ТООН ДАРААЛУУД VI
§ l48. Нийлбэр хязгааргүй буурч байна геометрийн прогресс
Өнөөг хүртэл бид нийлбэрийн тухай ярихдаа эдгээр нийлбэрүүдийн нэр томъёоны тоог хязгаарлагдмал (жишээлбэл, 2, 15, 1000 гэх мэт) гэж үздэг. Гэхдээ зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд (ялангуяа дээд математик) нэг нь хэмжээгээр шийдвэрлэх ёстой хязгааргүй тоонөхцөл
S= а 1 + а 2 + ... + а n + ... . (1)
Эдгээр хэмжээ хэд вэ? Тодорхойлолтоор хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэр а 1 , а 2 , ..., а n , ...-ийг S нийлбэрийн хязгаар гэнэ n эхлээд n хэзээ тоо n -> ∞ :
S=S n = (а 1 + а 2 + ... + а n ). (2)
Хязгаар (2), мэдээжийн хэрэг байхгүй ч байж болно. Үүний дагуу тэд нийлбэр (1) байгаа эсвэл байхгүй гэж хэлдэг.
Тодорхой тохиолдол бүрт нийлбэр (1) байгаа эсэхийг хэрхэн олж мэдэх вэ? Ерөнхий шийдэлЭнэ асуудал манай хөтөлбөрийн хамрах хүрээнээс хол давсан. Гэсэн хэдий ч нэг чухал зүйл бий онцгой тохиолдол, үүнийг бид одоо авч үзэх ёстой. Хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн нөхцлүүдийг нэгтгэх талаар бид ярилцах болно.
Болъё а 1 , а 1 q , а 1 q 2, ... нь хязгааргүй буурах геометр прогресс юм. Энэ нь | q |< 1. Сумма первых n энэ прогрессийн нөхцөл тэнцүү байна
Хязгаарын тухай үндсэн теоремуудаас хувьсагч(§ 136-г үзнэ үү) бид дараахь зүйлийг авна.
Гэхдээ 1 = 1, a qn = 0. Тиймээс
Тэгэхээр, төгсгөлгүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр нь энэ прогрессийн эхний гишүүнийг энэ прогрессийн хуваагчаас нэг хассантай тэнцүү байна.
1) Геометр прогрессийн нийлбэр 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... тэнцүү байна.
ба геометр прогрессийн нийлбэр нь 12; -6; 3; - 3/2 , ... тэнцүү
2) Энгийн үечилсэн бутархай 0.454545 ... энгийн болгон хувиргана.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд төсөөлөөд үз дээ өгөгдсөн бутархайхязгааргүй нийлбэрээр:
Баруун талЭнэ тэгшитгэл нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд эхний гишүүн нь 45/100, хуваагч нь 1/100 байна. Тийм ч учраас
Тайлбарласан аргыг ашиглан энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлэг, § 38-ыг үзнэ үү):
Энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй: цэгийг тоологч хэсэгт оруулна. аравтын, мөн хуваагч нь аравтын бутархайн үеийн цифрүүдтэй тэнцэх хэмжээгээр авсан есөөс бүрдэх тоо юм.
3) 0.58333 .... холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувирга.
Энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэр гэж төсөөлье.
Энэ тэгшитгэлийн баруун талд 3/1000-аас эхлэн бүх гишүүд хязгааргүй буурах геометр прогресс үүсгэдэг бөгөөд эхний гишүүн нь 3/1000, хуваагч нь 1/10 байна. Тийм ч учраас
Тайлбарласан аргыг ашиглан холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлэг, § 38-ыг үзнэ үү). Үүнийг бид энд зориуд танилцуулдаггүй. Энэ төвөгтэй дүрмийг санах шаардлагагүй. Аливаа холимог үечилсэн бутархайг хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс болон тодорхой тооны нийлбэрээр илэрхийлж болохыг мэдэх нь илүү ашигтай байдаг. Мөн томъёо
Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийн хувьд та мэдээж санаж байх ёстой.
Дасгалын хувьд бид танд доор өгөгдсөн 995-1000 тоот бодлогоос гадна 301 § 38-д дахин нэг удаа хандахыг санал болгож байна.
Дасгал
995. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
996. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол.
997. Ямар үнэ цэнээр X дэвшил
энэ нь хязгааргүй буурч байна уу? Ийм прогрессийн нийлбэрийг ол.
998.V тэгш талт гурвалжинталтай А шинэ гурвалжинг түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосноор сийлсэн; Энэ гурвалжинд шинэ гурвалжинг мөн адил бичээстэй байх ба төгсгөлгүй үргэлжлэх болно.
a) эдгээр бүх гурвалжны периметрийн нийлбэр;
б) тэдгээрийн талбайн нийлбэр.
