4.1. Математикийн томъёо

Орчин үеийн шинжлэх ухааны нийтлэлүүд ханасан байна математик аргууднотлох баримт. Эрдэмтэд текст рүү ордог их тоотомъёо, тэмдэг. Математикийн томьёоны ялгаатай шинж чанарууд нь их хэмжээний семантик төвлөрөл, тэдгээрт агуулагдах материалын хийсвэрлэлийн өндөр түвшин, математик хэлний өвөрмөц байдал юм. Энэ дотор байна тодорхой хэмжээгээрУншигчийн текстийн талаарх ойлголтыг хүндрүүлж, редакторын өмнө олон асуудал үүсгэдэг.

Математик томьёо нь мэдэгдлийн (өгүүлбэр, шүүлт) бэлгэдлийн дүрслэл юм. Томъёо нь нарийн төвөгтэй үг хэллэг, янз бүрийн үйлдлийг текст дэх тоон үзүүлэлтээр солиход тусалдаг. Энэ зорилгоор тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг - тэмдэглэгээг гурван бүлэгт хувааж болно.

- математик болон физик-техникийн хэмжигдэхүүний ердийн үсгийн тэмдэглэгээ;

– хэмжигдэхүүнийг хэмжих нэгжийн тэмдэг;

- математикийн тэмдэг.

Редактор нь томьёогүй тексттэй харьцуулахад олон томьёотой тексттэй ажиллах нь илүү хялбар байдаг гэсэн үзэл бодол байдаг. Энэ нь буруу, учир нь томьёо илүү их хэмжээгээртекстээс илүү хувиргаж, байж болно янз бүрийн хэлбэрүүдбүртгэл, тодорхой хэвлэл бүрийн тодорхой томъёо бүрийн хувьд оновчтой хэлбэрийг сонгох ёстой. Энэ тохиолдолд ямар уншигчдад зориулагдсан болохыг харгалзан үзнэ. энэ ном, мөн томьёо тус бүрийн онцлог шинж чанарууд нь алдаа, ойлгомжгүй байдал, унших боломжгүй байдлаас зайлсхийх болно. Үүнийг нэг томьёо бичих жишээн дээр харцгаая.

1. Тээврийн хэрэгслийн ашиглалтын хурд

Tn - хувцастай байх хугацаа.

Энэ хэлбэрээр томъёо нь жишээлбэл, их сургуулийн сурах бичигт тохиромжтой.

2. Тээврийн хэрэгслийн ашиглалтын хурд

Энд L нь жижүүр (ажил дээрээ) байх хугацаандаа автомашины туулсан зай;

Tn - хувцастай байх хугацаа.

Ийм бүртгэл нь жишээлбэл, уншигч нь аль хэдийн бэлтгэгдсэн курсын дизайны сурах бичигт нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц бөгөөд энэ хэсэг нь тооцооллын зарим арга зүйн нэг хэсэг юм.

3. Инженер-техникийн ажилчдад зориулсан үйлдвэрлэлийн хэвлэлд гарсан ижил томъёог сонгон шалгаруулалтад оруулж болно.

Машины ажиллах хурд v e =L/T n, L нь миль; Tn - хувцастай байх хугацаа.

4. Сургуулийн сурагчид болон мэргэжлийн сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичигт энэ томъёо нь өөр хэлбэртэй байх ёстой.

Ашиглалтын хурдыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг бөгөөд энэ нь хөдлөх бүрэлдэхүүний жижүүрийн (ажил дээр) байх үеийн нөхцөлт дундаж хурдыг тодорхойлдог бөгөөд миль, жижүүрийн хугацаатай харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогддог.

Энд L нь машин ажиллаж байх хугацаандаа туулсан зай;

Tn - хувцастай байх хугацаа.

Ийм бичлэг нь оюутанд анхны параметрүүд нь үр дүнд хэрхэн нөлөөлж байгааг тодорхой харах боломжийг олгодог. Аль параметр нь эцсийн үр дүнд шууд пропорциональ нөлөөлж байгааг ойлгох, аль нь эсрэгээр томьёог санаж, физикийн хамаарлын математик тэмдэглэгээний "сонгодог" хэлбэрийг сурахад хялбар байдаг.

5. Нийтлэг уншигчдад зориулсан шинжлэх ухааны алдартай уран зохиолд бүхэл бүтэн номонд нэг юмуу хоёр томьёо байдаг бол математик хэлбэрээр бичих нь зохисгүй мэт санагддаг. Тиймээс үүнийг ингэж хийх нь дээр.

"Тээврийн хэрэгслийн ашиглалтын хурд нь түүний ашиглалтын хамгийн чухал үзүүлэлтүүдийн нэг болох дараахь тооцоогоор тодорхойлогддог.

6. Б шинжлэх ухааны нийтлэлүүд, жишээ нь, энэ томъёо нь уншигчдад байхгүй зарим үзэгдлийг тайлбарлахын тулд зөвхөн сануулах зорилгоор шаардлагатай байдаг. шууд харилцааАвтомашины ашиглалтын үзүүлэлтийг тооцоолохын тулд уламжлалт хэлбэрийн томъёог бүхэлд нь орхиж болох бөгөөд түүний утгыг дараахь үгээр илэрхийлнэ: "Машины ашиглалтын хурдыг ашиглалтын хугацаанд хуваасан миль, Тээврийн нэгдлийн флотын оновчтой бүтцийг бүрдүүлэхэд анхаарах хамгийн чухал үзүүлэлтүүдийн нэг юм."

Хэрэв бид дээр дурдсан хувилбаруудыг одоо үнэлж үзвэл тэдгээр нь ойлгоход хялбар, барилгын нягтрал, хэвлэн нийтлэх хөдөлмөрийн эрч хүчээр эрс ялгаатай болохыг харахад хэцүү биш юм. Энд бид "хөдөлмөр их шаарддаг хэвлэл" гэсэн ойлголтыг засварлах, дахин хэвлэх, унших зэрэг хөдөлмөрийн эрчмийг нөхцлөөр оруулах болно. Сонголт бүр нь өөрийн гэсэн, бусдаас ялгаатай, ойлголт, нягтрал, хөдөлмөрийн эрчмийн үзүүлэлттэй байдаг.

Үг үсгийн сонголтыг авч үзсэн хамгийн энгийн томъёо, гэхдээ энэ нь илүү төвөгтэй болж хувирвал индекс бичих хэлбэрийг өөрчлөх, томьёо дахь параметрүүдийн функциональ бүлгийг тодруулах, нэг цогц томъёог хэд хэдэн энгийн болгон хуваах боломжтой холбоотой бусад сонголтууд гарч ирнэ гэж төсөөлөхөд хялбар байдаг. нэг болон эсрэгээр "давхарын тоо" -ыг бүхэлд нь томъёо болон түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг өөрчлөх.

Математикийн томьёог засварлах тухай бидний яриаг үргэлжлүүлэхийн өмнө томъёонд юу өөрчлөгдөхгүй гэж тооцогддог, юуг өөрчлөх боломжтойг тодорхойлох шаардлагатай. Тусгай ном зохиолд тодорхой бөгөөд хоёрдмол утгагүй өгүүлдэг: математикийн томьёо нь стандартаар тогтоогдсон эсвэл салбарт нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг ашиглах ёстой.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн боловч шинж тэмдгүүдийн зөвхөн багахан хэсэг нь стандартаар зохицуулагддаг бөгөөд дүн шинжилгээ хийхдээ "нийтлэгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн" тэмдэгтүүд байдаг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. тусгай уран зохиолНэг сэдвээр ихэвчлэн тухайн салбарт биш, харин нэг байгууллагад "ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрөгдсөн" байдаг. Энэ нь ялангуяа индексийн хувьд үнэн юм.

Зөвхөн нэг шинжлэх ухааны салбарт шаардлагатай олон хэмжигдэхүүнүүд нь шинжлэх ухааны бусад салбар дахь ижил төстэй хэмжигдэхүүний тэмдэглэгээнээс ялгаатай өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй байх ёстой. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд, i.e. Тэмдэгтийг хувийн болгохын тулд индексийг ашиглана уу. Үндсэн үсгийн тэмдэглэгээнд тодорхой утгыг харуулсан индекс нэмж оруулсан болно. Тэгэхээр, Латин үсэг L эсвэл l нь ихэвчлэн урт, интервал, цар хүрээ, хүрээ, үе гэх мэтийг илэрхийлдэг. Хэрэв уртын тухай тодорхой ойлголтыг тодорхойлох шаардлагатай бол ерөнхий тэмдэгт дээр тодруулах индекс нэмнэ. Жишээ нь:

L k – завины хойд хэсгийн урт;

L pr - аялах зай;

l e - aileron span;

l ск – хяргах хэсгийн урт.

Индексийг бүрдүүлэх үндсэн материалууд нь жижиг үсэгОрос цагаан толгой. Латин цагаан толгойн үсгийг маш бага ашигладаг бөгөөд Грек, ялангуяа Готик үсгийг маш ховор ашигладаг. Ихэнх тохиолдолд индексүүдэд араб тоо, математикийн тэмдэглэгээг ашигладаг. Үсгийн тэмдэглэгээний байршлаас хамааран индексийг доод ба дээд гэж хуваадаг бөгөөд доод индексийг илүүд үздэг. Баруун талын дээд тэмдгийг ашиглахгүй байх нь дээр, учир нь энэ нь экспонентийн газар юм. Ихэнхдээ зураасыг дээд скрипт болгон ашигладаг: h?; h??.

Заримдаа яг ижил дүр төрхтэй тэмдэглэгээг ялгах шаардлагатай бол, мөн тэмдэглэгээ нь аль хэдийн зарим индекс, градусаар тоноглогдсон тохиолдолд индексийг зүүн дээд талд байрлуулж болно. Жишээлбэл, Q бариулын эргэлтийн өнцгийн тэмдэглэгээ байдаг бөгөөд энэ нь хүч хэрэглэх цэгээс хамааран 1, 2, 3-р тэмдэгтүүд, түүнчлэн ?, ??, ??? ... - хүч хэрэглэх олон түвшнээс хамаарч (Тиймээс Q1? - 1-р цэгт хүч хэрэглэх эхний арга; Q 1 ?? - 1-р цэгт хүч хэрэглэх хоёр дахь үйлдэл гэх мэт). Хэрэв та эргэлтийн өнцгийг (саваа зангилааны зүүн эсвэл баруун талд) сонгох шаардлагатай бол зүүн дээд индексийг ашиглана уу: ? – зангилааны зүүн талын өнцгийг зааж өгөх; p – зангилааны баруун талын өнцгийг заана. Тэгэхээр, индекс бүхий үсгийн тэмдэглэгээ? Q 1 - зангилааг зүүн тийш эргүүлэх үед 1-р цэгт хүч хэрэглэх эхний үйлдэл.

Тэг нь индексийн хувьд үсгийн тэмдэглэгээнд "тооцсон", "анхны", "эхний", хүндийн төвтэй холбоотой гэх мэт утгыг өгдөг бөгөөд "бодисын стандарт төлөв" гэсэн утгаар бас ашиглаж болно. жишээ нь, л 0 – загварын урт, т 0 - анхны температур.

Хэд хэдэн үгнээс бүрдсэн индексийг эхний болон онцлог үсгээр товчилно. Түүнчлэн, хэрэв индекс нь хоёр буюу гурван товчилсон үгээс бүрдсэн бол сүүлчийнхээс бусад нь тус бүрийн ард цэг тавина, жишээлбэл S суваг- лифтний талбай.

Одоо томъёоны ойлголтын талаар шууд. Сайн ойлгосон томьёо бол ойлгох, санахад хялбар томъёолол гэдгийг нийтээрээ хүлээн зөвшөөрдөг. Хоёр нэмэлт шаардлагыг нэмье.

1. Бусад зүйл ижил байх тул бичгээр (гараар) хялбар бөгөөд хоёрдмол утгагүй хуулбарлах боломжтой томьёо дахь ийм тэмдгийг давуу эрх олгох хэрэгтэй. Юуны өмнө энэ нь сурах бичиг, багшийн самбар дээр бичсэн томъёо, сурагч тэмдэглэл бичих гэх мэт зүйлд хамаарна. Янз бүрийн цагаан толгойн үсгүүдийн ижил төстэй загвар, индексийн үндэслэлгүй нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан энд хүндрэл гардаг. Тиймээс, R g.ts бичиж, дараа нь уншихад хялбар байдаг. Одоо оруулгыг уншиж үзье? жишээ нь Илэрхий мэт санагдах энэхүү тэмдэглэгээний хувьд 100 гаруй (!) унших сонголт байдаг, учир нь s (“ro” жижиг ба том үсгээр; “pe” жижиг ба том үсгээр; “er” жижиг ба том үсгээр); e-ийн дөрвөн сонголт ("e" ба "el", мөрөнд болон индекс); g-ийн зургаан сонголт ("de" ба "zhe"; мөрөнд, нэг ба хоёрдугаар зэргийн индекст). Нэмж хэлэхэд бичлэгийг бүхэлд нь “? логарифм."

2. Томъёо нь сайн график дизайнтай байх ёстой. Жишээлбэл, хүчин зүйлсийн дунд байрлах тоонууд (урд нь тавих нь дээр), нийлмэл илтгэгч ба индексүүд, олон үе шаттай индексүүд, авсаархан хэлбэрт шилжүүлсэн нийлмэл томъёог муу хүлээн авдаг.

Томъёоны "гадаад төрхийг" улам бүр дордуулдаг график гажуудлын онцгой төрөл бол бичих дүрмийг зөрчсөн явдал юм. Үүнийг хялбарчлахыг хүсч байгаа тул заримдаа дээд индексүүд доод индексүүдтэй харьцуулахад шилждэг (K av tkm). Индекс дэх цэгүүд нь ихэвчлэн байрлалгүй, үржүүлэх тэмдэг шиг харагддаг (Д Б.П). Туршлагагүй бичээчид индекс дэх томъёоны ард таслал бичдэг (A = BC руу). Холболтын цэгийн хэмжээг сонгох дүрмийг дагаж мөрдөөгүй бөгөөд үүний үр дүнд томъёо, тайлбар нь тохиромжгүй болно. ижил төстэй найзнайз дээр. Хэрэв янз бүрийн цагаан толгойн үсгүүд индексээс олдвол тэдгээр нь ихэвчлэн тааруухан зохицдог ("бүжиг"). "Налуу зураас" хуваах тэмдэг нь ихэвчлэн ногдол ашиг болон хуваагчийн өндрөөс бага (цэгийн хэмжээнээс бага) байдаг.

Томьёог сайн ойлгох үндсэн нөхцлийн тухайд - тэдгээрийг ойлгох, цээжлэхийг хөнгөвчлөхийн тулд дараахь зөвлөмжийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

– бусад зүйлс тэнцүү бол шифрлэгдсэн үгийн эхний үсэг болох орос тэмдэгтүүд мэдрэгддэг, өөрөөр хэлбэл. Латин эсвэл Грек хэлнээс илүү сайн ойлгож, санаж байна;

- товчлолыг бүтээл гэж ойлгодог тул тэмдэг болгон ашиглах нь зохисгүй;

- индекс нь хэрэв боломжтой бол шифрлэгдсэн үг, хэллэгийг аль болох тодорхой тусгасан байх ёстой;

Томьёог ойлгох, санахад хялбар бөгөөд энэ нь параметрийн өөрчлөлтийн шинж чанараас тооцооллын үр дүнгийн хамаарлыг тодорхой тусгасан болно.

