Tema:Lygtis. Lygčių sprendimas, pagrįstas sudėjimo ir atimties veiksmų ryšiu. Nežinomas terminas.
Pamokos tikslas: ugdyti gebėjimą spręsti lygtis su nežinomas terminas remiantis sudėjimo ir atėmimo veiksmų ryšiu; dešimčių sudėties ir atėmimo įgūdžių ugdymas; žinių apie geometrines figūras; ugdyti susidomėjimą matematika.
Pamokos eiga
2.Atnaujinimas pagrindines žinias, įgūdžius ir gebėjimus.
1. Žaidimas „Parodyk ženklą“. Mokytojas skaito problemas:
Nusipirkau 10 vokų be pašto ženklų. Antspaudus įklijavau ant 4 vokų. Kiek vokų liko be pašto ženklų?
Albume yra 8 spalvotos nuotraukos ir 3 mažiau nespalvotos nuotraukos. Kiek nespalvotų nuotraukų yra albume?
Surinkome 7 skardines aviečių ir 3 skardines serbentų. Kiek stiklainių uogų surinkote?
Puokštėje yra 5 geltoni ir 8 balti gvazdikai. Kiek geltonų gvazdikų mažiau?
Dėžutėje yra 8 pyragaičiai. Kiek pyragų reikia paimti iš dėžutės, kad joje liktų 5 pyragaičiai?
4 vaikinai paliko čiuožyklą, likę 6 toliau čiuožė. Kiek berniukų iš pradžių buvo čiuožykloje?
2. Kortelėse tarp įrašų raskite lygtis ir pabraukite jas viena eilute (palei liniuotę). Ant kortelių yra užrašas.
4 + 5 = 9 7 – a = 3 6 + b x 4 4 + y = 6
3. Raskite kiekvienos lygties sprendimą. Užsirašyk.
7 + x = 9 8 – y = 2 3 + a = 9
3.Naujos medžiagos mokymasis.
P pasirengimas naujos medžiagos mokytojo suvokimui
Padarykite keturis pavyzdžius.
50 + 40 = 90 90 - 40 = 50
40 + 50 = 90 90 - 50 = 40
Tada išspręskite lygtis.
50 + x = 90 x + 40 = 90
X=90–50 x= 90–40
X = 40 x=50_____
50+40=90 50+40=90
Galima rasti lygties šaknį arba pasinaudoti žiniomis apie sudėjimo ir atimties ryšį. Reikia patikrinti lygties sprendimą. Jei iš sumos atimsite vieną terminą, gausite kitą.
4. Konsolidavimas
Z2 užduotis sąsiuviniuose. Išspręskite lygtis ir patikrinkite.
4 užduotis p 187. kokias figūras matote paveikslėlyje? Kurie susikerta?
5.Dirbti sąsiuvinyje. Nuo 23
3 užduotis. problemos sprendimas komentuojant iš vietos
6. Darbas metodine tema. skirtas vystymuisi loginis mąstymas. Išmokyti statyti loginiai teiginiai.
4 užduotis nuo 24
5 užduotis. 187 p. Kuri dovana sunkesnė? Kuris lengvesnis?
7. Namų darbai nuo 23 z 1 8. Pamokos santrauka
80-81 pamoka. Tema: „Lygčių sprendimas“
Tikslai: išmokti spręsti lygtis su nežinomais terminais; pakartokite ilgio vienetų santykį; įtvirtinti skaičiavimo įgūdžius stulpelyje; ugdyti argumentavimo ir loginio mąstymo įgūdžius.
Planuojami rezultatai: mokiniai mokysis spręsti lygtis, kad surastų nežinomą terminą; atlikti skaičiavimus raštu, naudojant išmoktas technikas; suprasti sėkmės/nesėkmės priežastis švietėjiška veikla.
Pamokos eiga
aš . Organizacinis momentas
II . Žinių atnaujinimas
Matematinis diktantas
1. Kiek 67 yra mažiau nei 89? (22 val.)
2. Iš 7 dešimčių atimkite 4 dešimtis. (30.)
3. Padidinkite 23 32. (55.)
4. Kokį skaičių sumažinau 27 ir gavau 23? (50.)
5. Kiek turėtumėte padidinti 43, kad gautumėte 70? (27 d.)
6. Iš skaičių 9 ir 6 sumos atimkite 10. (5.)
7. Kokį skaičių reikia atimti iš 64, kad gautume 37? (27.)
8. Prie kokio skaičiaus pridėjote 0 ir gavote 44? (44.)
9. Prie 21 pridėkite skirtumą tarp skaičių 14 ir 6. (29.) 10. Skaičių 33, 16,4 ir 27 suma. (80.)
(Patikrinkite. Įsivertinimas.)
III . Apsisprendimas veiklai
Padarykite dar tris pavyzdžius naudodami šį pavyzdį. 6 + 4 = 10
(Mokytojas lentoje užrašo pavyzdžius.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4
Kokią taisyklę taikėte kurdami perdangos pavyzdį? (Pertvarkant sąlygas suma nesikeičia.)
Kokią taisyklę taikėte kurdami atimties pavyzdį? (Jei iš sumos atimsite vieną terminą, gausite kitą.)
- Norėdami sužinoti pamokos temą, spręskite kryžiažodį.
1. Jie yra skaitiniai ir abėcėliniai. (Išraiškos.)
2. Sudėti skaičiai yra vadinami. (Papildymai.)
3. Skaičius, iš kurio jis atimamas. (Minuendas.)
4. Matematikos ženklas atimti. (Minusas.)
5. Lygybė, kurioje yra nežinomas numeris. (Lygtis.)
6. Figūros kraštinių ilgių suma. (Perimetras.)
7. Išraiška su pliuso ženklu. (Suma.)
8. Įrašas, kuriame yra lygybės ženklas. (Lygybė.)
9. Mažiausiai dviženklis skaičius. (Dešimt.) 10. lotyniška raidė. (X.)
Kas atsitiko paryškintoje eilutėje? (Spręskite lygtis.)
Pamokos tema: „Spręsti lygtis su nežinomu terminu“. Kokias užduotis išsikelsime sau?
IV . Darbas pamokos tema
1. Dirbti pagal vadovėlį
Pažiūrėkite į domino kauliukus p. Šalia įrašyti 7 vadovėliai ir pavyzdžiai. Kaip gaunami atimties pavyzdžiai? Kokią taisyklę naudojote juos sudarydami? Užbaikite išvadą. ( Norėdami rasti nežinomą terminą, iš sumos turite atimti žinomą terminą.)
№ 1 (7 p.).(Žodinis pasirodymas.)
№2 (7 p.).(Kolektyvus vykdymas su išsamus paaiškinimas.)
2. Nepriklausomas sprendimas lygtys
1 variantas 2 variantas
x + 45 = 92 75 + x = 81
26 + x = 50 x + 22 = 70
(Du mokiniai surašo sprendimą ant apverčiamos lentos. Patikrinkite. Įsivertinimas.)
Sprendimas:
x + 45 = 92 75 + x = 81
x = 92-45 x = 81-75
x = 47 X= 6
26 + x = 50 x + 22 = 70
x = 50 – 26 x = 70 - 22
3. Dirbti pagal vadovėlį
№3 (7 p.).(Žodinis pasirodymas.)
№4 (p. 7). (Savęs vykdymas Turintiems sunkumų mokytojas duoda pagalbos kortelę su sprendimo programa.) 1) Kiek stiklinių aviečių surinko sesuo?
2) Kiek stiklinių aviečių surinkote kartu (Patikrinkite. Įsivertinimas.)
V . Kūno kultūros minutė
Aš einu, o tu eini – vienas, du, trys. (Žingsniai vietoje.)
Aš dainuoju, o tu dainuoji – vienas, du, trys. (Suplokite rankomis.)
Einame ir dainuojame – vienas, du, trys. (Šoka į vietą.)
Gyvename labai draugiškai – vienas, du, trys. (Žingsniai vietoje.)
VI . Sustiprinti išmoktą medžiagą
Darbas iš vadovėlioNr.1 (b. l. 14).
Kokius ilgio vienetus žinai?
Kiek milimetrų yra 1 cm? (Nepriklausomas vykdymas. Patikrinkite.) Sprendimas:
5 cm 3 mm = 53 mm
3 cm 8 mm = 38 mmNr.2 (b. l. 14).
