Matematinė trupmena. Trupmenos, trupmenos, apibrėžimai, žymėjimai, pavyzdžiai, operacijos su trupmenomis

Paprastosios trupmenos apibrėžimas

1 apibrėžimas

Paprastosios trupmenos naudojamas apibūdinti akcijų skaičių. Pažvelkime į pavyzdį, kurį galima naudoti norint apibrėžti bendrąją trupmeną.

Obuolys buvo padalintas į 8 USD akcijas. Šiuo atveju kiekviena dalis atitinka vieną aštuntąją viso obuolio, t. y. $\frac(1)(8)$. Dvi akcijos žymimos $\frac(2)(8)$, trys akcijos $\frac(3)(8)$ ir kt., o $8$ akcijos žymimos $\frac(8)(8)$ . Kiekvienas iš pateiktų įrašų vadinamas paprastoji trupmena.

Duokim bendras apibrėžimas paprastoji trupmena.

2 apibrėžimas

Paprastoji trupmena vadinamas formos $\frac(m)(n)$ žymėjimu, kur $m$ ir $n$ yra bet kokie natūralūs skaičiai.

Dažnai galite rasti tokį bendrosios trupmenos žymėjimą: $m/n$.

1 pavyzdys

Paprastųjų trupmenų pavyzdžiai:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

1 pastaba

Skaičiai $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ nėra paprastosios trupmenos, nes neatitinka aukščiau pateikto apibrėžimo.

Skaitiklis ir vardiklis

Paprastoji trupmena susideda iš skaitiklio ir vardiklio.

3 apibrėžimas

Skaitiklis vadinama paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$ natūralusis skaičius$m$, kuris rodo lygių dalių, paimtų iš vienos visumos, skaičių.

4 apibrėžimas

Vardiklis Paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$ yra natūralusis skaičius $n$, parodantis, į kiek lygių dalių yra padalinta visa visuma.

1 pav.

Skaitiklis yra virš trupmenos linijos, o vardiklis yra žemiau trupmenos linijos. Pavyzdžiui, bendrosios trupmenos $\frac(5)(17)$ skaitiklis yra skaičius $5$, o vardiklis yra skaičius $17$. Vardiklis rodo, kad prekė yra padalinta į $17$ akcijas, o skaitiklis rodo, kad paimamos $5$ tokios akcijos.

Natūralusis skaičius kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1

Bendrosios trupmenos vardiklis gali būti vienas. Šiuo atveju objektas laikomas nedaliuoju, t.y. reprezentuoja vieną visumą. Tokios trupmenos skaitiklis parodo, kiek paimta sveikų objektų. Paprastoji formos $\frac(m)(1)$ trupmena turi natūraliojo skaičiaus $m$ reikšmę. Taigi gauname gerai pagrįstą lygybę $\frac(m)(1)=m$.

Jei lygybę perrašysime į formą $m=\frac(m)(1)$, tai bet kurį natūralųjį skaičių $m$ leis pavaizduoti paprastąja trupmena. Pavyzdžiui, skaičius $5$ gali būti pavaizduotas kaip trupmena $\frac(5)(1)$, skaičius $123\456$ gali būti pavaizduotas kaip trupmena $\frac(123\456)(1)$.

Taigi bet kurį natūralųjį skaičių $m$ galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, kurios vardiklis yra $1$, o bet kurią įprastinę trupmeną formos $\frac(m)(1)$ galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi $m$.

Trupmenų juosta kaip padalijimo ženklas

Objekto atvaizdavimas $n$ dalių pavidalu yra padalijimas į $n$ lygias dalis. Padalijus prekę į $n$ dalis, ją galima po lygiai padalyti tarp $n$ žmonių – kiekvienas gaus po vieną akciją.

Tegul būna $m$ identiški daiktai, padalintas į $n$ dalis. Šiuos $m$ elementus galima po lygiai padalyti $n$ žmonių, kiekvienam suteikiant po vieną kiekvienos $m$ prekės dalį. Tokiu atveju kiekvienas asmuo gaus $m$ $\frac(1)(n)$ dalių, kurios sudaro bendrąją trupmeną $\frac(m)(n)$. Pastebime, kad bendroji trupmena $\frac(m)(n)$ gali būti naudojama $m$ elementų padalijimui tarp $n$ žmonių pažymėti.