Нэгж физик хэмжигдэхүүнүүдТомъёоны тоон утгыг орлуулж, завсрын тооцоог хийсний дараа - эцсийн үр дүнг авахдаа байрлуулах ёстой. Жишээ нь:

буруу:

s = KTm / s = 1.4 · 290 · 300 м / с = 350 м / с;

Баруун:

s = CT = 1.4 · 290 · 300 = 350 м/с.

Математик тэмдэгтүүд нь математикийн ойлголт, өгүүлбэр, тооцооллыг бүртгэхэд ашигладаг тэмдэгтүүд гэж тодорхойлогддог. Тиймээс "тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа" гэсэн тэмдэгт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Математик тэмдгүүдийг гурван бүлэгт хуваадаг.

1) тэмдэг математикийн объектууд(цэг, шулуун, хавтгай) ихэвчлэн үсгээр (A, B, C...; a, b, c...; ?, ?, ? ... );

2) нэмэх (+) ба хасах (-) тэмдэг; эрх мэдэлд хүрэх a 2 , А 3 гэх мэт; үндэс V; тригонометрийн функцүүдийн тэмдэг log, sin, cos, tg гэх мэт; хүчин зүйл!; дифференциал ба интеграл dx, ddx,…, ?ydx, модуль | x |;

3) харилцааны шинж тэмдэг (= – тэгш байдал, > – илүү,< – меньше, || – параллельность, ? – перпендикулярность, ? – тождествен–ность, ? – приблизительное равенство).

Объектийн шинж тэмдгүүдээс бусад бүх тэмдгийг зөвхөн томъёонд ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг холбогдох утгын үгийн оронд ашиглахыг хориглоно. Текст дэх объектын тэмдгүүдийг А цэг дээр, а хавтгайд, х өнцгөөс гэсэн үгсээр ашиглаж болно.

Ихэнхдээ томъёоны дараа тайлбар байдаг - томьёонд орсон тэмдэгтүүдийн кодыг тайлах. Түүний элементүүдийг томъёонд тэмдэглэгээг унших дарааллаар байрлуулна. Өөр өөр индекстэй ижил үсгүүдийг бүлэглэхийг зөвлөж байна. Бутархай томьёоны илэрхийллийг тайлахдаа эхлээд тоологчийн үсгийн тэмдэглэгээ, дараа нь хуваагчийг тайлбарлана.

Хэрэв тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа тэмдгийн утгыг тайлах шаардлагатай бол өгүүлбэрийн хэсгийн өмнөх томъёонд үүнийг хийхийг зөвлөж байна. Харамсалтай нь энэ зөвлөмжийг үргэлж дагаж мөрддөггүй.

“Цэргийн эдийн засгийн мэдээ” (2002. No12) сэтгүүлээс жишээ татъя.

Зэвсэг, техникийг тээвэрлэх зардлыг томъёогоор тооцоолно

W p.e.t. = p.v.t-д? p.v.t-тэй юу? D p (29)

Хаана W p.e.t.- ижил төрлийн зэвсэг, техникийг тээвэрлэх зардал, рубль; p.v.t.-д.- тээвэрлэсэн зэвсгийн тоо хэмжээ (тоног төхөөрөмж) энэ төрлийн, нэгж; p.v.t-ээс 1 км тутамд 1 нэгж зэвсэг (тоног төхөөрөмж) тээвэрлэх зардал рубль; Д n– зэвсэг (тоног төхөөрөмж) тээвэрлэх хүрээ, км.

Тооцооллыг зэвсгийн төрөл (тоног төхөөрөмж) тус бүрээр тусад нь хийдэг.

Нэмж дурдахад, тээвэрлэж буй зэвсэг, хэрэгслийг тавцан дээр бэхлэхийн тулд бэхэлгээний материалыг ашигладаг - утас, хадаас, үдээс, модон дам нуруу эсвэл тусгай бэхэлгээний хэрэгсэл. Тэднийг худалдаж авахын тулд мөнгө шаардлагатай. Бэхэлгээний материалыг худалдан авах зардлыг томъёогоор тооцоолно

Z k.m = V p.v.t? Ц к.к.м, (30)

энд Z км - бэхэлгээний материал худалдан авах зардал, урэх; p.v.t-д - тээвэрлэсэн зэвсэг, техник хэрэгслийн тоо, нэгж; Ц к.к.м - 1 багц бэхэлгээний материалын үнэ (нэгж төхөөрөмжид), урэх.

Бэхэлгээний материал (бэхэлгээний хэрэгсэл) худалдан авах зардлыг зөвхөн зэвсэг, техник хэрэгслийг тээвэрлэх үнэд оруулаагүй тохиолдолд тусад нь тооцно.

Дасгал хийх явцад боловсон хүчнийг янз бүрийн төрлийн тээврийн хэрэгслээр тээвэрлэх зардлыг томъёогоор тодорхойлно

Z p.l.s = V морины хүч? p.h-тэй юу? D p, (31)

Энд Z p.l.s - тодорхой төрлийн тээврийн хэрэгсэлд ажилчдыг тээвэрлэх зардал, руб.; морины хувьд - тодорхой төрлийн тээврийн хэрэгслээр тээвэрлэсэн ажилчдын тоо, нэгж; C p.h - 1 км тутамд нэг хүнийг тээвэрлэх зардал тодорхой төрөлтээвэрлэх, үрэх; D p - ажилчдын тээврийн хүрээ, км.

Эхний, хоёр дахь, гурав дахь томьёо дахь тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа тэмдгийг томьёоны өмнөх бичвэрт тайлах ёстой. Хаа сайгүй В тэмдэг нь тээвэрлэсэн зэвсэг, боловсон хүчний тоо, нэгжийг илэрхийлдэг. С тэмдэг – 1 км-т 1 хүн, 1 зэвсэг тээвэрлэх зардал; D - зэвсэг, бие бүрэлдэхүүнийг тээвэрлэх зай, км. Томъёо бүрийн дараа дахин давталгүйгээр тэмдэгтүүдийн кодыг тайлахдаа нэг удаа өгөх шаардлагатай болно.

Томъёоны дараа тайлбарын өмнө таслал тавьж, тайлбар нь хаана гэсэн үгээр эхэлж, дараа нь эхний хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэж, түүний кодыг тайлах гэх мэтийг бичнэ. Бичлэг бүрийн төгсгөлд цэг таслал, сүүлчийнх нь төгсгөлд цэг тавихыг зөвлөж байна. Тайлбар дахь физик хэмжигдэхүүний нэгжийн тэмдэглэгээг текстээс таслалаар тусгаарлана. Жишээ нь:

Олон давхаргат ороомгийн индукцийг томъёогоор тодорхойлно

Хаана? - эргэлтийн тоо; D - ороомгийн дундаж диаметр, мм; l - ороомгийн урт, мм; h - ороомгийн өндөр, мм.

Томъёоны тайлбар нь стандарт биш юм. Шинжлэх ухааны уран зохиолоос та түүний янз бүрийн хувилбаруудыг олж болно - хамгийн энгийнээс эхлээд нэг томьёо болон хэд хэдэн томъёотой холбоотой. Өгүүлбэр дэх томьёог текстээр тусгаарласан бол тэдгээрийн ерөнхий тайлбарыг бие даасан өгүүлбэр болгон салгах нь дээр. Жишээ нь:

IN вектор хэлбэрЭдгээр тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: массын төвийн хөдөлгөөний тэгшитгэл

ба массын төвтэй харьцуулахад агаарын хөлгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл

Эдгээр тэгшитгэлд дараахь тэмдэглэгээг авсан болно: V - инерцийн орон зайтай харьцуулахад онгоцны хөдөлгөөний хурдны вектор;

R - вектор гадаад хүч, дээр ажиллаж байна нисэх онгоц; G – хүндийн хүчний вектор;

M нь агаарын хөлгийн массын төвтэй харьцуулахад гадны хүчний моментийн вектор юм.

Шинжлэх ухаан, лавлагаа, нэвтэрхий толь бичигт цаасыг илүү хэмнэлттэй ашиглахын тулд тайлбарыг сонгон шалгаруулалтад оруулж болно.

Текстээс олдсон томьёо, тэмдэгтүүдийг сайтар шалгаж, зөв ​​боловсруулах нь редактороос маш их анхаарал шаарддаг. Зөвхөн бүх тэмдэглэгээ, тоон үзүүлэлтүүдийн үнэн зөв, үнэн зөв байдлыг хангахаас гадна дизайны хамгийн тодорхой, тодорхой байдлыг хангах, хоёрдмол утгатай, янз бүрийн тайлбар хийх боломжоос зайлсхийх шаардлагатай.

Өгөгдсөн өгөгдлийн үнэн зөвийг зохиогч бүрэн хариуцна гэж нийтээр хүлээн зөвшөөрдөг боловч хэвлэлийн газрын редактор нь томъёоны бүрэн буюу сонгомол хяналтын шалгалтыг хийх үүрэгтэй. Сурах бичиг, сургалтын хэрэглэгдэхүүнтэй холбоотой асуудлуудыг сайтар шалгадаг. Харгалзах утгуудыг орлуулах замаар тэгшитгэлийг шалгаж болно.

Томъёоны текстийг чадварлаг засварлахад зөвхөн томъёоны математик бүтэц, ашиглалтын талаархи мэдлэг хангалттай биш юм. тэмдэггэх мэт. Томъёоны хэвлэх шаардлагыг мэдэх шаардлагатай, учир нь тэдгээрийг дагаж мөрдөх нь томьёог ойлгомжтой, ойлгомжтой, авсаархан болгоход тусалдаг.

Редактор нь томьёог хэрхэн зөв зохион байгуулах, нэг мөрөнд багтахгүй бол хэрхэн шилжүүлэх, ямар томьёог дугаарлах гэх мэтийг мэддэг байх ёстой.

Хоёр төрлийн томьёо байдаг: текстийн мөр дотор болон бичгийн хэвлэх форматын дунд тусдаа мөр хэлбэрээр. Сонголтонд томьёо байрлуулах нь маш их зай хэмнэхэд тусална. Тиймээс, хэрэв богино, энгийн томьёо нь бие даасан утгатай биш, дугаарлагдаагүй, тусдаа мөрөнд орсон бол тэдгээрийг текстийн хамт сонгон байрлуулж болно. Жишээ нь:

Тасралтгүй байдлын нөхцлөөс бид олдог

Энэ текстийг дараах байдлаар байрлуулж болно.

Энэ техник нь ялангуяа том бичгийн хэлбэрт үр дүнтэй байдаг (энэ нь талбайн 70-80% -ийг хэмнэх боломжийг олгодог), гэхдээ энэ аргыг олон мөр эсвэл олон давхар томьёотой үед ашиглахыг зөвлөдөггүй.

Ижил төрлийн эсвэл ижил төстэй хэмжигдэхүүнийг тооцсон хэд хэдэн томьёог эгнээнд байрлуулж, тэгшитгэх тэмдгийг ашиглана.

p xx= ?r+ ?div? + 2?? 1 ;

r yy= ?r+ ?div? + 2?? 2 ;

p zz= ?r+ ?div? + 2?? 3;

эсвэл харьцуулалтын үндэс болох хэмжээгээр:

150°? ? ?210°;

330°? ? ?360°.

Хэрэв томьёог хөрвүүлж байгаа бөгөөд томъёо нь өөрөө олон мөртэй бол завсрын бүлгүүдийг нэг дор байрлуулж, өөрчлөлтийн явц илүү сайн харагдах болно. Жишээ нь:

Томьёоны дугаарлалт. Маш олон удаа томьёотой ажиллах нь зөвхөн хаана байрладаг төдийгүй өмнөх эсвэл дараагийн танилцуулгад шаардлагатай байдаг. Томьёог дурдах бүртээ бүрэн эш татахаас зайлсхийхийн тулд томъёонуудыг дугаарласан байдаг. Ихэвчлэн тасралтгүй дугаарлах нь хязгаарлагдмал тооны хувьд ашиглагддаг чухал томъёонууд. Бүх томьёог дараалан дугаарлах нь номыг эмх замбараагүй болгодог.

IN том бүтээлүүд(сурах бичиг, нэг сэдэвт зохиол) заримдаа томьёог бүлгээр нь дараалан дугаарлахыг давхар дугаарлалт гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд дугаарласан томьёоны эхний орон нь бүлгийн дугаартай, хоёр дахь нь - бүлэг доторх томъёоны серийн дугаартай тохирч байх ёстой, жишээлбэл: 2-р бүлгийн 12-р томьёо (2.12), 5-р томьёо нь дугаарлагдсан байна. 3-р бүлэг (3.5) гэх мэт. Онцгой тохиолдолд, дараагийн томьёо нь өмнө нь өгөгдсөн үндсэн томъёоны хувилбартай бол томьёог араб тоо, орос цагаан толгойн жижиг үсгээр шулуун үсгээр дугаарлахыг зөвшөөрнө. Тоо, үсэг нь хамт бичигдсэн бөгөөд таслалаар тусгаарлагддаггүй, жишээлбэл: 17a, 17b гэх мэт.

Бүх томьёоны серийн дугаарыг хуудасны баруун захад томьёоны дугаар хүртэл хаалтанд араб тоогоор (томьёоныг дугаарлахад ромын тоо ашигладаггүй) бичнэ.

(4.15) томъёонд...

Бүлэг томьёо эсвэл тэгшитгэлийн системийг нэг серийн дугаараар дугаарлах тохиолдолд энэ дугаарыг хавсаргасан болно. хаалт, хуудасны баруун захад томьёо эсвэл тэгшитгэлийн системийн хосолсон бүлгийн дундын түвшинд байрлуулна. Энэ тохиолдолд парентез (буржгар хаалт) ашигладаг.

Шилжүүлэх үед томьёоны серийн дугаарыг байрлуулсан байна сүүлчийн мөр. Жишээ нь:

(2.17) тэгшитгэлийг нэг удаа интеграцийн хувьд бид олж авна

Томъёо дахь үржүүлэх тэмдэг. Томъёо дахь коэффициент ба тэмдэг нь дүрмээр бол ямар ч тэмдгээр тусгаарлагддаггүй, харин хамт бичигдсэн байдаг. Дунд шугамаар үржүүлгийн тэмдэг болох цэгийг цагаан толгойн тэмдэгтүүдийн өмнө болон хооронд, хаалтны өмнө болон хаалт доторх хүчин зүйлсийн хооронд, өмнө байрлуулдаггүй. бутархай илэрхийлэл, хэвтээ шугамаар болон дараа нь бичнэ. Жишээ нь:

Дунд шугам дээрх цэгийг үржүүлэх тэмдэг болгон зөвхөн онцгой тохиолдолд байрлуулна.

