ટમની ઊર્જા;

બી) સમયગાળા માટે ઊર્જા નુકશાન;

સી) ઓસીલેટરી સિસ્ટમના પરિમાણો અને તેમાં ઘર્ષણ.

ઓસીલેટરી સિસ્ટમનું ગુણવત્તા પરિબળ જેટલું ઊંચું છે, તે...

એ) સ્પંદનો વધુ ધીમેથી ક્ષીણ થાય છે;

બી) સ્પંદનો ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે.

11 એક ગાણિતિક લોલકને ઓસીલેટરી ગતિમાં સેટ કરવામાં આવે છે, જે પ્રથમ કિસ્સામાં સંતુલન સ્થિતિમાંથી સસ્પેન્શનને 15° દ્વારા, બીજામાં 10° દ્વારા વિચલિત કરે છે. કયા કિસ્સામાં લોલક અટકતા પહેલા વધુ ઓસિલેશન કરશે?

A) જ્યારે ગિમ્બલ 15° નમેલું હોય છે;

બી) જ્યારે ગિમ્બલ 10° નમેલું હોય છે;

C) બંને કિસ્સાઓમાં લોલક સમાન સંખ્યામાં ઓસિલેશન બનાવશે.

સમાન ત્રિજ્યાના 12 બોલ - એલ્યુમિનિયમ અને કોપર - સમાન લંબાઈના બે થ્રેડો સાથે જોડાયેલા હતા. લોલકને સમાન ખૂણા પર વિચલિત કરીને ઓસીલેટરી ગતિમાં સેટ કરવામાં આવે છે. અટકતા પહેલા કયું લોલક સૌથી વધુ ઓસિલેશન કરશે?

એ) એલ્યુમિનિયમ; બી) કોપર;

C) બંને લોલક સમાન સંખ્યામાં ઓસિલેશન બનાવશે.

13 આડી સપાટી પર સ્થિત એક સ્પ્રિંગ લોલકને ઓસિલેશનમાં સેટ કરવામાં આવ્યું હતું, જે સ્પ્રિંગને 9 સે.મી. સુધી લંબાવીને ત્રણ સંપૂર્ણ ઓસિલેશન પૂર્ણ કર્યા પછી, લોલક અવિકૃત ઝરણાની સ્થિતિથી 6 સે.મી.ના અંતરે જોવા મળ્યું હતું. આગામી ત્રણ ઓસિલેશન પછી લોલક અવિકૃત ઝરણાની સ્થિતિથી કેટલા અંતરે હશે?

એ) 5 સેમી; બી) 4 સેમી; બી) 3 સે.મી.

>> હાર્મોનિક સ્પંદનો

§ 22 હાર્મોનિક સ્પંદનો

ઓસીલેટીંગ બોડીના પ્રવેગ અને સંકલન એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે જાણીને, ગાણિતિક વિશ્લેષણના આધારે, સમયસર સંકલનની અવલંબન શોધવાનું શક્ય છે.

પ્રવેગક એ સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું બીજું વ્યુત્પન્ન છે. ત્વરિત ગતિએક બિંદુ, જેમ તમે ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી જાણો છો, તે સમયના સંદર્ભમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનું વ્યુત્પન્ન છે. બિંદુનું પ્રવેગ એ સમયના સંદર્ભમાં તેની ગતિનું વ્યુત્પન્ન છે અથવા સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું બીજું વ્યુત્પન્ન છે. તેથી, સમીકરણ (3.4) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જ્યાં x " - સમયના સંદર્ભમાં સંકલનનું બીજું વ્યુત્પન્ન. સમીકરણ (3.11) મુજબ, મુક્ત ઓસિલેશન દરમિયાન, કોઓર્ડિનેટ x સમય સાથે બદલાય છે જેથી સમયના સંદર્ભમાં કોઓર્ડિનેટનું બીજું વ્યુત્પન્ન સીધા સંકલન સાથે જ પ્રમાણસર હોય અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોય.