(Nepriklausomas vykdymas. Patikrinkite.)
1) Sprendimas:
AB = 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;
5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.
Atsakymas: segmento ilgis CD 2 cm daugiau nei segmento ilgis AB.
2) Sprendimas: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. Nr.3 (b. l. 14).
(Nepriklausomas įgyvendinimas. Tikrinimas. Įsivertinimas.)
Sprendimas:
2 cm = 20 mm
4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm
4 cm 5 mm < 5 cm
VII . Atspindys
(„Išbandyk save“ (vadovėlis, p. 7). Savarankiškas įgyvendinimas. Testas.)
Sprendimas: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20
VIII . Apibendrinant pamoką
Kokias lygtis šiandien prisiminėte?
Kaip rasti nežinomą terminą?
Kam reikia pagalbos?
Namų darbai: Darbo knyga: Nr.10, 11 (p. 6).
§ 1 Kaip rasti nežinomą terminą
Kaip rasti lygties šaknį, jei vienas iš terminų nežinomas? Šioje pamokoje apžvelgsime lygčių sprendimo metodą, pagrįstą ryšiu tarp terminų ir sumos vertės.
Išspręskime šią problemą.
Gėlyne augo 6 raudonos ir 3 geltonos tulpės. Kiek tulpių buvo gėlyne? Užrašykime sprendimą. Taigi, užaugo 6 raudonos ir 3 geltonos tulpės, todėl galime rašyti išraišką 6 + 3, atlikus papildymą gauname rezultatą - gėlyne užaugo 9 tulpės.
Užrašykime sprendimą. Taigi, užaugo 6 raudonos ir 3 geltonos tulpės, todėl galime rašyti išraišką 6 + 3, atlikus papildymą gauname rezultatą - gėlyne užaugo 9 tulpės. 6 + 3 = 9.
Pakeiskime problemos sąlygą. Gėlyne augo 9 tulpės, 6 nuskintos. Kiek tulpių liko?
Norint sužinoti, kiek tulpių liko gėlyne, reikia bendras skaičius Yra 9 tulpės, atimkite nuskintus žiedus, jų yra 6.
Atlikime skaičiavimus: 9-6 gauname rezultatą 3. Gėlyne liko 3 tulpės.
Dar kartą pakeiskime šią problemą. Augo 9 tulpės, 3 nuskintos. Kiek tulpių liko?
Sprendimas atrodys taip: iš bendro tulpių skaičiaus 9 reikia atimti nuskintus žiedus, jų lieka 6 tulpės.
Atidžiai pažvelkime į lygybes ir pabandykime išsiaiškinti, kaip jos yra susijusios viena su kita.
Kaip matote, šiose lygybėse yra tie patys skaičiai ir atvirkštiniai veiksmai: sudėtis ir atimtis.
Grįžkime prie pirmosios problemos sprendimo ir apsvarstykime išraišką 6 + 3 = 9.
Prisiminkime, kokie skaičiai vadinami pridedant:
6 yra pirmasis terminas
3 – antrasis terminas
9 - sumos reikšmė
Dabar pagalvokime, kaip gavome skirtumus 9 - 6 = 3 ir 9 - 3 = 6?
Lygybėje 9 - 6 = 3 iš sumos9 reikšmės buvo atimtas pirmasis narys6 ir gautas antrasis narys3.
Lygybėje 9 - 3 = 6 iš sumos9 reikšmės atimtas antrasis narys3 ir gautas pirmasis narys6.
Todėl iš sumos vertės atėmus pirmąjį narį, gaunamas antrasis, o iš sumos vertės atėmus antrąjį, gaunamas pirmasis.
Suformuluokime bendroji taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos reikšmės.
§ 2 Lygčių su nežinomu nariu sprendimo pavyzdžiai
Pažvelkime į lygtis su nežinomais terminais ir pabandykime rasti šaknis pagal šią taisyklę.
Išspręskime lygtį X + 5 = 7.
Pirmasis šios lygties narys nežinomas. Norėdami jį rasti, naudojame taisyklę: rasti pirmiausia nežinomas X terminas, iš sumos 7 vertės reikia atimti antrąjį narį 5.
Tai reiškia, kad X = 7–5,
Raskime skirtumą 7 - 5 = 2, X = 2.
Patikrinkime, ar teisingai radome lygties šaknį. Norėdami patikrinti, lygtyje turite pakeisti skaičių 2, o ne X:
7 = 7 – gavome teisingą lygybę. Darome išvadą: skaičius 2 yra lygties X+5=7 šaknis.
Išspręskime kitą lygtį 8 + Y = 17.
Antrasis šios lygties narys nežinomas.
Norėdami jį rasti, iš sumos 17 reikšmės turite atimti pirmąjį narį 8.
Patikrinkime: vietoj Y pakeiskite skaičių 9. Gauname:
17 = 17 – gavome teisingą lygybę.
Todėl skaičius 9 yra lygties 8 + Y = 17 šaknis.
Taigi, pamokoje susipažinome su lygčių sprendimo būdu, remiantis dėmenų ir sumos reikšmės ryšiu. Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos reikšmės.
Naudotos literatūros sąrašas:
- I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaja, S.N. Kormišina. Matematika: Vadovėlis 2 klasei: 2 val. - Samara: leidykla " Mokomoji literatūra»: Leidykla„Fiodorovas“, 2012 m.
- Arginskaya I.I. Matematikos užduočių rinkinys savarankiškam, testiniam ir bandymai V pradinė mokykla. - Samara: Fedorovo korporacija, mokomosios literatūros leidykla, 2006 m.
Naudoti vaizdai:
Lygtys yra viena iš sunkiomis temomis asimiliacijai, bet kartu jų pakanka galingas įrankis daugumos problemų sprendimui.
Apibūdinti naudojamos lygtys įvairūs procesai, pasitaiko gamtoje. Lygtys plačiai naudojamos kituose moksluose: ekonomikoje, fizikoje, biologijoje ir chemijoje.
IN šią pamoką Bandysime suprasti paprasčiausių lygčių esmę, mokysimės reikšti nežinomuosius ir išspręsti kelias lygtis. Kai išmoksite naujos medžiagos, lygtys taps sudėtingesnės, todėl labai svarbu suprasti pagrindus.
Preliminarūs įgūdžiai Pamokos turinysKas yra lygtis?
Lygtis yra lygybė, kurioje yra kintamasis, kurio reikšmę norite rasti. Ši vertė turi būti tokia, kad ją pakeitus į pradinė lygtis buvo gauta teisinga skaitinė lygybė.
Pavyzdžiui, išraiška 2 + 2 = 4 yra lygybė. Skaičiuojant kairę pusę, gaunama teisinga skaitinė lygybė 4 = 4.
Bet lygybė yra 2+ x= 4 yra lygtis, nes joje yra kintamasis x, kurio vertę galima rasti. Reikšmė turi būti tokia, kad pakeitus šią reikšmę į pradinę lygtį, būtų gauta teisinga skaitinė lygybė.
Kitaip tariant, turime rasti reikšmę, kuriai esant lygybės ženklas pateisintų jo vietą – kairioji pusė turi būti lygi dešiniajai.
Lygtis 2 + x= 4 yra elementarus. Kintamoji vertė x yra lygus skaičiui 2. Bet kuriai kitai reikšmei lygybė nebus stebima
Jie sako, kad skaičius 2 yra šaknis arba sprendžiant lygtį 2 + x = 4
Šaknis arba lygties sprendimas- tai kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis virsta tikra skaitine lygybe.
Gali būti kelios šaknys arba jų visai nėra. Išspręskite lygtį reiškia surasti jo šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra.
Į lygtį įtrauktas kintamasis vadinamas kitaip nežinomas. Jūs turite teisę vadinti tai taip, kaip norite. Tai yra sinonimai.
Pastaba. Frazė „išspręskite lygtį“ kalba pati už save. Lygties sprendimas reiškia lygties „išlyginimą“ – subalansuoti ją taip, kad kairioji pusė būtų lygi dešiniajai.
Išreikškite vieną dalyką per kitą
Lygčių tyrimas tradiciškai prasideda mokantis išreikšti vieną skaičių, įtrauktą į lygybę, per daugybę kitų. Nelaužykime šios tradicijos ir darykime tą patį.