– тоон хүчин зүйлсийн хооронд: 18 · 242.5 · 8;

– тригонометрийн функцийн аргументийн араас үсгийн тэмдэглэгээ байвал: Jtg c · a sin b;

– холбоотой илэрхийллээс хүчин зүйлсийг салгах

радикал, интеграл, логарифм гэх мэт тэмдгүүдийн хувьд:

Ерөнхийдөө cos илэрхийлэл? т? тэрэсвэл

ихэвчлэн хэлбэрээр танилцуулдаг тэручир нь? тэсвэл

Хэрэв эв нэгдлийг алдагдуулахгүйн тулд хүчин зүйлийг тодорхой дарааллаар бичих тусгай зорилго байхгүй бол өмнөх гаралтэсвэл математик шинжилгээ.

Ташуу загалмайг (?) үржүүлэх тэмдэг болгон дараах томъёонд ашигладаг.

– хэмжээсийг зааж өгөхдөө: өрөөний талбай 4 ? 3 м;

- бичлэг хийх үед вектор бүтээгдэхүүнвекторууд: тийм үү? б;

– үржүүлэх тэмдгээр томьёог нэг мөрөөс нөгөө мөрөнд шилжүүлэх үед.

Томьёог шилжүүлэх. Хэрэв гар бичмэлд өгөгдсөн томьёо нь хэвлэлийн хуудсан дээрх нэг мөрөнд багтахгүй бол (зураасгүй) урт байвал зохиогчоос зураас хийх боломжтой газруудыг тоймлохыг ихэвчлэн шаарддаг. Математик харилцааны шинж тэмдгүүд дээр юуны түрүүнд шилжүүлгийг хийх нь зүйтэй: = ? , ?, ?,?, ?, >, <, >> гэх мэт.

Хэрэв эдгээр тэмдгийг ашиглан томьёог мөрөнд хуваах боломжгүй бол + эсвэл - үйлдлийн тэмдгээр хуваах хэрэгтэй. Зөвшөөрөгдөхгүй хэдий ч хүсээгүй зүйл бол томъёог ± болон үржүүлэх тэмдгийг ашиглан шугам болгон хуваах явдал юм. Хуваах тэмдгийн (хоёр цэг) шугамыг хуваах нь заншил биш юм. Хэрэв томьёог үржүүлэх тэмдгээр хуваасан бол үүнийг цэгээр биш, харин ташуу загалмайгаар (?) харуулна.

Ялангуяа тэгшитгэлийг шилжүүлэх асуудалд анхаарлаа хандуулаарай, зөв ​​эсвэл зүүн талурт тоологч ба хуваагчтай бутархай хэлбэрээр эсвэл төвөгтэй радикал илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Ийм тэгшитгэлийг шилжүүлж, шилжүүлэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулах ёстой.

Бутархайг урт, богино хуваагчтай илэрхийлэх нь зүйтэй бөгөөд ингэснээр тоологчийг олон гишүүнт хэлбэрээр хаалтанд бичиж, хуваагчаар хуваагдсан нэгжийг хаалтны гадна талд байрлуулна. Жишээлбэл, тэгшитгэл

санаанд амархан орж ирдэг

Хэрэв богино болон урт хуваагч байгаа бол хувь хүнийг солихыг зөвлөж байна нарийн төвөгтэй элементүүдхялбаршуулсан тэмдэглэгээ. Жишээ нь: оронд нь

Хэрэв томьёо нь урт тоологч ба урт хуваагчтай бутархайг агуулж байвал шилжүүлэхийн тулд санал болгож буй хөрвүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах эсвэл хэвтээ бутархайг хуваах тэмдгээр (хоёр цэг) солино. IN сүүлчийн тохиолдолтомъёо нь иймэрхүү харагдах болно

(а 1 x+ а 2 y+ ... + аби h) : (б 1 x+ б 2 y+ ... + б би х).

ингэж бичиж болно:

(а 1 x+ б 1 x 2 + ... + nxn) 1/2 .

Шилжүүлгийг хийх тэмдгүүдийг хоёр удаа байрлуулна: эхний мөрийн төгсгөл ба шилжүүлсэн хэсгийн эхэнд. Жишээ нь:

Хэрэв томьёо нь өргөлтөөр тасалдвал дараагийн мөрний эхэнд мөн давтагдана. Хэрэв тэнцүү тэмдэг хасах тэмдгийн өмнө ирвэл орчуулгыг тэнцүү тэмдгээр хийнэ. Хэрэв томьёо нь хаалтанд хэд хэдэн илэрхийлэл агуулж байвал хаалтны өмнө + эсвэл - тэмдгээр шилжүүлэхийг зөвлөж байна.

Редактор, засварлагчдын бүх хүчин чармайлтыг үл харгалзан томьёотой текст дэх алдаанууд байсаар байна. Нийтлэг алдаатомъёог шилжүүлэхдээ аргументыг функцээс салгах. Жишээ нь:

Мэдээжийн хэрэг, бичдэгчээс f(x - y) төрлийн бичлэгийг ялгавартай үнэлэхийг шаардах боломжгүй: контекстгүйгээр энэ нь юу гэсэн үг болохыг хэлэх боломжгүй: f ба (x - y) гэсэн хоёр функцийн үржвэр эсвэл хамаарал. аргумент дээрх f функцийн (x - y). Гэсэн хэдий ч энэ нь мэдэгдэж байна тригонометрийн функцуудмаргаангүйгээр тэд ямар ч утгагүй тул тэдгээрийг ашиглахгүй. Мөн функц болон түүний аргументын хооронд үржүүлэх тэмдэг тавих нь бүдүүлэг алдаа юм.

Өгөгдсөн жишээн дээр редактор хийсэн алдааг урьдчилан харж чадаагүй. Эхний тохиолдолд томьёог хоёр мөрөнд хуваахдаа хэвлэгчийн хяналтаас үүдэлтэй, хоёр дахь тохиолдолд томъёо нь өөрөө текст дотор байсан бөгөөд энэ үед түүнийг шилжүүлэхийг урьдчилан таамаглах боломжгүй байв засварлах. Гэхдээ зохион байгуулалтад редактор энэ алдааг засах үүрэгтэй байв.

Хүчин чадал хэвлэсэн хуудастомьёотой бол хэвлэмэл хуудасны багтаамжаас 2-3 дахин бага бөгөөд энэ нь хэвлэх зардлыг нэмэгдүүлдэг. Хэвлэлийн практикт байдаг оновчтой аргуудэдийн засгийн бодит үр нөлөөг өгөх томъёогоор хангах. Дүрмээр бол томьёо нь улаан шугамаар, дээд ба доод хэсэгт дэвсгэртэй байна. Энэ нь цаасны хэрэглээг нэмэгдүүлж, томьёо бичих, суулгах зардлыг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.

Форматын дунд томьёог оруулахыг хоёр тохиолдолд зөвлөж байна: a) томьёог онцлох шаардлагатай; б) нарийн төвөгтэй, төвөгтэй байдлаас шалтгаалан томъёог текстийн хамт бичих боломжгүй. Анхаарал хандуулах ёстой томьёо нь ихэвчлэн дугаарлагдсан байдаг. Гэсэн хэдий ч, томъёонууд нь ихэвчлэн шаардлагагүйгээр унтардаг.

Жишээлбэл, текст

нэг мөрөнд байрлуулж болно.

Томъёоны дугаарлалтаас урьдчилан сэргийлэх боломжтой байсан ч багцыг мэдэгдэхүйц нягтруулах боломжтой. Жишээ нь:

Томъёоны ийм зохицуулалтаар түүний тоог олоход хэцүү биш юм.

IN ийм тохиолдолБүх томъёог нэг тоон дор нэг мөрөнд байрлуулж болно.

Тэдгээрийн холбоосыг өөрчлөхөд хялбар байдаг. Жишээлбэл, хэрэв та координатыг илэрхийлэх томъёонд хандах шаардлагатай бол "томъёоны хоёр дахь (3) дагуу" гэж бичиж болно.

Томъёоны мөн чанарт хамаарах хувиргах аргууд нь ямар ч нарийн төвөгтэй бараг бүх томъёог бичихэд тохиромжтой хэлбэрээр танилцуулах боломжийг олгодог. Хамгийн энгийн бутархай

бичихэд тохиромжгүй болж хувирдаг. Гэхдээ үүнийг 1/2 налуу зураасаар эсвэл аравтын бутархай 0.5 эсвэл 2-ын зэрэглэлээр бичиж болно. -1 . Бүх сонголтууд тэнцүү боловч эхнийх нь хамгийн өргөн тархсан байдаг.

Бүтээлийн хэвлэлд байдаг гэж үздэг шинжлэх ухааны уран зохиолта дурын бутархайг нэг мөрт илэрхийлэл болгон хувиргаж болно: (a + b)/c; (A + B)/(c + d) гэх мэт. Цаасан хэрэглээ нь тодорхой ашиг тустай байдаг. Олон давхар бутархайг хөрвүүлэх нь ялангуяа ашигтай байдаг. Жишээлбэл, бутархай

(a/b + c/d)/(e/f + g/h) хэлбэрт хөрвүүлж болно. -1 .

Цаас хэмнэхийн тулд ийм нягтралыг өгдөг их анхаарал. Гэсэн хэдий ч энд зарим нэг хэтрүүлсэн зүйл байсан: асар том үл ойлгогдох томьёо, хоёрдмол утгатай тайлбарын томъёонууд хэвлэлд гарч эхлэв.

Ойлгомжгүй томьёо нь хоёр ба гурван давхар нарийн төвөгтэй томьёог "налуу зураас" тэмдэг ашиглан нэг мөрт хөрвүүлсний үр дүн юм. сөрөг үзүүлэлтүүдградус.

Хоёрдмол утгатай тайлбарын томъёог ташуу зураасны дараах хуваагч бүтээгдэхүүн агуулсан тохиолдолд олж авна.

"Налуу зураас" тэмдгийг хайхрамжгүй харьцаж байгаагийн тод жишээ бол OST 29.115-88 "Зохиогчийн болон текстийн эх хувь"-ын Хавсралт 1-д байдаг. Техникийн ерөнхий шаардлага". Стандарт зохиогчид томъёог боломжтой гэж үздэг

дараах байдлаар хөрвүүлэх:

Энэ нь буруу, учир нь тоологч хэсэгт аль тэмдэгт, хуваарьт байгаа нь тодорхойгүй болно. Хэрэв энэ тодорхой бус байдлыг арилгавал (нэмэлт хаалтны тусламжтайгаар) томъёо нь бүр ч бага мэдрэгдэх болно. Энэ сонголт нь зөвхөн утгыг нь бодохгүйгээр тоонуудыг орлуулж, үр дүнд хүрэхийн тулд томъёог өгсөн зарим тусгай цомхон хэвлэлд тохиромжтой байх болно.

Өөр нэг "сурах бичиг"-ийн жишээг харцгаая.

Хэрэв бид зүгээр л хэвтээ налуу зураасыг налуу зураасаар солих юм бол бид авна

A = B/CX ба A = B/CX,

тэдгээр. өөр өөр томъёоадилхан болсон.

Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд эхний томьёоны үржвэрийг хаалтанд хуваагчд оруулах, хоёрдугаарт X-г урагшлуулах эсвэл хаалтанд B/C гэж бичих хэрэгтэй.

A = B/(CX) ба A = XB/C = (B/C) X.

Арифметикийн дүрмийн дагуу энд байгаа үйлдлүүд тэмдгүүдийн дарааллаар хийгдэх тул A = B/ CX хувилбарын хоёр дахь томьёог өөрчлөхгүй байж болно гэж олон хүн үздэг. Бид үүнтэй санал нийлэх боломжгүй, учир нь техникийн уран зохиолТашуу зураасны ард байгаа илэрхийлэлийг бүхэлд нь хүлээн авдаг хэвшмэл ойлголт эрт дээр үеэс байсаар ирсэн. Жишээлбэл, түлшний тодорхой зарцуулалтыг үргэлж дараах байдлаар тодорхойлдог: г / кВт цаг, энд "h (ac)" нь хуваагч дээр байгаа боловч арифметикийн дүрмийн дагуу энэ нь тоологч хэсэгт байдаг.

Хэрэв A = B/ CX илэрхийлэлд налуу зураасыг хуваах тэмдгээр (хоёр цэг) сольсон бол энэ нь бас сайн биш, учир нь C ба X нь хоосон зайгүй бичигдэх бөгөөд олон хүн үржвэр гэж андуурагдах болно (A = B: CX).

Тохиролцсон ёсоор томьёоны хөдөлмөрийн эрчмийг (эдийн засаг) зөвхөн шивэх төдийгүй засварлах, анхны томъёог дахин хэвлэх, унших зэрэг хөдөлмөрийн эрчмийг багтаана. Шударга байхын тулд зохиогч заримдаа засварласны дараа танигдахын аргагүй болсон томьёог шалгахад олон цаг зарцуулдаг байх үед зохион байгуулалтад оруулсан томьёог шалгахад маш их хөдөлмөр зүтгэлийг багтаасан байх ёстой. Жишээлбэл, хоёр дахь томьёог шалгах нь эхнийхээс хамаагүй илүү хэцүү болох нь ойлгомжтой.

хувиргахаас өмнө

хөрвүүлсний дараа? = 4( А/C):[(1+А/C) 2 +Б 2 /C(?/? r ?? r /?) 2 ].

Мэдээжийн хэрэг, томъёоны нарийн төвөгтэй байдал нь зөвхөн багцын өртөгөөс хамаардаг нь тодорхой хэмжээгээр ойлгомжтой байдаг: багцын өртөг нь хэвлэх эхийг бэлтгэх тоон болон гадаад үзүүлэлт юм. Хөдөлмөрийн эрчмийн үлдсэн үзүүлэлтүүд нь тооцоологдоогүй бөгөөд хэвлэлийн газрын дотоод шинж чанартай байдаг.

Засварлах хөдөлмөрийн эрчмийг багасгахын тулд зохиогчид дараахь шаардлагыг хангасан материалыг танилцуулах шаардлагатай.

– томьёог гараар жижиг үсгээр, цэвэр, ойлгомжтой бичсэн (хэрэв зохиогч компьютерээр шивэх чадваргүй бол);

- хэлтэс нэвтэрнэ нарийн төвөгтэй томъёохэвтээ шугамын дүр төрхтэй байна. Ийм томьёог шалгах, дүн шинжилгээ хийх, шийдвэр гаргахад хялбар байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг, томъёог илүү авсаархан хэлбэрээр өгөх нь зүйтэй эсэх талаар зохиогчтой тохиролцсон;

- томьёог тэмдэглэсэн;

– захын хэсэгт шаардлагатай тодруулгыг хийсэн (“e” нь “el” биш гэх мэт);

– захын зайд нэмэлт тайлбар шаардагдах үсэг, тэмдгийн тоог томъёонд хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулсан.