તે ગણિતના અભ્યાસક્રમ પરથી જાણી શકાય છે કે સાઈન અને કોસાઈનના બીજા ડેરિવેટિવ્સ તેમની દલીલના સંદર્ભમાં ફંક્શનના પોતાના પ્રમાણસર છે, જેમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. વિરોધી ચિહ્ન. IN ગાણિતિક વિશ્લેષણતે સાબિત થયું છે કે અન્ય કોઈ કાર્યોમાં આ ગુણધર્મ નથી. આ બધું તમને પરવાનગી આપે છે સારા કારણ સાથેભારપૂર્વક જણાવો કે મુક્ત ઓસિલેશન કરી રહેલા શરીરનું સંકલન સાઈન અથવા પેસાઈનના નિયમ અનુસાર સમય જતાં બદલાય છે. આકૃતિ 3.6 કોસાઇન કાયદા અનુસાર સમય જતાં બિંદુના સંકલનમાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

સામયિક ફેરફારો ભૌતિક જથ્થોસમય પર આધાર રાખીને, સાઈન અથવા કોસાઈનના નિયમ અનુસાર બનતા, તેને હાર્મોનિક ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે.

ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર.હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર એ તેની સંતુલન સ્થિતિથી શરીરના સૌથી મોટા વિસ્થાપનનું મોડ્યુલસ છે.

કંપનવિસ્તાર હોઈ શકે છે વિવિધ અર્થોસમયની પ્રારંભિક ક્ષણે આપણે શરીરને સંતુલન સ્થિતિમાંથી કેટલું વિસ્થાપિત કરીએ છીએ તેના આધારે અથવા શરીરને કઈ ઝડપ આપવામાં આવે છે તેના આધારે. કંપનવિસ્તાર નક્કી થાય છે પ્રારંભિક શરતો, અથવા તેના બદલે શરીરને આપવામાં આવતી ઊર્જા. પરંતુ સાઈન મોડ્યુલસ અને કોસાઈન મોડ્યુલસના મહત્તમ મૂલ્યો એક સમાન છે. તેથી, સમીકરણ (3.11) ના ઉકેલને સાઈન અથવા કોસાઈન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય નહીં. તે સાઈન અથવા કોસાઈન દ્વારા ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર x m ના ઉત્પાદનનું સ્વરૂપ લેવું જોઈએ.

મુક્ત સ્પંદનોનું વર્ણન કરતા સમીકરણનો ઉકેલ.ચાલો સમીકરણ (3.11) નો ઉકેલ નીચેના સ્વરૂપમાં લખીએ:

અને બીજું વ્યુત્પન્ન સમાન હશે:

અમે સમીકરણ મેળવ્યું છે (3.11). તેથી, કાર્ય (3.12) એ ઉકેલ છે મૂળ સમીકરણ(3.11). આ સમીકરણનો ઉકેલ પણ કાર્ય હશે

(3.14) અનુસાર સમય વિરુદ્ધ શરીરના સંકલનનો ગ્રાફ એક કોસાઇન તરંગ છે (જુઓ. ફિગ. 3.6).

હાર્મોનિક ઓસિલેશનની અવધિ અને આવર્તન. જ્યારે ઓસીલેટીંગ થાય છે, ત્યારે શરીરની હલનચલન સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે. T સમયગાળો કે જે દરમિયાન સિસ્ટમ ઓસિલેશનનું એક સંપૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે તેને ઓસિલેશનનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે.

સમયગાળો જાણીને, તમે ઓસિલેશનની આવર્તન નક્કી કરી શકો છો, એટલે કે સમયના એકમ દીઠ ઓસિલેશનની સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે પ્રતિ સેકન્ડ. જો સમય T માં એક ઓસિલેશન થાય છે, તો પ્રતિ સેકન્ડે ઓસિલેશનની સંખ્યા

IN આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમએકમો (SI) જો પ્રતિ સેકન્ડમાં એક ઓસિલેશન થાય તો ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી એકની બરાબર છે. જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી જી. હર્ટ્ઝના માનમાં આવર્તનના એકમને હર્ટ્ઝ (સંક્ષિપ્તમાં: Hz) કહેવામાં આવે છે.