Ryšys tarp paprastųjų trupmenų ir dalybos išreiškiamas tuo, kad trupmenos juostą galima suprasti kaip dalybos ženklą, t.y. $\frac(m)(n)=m:n$.

Paprastoji trupmena leidžia užrašyti dviejų natūraliųjų skaičių, kuriems neatliekamas visas padalijimas, rezultatą.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, $7$ obuolių padalijimo iš $9$ žmonių rezultatas gali būti parašytas $\frac(7)(9)$, t.y. kiekvienas gaus po septynias devintąsias obuolio: $7:9=\frac(7)(9)$.

Lygiosios ir nelygiosios trupmenos, trupmenų palyginimas

Dviejų paprastųjų trupmenų palyginimo rezultatas gali būti jų lygybė arba nelygybė. Kai paprastosios trupmenos yra lygios, jos vadinamos lygiomis, kitaip paprastosios trupmenos vadinamos nelygiomis.

lygus, jei lygybė $a\cdot d=b\cdot c$ yra teisinga.

Paprastosios trupmenos $\frac(a)(b)$ ir $\frac(c)(d)$ vadinamos nelygios, jei lygybė $a\cdot d=b\cdot c$ negalioja.

3 pavyzdys

Sužinokite, ar trupmenos $\frac(1)(3)$ ir $\frac(2)(6)$ yra lygios.

Lygybė tenkinama, o tai reiškia, kad trupmenos $\frac(1)(3)$ ir $\frac(2)(6)$ yra lygios: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) $.

Šį pavyzdį galima apsvarstyti naudojant obuolius: vienas iš dviejų vienodų obuolių yra padalintas į tris lygias dalis, antrasis į 6 USD akcijas. Galima pastebėti, kad du šeštadaliai obuolio sudaro $\frac(1)(3)$ dalį.

4 pavyzdys

Patikrinkite, ar paprastosios trupmenos $\frac(3)(17)$ ir $\frac(4)(13)$ yra lygios.

Patikrinkime, ar galioja lygybė $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Lygybė negalioja, o tai reiškia, kad trupmenos $\frac(3)(17)$ ir $\frac(4)(13)$ nėra lygios: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

Palyginę dvi bendrąsias trupmenas ir nustatę, kad jos nėra lygios, galite sužinoti, kuri yra didesnė, o kuri mažesnė už kitą. Norėdami tai padaryti, naudokite paprastųjų trupmenų palyginimo taisyklę: turite suvesti trupmenas į bendrą vardiklį ir palyginti jų skaitiklius. Kuri trupmena turi didesnį skaitiklį, ta trupmena bus didesnė.

Koordinačių spindulio trupmenos

Visi trupmeniniai skaičiai, atitinkantys įprastas trupmenas, gali būti rodomi koordinačių spindulyje.

Norint pažymėti koordinačių spindulio tašką, atitinkantį trupmeną $\frac(m)(n)$, reikia nubrėžti $m$ atkarpas nuo koordinačių pradžios teigiama kryptimi, kurių ilgis yra $\ frac(1)(n)$ vieneto segmento trupmena . Tokie segmentai gaunami padalinus vienetinį segmentą į $n$ lygias dalis.

Kad koordinačių spindulyje būtų rodomas trupmeninis skaičius, vieneto segmentą reikia padalyti į dalis.

2 pav.

Lygios trupmenos apibūdinamos tuo pačiu trupmeniniu skaičiumi, t.y. lygios trupmenos vaizduoja to paties koordinačių spindulio taško koordinates. Pavyzdžiui, koordinatės $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ apibūdina tas pats koordinačių spindulio taškas, nes visos parašytos trupmenos yra lygios.