999. Хажуу талтай дөрвөлжин А түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шинэ дөрвөлжин бичээс; дөрвөлжин талбайг энэ дөрвөлжинд мөн адил бичээстэй, мөн төгсгөлгүй. Эдгээр бүх квадратуудын периметрийн нийлбэр ба талбайн нийлбэрийг ол.
1000. нийлбэр нь 25/4, гишүүний квадратуудын нийлбэр нь 625/24-тэй тэнцүү байхаар хязгааргүй буурах геометр прогресс зохио.
Бүлгийн эхэнд тэмдэглэгээг оруулснаар бид хязгааргүй нийлбэрийн тухай асуултаас овжин зайлсхийж, үндсэндээ “Үүнийг дараа нь үлдээе. Энэ хооронд бид бүх тохиолдох нийлбэрүүд зөвхөн хязгаарлагдмал тооны тэгээс бусад гишүүнтэй байна гэж бид үзэж болно! Гэвч эцсийн эцэст тооцоо хийх цаг ирлээ - бид ийм баримттай тулгарах ёстой
хэмжээ нь хязгааргүй байж болно. Үнэнийг хэлэхэд, эцэс төгсгөлгүй хэмжээ нь тааламжтай, тааламжгүй нөхцөл байдлын аль алинд нь ирдэг.
Нэгдүгээрт, тааламжгүй байдлын тухай: нийлбэрийг зохицуулахдаа бидний ашигладаг аргууд нь хязгааргүй нийлбэрт үргэлж хүчинтэй байдаггүй нь харагдаж байна. Тэгээд одоо сайн зүйлсийн хувьд: өргөн уудам байна анги зохион байгуулсанэцэс төгсгөлгүй хэмжээ, үүний төлөө бидний хийсэн бүх үйл ажиллагаа бүрэн хууль ёсны байсан. Дүгнэлтийн жинхэнэ утгыг олж мэдсэний дараа хоёр нөхцөл байдлын цаад шалтгаан тодорхой болно.
Энэ нь юу болохыг бүгд мэднэ эцсийн дүн: бид бүх нэр томьёог нэг нэгээр нь нийлтэл нийлбэрт нэмнэ. Гэхдээ асуудалд орохгүйн тулд хязгааргүй хэмжээг илүү нарийн тодорхойлох хэрэгтэй.
нь 2-той тэнцүү, учир нь бид үүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд бид үүнийг авдаг
Гэхдээ дараа нь ижил логикийн дагуу бид дүнг тооцоолох хэрэгтэй болно
-1-тэй тэнцүү, учир нь бид үүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлснээр бид авдаг
Ямар нэг хачирхалтай зүйл болж байна: яаж авах вэ сөрөг тоо, дүгнэж хэлэхэд эерэг утгууд? T-ийн нийлбэрийг тодорхойгүй орхих нь дээр юм шиг санагдаж магадгүй бөгөөд T дахь нөхцөлүүд нь ямар ч тогтмол хязгаарлагдмал тооноос их болсон гэж үзэх нь зүйтэй болов уу. (Тоо хэмжээ нь тэгшитгэлийн өөр "шийдвэр" гэдгийг анхаарна уу; энэ нь мөн тэгшитгэлийг "шийддэг"
K олонлог хязгааргүй байж болох дурын нийлбэрийн утгын зөв тодорхойлолтыг өгөхийг хичээцгээе. Эхлэхийн тулд a-ийн бүх нөхцөлийг сөрөг биш гэж үзье. Энэ тохиолдолд тохирох тодорхойлолтыг олоход хэцүү биш: хэрэв ямар нэгэн хязгаарлагдмал дэд олонлогын хувьд хязгаарлах тогтмол А байвал
тэгвэл бид нийлбэрийг бүх ийм A.-ийн хамгийн бага нь гэж үзнэ (Худагнаас дараах байдлаар мэдэгдэж байгаа шинж чанарууд бодит тоо, ийм бүх А-ийн олонлог нь үргэлж хамгийн жижиг элементийг агуулна.) Гэхдээ ийм хязгаарлах тогтмол А байхгүй бол бид үүнийг А - гэж ойлгоно.
зарим бодит тоо, тэгвэл нийлбэр нь А-аас давсан a-ийн хязгаарлагдмал тооны гишүүн байна.
Өмнөх догол мөр дэх тодорхойлолт нь К индексийн олонлогт байж болох ямар ч дарааллаас хамаарахгүй маш нарийн томъёолсон болно. Тиймээс бидний өгөх аргументууд нь зөвхөн бүхэл тоонуудын нийлбэрт хүчинтэй байх болно. гэхдээ бас олон индекстэй олон нийлбэрийн хувьд
Ялангуяа K нь сөрөг бус бүхэл тоонуудын олонлог байх үед бидний сөрөг бус нэр томъёоны тодорхойлолт нь a гэсэн үг юм.
