Kai kuriose fizikos problemose neįmanoma nustatyti tiesioginio ryšio tarp dydžių, apibūdinančių procesą. Tačiau galima gauti lygybę, kurioje yra tiriamų funkcijų išvestinės. Taip atsiranda diferencialinės lygtys ir poreikis jas išspręsti, norint rasti nežinomą funkciją.
Šis straipsnis skirtas tiems, kurie susiduria su sprendimo problema diferencialinė lygtis, kuriame nežinoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija. Teorija sudaryta taip, kad neturėdami žinių apie diferencialines lygtis, galite susidoroti su savo užduotimi.
Kiekvienam diferencialinės lygties tipui priskiriamas sprendimo metodas su išsamiais paaiškinimais ir sprendimais tipinių pavyzdžių ir užduotis. Tereikia nustatyti savo problemos diferencialinės lygties tipą, rasti panašų analizuotą pavyzdį ir atlikti panašius veiksmus.
Norėdami sėkmingai išspręsti diferencialines lygtis, jums taip pat reikės galimybės rasti antidarinių rinkinius ( neapibrėžtieji integralai) įvairių funkcijų. Jei reikia, rekomenduojame peržiūrėti skyrių.
Pirmiausia apsvarstysime įprastų pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima išspręsti išvestinės atžvilgiu, tada pereisime prie antros eilės ODE, tada apsistosime ties aukštesnės eilės lygtimis ir baigsime sistemomis diferencialines lygtis.
Prisiminkite, kad jei y yra argumento x funkcija.
Pirmosios eilės diferencialinės lygtys.
Paprasčiausios formos pirmos eilės diferencialinės lygtys.
Užrašykime kelis tokio nuotolinio valdymo pulto pavyzdžius 
.
Diferencialinės lygtys 
Išvestinės atžvilgiu galima išspręsti abi lygybės puses padalijus iš f(x) . Šiuo atveju gauname lygtį, kuri bus lygiavertė pradinei f(x) ≠ 0. Tokių ODE pavyzdžiai yra .
Jei yra argumento x reikšmės, kuriose funkcijos f(x) ir g(x) vienu metu išnyksta, atsiranda papildomų sprendimų. Papildomi sprendimai lygtys 
pateiktos x yra bet kokios funkcijos, apibrėžtos šioms argumentų reikšmėms. Tokių diferencialinių lygčių pavyzdžiai:
Antros eilės diferencialinės lygtys.
Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai.
LDE su pastoviais koeficientais yra labai dažnas diferencialinės lygties tipas. Jų sprendimas nėra ypač sunkus. Pirmiausia randamos šaknys charakteristikos lygtis 
. Skirtingiems p ir q galimi trys atvejai: charakteringos lygties šaknys gali būti tikrosios ir skirtingos, tikrosios ir sutampančios 
arba kompleksiniai konjugatai. Priklausomai nuo būdingos lygties šaknų reikšmių, parašyta bendras sprendimas diferencialinė lygtis kaip 
, arba 
, arba atitinkamai.
Pavyzdžiui, apsvarstykite tiesinę vienalytę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Jai būdingos lygties šaknys yra k 1 = -3 ir k 2 = 0. Šaknys yra tikros ir skirtingos, todėl bendras LOD sprendinys su pastoviais koeficientais turi formą
Antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.
Bendras antros eilės LDDE sprendimas su pastoviais koeficientais y ieškomas atitinkamo LDDE bendrojo sprendinio sumos pavidalu 
ir ypatingas originalo sprendimas nehomogeninė lygtis, tai yra,. Ankstesnė pastraipa skirta rasti bendrą homogeninės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą. O konkretų sprendimą lemia arba metodas neapibrėžti koeficientai adresu tam tikra forma funkcija f(x) dešinėje pusėje pradinė lygtis, arba savavališkų konstantų keitimo metodu.
Pateikiame antros eilės LDDE su pastoviais koeficientais pavyzdžius 
Suprasti teoriją ir susipažinti detalūs sprendimai Siūlome jums pavyzdžius antros eilės tiesinių nevienalyčių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais puslapyje.
Tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys (LODE) 
ir antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys (LNDE).
Ypatingas tokio tipo diferencialinių lygčių atvejis yra LODE ir LDDE su pastoviais koeficientais.
Bendras LODE sprendinys tam tikrame segmente pavaizduotas dviejų tiesiškai nepriklausomų šios lygties dalinių sprendinių y 1 ir y 2 tiesine kombinacija, ty 
.
Pagrindinis sunkumas susideda būtent iš tiesiškai nepriklausomų dalinių šio tipo diferencialinės lygties sprendimų. Paprastai pasirenkami tam tikri sprendimai toliau nurodytos sistemos tiesiškai nepriklausomos funkcijos: 
Tačiau konkretūs sprendimai ne visada pateikiami tokia forma.