Математикийн үйлдлүүд, тооцооллын нарийвчилсан танилцуулгад маш их нэмэлт цаас зарцуулдаг. Ийм тохиолдолд томъёоны тоог багасгаж болно - хэрэв тэдгээр нь энгийн шинж чанартай бол бүх завсрын хувиргалтыг өгөх шаардлагагүй. Жишээлбэл, томъёоны бүхэл бүтэн цуврал хувиргалтын оронд

бичихэд л хангалттай

Мөн томьёог бүлэглэх замаар цаас хэмнэх боломжтой. Тэгэхээр, томъёо

?x= ?? + 2Ge x;

?y= ?? + 2Гэ у;

?z= ?? + 2Ge z;

?y z= ??y z;

?x z= ??x z;

?x y= ??x y;

илүү нягт бүлэглэж болно:

?x= ?? + 2Ge x; ?yz= ??yz;

?y= ?? + 2Гэ у; ?xz= ??xz;

?z= ?? + 2Ge z; ?xy= ??xy.

Томьёотой бичвэр дэх цэг таслалыг хангалттай системчлээгүй байна, учир нь томьёог ихэвчлэн бие даасан хэсэг гэж үздэг бөгөөд өгүүлбэрт зохиомлоор таслагдсан байдаг. Томьёо болон бие даасан тэмдэгтүүдийг өгүүлбэрийн гишүүн гэж үзвэл системгүй байдал, зөрчилдөөнийг амархан арилгаж болно. Энэ байр сууринаас харахад томьёо бүрийг өгүүлбэрт багтсан синтаксийн нэгж гэж үзэж, цэг таслалыг зохих ёсоор тавих ёстой.

Өмнө дурьдсанчлан томьёо нь текстийн мөрөнд байрладаг эсвэл бичих форматын дунд унтардаг. Хэрэв текст дотор томьёоны илэрхийлэл байгаа бол цэг таслалыг цэгцлэхдээ математик үйлдлүүдийн шинж тэмдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. нэрлэсэн хэсэгкопулыг орхигдуулсан нийлмэл нэрлэсэн предикат. Жишээ нь:

Хэрэв? З, С< ?X,C, Тэр М(y, z, s) = Му?x, s.

Математик тэмдэглэгээг харгалзан цэг таслалыг байрлуулна< (меньше), = (равно) являются нэр үгийн хэсэгпредикат. Угтвар үг нь одоо цагийн утгатай тул “is” гэсэн холбогчийг орхигдуулсан.

Тусдаа мөрөнд томьёог тодруулсан өгүүлбэрт цэг таслал тавих нь илүү хэцүү байдаг. Томъёоны өмнө тэмдгийг байрлуулах нь ялангуяа маргаантай байдаг.

Хамгийн ерөнхий тохиолдлыг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. Дараах төрлийн томьёоны текстийг (Зураг 2), томьёоны өмнө, хэд хэдэн томьёоны хооронд, томъёоны дараа болон томъёоны дараах текст дэх цэг таслалыг анхаарч үзээрэй.

Цагаан будаа. 2. Ерөнхий хэрэгтомъёоны текст

Томъёоны өмнө ямар ч тэмдэг байхгүй байж болно, таслал эсвэл хоёр цэг байж болно. Томьёоны өмнөх бичвэрийн дараа, хэрэв томьёо нь өгүүлбэрийн гишүүн бол ихэвчлэн цэг таслал тавьдаггүй бөгөөд энэ нь цэг таслалын дүрмийн дагуу өмнөх үгсээс таслал тэмдгээр тусгаарлагдах ёсгүй. Жишээ нь:

Бид сувгийн үр ашгийг үнэ цэнээр нь тодорхойлдог

Томъёоны өмнөх текст нь төгссөн бол томьёоны өмнө таслалыг ихэвчлэн тавьдаг танилцуулах үгс. Жишээ нь: Харин VNA торны хувьд үргэлж?1 = 0, тиймээс,

г 2 = ?? ?би p+ Г p = е(?, т?) Тэгээд Г p = е(?, т ?) ? е(г 2).

Томьёоны төгсгөлд таслалыг мөн хэрэглэнэ дэд өгүүлбэр, хэсэгчилсэн буюу оролцоотой хэллэг.

Одоо бол Рэкс ба д дхоёулаа тэгтэй тэнцүү,

(36) томъёоноос бид урсгалын коэффициентийг оруулснаар олж авна.

Хамгийн их маргаантай асуудалТомьёотой бичвэр дэх цэг таслал нь томьёоны өмнө хоёр цэг тавих явдал юм. Оросоор бол хоёр цэгийг өмнө нь тавьдаг нэгэн төрлийн гишүүдерөнхийлсөн үгийн дараа өгүүлбэр, нэгдмэл бус нийлмэл өгүүлбэр, шууд яриа, ишлэл ашиглах.

Дараах тохиолдолд томьёоны өмнө хоёр цэг тавьж болно.

1. Хэд хэдэн томьёоны өмнө ерөнхийлсөн үг байвал; Хэрэв байхгүй бол хэд хэдэн томьёоны өмнө хоёр цэгийг зөвхөн дараах томъёоны жагсаалт гэдгийг уншигчдад анхааруулах шаардлагатай тохиолдолд л тавина.

(8.32) тэгшитгэлд суперпозиция теоремыг ашигласнаар бид хоёр төрлийн эвдрэлийн интеграл буюу Духамелийн интегралыг олж авна.

(3) тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

2. Томъёоны текстийг нэгдмэл бус нийлмэл өгүүлбэр гэж үзэж болох юм бол томъёо нь хоёр дахь хэсэг нь эхний хэсгийн утгыг тайлбарладаг (ялангуяа үгийн сэтгэхүйгээр томъёолох боломжтой), эсвэл шалтгааныг агуулсан байна. эсвэл эхний хэсэгт ярьж буй зүйлийн үндэслэл (учир нь, оноос хойш, оноос хойш гэсэн үгсийн сэтгэхүйн томъёолол).

B-ийн томъёонд (3.57) илэрхийллийг орлуулъя 0 :

Бид үүнийг таамаглаж байна Түүнтэй хамт, шугаман функц байдаг:

Томьёоны хооронд ямар тэмдэг ашиглахаас хамаарч цэгтэй таслал эсвэл таслал тавих нь заншилтай байдаг.

Хаалтанд нэгдсэн тэгшитгэлийн системд системийг өгүүлбэрийн нэг гишүүн гэж үзвэл цэг таслалыг орхиж болно. Жишээ нь: Тэгшитгэлийн системээс

тогтмол коэффициентүүдийн утгыг тодорхойлох боломжтой.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь өгүүлбэрийг төгсгөх эсвэл системийн дараа тайлбар өгсөн бол ийм системийг томьёоны жагсаалт гэж үзэх бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ харгалзах тэмдгээр тусгаарлагдана.

Заримдаа хоёр томьёог холбогчоор холбодог эсвэл. Орос хэлэнд эсвэл холбоосыг хоёр утгаар ашигладаг: хуваах, тодруулах гэсэн утгатай. Хуваах холбоо буюу (ганц эсвэл давтагдах) нь нэгэн төрлийн гишүүдээр илэрхийлсэн ойлголтуудын аль нэгийг сонгох, бие биенээ хасах эсвэл солих шаардлагатай байгааг харуулж байна. Ганц тусгаарлах холбоосын өмнө таслал, таслал байхгүй.

Хэрэв холбоос эсвэл тодруулах утгатай бол дан холбоосын өмнө таслал тавих шаардлагатай.

Зохиогч нь холбоос эсвэл томъёоны хооронд ямар утгаар ашигласан болохыг редактор тодорхойлох шаардлагатай. Заримдаа холбоосоор нийлсэн хоёр дахь томьёо нь зүгээр л өөрчлөгдсөн эхний томьёо гэдгийг ойлгоход хэцүү биш бөгөөд таслал шаардлагатай. Энэ нь оронд нь тохиолдолд тохиолддог үсгийн тэмдэглэгээтэдгээрийг ижил томъёонд орлуулна тоон утгууд. Жишээ нь:

... бид (2) тэгшитгэлийг хэрэглэж, нөхцөлүүдийг дахин цэгцэлсний дараа олж авна

Ийм загвар нь ховор байдаг. Тиймээс, томьёоны таних эсэхийг шалгахын тулд редактор зарим математикийн хувиргалтыг хийх ёстой. Тэд анхан шатны (хичээлээс цааш бүү яв ахлах сургууль) бөгөөд дурын редактор хийж болно. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Тригонометрийн хичээлээс бид 2 sin 2 cos ? давхар өнцөгсинус, өөрөөр хэлбэл. 2 нүгэл?2 cos?2 = нүгэл 2?2. Иймээс хоёр дахь томьёоны 2 sin ?2 cos ?2-г sin 2?2 гэж сольсон бөгөөд энэ нь томьёо нь ижил бөгөөд таслал оруулах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Энд баруун талэхний тэгшитгэлийг cos ?2-оор багасгасан. Томъёо нь мөн адил бөгөөд таслал шаардлагатай.

Холбоо үгийн өмнө буюу дотор таслал тавих энэ тохиолдолдтайлбар шаарддаггүй.

Үүнтэй холбогдуулан бид "Математикийн текстийг боловсруулах, ялангуяа томъёог боловсруулах, энэ нь материалын агуулга, шингээлтэд хор хөнөөл учруулахгүйгээр томъёоны тоог багасгах, эсвэл бичихийг хялбарчлах, бичих боломжийг багасгах боломжийг олгодог" зөвлөмжийг авч үзэх болно. Тэд номонд эзлэх орон зай."

Заримдаа математикийн хувиргалтын үр дүнд тууштай олж авсан бүхэл бүтэн цуврал томъёог тодруулах шаардлагатай байдаг бөгөөд тэдгээрийн мөн чанар нь уншигчдад ойлгомжтой байдаг. нэмэлт тайлбар. Дүрмээр бол эдгээр бүх томьёо нь туузны форматын дунд унтардаг бөгөөд томьёо нь өөрөө үг эсвэл, өөрөөр хэлбэл -ээс гэх мэт үгстэй холбогддог бөгөөд тус бүр нь тусдаа мөрийг эзэлдэг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та холбосон үгсийг устгаж (тэгсэн таслалаар сольж), томьёог илүү нягт цэгцтэй байрлуулбал ижил бичвэр нь хамаагүй бага талбай эзэлнэ.

Жишээ нь:

Сонголтонд томьёо цэгцлэснээр бид аяндаа цаас хэмнэдэг. Гэхдээ зохиогч нэгэн зэрэг тодруулсан холбоос, үгсийг арилгаж, томъёог бие биенээсээ цэг таслалаар салгаж, улмаар математикийн утгыг зөрчихийг санал болгож байна. Эхний жишээнд бид нэг томьёог өөр хэлбэрт шилжүүлэх асуудлыг авч үзэж байна, жишээлбэл. Сүүлийн томъёог эхнийх нь дараалсан хувиргалтаар олж авсан. Хоёрдахь жишээнд цэг таслал нь бусад томьёотой утгаараа холбоогүй хэд хэдэн бие даасан томьёотой болохыг харуулж байна. Таны харж байгаагаар зохиогчийн зөвлөмж нь алдаа гаргахад хүргэсэн.

Томъёоны дараа утгад шаардлагатай цэг таслал байх ёстой.

Зарим цэг таслалыг хэрэглэхэд хязгаарлалт байдаг. Томъёо, тэмдэг, тэмдэгт рүү шууд, математикийн нэр томъёо, хэмжилтийн нэгжийн тэмдэглэгээ гэх мэт. Математикийн тэмдэгтүүдтэй адил буюу ижил төстэй хэрэглэгддэг цэг таслалууд нь зэргэлдээ байж болохгүй.

Тиймээс зураас (-) нь хасах үйлдлийн математик тэмдэгтэй (-), хоёр цэг (:) - хуваах тэмдэгтэй (:), үсэгний хувьд давхцдаг. анхаарлын тэмдэг(!) – хүчин зүйлийн тэмдэгтэй (!).

Сонголтонд оруулсан хоёр томьёоны хооронд таслал тавьж болохгүй, эхнийх нь тоогоор төгссөн, хоёр дахь нь тоогоор эхэлдэг Араб тоонууд, гэж авч болох тул тусгаарлах тэмдэг аравтын. Эдгээр тохиолдолд таслалыг цэг таслалаар солих шаардлагатай.

Том, урт дэвсгэртэй бичвэр дэх томьёо эсвэл бие даасан үсгийн тэмдэг нь утгын хувьд таслал шаардлагатай байсан ч цэгтэй таслалаар тусгаарлагдах ёстой, эс тэгвээс таслалыг индекст орсон тэмдэг гэж андуурна, ялангуяа тодорхой бус хэвлэвэл.

Жишээ нь:

л?e1; л?22; л?y+1.

Орхихын тулд болзошгүй алдаануудМатематик тэмдэгтүүд болон үсгийн тэмдэгтүүдийг бичихдээ тухайн үсэг нь аль цагаан толгойд хамаарах, жижиг эсвэл том үсэг, босоо эсвэл налуу, тод аль аль үсгийг хурдан бөгөөд үнэн зөв тодорхойлоход тусалдаг бүх ердийн тэмдэг, тэмдэг, бичээсийг засварлагчийн үнэн зөв тэмдэглэгээ хэрэгтэй. эсвэл гэрэл гэх мэт.

Орос, латин цагаан толгойн үсгүүдэд гар бичмэл, бичгийн хэвээрээ яг ижил эсвэл маш төстэй үсэг, тэмдэг байдаг боловч хэвлэх хуулбараараа ялгаатай байдаг тул тэмдэглэгээ хийх шаардлагатай байна. Тиймээс, гар бичмэл, ялангуяа хэзээ хурдан захидалгараар том жижиг үсэг C ба s, K ба k, O ба o, P ба p, S ба s, V ба v, W ба w, Z ба z, Y ба y, X гэсэн хоёрын ялгаа бараг байхгүй. болон x. O үсэг ба 0 (тэг) ба градусын тэмдэг ° нь үсгийн хувьд төстэй; Оросын Z үсэг ба 3 дугаар; Ром I ба Араб 1 (нэгж); Орос үсэг x (га), латин x (ix) болон үржүүлэх тэмдэг (x) гэх мэт.

Тодорхой тоймоос гадна бие биетэйгээ төстэй бүх үсэг, тэмдгийг гар бичмэлд тусгай засварын тэмдэгээр зохих ёсоор тэмдэглэсэн байх ёстой. Жишээлбэл, том үсгийг доор нь хоёр зураасаар (X), жижиг үсгээр - дээр хоёр зураасаар зурсан байна ( x). Захидлын хэв маяг нь засварлагч эсвэл бичэгчийн дунд эргэлзээ төрүүлж болзошгүй бүх тохиолдолд тайлбар бичээсийг гар бичмэлийн захад эсвэл мөр хоорондын үсгүүдийн шууд хажууд хийх ёстой: үсэг, тоо, тэг, тэмдэг. зэрэг, тэмдэг. үржүүлэх, эл, эл биш гэх мэт.

Математикийн томьёо дахь латин цагаан толгойн үсгүүдийг налуу хэлбэрээр бичиж, гар бичмэл дээр долгионы шугамаар доогуур зурсан байна. Грек үсэгулаанаар дугуйлсан, Германы Готик үсгийн тэмдэг ногооноор дугуйлсан байна.

