D U aukštesnių užsakymų
Kaip jau minėjome, diferencialinėse lygtyse gali būti įvairių eilių išvestinių.
Tokios diferencialinės lygtys turi sprendinius, kuriuose yra tiek daug savavališkų integravimo konstantų → kokia tvarka diferencialinė lygtis, t.y. 2 eilės diferencialinei lygčiai bus dvi savavališkos konstantos C1 ir C2, 3 eilės – →C1, C2 ir C3 ir kt.
Taigi bendras sprendimas ( bendrasis integralas) tokia diferencialinė lygtis turės funkciją
.
Norint gauti konkretų tokių diferencialinių lygčių sprendimą, reikia nustatyti tiek pradinių sąlygų, kiek yra diferencialinės lygties tvarka, arba kiek savavališkų konstantų gaunama bendrame sprendime.
D U in pilni diferencialai. Integruojantis veiksnys
Formos diferencialinė lygtis vadinama diferencialine lygtimi visuminiuose diferencialuose, jei ji kairėje pusėje yra bendras kai kurių skirtumas sklandi funkcija, t.y. Jeigu 
, 
. Būtinas ir pakankama būklė kad tokia funkcija egzistuotų, turi tokią formą: 
Norėdami išspręsti diferencialinę lygtį bendruose diferencialuose, turite rasti funkciją. Tada bendras diferencialinės lygties sprendimas gali būti parašytas savavališkos konstantos C forma.
Diferencialinės lygties integravimo koeficientas
vadinama tokia funkcija, kurią padauginus diferencialinė lygtis virsta lygtimi suminiuose diferencialuose. Jei funkcijos M ir N lygtyje turi ištisines dalines išvestines ir neišnyksta vienu metu, tada egzistuoja integruojantis veiksnys. Tačiau bendras metodas niekaip nerasi.
Struktūra bendras sprendimas LNDU
Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- kad ir kas tai būtų pradžios taškas(x0, y0, ) , x0∈, yra reikšmės C1 =C10, ..., Cn = Cn0, kad funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) tenkintų pradines sąlygas y( x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .
Sąžininga kitas pareiškimas(teorema apie tiesinio bendrojo sprendinio struktūrą Ne vienalytė lygtis).
Jei visi tiesinės vienalytės diferencialinės lygties lygties koeficientai yra tolydūs intervale , o funkcijos y1(x), y2(x),..., yn(x) sudaro atitinkamos vienalytės lygties sprendinių sistemą , tada bendras nehomogeninės lygties sprendinys turi formą
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
kur C1,...,Cn yra savavališkos konstantos, y*(x) yra tam tikras nehomogeninės lygties sprendinys.
LNDU 2 eilės
Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys.
Formos y" + py" + qy = f(x) lygtis, kur p ir q - realūs skaičiai, f(x) – nuolatinė funkcija, vadinama antros eilės tiesine nehomogenine lygtimi su pastovūs koeficientai.
Bendrasis lygties sprendinys yra nehomogeninės lygties konkretaus sprendinio ir atitinkamos vienarūšės lygties bendrojo sprendinio suma. Ištirtas bendras homogeninės lygties sprendinio radimas. Norėdami rasti konkretų sprendimą, naudojame metodą neapibrėžti koeficientai, kuriame nėra integravimo proceso.
Pasvarstykime įvairių tipų dešinės lygties y" + py" + qy = f(x) pusės.
1) Dešinė pusė turi formą F(x) = Pn(x), kur Pn(x) yra n laipsnio daugianario. Tada galima ieškoti konkretaus y sprendimo tokia forma, kur Qn (x) yra tokio pat laipsnio kaip Pn (x) daugianario, o r yra šaknų skaičius. charakteristikos lygtis, lygus nuliui.
Pavyzdys. Raskite lygties y" – 2y" + y = x+1 bendrąjį sprendinį.
Sprendimas: Atitinkamos vienalytės lygties bendrasis sprendinys turi formą Y = ex (C1 + C2x). Kadangi nė viena iš charakteristikų lygties šaknų k2 – 2k + 1 = 0 lygus nuliui(k1 = k2 = 1), tada ieškome konkretaus sprendinio formoje, kur A ir B yra nežinomi koeficientai. Diferencijuodami du kartus ir pakeitę " ir " į šią lygtį, randame –2A + Ax + B = x + 1.
Sulyginus koeficientus ties vienodi laipsniai x abiejose lygybės pusėse: A = 1, –2A + B = 1, – randame A = 1, B = 3. Taigi, tam tikras sprendimas duota lygtis turi formą = x + 3, o jo bendrasis sprendimas yra y = ex (C1 + C2x) + x + Z.
2) Dešinė pusė turi formą f(x) = eax Pn(x), kur Рn (x) yra n laipsnio daugianario. Tada reikia ieškoti konkretaus sprendimo tokia forma, kur Qn(x) yra to paties laipsnio daugianomas kaip Pn (x), o r yra būdingosios lygties šaknų skaičius, lygus a. Jei a = 0, tai f(x) = Pn (x), t.y., įvyksta 1 atvejis.
