Apsvarstykite trupmeną $\frac63$. Jo reikšmė yra 2, nes $\frac63 =6:3 = 2$. Kas atsitiks, jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Akivaizdu, kad trupmenos reikšmė nepasikeitė, todėl $\frac(12)(6)$ kaip y taip pat yra lygus 2. Galite padauginkite skaitiklį ir vardiklį 3 ir gauti $\frac(18)(9)$, arba 27 ir gauti $\frac(162)(81)$, arba 101 ir gauti $\frac(606)(303)$. Kiekvienu iš šių atvejų trupmenos, kurią gauname padalijus skaitiklį iš vardiklio, reikšmė yra 2. Tai reiškia, kad ji nepasikeitė.
Tas pats modelis stebimas ir kitų frakcijų atveju. Jei trupmenos $\frac(120)(60)$ (lygu 2) skaitiklis ir vardiklis yra padalinti iš 2 (rezultatas yra $\frac(60)(30)$) arba iš 3 (rezultatas yra $\frac(40)(20) $), arba 4 (rezultatas $\frac(30)(15)$) ir taip toliau, tada kiekvienu atveju trupmenos reikšmė lieka nepakitusi ir lygi 2.
Ši taisyklė taip pat taikoma trupmenoms, kurios nėra lygios sveikas skaičius.
Jei trupmenos $\frac(1)(3)$ skaitiklis ir vardiklis padauginami iš 2, gauname $\frac(2)(6)$, tai yra, trupmenos reikšmė nepasikeitė. Ir iš tikrųjų, jei pyragą padalinsite į 3 dalis ir paimsite vieną iš jų, arba padalinsite į 6 dalis ir paimsite 2 dalis, abiem atvejais gausite tiek pat pyrago. Todėl skaičiai $\frac(1)(3)$ ir $\frac(2)(6)$ yra identiški. Suformuluokime bendrą taisyklę.
Bet kurios trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, nekeičiant trupmenos reikšmės.
Ši taisyklė pasirodo labai naudinga. Pavyzdžiui, kai kuriais atvejais, bet ne visada, galima išvengti operacijų su dideliais skaičiais.
Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(126)(189)$ skaitiklį ir vardiklį galime padalyti iš 63 ir gauti trupmeną $\frac(2)(3)$, su kuria daug lengviau apskaičiuoti. Kitas pavyzdys. Trupmenos $\frac(155)(31)$ skaitiklį ir vardiklį galime padalyti iš 31 ir gauti trupmeną $\frac(5)(1)$ arba 5, nes 5:1=5.
Šiame pavyzdyje pirmą kartą susidūrėme trupmena, kurios vardiklis yra 1. Tokios trupmenos žaidžia svarbus vaidmuo skaičiavimų metu. Reikėtų atsiminti, kad bet kurį skaičių galima padalyti iš 1 ir jo reikšmė nepasikeis. Tai reiškia, kad $\frac(273)(1)$ yra lygus 273; $\frac(509993)(1)$ yra lygus 509993 ir pan. Todėl mums nereikia dalyti skaičių iš , nes kiekvienas sveikas skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1.
Su tokiomis trupmenomis, kurių vardiklis yra 1, galite padaryti tą patį aritmetinės operacijos, kaip ir visos kitos trupmenos: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.
Galite paklausti, kam naudinga, jei sveikąjį skaičių pavaizduojame kaip trupmeną su vienetu po eilute, nes su sveikuoju skaičiumi dirbti patogiau. Tačiau faktas yra tas, kad sveikojo skaičiaus kaip trupmenos pateikimas suteikia galimybę efektyviau atlikti įvairius veiksmus, kai susiduriame su sveikaisiais skaičiais ir trupmeniniai skaičiai. Pavyzdžiui, mokytis pridėti trupmenas su skirtingus vardiklius . Tarkime, kad turime pridėti $\frac(1)(3)$ ir $\frac(1)(5)$.
Žinome, kad galime pridėti tik tas trupmenas, kurių vardikliai yra lygūs. Tai reiškia, kad turime išmokti sumažinti trupmenas iki tokios formos, kurioje jų vardikliai yra lygūs. Šiuo atveju mums vėl prireiks fakto, kad galėtume trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš to paties skaičiaus, nekeisdami jo reikšmės.