Зарим физик, математикийн хэмжигдэхүүн, тэмдэглэгээг ихэвчлэн Ромын цагаан толгойн үсгээр бичдэг, жишээлбэл, Mach тоо M, Reynolds Re, Prindtl Rg гэх мэт, тригонометр, гипербол, урвуу дугуй ба урвуу. гиперболын функцууд, нэрс температурын хуваарь°С, °Ra, °K, °F, хамгийн их ба хамгийн бага (макс, мин) гэсэн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцөлт математик товчлолууд, оновчтой утгахэмжээ (opt), тогтмол байдал (const), хязгаарын тэмдэг (lim), аравтын, натурал болон бусад логарифм (lg, log, Log, In, Zn), тодорхойлогч (det) гэх мэт.

Томъёо, тэдгээрийн хэсгүүдийн дагуу зохион байгуулалт техникийн дүрэмбагц нь дараахь зүйлд хамаарна.

– нэг мөр ба-аас бүрдэх томъёонд бутархай хэсгүүд, үндсэн шугам болон хуваах шугамын тэмдэг, тэмдгүүдийн дагуу байрлана дунд шугамтомъёо; Түүнчлэн хэрэв томьёонд тодорхой тодорхойлогдсон төв шугам байхгүй бол энэ нь томьёоны өндрийн дундыг дайран өнгөрөх хэвтээ шугам гэж тооцогддог;

- ижил төстэй томьёо, парантезаар нэгтгэсэн томъёоны бүлгүүдийг тэнцүү тэмдгээр эсвэл харилцааны өөр тэмдгээр тэнцүүлэх;

– хуваах шугамын төвд хуваагч болон хуваагчийг унтраасан;

– өөр өөр өргөнтэй томьёоны тодорхойлогч баганад тэдгээрийг баганын форматын төвд унтраасан байна.

Математикийн томьёоны багц нь дараах дүрмийг шаарддаг.

– нэг мөрт томьёог үндсэн бичвэрийн фонттой ижил үсгийн фонтоор, тэдгээрийн бутархай хэсгийг 2 цэгээс бага хэмжээтэй үсгийн фонтоор бичнэ;

– математикийн тэмдэг, тоогоор тусгаарлагдаагүй тэмдгийг бие биенээсээ салгахгүй байх (12ab);

– өмнөх элементээс салгаж болохгүй: a) нээлтийн хаалтаас хаалтанд орсон илэрхийллүүд; б) тэмдэг, тооны индекс ба илтгэгч (хэрэв тэмдэг эсвэл тоо нь дээд ба доод индекстэй бол дээд индексийг доод индексийн дараа, өөрөөр хэлбэл доод индексийн өргөний зайтай байрлуулахыг зөвшөөрнө);

в) радикал шинж тэмдгийн радикал илэрхийлэл; г) өмнөх элемент нь нэг мөртэй бол цэг таслал; e) хаалтанд оруулсан илэрхийллээс хаалт хаалт; е) хүчин зүйл;

– дараагийн элементээс салгаж болохгүй: a) дараах функцийн тэмдэглэгээ эсвэл аргументаас ялгах тэмдэг: dX; б) дараагийн интеграл тэмдгийн интеграл тэмдэг: JJ; в) хаалтанд оруулсан функц эсвэл аргументуудын дараах тэмдэглэгээний өсөлтийн тэмдэг: D/(x); г) түүний дараах радикал илэрхийлэлээс радикал шинж тэмдэг; e) хаалтанд оруулсан илэрхийллээс нээгдэх хаалт; е) дараах функцийн тэмдэглэгээ эсвэл аргументуудаас, түүний дотор хаалтанд байгаа функцийн тэмдэг: / (x);

– өмнөх болон дараагийн элементүүдээс 2 оноогоор ялагдсан: a) нэг ба давхар босоо захирагч | a + b | ? | a | + | б |; x || A ||; б) функц эсвэл аргументуудын тэмдэглэгээг заагаагүй, дараахь зүйлийн хамт ялгах тэмдэг; в) интеграл тэмдэг, функц эсвэл аргументаас тусгаарлагдаагүй дараах тэмдэг;

G) математик тэмдэглэгээ(нүгэл, lg гэх мэт) илтгэгчийн хамт (нүгэл 2?); e) хавсаргасан тэмдэг (тэмдэглэгээний холболтууд нь түүний өргөнөөс том бол зайг 12 цэг хүртэл нэмэгдүүлэх боломжтой); g) радикал шинж тэмдэг нь радикал илэрхийлэлтэй хамт;

h) хаалт, илэрхийлэлийн хамт, хаалтын хаалтаас илтгэгч буюу индексээр тусгаарлагдаагүй;

i) харилцааны тэмдэг (=,<, ~ и т.д.);

– өмнөх элементээс 2 оноогоор тасална: хуваах шугамаас цэг таслал;

- номын хэвлэлд физик хэмжигдэхүүний нэгжийн тэмдэглэгээг өмнөх элементээс 3 оноо холдуулах (15 км/цаг);

– томьёоны доторх таслалыг дараагийн элементээс 3 цэгт тавина;

- хэвтээ тэнхлэгээр таслахгүй байх: а) хуваагчийн илтгэгч нь хуваах шугамтай ойрхон байхаас бусад тохиолдолд хуваагч болон хуваагчийг хоёуланг нь 1-2-оор таслахыг зөвшөөрөхгүй. үүнээс оноо авах; б) тэмдэгтүүдийн дээд буюу доод тэмдэг; в) эдгээр тэмдгүүдээс нэмэлт тэмдгүүдийн холболтууд; г) доод индекс нь хуваах шугамтай ойрхон байхаас бусад тохиолдолд хуваагч ба хуваагчийг хоёуланг нь 1-2 оноогоор солихыг зөвшөөрөхөөс бусад тохиолдолд хуваах шугамын тоо.

зохиолч ЗХУ-ын улсын стандарт

Агуу шинэ бүтээлүүдийг төрүүлдэг урам зоригийн тухай зохиол номноос зохиолч Орлов Владимир Иванович

АРВАН ХОЁРДУГААР БҮЛЭГ. Зохиолч, уншигч хоёр хамтдаа математикийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй адил хялбар аргаар шинэ бүтээл хийх нууцыг илчлэх зөвлөмж, шууд амлалт бүхий номуудыг эргүүлэх; Унших явцад техник аль хэдийн байдаг гэсэн хуурмаг байдал үүсдэг

Редакцийн болон хэвлэлийн үйл явцын технологи номноос зохиолч Рябинина Нина Захаровна

4.2. Химийн томъёо Химийн томьёо нь химийн тэмдэг, тоо ашиглан химийн бие даасан бодисуудын найрлагын дүрслэл юм. Эдгээр нь эмпирик (бодисын молекул, түүний атомын жин, атомуудын хоорондын харилцааны шинж чанарыг илэрхийлдэг) ба бүтцийн (шоу) юм.

Инженерийн эвристик номноос зохиолч Гаврилов Дмитрий Анатольевич

Математикийн парадоксууд "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа руу буцаж орцгооё, учир нь энэ нь математиктэй шууд холбоотой: "Уильям Минтогийн бичсэн логикийн сонгодог хичээлд алдартай гүйгч зохисгүй өрсөлдөгчөөсөө амархан давж гардаг, гэхдээ тэр түүнд толгой өгдөг. зөвхөн эхлэх биш

"Мэдээллийн аюулгүй байдал" номноос. Лекцийн курс зохиогч Артемов А.В.

Лекц 10 Мэдээллийн аюулгүй байдлыг хангах математик загварууд Судлах асуултууд:1. Удирдлагын автоматжуулсан системд мэдээллийн аюулгүй байдлыг хангах математик загваруудын зорилго.2. Аюулгүй байдлын математик загваруудын харьцуулсан шинжилгээ, үндсэн тодорхойлолтууд

Сургуульд заасан бүх зүйл мартагдсаны дараа үлдсэн зүйл бол боловсрол юм.

Текст, томьёог шууд цээжлэхгүйгээр хүүхдийн хийсвэр ой санамжийг хөгжүүлэхэд хэцүү гэдгийг одоо Португалд ажиллаж байгаа Новосибирскийн эрдэмтэн Игорь Хмелинский нотолж байна. Би түүний нийтлэлээс ишлэл өгөх болно "Европ болон хуучин ЗХУ-ын орнуудын боловсролын шинэчлэлийн сургамж"

Цэсээс суралцах, урт хугацааны ой санамж

Үржүүлэх хүснэгтийг үл тоомсорлох нь тооцоолуур дээрх тооцооллын алдааг илрүүлэх чадваргүйгээс илүү ноцтой үр дагаварт хүргэдэг. Бидний урт хугацааны ой санамж нь ассоциатив мэдээллийн сангийн зарчмаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл мэдээллийн зарим элементүүдийг цээжлэх үед тэдэнтэй танилцах үед байгуулагдсан холбоод үндэслэн бусадтай холбоотой байдаг. Тиймээс аливаа сэдвээр, жишээлбэл, арифметикийн чиглэлээр мэдлэгийн баазыг толгойдоо бий болгохын тулд та эхлээд ядаж ямар нэг зүйлийг цээжээр сурах хэрэгтэй. Цаашилбал, шинээр хүлээн авсан мэдээлэл нь богино хугацаанд (хэдэн өдөр) олон удаа, өөр өөр нөхцөл байдалд тааралдвал (энэ нь ашигтай холбоог бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг) богино хугацааны санах ойноос урт хугацааны санах ой руу шилжих болно. ). Гэсэн хэдий ч байнгын санах ойд арифметикийн мэдлэг байхгүй тохиолдолд шинээр ирж буй мэдээллийн элементүүд нь арифметиктэй ямар ч холбоогүй элементүүдтэй холбоотой байдаг - жишээлбэл, багшийн зан чанар, гадаа цаг агаар гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, ийм цээжлэх нь оюутанд ямар ч бодит ашиг тус авчрахгүй - холбоод нь тухайн сэдвээс холддог тул оюутан арифметиктэй холбоотой ямар ч мэдлэгийг санахгүй байх болно, зөвхөн энэ талаар урьд өмнө нь мэддэг байсан гэсэн тодорхой бус санааг эс тооцвол. сонссон. Ийм оюутнуудын хувьд алга болсон холбоодын үүргийг ихэвчлэн янз бүрийн зөвлөмжүүд гүйцэтгэдэг - хамт ажиллагсдаасаа хуулбарлах, тестийн тэргүүлэх асуултуудыг ашиглах, ашиглахыг зөвшөөрсөн томъёоны жагсаалтаас томьёо гэх мэт. Бодит амьдрал дээр зөвлөгөөгүй бол ийм хүн бүрэн арчаагүй, толгойдоо байгаа мэдлэгээ хэрэгжүүлэх чадваргүй болж хувирдаг.

Томьёо цээжлээгүй математикийн аппарат үүсэх нь бусадтай харьцуулахад илүү удаан явагддаг. Яагаад? Нэгдүгээрт, шинэ шинж чанарууд, теоремууд, математикийн объектуудын хоорондын хамаарал нь урьд өмнө судлагдсан томъёо, ойлголтын зарим шинж чанарыг бараг үргэлж ашигладаг. Хэрэв эдгээр шинж чанаруудыг санах ойноос богино хугацаанд сэргээж чадахгүй бол оюутны анхаарлыг шинэ материалд төвлөрүүлэх нь илүү хэцүү байх болно. Хоёрдугаарт, томьёог цээжээр мэдэхгүй байх нь олон тооны жижиг үйлдлүүдтэй утга учиртай асуудлын шийдлийг хайхад саад болдог бөгөөд үүнд зөвхөн тодорхой өөрчлөлтүүдийг хийх төдийгүй эдгээр хөдөлгөөний дарааллыг тодорхойлох, ашиглахад дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай байдаг. хэд хэдэн томъёог хоёр, гурван алхамын өмнө.

Дадлагаас харахад хүүхдийн оюуны болон математикийн хөгжил, түүний мэдлэгийн сан, ур чадварыг бүрдүүлэх нь ашигласан мэдээллийн ихэнх хэсэг (шинж чанар, томъёо) толгойд байвал илүү хурдан явагддаг. Тэнд илүү хүчтэй, удаан байх тусмаа сайн.

Дүрмээр бол томъёонд хувьсагч (нэг ба түүнээс дээш) багтдаг бөгөөд томъёо нь өөрөө илэрхийлэл биш, харин нэг төрлийн дүгнэлт юм. Ийм дүгнэлт нь хувьсагчдын талаар ямар нэг зүйл эсвэл холбогдох үйлдлүүдийн талаар ямар нэг зүйлийг баталж магадгүй юм. Томьёоны яг утгыг ихэвчлэн контекстээс нь ойлгодог бөгөөд гадаад төрхөөс нь шууд ойлгох боломжгүй байдаг. Гурван нийтлэг тохиолдол байдаг:

Тэгшитгэл

Тэгшитгэл гэдэг нь гаднах (дээд) холбогч нь хоёртын тэгш байдлын хамаарал бүхий томъёо юм. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн нэг чухал шинж чанар нь түүнд багтсан тэмдэгтүүд нь хувьсагчид болон хувьсагчид хуваагддаг явдал юм. параметрүүд(Гэхдээ сүүлийнх нь байх шаардлагагүй). Жишээлбэл, x 2 = 1 (\displaystyle x^(2)=1) x нь хувьсагч байх тэгшитгэл юм. Тэгш байдал нь үнэн болох хувьсагчийн утгыг тэгшитгэлийн үндэс гэж нэрлэдэг: энэ тохиолдолд эдгээр нь хоёр тоо ба -1 байна. Дүрмээр бол, хэрэв нэг хувьсагчийн тэгшитгэл нь таних тэмдэг биш бол (доороос харна уу) тэгшитгэлийн үндэс нь салангид, ихэвчлэн төгсгөлтэй (хоосон байж магадгүй) олонлогийг илэрхийлдэг.

Хэрэв тэгшитгэлд параметрүүд багтсан бол түүний утга нь өгөгдсөн параметрүүдийн үндсийг олох явдал юм (өөрөөр хэлбэл тэгш байдал үнэн болох хувьсагчийн утга). Заримдаа үүнийг параметр(үүд)-ээс хувьсагчийн далд хамаарлыг олох гэж томъёолж болно. Жишээ нь x 2 = a (\displaystyle x^(2)=a) x-ийн тэгшитгэл гэж ойлгодог (энэ нь y, z, t-ийн хамт хувьсагчийг тэмдэглэх нийтлэг үсэг юм). Тэгшитгэлийн үндэс нь a-ийн квадрат язгуур юм (тэдгээрийн хоёр нь өөр өөр тэмдэгтэй гэж үздэг). Ийм томьёо нь өөрөө зөвхөн х ба а хоёрын хоёртын хамаарлыг зааж өгдөг бөгөөд үүнийг эсрэг чиглэлд х-тэй харьцангуй тэгшитгэл гэж ойлгож болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ энгийн тохиолдолд бид x-ээс x-г тодорхойлох талаар илүү их ярьж болно. a = x 2 (\displaystyle a=x^(2)).