LOD pavyzdys yra 
.
Bendras LDDE sprendimas ieškomas formoje , kur yra atitinkamo LDDE bendras sprendimas ir yra konkretus pradinės diferencialinės lygties sprendimas. Mes ką tik kalbėjome apie jo radimą, tačiau jį galima nustatyti naudojant savavališkų konstantų keitimo metodą.
Galima pateikti LNDU pavyzdį 
.
Aukštesnių laipsnių diferencialinės lygtys.
Diferencialinės lygtys, leidžiančios sumažinti eilę.
Diferencialinės lygties tvarka 
, kurioje nėra norimos funkcijos ir jos išvestinių iki k-1 eilės, galima sumažinti iki n-k pakeičiant .
Tokiu atveju pradinė diferencialinė lygtis bus sumažinta iki . Radus jos sprendimą p(x), belieka grįžti prie pakeitimo ir nustatyti nežinomą funkciją y.
Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis 
po pakeitimo ji taps lygtimi su atskiriamais kintamaisiais, o jos tvarka bus sumažinta iš trečios į pirmą.
Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė
Žemės ūkio akademija“
skyrius aukštoji matematika
PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS
Paskaitų konspektas buhalterinės apskaitos studentams
neakivaizdinė mokymo forma (NISPO)
Gorkis, 2013 m
Pirmosios eilės diferencialinės lygtys
Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specialieji sprendimai
Studijuojant įvairūs reiškiniai Dažnai nepavyksta rasti dėsnio, kuris tiesiogiai susieja nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau įmanoma nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos išvestinių.
Vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos išvestinius diferencialinė lygtis :
Čia x- nepriklausomas kintamasis, y– reikalinga funkcija, 
- norimos funkcijos dariniai. Šiuo atveju ryšys (1) turi turėti bent vieną išvestinę.
Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įtrauktos į lygtį, tvarka.
Apsvarstykite diferencialinę lygtį
.
(2)
Kadangi ši lygtis apima tik pirmos eilės išvestinę, ji vadinama yra pirmos eilės diferencialinė lygtis.
Jei (2) lygtis gali būti išspręsta išvestinės atžvilgiu ir užrašoma forma
,
(3)
tada tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi normaliąja forma.
Daugeliu atvejų patartina atsižvelgti į formos lygtį
kuris vadinamas pirmos eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.
Nes 
, tada (3) lygtį galima parašyti forma 
arba 
, kur galime suskaičiuoti 
Ir 
. Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama lygtimi (4).
Parašykime (4) lygtį į formą 
. Tada 
,
,
, kur galime suskaičiuoti 
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.
Diferencialinės lygties sprendimas
(2) arba (3) vadinama bet kokia funkcija 
, kuri, pakeitus ją į (2) arba (3) lygtį, paverčia ją tapatybe:
arba 
.
Visų diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas jo integracija
, ir sprendimo grafikas 
vadinama diferencialinė lygtis integralinė kreivė
šią lygtį.
Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas numanoma forma 
, tada jis vadinamas integralas
šios diferencialinės lygties.
Bendras sprendimas
pirmos eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima 
, priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekvienas yra bet kurios diferencialinės lygties sprendimas priimtina vertė savavališka konstanta SU. Taigi diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių.
Privatus sprendimas
diferencialinė lygtis yra sprendinys, gautas iš bendrosios sprendinių formulės tam tikrai savavališkos konstantos reikšmei SU, įskaitant 
.
Koši ir jos problema geometrinė interpretacija
(2) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Norint iš šio rinkinio pasirinkti vieną sprendimą, kuris vadinamas privačiu, reikia nustatyti keletą papildomų sąlygų.
Problema rasti konkretų (2) lygties sprendimą duotomis sąlygomis paskambino Cauchy problema . Ši problema yra viena iš svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.
Koši problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendinių raskite tokį sprendimą
, kurioje funkcija 
paima nurodytą skaitinę reikšmę 
, jei nepriklausomas kintamasis
x
paima nurodytą skaitinę reikšmę 
, t.y.
,
,
(5)
Kur D– funkcijos apibrėžimo sritis 
.
Reikšmė 
paskambino pradinė funkcijos reikšmė
, A
– pradinė nepriklausomo kintamojo reikšmė
. Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė
arba Kauchinė būklė
.
Geometriniu požiūriu diferencialinės lygties (2) Koši uždavinys gali būti suformuluotas taip: iš lygties (2) integralinių kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką 
.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais
Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:
.
(6)
Atsižvelgiant į tai 
, rašome lygtį formoje 
arba 
. Integravę abi paskutinės lygties puses, gauname: 
arba
.
(7)
Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.
1 pavyzdys
. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą 
.