Pirmiausia trupmenos $\frac(1)(3)$ skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 5. Gauname $\frac(5)(15)$, trupmenos reikšmė nepasikeitė. Tada trupmenos $\frac(1)(5)$ skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 3. Gauname $\frac(3)(15)$, vėlgi trupmenos reikšmė nepasikeitė. Todėl $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Dabar pabandykime pritaikyti šią sistemą skaičiams, kuriuose yra ir sveikųjų, ir trupmeninių dalių, sudėti.
Turime pridėti $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Pirmiausia paverskime visus terminus trupmenomis ir gaukime: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Dabar visas trupmenas reikia suvesti į bendrą vardiklį, tam padauginame pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 12, antrosios iš 4, o trečiosios iš 3. Rezultate gauname $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, kuris yra lygus $\frac(55)(12)$. Jei norite atsikratyti netinkama trupmena, jį galima paversti skaičiumi, susidedančiu iš sveikojo skaičiaus ir trupmenos: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ arba $4\frac(7) )( 12)$.
Visos taisyklės, kurios leidžia operacijos su trupmenomis, kuriuos ką tik ištyrėme, galioja ir neigiamų skaičių atveju. Taigi, -1: 3 gali būti parašytas kaip $\frac(-1)(3)$, o 1: (-3) kaip $\frac(1)(-3)$.
Kadangi tiek neigiamą skaičių padalijus iš teigiamo, tiek teigiamą skaičių iš neigiamo, gaunami neigiami skaičiai, abiem atvejais atsakymas bus neigiamas. Tai yra
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ arba $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Taip parašytas minuso ženklas reiškia visą trupmeną, o ne atskirai skaitiklį ar vardiklį.
Kita vertus, (-1) : (-3) gali būti parašytas kaip $\frac(-1)(-3)$, o kadangi neigiamą skaičių padalijus iš neigiamo skaičiaus gaunamas teigiamas skaičius, tada $\frac (-1 )(-3)$ gali būti parašytas kaip $+\frac(1)(3)$.
Sudėjimas ir atėmimas neigiamos trupmenos atliekami taip pat, kaip teigiamų trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Pavyzdžiui, kas yra $1–1\frac13$? Pavaizduokime abu skaičius kaip trupmenas ir gausime $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Suveskime trupmenas į bendrą vardiklį ir gaukime $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tai yra $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ arba $-\frac(1)(3)$.
- 7 padauginame iš vardiklio (2), gauname 14,
- pridėti prie 14 viršutinė dalis(1), pasirodo 15,
- ir pakeiskite vardiklį.
- rezultatas 15/2.
- Trupmena teisinga, t.y. skaitiklis mažiau nei vardiklis. Tada po užduoties gautas mišrus skaičius bus atsakymas.
- Trupmena yra netinkama, t.y. skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Tada reikia šiek tiek konvertuoti. Netinkama trupmena turi būti paversta mišriu skaičiumi, kitaip tariant, visa dalis turi būti izoliuota. Tai daroma taip:
Norint pridėti sveiką skaičių prie trupmenos, pakanka atlikti eilę veiksmų, tiksliau – skaičiavimų.
Pavyzdžiui, jūs turite 7 – sveikąjį skaičių, kurį turite pridėti prie trupmenos 1/2.
Mes elgiamės taip:
Šiuo paprastu būdu prie trupmenų galite pridėti sveikus skaičius.
O norint atskirti sveikąjį skaičių nuo trupmenos, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio, o likutį – ir bus trupmena.
Sveikojo skaičiaus pridėjimo prie tinkamos paprastosios trupmenos operacija nėra sudėtinga ir kartais tiesiog apima formavimą mišri frakcija, kuriame visa dalis Pavyzdžiui, dedama trupmeninės dalies kairėje, tokia trupmena bus sumaišyta:
Tačiau dažniausiai prie trupmenos pridėjus sveikąjį skaičių gaunama neteisinga trupmena, kurioje skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Ši operacija atliekama taip: visas skaičius pateikiamas kaip netinkama trupmena su tuo pačiu vardikliu kaip ir pridedama trupmena, o tada tiesiog pridedami abiejų trupmenų skaitikliai. Pavyzdyje jis atrodys taip:
5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8
Manau, kad tai labai paprasta.