Үүний шалтгаан нь: бодит тоонуудын буурдаггүй аливаа дараалал нь хязгаартай (магадгүй тэнцүү бол энэ хязгаар тэнцүү бол сөрөг бус бүхэл тоонуудын хязгаарлагдмал олонлогууд, тэдгээр нь бүгд тэг болно; тиймээс аль эсвэл А нь хязгаарлах тогтмол юм. Гэхдээ хэрэв А нь хэдэн тоогоор бага байвал тогтоосон хилА, тэгвэл, үүнээс гадна, хязгаарлагдмал олонлог нь А нь хязгаарлагч тогтмол биш гэдгийг гэрчилдэг.
Одоо та өгөгдсөн тодорхойлолтын дагуу тодорхой хязгааргүй нийлбэрийн хэмжээг хялбархан тооцоолж болно. Жишээлбэл, хэрэв тийм бол
Тодруулбал, түр зуурын өмнө яригдсан хязгааргүй нийлбэр ба T нь бидний таамаглаж байсанчлан 2-той тэнцүү байна. Өөр нэг анхаарал татахуйц жишээ:
Одоо сөрөг бус нийлбэрүүдийн хамт нийлбэр нь сөрөг нөхцөл агуулж болох тохиолдлыг авч үзье. Жишээ нь, ямар хэмжээтэй байх ёстой
Хэрэв бид нэр томъёог хосоор нь бүлэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
тэгэхээр хэмжээ нь болж байна тэгтэй тэнцүү; гэхдээ бид нэг алхамын дараа хосоороо бүлэглэж эхэлбэл бид авна
өөрөөр хэлбэл нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.
Энэ томьёо нь хүчинтэй гэдгийг мэдэж байгаа тул бид томъёо оруулахыг оролдож болно, гэхдээ дараа нь бид энэ хязгааргүй нийлбэр нь бүхэл тоонуудын нийлбэр учраас тэнцүү гэдгийг хүлээн зөвшөөрөхөөс өөр аргагүй болно!
Өөр нэг сонирхолтой жишээ бол k 0 ба E дээр гэж бичиж болох хоёр чиглэлд төгсгөлгүй нийлбэр юм
Хэрэв бид энэ нийлбэрийг "төв" элементээс эхлээд гадагшаа чиглүүлэх замаар тооцвол
дараа нь бид 1-ийг авна; Хэрэв бид бүх хаалтыг нэг элемент зүүн тийш шилжүүлбэл ижил 1-ийг авна.
Учир нь дотоод хаалтанд орсон бүх тооны нийлбэр нь байна
Үүнтэй төстэй үндэслэлүүд нь эдгээр хаалтанд тодорхой тооны элементийг зүүн эсвэл баруун тийш шилжүүлбэл нийлбэрийн утга 1-тэй тэнцүү хэвээр байгааг харуулж байна - энэ нь нийлбэр үнэхээр 1-тэй тэнцүү гэсэн бидний бодлыг бэхжүүлж байна. Гэхдээ нөгөө талаас, хэрэв Бид нэр томъёог дараах байдлаар бүлэглэв.
дараа нь дотоод хаалтанд тоонууд орно
ch-д. 9 Тиймээс үүнийг харуулах болно. энэ аргабүлэглэх нь хоёр чиглэлд хязгааргүй нийлбэр нь үнэндээ тэнцүү байх ёстой гэсэн санааг бий болгодог
Өгөж байгаа мөнгөнд утгагүй зүйл бий өөр өөр утгатайгишүүдээ нэмэх үед янз бүрийн аргаар. IN орчин үеийн удирдамжшинжилгээний дагуу ийм эмгэгийн нийлбэрүүдэд утга учиртай утгыг өгдөг бүхэл бүтэн цуврал тодорхойлолтууд байдаг; гэхдээ бид эдгээр тодорхойлолтыг зээлж авбал бид өнөөг хүртэл хийж байсан шигээ -тэмдэглэлээр чөлөөтэй ажиллах боломжгүй болно. Энэхүү номын зорилго нь бидэнд үзэл баримтлалын талаар нарийвчилсан тайлбар хийх шаардлагагүй юм " нөхцөлт ойртолт" - бид энэ бүлэгт ашигласан бүх үйлдлүүдийг хүчин төгөлдөр үлдээсэн хязгааргүй нийлбэрүүдийн тодорхойлолтыг баримтлах болно.
Үндсэндээ бидний хязгааргүй нийлбэрүүдийн тодорхойлолт маш энгийн. K нь олонлог, a нь тус бүрээр тодорхойлогдсон нийлбэрийн бодит утгатай гишүүн байг. (Үнэндээ энэ нь хэд хэдэн индексийг илэрхийлж болох тул K олонлог өөрөө олон хэмжээст байж болно.) Аливаа бодит тоо x-ийг эерэг ба сөрөг хэсгүүдийн зөрүүгээр илэрхийлж болно.