2 s માં ઓસિલેશનની સંખ્યા બરાબર છે:

જથ્થો ચક્રીય, અથવા ચક્રાકાર, ઓસિલેશનની આવર્તન છે. જો સમીકરણમાં (3.14) સમય t એક સમયગાળાની બરાબર હોય, તો T = 2. આમ, જો સમયે t = 0 x = x m હોય, તો સમયે t = T x = x m, એટલે કે એક સમાન સમયગાળા દરમિયાન સમયગાળો, ઓસિલેશન પુનરાવર્તિત થાય છે.

મુક્ત સ્પંદનોની આવર્તન ઓસીલેટરી સિસ્ટમ 1 ની કુદરતી આવર્તન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સિસ્ટમના ગુણધર્મો પર ફ્રી ઓસિલેશનની આવર્તન અને અવધિની અવલંબન.સમીકરણ (3.13) અનુસાર, સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા શરીરના કંપનની કુદરતી આવર્તન બરાબર છે:

સ્પ્રિંગની જડતા k જેટલી વધારે છે, તે જેટલી મોટી અને નાની છે વધુ માસશરીર m. આ સમજવું સરળ છે: સખત ઝરણું શરીરને કહે છે વધુ પ્રવેગક, શરીરની ગતિ ઝડપથી બદલાય છે. અને શરીર જેટલું વિશાળ છે, તે બળના પ્રભાવ હેઠળ ધીમી ગતિમાં ફેરફાર કરે છે. ઓસિલેશન અવધિ સમાન છે:

વિવિધ જડતા અને શરીરના ઝરણાનો સમૂહ રાખવો વિવિધ વજન, તે અનુભવ પરથી ચકાસવું સરળ છે કે સૂત્રો (3.13) અને (3.18) k અને m પર અને T ની અવલંબનની પ્રકૃતિને યોગ્ય રીતે વર્ણવે છે.

તે નોંધપાત્ર છે કે સ્પ્રિંગ પર શરીરના કંપનનો સમયગાળો અને વિક્ષેપના નાના ખૂણા પર લોલકના કંપનનો સમયગાળો ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી.

સમીકરણ (3.10) માં પ્રવેગક t અને વિસ્થાપન x વચ્ચેના પ્રમાણસરતા ગુણાંકનું મોડ્યુલસ, જે લોલકના ઓસિલેશનનું વર્ણન કરે છે, તે સમીકરણ (3.11), ચક્રીય આવર્તનનો વર્ગ છે. તેથી, ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન ગાણિતિક લોલકવર્ટિકલમાંથી થ્રેડના ડિફ્લેક્શનના નાના ખૂણા પર લોલકની લંબાઈ અને પ્રવેગકતા પર આધાર રાખે છે મુક્ત પતન:

આ સૂત્ર સૌપ્રથમ આઇ. ન્યૂટનના સમકાલીન ડચ વૈજ્ઞાનિક જી. હ્યુજેન્સ દ્વારા પ્રાયોગિક ધોરણે પ્રાપ્ત અને પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું. તે માત્ર થ્રેડ ડિફ્લેક્શનના નાના ખૂણાઓ માટે જ માન્ય છે.

1 ઘણી વાર નીચેનામાં, સંક્ષિપ્તતા માટે, આપણે ફક્ત ચક્રીય આવર્તનને આવર્તન તરીકે સંદર્ભિત કરીશું. તમે સંકેત દ્વારા ચક્રીય આવર્તનને સામાન્ય આવર્તનથી અલગ કરી શકો છો.

લોલકની વધતી લંબાઈ સાથે ઓસિલેશનનો સમયગાળો વધે છે. તે લોલકના સમૂહ પર આધારિત નથી. આને વિવિધ લોલક વડે પ્રાયોગિક રીતે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ પર ઓસિલેશન સમયગાળાની અવલંબન પણ શોધી શકાય છે. નાનું g, લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો લાંબો અને તેથી, લોલક ઘડિયાળ ધીમી ચાલે છે. આમ, સળિયા પર વજનના રૂપમાં લોલક ધરાવતી ઘડિયાળ જો તેને ભોંયરામાંથી મોસ્કો યુનિવર્સિટીના ઉપરના માળે (ઊંચાઈ 200 મીટર) સુધી ઉપાડવામાં આવે તો તે દરરોજ લગભગ 3 સેકન્ડ પાછળ પડી જશે. અને આ માત્ર ઊંચાઈ સાથે ફ્રી ફોલના પ્રવેગમાં ઘટાડો થવાને કારણે છે.