Jei tašką apibūdina koordinatė su didesne trupmena, tada jis bus dešinėje ant horizontalaus koordinačių spindulio, nukreipto į dešinę nuo taško, kurio koordinatė yra nedidelė dalis. Pavyzdžiui, todėl trupmena $\frac(5)(6)$ daugiau frakcijų$\frac(2)(6)$, tada taškas su koordinate $\frac(5)(6)$ yra taško, kurio koordinatė $\frac(2)(6)$, dešinėje.

Panašiai taškas su mažesne koordinate bus kairėje nuo taško, kurio koordinatė yra didesnė.

Matematikoje trupmena yra skaičius, susidedantis iš vienos ar kelių vieneto dalių (trupmenų). Pagal įrašymo formą trupmenos skirstomos į paprastąsias (pavyzdys \frac(5)(8)) ir dešimtaines (pvz., 123,45).

Apibrėžimas. Paprastoji trupmena (arba paprasta trupmena)

Paprastoji (paprastoji) trupmena vadinamas \pm\frac(m)(n) formos skaičiumi, kur m ir n yra natūralūs skaičiai. Vadinamas skaičius m skaitiklisši trupmena, o skaičius n yra jos vardiklis.

Horizontalus arba pasvirasis brūkšnys rodo padalijimo ženklą, ty \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Paprastosios trupmenos skirstomos į du tipus: tinkamas ir netinkamas.

Apibrėžimas. Tinkamos ir netinkamos trupmenos

Teisingai Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama trupmena. Pavyzdžiui, \frac(9)(11) , nes 9

Neteisingai trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus lygus moduliui vardiklis. Tokia trupmena yra racionalusis skaičius, modulis didesnis nei arba lygus vienam. Pavyzdys galėtų būti trupmenos \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Kartu su netinkama trupmena yra dar vienas skaičiaus atvaizdas, kuris vadinamas mišri frakcija(mišrus skaičius). Tai nėra įprasta trupmena.

Apibrėžimas. Mišri trupmena (mišrus skaičius)

Mišri frakcija yra trupmena, parašyta kaip sveikasis skaičius ir tinkama trupmena ir suprantama kaip šio skaičiaus ir trupmenos suma. Pavyzdžiui, 2\frac(5)(7)

(įrašyti formoje mišrus skaičius) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19)(7) (įrašas formoje netinkama trupmena)

Trupmena yra tik skaičiaus atvaizdas. Tas pats skaičius gali atitikti skirtingos frakcijos, tiek paprastas, tiek dešimtainis. Suformuokime dviejų paprastųjų trupmenų lygybės ženklą.

Apibrėžimas. Trupmenų lygybės ženklas

Dvi trupmenos \frac(a)(b) ir \frac(c)(d) yra lygus, jei a\cdot d=b\cdot c . Pavyzdžiui, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) nuo 2\cdot12=3\cdot8

Iš šio požymio išplaukia pagrindinė trupmenos savybė.

Turtas. Pagrindinė trupmenos savybė

Jei tam tikros trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite trupmeną, lygią duotajam.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Naudojant pagrindinę savybę, trupmenos gali būti pakeistos duota trupmena kita trupmena, lygi duotajai, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu. Šis pakeitimas vadinamas frakcijos mažinimu. Pavyzdžiui, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (čia skaitiklis ir vardiklis buvo padalintas iš pradžių iš 2, o paskui dar iš 2). Trupmeną galima sumažinti tada ir tik tada, kai jos skaitiklis ir vardiklis vienas kito nepaneigia. pirminiai skaičiai. Jei tam tikros trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai, tai trupmenos negalima sumažinti, pavyzdžiui, \frac(3)(4) yra neredukuojama trupmena.

Teigiamų trupmenų taisyklės:

Iš dviejų frakcijų Su tie patys vardikliai Trupmena, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė. Pavyzdžiui, \frac(3)(15)

Iš dviejų frakcijų su tais pačiais skaitikliais Kuo didesnė yra trupmena, kurios vardiklis yra mažesnis. Pavyzdžiui, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Norėdami palyginti dvi trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais, turite konvertuoti abi trupmenas taip, kad jų vardikliai būtų vienodi. Ši transformacija vadinama mažinant trupmenas iki bendro vardiklio.