(Эсвэл эсвэл бид сөрөг биш учраас хязгааргүй нийлбэрийн хэмжээг хэрхэн тодорхойлох талаар тайлбарласан. Тиймээс бидний ерөнхий тодорхойлолт нь:
баруун талд байгаа нийлбэрүүд хоёулаа тэнцүү биш бол. IN сүүлчийн тохиолдолХлекийн хэмжээ тодорхойгүй хэвээр байна.
Цкекак ба нийлбэрүүд нь төгсгөлтэй байвал нийлбэр нь туйлын нийлдэг гэж хэлдэг. Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал бол нийлбэр нь төгсгөлтэй бол нийлбэр нь хуваагдана гэж хэлдэг. Үүний нэгэн адил, хэрэв энэ нь төгсгөлтэй бол, дараа нь тэд юу ч хэлдэггүй.
Бид нийлбэрийн сөрөг бус нөхцлүүдийн хувьд "ажилласан" гэсэн тодорхойлолтоор эхэлж, дараа нь нийлбэрийн гишүүд нь нийлмэл тоонууд байвал бидний тодорхойлолтыг энэ тохиолдолд сунгаж болох нь ойлгомжтой. Эдгээр нийлбэрүүд хоёулаа байгаа тохиолдолд нийлбэр нь - бодит ба төсөөллийн хэсэг a гэж тодорхойлогдоно. Үгүй бол Hkek нийлбэрийг тодорхойлохгүй (18-р дасгалыг үзнэ үү.)
Харамсалтай нь, аль хэдийн дурьдсанчлан, бидний хийж буй үйлдлүүд нь утгагүй зүйлд хүргэдэг тул зарим хязгааргүй хэмжээг тодорхойгүй үлдээх шаардлагатай болдог. (34-р дасгалыг үзнэ үү.) Сайхан зүйл бол энэ бүлгийн бүх үйлдлүүд нь бид дөнгөж тогтоосон утгаараа туйлын нийлдэг нийлбэрүүдтэй харьцах үед туйлын хүчинтэй байдаг.
Бидний нийлбэр хувиргах дүрэм бүр туйлын нийлсэн нийлбэрийн хэмжээг өөрчлөхгүй байдгийг нотлон харуулснаар бид энэхүү таатай баримтыг баталж чадна. Бүр тодруулбал, энэ нь хуваарилах, хослуулах, солих хуулиудын биелэлтийг шалгах ёстой гэсэн үг бөгөөд үүний дагуу аливаа хувьсагч дээр нийлбэр хийж эхлэх дүрэм; Энэ бүлэгт бидний хийсэн бусад бүх зүйлийг эдгээр дөрвөн үндсэн нийлбэр үйлдлээс гаргаж авч болно.
Тархалтын хуулийг (2.15) дараах байдлаар илүү хатуу томъёолж болно: хэрвээ Hkek a нийлбэр туйлын нийлбэр ба хэрэв c нь ямар нэгэн нийлмэл тоо бол Lkek туйлын нийлдэг. Үүнийг эхлээд нийлбэрийг бодит ба төсөөлөлд хувааж нотлох боломжтой. Өмнө нь үүнийг задалсан шиг эерэг ба сөрөг хэсгүүдэд хувааж, нийлбэрийн гишүүн бүр сөрөг биш байх онцгой тохиолдлыг нотолсон. Энэ тохиолдолд нотлох баримт нь ямар ч тохиолдолд ажилладаг хязгаарлагдмал олонлогСүүлчийн баримт нь багцын хэмжээтэй индукцаар нотлогддог
Нийлмэл хуулийг (2.16) дараах байдлаар томъёолж болно: хэрэв нийлбэрүүд нь A ба B-д туйлын нийлдэг бол нийлбэр нь туйлын нийлдэг. ерөнхий теорем, үүнийг бид удахгүй нотлох болно.
(2.35) томъёог хэлэлцэхдээ бид үүнийг онцгой тохиолдол болгон хэрхэн гаргаж авахыг харуулсан тул солих хуулийг (2.17) нотлох шаардлагагүй. ерөнхий дүрэмнийлбэрийн дарааллын өөрчлөлт.
Бүгдийн нийлбэр натурал тоонууддараах тооны цувралыг ашиглан бичиж болно
Энэ нь эхлээд харахад бүрэн зөрчилтэй үр дүн боловч хатуу нотлогдож болно. Гэхдээ бид нотлох баримтын талаар ярихаасаа өмнө ухарч, үндсэн ойлголтуудыг санах хэрэгтэй.
