Fraktalinis pakrantės matmuo. Pakrantės paradoksas

Studijuodami geografiją, žinoma, atsiminkite, kad kiekviena šalis turi savo plotą ir sienos ilgį, ypač jei šalį skalauja jūra ar vandenynas, tada ji turi tam tikro ilgio jūrinę sieną. Ar kada nors susimąstėte, kaip nustatomas šis krašto ilgis? 1977 m. amerikiečių matematikas Benoit Mandelbrot nustatė save kitas klausimas: Koks JK pakrantės ilgis? Paaiškėjo, kad į šį „vaikišką klausimą“ teisingai atsakyti neįmanoma. 1988 metais norvegų mokslininkas Jensas Federas nusprendė išsiaiškinti Norvegijos pakrantės ilgį. Atkreipkite dėmesį, kad Norvegijos pakrantė yra smarkiai išraižyta fiordų. Kiti mokslininkai uždavė sau panašius klausimus apie Australijos pakrančių ilgį, Pietų Afrika, Vokietija, Portugalija ir kitos šalys.

Pakrantės ilgį galime išmatuoti tik apytiksliai. Tolstant tenka matuoti vis daugiau mažų pakraščių ir įlankų – pakrantės ilgis ilgėja, o mastelio mažinimui (taigi ir pakrantės ilgiui) tiesiog nėra objektyvių ribų; esame priversti pripažinti, kad ši linija turi begalinis ilgis. Žinome, kad tiesės matmuo yra vienas, kvadrato – du, o kubo – trys. Mandelbrotas pasiūlė naudoti trupmeninius matmenis – Hausdorff – Besicovich matmenis, kad būtų galima išmatuoti „monstriškas“ kreives. Begalinės skaldytos kreivės, pavyzdžiui, pakrantės linija, nėra visiškai linijos. Atrodo, kad jie „šluoja“ dalį plokštumos, kaip paviršių. Bet jie taip pat nėra paviršiai. Tai reiškia, kad pagrįsta manyti, kad jų matmenys yra daugiau nei vienas, bet ir mažesnis nei du, tai yra, tai yra trupmeninių matmenų objektai.

Norvegų mokslininkas E. Federas pasiūlė kitą būdą išmatuoti pakrantės ilgį. Žemėlapis buvo padengtas kvadratine tinkleliu, kurio langeliai turi matmenis e? kvadratinės ląstelės N(e) dengianti pakrantę žemėlapyje) būtų atvirkščiai proporcinga e, o reikšmė Ln (e)=N(e) ?

Deja, daugelio mokslininkų atlikti skaičiavimai parodė, kad tai nėra visiškai tiesa. Mažėjant žingsniui, išmatuotas ilgis didėja. Paaiškėjo, kad ryšį tarp išmatuoto ilgio L(e) ir žingsnio e galima apibūdinti apytiksliu ryšiu Koeficientas D vadinamas fraktaliniu matmeniu. Žodis fraktalas kilęs iš Lotyniškas žodis

fraktalinis – trupmeninis, nesveikasis skaičius. Aibė vadinama fraktalu, jei ji turi ne sveikąjį skaičių. Norvegijai D=1,52, o Didžiajai Britanijai D=1,3. Taigi Norvegijos ir Didžiosios Britanijos pakrantė yra fraktalas, kurio matmuo yra D. Taip pat buvo atlikti skaičiavimai apskritimui, o apskritimo fraktalinis matmuo yra D=1, ko ir reikėjo tikėtis. Taigi, fraktalinis matmuo yra įprastos dimensijos apibendrinimas.

Kaip tai suprasti ir ką tai gali reikšti? Matematikai pradėjo prisiminti, ar matematikoje anksčiau buvo kas nors panašaus, ar ne? Ir jie prisiminė! Panagrinėkime tam tikros tiesės AB dalį plokštumoje (3 pav.). Paimkime kvadratą su briauna e ir paklauskime savęs: kiek kvadratų N(e), kurių briaunos ilgis e, reikia, kad tokiais kvadratais būtų padengta tiesė AB? Matyti, kad N(e) yra proporcingas

Panašiai, jei uždaras ribotas plotas plokštumoje (4 pav.) yra padengtas kvadratine tinkleliu, kurio kraštinė yra e, tada minimalus kvadratų, kurių kraštinė e, dengiantis plotą, skaičius bus lygus

Jei nagrinėsime uždarą ribotą sritį trimatėje erdvėje ir paimsime kubą su briauna e, tai kubelių, užpildančių šią sritį, skaičius yra Nustatykime fraktalų matmenis pagal tai, kas buvo nurodyta aukščiau bendras atvejis

taip:

Paimkime kairės ir dešinės pusių logaritmą

Pereinant prie ribos, nes e linkęs į nulį (N linkęs į begalybę), gauname

Ši lygybė yra matmens apibrėžimas, kuris žymimas d. Prieš susipažindami su pirmojo tipo fraktalais – būtent su kreivėmis, kurių fraktalų matmenys viršija 1 – panagrinėkime tipišką kurio nors kranto atkarpą. Akivaizdu, kad jo ilgis negali būti mažesnis už tiesios linijos atstumą tarp jo pradžios ir pabaigos taškų. Tačiau, kaip taisyklė, pakrantės turi netaisyklingos formos

Yra daug būdų, kaip tiksliau įvertinti pakrantės ilgį, ir šiame skyriuje panagrinėsime kai kuriuos iš jų. Pabaigoje padarysime labai nuostabią išvadą: pakrantės ilgis yra labai slidi sąvoka, ir jūs negalite jos suvokti plikomis rankomis. Kad ir kokį matavimo metodą naudotume, rezultatas visada yra tas pats: tipinės pakrantės ilgis yra labai ilgas ir taip blogai apibrėžtas, kad patogiausia jį laikyti begaliniu. Vadinasi, jei kas nors nuspręs palyginti skirtingus krantus jų ilgio požiūriu, jis turės rasti kuo pakeisti ilgio sąvoką, kuri ši byla netaikoma.

Šiame skyriuje pradėsime ieškoti tinkamo pakaitalo, o paieškos procese neišvengsime susipažinti su įvairių formų fraktalinės dimensijos, matų ir kreivės sąvokos.