LOD su pastoviais koeficientais.
Apsvarstykite diferencialinę lygtį
kur tikrosios konstantos.
Norėdami rasti bendrą (8) lygties sprendimą, darome tai. Sudarome (8) lygties charakteristikų lygtį: (9)
Leisti būti (9) lygties šaknimis, o tarp jų gali būti kartotiniai. Galimi šie atvejai:
a) – tikras ir kitoks. Bendrasis homogeninės lygties sprendinys bus ;
b) charakteristikos lygties šaknys yra tikrosios, bet tarp jų yra kartotinių, t.y. , tada bus bendras sprendimas
c) jei charakteristikos lygties šaknys yra kompleksinės (k=a±bi), tai bendrasis sprendinys turi formą .
Bendra struktūra 2 eilės LDE sprendimai
Apsvarstykite tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Bendras šios lygties sprendinys intervale yra funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn), priklausomai nuo n savavališkų konstantų C1,..., Cn ir tenkinanti šias sąlygas:
− bet kokiam priimtinos vertės konstantų C1,..., Cn funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) yra lygties on sprendinys;
− kad ir koks būtų pradinis taškas (x0, y0, ) , x0∈ , yra reikšmės C1 =C10 , ..., Cn = Cn0, kurias tenkina funkcija y = Φ(x, C10 , ..., Cn0). pradinės sąlygos y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Tokios lygties bendrojo sprendinio struktūra nustatoma pagal tokią teoremą.
1 teorema. Bendrasis nehomogeninės lygties (1) sprendinys pavaizduotas kaip kurio nors konkretaus šios lygties sprendinio suma m val o atitinkamos homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Įrodymas. Turime įrodyti, kad suma (3)
Yra bendras (1) lygties sprendimas.
Pirmiausia įrodykime, kad funkcija (3) yra (1) lygties sprendimas. Vietoj to pakeičiama adresu(1) lygties suma bus tokia:
Kadangi – yra (2) lygties sprendimas, (4) lygties pirmuosiuose skliaustuose esanti išraiška yra identiška nuliui. Nes m val yra (1) lygties sprendimas, tada antrajame skliaustelyje (4) esanti išraiška yra lygi f(x). Todėl lygybė (4) yra tapatybė. Taigi pirmoji teoremos dalis yra įrodyta.
Dabar įrodykime, kad (3) išraiška yra bendras (1) lygties sprendimas, t.y. Įrodykime, kad į jį įtrauktas savavališkas konstantas galima pasirinkti taip pradines sąlygas (5)
kad ir kokie būtų skaičiai x 0, y 0, ir (jei tik sritys, kuriose veikia a 1, a 2 Ir f(x) tęstinis).
Pastebėję, kad galime tai reprezentuoti kaip 
, Kur y 1 , y 2 tiesiškai nepriklausomi (2) lygties sprendiniai ir C 1 Ir C 2 yra savavališkos konstantos, lygybę (3) galime perrašyti į formą . Tada, remiantis sąlyga (5), turėsime sistemą
.
Iš šios lygčių sistemos būtina nustatyti C 1 Ir C 2. Perrašykime sistemą į formą
(6)
Sistemos determinantas 
– sprendimams yra Vronskio determinantas 1 val Ir 2 val taške. Kadangi šios funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos pagal sąlygą, Wronskio determinantas nėra lygus nuliui, todėl sistema (6) turi vienintelis sprendimas C 1 Ir C 2, t.y. yra tokios reikšmės C 1 Ir C 2 pagal kurią (3) formulė nustato (1) lygties sprendinį, tenkinantį pateiktas pradines sąlygas.
Taigi, jei yra žinomas bendras homogeninės lygties (2) sprendinys, tai pagrindinė užduotis integruojant nehomogeninę lygtį (1) yra rasti bet kurį konkretų sprendimą. m val.
Tiesinės nehomogeninės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais ir dešine puse specialus tipas. Neapibrėžtų koeficientų metodas.
Kartais galima rasti paprastesnį sprendimą ir nesiimant integracijos. Tai vyksta ypatingi atvejai kai funkcija f(x) turi ypatingą išvaizdą.
Turėkime lygtį , (1)
Kur p Ir q realieji skaičiai ir f(x) turi ypatingą išvaizdą. Panagrinėkime keletą tokių (1) lygties galimybių.
Leiskite dešinėje pusėje(1) lygtis yra sandauga eksponentinė funkcijaį daugianarį, t.y. atrodo kaip 
, (2)
kur yra n-ojo laipsnio daugianario. Tada galimi šie atvejai:
a) skaičius - nėra šaknis charakteristikos lygtis 
.
Šiuo atveju konkretaus sprendimo reikia ieškoti formoje (3)
tie. taip pat daugianario pavidalu n- laipsnis, kur A 0, A 1,…, A n nustatomi koeficientai.
Norėdami juos nustatyti, randame išvestinius ir .