Баримтлал

Identity бол хэзээ үнэн болох санал юм ямар чхувьсагчийн утгууд. Ихэнхдээ ижил төстэй байдал гэж бид адилхан жинхэнэ тэгш байдлыг илэрхийлдэг боловч ижил төстэй байдлын гадна тэгш бус байдал эсвэл бусад харилцаа байж болно. Ихэнх тохиолдолд таних тэмдэг нь түүнд ашигласан үйлдлүүдийн тодорхой шинж чанар, жишээлбэл, таних тэмдэг гэж ойлгож болно. a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a)нэмэх нь солигддог гэдгийг баталж байна.

Математикийн томъёоны тусламжтайгаар нэлээд төвөгтэй өгүүлбэрүүдийг авсаархан, тохиромжтой хэлбэрээр бичиж болно. Хувьсагчийг тодорхой домэйны тодорхой объектоор солих бүрт үнэн болдог томьёог тухайн домэйнд ижил үнэн гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: “а ба b-ийн хувьд тэгш байдал биелнэ (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (\displaystyle (a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2))" Энэ адилтгал нь хувирах цагираг дахь нэмэх ба үржүүлэх аксиомуудаас гаргаж авч болох бөгөөд тэдгээр нь өөрөө мөн адил таних хэлбэртэй байдаг.

Тодорхойлолт нь хувьсагчийг агуулаагүй бөгөөд арифметик (эсвэл бусад) тэгш байдал байж болно. 6 3 = 3 3 + 4 3 + 5 3 (\displaystyle 6^(3)=3^(3)+4^(3)+5^(3)).

Ойролцоогоор тэгш байдал

Жишээ нь: x ≈ нүгэл ⁡ (x) (\ displaystyle x\ approx \sin(x))- жижиг хүмүүсийн ойролцоо тэгш байдал x (\displaystyle x);

Тэгш бус байдал

Тэгш бус байдлын томьёог хэсгийн эхэнд тайлбарласан хоёр утгаар нь ойлгож болно: ижил төстэй байдал (жишээлбэл, Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал) эсвэл тэгшитгэлийн нэгэн адил олонлогийг (эсвэл тодорхой бол дэд олонлог) олох даалгавар гэж. тодорхойлолтын домэйн) хувьсагч эсвэл хувьсагч хамаарах болно.

Ашигласан үйлдлүүд

Энэ хэсэгт алгебрт хэрэглэгддэг үйлдлүүд, мөн тооцооллын зарим түгээмэл хэрэглэгддэг функцуудыг жагсаах болно.

Нэмэх ба хасах

Экспоненциал

Үндсэн функцууд

Үнэмлэхүй үнэ цэнэ, тэмдэг гэх мэт.

Үйлдлийн давуу эрх ба хаалт

Үйл ажиллагаа эсвэл операторын тэргүүлэх чиглэл, зэрэглэл, ахлах зэрэг нь оператор/үйл ажиллагааны албан ёсны шинж чанар бөгөөд тэдгээрийн гүйцэтгэх дарааллыг тодорхой (хашилт ашиглан) заагаагүй тохиолдолд хэд хэдэн өөр оператортой илэрхийлэлд түүнийг гүйцэтгэх дараалалд нөлөөлдөг. үнэлгээ. Жишээлбэл, үржүүлэх үйлдлийг ихэвчлэн нэмэх үйлдлээс илүү давуу эрх олгодог тул илэрхийлэл нь эхлээд y ба z-ийн үржвэрийг, дараа нь нийлбэрийг авна.

Жишээ

Жишээ нь:

2 + 2 = 7 (\displaystyle 2+2=7)- "худал" гэсэн утгатай томьёоны жишээ;

Y = ln ⁡ (x) + нүгэл ⁡ (x) (\displaystyle y=\ln(x)+\sin(x))- нэг бодит аргументийн функц;

Z = y 3 y 2 + x 2 (\displaystyle z=(\frac (y^(3))(y^(2)+x^(2))))- хэд хэдэн аргументуудын функц (хамгийн гайхалтай муруйнуудын нэгний график - Agnesi versière);

Y = 1 − | 1 − x | (\displaystyle y=1-|1-x|)(тасралтгүй тасархай шугам нь шүргэгчгүй);

X 3 + y 3 = 3 a x y (\displaystyle x^(3)+y^(3)=3axy)- тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл далд функц (муруйны график "

Экспоненциал

Үндсэн функцууд

Үнэмлэхүй үнэ цэнэ, тэмдэг гэх мэт.

Үйлдлийн давуу эрх ба хаалт

Үйл ажиллагаа эсвэл операторын тэргүүлэх чиглэл, зэрэглэл, ахлах зэрэг нь оператор/үйл ажиллагааны албан ёсны шинж чанар бөгөөд тэдгээрийн гүйцэтгэх дарааллыг тодорхой (хашилт ашиглан) заагаагүй тохиолдолд хэд хэдэн өөр оператортой илэрхийлэлд түүнийг гүйцэтгэх дараалалд нөлөөлдөг. үнэлгээ. Жишээлбэл, үржүүлэх үйлдлийг ихэвчлэн нэмэх үйлдлээс илүү давуу эрх олгодог тул илэрхийлэл нь эхлээд y ба z-ийн үржвэрийг, дараа нь нийлбэрийг авна.

Жишээ

Жишээ нь:

2 + 2 = 7 (\displaystyle 2+2=7)- "худал" гэсэн утгатай томьёоны жишээ;

Y = ln ⁡ (x) + нүгэл ⁡ (x) (\displaystyle y=\ln(x)+\sin(x))- нэг бодит аргументын функц эсвэл хоёрдмол утгагүй функц;

Z = y 3 y 2 + x 2 (\displaystyle z=(\frac (y^(3))(y^(2)+x^(2))))- хэд хэдэн аргументын функц эсвэл олон утгатай функц (хамгийн гайхалтай муруйнуудын нэгний график - Агнеси Версиер);

Y = 1 − | 1 − x | (\displaystyle y=1-|1-x|)(тасралтгүй тасархай шугам нь шүргэгчгүй);

X 3 + y 3 = 3 a x y (\displaystyle x^(3)+y^(3)=3axy)- тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл далд функц ("Картезийн хуудас" муруйны график); - сондгой функц;

F (P) = x 2 + y 2 + z 2 (\displaystyle f(P)=(\sqrt (x^(2)+y^(2)+z^(2))))- цэгийн функц, цэгээс (декарт) координатын гарал үүсэл хүртэлх зай;

Ү = 1 x − 3 (\displaystyle y=(\frac (1)(x-3)))- цэг дээр тасалдсан функц x = 3 (\displaystyle x=3);

X = a [ t − sin ⁡ (t) ] ; y = a [ 1 − cos ⁡ (t) ] (\displaystyle x=a\,;\ y=a)

- параметрийн дагуу тодорхойлсон функц (циклоидын график); Y = ln ⁡ (x) , x = e y (\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^(y)))

- шууд ба урвуу функцууд; F (x) = ∫ − ∞ x |

f(t) |

d t (\displaystyle f(x)=\int \limits _(-\infty )^(x)|f(t)|\,dt)

- интеграл тэгшитгэл.

3. Шаргал үстүүд тэгшитгэлийг ингэж шийддэг!

4. Математикийг харах шилээр дамжуулан

Хэдэн жилийн өмнө миний хийсэн энэ бичээс бол хамгийн богино нотолгоо байх... 2 = 3. Дээр нь толь тавь (эсвэл гэрлээр нь хар) тэгвэл “хоёр” хэрхэн эргэхийг харах болно. "гурав" руу ".

5. Үсэг холигч

Өөр нэг ер бусын томъёо:

арван нэг + хоёр = арван хоёр + нэг.

Англи хэл дээр 11 + 2 = 12 + 1 тэгш байдал нь үгээр бичсэн ч гэсэн үнэн юм - зүүн ба баруун талд байгаа үсгүүдийн "нийлбэр" ижил байна! Энэ тэгш байдлын баруун тал нь зүүн талын анаграмм, өөрөөр хэлбэл үсгүүдийг дахин цэгцлэх замаар үүнээс гаргаж авсан гэсэн үг юм.

Үүнтэй төстэй, сонирхол багатай ч гэсэн үгийн тэгш байдлыг орос хэл дээр авах боломжтой.

1,49 2,87 ??

арван тав + зургаа = арван зургаа + тав

Номын анхны хэвлэлийг хэвлүүлсний дараа Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Химийн факультетийн дэд профессор Леензон И.А. надад энэ томьёоны талаар дараах сонирхолтой тайлбарыг илгээсэн: “... олон жилийн өмнө, тооцоолуур байхгүй байсан үед. физикийн тэнхимд бид слайд дүрмийн (!) хэцүү шалгалт өгсөн (хөдөлгөөнт захирагчийг зүүн, баруун тийш хэдэн удаа хөдөлгөх шаардлагатай вэ?), би аавынхаа хамгийн нарийн ширээгүүдийн тусламжтайгаар (тэр геодезист байсан, Тэрээр амьдралынхаа туршид дээд геодезийн шалгалт өгөхийг мөрөөддөг байсан) дөчин есөн рупи нь хоёр наян долоон хүртэлх 3, 1408-тай тэнцдэг болохыг олж мэдэв. Энэ нь миний сэтгэлд хүрсэнгүй. Манай ЗХУ-ын Улсын төлөвлөгөөний хороо ийм бүдүүлэг үйлдэл хийж чадахгүй байсан. Кировскаягийн талаар Худалдааны яамтай зөвлөлдөх нь үндэсний хэмжээний бүх үнийн тооцоог нэг пеннигийн зуутын нарийвчлалтайгаар хийсэн болохыг харуулж байна. Гэвч тэд нууцыг (тэр үед намайг гайхшруулж байсан юм - арав, зуугийн нэг пеннид ямар нууц байж болох юм бэ) хэмээн тодорхой тоо хэлэхээс татгалзсан. 1990-ээд оны эхээр би архиваас тухайн үед тусгай тогтоолоор нууцын зэрэглэлээс гарсан архины үнийн талаархи нарийн тоо баримтыг олж авч чадсан. Энэ нь ийм болсон: улирал: 1 рубль 49.09 копейк. Борлуулалтаар - 1.49 рубль. Хагас литр: 2 рубль 86.63 копейк. Борлуулалтаар - 2.87 рубль. Тооцоологч ашиглан энэ тохиолдолд хагас литрийн дөрөвний нэг нь (5 чухал тоогоор дугуйрсны дараа) яг 3.1416 гэдгийг би амархан олж мэдсэн! ЗХУ-ын Улсын төлөвлөлтийн хорооны ажилчдын математикийн чадварыг гайхшруулж, тэд (үүнд би эргэлзэхгүй байна) хамгийн алдартай ундааны тооцоолсон үнийг урьд өмнө мэдэгдэж байсан үр дүнд нь тусгайлан тохируулсан."

Сургуулиасаа алдартай ямар математикч энэ ребусанд шифрлэгдсэн бэ?

8. Онол ба практик

Математикч, физикч, инженерт дараахь бодлого өгөв: "Хүү, охин хоёр танхимын эсрэг талын ханан дээр зогсож байна. Хэзээ нэгэн цагт тэд бие бие рүүгээ алхаж эхэлдэг бөгөөд арван секунд тутамд тэдний хоорондох зайны хагасыг туулдаг. Асуулт бол тэд бие биедээ хүрэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?"

Математикч эргэлзэлгүйгээр хариулав:

Хэзээ ч үгүй.

Физикч бага зэрэг бодсоны эцэст:

Хязгааргүй цаг хугацаагаар.

Инженер удаан хугацааны тооцоо хийсний дараа:

Ойролцоогоор хоёр минутын дараа тэд бүх практик зорилгоор хангалттай ойрхон байх болно.

9. Ландаугийн гоо сайхны томъёо

Үзэсгэлэнт хүйстний агуу амраг Ландаудтай холбосон дараах гайхалтай томъёог алдарт Ландавед профессор Горобец миний анхаарлыг татсан юм.

МУИС-ийн дэд профессор А.И.Зюлков бидэнд хэлсэнчлэн Ландау эмэгтэй хүний ​​сэтгэл татам байдлын үзүүлэлтийг дараах томъёогоор гаргаж авсан гэж сонссон.

Хаана К- цээжний тойрог; М- хонго дээр; Н- бэлхүүс орчим, Т- өндөр, бүгд см-ээр; П- кг жин.

Тиймээс, хэрэв бид загварын параметрүүдийг (1960-аад он) ойролцоогоор авбал: 80-80-60-170-60 (дээрх утгуудын дарааллаар) томъёоны дагуу бид 5-ыг авна. Хэрэв бид "-ийн параметрүүдийг авбал " эсрэг загвар”, жишээлбэл: 120 -120-120-170-60, тэгвэл бид 2-ыг авна. Яг л сургуулийн дүнгийн энэ мужид "Ландау томъёо" ажилладаг.

(Номоос иш татсан: Горобец Б. Ландау тойрог. Суут хүний ​​амьдрал. М.: LKI/URSS хэвлэлийн газар, 2008.)

10. Тэр зайг мэддэг ч болоосой...

Даутай холбоотой эмэгтэйчүүдийн сэтгэл татам байдлын талаархи өөр нэг шинжлэх ухааны үндэслэл.

Эмэгтэй хүний ​​сэтгэл татам байдлыг түүнд хүрэх зайнаас хамааруулан тодорхойлъё. Аргумент хязгааргүй үед энэ функц тэг болно. Нөгөөтэйгүүр, тэг цэг дээр энэ нь бас тэг байна (бид мэдрэгчтэй бус харин гаднах сэтгэл татам байдлын тухай ярьж байна). Лагранжийн теоремын дагуу сегментийн төгсгөлд тэг утгыг авдаг сөрөг бус тасралтгүй функц нь энэ сегмент дээр хамгийн их утгатай байдаг. Тиймээс:

1. Эмэгтэй хүнд хамгийн дур булаам байх зай гэж байдаг.

2. Энэ зай нь эмэгтэй хүн бүрийн хувьд өөр өөр байдаг.

3. Эмэгтэйчүүдээс зайгаа барих хэрэгтэй.

11. Морины баталгаа

Теорем: Бүх морьд ижил өнгөтэй.

Баталгаа. Теоремын мэдэгдлийг индукцийн аргаар баталъя.

At n= 1, өөрөөр хэлбэл нэг мориноос бүрдсэн багцын хувьд энэ мэдэгдэл үнэн байх нь ойлгомжтой.

Теорем үнэн байх болтугай n = к. Энэ нь бас үнэн гэдгийг баталцгаая n = к+ 1. Үүнийг хийхийн тулд дурын олонлогийг авч үзье к+ 1 морь. Хэрэв та үүнээс нэг морийг хасвал зөвхөн үлдэх болно к. Индукцийн таамаглалаар тэд бүгд ижил өнгөтэй байна. Одоо хасагдсан морио буцаагаад өөр морь авъя. Дахин хэлэхэд индуктив таамаглалаар эдгээр кҮлдсэн морьд нь ижил өнгөтэй байна. Гэхдээ тэгээд л болоо к+ 1 морь ижил өнгөтэй байна.