ALTERNATYVŪS MATAVIMO METODAI

A metodas. Nustatykime matavimo kompaso angą iki tam tikro ilgio, kurį vadiname žingsnio ilgiu, ir eikime su šiuo kompasu mus dominančia pakrantės linija, kiekvieną naują žingsnį pradėdami nuo tos vietos, kur baigėsi ankstesnis. Žingsnių skaičius, padaugintas iš ilgio e, gaus apytikslį kranto ilgį. Iš mokyklos žinome, kad jei kartosime šią operaciją, kiekvieną kartą mažindami kompaso atidarymą, galime tikėtis, kad reikšmė greitai pasieks kažkokią labai konkrečią vertę, vadinamą tikruoju ilgiu. Tačiau tai, kas iš tikrųjų vyksta, neatitinka mūsų lūkesčių. Įprastu atveju stebimas ilgis be apribojimų didėja.

Tokio elgesio priežastis yra akivaizdi: jei pažvelgsite į kokį nors pusiasalį ar įlanką 1/100 000 ir 1/10 000 mastelio žemėlapiuose, tada paskutinis žemėlapis aiškiai galime išskirti mažesnius pusiasalius ir įlankas, kurių pirmajame nebuvo matyti. Tos pačios vietovės žemėlapis, padarytas 1/1000 masteliu, mums parodys dar mažesnius pusiasalius ir įlankelius ir t.t. Kiekviena nauja detalė padidina bendrą banko ilgį.

Aukščiau pateiktoje procedūroje daroma prielaida, kad kranto linija yra per netaisyklingos formos, kad jos ilgis būtų tiesiogiai pavaizduotas kaip paprastų geometrinių kreivių, kurių ilgius galima rasti žinynuose, ilgių suma. tai yra A metodas pakrantę pakeičia seka laužytos linijos, sudarytas iš tiesių atkarpų, kurių ilgį galime nustatyti.

B metodas. Tą patį „išlyginimą“ galima pasiekti kitais būdais. Įsivaizduokite žmogų, einantį pakrante trumpiausiu keliu, kurio trajektorija niekada nenukrypsta nuo vandens toliau nei nurodytas atstumas. Pasiekęs galinį tašką, jis grįžta atgal, šiek tiek sumažindamas vertę. Tada vėl ir vėl, kol galiausiai vertė pasiekia, tarkime, 50 cm. Toliau jos sumažinti neįmanoma, nes žmogus per didelis ir nerangus, kad galėtų atsekti detalesnę trajektoriją. Man gali būti prieštaraujama, kad šios nepasiekiamos smulkmenos, pirma, iš karto nedomina žmonių, ir, antra, jos gali taip reikšmingai keistis priklausomai nuo metų laiko ir potvynio aukščio, kad jų išsamus įrašymas paprastai prarandamas. visa prasmė. Pirmąjį iš šių prieštaravimų apsvarstysime vėliau šiame skyriuje. Kalbant apie antrąjį prieštaravimą, jį galima neutralizuoti apsiribojus uolėtu krantu atoslūgio metu ir ramiu vandeniu. Iš esmės žmogus gali atsekti detalesnes apytiksles kreives, į pagalbą pasikviesdamas pelę, paskui skruzdėlę ir pan. Ir vėl, kai mūsų vaikščiotojas eina vis arčiau vandens keliu, atstumas, kurį jis turi įveikti, didėja neribotai.

C metodas. B metodas reiškia tam tikrą asimetriją tarp vandens ir kranto. Kad būtų išvengta šios asimetrijos, Kantoras pasiūlė žiūrėti į pakrantę tarsi per nesufokusuotą objektyvą, dėl kurio kiekvienas taškas virsta apvalia spindulio dėmė. Kitaip tariant, Kantoras laiko visus taškus – tiek sausumoje, tiek vandenyje – atstumą, nuo kurio iki pačios pakrantės neviršija . Šie taškai sudaro savotišką dešrą arba pločio juostelę (tokios „dešros“ pavyzdys – nors ir kitokiame kontekste – parodytas 56 pav.). Išmatuokime gautos juostos plotą ir padalinkime iš. Jei pakrantės linija būtų tiesi, juosta būtų stačiakampio formos, o aukščiau aprašytu būdu rasta vertė būtų tikrasis pakrantės ilgis. Kai kalbame apie tikras pakrantes, gauname apytikslį ilgio įvertinimą, kuris be apribojimų didėja kaip .

MetodasD. Įsivaizduokite žemėlapį, sudarytą puantilistų menininkų būdu, ty žemėlapį, kuriame žemynai ir vandenynai pavaizduoti spalvotomis apvaliomis spindulio dėmėmis. Užuot laikę dėmių centrus taškais, priklausančiais pakrantės linijai, kaip taikant C metodą, reikalausime, kad dėmių, kurios visiškai paslepia liniją, skaičius būtų mažiausias. Dėl to dėmės prie kyšulių dažniausiai guls sausumoje, o prie įlankų – jūroje. Apskaičiuotas pakrantės ilgis čia bus dėmių padengtą plotą padalijus iš . Šio vertinimo „elgesys“ taip pat palieka daug norimų rezultatų.

MATAVIMO REZULTATŲ ATSITIKTINIMAS

Apibendrinant ankstesnį skyrių, pastebime, kad bet kurio iš keturių metodų naudojimo rezultatas visada yra toks pat. Kai e mažėja, apytikslis kreivės ilgis linkęs į begalybę.

Norėdami tinkamai suprasti šio fakto reikšmę, atlikime panašų bet kurios įprastos Euklido kreivės ilgio matavimą. Pavyzdžiui, tiesiosios linijos atkarpoje apytiksliai apskaičiuoti matavimo duomenys iš esmės sutampa ir nustato reikiamą ilgį. Apskritimo atveju apytikslė vertė ilgis didėja, bet gana greitai veržiasi iki tam tikros ribos. Kreivės, kurių ilgį galima nustatyti tokiu būdu, vadinamos ištaisytomis.