Pavyzdžiui, mes turime trupmeną 1/4 (tai yra 0,25, tai yra ketvirtadalis viso skaičiaus).
Ir prie šio ketvirčio galite pridėti bet kokį sveikąjį skaičių, pavyzdžiui, 3. Jūs gaunate trys ir ketvirtadalis:
3.25. Arba trupmena išreiškiama taip: 3 1/4
Naudodamiesi šiuo pavyzdžiu, galite pridėti bet kokias trupmenas su bet kokiais sveikaisiais skaičiais.
Turite padidinti sveikąjį skaičių iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10 (6/10). Tada sukelkite esamą trupmeną iki bendro 10 vardiklio (35 = 610). Na, atlikite operaciją kaip su paprastosios trupmenos 610+610=1210 iš viso 12.
Yra du būdai tai padaryti.
1). Trupmeną galima paversti sveikuoju skaičiumi ir atlikti sudėtį. Pavyzdžiui, 1/2 yra 0,5; 1/4 lygus 0,25; 2/5 yra 0,4 ir tt
Paimkite sveikąjį skaičių 5, prie kurio reikia pridėti trupmeną 4/5. Paverskime trupmeną: 4/5 yra 4 padalintas iš 5 ir gauname 0,8. Prideda 0,8 prie 5 ir gauname 5,8 arba 5 4/5.
2). Antrasis metodas: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.
Trupmenų pridėjimas yra paprastas matematinis veiksmas, pavyzdžiui, reikia pridėti sveikąjį skaičių 3 ir trupmeną 1/7. Norėdami pridėti šiuos du skaičius, turite turėti tą patį vardiklį, todėl turite padauginti tris iš septynių ir padalyti iš to skaičiaus, tada gausite 21/7+1/7, vardiklis vienas, pridėkite 21 ir 1, gausite atsakymą 22/ 7 .
Tiesiog paimkite ir prie šios trupmenos pridėkite sveikąjį skaičių. Tarkime, kad jums reikia 6 + 1/2 = 6 1/2. Na, jei tai yra dešimtainė trupmena, tai galite padaryti taip: 6+1,2=7,2.
Norėdami pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, turite pridėti trupmeną prie sveikojo skaičiaus ir įrašyti juos į formą kompleksinis skaičius, pavyzdžiui, sudėjus paprastąją trupmeną su sveikuoju skaičiumi, gauname: 1/2 +3 =3 1/2; pridedant dešimtainis: 0,5 +3 =3,5.
Trupmena pati savaime nėra sveikasis skaičius, nes jos kiekis jo nepasiekia, todėl nereikia viso skaičiaus konvertuoti į šią trupmeną. Todėl sveikas skaičius lieka sveikuoju skaičiumi ir visiškai parodo visą reikšmę, o trupmena pridedama prie jos ir parodo, kiek šio sveikojo skaičiaus trūksta prieš pridedant kitą pilną tašką.
Akademinis pavyzdys.
10 + 7/3 = 10 visa ir 7/3.
Jei, žinoma, yra sveikųjų skaičių, jie sumuojami su sveikaisiais skaičiais.
12 + 5 7/9 = 17 ir 7/9.
Tai priklauso nuo to, kuris sveikasis skaičius ir kokia trupmena.
Jeigu abu terminai yra teigiami, ši trupmena turi būti pridėta prie sveikojo skaičiaus. Rezultatas bus mišrus skaičius. Be to, gali būti 2 atvejai.
1 atvejis.
4/9 + 10 = 10 4/9 (dešimties taškų keturios devintinės).
2 atvejis.
Po to prie sveikojo skaičiaus reikia pridėti visą netinkamos trupmenos dalį ir pridėti ją prie gautos sumos trupmeninė dalis. Tuo pačiu būdu, kad mišrus skaičius pridedama visa.
1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 taškai trys ketvirčiai).
2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 taško vienas).