g ની કિંમત પર લોલકના ઓસિલેશનના સમયગાળાની અવલંબનનો વ્યવહારમાં ઉપયોગ થાય છે. ઓસિલેશન સમયગાળો માપવા દ્વારા, g ખૂબ ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ સાથે બદલાય છે ભૌગોલિક અક્ષાંશ. પરંતુ આપેલ અક્ષાંશ પર પણ તે દરેક જગ્યાએ સમાન નથી. બધા પછી, ઘનતા પૃથ્વીનો પોપડોદરેક જગ્યાએ સમાન નથી. એવા વિસ્તારોમાં જ્યાં ગાઢ ખડકો થાય છે, પ્રવેગક g કંઈક અંશે વધારે છે. ખનિજોની શોધ કરતી વખતે આ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

આમ, સામાન્ય ખડકોની સરખામણીમાં આયર્ન ઓરની ઘનતા વધારે છે. એકેડેમિશિયન એ.એ. મિખૈલોવના નેતૃત્વ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવેલા કુર્સ્કની નજીક મુક્ત પતનના પ્રવેગના માપનથી, તેનું સ્થાન સ્પષ્ટ કરવાનું શક્ય બન્યું. આયર્ન ઓર. તેઓ સૌપ્રથમ ચુંબકીય માપ દ્વારા શોધવામાં આવ્યા હતા.

મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોનિક ભીંગડાના ઉપકરણોમાં યાંત્રિક સ્પંદનોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે. શરીરનું વજન એક પ્લેટફોર્મ પર કરવામાં આવે છે જેની નીચે એક કઠોર ઝરણું સ્થાપિત થયેલ છે. પરિણામે, ત્યાં છે યાંત્રિક સ્પંદનો, જેની આવર્તન અનુરૂપ સેન્સર દ્વારા માપવામાં આવે છે. આ સેન્સર સાથે સંકળાયેલ માઇક્રોપ્રોસેસર ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સીને શરીરના વજનમાં રૂપાંતરિત કરે છે, કારણ કે આ આવર્તન દળ પર આધારિત છે.

ઓસિલેશન સમયગાળા માટે પરિણામી સૂત્રો (3.18) અને (3.20) સૂચવે છે કે હાર્મોનિક ઓસિલેશનનો સમયગાળો સિસ્ટમ પરિમાણો (વસંતની જડતા, દોરાની લંબાઈ, વગેરે) પર આધારિત છે.

માયાકિશેવ જી. યા., ભૌતિકશાસ્ત્ર. 11 મા ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / જી. યા. માયાકિશેવ, બી. વી. બુખોવત્સેવ, વી. એમ. ચારુગિન; દ્વારા સંપાદિત વી.આઈ. નિકોલેવા, એન.એ. પરફેન્ટીવા. - 17મી આવૃત્તિ, સુધારેલ. અને વધારાના - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 399 પૃષ્ઠ: બીમાર.

ગ્રેડ દ્વારા વિષયોની સંપૂર્ણ સૂચિ, કૅલેન્ડર યોજનાઅનુસાર શાળા અભ્યાસક્રમભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઑનલાઇન, ધોરણ 11 માટે ભૌતિકશાસ્ત્ર પર વિડિઓ સામગ્રી ડાઉનલોડ કરો

§6 ભીના ઓસિલેશન

એટેન્યુએશનમાં ઘટાડો. લોગરીધમિક ભીનાશમાં ઘટાડો.

મફત સ્પંદનો તકનીકી સિસ્ટમોવી વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓજ્યારે પ્રતિકાર શક્તિઓ તેમના પર કાર્ય કરે છે ત્યારે થાય છે. આ દળોની ક્રિયા ઓસીલેટીંગ મૂલ્યના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે.

ઓસિલેશન્સ, જેનું કંપનવિસ્તાર વાસ્તવિક ઓસીલેટરી સિસ્ટમની ઉર્જા નુકશાનને કારણે સમય જતાં ઘટે છે, તેને કહેવામાં આવે છે. વિલીન.