Apsvarstykite šią išraišką:
8 + 2
Ši išraiška yra skaičių 8 ir 2 suma. Reikšmė duota išraiška lygus 10
8 + 2 = 10
Mes gavome lygybę. Dabar galite išreikšti bet kurį skaičių iš šios lygybės per kitus skaičius, įtrauktus į tą pačią lygybę. Pavyzdžiui, išreikškime skaičių 2.
Norėdami išreikšti skaičių 2, turite užduoti klausimą: „ką reikia padaryti su skaičiais 10 ir 8, kad gautumėte skaičių 2“. Akivaizdu, kad norint gauti skaičių 2, iš skaičiaus 10 reikia atimti skaičių 8.
Tai mes darome. Užrašome skaičių 2 ir per lygybės ženklą sakome, kad norėdami gauti šį skaičių 2, iš skaičiaus 10 atėmėme skaičių 8:
2 = 10 − 8
Skaičius 2 išreiškėme iš lygybės 8 + 2 = 10. Kaip matyti iš pavyzdžio, čia nėra nieko sudėtingo.
Sprendžiant lygtis, ypač išreiškiant vieną skaičių kitais, lygybės ženklą patogu pakeisti žodžiu „ yra" . Tai turi būti daroma mintyse, o ne pačioje išraiškoje.
Taigi, išreiškę skaičių 2 iš lygybės 8 + 2 = 10, gavome lygybę 2 = 10 − 8. Šią lygybę galima perskaityti taip:
2 Yra 10 − 8
Tai yra ženklas = pakeičiamas žodžiu „yra“. Be to, lygybė 2 = 10 − 8 gali būti išversta iš matematinė kalbaį visavertį žmonių kalba. Tada jį galima perskaityti taip:
2 numeris Yra skirtumas tarp skaičių 10 ir 8
2 numeris Yra skirtumas tarp skaičių 10 ir 8.
Tačiau mes apsiribosime tik pakeisdami lygybės ženklą žodžiu „yra“, ir ne visada tai darysime. Elementarius posakius galima suprasti neverčiant matematinės kalbos į žmonių kalbą.
Grąžinkime gautą lygybę 2 = 10 − 8 į pradinę būseną:
8 + 2 = 10
Šį kartą išreikškime skaičių 8. Ką reikia daryti su likusiais skaičiais, kad gautume skaičių 8? Tiesa, iš skaičiaus 10 reikia atimti 2
8 = 10 − 2
Grąžinkime gautą lygybę 8 = 10 − 2 į pradinę būseną:
8 + 2 = 10
Šį kartą išreikšime skaičių 10. Bet pasirodo, kad dešimties reikšti nereikia, nes jis jau buvo išreikštas. Pakanka sukeisti kairę ir dešinę dalis, tada gauname tai, ko mums reikia:
10 = 8 + 2
2 pavyzdys. Apsvarstykite lygybę 8 − 2 = 6
Iš šios lygybės išreikškime skaičių 8. Norėdami išreikšti skaičių 8, reikia pridėti likusius du skaičius:
8 = 6 + 2
Grąžinkime gautą lygybę 8 = 6 + 2 į pradinę būseną:
8 − 2 = 6
Iš šios lygybės išreikškime skaičių 2 Norėdami išreikšti skaičių 2, iš 8 reikia atimti 6
2 = 8 − 6
3 pavyzdys. Apsvarstykite lygybę 3 × 2 = 6
Išreikškime skaičių 3. Norint išreikšti skaičių 3, reikia 6 padalyti iš 2
Grąžinkime gautą lygybę į pradinę būseną:
3 × 2 = 6
Iš šios lygybės išreikškime skaičių 2. Norint išreikšti skaičių 2, reikia 6 padalyti iš 3
4 pavyzdys. Apsvarstykite lygybę
Iš šios lygybės išreikškime skaičių 15. Norėdami išreikšti skaičių 15, turite padauginti skaičius iš 3 ir 5
15 = 3 × 5
Grąžinkime gautą lygybę 15 = 3 × 5 į pradinę būseną:
Iš šios lygybės išreikškime skaičių 5. Norint išreikšti skaičių 5, reikia 15 padalyti iš 3
Nežinomų radimo taisyklės
Panagrinėkime keletą nežinomųjų radimo taisyklių. Jie gali būti jums pažįstami, bet nepakenks juos pakartoti. Ateityje jos gali būti pamirštos, nes išmokstame spręsti lygtis netaikant šių taisyklių.
Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio, kurį žiūrėjome ankstesnėje temoje, kur lygybėje 8 + 2 = 10 mums reikėjo išreikšti skaičių 2.
Esant lygybei 8 + 2 = 10, skaičiai 8 ir 2 yra terminai, o skaičius 10 yra suma.
Norėdami išreikšti skaičių 2, atlikome šiuos veiksmus:
2 = 10 − 8
Tai yra, iš 10 sumos atėmėme terminą 8.
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje 8 + 2 = 10 vietoj skaičiaus 2 yra kintamasis x
8 + x = 10
Šiuo atveju lygybė 8 + 2 = 10 tampa lygtimi 8 + x= 10 ir kintamasis x nežinomas terminas
Mūsų užduotis yra rasti šį nežinomą terminą, tai yra, išspręsti lygtį 8 + x= 10. Norint rasti nežinomą terminą, pateikiama ši taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos.
Tai iš esmės yra tai, ką mes padarėme, kai išreiškėme du lygybe 8 + 2 = 10. Norėdami išreikšti 2 terminą, iš sumos 10 atėmėme kitą terminą 8
2 = 10 − 8
Dabar, norėdami rasti nežinomą terminą x, iš sumos 10 turime atimti žinomą terminą 8:
x = 10 − 8
Jei apskaičiuosite gautos lygybės dešinę pusę, galite sužinoti, kam lygus kintamasis x
x = 2
Išsprendėme lygtį. Kintamoji vertė x lygus 2. Norėdami patikrinti kintamojo reikšmę x siunčiama į pradinę lygtį 8 + x= 10 ir pakaitalas x. Patartina tai daryti su bet kokia išspręsta lygtimi, nes negalite būti visiškai tikri, kad lygtis buvo išspręsta teisingai:
Dėl to
Ta pati taisyklė galiotų, jei nežinomas terminas būtų pirmasis skaičius 8.
x + 2 = 10
Šioje lygtyje x yra nežinomas terminas, 2 yra žinomas terminas, 10 yra suma. Norėdami rasti nežinomą terminą x, iš sumos 10 reikia atimti žinomą terminą 2
x = 10 − 2
x = 8
Grįžkime prie antrojo pavyzdžio iš ankstesnės temos, kur lygybėje 8 − 2 = 6 reikėjo išreikšti skaičių 8.
Esant lygybei 8 − 2 = 6, skaičius 8 yra minuend, skaičius 2 yra dalis, o skaičius 6 yra skirtumas
Norėdami išreikšti skaičių 8, atlikome šiuos veiksmus:
8 = 6 + 2
Tai yra, mes pridėjome skirtumą 6 ir atėmėme 2.
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje 8 − 2 = 6 vietoj skaičiaus 8 yra kintamasis x
x − 2 = 6
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vadinamųjų vaidmenį nežinomas minuend
Norint rasti nežinomą meną, pateikiama ši taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.
Tai mes padarėme, kai išreiškėme skaičių 8 lygybėje 8 − 2 = 6. Norėdami išreikšti 8 minusą, prie skirtumo 6 pridėjome 2 potraukį.
Dabar, norėdami rasti nežinomą meną x, prie skirtumo 6 turime pridėti poskyrį 2
x = 6 + 2
Jei apskaičiuosite dešinę pusę, galite sužinoti, kam lygus kintamasis x
x = 8
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje 8 − 2 = 6 vietoj skaičiaus 2 yra kintamasis x
8 − x = 6
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vaidmenį nežinomas poskyris
Norint rasti nežinomą poskyrį, pateikiama ši taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą dalį, turite atimti skirtumą iš mažosios dalies.
Tai mes padarėme, kai išreiškėme skaičių 2 lygybe 8 − 2 = 6. Norėdami išreikšti skaičių 2, atėmėme skirtumą 6 iš minuend 8.