Dar labiau pamokoma pabandyti išmatuoti kai kurių žmogaus prijaukintų pakrančių ilgį – tarkime, pakrantę netoli Čelsio, kokia ji atrodo šiandien. Kadangi žmonės vis tiek palieka nepakitusias labai dideles reljefo klostes, mes savo kompase įdiegsime labai didelį sprendimą ir palaipsniui jį sumažinsime. Kaip ir galima tikėtis, pakrantės ilgis padidės.

Tačiau yra vienas įdomi savybė: toliau mažindami, neišvengiamai atsiduriame kokioje nors tarpinėje zonoje, kur ilgis beveik nesikeičia. Ši zona tęsiasi nuo maždaug 20 m iki 20 cm (labai apytiksliai). Kai jis tampa mažesnis nei 20 cm, ilgis vėl pradeda didėti – dabar matavimo rezultatui įtakos turi atskiri akmenys. Taigi, jei nubraižysite vertės pokyčio grafiką kaip funkciją, tada, be jokios abejonės, panašiuose grafikuose rasite plokščią plotą, kurio e reikšmės yra nuo 20 m iki 20 cm. natūraliose „laukinėse“ pakrantėse tokių plokščių plotų nepastebima.

Akivaizdu, kad šioje plokščioje zonoje atlikti matavimai turi didžiulę praktinę vertę. Kadangi ribos tarp skirtingų mokslo disciplinas daugiausia yra mokslininkų susitarimo dėl darbo pasidalijimo rezultatas, mes galime, pavyzdžiui, visus reiškinius, kurių mastelis viršija 20 m, tai yra tuos, kurių žmogus dar nepasiekė, perkelti į geografijos katedrą. Toks apribojimas suteiks mums labai specifinį geografinį ilgį. pakrantės apsauga gali sėkmingai naudoti tą pačią reikšmę darbui su „laukiniais“ krantais, o enciklopedijos ir almanachai visiems nurodys atitinkamą ilgį.

Kita vertus, man sunku įsivaizduoti, kad visos suinteresuotos valstybinės institucijos, net ir kurios nors vienos šalies, susitars tarpusavyje vartoti vieną reikšmę, o jos perėmimas visose pasaulio šalyse yra visiškai neįsivaizduojamas. Richardsonas pateikia tokį pavyzdį: ispanų ir portugalų enciklopedijose pateikiami skirtingi ilgiai sausumos siena tarp šių šalių, o skirtumas yra 20 % (tas pats pasakytina ir apie Belgijos ir Nyderlandų sieną). Šis neatitikimas iš dalies turi būti paaiškintas skirtingais pasirinkimais. Empiriniai įrodymai, kuriuos trumpai aptarsime, rodo, kad tokiam skirtumui atsirasti pakanka, kad viena reikšmė nuo kitos skirtųsi tik du kartus; Be to, nenuostabu, kad maža šalis (Portugalija) savo sienų ilgį matuoja atidžiau nei didžioji kaimynė.

Antrasis ir svarbesnis argumentas prieš savavališką pasirinkimą yra filosofinio ir bendro mokslinio pobūdžio. Gamta egzistuoja nepriklausomai nuo žmogaus, ir kiekvienas, kuris suteikia per daug reikšmės kokiai nors konkrečiai reikšmei arba daro prielaidą, kad gamtos suvokimo proceso lemiama grandis yra žmogus su savo visuotinai priimtais standartais arba labai kintančiomis techninėmis priemonėmis. Jei pakrantės kada nors taps objektais moksliniai tyrimai, vargu ar galėsime įstatymais uždrausti pastebėtą neapibrėžtumą, susijusį su jų ilgiu. Kad ir kaip būtų, geografinio ilgio sąvoka nėra tokia nekenksminga, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Tai nėra visiškai „objektyvu“, nes tokiu būdu nustatant ilgį, stebėtojo įtaka yra neišvengiama.

SAVAVALINIŲ MATAVIMŲ REZULTATŲ PRIPAŽINIMAS IR SVARBĖ

Be jokios abejonės, daugelis žmonių mano, kad pakrantės yra nesumažinamos kreivės, ir šiuo klausimu nepamenu, kad kas nors galvotų kitaip. Tačiau mano paieška rašytinių įrodymų, patvirtinančių šią nuomonę, buvo beveik visiškai nesėkminga. Be antrajame skyriuje pateiktų Perrino citatų, Steinhauso straipsnyje yra ir toks pastebėjimas: „Didėjančio tikslumo matuojant kairiojo Vyslos kranto ilgį, galima gauti dešimtis, šimtus ir net tūkstančius. kartų didesnis, nei pateikia mokyklos žemėlapis.. Toks teiginys atrodo labai artimas tikrovei: dauguma gamtoje rastų lankų nėra ištaisomi. Šis teiginys prieštarauja populiariam įsitikinimui, kuris susiveda į tai, kad neištaisomi lankai yra matematinė fikcija, o gamtoje visi lankai yra ištaisomi. Iš šių dviejų prieštaringų teiginių, matyt, pirmasis turėtų būti laikomas teisingu. Tačiau nei Perrinas, nei Steinhausas nesivargino išsamiau išplėtoti savo spėjimų ir padaryti jų logišką išvadą.

K. Fadimanas pasakoja įdomią istoriją. Jo draugas Edwardas Kasneris kelis kartus atliko šį eksperimentą: jis „paklausė mažų vaikų, koks, jų nuomone, yra bendras JAV pakrantės ilgis. Vienam iš vaikų išsakius gana „pagrįstą“ spėjimą,... Kasneris... pakvietė pagalvoti, kiek šis skaičius galėtų padidėti, jei labai kruopščiai išmatuotų visų kyšulių ir įlankų perimetrą, tada lygiai taip pat kruopščiai atsektų. mažesni kyšuliai ir įlankėlės kiekviename iš šių kyšulių ir kiekvienoje iš šių įlankų, tada išmatuokite kiekvieną akmenuką ir kiekvieną smėlio grūdelį, sudarantį pakrantę, kiekvieną molekulę, kiekvieną atomą ir tt Paaiškėjo, kad krantas gali būti toks pat ilgas kaip jūs. patinka . Vaikai tai suprato iš karto, bet Kasneris turėjo problemų su suaugusiaisiais. Istorija, žinoma, labai graži, bet vargu ar ji turi ką nors bendro su mano paieškomis. Kasneris aiškiai nesiekė pabrėžti kažkokio tikrovės aspekto, kurį verta toliau tirti.