Pakeičiant m val, ir į (1) lygtį ir sumažinę abi puses koeficientu, turėsime:
Čia yra n-ojo laipsnio daugianario, – (n-1) laipsnio daugianario ir – (n-2) laipsnio daugianario.
Taigi lygybės ženklo kairėje ir dešinėje yra daugianariai n-tas laipsnis. Koeficientų prilyginimas tais pačiais laipsniais X(nežinomų koeficientų skaičius lygus ), gauname lygčių sistemą koeficientams nustatyti A 0, A 1, ..., A n.
jei (1) lygties dešinioji pusė yra tokia:
Tiesinei nehomogeninei diferencialinei lygčiai n- pirmas užsakymas
y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),
Kur y = y(x) – Ne žinoma funkcija, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) – žinomas, tęstinis, sąžininga:
1) jei y 1(x) Ir y 2(x) yra du nehomogeninės lygties sprendiniai, tada funkcija
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - atitinkamos vienalytės lygties sprendimas;
2) jei y 1(x) nehomogeninės lygties sprendimas ir y 2(x) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendinys, tada funkcija
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - nehomogeninės lygties sprendimas;
3) jei y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n linijinis savarankiški sprendimai vienalytė lygtis ir ych(x) - savavališkas sprendimas nehomogeninė lygtis,
tada bet kokiam pradines vertes
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Išraiška
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
paskambino bendras sprendimas tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis n– įsakymas.
Rasti nehomogeninių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais dalinius sprendinius su dešiniosiomis formos pusėmis:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)nuodėmė ( bx),
Kur Pk(x), Q m(x) – laipsnio daugianariai k Ir m Atitinkamai yra paprastas konkretaus sprendimo konstravimo algoritmas, vadinamas atrankos metodas.
Pasirinkimo metodas arba neapibrėžtų koeficientų metodas yra toks.
Reikalingas lygties sprendimas parašytas taip:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + QR(x)exp(a x)nuodėmė ( bx))xs,
Kur Pr(x), QR(x) – laipsnio daugianariai r= max ( k, m) Su nežinomas koeficientai
pr , pr- 1, ..., p 1, p 0, qr, QR- 1, ..., q 1, q 0.
Taigi, Norint rasti bendrą tiesinės nevienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą, reikėtų
rasti bendrą atitinkamos vienarūšės lygties sprendinį (parašykite charakteristikos lygtį, suraskite visas charakteristikos lygties šaknis l 1, l 2, ... , ln, užsirašyk pagrindinė sistema sprendimus y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
rasti kokį nors konkretų nehomogeninės lygties sprendimą ych(x);
užrašykite bendrojo sprendimo išraišką
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
Tiesinės nehomogeninės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais su specialia dešine puse. Neapibrėžtų koeficientų metodas.
(1) formos diferencialinė lygtis
kur , f yra žinoma funkcija, vadinama n-osios eilės tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais koeficientais. Jei , tai lygtis (1) vadinama vienalyte, kitaip - nehomogeniška.
Tiesinėms nehomogeninėms lygtims su pastoviais koeficientais ir specialios formos dešiniąja puse, būtent, susidedančiomis iš sumų ir funkcijų sandaugų, konkretaus sprendimo galima ieškoti neapibrėžtųjų koeficientų metodu. Konkretaus sprendimo tipas priklauso nuo būdingos lygties šaknų. Žemiau pateikiama tiesinės nehomogeninės lygties su specialia dešine puse dalinių sprendinių tipų lentelė.
Sudėtinga plokštuma. Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas. Pagrindinė argumento prasmė. Geometrinė reikšmė
Sudėtiniai skaičiai rašomi tokia forma: a+ bi. Čia a ir b yra tikrieji skaičiai, o i yra įsivaizduojamas vienetas, t.y. i 2 = –1. Skaičius a vadinamas abscisėmis, o b yra kompleksinio skaičiaus a+ bi ordinatė. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi ir a – bi vadinami konjuguotais kompleksiniais skaičiais.
Geometrinis vaizdavimas kompleksiniai skaičiai. Realūs skaičiai yra pavaizduoti taškais skaičių eilutėje:
Čia taškas A reiškia skaičių –3, taškas B – skaičių 2, o O – nulį. Priešingai, kompleksiniai skaičiai žymimi taškais koordinačių plokštuma. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičius a+ bi bus pavaizduotas tašku P su abscise a ir ordinate b (žr. pav.). Ši koordinačių sistema vadinama kompleksine plokštuma.
Kompleksinio skaičiaus modulis yra vektoriaus OP, vaizduojančio kompleksinį skaičių koordinačių (sudėtingoje) plokštumoje, ilgis. Kompleksinio skaičiaus a+ bi modulis žymimas | a+ bi | arba raidė r ir yra lygi:
Konjuguoti kompleksiniai skaičiai turi tą patį modulį. __
Kompleksinio skaičiaus argumentas yra kampas tarp ašies OX ir vektoriaus OP, vaizduojančio šį kompleksinį skaičių. Vadinasi, įdegis = b/a.