Dabar, norėdami rasti nežinomą poskyrį x, vėl reikia atimti skirtumą 6 iš minuend 8
x = 8 − 6
Apskaičiuojame dešinę pusę ir randame vertę x
x = 2
Grįžkime prie trečiojo pavyzdžio iš ankstesnės temos, kur lygybėje 3 × 2 = 6 bandėme išreikšti skaičių 3.
Esant lygybei 3 × 2 = 6, skaičius 3 yra daugiklis, skaičius 2 yra daugiklis, skaičius 6 yra sandauga
Norėdami išreikšti skaičių 3, atlikome šiuos veiksmus:
Tai yra, sandaugą iš 6 padalinome iš koeficiento 2.
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje 3 × 2 = 6 vietoj skaičiaus 3 yra kintamasis x
x× 2 = 6
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vaidmenį nežinomas daugiklis.
Norint rasti nežinomą daugiklį, pateikiama ši taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą daugiklį, turite padalyti sandaugą iš koeficiento.
Tai mes padarėme, kai iš lygybės 3 × 2 = 6 išreiškėme skaičių 3. Produktą 6 padalinome iš koeficiento 2.
Dabar suraskite nežinomą daugiklį x, turite padalyti sandaugą 6 iš koeficiento 2.
Dešinės pusės apskaičiavimas leidžia rasti kintamojo reikšmę x
x = 3
Ta pati taisyklė galioja, jei kintamasis x yra vietoj daugiklio, o ne daugiklio. Įsivaizduokime, kad lygybėje 3 × 2 = 6 vietoj skaičiaus 2 yra kintamasis x.
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vaidmenį nežinomas daugiklis. Norint rasti nežinomą koeficientą, pateikiama ta pati procedūra kaip ir ieškant nežinomo daugiklio, ty sandaugą padalyti iš žinomo koeficiento:
Norėdami rasti nežinomą koeficientą, turite padalyti sandaugą iš daugiklio.
Tai mes padarėme, kai iš lygybės 3 × 2 = 6 išreiškėme skaičių 2. Tada norėdami gauti skaičių 2, sandaugą iš 6 padalinome iš jo daugiklio 3.
Dabar reikia rasti nežinomą veiksnį x 6 sandaugą padalinome iš 3 daugiklio.
Skaičiuojant dešinę lygybės pusę galima sužinoti, kam x yra lygus
x = 2
Daugiklis ir daugiklis kartu vadinami veiksniais. Kadangi daugiklio ir daugiklio radimo taisyklės yra vienodos, galime suformuluoti bendrą nežinomo veiksnio radimo taisyklę:
Norėdami rasti nežinomą veiksnį, turite padalyti produktą iš žinomo faktoriaus.
Pavyzdžiui, išspręskime lygtį 9 × x= 18. Kintamasis x yra nežinomas veiksnys. Norėdami rasti šį nežinomą koeficientą, turite padalyti sandaugą 18 iš žinomo koeficiento 9
Išspręskime lygtį x× 3 = 27. Kintamasis x yra nežinomas veiksnys. Norėdami rasti šį nežinomą koeficientą, turite padalyti sandaugą 27 iš žinomo koeficiento 3
Grįžkime prie ketvirto pavyzdžio iš ankstesnės temos, kur lygybėje mums reikėjo išreikšti skaičių 15. Šioje lygybėje skaičius 15 yra dividendas, skaičius 5 yra daliklis, o skaičius 3 yra koeficientas.
Norėdami išreikšti skaičių 15, atlikome šiuos veiksmus:
15 = 3 × 5
Tai reiškia, kad 3 koeficientą padauginome iš 5 daliklio.
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje vietoj skaičiaus 15 yra kintamasis x
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vaidmenį nežinomas dividendas.
Norint rasti nežinomą dividendą, pateikiama ši taisyklė:
Norėdami rasti nežinomą dividendą, turite padauginti koeficientą iš daliklio.
Tai mes padarėme, kai iš lygybės išreiškėme skaičių 15. Norėdami išreikšti skaičių 15, koeficientą 3 padauginame iš 5 daliklio.
Dabar, norėdami rasti nežinomą dividendą x, jums reikia padauginti 3 koeficientą iš 5 daliklio
x= 3 × 5
x .
x = 15
Dabar įsivaizduokite, kad lygybėje vietoj skaičiaus 5 yra kintamasis x .
Šiuo atveju kintamasis x prisiima vaidmenį nežinomas daliklis.
Norint rasti nežinomą daliklį, pateikiama ši taisyklė:
Tai mes padarėme, kai iš lygybės išreiškėme skaičių 5. Norėdami išreikšti skaičių 5, dividendą 15 padalijame iš koeficiento 3.
Dabar reikia rasti nežinomą daliklį x, jums reikia padalyti dividendą 15 iš koeficiento 3
Apskaičiuokime gautos lygybės dešinę pusę. Taip sužinome, kam lygus kintamasis x .
x = 5
Taigi, norėdami rasti nežinomųjų, išstudijavome šias taisykles:
- Norėdami rasti nežinomą terminą, turite atimti žinomą terminą iš sumos;
- Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti subtrahendą;
- Norėdami rasti nežinomą pogrupį, turite atimti skirtumą iš minuend;
- Norėdami rasti nežinomą daugiklį, turite padalyti sandaugą iš koeficiento;
- Norėdami rasti nežinomą koeficientą, turite padalyti sandaugą iš daugiklio;
- Norėdami rasti nežinomą dividendą, turite padauginti koeficientą iš daliklio;
- Norėdami rasti nežinomą daliklį, turite padalyti dividendą iš koeficiento.
Komponentai
Komponentais vadinsime skaičius ir kintamuosius, įtrauktus į lygybę
Taigi, papildymo komponentai yra terminai Ir suma
Atimties komponentai yra minuend, subtrahend Ir skirtumas
Daugybos komponentai yra daugiklis, veiksnys Ir dirbti
Dalijimosi komponentai yra dividendas, daliklis ir koeficientas.
Priklausomai nuo to, su kokiais komponentais susiduriame, bus taikomos atitinkamos nežinomųjų radimo taisyklės. Šias taisykles išnagrinėjome ankstesnėje temoje. Sprendžiant lygtis, šias taisykles patartina žinoti mintinai.
1 pavyzdys. Raskite lygties 45 + šaknį x = 60
45 – terminas, x- nežinomas terminas, 60 - suma. Mes susiduriame su papildymo komponentais. Primename, kad norint rasti nežinomą terminą, iš sumos reikia atimti žinomą terminą:
x = 60 − 45
Apskaičiuokime dešinę pusę ir gaukime vertę x lygus 15
x = 15
Taigi lygties šaknis yra 45 + x= 60 yra lygus 15.
Dažniausiai nežinomas terminas turi būti sumažintas iki formos, kuria jis gali būti išreikštas.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Čia, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, nežinomas terminas negali būti išreikštas iš karto, nes jame yra koeficientas 2. Mūsų užduotis yra pateikti šią lygtį į formą, kuria ji galėtų būti išreikšta x
IN šiame pavyzdyje Mes kalbame apie sudėjimo komponentus – terminus ir sumą. 2 x yra pirmasis narys, 4 yra antrasis narys, 8 yra suma.
Šiuo atveju 2 terminas x yra kintamasis x. Suradę kintamojo reikšmę x 2 terminas x atrodys kitaip. Todėl 2 terminas x gali būti visiškai suprantamas kaip nežinomas terminas:
Dabar taikome nežinomo termino radimo taisyklę. Iš sumos atimkite žinomą terminą:
Apskaičiuokime gautos lygties dešinę pusę:
Turime naują lygtį. Dabar kalbame apie daugybos komponentus: daugiklį, daugiklį ir sandaugą. 2 – daugiklis, x- daugiklis, 4 - produktas
Šiuo atveju kintamasis x yra ne tik daugiklis, bet ir nežinomas daugiklis
Norėdami rasti šį nežinomą veiksnį, turite padalyti sandaugą iš daugiklio:
Apskaičiuokime dešinę pusę ir gaukime kintamojo reikšmę x
Norėdami patikrinti, nusiųskite rastą šaknį į pradinę lygtį ir pakeiskite x
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x+ 9x+ 16x= 56
Nedelsdami išreikškite nežinomybę x tai draudžiama. Pirmiausia turite pateikti šią lygtį į formą, kuria ją būtų galima išreikšti.