Цувралын "сонгодог" нийлбэр нь хязгаар юм гэдгийг эхэлцгээе хэсэгчилсэн дүнцуврал, хэрэв байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол. Дэлгэрэнгүй мэдээллийг Википедиа болон холбогдох ном зохиолоос олж болно. Хэрэв эцсийн хязгаарбайхгүй бол цувралыг дивергент гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь: 1 + 2 + 3 + 4 +... тооны цувралын эхний k гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг дараах байдлаар бичнэ.
k нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг тул энэ нийлбэр хязгааргүй өсдөг гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Иймээс анхны цуврал нь ялгаатай бөгөөд хатуухан хэлэхэд нийлбэргүй байна. Гэсэн хэдий ч хуваарилах олон арга бий эцсийн үнэ цэнэсалаалсан эгнээ.
1+2+3+4+... мөр нь зөвхөн салах эгнээнээс хол байна. Жишээлбэл, Grundy цувралыг авч үзье
Энэ нь бас ялгаатай боловч Cesaro-ийн нийлбэрийн арга нь энэ цувралд 1/2-ийн төгсгөлөг утгыг оноох боломжийг бидэнд олгодог нь мэдэгдэж байна. Цезарогийн хэлснээр нийлбэр нь цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдээр биш, харин тэдгээрийн арифметик дундаж утгуудтай ажиллах явдал юм. Хэрэв бид өөрсдийгөө чөлөөтэй таамаглахыг зөвшөөрвөл Grundy цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь цувралын аль гишүүн нийлбэрийн хамгийн сүүлд (+1 эсвэл -1) байхаас хамаарч 0-1-ийн хооронд хэлбэлздэг гэж хэлж болно. 1/2, арифметик дундаж нь хоёр боломжит утгуудхэсэгчилсэн дүн.
Дивергент цувралын өөр нэг сонирхолтой жишээ бол ээлжлэн цуврал 1 - 2 + 3 - 4 +... , тэдгээрийн хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь мөн хэлбэлздэг. Абелын аргаар нэгтгэн дүгнэх нь өгөгдсөн цувралд 1/4-ийн эцсийн утгыг оноох боломжийг олгодог. Абелийн арга нь нэг талаараа Сезарогийн нийлбэрийн аргын хөгжил учраас 1/4 үр дүн нь зөн совингийн үүднээс ойлгоход хэцүү биш гэдгийг анхаарна уу.
Дүгнэлтийн аргууд нь математикчдын ямар нэгэн байдлаар ялгаатай цувааг шийдвэрлэхийн тулд гаргаж ирсэн заль мэх биш гэдгийг энд тэмдэглэх нь чухал юм. Хэрэв та Cesaro нийлбэр эсвэл Абелийн аргыг нийлсэн цуваанд хэрэглэвэл эдгээр аргуудын өгөх хариулт нь нийлсэн цувааны сонгодог нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хэсэгчилсэн нийлбэрийн арифметик дундаж, түүнчлэн арифметик дундажийн арифметик дундаж нь зөрөөд байдаг тул 1 + 2 + 3 + 4 +... цуваатай ажиллахыг Сезарогийн нийлбэр ч, Абелийн арга ч зөвшөөрдөггүй. Нэмж дурдахад, хэрэв 1/2 эсвэл 1/4 утгыг ямар нэгэн байдлаар хүлээн зөвшөөрч, харгалзах цувралтай уялдуулах боломжтой бол -1/12 нь 1 + 2 + 3 + 4 +... цувралтай холбоход хэцүү байдаг. Энэ нь эерэг бүхэл тоонуудын хязгааргүй дараалал юм.
Үр дүнд хүрэх хэд хэдэн арга байдаг -1/12. Энэ тэмдэглэлд би зөвхөн тэдгээрийн аль нэгийг, тухайлбал zeta функцээр зохицуулах талаар товчхон ярих болно. Зета функцийг танилцуулъя
Орлуулах s = -1, бид эх хувийг авдаг тооны цуврал 1+2+3+4+…. Энэ функц дээр хэд хэдэн энгийн математик үйлдлүүдийг хийцгээе
Дирихлет эта функц хаана байна
Үнэ цэнэтэй үед s = -1Энэ функц нь аль хэдийн танил болсон 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... цуврал болж, "нийлбэр" нь 1/4-тэй тэнцүү байна. Одоо бид тэгшитгэлийг хялбархан шийдэж чадна
Сонирхолтой нь, энэ үр дүн нь физикт хэрэглэгдэх болно. Жишээлбэл, утаснуудын онолд. Иосеф Полчинскийн “Утасны онол” номын 22-р хуудсыг сөхье.
Хэрэв зарим хүмүүсийн хувьд энэ онолын олон үр дагаврыг нотлох нотолгоо байхгүйн улмаас утсан онол нь итгэл үнэмшилтэй жишээ биш юм бол үүнтэй төстэй аргууд энд гарч байгааг дурдаж болно. квант онолКасимир эффектийг тооцоолохыг оролдох үед талбарууд.