Paprastoji trupmena

Ketvirčiai

1. Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: ​​“< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir formuluojamas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Trupmenų pridėjimas Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams yra vadinamasis sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius paskambino suma a Ir b numeriai ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas .
3. . Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams Daugybos operacija. daugybos taisyklė sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b dirbti ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba .
4. . Daugybos taisyklė atrodo taip: Užsakymo santykio tranzityvumas. a , b Ir sumavimo taisyklė Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a Jeigu b Ir b Jeigu sumavimo taisyklė mažiau a Jeigu sumavimo taisyklė, Tai a, o jei b Ir b, o jei sumavimo taisyklė mažiau a, o jei sumavimo taisyklė lygus
5. . 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama. Papildymo asociatyvumas. Užsakyti
6. pridedant tris racionalieji skaičiai neturi įtakos rezultatui.
7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
10. Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
12. Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija derinama su sudėjimo operacija pagal paskirstymo dėsnį: Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Į kairę ir galite pridėti tą patį racionalųjį skaičių.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Archimedo aksioma. a Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. j i stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą. Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią ir pagal pirmąsias rungtynes ​​pasirenkama kita pozicija. Tokio perėjimo procese kiekvienas naujas racionalusis skaičius susiejamas su kitu natūraliuoju skaičiumi. Tai yra, trupmenos 1/1 priskiriamos skaičiui 1, trupmenos 2/1 – skaičiui 2 ir tt Reikia pažymėti, kad tik

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta niekuo racionalus skaičius

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantis įspūdis kad racionaliais skaičiais galima išmatuoti bet kokius geometrinius atstumus. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Iš Pitagoro teoremos žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzė išreiškiama kaip kvadratinė šaknis iš jo kojų kvadratų sumos. Tai. lygiašonio hipotenuzės ilgis stačiakampis trikampis su vienetine kojele yra lygus, ty skaičiui, kurio kvadratas yra 2.

Jei darysime prielaidą, kad skaičių galima pavaizduoti kokiu nors racionaliu skaičiumi, tai yra toks sveikasis skaičius m ir toks natūralusis skaičius n, kad , o trupmena yra neredukuojama, t.y. skaičiai m Ir n- abipusiai paprasta.

Jei, tada , t.y. m 2 = 2n 2. Todėl skaičius m 2 yra lyginis, bet dviejų sandauga nelyginiai skaičiai nelyginis, o tai reiškia, kad pats skaičius m taip pat net. Taigi yra natūralusis skaičius k, kad numeris m gali būti pavaizduotas formoje m = 2k. Skaičių kvadratas mšia prasme m 2 = 4k 2, bet kita vertus m 2 = 2n 2 reiškia 4 k 2 = 2n 2, arba n 2 = 2k 2. Kaip parodyta anksčiau su numeriu m, tai reiškia, kad skaičius n- net kaip m. Bet tada jie nėra palyginti pagrindiniai, nes abu yra padalinti į dvi dalis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad tai nėra racionalus skaičius.

Trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Trupmenų rūšys. Toliau žiūrėkime į trupmenas. Pirma, mažas atsisakymas – kol svarstome trupmenas ir atitinkamus jų pavyzdžius, kol kas dirbsime tik su skaitiniu jo vaizdavimu. Taip pat yra trupmeninių pažodiniai posakiai(su skaičiais ir be jų).Tačiau jiems taip pat galioja visi „principai“ ir taisyklės, tačiau apie tokius posakius kalbėsime atskirai ateityje. Rekomenduoju apsilankyti ir žingsnis po žingsnio pastudijuoti (prisiminti) trupmenų temą.

Svarbiausia suprasti, prisiminti ir suvokti, kad TRUMPA yra SKAIČIUS!!!

Paprastoji trupmena yra formos skaičius:

Skaičius, esantis „viršuje“ (in šiuo atveju m) vadinamas skaitikliu, žemiau esantis skaičius (skaičius n) vadinamas vardikliu. Tie, kurie ką tik palietė temą, dažnai susimąsto, kaip jie tai vadina.