Jei viena iš sąlygų arba abi neigiamas, tada sudėjimą atliekame pagal skaičių sudėjimo su skirtingais arba taisyklėmis identiški ženklai. Sveikasis skaičius vaizduojamas kaip to skaičiaus ir 1 santykis, tada ir skaitiklis, ir vardiklis padauginami iš skaičiaus, lygus vardikliui trupmena, prie kurios pridedamas sveikas skaičius.
3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (atėmus 1 tašką keturios penktadalės).
4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 taškai, vienas trečdalis).
komentuoti.
Po susitikimo neigiami skaičiai, studijuodami operacijas su jais, 6 klasės mokiniai turėtų suprasti, kad pridėti teigiamą sveikąjį skaičių prie neigiamos trupmenos yra tas pats, kas atimti iš natūralusis skaičius trupmena. Žinoma, kad šis veiksmas atliekamas taip:
Tiesą sakant, norint pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, tiesiog reikia esamą sveikąjį skaičių paversti trupmena, o tai padaryti taip pat paprasta, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia paimti trupmenos vardiklį (pavyzdyje) ir padaryti jį sveikojo skaičiaus vardikliu, padauginus jį iš vardiklio ir padalijus, štai pavyzdys:
2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.
Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ...diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo rasti bendros nuomonės dėl paradoksų esmės... buvo įtraukta į šio klausimo tyrimą; matematinė analizė, aibių teorija, naujas fizinis ir filosofinius požiūrius; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.
Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. SU fizinis taškasŽvelgiant iš perspektyvos, atrodo, kad laikas sulėtėja, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.
Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga kartu pastovus greitis. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.
Kaip išvengti šių loginių spąstų? Likite pastovūs vienetai laiko matavimus ir neiti į abipusiai. Zenono kalba tai atrodo taip:
Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.
Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas problemų. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.
Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:
Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.
Šioje aporijoje loginis paradoksas ją galima įveikti labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė stovi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norint nustatyti atstumą iki automobilio, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingus taškus erdvės vienu laiko momentu, tačiau iš jų neįmanoma nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad skaičiavimams dar reikia papildomų duomenų, jums padės trigonometrija). Į ką noriu atkreipti dėmesį ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.
2018 m. liepos 4 d., trečiadienis
Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėsim.
Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Tokia absurdiška logika jaučiančios būtybės niekada nesuprasi. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.
Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.
Nesvarbu, kaip matematikai slepiasi po fraze „man tu, aš namuose“, o tiksliau „matematikos studijos“ abstrakčios sąvokos", yra viena virkštelė, kuri neatsiejamai jungia juos su realybe. Ši virkštelė yra pinigai. Taikyti matematinė teorija rinkinius patiems matematikams.
Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Matematikui paaiškiname, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiški elementai. Čia ir prasideda linksmybės.
Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: ant skirtingų monetų yra skirtingi kiekiai purvas, kristalų struktūra o atomų išsidėstymas kiekvienoje monetoje yra unikalus...
O dabar turiu daugiausia įdomus klausimas: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.
Pažiūrėk čia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.
Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.
2018 m. kovo 18 d., sekmadienis
Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.
Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.
Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad rastume skaičių sumą duotas numeris. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.
1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.
2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.
3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.
4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.
Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų mokomi „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.
Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. SU didelis skaičius 12345 Nenoriu suklaidinti galvos, pažiūrėkime į skaičių 26 iš straipsnio apie . Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį po mikroskopu, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.
Kaip matote, skirtingose skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.
Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.
Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais, juos palyginus, duoda skirtingus rezultatus, tai tai neturi nieko bendra su matematika.
Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.
O! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?
Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.
Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,
Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:
Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnio žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina kvaila, ne išmanantis fiziką. Ji tiesiog turi arkinį suvokimo stereotipą grafiniai vaizdai. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.
1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.
Trupmenos yra įprasti skaičiai, juos taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau dėl to, kad juose yra vardiklis, daugiau sudėtingos taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.
Panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos su tie patys vardikliai. Tada:
Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.
Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios dalies skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vėl palikti vardiklį nepakeistą.
Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Pagal trupmenų pridėjimo ir atėmimo apibrėžimą gauname:
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo: tiesiog sudedame arba atimame skaitiklius ir viskas.