Хоёр удаа явахаас зайлсхийхийн тулд zeta функцтэй хэд хэдэн сонирхолтой жишээг энд оруулав
Хүлээн авах хүсэлтэй хүмүүст зориулав дэлгэрэнгүй мэдээлэлЭнэ сэдвийн талаар би Wikipedia дээрх холбогдох нийтлэлийг орчуулсны дараа энэ тэмдэглэлийг бичихээр шийдсэнээ тэмдэглэх болно, энд "Холбоос" хэсгээс та маш их зүйлийг олж мэдэх боломжтой. нэмэлт материал, ихэвчлэн англи хэл дээр.
Дэвид Берман, Марианна Фрайбергер
Саяхан маш хачирхалтай үр дүн яригдсан. Бүх натурал тоог нийлбэл гэж заасан байдаг
дараа нь нийлбэр нь тэнцүү байх болно. Энэ санааг видеон дээр харуулав Numberphile, энэ нь үр дүн нь батлагдсан гэж заасан бөгөөд мөн физикт өргөн хэрэглэгддэг гэж хэлсэн. Энэ санаа нь хүмүүсийг маш их гайхшруулж, Нью Йорк Таймс сонинд хүртэл гарчээ. Тэгэхээр энэ бүхэн юу гэсэн үг вэ?
Математик
Юуны өмнө бүх натурал тоонуудын хязгааргүй нийлбэр нь тэнцүү биш юм. Та тооцоолуур дээр хэсэгчилсэн дүнг тооцоолж үүнийг хялбархан шалгаж болно
гэх мэт. өсөхийн хэрээр, өөрөөр хэлбэл нэмсэн натурал тооны тоо нэмэгдэхийн хэрээр улам бүр томордог. Уг нь хэрэв та хангалттай томыг сонговол хүссэн хэмжээгээрээ том болгож чадна. Жишээлбэл, хэрэв та хүлээн авбал
Тэгээд хүлээж авахдаа
Тийм учраас математикчид ингэж хэлдэг энэ цувралялгаатай. Эсвэл нийлбэр нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна гэж илүү чөлөөтэй тайлбарлавал.
Шриниваса Раманужан
Тэгэхээр энэ нь хаанаас ирсэн бэ? Үнэн хэрэгтээ энэ буруу үр дүн 1913 онд Энэтхэгийн алдарт математикч Сриниваса Раманужаны бүтээлээс гарчээ. Гэвч Раманужан юу хийж байгаагаа мэдэж байсан тул бичих шалтгаан түүнд байсан. Тэрээр Эйлер зета функц гэж нэрлэгддэг функцийг судалжээ. Энэ юу болохыг ойлгохын тулд эхлээд хязгааргүй нийлбэрийг авч үзье
Натурал тоонуудын квадратуудын эсрэг тоог нэмэхэд энэ нийлбэр гарч байгааг харж болно.
Одоо энэ хэмжээ нь ялгаагүй. Хэрэв бид дээр дурдсанчлан хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллыг авч үзвэл,
дараа нь олж авсан үр дүн нь хүссэн тоондоо ойртох боловч хэзээ ч хэтрэхгүй. Математикчид цуваа нь нийлдэг, эсхүл цувааны нийлбэр нь тэнцүү байна гэж ярьдаг.
Хэрэв бид натурал тоонуудыг хуваагч дахь квадрат болгохын оронд өөр түвшинд өсгөвөл юу болохыг харцгаая? Энэ нь харгалзах хэмжээ нь болж байна
-ээс их тоо байвал эцсийн утга руу нийлнэ. Гарчиг тус бүрийн хувьд = " QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} гарамгай математикч 17-р зуун, Леонхард Эйлер.
Одоогоор маш сайн. Гэхдээ бид -ээс бага тоог авч үзвэл юу болох вэ? Жишээлбэл, хэрэв та авбал юу болох вэ? Харцгаая.
Тиймээс бид зөрүүтэй гэдгийг мэддэг анхны нийлбэрээ авсан. -ээс бага буюу тэнцүү бусад утгуудын хувьд мөн адил байна: нийлбэр зөрүүтэй байна.
Сэтгэгдэл.Эйлерийн zeta функцийн үргэлжлэл. -ээс их бодит тоонуудын хувьд авч үзсэн Эйлер зета функц тодорхойлогддог. Бодит тоонууд нь том тоонуудын нэг хэсэг юм нийлмэл тоо. Бодит тоонууд нь тоон шулуун дээрх бүх цэгүүдтэй тохирч байхад нийлмэл тоо нь бодит тооны шулууныг агуулсан хавтгай дээрх бүх цэгүүдэд тохирдог. Энэ хавтгайг нарийн төвөгтэй хавтгай гэж нэрлэдэг. Аргумент нь бодит тоо байдаг функцүүд тодорхойлогддог шиг аргументууд нь комплекс тоонууд байдаг функцүүдийг тодорхойлж болно.