Štai gudrybė, kaip amžinai atsiminti, kur yra skaitiklis, o kur vardiklis. Ši technika siejama su žodine-vaizdine asociacija. Įsivaizduokite stiklainį su purvinas vanduo. Yra žinoma, kad nusėdus vandeniui, švarus vanduo lieka viršuje, o drumstumas (nešvarumai) nusėda, atminkite:

CHISS tirpstantis vanduo AUKŠTYJE (CHISS litel top)

Grya Z33NN vanduo yra žemiau (ZNNNN amenatorius yra žemiau)

Taigi, kai tik iškilo poreikis prisiminti, kur yra skaitiklis, o kur vardiklis, iškart vaizdžiai įsivaizdavome nusistovėjusio vandens indelį su GRYNAS vanduo, o apačioje yra nešvarus vanduo. Yra ir kitų atminties gudrybių, jei jos jums padeda, tada gerai.

Paprastųjų trupmenų pavyzdžiai:

Ką reiškia horizontali linija tarp skaičių? Tai ne kas kita, kaip padalijimo ženklas. Pasirodo, dalybos veiksmo pavyzdžiu galima laikyti trupmeną. Šis veiksmas tiesiog įrašomas šioje formoje. Tai yra, viršutinis skaičius (skaitiklis) yra padalintas iš apatinio (vardiklio):

Be to, yra ir kita žymėjimo forma – trupmeną galima parašyti taip (per pasvirąjį brūkšnį):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 ir taip toliau...

Aukščiau pateiktas trupmenas galime parašyti taip:

Padalijimo rezultatas yra tai, kaip žinomas šis skaičius.

Mes tai išsiaiškinome – TAI TRUMPA!!!

Kaip jau pastebėjote, bendroji trupmena gali turėti skaitiklį mažiau nei vardiklis, gali būti didesnis už vardiklį ir gali būti jam lygus. Yra daug svarbius punktus, kurie yra intuityviai suprantami, be jokių teorinių patikslinimų. Pavyzdžiui:

1. 1 ir 3 trupmenas galima užrašyti kaip 0,5 ir 0,01. Šiek tiek pašokime į priekį – tai yra dešimtainės trupmenos, apie jas kalbėsime šiek tiek žemiau.

2. Iš 4 ir 6 trupmenų gaunamas sveikasis skaičius 45:9=5, 11:1 = 11.

3. 5 trupmena gaunasi viena 155:155 = 1.

Kokios išvados siūlo pačios? Kitas:

1. Skaitiklis, padalytas iš vardiklio, gali duoti galutinis skaičius. Tai gali neveikti, padalinkite su 7 stulpeliu iš 13 arba 17 iš 11 – jokiu būdu! Galite skirstyti be galo, bet apie tai taip pat kalbėsime toliau.

2. Trupmenos rezultatas gali būti sveikas skaičius. Todėl bet kurį sveikąjį skaičių galime pavaizduoti kaip trupmeną, tiksliau, begalinę trupmenų seką, žiūrėk, visos šios trupmenos lygios 2:

Daugiau! Bet kurį sveikąjį skaičių visada galime parašyti trupmena – pats skaičius yra skaitiklyje, vienetas – vardiklyje:

3. Vienetą visada galime pavaizduoti kaip trupmeną su bet kokiu vardikliu:

*Šie taškai yra nepaprastai svarbūs dirbant su trupmenomis skaičiavimų ir transformacijų metu.

Trupmenų rūšys.

O dabar apie teorinį paprastųjų trupmenų padalijimą. Jie skirstomi į teisinga ir neteisinga.

Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama tinkama trupmena. Pavyzdžiai:

Trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, vadinama netinkamąja trupmena. Pavyzdžiai:

Mišri frakcija(mišrus skaičius).

Mišri trupmena yra trupmena, parašyta kaip sveikasis skaičius ir tinkama trupmena ir suprantama kaip šio skaičiaus ir jo trupmeninės dalies suma. Pavyzdžiai:

Mišrią trupmeną visada galima pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną ir atvirkščiai. Eikime toliau!