Тиймээс математикийн индукцийн зарчмын дагуу бүх морьд ижил өнгөтэй байдаг. Теорем нь батлагдсан.

12. Матрын тухай бага зэрэг

Амьтан судлалд математикийн аргыг хэрэглэх өөр нэг гайхалтай жишээ.

Теорем: Матар өргөнөөсөө урт байдаг.

Баталгаа. Дурын матрыг аваад хоёр туслах леммийг баталъя.

Лемма 1: Матар ногооноос урт байдаг.

Баталгаа. Матарыг дээрээс нь харцгаая - урт, ногоон өнгөтэй. Матарыг доороос нь харцгаая - энэ нь урт, гэхдээ тийм ч ногоон биш (үнэндээ хар саарал өнгөтэй).

Тиймээс Лемма 1 нь батлагдсан.

Лемма 2: Матар өргөнөөс илүү ногоон өнгөтэй.

Баталгаа.Дахин дээрээс матрыг харцгаая. Энэ нь ногоон, өргөн юм. Матарыг хажуу талаас нь харцгаая: ногоон өнгөтэй, гэхдээ өргөн биш. Энэ нь Лемма 2-ыг баталж байна.

Теоремын мэдэгдэл нь батлагдсан леммуудаас тодорхой гарч ирдэг.

Үүний эсрэг теорем (“Матар уртаас өргөн”) ижил төстэй байдлаар нотлогдож болно.

Өнгөц харахад матар нь дөрвөлжин хэлбэртэй гэсэн хоёр теоремоос харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн томъёолол дахь тэгш бус байдал нь хатуу байдаг тул жинхэнэ математикч цорын ганц зөв дүгнэлтийг хийх болно: МАТАР БАЙДАГГҮЙ!

13. Дахин индукц

Теорем: Бүх натурал тоонууд хоорондоо тэнцүү байна.

Баталгаа. Дурын хоёр натурал тооны хувьд үүнийг батлах шаардлагатай АТэгээд Бтэгш байдал хангагдсан А = Б. Үүнийг дараах байдлаар дахин томъёолъё: ямар ч гэсэн Н> 0 ба дурын АТэгээд Б, тэгш байдлыг хангах max( А, Б) = Н, тэгш байдлыг бас хангасан байх ёстой А = Б.

Үүнийг индукцийн аргаар баталъя. Хэрэв Н= 1, тэгвэл АТэгээд Б, байгалийн байх нь хоёулаа тэнцүү 1. Иймд А = Б.

Одоо энэ мэдэгдлийг ямар нэгэн үнэ цэнээр нотолсон гэж үзье к. Авцгаая АТэгээд Бхамгийн их ( А, Б) = к+ 1. Дараа нь max( А–1, Б–1) = к. Индукцийн таамаглалаас үзэхэд ( А–1) = (Б–1). гэсэн үг, А = Б.

14. Бүх ерөнхий дүгнэлт буруу байна!

Хэл шинжлэлд дурлагсад ба математикийн тааварТэд рефлекс, эсвэл өөрийгөө дүрслэх (муу зүйл битгий бодоорой), өөртөө хамааралтай үг хэллэг, тоонуудын талаар мэддэг байх. Сүүлийнх нь жишээлбэл, 2100010006 дугаарыг багтаасан бөгөөд эхний орон нь энэ тооны бичлэг дэх нэгүүдийн тоотой тэнцүү байна, хоёр дахь нь - хоёрын тоо, гурав дахь нь - гурвын тоо, ..., арав дахь - тэгийн тоо.

Өөрийгөө дүрсэлсэн үгсэд, жишээ нь, үг орно хорин нэгэн үсэг, хэдэн жилийн өмнө миний зохион бүтээсэн. Энэ нь үнэндээ 21 үсэгтэй!

Өөрийгөө тайлбарлах олон хэллэг байдаг. Орос хэл дээрх анхны жишээнүүдийн нэгийг олон жилийн өмнө алдартай шог зураач, хэл ярианы мэргэн Вагрич Бахчанян зохион бүтээжээ. Энэ өгүүлбэрт гучин хоёр үсэг байна. Хожим зохион бүтээгдсэн өөр хэд хэдэн зүйл энд байна: 1. Арван долоон үсэг. 2. Энэ өгүүлбэрийн төгсгөлд алдаа байна. 3. Энэ өгүүлбэр долоон үгээр богино байсан бол долоон үг байх байсан. 4. Та уншиж дуустал намайг унших тул та миний хяналтанд байна. 5. ...Энэ өгүүлбэр гурван цэгээр эхэлж төгсдөг..

Мөн илүү төвөгтэй загварууд байдаг. Жишээлбэл, энэ мангасыг биширдэг ("Квант" сэтгүүлийн 1989 оны 6-р дугаарт С. Табачниковын "Тахилч нохойтой байсан" тэмдэглэлийг үзнэ үү): Энэ хэллэгт “д” гэдэг үг хоёр удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэлбэр” хоёр удаа, “байдаг” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үг” арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг хоёр удаа, “үүнд” гэсэн үг хоёр удаа, “хэлцэг” хоёр удаа, “үг” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “д” гэдэг үг арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг хоёр удаа, “хэлцэг” хоёр удаа, “үүнд” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг 2 удаа, 14 удаа, 14 удаа тус тус орсон байна. раз” зургаан удаа, “раза” гэдэг нь есөн удаа, “хоёр” гэдэг нь долоон удаа, “арван дөрөв” гурван удаа, “есөн” гэдэг нь гурван удаа, хоёр удаа гардаг. , “долоо” гэдэг үг хоёр удаа, хоёр “зургаа” гэдэг үг хэд хэдэн удаа гардаг.

Квант сэтгүүлд хэвлэгдсэнээс хойш нэг жилийн дараа И.Акулич түүнд багтсан үгс төдийгүй цэг таслалыг тодорхойлсон өөрийгөө тодорхойлсон хэллэгийг гаргаж ирэв. Таны уншиж буй өгүүлбэрт: "Өгүүлбэр" гэсэн хоёр үг, "аль нь" гэсэн хоёр үг, "Та" хоёр үг, "уншсан" хоёр үг, "агуулагдсан" хоёр үг, хорин таван үг, "үг" гэсэн хоёр үг багтсан болно. , "хос цэг" хоёр үг, "таслал" хоёр үг, "би" хоёр үг, "зүүн" хоёр үг, "ба" хоёр үг, "баруун" хоёр үг, "хашилт" хоёр үг, "а" хоёр үг, хоёр "мөн" гэсэн хоёр үг, "цэг" хоёр үг, "нэг" хоёр үг, "нэг" хоёр үг, хорин хоёр үг, "хоёр", "гурван" гурван үг, "дөрөв" хоёр, "таван" гурван үг, “хорин” дөрвөн үг, “гуч” хоёр үг, хоёр хоёр цэг, гучин таслал, зүүн, баруун хорин таван хашилт, нэг цэг.

Эцэст нь хэдэн жилийн дараа нөгөө л "Квант"-д А.Ханяны бичсэн тэмдэглэл гарч, бүх үсгийг нь нямбай дүрсэлсэн өгүүлбэр орсон байна. Энэ өгүүлбэрт арван хоёр V, хоёр E, арван долоон Т, гурван О, хоёр Y, хоёр F, долоон R, арван дөрвөн А, хоёр 3, арван хоёр E, арван зургаан D, долоон H, долоон C, арван гурван В, найман С, зургаан М , тав I, хоёр H, хоёр S, гурав I, гурван Ш, хоёр П.

Өмнө дурьдсан мангасуудын нэгийг төрүүлсэн И.Акулич надад бичсэн хувийн захидалдаа "Дахин нэг хэллэг дутуу байгаа нь тодорхой мэдрэгдэж байна. Энэ нь түүний бүх үсэг, цэг таслалтын талаар өгүүлдэг" гэж бичжээ. Магадгүй манай уншигчдын нэг нь энэ маш хэцүү асуудлыг шийдэх байх.

15. "Мөн суут ухаантан бол парадоксуудын анд ..."

Өмнөх сэдвийн үргэлжлэлд рефлексийн парадоксуудыг дурдах нь зүйтэй.

Ж.Литлвудын өмнө дурьдсан “Математикийн холимог” номонд “Бүх рефлексийн парадоксууд нь мэдээжийн хэрэг маш сайн хошигнол байдаг” гэж зөв хэлсэн байдаг. Тэдний хоёр нь бас байгаа бөгөөд би эдгээрээс иш татахыг зөвшөөрнө.

1. Арван зургаагаас бага үгтэй хэллэгээр илэрхийлэх боломжгүй (эерэг) бүхэл тоо байх ёстой. Аливаа эерэг бүхэл тоон багц нь хамгийн бага тоог агуулдаг тул тоо байдаг Н, "Арван зургаагаас цөөн үгтэй хэллэгээр тодорхойлох боломжгүй хамгийн жижиг бүхэл тоо." Гэхдээ энэ хэллэг нь 15 үг агуулсан бөгөөд тодорхойлдог Н.

2. Сэтгүүл дээр Үзэгч“Өглөөний сониноо нээхэд та юу унших дуртай вэ?” сэдвээр уралдаан зарласан. Эхний шагнал нь дараах хариултыг авсан.

Бидний хоёр дахь тэмцээн

Энэ жилийн хоёр дахь тэмцээний тэргүүн шагналыг ноён Артур Робинсон хүртсэн бөгөөд түүний ухаалаг хариулт нь хамгийн шилдэг нь гэж тооцогддог. "Өглөөний сониноо нээхдээ та юу уншихад хамгийн их таалагдах вэ?" гэсэн асуултад өгсөн хариулт нь. "Бидний хоёр дахь тэмцээн" нэртэй байсан ч цаасны хязгаарлалтаас болоод бүрэн эхээр нь хэвлэх боломжгүй.

16. Палиндроматик

Зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш адилхан уншдаг ийм гайхалтай хэллэгүүд байдаг. Хүн бүр нэг зүйлийг баттай мэддэг: Мөн сарнай Азорын савар дээр унав. Мунхаг Пиноккиогийн диктантаар бичүүлэхийг хүслэнт Малвина гуйсан нь тэр юм. Ийм харилцан хамааралтай хэллэгүүдийг палиндром гэж нэрлэдэг бөгөөд Грек хэлнээс орчуулбал "буцаж гүйх, буцах" гэсэн утгатай. Өөр хэдэн жишээ энд байна: 1. Гүүрэн дээр хөрөөдөж буй Лилипутын муур загас. 2. Би угаалгын өрөө рүү авирч байна. 3. Тэр ариун сүм дээр хэвтэж, тэргүүн тэнгэр элч нь гайхамшигтай, үл үзэгдэх юм. 4. Гахай хаш дээр дарагдсан. 5. Муза, туршлагаас болж шархадсан тул та шалтгаанаар залбирах болно. (Д. Авалиани). 6. Би гараараа тамхины иш бараг барьдаггүй... (Б.Голдштейн) 7. Сүүний үнэр үнэртэх үед би эргэн тойрноо мяндаг. (Г. Лукомников). 8. Тэр бургас, гэхдээ тэр нь дүнз юм. (S.F.)

Математикт палиндром байдаг болов уу? Энэ асуултад хариулахын тулд харилцан, тэгш хэмтэй унших санааг тоо, томъёонд шилжүүлэхийг хичээцгээе. Энэ нь тийм ч хэцүү биш нь харагдаж байна. Цөөхөн хэдтэй нь уулзацгаая ердийн жишээнүүдэнэ палиндром математикаас палиндроматик. Палиндромик тоонуудыг орхиж, жишээ нь, 1991 , 666 гэх мэт. - нэн даруй тэгш хэмтэй томьёо руу шилжье.

Эхлээд дараах асуудлыг шийдэж үзье: ийм хоёр оронтой тооны бүх хосыг олоорой

(x 1 - эхний цифр, y 1 - хоёр дахь цифр) ба

Ингэснээр нийлбэрийг баруунаас зүүн тийш уншсаны үр дүнд тэдгээрийн нэмэгдлийн үр дүн өөрчлөгдөхгүй, i.e.

Жишээлбэл, 42 + 35 = 53 + 24.

Асуудлыг бага зэрэг шийдэж болно: бүх ийм хос тоонуудын эхний цифрүүдийн нийлбэр нь хоёр дахь цифрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Одоо та амархан барьж болно ижил төстэй жишээнүүд: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 гэх мэт.

Үүнтэй адил үндэслэлээр та бусадтай ижил асуудлыг хялбархан шийдэж чадна арифметик үйлдлүүд.

Ялгаатай тохиолдолд, i.e.

дараах жишээнүүдийг авсан: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - ийм тооны цифрүүдийн нийлбэр тэнцүү ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Үржүүлэх тохиолдолд бид: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - энэ тохиолдолд тоонуудын эхний цифрүүдийн үржвэр болно. Н 1 Тэгээд Н 2 хоёр дахь цифрүүдийн үржвэртэй тэнцүү ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Эцэст нь хуваахын тулд бид дараах жишээнүүдийг авна.

Энэ тохиолдолд тооны эхний цифрийн үржвэр Н 1 тооны хоёр дахь орон руу Н 2 тэдгээрийн бусад хоёр цифрийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

17. Зөвлөлтийн эсрэг теорем

"Хөгжөөгүй социализм"-ийн эрин үед гарч ирсэн дараах "теорем"-ын нотолгоо нь Коммунист намын үүргийн тухай тухайн үеийн алдартай тезисүүдэд үндэслэсэн болно.

Теорем. Намын үүрэг сөрөг байна.

Баталгаа. Энэ нь сайн мэдэгдэж байна:

1. Намын үүрэг оролцоо тасралтгүй нэмэгдэж байна.

2. Коммунизмын үед, in ангигүй нийгэм, намын үүрэг 0 байх болно.

Тиймээс бид 0-д чиглэсэн тасралтгүй нэмэгдэж буй функцтэй байна. Тиймээс энэ нь сөрөг байна. Теорем нь батлагдсан.

18. Арван зургаан нас хүрээгүй хүүхэд шийдвэр гаргах эрхгүй

Дараахь асуудал нь утгагүй мэт санагдаж байсан ч энэ нь бүрэн хатуу шийдэлтэй байдаг.

Даалгавар.Ээж ээ миний хүүгээс том 21 жилийн турш. Зургаан жилийн дараа тэр түүнээс тав дахин наслах болно. Асуулт нь: ААВ ХААНА БАЙНА?!

Шийдэл. Болъё X- хүүгийн нас, ба Ю- эхийн нас. Дараа нь асуудлын нөхцөлийг хоёр энгийн тэгшитгэлийн систем болгон бичнэ.

Орлуулах Ю = XХоёр дахь тэгшитгэлд + 21 байвал бид 5-ыг авна X + 30 = X+ 21 + 6, хаанаас X= -3/4. Тиймээс одоо хүү нь хасах 3/4 настай, өөрөөр хэлбэл. хасах 9 сар. Энэ нь аав нь одоо ээж дээр байгаа гэсэн үг юм!