સૌથી સામાન્ય કિસ્સાઓ એવા છે જ્યારે પ્રતિકાર બળ ચળવળની ગતિના પ્રમાણસર હોય છે

જ્યાં આર- માધ્યમના પ્રતિકારનો ગુણાંક. માઈનસ ચિહ્ન તે દર્શાવે છેએફ સીઝડપની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત.

ચાલો આપણે એવા માધ્યમમાં ઓસીલેટીંગ બિંદુ પર ઓસિલેશનનું સમીકરણ લખીએ જેનો પ્રતિકાર ગુણાંક છેઆર. ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ

જ્યાં β એટેન્યુએશન ગુણાંક છે. આ ગુણાંક ઓસિલેશનના એટેન્યુએશનના દરને દર્શાવે છે, પ્રતિકારક દળોની હાજરીમાં, ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમની ઉર્જા ધીમે ધીમે ઘટશે, અને ઓસિલેશન્સ મરી જશે.

- ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ.

યુ ભીના ઓસિલેશનનું સમાનીકરણ.

ω - ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન:

ભીના ઓસિલેશનનો સમયગાળો:

ભીના ઓસિલેશન, જ્યારે સખત રીતે ગણવામાં આવે છે, તે સામયિક નથી. તેથી, જ્યારે β નાનો હોય ત્યારે આપણે ભીના થયેલા ઓસિલેશનના સમયગાળા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.

જો એટેન્યુએશન નબળી રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (β→0), તો. ડમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ હોઈ શકે છે

હાર્મોનિક ઓસિલેશન તરીકે ગણવામાં આવે છે, જેનું કંપનવિસ્તાર ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર બદલાય છે

સમીકરણમાં (1) A 0અને φ 0 એ સમયની ક્ષણની પસંદગીના આધારે મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, જેમાંથી આપણે ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

ચાલો અમુક સમય τ માટે એક ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ, જે દરમિયાન કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

τ - આરામનો સમય.

ભીનાશ ગુણાંક β એ સમયના વિપરિત પ્રમાણસર છે જે દરમિયાન કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો થાય છે ઇએકવાર જો કે, ભીનાશ ગુણાંક ઓસિલેશનના ભીનાશને દર્શાવવા માટે પૂરતો નથી. તેથી, ઓસિલેશનના ભીનાશ માટે એક લાક્ષણિકતા રજૂ કરવી જરૂરી છે, જેમાં એક ઓસિલેશનનો સમય શામેલ છે. આ લાક્ષણિકતા છે ઘટાડો(રશિયનમાં: ઘટાડો) એટેન્યુએશન ડી, જે ગુણોત્તર સમાનસમયગાળા દ્વારા સમયસર વિભાજિત કંપનવિસ્તાર:

લોગરીધમિક ભીનાશમાં ઘટાડો લઘુગણક સમાનડી:

લઘુગણક ભીનાશમાં ઘટાડો એ ઓસિલેશનની સંખ્યાના વિપરિત પ્રમાણસર છે, જેના પરિણામે ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડો થયો છે. ઇએકવાર લોગરીધમિક ડેમ્પિંગ ડિક્રમેન્ટ એ આપેલ સિસ્ટમ માટે સતત મૂલ્ય છે.

ઓસીલેટરી સિસ્ટમની અન્ય લાક્ષણિકતા ગુણવત્તા પરિબળ છેપ્ર.

ગુણવત્તા પરિબળ એ આરામના સમય τ દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યાના પ્રમાણસર છે.

પ્રઓસીલેટરી સિસ્ટમ એ ઉર્જાના સંબંધિત ડિસીપેશન (ડિસીપેશન)નું માપ છે.

પ્રઓસીલેટરી સિસ્ટમ એ એક સંખ્યા છે જે દર્શાવે છે કે સ્થિતિસ્થાપક બળ પ્રતિકાર બળ કરતા કેટલી વાર વધારે છે.

§7 ફરજિયાત કંપનો.

પડઘો

સંખ્યાબંધ કેસોમાં, કાર્ય કરે તેવી સિસ્ટમો બનાવવાની જરૂર છે અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ. જો તમે સમયાંતરે બદલાતા બળ સાથે સિસ્ટમ પર કાર્ય કરીને ઊર્જાના નુકસાનની ભરપાઈ કરો તો સિસ્ટમમાં અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન મેળવવાનું શક્ય છે.