Sprendimas
. Parašykime lygtį į formą 
arba 
. Integruokime abi gautos lygties puses: 
,
. Pagaliau užsirašysime 
.
2 pavyzdys
. Raskite lygties sprendimą 
atsižvelgiant į tai 
.
Sprendimas
. Raskime bendrą lygties sprendimą: 
,
,
,
. Pagal sąlygą 
,
. Pakeiskime bendrą sprendimą: 
arba 
. Rastą savavališkos konstantos reikšmę pakeičiame į bendro sprendimo formulę: 
. Tai yra tam tikras diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis nurodytą sąlygą.
Lygtis
(8)
Skambino pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo
. Parašykime tai formoje 
arba 
. Integruokime abi paskutinės lygties puses: 
arba 
- bendrasis (8) lygties sprendinys.
Pavyzdys
. Raskite bendrąjį lygties sprendimą 
.
Sprendimas
. Parašykime šią lygtį tokia forma: 
arba 
. Tada 
,
,
,
. Taigi, 
yra šios lygties bendrasis sprendinys.
Formos lygtis
(9)
integruoja naudojant kintamųjų atskyrimą. Norėdami tai padaryti, rašome lygtį formoje 
, o tada, naudodami daugybos ir dalybos operacijas, pateikiame ją į tokią formą, kad viena dalis apima tik funkciją X ir diferencialas dx, o antroje dalyje – funkcija adresu ir diferencialas dy. Norėdami tai padaryti, abi lygties puses reikia padauginti iš dx ir padalinti iš 
. Dėl to gauname lygtį
,
(10)
kuriame kintamieji X Ir adresu atskirtas. Integruokime abi (10) lygties puses: 
. Gautas ryšys yra (9) lygties bendrasis integralas.
3 pavyzdys
. Integruoti lygtį 
.
Sprendimas
. Transformuokime lygtį ir atskirkime kintamuosius: 
,
. Integruokime: 
,
arba yra šios lygties bendrasis integralas. 
.
Tegu lygtis pateikiama forma
Ši lygtis vadinama pirmos eilės diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma.
Norėdami atskirti kintamuosius, turite padalyti abi lygties puses iš 
:
.
(12)
Gauta lygtis vadinama atskirta diferencialinė lygtis . Integruokime (12) lygtį:
.
(13)
Ryšys (13) yra bendrasis diferencialinės lygties (11) integralas.
4 pavyzdys . Integruokite diferencialinę lygtį.
Sprendimas . Parašykime lygtį į formą
ir padalykite abi dalis iš 
,
. Gauta lygtis: 
yra atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime:
,
,
,
. Paskutinė lygybė yra šios diferencialinės lygties bendrasis integralas.
5 pavyzdys
. Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą 
, atitinkančią sąlygą 
.
Sprendimas
. Atsižvelgiant į tai 
, rašome lygtį formoje 
arba 
. Atskirkime kintamuosius: 
. Integruokime šią lygtį: 
,
,
. Gautas ryšys yra bendrasis šios lygties integralas. Pagal sąlygą 
. Pakeiskime jį į bendrąjį integralą ir raskime SU:
,SU=1. Tada išraiška 
yra duotosios diferencialinės lygties dalinis sprendinys, parašytas kaip dalinis integralas.
Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys
Lygtis
(14)
paskambino pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis
. Nežinoma funkcija 
ir jo išvestinė į šią lygtį patenka tiesiškai, o funkcijos 
Ir 
tęstinis.
Jeigu 
, tada lygtis
(15)
paskambino linijinis vienalytis
. Jeigu 
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nehomogeniškas
.
Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamasi pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.
Ieškosime (14) lygties sprendinio dviejų funkcijų sandaugos pavidalu
,
(16)
Kur 
Ir 
- kai kurie nuolatinės funkcijos. Pakeiskime 
ir išvestinė 
į (14) lygtį:
Funkcija v parinksime taip, kad sąlyga būtų patenkinta 
. 
Tada
. Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą 
,
,
,
,
Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir gali būti išspręsta kintamųjų atskyrimo metodu: 
. Kaip funkcija SU=1:
galite paimti vieną iš homogeninės lygties dalinių sprendinių, t.y. adresu 
arba 
. Pakeiskime antrąją sistemos lygtį: 
.Tada 
.
. Taigi, bendrasis pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą
6 pavyzdys 
.
Sprendimas
. Išspręskite lygtį 
. Tada 
. Formoje ieškosime lygties sprendimo
arba 
. Pakeiskime į lygtį: v. Funkcija 
. Tada 
pasirinkti taip, kad galiotų lygybė 
,
,
,
,
. Pakeiskime į lygtį: v. Išspręskime pirmąją iš šių lygčių naudodami kintamųjų atskyrimo metodą: 
,
,
,
Pakeiskime antrąją lygtį: 
.