Pristatome kairėje pusėje duota lygtis:
Mes susiduriame su daugybos komponentais. 28 - daugiklis, x- daugiklis, 56 - produktas. Tuo pačiu metu x yra nežinomas veiksnys. Norėdami rasti nežinomą koeficientą, turite padalyti sandaugą iš daugiklio:
Iš čia x lygus 2
Lygiavertės lygtys
Ankstesniame pavyzdyje sprendžiant lygtį 3x + 9x + 16x = 56 , atvežėme panašius terminus kairėje lygties pusėje. Dėl to gavome naują 28 lygtį x= 56 . Senoji lygtis 3x + 9x + 16x = 56 ir gautą naują lygtį 28 x= 56 vadinamas lygiavertes lygtis, nes jų šaknys sutampa.
Lygtys vadinamos lygiavertėmis, jei jų šaknys sutampa.
Pažiūrėkime. Dėl lygties 3x+ 9x+ 16x= 56 radome šaknį, lygią 2. Pirmiausia pakeiskime šią šaknį į lygtį 3x+ 9x+ 16x= 56 , o tada į 28 lygtį x= 56, kuris buvo gautas įtraukus panašius terminus kairėje ankstesnės lygties pusėje. Turime gauti teisingas skaitines lygybes
Pagal operacijų tvarką pirmiausia atliekama daugyba:
Pakeiskime šaknį 2 į antrąją lygtį 28 x= 56
Matome, kad abi lygtys turi tas pačias šaknis. Taigi lygtys 3x+ 9x+ 16x= 6 ir 28 x= 56 iš tikrųjų yra lygiaverčiai.
Norėdami išspręsti lygtį 3x+ 9x+ 16x= 56 Mes panaudojome vieną iš jų – panašių terminų sumažinimą. Teisingas lygties tapatumo transformavimas leido mums gauti lygiavertę 28 lygtį x= 56, kurią lengviau išspręsti.
Nuo tapatybės transformacijosšiuo metu mokame tik sumažinti trupmenas, pridėti panašius terminus, išimti bendras daugiklis už skliaustų, taip pat atidarykite skliaustus. Yra ir kitų konversijų, apie kurias turėtumėte žinoti. Bet už bendra idėja apie identiškas lygčių transformacijas, mūsų tyrinėtų temų visiškai pakanka.
Panagrinėkime kai kurias transformacijas, kurios leidžia gauti lygiavertę lygtį
Jei prie abiejų lygties pusių pridėsite tą patį skaičių, gausite lygtį, lygiavertę duotajai.
ir panašiai:
Jei atimsite tą patį skaičių iš abiejų lygties pusių, gausite lygtį, lygiavertę duotajai.
Kitaip tariant, lygties šaknis nepasikeis, jei prie to paties skaičiaus pridedamas (arba atimamas iš abiejų pusių) tas pats skaičius.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Iš abiejų lygties pusių atimkite 10
Gavome 5 lygtį x= 10. Mes susiduriame su daugybos komponentais. Norėdami rasti nežinomą veiksnį x, turite padalyti sandaugą 10 iš žinomo koeficiento 5.
ir pakaitalas x rasta vertė 2
Gavome teisingą skaitinę lygybę. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
Lygties sprendimas iš abiejų lygties pusių atėmėme skaičių 10. Dėl to mes gavome lygiavertę lygtį. Šios lygties šaknis, kaip ir lygtis taip pat lygus 2
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 4( x+ 3) = 16
Iš abiejų lygties pusių atimkite skaičių 12
Kairėje pusėje liks 4 x, o dešinėje pusėje skaičius 4
Gavome 4 lygtį x= 4. Mes susiduriame su daugybos komponentais. Norėdami rasti nežinomą veiksnį x, turite padalyti sandaugą 4 iš žinomo koeficiento 4
Grįžkime prie pradinės lygties 4 ( x+ 3) = 16 ir pakaitalas x rasta reikšmė 1
Gavome teisingą skaitinę lygybę. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
4 lygties sprendimas x+ 3) = 16 iš abiejų lygties pusių atėmėme skaičių 12. Dėl to gavome lygiavertę 4 lygtį x= 4. Šios lygties šaknis, kaip ir 4 lygtis ( x+ 3) = 16 taip pat yra lygus 1
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Išplėskime skliaustus kairėje lygybės pusėje:
Pridėkite skaičių 8 prie abiejų lygties pusių
Pateiksime panašius terminus abiejose lygties pusėse:
Kairėje pusėje liks 2 x, o dešinėje pusėje skaičius 9
Gautoje lygtyje 2 x= 9 išreiškiame nežinomą terminą x
Grįžkime prie pradinės lygties ir pakaitalas x rasta reikšmė 4,5
Gavome teisingą skaitinę lygybę. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
Lygties sprendimas prie abiejų lygties pusių pridėjome skaičių 8. Rezultate gavome lygiavertę lygtį. Šios lygties šaknis, kaip ir lygtis taip pat lygus 4,5
Kita taisyklė, leidžianti gauti lygiavertę lygtį, yra tokia
Jei lygties terminą perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai.
Tai yra, lygties šaknis nepasikeis, jei perkelsime terminą iš vienos lygties dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą. Ši savybė yra viena iš svarbiausių ir dažnai naudojamų sprendžiant lygtis.
Apsvarstykite šią lygtį:
Šios lygties šaknis lygi 2. Pakeiskime xšią šaknį ir patikrinkite, ar skaitinė lygybė yra teisinga
Rezultatas yra teisinga lygybė. Tai reiškia, kad skaičius 2 iš tikrųjų yra lygties šaknis.
Dabar pabandykime eksperimentuoti su šios lygties sąlygomis, perkeldami juos iš vienos dalies į kitą, keisdami ženklus.
Pavyzdžiui, 3 terminas x yra kairėje lygties pusėje. Perkelkime jį į dešinę pusę, pakeisdami ženklą į priešingą:
Rezultatas yra lygtis 12 = 9x − 3x . dešinėje šios lygties pusėje:
x yra nežinomas veiksnys. Raskime šį gerai žinomą veiksnį:
Iš čia x= 2. Kaip matote, lygties šaknis nepasikeitė. Taigi lygtys yra 12 + 3 x = 9x Ir 12 = 9x − 3x yra lygiaverčiai.
Tiesą sakant, ši transformacija yra supaprastintas ankstesnės transformacijos metodas, kai tas pats skaičius buvo pridėtas (arba atimtas) prie abiejų lygties pusių.
Mes pasakėme, kad lygtyje 12 + 3 x = 9x 3 terminas x buvo perkeltas į dešinę pusę, keičiant ženklą. Iš tikrųjų atsitiko taip: 3 narys buvo atimtas iš abiejų lygties pusių x
Tada kairėje pusėje buvo pateikti panašūs terminai ir gauta lygtis 12 = 9x − 3x. Tada vėl buvo pateikti panašūs terminai, bet dešinėje pusėje, ir gauta lygtis 12 = 6 x.
Tačiau vadinamasis „perkėlimas“ yra patogesnis tokioms lygtims, todėl jis tapo toks plačiai paplitęs. Spręsdami lygtis dažnai naudosime šią transformaciją.
Lygtys 12 + 3 taip pat yra lygiavertės x= 9x Ir 3x− 9x= −12 . Šį kartą lygtyje 12 + 3 x= 9x 12 terminas buvo perkeltas į dešinę pusę, o 9 terminas xį kairę. Nereikia pamiršti, kad perkėlimo metu šių terminų ženklai buvo pakeisti
Kita taisyklė, leidžianti gauti lygiavertę lygtį, yra tokia:
Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite lygtį, lygiavertę duotajai.
Kitaip tariant, lygties šaknys nepasikeis, jei abi pusės bus padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus. Šis veiksmas dažnai naudojamas, kai reikia išspręsti lygtį, kurią sudaro trupmeninės išraiškos.
Pirmiausia pažvelkime į pavyzdžius, kuriuose abi lygties pusės bus padaugintos iš to paties skaičiaus.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Sprendžiant lygtis, kuriose yra trupmeninių išraiškų, įprasta lygtį pirmiausia supaprastinti.