Bet net ir tokiuose paprasti veiksmaižmonės sugeba padaryti klaidų. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, juos pridedant, jie taip pat pradeda didėti, ir tai iš esmės neteisinga.
Atsikratykite blogas įprotis Sudėti vardiklius yra gana paprasta. Išbandykite tą patį atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.
Todėl atsiminkite kartą ir visiems laikams: sudėjus ir atimant vardiklis nesikeičia!
Daugelis žmonių taip pat daro klaidų pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.
Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:
- Plius prie minuso duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pirmuoju atveju viskas paprasta, bet antruoju trupmenų skaitiklius pridėkime minusų:
Ką daryti, jei vardikliai skiriasi
Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.
Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsiribosime. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pirmuoju atveju trupmenas sumažiname iki bendro vardiklio, naudodami „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime NOC. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių plėtimų veiksniai yra lygūs, o pirmieji yra santykinai pirminiai. Todėl LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių
Galiu jus pamaloninti: turėti skirtingus vardiklius trupmenose nėra daugiausia didelis blogis. Daug daugiau klaidųįvyksta, kai sveikojo skaičiaus dalis išskiriama trupmenos terminuose.
Žinoma, tokioms trupmenoms yra savi sudėties ir atimties algoritmai, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgas tyrimas. Geriau naudoti paprasta diagrama, pateikta žemiau:
- Konvertuokite visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į netinkamas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie apskaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
- Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
- Jei tai viskas, ko reikėjo užduotyje, mes atliekame atvirkštinė konversija, t.y. Atsikratome netinkamos trupmenos paryškindami visą dalį.
Perėjimo į netinkamos trupmenos ir visos dalies paryškinimas yra išsamiai aprašyti pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Čia viskas paprasta. Vardikliai kiekvienos išraiškos viduje yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti netinkamomis ir suskaičiuoti. Turime:
Norėdami supaprastinti skaičiavimus, paskutiniuose pavyzdžiuose praleidau keletą akivaizdžių žingsnių.
Maža pastaba apie du naujausi pavyzdžiai, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik jos dalis.
Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Štai čia pripažįsta pradedantieji didžiulė suma klaidų. Jie mėgsta duoti tokias užduotis bandymai. Taip pat keletą kartų su jais susidursite atliekant šios pamokos testus, kurie netrukus bus paskelbti.
Santrauka: bendra skaičiavimo schema
Baigdamas duosiu bendrasis algoritmas, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:
- Jei viena ar kelios trupmenos turi sveikąją dalį, konvertuokite šias trupmenas į netinkamas;
- Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemų autoriai);
- Sudėkite arba atimkite gautus skaičius pagal trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles;
- Jei įmanoma, sutrumpinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.
Atminkite, kad geriau paryškinti visą dalį pačioje problemos pabaigoje, prieš pat užrašant atsakymą.
Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisyklės yra labai paprastos.
Žingsnis po žingsnio pažvelkime į trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles:
1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį). Gautas LCM bus bendrasis trupmenų vardiklis;
2. Sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio;
3. Sudėkite trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio.
Įjungta paprastas pavyzdys Išmoksime taikyti trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles.
Pavyzdys
Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo pavyzdys.
Pridėkite trupmenas su skirtingais vardikliais:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Mes nuspręsime žingsnis po žingsnio.
1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).
Skaičius 12 dalijasi iš 6.
Iš to darome išvadą, kad 12 yra mažiausias bendras skaičių 6 ir 12 kartotinis.
Atsakymas: skaičių 6 ir 12 skaičius yra 12:
LCM(6; 12) = 12
Gautas LCM bus bendras dviejų trupmenų 1/6 ir 5/12 vardiklis.
2. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.
Mūsų pavyzdyje tik pirmąją trupmeną reikia sumažinti iki bendro vardiklio 12, nes antroji trupmena jau turi 12 vardiklį.
Pasiskirstykime bendras vardiklis 12 iki pirmosios trupmenos vardiklio:
2 turi papildomą daugiklį.
Pirmosios trupmenos (1/6) skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo koeficiento 2.