Dešimtainės trupmenos.

Mes jau palietėme juos aukščiau, tai yra (1) ir (3) pavyzdžiai, dabar išsamiau. Štai dešimtainių trupmenų pavyzdžiai: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Trupmena, kurios vardiklis yra 10 laipsnis, pvz., 10, 100, 1000 ir kt., vadinama dešimtaine dalimi. Pirmąsias tris nurodytas trupmenas nesunku parašyti įprastų trupmenų pavidalu:

Ketvirtasis yra mišri trupmena (mišrus skaičius):

Dešimtainė trupmena turi sekančią formąįrašų – išprasideda visa dalis, tada sveikosios ir trupmeninės dalių skyriklis yra taškas arba kablelis, o tada trupmeninė dalis, trupmeninės dalies skaitmenų skaičius griežtai nustatomas pagal trupmeninės dalies matmenį: jei tai yra dešimtosios, trupmeninė dalis rašoma vienu skaitmeniu; jei tūkstantosios - trys; dešimt tūkstančių dalių – keturios ir kt.

Šios trupmenos gali būti baigtinės arba begalinės.

Dešimtainių trupmenų pabaigos pavyzdžiai: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Pavyzdžių yra begalė. Pavyzdžiui, Pi yra begalinis dešimtainis, daugiau – 0,333333333333…... 0,16666666666…. ir kiti. Taip pat skaičių 3, 5, 7 ir kt. šaknies ištraukimo rezultatas. bus begalinė trupmena.

Trupmeninė dalis gali būti ciklinė (joje yra ciklas), du aukščiau pateikti pavyzdžiai yra būtent tokie ir daugiau pavyzdžių:

0.123123123123…. ciklas 123

0.781781781718...... ciklas 781

0,0250102501… ciklas 02501

Jie gali būti parašyti kaip 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Skaičius Pi nėra ciklinė trupmena, kaip, pavyzdžiui, trijų šaknis.

Toliau pateiktuose pavyzdžiuose skambės tokie žodžiai, kaip „apversti“ trupmeną – tai reiškia, kad skaitiklis ir vardiklis yra sukeisti. Tiesą sakant, tokia trupmena turi pavadinimą - atvirkštinė trupmena. Abipusių trupmenų pavyzdžiai:

Maža santrauka! Trupmenos yra:

Įprasta (teisinga ir neteisinga).

Dešimtainės (baigtinės ir begalinės).

Mišrus (mišrūs skaičiai).

Tai viskas!

Pagarbiai, Aleksandrai.

Skaitiklis, o tai, kas yra padalinta, yra vardiklis.

Norėdami parašyti trupmeną, pirmiausia parašykite skaitiklį, tada po skaičiumi nubrėžkite horizontalią liniją, o po linija parašykite vardiklį. Horizontali linija, skirianti skaitiklį ir vardiklį, vadinama trupmenos linija. Kartais jis vaizduojamas kaip įstrižas „/“ arba „∕“. Šiuo atveju skaitiklis rašomas eilutės kairėje, o vardiklis - dešinėje. Taigi, pavyzdžiui, trupmena „du trečdaliai“ bus parašyta kaip 2/3. Aiškumo dėlei skaitiklis dažniausiai rašomas eilutės viršuje, o vardiklis – apačioje, tai yra, vietoj 2/3 galite rasti: ⅔.

Norėdami apskaičiuoti trupmenų sandaugą, pirmiausia padauginkite vieneto skaitiklį trupmenomis skaitiklis skiriasi. Įrašykite rezultatą į naujojo skaitiklį trupmenomis. Po to padauginkite vardiklius. Įveskite bendrą vertę į naują trupmenomis. Pavyzdžiui, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, pirmiausia padauginkite pirmosios skaitiklį iš antrosios vardiklio. Tą patį padarykite su antrąja trupmena (dalikliu). Arba prieš atlikdami visus veiksmus pirmiausia „apverskite“ daliklį, jei jums patogiau: vietoj skaitiklio turėtų atsirasti vardiklis. Tada padauginkite dividendo vardiklį iš naujo daliklio vardiklio ir padauginkite skaitiklius. Pavyzdžiui, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Šaltiniai:

• Pagrindinės trupmenos problemos

Trupmeniniai skaičiai gali būti išreikšti skirtingomis formomis tikslią vertę kiekiai. Tą patį galite padaryti su trupmenomis matematines operacijas, kaip ir sveikieji skaičiai: atimti, sudėti, dauginti ir dalyti. Išmokti apsispręsti trupmenomis, turime prisiminti kai kurias jų savybes. Jie priklauso nuo tipo trupmenomis, sveikosios dalies buvimas, bendras vardiklis. Kai kurie aritmetiniai veiksmai po įvykdymo jie reikalauja sumažinti trupmeninę rezultato dalį.

Jums reikės

• - skaičiuotuvas

Instrukcijos

Atidžiai pažiūrėkite į skaičius. Jei tarp trupmenų yra dešimtainių ir netaisyklingų, kartais patogiau pirmiausia atlikti operacijas su dešimtainėmis dalimis, o tada konvertuoti jas į netaisyklingą formą. Ar galite išversti trupmenomisŠioje formoje iš pradžių skaitiklyje įrašant reikšmę po kablelio, o į vardiklį įdedant 10. Jei reikia, sumažinkite trupmeną, padalydami aukščiau ir žemiau esančius skaičius iš vieno daliklio. Trupmenos, kuriose išskirta visa dalis, turi būti konvertuojamos į neteisingą formą, padauginus ją iš vardiklio ir prie rezultato pridedant skaitiklį. Suteikta vertė taps nauju skaitikliu trupmenomis. Norėdami pasirinkti visą dalį iš iš pradžių neteisingos trupmenomis, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Visas rezultatas užsirašyti iš trupmenomis. O likusi padalijimo dalis taps nauju skaitikliu, vardikliu trupmenomis tai nesikeičia. Dėl trupmenų su visa dalis galima atskirai atlikti veiksmus su sveikuoju skaičiumi, o paskui su trupmeninėmis dalimis. Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti 1 2/3 ir 2 ¾ sumą:
- Trupmenų konvertavimas į netinkamą formą:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumuojant atskirai sveikuosius skaičius ir trupmeninės dalys terminai:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Perrašykite juos naudodami skyriklį „:“ ir tęskite reguliarus padalijimas.

Norėdami gauti galutinis rezultatas Sumažinkite gautą trupmeną, padalydami skaitiklį ir vardiklį iš vieno sveikojo skaičiaus, šiuo atveju didžiausio įmanomo. Šiuo atveju virš linijos ir žemiau jos turi būti sveikieji skaičiai.

Atkreipkite dėmesį

Neatlikite aritmetikos su trupmenomis, kurių vardikliai skiriasi. Pasirinkite tokį skaičių, kad padauginus iš jo kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį, abiejų trupmenų vardikliai būtų lygūs.

Naudingi patarimai

Įrašant trupmeniniai skaičiai Virš eilutės rašomas dividendas. Šis dydis nurodomas kaip trupmenos skaitiklis. Po eilute rašomas trupmenos daliklis arba vardiklis. Pavyzdžiui, pusantro kilogramo ryžių trupmena bus rašoma taip: 1 ½ kg ryžių. Jei trupmenos vardiklis yra 10, trupmena vadinama dešimtaine. Šiuo atveju visos dalies dešinėje, atskiriant kableliu, rašomas skaitiklis (dividendas): 1,5 kg ryžių. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, tokią trupmeną visada galima įrašyti netinkama forma: 1 2/10 kg bulvių. Norėdami supaprastinti, galite sumažinti skaitiklio ir vardiklio reikšmes, padalydami jas iš vieno sveikojo skaičiaus. IN šiame pavyzdyje galima padalyti iš 2. Gausis 1 1/5 kg bulvių. Įsitikinkite, kad skaičiai, su kuriais ketinate atlikti aritmetiką, pateikiami ta pačia forma.