IN šiuo atveju mes susiduriame su tokia lygtimi. Siekiant supaprastinti šią lygtį, abi puses galima padauginti iš 8:
Prisimename, kad , turime padauginti tam tikros trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus. Turime dvi trupmenas ir kiekviena iš jų padauginama iš skaičiaus 8. Mūsų užduotis yra padauginti trupmenų skaitiklius iš šio skaičiaus 8
Dabar vyksta įdomioji dalis. Abiejų trupmenų skaitikliuose ir vardikliuose yra koeficientas 8, kurį galima sumažinti 8. Tai leis mums atsikratyti trupmeninės išraiškos:
Dėl to lieka paprasčiausia lygtis
Na, nesunku atspėti, kad šios lygties šaknis yra 4
x rasta reikšmė 4
Rezultatas yra teisinga skaitinė lygybė. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
Spręsdami šią lygtį, abi puses padauginome iš 8. Rezultate gavome lygtį. Šios lygties, kaip ir lygties, šaknis yra 4. Tai reiškia, kad šios lygtys yra lygiavertės.
Koeficientas, iš kurio dauginamos abi lygties pusės, dažniausiai rašomas prieš lygties dalį, o ne po jos. Taigi, išspręsdami lygtį, abi puses padauginome iš koeficiento 8 ir gavome tokį įrašą:
Tai nepakeitė lygties šaknies, bet jei būtume tai darę mokykloje, būtume sulaukę priekaištų, nes algebroje įprasta koeficientą rašyti prieš išraišką, su kuria jis dauginamas. Todėl patartina perrašyti abiejų lygties pusių dauginimą iš koeficiento 8 taip:
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Kairėje pusėje koeficientai 15 gali būti sumažinti 15, o dešinėje - 15 ir 5 koeficientai gali būti sumažinti 5
Atidarykime skliaustus dešinėje lygties pusėje:
Perkelkime terminą x iš kairės lygties pusės į dešinę, keičiant ženklą. Ir mes perkeliame 15 terminą iš dešinės lygties pusės į kairę, vėl pakeisdami ženklą:
Pateikiame panašias sąlygas abiejose pusėse, gauname
Mes susiduriame su daugybos komponentais. Kintamasis x
Grįžkime prie pradinės lygties ir pakaitalas x rasta reikšmė 5
Rezultatas yra teisinga skaitinė lygybė. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai. Spręsdami šią lygtį, abi puses padauginome iš 15. Toliau atlikdami identiškas transformacijas, gavome lygtį 10 = 2 x. Šios lygties šaknis, kaip ir lygtis lygus 5. Tai reiškia, kad šios lygtys yra lygiavertės.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Kairėje pusėje galite sumažinti du trigubus, ir dešinėje pusėje bus lygus 18
Lieka paprasčiausia lygtis. Mes susiduriame su daugybos komponentais. Kintamasis x yra nežinomas veiksnys. Raskime šį gerai žinomą veiksnį:
Grįžkime prie pradinės lygties ir pakeiskime x rasta vertė 9
Rezultatas yra teisinga skaitinė lygybė. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Abi lygties puses padauginkite iš 6
Atidarykime skliaustus kairėje lygties pusėje. Dešinėje pusėje koeficientas 6 gali būti padidintas iki skaitiklio:
Sumažinkime tai, ką galima sumažinti abiejose lygčių pusėse:
Perrašykime tai, kas mums liko:
Pasinaudokime terminų perkėlimu. Terminai, kuriuose yra nežinoma x, sugrupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų - dešinėje:
Pateiksime panašius terminus abiejose dalyse:
Dabar suraskime kintamojo reikšmę x. Norėdami tai padaryti, padalykite sandaugą 28 iš žinomo koeficiento 7
Iš čia x= 4.
Grįžkime prie pradinės lygties ir pakaitalas x rasta reikšmė 4
Rezultatas yra teisinga skaitinė lygtis. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
5 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Jei įmanoma, atidarykime skliaustus abiejose lygties pusėse:
Abi lygties puses padauginkite iš 15
Atidarykime skliaustus abiejose lygties pusėse:
Sumažinkime tai, ką galima sumažinti abiejose lygties pusėse:
Perrašykime tai, kas mums liko:
Jei įmanoma, išplėskime skliaustus:
Pasinaudokime terminų perkėlimu. Terminus, kuriuose yra nežinomasis, sugrupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų – dešinėje. Nepamirškite, kad perkėlimo metu terminai keičia savo ženklus į priešingą:
Pateiksime panašius terminus abiejose lygties pusėse:
Raskime vertę x
Gautą atsakymą galima suskirstyti į visą dalį:
Grįžkime prie pradinės lygties ir pakeiskime x rasta vertė
Pasirodo, tai gana sudėtinga išraiška. Naudokime kintamuosius. Įdėkime kairiąją lygybės pusę į kintamąjį A, o dešinę lygybės pusę į kintamąjį B
Mūsų užduotis yra įsitikinti, ar kairioji pusė yra lygi dešiniajai. Kitaip tariant, įrodykite lygybę A = B
Raskime išraiškos reikšmę kintamajame A.
Kintamoji vertė A lygus . Dabar suraskime kintamojo reikšmę B. Tai yra mūsų lygybės dešiniosios pusės vertė. Jei ji taip pat lygi, tada lygtis bus išspręsta teisingai
Matome, kad kintamojo reikšmė B, taip pat kintamojo A reikšmė yra . Tai reiškia, kad kairioji pusė yra lygi dešiniajai. Iš to darome išvadą, kad lygtis išspręsta teisingai.
Dabar pabandykime ne dauginti abiejų lygties pusių iš to paties skaičiaus, o padalyti.
Apsvarstykite lygtį 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Išspręskime įprastas metodas: terminai, kuriuose yra nežinomųjų, grupuojami kairėje lygties pusėje, o terminai be nežinomųjų – dešinėje. Toliau, atlikdami žinomas tapatybės transformacijas, randame vertę x
Vietoj to pakeiskime rastą reikšmę 2 xį pradinę lygtį:
Dabar pabandykime atskirti visas lygties sąlygas 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 kokiu nors skaičiumi Pastebime, kad visi šios lygties nariai turi bendrą koeficientą 2. Iš jo padalijame kiekvieną narį:
Atlikime kiekvieno termino sumažinimą:
Perrašykime tai, kas mums liko:
Išspręskime šią lygtį naudodami gerai žinomas tapatybės transformacijas:
Turime root 2. Taigi lygtys 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Ir 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 yra lygiaverčiai.
Padalijus abi lygties puses iš to paties skaičiaus, iš koeficiento galima pašalinti nežinomąjį. Ankstesniame pavyzdyje, kai gavome lygtį 7 x= 14, sandaugą 14 reikėjo padalyti iš žinomo koeficiento 7. Bet jei būtume išlaisvinę nežinomąjį nuo koeficiento 7 kairėje pusėje, šaknis būtų rasta iš karto. Norėdami tai padaryti, pakako padalyti abi puses iš 7
Taip pat dažnai naudosime šį metodą.
Daugyba iš minus vieno
Jei abi lygties pusės yra padaugintos iš minus vieno, gausite lygtį, lygiavertę šiai.
Ši taisyklė išplaukia iš to, kad padauginus (arba padalijus) abi lygties puses iš to paties skaičiaus, duotosios lygties šaknis nekeičiama. Tai reiškia, kad šaknis nepasikeis, jei abi jos dalys bus padaugintos iš −1.
Ši taisyklė leidžia keisti visų į lygtį įtrauktų komponentų ženklus. Kam tai skirta? Vėlgi, norint gauti lygiavertę lygtį, kurią lengviau išspręsti.
Apsvarstykite lygtį. Kodėl lygus šaknimsši lygtis?
Pridėkite skaičių 5 prie abiejų lygties pusių
Pažvelkime į panašius terminus:
Dabar prisiminkime apie. Kokia yra lygties kairioji pusė? Tai yra minus vieno ir kintamojo sandauga x
Tai yra minuso ženklas prieš kintamąjį x nenurodo paties kintamojo x, bet į vieną, kurio mes nematome, nes koeficientas 1 paprastai nėra užrašomas. Tai reiškia, kad lygtis iš tikrųjų atrodo taip:
Mes susiduriame su daugybos komponentais. Norėdami rasti X, sandaugą −5 reikia padalyti iš žinomo koeficiento −1.
arba padalykite abi lygties puses iš −1, o tai dar paprasčiau
Taigi lygties šaknis yra 5. Norėdami patikrinti, pakeiskime jį į pradinę lygtį. Nepamirškite, kad pradinėje lygtyje minusas yra prieš kintamąjį x reiškia nematomą vienetą
Rezultatas yra teisinga skaitinė lygtis. Tai reiškia, kad lygtis išspręsta teisingai.