Taigi galima teigti, kad straipsnis ir knyga, kurią laikote rankose, iš esmės yra pirmieji šiai temai skirti darbai.

Savo knygoje „Valia tikėti“1 Williamas Jamesas rašo: „Tai, kas netelpa į klasifikavimo rėmus... visada yra turtinga didelių atradimų sritis. Bet kuriame moksle, aplink visuotinai priimtus ir užsakytus faktus, visada sukasi dulkėtas taisyklių išimčių debesis – reiškiniai, kurie yra subtilūs, nenuoseklūs, retai sutinkami, reiškiniai, kuriuos lengviau ignoruoti nei apsvarstyti. Kiekvienas mokslas siekia idealios būklės uždara ir griežta tiesų sistema... Reiškiniai, kurių negalima klasifikuoti sistemos viduje, laikomi paradoksaliais absurdais ir akivaizdžiai nėra tiesa. Jie yra apleisti ir atmesti remiantis geriausiais mokslinės sąžinės ketinimais... Kas rimtai tyrinėja netaisyklingus reiškinius, galės kurti naujas mokslas ant senojo pamato. Pasibaigus šiam procesui, atnaujinto mokslo taisyklės dažniausiai taps vakarykštėmis išimtimis.

Šiame esė, kurio kuklus tikslas – visiškas Gamtos geometrijos atnaujinimas, aprašomi reiškiniai taip neklasifikuojami, kad apie juos galima kalbėti tik gavus cenzoriaus leidimą. Su pirmuoju iš šių reiškinių susidursite kitame skyriuje.

RICHARDSONO EFEKTAS

Empirinis apytikslio ilgio pokyčio tyrimas, gautas naudojant A metodą, aprašytas Richardsono straipsnyje, kurio nuoroda per laimingą (arba lemtingą) atsitiktinumą man pasirodė. Į tai atkreipiau dėmesį tik todėl, kad daug girdėjau apie Lewisą Fry Richardsoną kaip apie išskirtinį mokslininką, kurio mąstymo originalumas buvo panašus į ekscentriškumą (žr. 40 skyrių). Kaip matysime 10 skyriuje, žmonija turi kai kurias giliausias ir ilgalaikes idėjas apie turbulencijos prigimtį. ypatingas dėmesys Tarp jų nusipelno ta, pagal kurią turbulencija suponuoja į save panašios kaskados atsiradimą. Jis taip pat dirbo su kitais sudėtingos problemos- pavyzdžiui, ginkluoto konflikto tarp valstybių pobūdis. Jo eksperimentai buvo klasikinio paprastumo pavyzdžiai, tačiau iškilus poreikiui jis nedvejodamas naudojo sudėtingesnes sąvokas.

Parodyta pav. 57 grafikai, rasti po Richardsono mirties tarp jo straipsnių, buvo paskelbti beveik slaptame (ir visiškai netinkamame tokiems leidiniams) „Metų knygoje apie bendrosios sistemos“ Išnagrinėję šiuos grafikus, darome išvadą, kad yra dvi konstantos (vadinkime jas ir ) – tokios, kad norint nustatyti pakrantės ilgį, nubrėžiant jį aproksimuojančią trūkinę liniją, reikia paimti apytikslius ilgio intervalus ir parašyti tokią formulę:

Rodiklio reikšmė, matyt, priklauso nuo matuojamos pakrantės pobūdžio, o skirtingos šios linijos atkarpos, įvertinus atskirai, gali duoti skirtingas vertes. Richardsonui dydis buvo tiesiog patogus rodiklis be jokios ypatingos reikšmės. Tačiau šio rodiklio reikšmė, atrodo, nepriklauso nuo pasirinkto kranto ilgio įvertinimo metodo. Tai reiškia, kad jis nusipelno didžiausio dėmesio.

FRAKTALĖS PAKRANTĖS MATMENYS

Išstudijavus Richardsono darbą, pasiūliau, kad nors eksponentas nėra sveikasis skaičius, jį galima ir reikia suprasti kaip dimensiją – tiksliau, kaip fraktalinį matmenį. Žinoma, aš puikiai žinojau, kad visi aukščiau pateikti matavimo metodai yra pagrįsti nestandartiniais apibendrintais matmenų apibrėžimais, jau naudojamais grynojoje matematikoje. Ilgio nustatymas pagal kranto linijos aprėptį mažiausias skaičius spindulio dėmės, naudojamos dangos matmenims nustatyti. Ilgio nustatymas, pagrįstas pakrantės padengimu pločio juostele, įkūnija Kantoro ir Minkovskio idėją (žr. 56 pav.), o atitinkamą matmenį skolingi Buliganui. Tačiau šie du pavyzdžiai tik užsimena apie daugybės dimensijų egzistavimą (daugumą jų žino tik keli specialistai), kurie ryškėja įvairiose labai specializuotose matematikos srityse. Kai kuriuos iš šių matmenų išsamiau aptarsime 39 skyriuje.

Kodėl matematikams reikėjo pristatyti šią įvairių matmenų gausą? Tada kas viduje tam tikrais atvejais jie priima skirtingos reikšmės. Laimei, šiame rašinyje su tokiais atvejais nesusidursite, todėl galimų alternatyvių matmenų sąrašą rasite čia. švari sąžinė sumažinti iki dviejų, kurių aš dar nepaminėjau. Seniausia ir nuodugniausiai ištirta mūsų sąrašo dimensija siekia Hausdorffą ir yra skirta fraktalų matmeniui apibrėžti – mes su ja susidursime labai greitai. Antrasis, paprastesnis, matmuo vadinamas panašumo matmeniu: jis nėra tas pats bendras charakteris, tačiau daugeliu atvejų pirmasis matmuo yra daugiau nei tinkamas – mes jį apsvarstysime kitame skyriuje.