19. Гэнэтийн дүгнэлт

"Хэрэв та ийм ухаантай юм бол яагаад ийм ядуу юм бэ?" гэсэн элэгтэй хэллэг нь олон хүмүүст мэдэгдэж байгаа бөгөөд харамсалтай нь. Энэхүү гунигтай үзэгдэл нь маргаангүй үнэнд суурилсан хатуу математик үндэслэлтэй болох нь харагдаж байна.

Тухайлбал, алдартай хоёр постулатаас эхэлье:

Postulat 1: Мэдлэг = Хүч.

Postulat 2: Цаг = Мөнгө.

Үүнээс гадна ямар ч сургуулийн хүүхэд үүнийг мэддэг

Зам s = Хурд x Цаг = Ажил: Хүч,

Ажил: Цаг = Хүч x Хурд (*)

Хоёр постулатын "цаг хугацаа" ба "хүч" гэсэн утгыг (*) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Ажил: (Мэдлэг x Хурд) = Мөнгө (**)

Үүний үр дүнд үүссэн тэгшитгэлээс (**) "мэдлэг" эсвэл "хурд" -ыг тэг рүү чиглүүлснээр бид ямар ч "ажил" -аас хүссэн хэмжээгээрээ мөнгө авах боломжтой болох нь тодорхой байна.

Эндээс дүгнэлт: илүү тэнэг ба илүү залхуу хүн, тэдгээр илүү их мөнгөтэр мөнгө хийж чадна.

20. Ландаугийн математикийн тоглоом

Нэлээд хэдэн жилийн өмнө “Шинжлэх ухаан ба амьдрал” сэтгүүлд (2000 оны №1) академич Ландаугийн аялж явахдаа уйдахгүйн тулд зохиосон гайхамшигт оньсого тоглоомд зориулсан профессор Б.Горобецын тэмдэглэл нийтлэгдсэн нь уншигчдын сонирхлыг ихэд татаж байв. машин. Мэдрэгчтэй энэ тоглоомыг тогло санамсаргүй тооХажуугаар нь яаран гүйж буй автомашины дугаарын дугаар болж үйлчилдэг байсан (тэр үед эдгээр тоо нь хоёр үсэг, хоёр хос тооноос бүрддэг байсан) тэрээр хамтрагчдаа байнга санал болгодог байв. Тоглоомын мөн чанар нь арифметик тэмдэг, тэмдэглэгээг ашиглах явдал байв үндсэн функцууд(жишээ нь +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctan, lg гэх мэт) энэ хоёрыг ижил утгад хүргэнэ. хоёр оронтой тоохажуугаар өнгөрөх машины дугаараас. Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийг ашиглахыг зөвшөөрнө ( n! = 1 x 2 x ... x n), гэхдээ секант, косекант, ялгах аргыг ашиглахыг зөвшөөрдөггүй.

Жишээлбэл, 75-33 хосын хувьд хүссэн тэгш байдлыг дараах байдлаар хангана.

00–38 хосын хувьд дараах байдалтай байна:

Гэсэн хэдий ч бүх асуудлыг ийм энгийн байдлаар шийдэж чаддаггүй. Тэдний зарим нь (жишээлбэл, 75-65) тоглоомын зохиолч Ландаугийн чадвараас давсан байв. Тиймээс ямар ч хос тоог "шийдвэрлэх" боломжийг олгодог бүх нийтийн арга барил, зарим нэг томъёоны тухай асуулт гарч ирнэ. Үүнтэй ижил асуултыг Ландау болон түүний шавь Проф. Каганов. Түүний бичсэн зүйл, тухайлбал: "Тэгш байдлыг үргэлж бий болгох боломжтой юу улсын дугаар? - Би Ландаугаас асуув. "Үгүй" гэж тэр маш тодорхой хариулав. - "Шийдлийн байхгүй гэсэн теоремыг та нотолсон уу?" - Би гайхсан. "Үгүй" гэж Лев Давидович итгэлтэйгээр хэлэв, "гэхдээ би бүх тоондоо амжилтанд хүрч чадаагүй."

Гэсэн хэдий ч ийм шийдлүүдийг олсон бөгөөд тэдгээрийн нэг нь Ландаугийн амьдралын туршид байсан юм.

Харьковын математикч Ю Палант хос тоог тэнцүүлэх томъёог санал болгов

давтан ашигласны үр дүнд аль ч тоог жижиг тоогоор илэрхийлэх боломжийг олгодог. "Би Ландаугийн нотлох баримтыг авчирсан" гэж Каганов энэ шийдвэрийн талаар бичжээ. "Түүнд үнэхээр таалагдсан ..., бид үүнийг шинжлэх ухааны сэтгүүлд нийтлэх эсэхээ хагас хошигнол, хагас нухацтай ярилцсан."

Гэсэн хэдий ч Палантын томъёо нь одоо "хориотой" секантыг ашигладаг (20 гаруй жилийн турш үүнийг оруулаагүй болно. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр), тиймээс хангалттай гэж үзэх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч би үүнийг өөрчилсөн томъёог ашиглан хялбархан засаж чадсан

Үүссэн томьёо (хэрэв шаардлагатай бол дахин хэд хэдэн удаа хэрэглэх шаардлагатай) нь ямар ч тоог дурын замаар илэрхийлэх боломжийг олгодог илүү их тоо, бусад тоо ашиглахгүйгээр, энэ нь Ландаугийн асуудлыг шавхах нь ойлгомжтой.

1. Тоонуудын дунд тэг байх ёсгүй. Тэднээс хоёр тоо гаргая abТэгээд CD, (эдгээр нь мэдээжийн хэрэг ажил биш). Хэзээ гэдгийг харуулъя n ? 6:

нүгэл[( ab)!]° = нүгэл[( CD)!]° = 0.

Нээрээ нүгэл( n!)° = 0 бол n? 6, учир нь sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Тэгвэл 6-г үржүүлснээр дурын факториал гарна! дараагийн бүхэл тоонууд руу: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 гэх мэтээр синусын аргумент дээр 360°-ын үржвэрийг өгч, түүнийг (мөн шүргэгчийг) тэгтэй тэнцүү болгоно.

2. Зарим хос тоонд тэг байг. Бид үүнийг зэргэлдээх цифрээр үржүүлж, тооны өөр хэсэгт байгаа тооноос авсан градусаар факториалын синустай тэнцүүлнэ.

3. Тооны хоёр талд тэг байг. Зэргэлдээх цифрүүдээр үржүүлбэл 0 = 0 өчүүхэн тэгш байдлыг өгнө.

Ерөнхий шийдлийг 2, 3-р цэгт тэгээр үржүүлж гурван цэгт хуваасан нь нүгэл( n!)° ? 0 бол n < 6».

Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй ерөнхий шийдлүүдЛандаугийн жүжгийг зөвхөн хийсвэр сонирхлыг харуулсан анхны сэтгэл татам байдлаас нь салгах. Тиймээс ашиглахгүйгээр хувь хүнд хэцүү тоогоор тоглож үзээрэй бүх нийтийн томъёо. Тэдгээрийн зарим нь энд байна: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00-26.

21. Тодорхойлогчоор азыг хэлэх

22. 9 тэмдэгт

Тодорхойлогчдын талаар дэлгэрэнгүй.

Механик-математикийн факультетийн 1-р курсын оюутнуудын дунд мөнгөний төлөөх “тодорхойлогч” тоглоом дэлгэрч байсан гэж надад хэлсэн. Хоёр тоглогч хоосон нүдтэй цаасан дээр 3х3 хэмжээтэй танигч зурна. Дараа нь 1-ээс 9 хүртэлх тоог нэг нэгээр нь хоосон нүднүүдэд оруулна. Бүх нүдийг бөглөхөд тодорхойлогчийг тооцоолно - тэмдгийг харгалзан хариулт нь эхний тоглогчийн ялалт (эсвэл алдагдал) юм. , рубльээр илэрхийлсэн. Жишээлбэл, хэрэв энэ тоо -23 болсон бол эхний тоглогч хоёр дахь 23 рубль төлнө, хэрэв 34 бол эсрэгээр хоёр дахь тоглогч эхний 34 рубль төлнө.

Тоглоомын дүрэм нь манжин шиг энгийн боловч зөв ялалтын стратегийг олох нь маш хэцүү байдаг.

23. Академичүүд асуудлыг хэрхэн шийдсэн

Энэхүү тэмдэглэлийг математикч, зохиолч, “The Ubiquitous Number Pi” хэмээх гайхалтай номын зохиолч А.Жуков надад илгээсэн юм.

Москвагийн хоёр их сургуульд математикийн хичээл заадаг профессор Борис Соломонович Горобец агуу физикч Лев Давидович Ландау (1908-1968) - "Ландаугийн тойрог" хэмээх ном бичсэн. Энд юу байна сонирхолтой түүх, Физик, технологийн нэг танилцуулах даалгавартай холбоотой гэж тэр бидэнд хэлэв.

Ландаугийн хамтран зүтгэгч, арван боть курсын хамтран зохиогч онолын физик 1959 онд академич Евгений Михайлович Лифшиц (1915-1985) сургуулийн төгсөгч Бора Горобецийг тэргүүлэх сургуулийн нэгд ороход бэлтгэхэд нь тусалсан. физикийн их дээд сургуулиудМосква.

Москвагийн Физик-математикийн дээд сургуулийн математикийн бичгийн шалгалтын үеэр дараахь асуудлыг санал болгов: "SABC пирамидын ёроолд тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт байрладаг. ABC гурвалжин, өнцөг C = 90 °, тал нь AB = l. Хажуугийн нүүрсуурийн хавтгайтай ?, ?, ? хоёр талт өнцөг үүсгэнэ. Пирамид бичээстэй бөмбөгний радиусыг ол."

Ирээдүйн профессор тэр үед даалгавраа биелүүлээгүй боловч түүний нөхцөл байдлыг санаж, дараа нь Евгений Михайловичид мэдэгдэв. Оюутны дэргэд асуудлаа шийдчихээд тэр дор нь шийдэж чадалгүй гэртээ аваад явчихлаа, орой нь утасдаад нэг цагийн дотор шийдээгүй тул энэ асуудлыг санал болголоо гэж хэлсэн. Лев Давидович руу.

Ландау бусдад хүндрэл учруулсан асуудлыг шийдвэрлэх дуртай байв. Удалгүй тэр Лифшицийг буцааж дуудаж, сэтгэл хангалуун: "Би асуудлыг шийдсэн. Шийдвэр гаргахад яг нэг цаг зарцуулсан. Би Зельдович руу залгасан, одоо тэр шийднэ." Тайлбарлая: Яков Борисович Зельдович (1914-1987) - өөрийгөө Ландаугийн шавь гэж үздэг алдартай эрдэмтэн, тэр жилүүдэд Зөвлөлтийн маш нууцад онолын ерөнхий физикч байсан. Атомын төсөл(мэдээж тэр үед цөөхөн хүн мэддэг байсан). Цаг орчмын дараа Е.М.Лифшиц дахин залгаад: Зельдович саяхан түүн рүү залгасан бөгөөд бахархалгүйгээр: "Би таны асуудлыг шийдсэн. Би дөчин минутын дараа шийдсэн!"

Энэ ажлыг дуусгахад хэр хугацаа шаардагдах вэ?

24. Асуудал

Физик, технологийн хошин шогийн "Заны шинжлэх ухааны хошигнол" (Москва, 2000) -д хэд хэдэн математикийн онигоо байдаг. Тэдний зөвхөн нэгийг нь энд оруулав.

Нэг бүтээгдэхүүнийг турших явцад нэг алдаа гарсан. Бүтээгдэхүүний доголдолгүй ажиллах магадлал хэд вэ?

Теорем. Бүх натурал тоонууд сонирхолтой байдаг.

Баталгаа. Эсрэгээр нь гэж бодъё. Дараа нь хамгийн бага сонирхолгүй натурал тоо байх ёстой. Ха, энэ үнэхээр сонирхолтой юм!

26. Дээд арифметик

1-ийн утга хангалттай том бол 1 + 1 = 3.

27. Эйнштейн-Пифагорын томъёо

E = m c 2 = m (a 2 + b 2).

28. Онолын ашиг тусын тухай

Энэ хөгжилтэй түүхминийхээс оюутны амьдралМагадлалын онолын семинар дээр үүнийг асуудал болгон санал болгож болно.

Зун би найзуудтайгаа ууланд явган аялал хийдэг байсан. Бид дөрөв байсан: Володя, хоёр Олег, би. Бид хоёр майхан, гурван унтлагын ууттай байсан бөгөөд нэг нь Володя бид хоёрт давхар байсан. Эдгээр маш унтлагын ууттай холбоотой асуудал, эсвэл майханд байгаа байрлалтай холбоотой асуудал байсан. Бодит байдал нь бороо орж, майхан нь давчуу, хажуу талаас нь гоожиж, ирмэг дээр хэвтэж байгаа хүмүүст тийм ч таатай биш байсан. Тиймээс би энэ асуудлыг "шударга"-аар шийдэх санал гаргасан.

Хараач, би Олегс, Володя бид хоёрын захад эсвэл төвд давхар ор тавьж болно гэж хэлсэн. Тиймээс бид зоос шиднэ: хэрэв "толгой" гарч ирвэл бидний давхар ор ирмэг дээр, "сүүл" бол төвд байх болно.

Олег нар зөвшөөрсөн боловч хэд хэдэн шөнө ирмэгц (Володя бид хоёрын майхны захад унтахгүй байх магадлал 0.75 гэсэн нийт магадлалын томъёогоор тооцоолоход хялбар байдаг) Олег нар ямар нэг зүйл буруу байна гэж сэжиглэж, гэрээг дахин авч үзэхийг санал болгов.

Үнэхээр боломж тэгш бус байсан гэж би хэлсэн. Үнэндээ манай хоёр орны хувьд зүүн захад, баруун талд, төвд гэсэн гурван боломж бий. Тиймээс, орой бүр бид гурван саваанаас нэгийг нь зурах болно - хэрэв бид богинохоныг зурвал бидний давхар нь төвд байх болно.

Хэдийгээр энэ удаад бидний хонох магадлал (одоогийн магадлал 0.66, илүү нарийвчлалтай, гуравны хоёр) нь тэднийхээс илүү байсан ч Олегууд дахин санал нэгдэв. Хоёр шөнийн дараа ирмэг дээр (манай талд байсан хамгийн сайн боломждээр нь аз) Олегууд хууртагдсанаа дахин ойлгов. Гэвч азаар бороо тасарч, асуудал аяндаа алга болсон.

Гэвч үнэн хэрэгтээ манай хоёр ор үргэлж ирмэг дээр байх ёстой бөгөөд Володя бид хоёр хэн азтай болохыг нь зоосоор тодорхойлно. Олегууд ч мөн адил хийх байсан. Энэ тохиолдолд ирмэг дээр унтах боломж нь хүн бүрт адилхан бөгөөд 0.5-тай тэнцүү байх болно.

Тэмдэглэл:

Заримдаа үүнтэй төстэй түүхийг Жан Чарльз Франсуа Штурмын тухай өгүүлдэг.