Dabar pabandykime padauginti abi lygties puses iš minus vieno:
Atidarius skliaustus, išraiška formuojama kairėje pusėje, o dešinė bus lygi 10
Šios lygties, kaip ir lygties, šaknis yra 5
Tai reiškia, kad lygtys yra lygiavertės.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Šioje lygtyje visi komponentai yra neigiami. Su teigiamais komponentais dirbti patogiau nei su neigiamaisiais, todėl pakeiskime visų į lygtį įtrauktų komponentų ženklus. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi šios lygties puses iš −1.
Akivaizdu, kad padauginus iš −1, bet koks skaičius pakeis savo ženklą į priešingą. Todėl daugybos iš −1 ir skliaustų atidarymo procedūra nėra išsamiai aprašyta, tačiau iš karto užrašomi priešingų ženklų lygties komponentai.
Taigi, padauginus lygtį iš −1, galima išsamiai parašyti taip:
arba galite tiesiog pakeisti visų komponentų ženklus:
Rezultatas bus tas pats, bet skirtumas bus tas, kad sutaupysime sau laiko.
Taigi, padauginę abi lygties puses iš −1, gauname lygtį. Išspręskime šią lygtį. Iš abiejų pusių atimkite 4 ir padalykite abi puses iš 3
Kai randama šaknis, kintamasis dažniausiai rašomas kairėje pusėje, o jo reikšmė – dešinėje, ką mes ir padarėme.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Padauginkime abi lygties puses iš −1. Tada visi komponentai pakeis savo ženklus į priešingą:
Iš abiejų gautos lygties pusių atimkite 2 x ir pateikti panašias sąlygas:
Pridėkime po vieną prie abiejų lygties pusių ir suteikime panašius terminus: 
Prilygsta nuliui
Neseniai sužinojome, kad jei lygties terminą perkelsime iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausime lygtį, lygiavertę duotajai.
Kas atsitiks, jei pereisite iš vienos dalies į kitą ne tik vieną terminą, bet visas sąlygas? Tiesa, toje dalyje, kur buvo atimti visi terminai, liks nulis. Kitaip tariant, nieko neliks.
Kaip pavyzdį apsvarstykite lygtį. Išspręskime šią lygtį kaip įprasta – į vieną dalį sugrupuosime terminus, kuriuose yra nežinomųjų, o kitoje paliksime skaitinius terminus be nežinomųjų. Toliau, atlikdami žinomas tapatybės transformacijas, randame kintamojo reikšmę x
Dabar pabandykime išspręsti tą pačią lygtį, visus jos komponentus prilygindami nuliui. Norėdami tai padaryti, perkeliame visus terminus iš dešinės į kairę, pakeisdami ženklus:
Pateiksime panašius terminus kairėje pusėje:
Pridėkite 77 prie abiejų pusių ir padalykite abi puses iš 7
Alternatyva nežinomųjų radimo taisyklėms
Akivaizdu, kad žinant apie identiškas lygčių transformacijas, jums nereikia įsiminti nežinomųjų radimo taisyklių.
Pavyzdžiui, norėdami rasti nežinomąjį lygtyje, sandaugą 10 padalinome iš žinomo koeficiento 2
Bet jei lygtyje abi pusės yra padalintos iš 2, šaknis bus rasta iš karto. Kairėje lygties pusėje skaitiklyje koeficientas 2, o vardiklyje koeficientas 2 bus sumažintas 2. O dešinė bus lygi 5
Formos lygtis išsprendėme išreikšdami nežinomą terminą:
Bet jūs galite naudoti identiškas transformacijas, kurias studijavome šiandien. Lygtyje 4 terminą galima perkelti į dešinę, pakeitus ženklą:
Kairėje lygties pusėje du du bus panaikinti. Dešinė pusė bus lygi 2. Vadinasi .
Arba galite atimti 4 iš abiejų lygties pusių, tada gausite:
Formos lygčių atveju patogiau sandaugą padalinti iš žinomo koeficiento. Palyginkime abu sprendimus:
Pirmasis sprendimas yra daug trumpesnis ir tvarkingesnis. Antrasis sprendimas gali būti gerokai sutrumpintas, jei skirstymą atliksite savo galvoje.
Tačiau būtina žinoti abu būdus ir tik tada naudoti tą, kuris jums labiau patinka.
Kai yra kelios šaknys
Lygtis gali turėti kelias šaknis. Pavyzdžiui, lygtis x(x+ 9) = 0 turi dvi šaknis: 0 ir –9.
Eq. x(x+ 9) = 0 reikėjo rasti tokią reikšmę x prie kurio kairioji pusė būtų lygi nuliui. Kairėje šios lygties pusėje yra išraiškos x Ir (x+9), kurie yra veiksniai. Iš gaminio dėsnių žinome, kad produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui (arba pirmasis, arba antrasis).
Tai yra, lygyje. x(x+ 9) = 0 lygybė bus pasiekta, jei x bus lygus nuliui arba (x+9) bus lygus nuliui.
x= 0 arba x + 9 = 0
Nustačius abi šias išraiškas į nulį, galime rasti lygties šaknis x(x+ 9) = 0 . Pirmoji šaknis, kaip matyti iš pavyzdžio, buvo rasta iš karto. Norėdami rasti antrą šaknį, turite išspręsti elementarioji lygtis x+ 9 = 0 . Nesunku atspėti, kad šios lygties šaknis yra −9. Patikrinimas rodo, kad šaknis yra teisinga:
−9 + 9 = 0
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Ši lygtis turi dvi šaknis: 1 ir 2. Kairė pusė lygtis yra išraiškų sandauga ( x− 1) ir ( x− 2) . Ir sandauga yra lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui (arba koeficientas ( x− 1) arba koeficientas ( x − 2) ).
Suraskime kažką panašaus x pagal kurią posakiai ( x− 1) arba ( x− 2) tapti nuliu:
Rastas reikšmes po vieną pakeičiame į pradinę lygtį ir įsitikiname, kad šioms reikšmėms kairioji pusė yra lygi nuliui:
Kai yra be galo daug šaknų
Lygtis gali turėti be galo daug šaknų. Tai yra, pakeitę bet kurį skaičių į tokią lygtį, gauname teisingą skaitinę lygybę.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Šios lygties šaknis yra bet koks skaičius. Jei atidarysite skliaustus kairėje lygties pusėje ir pridėsite panašių terminų, gausite lygybę 14 = 14. Ši lygybė bus gauta bet kuriai x
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Šios lygties šaknis yra bet koks skaičius. Jei atidarysite skliaustus kairėje lygties pusėje, gausite lygybę 10x + 12 = 10x + 12. Ši lygybė bus gauta bet kuriai x
Kai nėra šaknų
Taip pat atsitinka, kad lygtis apskritai neturi sprendinių, tai yra, ji neturi šaknų. Pavyzdžiui, lygtis neturi šaknų, nes bet kuriai vertei x, kairė lygties pusė nebus lygi dešiniajai. Pavyzdžiui, tegul. Tada lygtis bus tokios formos
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Išplėskime skliaustus kairėje lygybės pusėje:
Pažvelkime į panašius terminus:
Matome, kad kairioji pusė nėra lygi dešiniajai. Ir tai bus bet kokios vertės atveju. y. Pavyzdžiui, tegul y = 3 .
Raidžių lygtys
Lygtyje gali būti ne tik skaičiai su kintamaisiais, bet ir raidės.
Pavyzdžiui, greičio nustatymo formulė yra pažodinė lygtis:
Ši lygtis apibūdina kūno greitį vienodai pagreitinto judėjimo metu.
Naudingas įgūdis yra gebėjimas išreikšti bet kurį komponentą, įtrauktą į raidžių lygtį. Pavyzdžiui, norėdami nustatyti atstumą nuo lygties, turite išreikšti kintamąjį s .