Žinoma, aš čia neduosiu matematinis įrodymas kad Richardsono eksponentas yra matmuo. Tiesą sakant, neįsivaizduoju, kaip toks įrodymas gali būti atliktas bet kokioje sistemoje gamtos mokslas. Tik noriu atkreipti skaitytojo dėmesį į tai, kad ilgio sąvoka mums kelia konceptualią problemą, o indikatorius pateikia patogų ir elegantišką sprendimą. Dabar, kai fraktalinė dimensija užėmė savo vietą pakrančių tyrime, mažai tikėtina, kad dėl kokių nors ypatingų priežasčių norėsime grįžti į tuos laikus, kai neapgalvotai ir naiviai tikėjome. Kiekvienas, kuris vis dar tiki, dabar turės pabandyti, jei nori įrodyti, kad jis teisus.

Kitą žingsnį – aiškinantis pakrančių formą ir išvedant prasmę iš kitų, fundamentalesnių svarstymų – siūlau atidėti iki 28 skyriaus. Šiame etape pakanka pasakyti, kad, kaip pirmą apytikslį, . Ši reikšmė yra per didelė, kad būtų galima tiksliai apibūdinti faktus, tačiau to daugiau nei pakanka, kad galėtume teigti, kad galima, reikia ir natūralu manyti, kad pakrantės matmuo viršija įprastą euklidinę kreivės reikšmę.

FRAKTALINĖ HAUSDORFO DIMENSIJA

Jei pripažįstame, kad skirtingos natūralios pakrantės yra begalinio ilgio, o ilgio reikšmė, pagrįsta antropometrine verte, suteikia tik dalinį tikrosios situacijos supratimą, kaip galima palyginti skirtingas pakrantes? Kadangi begalybė niekuo nesiskiria nuo begalybės, padaugintos iš keturių, ką mums duos sakymas, kad bet kurio kranto ilgis yra keturis kartus didesnis už bet kurio jo ketvirčio ilgį? Reikalingas geriausias būdas išreikšti gana pagrįstą idėją, kad kreivė turi turėti tam tikrą "matą", o šis visos kreivės matas turėtų būti keturis kartus didesnis už tą patį matą bet kuriam jos ketvirčiui.

Itin genialų metodą šiam tikslui pasiekti pasiūlė Feliksas Hausdorffas. Jo metodas pagrįstas tuo, kad daugiakampio tiesinis matas apskaičiuojamas sudedant jo kraštinių ilgius be jokių transformacijų. Galima daryti prielaidą, kad šie kraštinių ilgiai pakelti iki galios, lygios euklidiniam linijos matmeniui (šios prielaidos priežastis netrukus paaiškės). Panašiai apskaičiuojamas ir uždarojo daugiakampio vidinės srities paviršiaus matas - padengiant jį kvadratais, surandant šių kvadratų kraštinių ilgių sumą ir pakeliant ją iki laipsnio (euklidinis plokštumos matmuo ). Jei skaičiavimuose naudosime „neteisingą“ laipsnį, tada šių skaičiavimų rezultatas mums nieko neduos naudingos informacijos: bus bet kurio uždaro daugiakampio plotas lygus nuliui, o jo vidinės srities ilgis bus begalinis.

Iš tokių pozicijų panagrinėkime daugiakampį (pakopinį tiesinį) pakrantės linijos, sudarytos iš mažų ilgio intervalų, aproksimaciją. Padidinus intervalo ilgį iki laipsnio ir padauginus jį iš intervalų skaičiaus, gauname tam tikrą reikšmę, kurią preliminariai galima pavadinti „apytiksliu ilgiu matmenyje“. Kadangi, pasak Richardsono, kraštinių skaičius yra lygus, mūsų apytikslis dydis įgauna reikšmę .. Tai yra, apytikslis pakrantės plotis rodo apdairų elgesį tada ir tik tada, kai .

KREIVĖS FRAKTALĖS MATMENYS GALI BŪTI DIDESNĖ UŽ VIENETĄ; FRAKTALŲ KREIVĖS

Kaip numatė jos kūrėjas, Hausdorffo dimensija išlaiko įprastos dimensijos pareigas ir tarnauja kaip rodiklis nustatant matą.

Tačiau, kita vertus, matmuo labai neįprastas – jis išreikštas trupmeninis skaičius! Be to, jis yra didesnis už vienybę, kuri yra „natūralus“ kreivių matmuo (galima griežtai įrodyti, kad jų topologinis matmuo taip pat yra lygus vienybei).

Kreives, kurių fraktalinis matmuo viršija jų topologinį matmenį, siūlau vadinti fraktalinėmis kreivėmis. Kaip trumpą šio skyriaus santrauką galiu pasiūlyti kitas pareiškimas: geografiniu mastu pakrantės gali būti modeliuojamos naudojant fraktalines kreives. Pakrančių linijos yra fraktalinės struktūros.

Ryžiai. 55. BEŽDŽIO MEDIS

Šiame etape šis mažas piešinys turėtų būti laikomas tiesiog dekoratyviniu elementu, jis tiesiog užpildo tuščią vietą.

Tačiau, perskaitęs 14 skyrių, skaitytojas čia galės rasti užuominą, kaip įminti „architektūrinę“ mįslę pav. 210. Rimtesnį užuominą pateikia toliau pateiktas generatorius:

Jei matematikui reikia „prisijaukinti“ kurią nors ypač netaisyklingą kreivę, jis gali naudoti tokią standartinę procedūrą: pasirenkama tam tikra reikšmė ir aplink kiekvieną kreivės tašką nubrėžiamas spindulio apskritimas. Ši procedūra, pradėta bent jau Hermanno Minkowskio ir net paties Georgo Cantoro, yra šiek tiek grubi, bet labai veiksminga. (Kalbant apie terminą dešra, jo kilmė, remiantis nepatikrintais gandais, yra kažkaip susijusi su Norberto Wienerio taikymu šią procedūrą Brauno kreivėms.)

Čia patalpintose iliustracijose aukščiau aprašytas išlyginimas taikomas ne tikriems krantams, o vienai teorinei kreivei, kurią sukonstruosime kiek vėliau (žr. 79 pav.), nuolat papildydami vis daugiau smulkių detalių. Palyginus dešinėje pavaizduotą dešros gabalėlį su dešiniuoju dešros galu, esančiu viršuje, matome, kad kritinis kreivės sudarymo etapas įvyksta tada, kai kreivė pradeda apimti dalis, mažesnes nei . Daugiau vėlesniuose etapuose dešra labai nesikeičia.