. Bendras šios lygties sprendimas yra
Žinių savikontrolės klausimai
Kas yra diferencialinė lygtis?
Kokia yra diferencialinės lygties tvarka?
Kuri diferencialinė lygtis vadinama pirmos eilės diferencialine lygtimi?
Kaip pirmos eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencine forma?
Koks yra diferencialinės lygties sprendimas?
Kas yra integralinė kreivė?
Koks yra bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas?
Kas vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu?
Kaip suformuluota Koši problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?
Kaip parašyti diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma?
Kuri lygtis vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi?
Kokiu būdu galima išspręsti pirmos eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia šio metodo esmė?
Savarankiško darbo užduotys
Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
A) 
; 
;
b) 
V) 
.
;
A) 
; 
G) 
;
2. Išspręskite pirmos eilės tiesines diferencialines lygtis: 
; 
.
V)
G)
;
d) Diferencialinė lygtis (DE)
- tai lygtis, kur yra nepriklausomi kintamieji, y yra funkcija ir yra dalinės išvestinės.
Paprastoji diferencialinė lygtis
yra diferencialinė lygtis, turinti tik vieną nepriklausomą kintamąjį, . Dalinė diferencialinė lygtis
yra diferencialinė lygtis, turinti du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.
Žodžių „įprasta“ ir „daliniai dariniai“ galima praleisti, jei aišku, kokia lygtis nagrinėjama. Toliau nagrinėjamos įprastos diferencialinės lygtys. Diferencialinės lygties tvarka:
yra aukščiausios išvestinės eilės tvarka.
Štai pirmosios eilės lygties pavyzdys:
Čia yra lygties pavyzdys
.
ketvirta tvarka
.
Kartais pirmosios eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencialais:
Šiuo atveju kintamieji x ir y yra lygūs. Tai yra, nepriklausomas kintamasis gali būti x arba y. Pirmuoju atveju y yra x funkcija. Antruoju atveju x yra y funkcija.
- Jei reikia, šią lygtį galime sumažinti iki formos, kuri aiškiai apima išvestinę y′.
Padalinę šią lygtį iš dx gauname: Nuo ir , iš to išplaukia Diferencialinių lygčių sprendimas Dariniai iš
- elementarios funkcijos išreiškiami elementariomis funkcijomis. Elementariųjų funkcijų integralai dažnai neišreiškiami elementariomis funkcijomis. Su diferencialinėmis lygtimis situacija dar blogesnė. Dėl sprendimo galite gauti: aiški funkcijos priklausomybė nuo kintamojo;
Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y = u
- (x)
, kuris yra apibrėžtas, n kartų diferencijuotas ir . numanoma priklausomybė Φ tipo lygties forma
- sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis.
Kadangi diferencialinių lygčių sprendimas priklauso nuo integralų skaičiavimo, sprendinys apima aibę konstantų C 1, C 2, C 3, ... C n. Konstantų skaičius lygus lygties tvarkai. Diferencialinės lygties dalinis integralas yra bendrasis integralas at duotomis vertybėmis
konstantos C 1, C 2, C 3, ..., C n.
Naudota literatūra:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m. Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo ir jo funkciją dariniai (arba diferencialai
) įvairių užsakymų. Diferencialinės lygties tvarka
vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka. Be įprastų, diferencialinės lygtys su daliniai dariniai . Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys
ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:
(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės. Diferencialinė lygtis n Diferencialinė lygtis eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki
-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškių tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.
Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis. Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x)
, pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe. integracija.
Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo 1 pavyzdys.
Raskite diferencialinės lygties sprendimą. Sprendimas. Užsirašykime duota lygtis pavidalu. Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinis skaičiavimas
, yra skirtas antidarinys, t.y. Štai viskas šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje, gausime skirtingus sprendimus. Sužinojome, kad yra begalinis rinkinys pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendiniai.
Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas Diferencialinė lygtis eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis Diferencialinė lygtis nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.
1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.
Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.
2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą 
.
Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.
,
.
Dėl to gavome bendrą sprendimą -
pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.
Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite
.
Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrąjį lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę . Keistis joje, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas . Keistis joje. Tai yra Koši problemos sprendimas.
3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto iki .
Sprendimas. Pakeiskime reikšmes iš pradinė būklė y = 3, x= 1. Gauname
Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:
Spręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų įgūdžių integracija ir paėmus dariniai, įskaitant sudėtingos funkcijos. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.
4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.
Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.
.
Taikome integravimo metodą kintamasis pakeitimas (pakeitimas). Tebūnie tada.
Privaloma paimti dx o dabar - demesio - darome pagal taisykles atskirti sudėtingą funkciją, nes x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):
Mes randame integralą:
Grįžtant prie kintamojo x, gauname:
.
Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.
Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinių, t. mokyklinė matematika. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.