Padauginkite abi lygties puses iš t
Kintamieji dešinėje pusėje t nutraukime t
Gautoje lygtyje sukeičiame kairę ir dešinę puses:
Turime atstumo nustatymo formulę, kurią ištyrėme anksčiau.
Pabandykime iš lygties nustatyti laiką. Norėdami tai padaryti, turite išreikšti kintamąjį t .
Padauginkite abi lygties puses iš t
Kintamieji dešinėje pusėje t nutraukime t ir perrašykite tai, kas mums liko:
Gautoje lygtyje v×t = s padalinti abi dalis į v
Kintamieji kairėje v nutraukime v ir perrašykite tai, kas mums liko:
Turime laiko nustatymo formulę, kurią studijavome anksčiau.
Tarkime, kad traukinio greitis yra 50 km/h
v= 50 km/val
O atstumas 100 km
s= 100 km
Tada laiškas bus tokios formos
Laiką galima rasti iš šios lygties. Norėdami tai padaryti, turite mokėti išreikšti kintamąjį t. Nežinomo daliklio radimo taisyklę galite naudoti padalydami dividendą iš koeficiento ir taip nustatydami kintamojo reikšmę t
arba galite naudoti identiškas transformacijas. Pirmiausia padauginkite abi lygties puses iš t
Tada padalykite abi puses iš 50
2 pavyzdys x
Atimkite iš abiejų lygties pusių a
Padalinkime abi lygties puses iš b
a + bx = c, tada turėsime paruoštas sprendimas. Užteks jį pakeisti reikalingos vertės. Tos reikšmės, kurios bus pakeistos raidėmis a, b, c paprastai vadinamas parametrus. Ir formos lygtys a + bx = c paskambino lygtis su parametrais. Atsižvelgiant į parametrus, šaknis pasikeis.
Išspręskime lygtį 2 + 4 x= 10. Tai atrodo kaip raidžių lygtis a + bx = c. Užuot atlikę identiškas transformacijas, galime naudoti jau paruoštą sprendimą. Palyginkime abu sprendimus:
Matome, kad antrasis sprendimas yra daug paprastesnis ir trumpesnis.
Norėdami gauti paruoštą sprendimą, turite padaryti mažas raštelis. Parametras b neturi būti nulis (b ≠ 0), nes dalyti iš nulio iš leidžiama.
3 pavyzdys. Pateikiama pažodinė lygtis. Išreikškite iš šios lygties x
Atidarykime skliaustus abiejose lygties pusėse
Pasinaudokime terminų perkėlimu. Parametrai, kuriuose yra kintamasis x, sugrupuojame kairėje lygties pusėje, o nuo šio kintamojo neturinčius parametrus – dešinėje.
Kairėje pusėje išimame koeficientą iš skliaustų x
Padalinkime abi puses iš išraiškos a - b
Kairėje pusėje skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti a - b. Taip galiausiai išreiškiamas kintamasis x
Dabar, jei susidursime su formos lygtimi a(x − c) = b(x + d), tada turėsime paruoštą sprendimą. Pakaks į jį pakeisti reikiamas reikšmes.
Tarkime, mums duota lygtis 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Tai atrodo lyg lygtis a(x − c) = b(x + d). Išspręskime tai dviem būdais: naudodami identiškas transformacijas ir naudodami paruoštą sprendimą:
Kad būtų patogiau, išimkime jį iš lygties 4(x− 3) = 2(x+ 4) parametrų reikšmės a, b, c, d . Tai leis mums nepadaryti klaidos keičiant:
Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, vardiklis čia neturėtų būti lygus nuliui ( a − b ≠ 0) . Jei susidursime su formos lygtimi a(x − c) = b(x + d) kuriame parametrai a Ir b bus tas pats, galime teigti jo neišsprendę, kad ši lygtis neturi šaknų, nes skirtumas identiški skaičiai lygus nuliui.
Pavyzdžiui, lygtis 2 (x – 3) = 2 (x + 4) yra formos lygtis a(x − c) = b(x + d). Eq. 2 (x – 3) = 2 (x + 4) parametrus a Ir b identiškas. Jei pradėsime ją spręsti, padarysime išvadą, kad kairioji pusė nebus lygi dešinei:
4 pavyzdys. Pateikiama pažodinė lygtis. Išreikškite iš šios lygties x
Suveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:
Padauginkite abi puses iš a
Kairėje pusėje x dėkime iš skliaustų
Padalinkite abi puses iš išraiškos (1 − a)
Tiesinės lygtys su vienu nežinomu
Šioje pamokoje aptariamos lygtys vadinamos pirmojo laipsnio tiesinės lygtys su vienu nežinomuoju.
Jei lygtis pateikta pirmuoju laipsniu, joje nėra dalybos iš nežinomybės, taip pat nėra šaknų iš nežinomybės, tada ją galima pavadinti tiesine. Mes dar nestudijavome galių ir šaknų, todėl norėdami neapsunkinti savo gyvenimo, žodį „linijinis“ suprasime kaip „paprastą“.
Dauguma šioje pamokoje išspręstų lygčių galiausiai susidarė į paprastą lygtį, kurioje produktą reikėjo padalyti iš žinomo koeficiento. Pavyzdžiui, tai yra lygtis 2 ( x+ 3) = 16 . Išspręskime.
Atidarykime skliaustus kairėje lygties pusėje, gausime 2 x+ 6 = 16. Perkelkime 6 terminą į dešinę, keisdami ženklą. Tada gauname 2 x= 16 − 6. Apskaičiuokite dešinę pusę, gauname 2 x= 10. Norėdami rasti x, sandaugą 10 padalinkite iš žinomo koeficiento 2. Vadinasi x = 5.
2 lygtis( x+ 3) = 16 yra tiesinis. Tai pasiekiama iki 2 lygties x= 10, norint rasti šaknį, kurios sandaugą reikėjo padalyti iš žinomo koeficiento. Ši paprasčiausia lygtis vadinama pirmojo laipsnio tiesinė lygtis su vienu nežinomu in kanoninė forma . Žodis „kanoninis“ yra sinonimas žodžiams „paprastas“ arba „normalus“.
Pirmojo laipsnio tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju kanonine forma vadinama formos lygtimi kirvis = b.
Mūsų gauta lygtis 2 x= 10 yra pirmojo laipsnio tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju kanonine forma. Ši lygtis turi pirmąjį laipsnį, vieną nežinomą, joje nėra dalybos iš nežinomybės ir nėra šaknų iš nežinomybės, ir ji pateikiama kanonine forma, tai yra paprasčiausia forma, kurios reikšmę galima lengvai nustatyti x. Vietoj parametrų a Ir b mūsų lygtyje yra skaičiai 2 ir 10. Tačiau tokioje lygtyje gali būti ir kitų skaičių: teigiamų, neigiamų arba lygių nuliui.
Jei tiesinėje lygtyje a= 0 ir b= 0, tada lygtis turi be galo daug šaknų. Tikrai, jei a lygus nuliui ir b lygus nuliui, tada tiesinė lygtis kirvis= b bus 0 formos x= 0. Už bet kokią vertę x kairioji pusė bus lygi dešiniajai.
Jei tiesinėje lygtyje a= 0 ir b≠ 0, tada lygtis neturi šaknų. Tikrai, jei a lygus nuliui ir b lygus bet kuriam skaičiui, o ne lygus nuliui, pasakykite skaičių 5, tada lygtį kirvis = b bus 0 formos x= 5. Kairėje pusėje bus nulis, o dešinėje - penkios. O nulis nelygu penkiems.
Jei tiesinėje lygtyje a≠ 0 ir b lygus bet kuriam skaičiui, tada lygtis turi vieną šaknį. Jis nustatomas dalijant parametrą b pagal parametrą a
Tikrai, jei a yra lygus tam tikram skaičiui, kuris nėra lygus nuliui, tarkime skaičiui 3 ir b lygus tam tikram skaičiui, tarkime skaičiui 6, tada lygtis įgis formą .
Iš čia.
Yra ir kita pirmojo laipsnio tiesinės lygties su nežinomuoju rašymo forma. Tai atrodo taip: kirvis−b= 0. Tai ta pati lygtis kaip kirvis = b
Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