Ryžiai. 57. RICHARDSONO EMPIRINIAI DUOMENYS APIE PAKRANČIO ILGIŲ AUGIMO GRĄŠTĄ

Šiame paveikslėlyje pavaizduoti eksperimentiniai kreivės ilgio matavimai, atlikti įvairiose kreivėse, naudojant lygiakraščius daugiakampius, kurių kraštinės ilgis mažėja. Kaip ir tikėtasi, apskritimo atveju vis didesnio tikslumo matavimai suteikia vertę, kuri labai greitai stabilizuojasi ties labai specifine verte.

Kalbant apie pakrantes, apytikslės ilgio reikšmės, priešingai, visai nesikeičia. Kadangi žingsnio ilgis linkęs į nulį, ilgio aproksimacijos, pavaizduotos dvigubos logaritminės koordinačių sistemoje, sudaro tiesią liniją su neigiamu nuolydžiu. Tas pats pasakytina apie sausumos sienas tarp šalių. Richardsono apklausos įvairiose enciklopedijose atskleidė reikšmingus skirtumus, kaip atitinkamų šalių kartografai nustatė bendros sienos ilgį: pavyzdžiui, Ispanijos ir Portugalijos sienos ilgis ispanų požiūriu yra 987 km, o 1214 m. km portugalų požiūriu; panašiai nukentėjo Nyderlandų ir Belgijos siena (380 ir 449 km). Kadangi atitinkamų linijų nuolydis yra -0,25, dvidešimties procentų skirtumas tarp matavimų reiškia dvigubą skirtumą tarp šiems matavimams priimtinų verčių – tai nėra tokia neįtikėtina prielaida.

Richardsonas nieko nedavė teorinis aiškinimas skirtingi jų tiesių linijų šlaitai. Ketiname pakrantes interpretuoti kaip fraktalų kreivių aproksimaciją ir apsvarstyti šlaitai atitinkamos tiesios linijos kaip apytikslės skirtumo reikšmės , kur yra fraktalinis matmuo.

Fraktalai yra geometriniai objektai: paviršiaus linijos, erdviniai kūnai, kurie turi labai grubią formą ir turi savitumo panašumo. Žodis fraktalas kilęs iš žodžio fractus ir verčiamas kaip trupmeninis, sulaužytas. Savęs panašumas, kaip pagrindinė savybė, reiškia, kad jis yra išdėstytas daugiau ar mažiau vienodai įvairiose skalėse. Taigi, padidinus, maži fraktalo fragmentai pasirodo labai panašūs į didelius. IN idealiai Toks savęs panašumas lemia tai, kad fraktalinis objektas pagal plėtinius pasirodo esantis nekintamas, t.y. sakoma, kad jis turi dilatacinę simetriją. Ji prisiima pagrindinio nekintamumą geometrines ypatybes fraktalas keičiant skalę.

Žinoma, tikram gamtiniam fraktalui yra tam tikra minimalaus ilgio skalė, tokia, kad per atstumus išnyksta pagrindinė jo savybė – savęs panašumas. Be to, yra pakankamai dideliu mastu ilgiai, kur yra būdingas geometrinis objektų dydis, ši savipanašumo savybė taip pat pažeidžiama. Todėl natūralių fraktalų savybės vertinamos tik svarstyklėmis l, tenkinantis santykį . Tokie apribojimai yra gana natūralūs, nes kai pateikiame kaip pavyzdį fraktalą – lūžusią, nelygią Brauno dalelės trajektoriją, tada suprantame, kad vaizdas yra akivaizdus idealizavimas. Esmė ta, kad mažoms mastelėms įtakos turi susidūrimo laiko baigtumas. Atsižvelgus į šias aplinkybes, Brauno dalelės trajektorija tampa lygi kreive.

Atkreipkite dėmesį, kad savęs panašumo savybė būdinga tik taisyklingiesiems fraktalams. Jei vietoj deterministinio konstravimo metodo į jų kūrimo algoritmą įtraukiamas koks nors atsitiktinumo elementas (kaip nutinka, pavyzdžiui, daugelyje klasterių difuzijos augimo procesų, elektros gedimas ir kt.), tada atsiranda vadinamieji atsitiktiniai fraktalai. Pagrindinis jų skirtumas nuo įprastų yra tas, kad savipanašumo savybės galioja tik tinkamai suvidurkinus visas statistiškai nepriklausomas objekto realizacijas. Šiuo atveju padidinta fraktalo dalis nėra visiškai identiška pirminiam fragmentui, tačiau jie statistinės charakteristikos rungtynės. Tačiau mūsų tiriamas fraktalas yra vienas iš klasikinių fraktalų, todėl reguliarus.

Pakrantės ilgis

Iš pradžių fraktalo sąvoka atsirado fizikoje dėl pakrantės linijos paieškos. Matuojant jį naudojant esamą vietovės žemėlapį, išaiškėjo įdomi detalė – kuo didesnis žemėlapis, tuo ilgesnė ši pakrantė.

1 paveikslas – pakrantės žemėlapis

Tarkime, pavyzdžiui, atstumą tiesia linija tarp taškų, esančių pakrantėje A Ir B lygus R(žr. 1 pav.). Tada, norėdami išmatuoti pakrantės ilgį tarp šių taškų, išilgai kranto statysime vienas su kitu standžiai sujungtus stulpus taip, kad atstumas tarp gretimų polių būtų, pvz. l=10km. Pakrantės ilgis kilometrais tarp taškų A Ir B tada imsime jį lygų etapų skaičiui atėmus vieną, padaugintą iš dešimties. Kitą šio ilgio matavimą atliksime panašiai, tačiau atstumą tarp gretimų polių padarysime lygų l=1km.