Нэг гайхалтай баримтНарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцүүдийн тухайд байгаа зүйл бол хэрэв та ямар нэг өгөгдлийн багц дээрх функцийн утгыг мэддэг бол (техникийн зарим нарийн ширийн зүйл хүртэл) функцийн утгыг аль ч үед мэдэж болно. нарийн төвөгтэй хавтгай. Функцийн хүрээг тэлэх энэ аргыг аналитик үргэлжлэл гэж нэрлэдэг. -ээс их бодит тоонуудад Эйлерийн zeta функц тодорхойлогддог. Бодит тоо нь нийлмэл тоо учраас бид энэ функцийг гэж бодож болно нарийн төвөгтэй функц, дараа нь авахын тулд аналитик үргэлжлэлийг ашиглана шинэ онцлог, бүх хавтгайд тодорхойлогдсон боловч -ээс их бодит тоонуудын хувьд Эйлер zeta функцтэй нийцдэг. Энэ бол Riemann zeta функц юм.
Бас нэг зүйл хийж болох юм. Хүчтэй математик ашиглах ( цогц дүн шинжилгээТайлбарыг үзнэ үү), бид Эйлер zeta функцийн тодорхойлолтын мужийг өргөжүүлж болох бөгөөд ингэснээр түүнээс бага буюу тэнцүү тооны хувьд энэ функц нь төгсгөлтэй утгыг авна. Өөрөөр хэлбэл, шинэ функцийг тодорхойлох арга бий, үүнийг нэрлэе, тэгэхээр title="Rendered by QuickLaTeX.com)." height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
Мөн функцийн хувьд тодорхой эцсийн утгыг авна. Энэ аргыг аналитик үргэлжлэл гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний үүсгэсэн шинэ функцийг 18-р зууны математикч Бернхард Риманы нэрээр Риманы зета функц гэж нэрлэдэг. (Хязгаарлагдмал утгыг авдаг энэхүү шинэ функцийг бий болгох нь дивергент цуваанаас өөр дивергент цувааг хасахаас бүрдэх бөгөөд ингэснээр эхний дивергент нийлбэрээс үүсэх хязгааргүйг хасч, хоёр дахь дивергент нийлбэрээс үүсэх хязгааргүйг хасна.)
Сайн байна. Одоо бидэнд title="Rendered by QuickLaTeX.com) гэсэн функц байна" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Хэрэв та -ийн төлөө гэж таамаглаж алдаа гаргавал та (буруу) тэгш байдлыг авах болно.
Энэ нь Раманужан яагаад энэ нууцлаг илэрхийлэлийг бичсэнийг тайлбарладаг.
Зальтай
Тэгвэл бүх натурал тоонуудын нийлбэр нь -тэй тэнцүү гэдгийг видеон дээрх хүмүүс хэрхэн "баталсан" бэ? Тэд үнэндээ үүнийг хийгээгүй. Энэ бичлэгийг үзэх нь ид шидтэнг харж, туулайг малгай руу хэзээ буулгаж байгааг тодорхойлохыг оролдсонтой адил юм. "Нотолгооны" эхний алхам нь таныг нэлээн тэнэг зүйлд итгүүлэхийг оролддог, тухайлбал хязгааргүй хэмжээгээр.
Видео нь энэ талаар удаан дурдаагүй бөгөөд энэ нь ойлгомжтой гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ нь утга учиртай эсэхийг мэдэхийн тулд үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. нийлбэр байг хязгаарлагдмал тоо, үүнийг нэрлэе. Өөрсдийгөө нэмбэл бид хязгааргүй нийлбэрийг авдаг
Гэхдээ энэ бол зөвхөн анхны дүн, хаанаас авсан
Учир нь энэ нь үнэн биш юм. Тиймээс хязгааргүй нийлбэрийг тэнцүү гэж үзэж болно гэсэн үг буруу байна. Үнэн хэрэгтээ, та хязгааргүй хэмжээгээр ялгаатай үр дүнг ашиглан өөр өөр үр дүнд хүрч чадна. Энэ бол заль мэх!
Физик
Гэхдээ энэ сониуч буруу үр дүн нь видеон дээр үзүүлсэн шиг физикийн сурах бичигт хэрхэн бичигдсэн бэ? Эндээс л юм үнэхээр сонирхолтой болдог. Та хоёр дамжуулагч металл хавтанг аваад вакуум дотор хоорондоо параллель байхаар байрлуулна гэж бодъё. Сонгодог физикийн дагуу энэ хоёр хавтангийн хооронд ямар ч хүч үйлчлэх ёсгүй.