દો

ચાલો ગતિના સમીકરણ માટે અભિવ્યક્તિ લખીએ સામગ્રી બિંદુ, ચાલક દળની ક્રિયા હેઠળ હાર્મોનિક ઓસીલેટરી ગતિ કરી રહી છે.

ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ:

(1)

દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ.

આ વિભેદક સમીકરણ રેખીય અસંગત છે.

તેનો ઉકેલ સરવાળો સમાન છે સામાન્ય ઉકેલ સજાતીય સમીકરણઅને ખાનગી ઉકેલ અસંગત સમીકરણ:

ચાલો અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં સમીકરણ (1) ફરીથી લખીએ છીએ:

(2)

અમે ફોર્મમાં આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું:

પછી

ચાલો (2) માં બદલીએ:

કારણ કે કોઈપણ માટે કામ કરે છેt, તો પછી સમાનતા γ = ω ધરાવે છે, તેથી,

આ જટિલ સંખ્યાતેને ફોર્મમાં રજૂ કરવું અનુકૂળ છે

જ્યાં એસૂત્ર (3 નીચે), અને φ - સૂત્ર (4) દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી, ઉકેલ (2), માં જટિલ સ્વરૂપજેવો દેખાય છે

તેનો વાસ્તવિક ભાગ, જે સમીકરણ (1) નો ઉકેલ હતો, તે બરાબર છે:

જ્યાં

(3)

(4)

શબ્દ X o.o. જ્યારે કંપનવિસ્તાર સુધી ઓસિલેશન સ્થાપિત થાય છે ત્યારે જ પ્રારંભિક તબક્કામાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે દબાણયુક્ત ઓસિલેશનસમાનતા દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં (3). સ્થિર સ્થિતિમાં, ફરજિયાત ઓસિલેશન આવર્તન સાથે થાય છે ω અને હાર્મોનિક હોય છે. દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર (3) અને તબક્કો (4) ડ્રાઇવિંગ ફોર્સની આવર્તન પર આધારિત છે. પ્રેરક બળની ચોક્કસ આવર્તન પર, કંપનવિસ્તાર ખૂબ જ પહોંચી શકે છે મોટા મૂલ્યો. તીવ્ર વધારોજ્યારે પ્રેરક બળની આવર્તન યાંત્રિક પ્રણાલીની કુદરતી આવર્તન સુધી પહોંચે છે ત્યારે દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર કહેવામાં આવે છે પડઘો.

પ્રેરક બળની આવર્તન ω કે જેના પર પડઘો જોવા મળે છે તેને રેઝોનન્ટ કહેવામાં આવે છે. ω res નું મૂલ્ય શોધવા માટે, મહત્તમ કંપનવિસ્તાર માટેની સ્થિતિ શોધવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, તમારે (3) માં લઘુત્તમ છેદની સ્થિતિ નક્કી કરવાની જરૂર છે (એટલે ​​​​કે, એક્સ્ટ્રીમમ માટે (3) તપાસો).

ચાલક બળની આવર્તન પર ઓસીલેટીંગ જથ્થાના કંપનવિસ્તારની અવલંબન કહેવાય છે પડઘો વળાંક. ડેમ્પિંગ ગુણાંક β જેટલો નીચો હશે, રેઝોનન્સ કર્વ જેટલો ઊંચો હશે, અને જેમ જેમ β ઘટશે તેમ તેમ મહત્તમ રેઝોનન્સ કર્વ્સ જમણી તરફ જશે. જો β = 0, તો

ω res = ω 0 .

જ્યારે ω→0 બધા વણાંકો મૂલ્યમાં આવે છે- સ્થિર વિચલન.

પેરામેટ્રિક રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે સમયાંતરે ફેરફારસિસ્ટમના પરિમાણોમાંથી એક ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમના કંપનવિસ્તારમાં તીવ્ર વધારો તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેબિન કે જે સિસ્ટમના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની સ્થિતિ બદલીને "સૂર્ય" બનાવે છે ("બોટ" માં સમાન છે) જુઓ §61.t. 1 સેવલીવ આઇ.વી.