Pasirodo, šių matavimų rezultatai bus skirtingi. Kai nutolinama l gausim viska didelės vertės ilgio. Priešingai nei sklandžiai kreivė, jūros pakrantės linija dažnai būna tokia įdubusi (iki mažiausio mastelio), kad sumažėjus atkarpai l dydžio L- pakrantės ilgis - nelinkęs baigtinė riba, ir didėja pagal laipsnišką dėsnį

Kur D- tam tikras eksponentas, vadinamas pakrantės fraktaliniu matmeniu. Kaip didesnę vertę D, tuo ši pakrantė šiurkštesnė. Priklausomybės (1) kilmė yra intuityvi: kuo mažesnę skalę naudojame, tuo mažesnės pakrantės detalės bus atsižvelgtos ir prisidės prie išmatuoto ilgio. Priešingai, padidindami mastelį, ištiesiname pakrantę, sumažindami ilgį L.

Taigi akivaizdu, kad nustatyti pakrantės ilgį L naudojant kietą skalę l(pavyzdžiui, naudojant kompasą su fiksuotu sprendimu), turite tai padaryti N=L/lžingsniai ir dydis L pokyčiai c l Taigi N priklauso nuo l teisėje. Dėl to masteliui mažėjant pakrantės ilgis be apribojimų didėja. Ši aplinkybė ryškiai išskiria fraktalinę kreivę nuo įprastos lygiosios kreivės (pvz., apskritimo, elipsės), kuriai apytikslės trūkinės linijos ilgio riba yra L nes jos jungties ilgis linkęs į nulį l baigtinis. Dėl to sklandžiai kreivei jos fraktalinis matmuo yra D=1, t.y. sutampa su topologiniu.

Pateiksime fraktalų matmenų reikšmes D skirtingoms pakrantėms. Pavyzdžiui, Britų saloms D? 1. 3, ir Norvegijai D? 1.5. Fraktalinis Australijos pakrantės matmuo D ? 1. 1. Kitų pakrančių fraktaliniai matmenys taip pat pasirodo artimi vienybei.

Aukščiau buvo pristatyta pakrantės fraktalinio matmens samprata. Duokim dabar bendras apibrėžimasšią vertę. Leiskite d- įprastas euklidinis erdvės, kurioje yra mūsų fraktalinis objektas, matmuo ( d=1- linija, d=2- lėktuvas, d=3- reguliarus trijų matmenų erdvė). Dabar apimkime šį objektą visiškai d-matmenų spindulio "rutuliukai". l. Tarkime, kad tam mums reikėjo ne mažiau kaip N(l) kamuoliukus. Tada, jei pakankamai mažas l dydžio N(l) keičiasi pagal galios dėsnį:

Tai D- vadinamas šio objekto Hausdorff arba fraktaliniu matmeniu.

Gerai žinomas faktas:

Paradokso pavyzdys: jei JK pakrantė matuojama 100 km atkarpomis, tai jos ilgis yra maždaug 2800 km. Jei naudojami 50 km ruožai, ilgis yra maždaug 3400 km, tai yra 600 km ilgesnis.

Pakrantės ilgis priklauso nuo to, kaip ji matuojama. Kadangi sausumos masyvą galima apibūdinti bet kokio dydžio posūkiais, nuo šimtų kilometrų iki milimetro ar mažesnių dalių, nėra aiškaus būdo pasirinkti mažiausio elemento, kurį reikėtų matuoti, dydį. Vadinasi, vienareikšmiškai nustatyti šios srities perimetro neįmanoma. Šiai problemai išspręsti yra įvairių matematinių aproksimacijų.

Kadangi žemė turi ypatybių visais lygiais, nuo šimtų kilometrų iki mažų milimetro dalių ir žemiau, nėra jokių akivaizdžių dydžio apribojimų. mažiausiai savybių, todėl nėra nustatytas aiškiai apibrėžtas žemės perimetras. Taikant tam tikras minimalaus dydžio prielaidas, yra įvairių aproksimacijų.

Paradokso pavyzdys yra gerai žinomas JK pakrantė. Jei JK pakrantė matuojama naudojant 100 km (62 mylių) ilgio fraktalinį vienetą, tai pakrantės ilgis yra maždaug 2800 km (1700 mylių). Su 50 km (31 mylios) vienetu, bendras ilgis yra apie 3400 km (2100 mylių), apie 600 km (370 mylių) ilgesnis.

Matematiniai aspektai

Pagrindinė ilgio sąvoka kilusi iš Euklido atstumas. Drauge Euklido geometrija, tiesi linija reiškia trumpiausias atstumas tarp dviejų taškų; ši linija turi tik vieną baigtinį ilgį. Geodezinis ilgis rutulio paviršiuje, vadinamas ilgas ilgis apskritimas, matuojamas išilgai kreivės, esančios plokštumoje, kurioje yra galutiniai taškai takai ir sferos centras. Pagrindinės kreivės ilgis yra sudėtingesnis, tačiau jį taip pat galima apskaičiuoti. Matuodamas liniuote, žmogus gali apytiksliai apskaičiuoti kreivės ilgį, pridėdamas taškus jungiančių tiesių sumą:

Naudojant kelias tiesias linijas apytiksliai apskaičiuoti kreivės ilgį, gaunamas mažas įvertinimas. Naudojant vis daugiau trumpos eilutės sukurs ilgių sumą, kuri apytiksliai atitinka tikrąjį kreivės ilgį. Tiksli vertėŠį ilgį galima nustatyti naudojant skaičiavimą – matematikos šaką, leidžiančią apskaičiuoti be galo mažus atstumus. Toliau pateikta animacija iliustruoja šį pavyzdį:

Tačiau ne visas kreives galima išmatuoti tokiu būdu. Pagal apibrėžimą kreivė su sudėtingais matavimo skalės pokyčiais laikoma fraktaline. Atsižvelgiant į tai, kad sklandžiai kreivė juda vis arčiau tos pačios vertės, didėjant matavimo tikslumui, išmatuota fraktalų vertė gali labai pasikeisti.

Ilgis" tikrasis fraktalas" visada linkusi į begalybę. Tačiau šis skaičius pagrįstas idėja, kad erdvę galima padalyti iki neapibrėžtumo, t. y. būti neribota. Tai yra fantazija, kuria grindžiama euklidinė geometrija ir naudojama kaip naudingas modelis atliekant kasdienius matavimus, beveik neabejotinai neatspindi kintančios „erdvės“ ir „atstumo“ realybės atominiu lygmeniu. Pakrančių linijos skiriasi nuo matematinių fraktalų, jos susidaro iš daugybės smulkių detalių, kurios sukuria šablonus tik statistiškai.