Касимир эффект
Гэхдээ сонгодог физикЭнэ нь дэлхий ертөнцийг маш жижиг хэмжээсээр харахад таны харж буй хачирхалтай нөлөөг харгалздаггүй. Тэдгээрийг анхаарч үзэхийн тулд бидэнд маш хачирхалтай олон зүйлийг шаарддаг квант физик хэрэгтэй. Үүний нэг нь вакуум хоосон биш, үйл ажиллагаа дүүрэн байдаг. Бүх цаг үед гэж нэрлэгддэг виртуал бөөмс. Энэ үйл ажиллагаа гэж нэрлэгддэг өгдөг тэг энерги: Аливаа зүйлд байж болох хамгийн бага энерги хэзээ ч тэг байдаггүй. Та математик эсвэл квант физик ашиглан хоёр хавтангийн хоорондох нийт энергийн нягтыг тооцоолохыг оролдоход хязгааргүй нийлбэр гарч ирнэ.
Энэ хязгааргүй нийлбэр нь Эйлерийн zeta функцэд утгыг залгахад олж авах зүйл юм:
Харамсалтай нь учир нь энэ хэмжээ diverges (тэр үүнийг илүү хурдан хийдэг) гэсэн үг юм хязгааргүй нягтралэрчим хүч. Энэ бол утгагүй зүйл гэдэг нь ойлгомжтой. Гэхдээ хязгааргүй нийлбэр нь Эйлерийн зета функцтэй биш харин Риманы зета функцтэй тэнцүү байна гэж хачирхалтай таамаглавал яах вэ? За, тэгвэл та хязгаарлагдмал эрчим хүчний нягтралтай болно. Энэ нь металл ялтсуудын хооронд татах хүч байх ёстой гэсэн үг бөгөөд энэ нь бас инээдтэй мэт санагддаг, учир нь сонгодог физикт хүч байх ёсгүй гэж үздэг.
Гэхдээ энд гэнэтийн зүйл байна. Физикчид туршилт хийхдээ хүч үнэхээр байдаг бөгөөд энэ нь яг тэнцүү энергийн нягттай тохирч байгааг олж мэдэв!
Энэ гайхалтай физик үр дүнГолландын физикч Хендрик Касимирийн нэрээр нэрлэгдсэн Касимир эффект гэж нэрлэгддэг.
Үүнийг үнэлэхэд хэсэг хугацаа зарцуулаарай. Квантын физикэрчим хүчний нягтрал тэнцүү байх ёстой гэж хэлсэн
Энэ бол утгагүй зүйл боловч хэрэв та (алдаатай) энэ хэмжээг тооцоолсон бол туршилтууд харуулж байна утгатай тэнцүү байна zeta функц дээр, та зөв хариултыг авах болно. Тэгэхээр байгаль Раманужаны санааг дагаж байгаа бололтой. Тэрээр Эйлерийн zeta функцийг -аас бага утгуудыг багтаахын тулд өргөтгөж, хязгааргүй утгыг ухаалгаар хасаж, төгсгөлтэй утгыг гаргажээ. Энэ бол гайхалтай!
Бид Numberphile-ийн видео болон физикийн сурах бичигт хоёуланг нь харж байгаа бөгөөд яагаад гэвэл та Касимир эффектийг нэг хэмжээст (шугамын дагуу, 3D хэлбэрээр биш) болж байгааг төсөөлөхөд таны авч үзсэн энергийн нягтрал , -тэй тэнцүү байна. .
Тэгвэл Numberphile-ийн хүмүүс яагаад ийм хачирхалтай "үр дүнг" сурталчилж байна вэ? Тэд мэдээж аналитик үргэлжлэлийг мэддэг бөгөөд энэ нь функцийг нэлээд тодорхой болгодог, гэхдээ энэ нь тэдний видеонуудад хэтэрхий техникийн зүйл юм. Мэдэх аналитик аргаарын халаасандаа нууж байгаад эцсийн үр дүнг боломжийн болгодог үргэлжлэл тэд ухаалаг урагшиллаа. Ингэхдээ тэд нэг сая гаруй үзэлт авч, дэлхий нийтээр zeta функц болон математикийн талаар ярьж эхэлсэн. Тэдэнд энэ талаар баяр хүргэж болно. Зета функцийн математик нь гайхалтай бөгөөд бидний энд тайлбарласан зүйл бол зөвхөн эхлэл юм. урт жагсаалтгайхалтай математик шинж чанарууд. Бид математик, физикийг сурталчлахдаа юу хэлэхгүй, юу тайлбарлахаа сонгох хэрэгтэй болдог. Энэ шугамыг хаана зурах нь биднээс хамаарна.