Dėl praktinių priežasčių, galite naudoti matavimą pasirinkę atitinkamą minimalų eilės vieneto dydį. Jei pakrantės linija matuojama kilometrais, tai nedideli svyravimai yra daug mažesni nei vienas kilometras ir gali būti lengvai nepaisomi. Norint išmatuoti pakrantės liniją centimetrais, reikia atsižvelgti į nedidelius dydžio pokyčius. Naudojant įvairius matavimo metodus skirtingi vienetai taip pat pažeidžia įprastą įsitikinimą, kad blokus galima konvertuoti naudojant paprastas dauginimas. Kraštiniai dėklai pakrantės apima paradoksalius Norvegijos, Čilės ir Šiaurės Amerikos Ramiojo vandenyno pakrantės fjordus.

Prieš pat 1951 m. Lewisas Fry Richardsonas, studijoje galima įtaka sienos ilgio dėl karo tikimybės, pastebėjo, kad portugalai savo išmatuotą sieną su Ispanija pateikė kaip 987 km ilgį, tačiau Ispanija pranešė kaip 1214 km. Tai buvo kranto problemos, kurią matematiškai sunku išmatuoti dėl pačios linijos nelygumo, pradžia. Vyraujantis ribos (arba pakrantės) ilgio įvertinimo metodas buvo nustatyti N kiekius vienodi segmentai ilgis ℓ ribojamas žemėlapyje arba aeronuotraukose. Kiekvienas segmento galas turi būti ant ribos. Tyrinėdamas ribų įvertinimo neatitikimus, Richardsonas atrado tai, kas dabar vadinama Richardsono efektu: segmentų suma yra atvirkščiai proporcinga. bendras ilgis segmentai. Iš esmės, kuo trumpesnė liniuotė, tuo didesnė išmatuota riba; Ispanų ir portugalų geografai tiesiog išmatavo sieną naudodami skirtingo ilgio liniuotes. Dėl to Richardsoną sukrėtė tai, kad tam tikromis aplinkybėmis, kai valdovo ℓ ilgis linkęs į nulį, pakrantės ilgis taip pat linkęs į begalybę. Richardsonas mano, kad remiantis Euklido geometrija, pakrantės linija priartės prie fiksuoto ilgio, kaip atlikti tokius teisingus įvertinimus geometrines figūras. Pavyzdžiui, perimetras taisyklingas daugiakampisįbrėžtas į apskritimą, didėjant kraštinių skaičiui (ir mažėjant vienos kraštinės ilgiui), artėja prie apskritimo. IN geometrinė teorija matuoja tokią sklandžią kreivę kaip apskritimas, prie kurio galima aproksimuoti mažus tiesius segmentus tam tikra riba, vadinama ištaisoma kreive.

Praėjus daugiau nei dešimčiai metų po to, kai Richardsonas baigė savo darbą, Benoit Mandelbrotas išvystyta nauja sritis matematika, - fraktalinė geometrija, norint tiksliai apibūdinti tokius nerektifikuojamus kompleksus gamtoje begalinės pakrantės pavidalu. Savas apibrėžimas nauja figūra, kuri buvo jo tyrimo pagrindas: aš sugalvojau fraktalą iš lotyniško būdvardžio " suskaidytas» sukurti netaisyklingus fragmentus. Taigi prasminga... kad be "suskaldytų"...sulaužyta turėtų reikšti ir "netaisyklingą".

Pagrindinė fraktalo savybė yra savęs panašumas, tai yra, ta pati bendra konfigūracija atsiranda bet kokiu mastu. Pakrantė suvokiama kaip įlankos, besikeičiančios su kyšuliais. Hipotetinėje situacijoje tam tikra pakrantė turi šią savitumo panašumo savybę, nesvarbu, kiek kuri nors nedidelė pakrantės atkarpa atrodo išsiplėtusi, panašus mažesnių įlankų ir pakraščių modelis, išsidėstęs ant didesnių įlankų ir pakraščių iki smėlio grūdelių. Tuo pačiu metu pakrantės mastelis akimirksniu pasikeičia į galimai be galo ilgą giją su atsitiktiniu iš mažų objektų suformuotų įlankų ir kyšulių išdėstymu. Tokiomis sąlygomis (priešingai nei lygioms kreivėms) Mandelbrotas teigia, kad „pakrantės ilgis yra sunkiai suprantama sąvoka, kuri slysta tarp pirštų tiems, kurie nori tai suprasti“. įvairių tipų fraktalai. Pakrantės linija su nurodytais parametrais yra „pirmoje fraktalų kategorijoje, būtent kreivės su fraktalinis matmuo didesnis nei 1." Šis paskutinis teiginys atspindi Mandelbroto Richardsono minties išplėtimą.

Mandelbroto Richardsono efekto pareiškimas:

čia L, pakrantės ilgis, yra matavimo vieneto ε funkcija ir apytikslis lygtis. F yra konstanta, o D yra Richardsono parametras. Jis nedavė teorinis paaiškinimas, bet Mandelbrotas apibrėžė D su ne sveikuoju skaičiumi Hausdorff matmenys, vėliau – fraktalinė dimensija. Persigrupavęs dešinėje pusėje gauname posakius:

kur Fε-D turi būti ε vienetų, reikalingų L gauti, skaičius. Fraktalų matmuo- fraktalų matmenų, naudojamų apytiksliai fraktalui, skaičius: 0 taškui, 1 linijai, 2 plotui. D išraiškoje yra nuo 1 iki 2, pakrantėje jis paprastai yra mažesnis nei 1,5. Sulaužytas pakrantės matmuo nesitęsia viena kryptimi ir neatstovauja plotui, o yra tarpinis. Tai gali būti aiškinama kaip storos linijos arba juostelės, kurių plotis yra 2ε. Daugiau skaldytų pakrančių turi didesnį D, taigi ir didesnį L, esant tam pačiam ε. Mandelbrotas parodė, kad D nepriklauso nuo ε.

Šaltinis: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Vertimas: Dmitrijus Šakovas