Тооны цувааг нийлсэн гэж нэрлэдэг. Ээлжит цуврал

Үндсэн тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт. Хязгааргүй тооны дарааллын гишүүний нийлбэрийг нэрлэнэ тооны цуврал.

Үүний зэрэгцээ тоонууд
бид тэднийг цувралын гишүүд гэж нэрлэх болно, мөн у n- цувралын нийтлэг гишүүн.

Тодорхойлолт. Дүн
,n = 1, 2, … гэж нэрлэдэг хувийн (хэсэгчилсэн) дүнэгнээ.

Тиймээс цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллыг авч үзэх боломжтой С 1 , С 2 , …, С n , …

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан нэгдэх, хэрэв түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нийлбэл. Нийцсэн цувааны нийлбэрнь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаар юм.

Тодорхойлолт. Хэрэв цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал зөрүүтэй байвал, i.e. хязгааргүй, эсвэл байдаг хязгааргүй хязгаар, дараа нь цуврал гэж нэрлэдэг ялгаатаймөн түүнд ямар ч дүн тогтоогдоогүй.

Мөрний шинж чанарууд.

1) Хэрэв та өөрчлөх, хаях эсвэл нэмэх тохиолдолд цувралын нэгдэл, зөрүүг зөрчихгүй. эцсийн тооцувралын гишүүд.

2) Хоёр мөрийг авч үзье
Тэгээд
, хаана C - тогтмол тоо.

Теорем. Хэрэв эгнээ
нийлдэг ба нийлбэр нь тэнцүү байнаС, дараа нь цуврал
мөн нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь С-тэй тэнцүү байнаС. (C  0)

3) Хоёр эгнээ авч үзье
Тэгээд
.Дүнэсвэл ялгааЭдгээр цувралыг цуврал гэж нэрлэх болно
, элементүүдийг ижил тоотой анхны элементүүдийг нэмэх (хасах) замаар олж авдаг.

Теорем. Хэрэв мөрүүд
Тэгээд
нийлэх ба тэдгээрийн нийлбэрүүд тус тус тэнцүү байнаСТэгээд , дараа нь цуврал
мөн нийлдэг ба нийлбэр нь тэнцүү байнаС +  .

Хоёр нийлсэн цувааны ялгаа нь мөн нийлэх цуваа байх болно.

Дивергент ба дивергент цувааны нийлбэр нь салангид цуваа юм.

Хоёр зөрүүтэй цувралын нийлбэрийн талаар ерөнхий дүгнэлт хийх боломжгүй юм.

Цувралыг судлахдаа нийлбэрийг судлах, цувааны нийлбэрийг олох гэсэн хоёр асуудлыг голчлон шийддэг.

Кошигийн шалгуур.

(цуврал нийлэхэд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл)

Дарааллын дагуу
нийлсэн байсан, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
ийм тоо байсанН, тэр цагтn > Нболон аливаах> 0, p нь бүхэл тоо бол дараах тэгш бус байдал үүснэ.

.

Баталгаа. (шаардлагатай)

Болъё
, дараа нь дурын тооны хувьд
тэгш бус байдлыг хангахуйц N тоо байна

n>N үед биелнэ. n>N ба дурын бүхэл p>0 тоонуудын хувьд тэгш бус байдал бас биелнэ
. Хоёр тэгш бус байдлыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэгцээтэй нь нотлогдсон. Бид хангалттай байдлын нотолгоог авч үзэхгүй.

Цувралын Коши шалгуурыг томъёолъё.

Цуврал гаргахын тулд
нийлсэн байсан, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
тоо байсанНийм цагтn> Нболон аливаах>0 бол тэгш бус байдал хадгалагдана

.

Гэсэн хэдий ч практик дээр Коши шалгуурыг шууд ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Тиймээс, дүрмээр бол илүү энгийн нэгдэх тестийг ашигладаг.

1) Хэрэв эгнээ
нийлдэг, тэгвэл зайлшгүй шаардлагатай нийтлэг гишүүн у nтэг рүү чиглэсэн. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл хангалттай биш юм. Хэрэв нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглээгүй бол цуврал нь мэдээжийн хэрэг зөрүүтэй байна гэж бид хэлж чадна. Жишээлбэл, гармоник цуврал гэж нэрлэгддэг нийтлэг нэр томъёо нь тэг байх хандлагатай ч гэсэн ялгаатай байна.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг судал

Бид олох болно
- шаардлагатай тэмдэгнийлмэл байдал хангагдаагүй, энэ нь цуваа зөрүүтэй байна гэсэн үг.

2) Хэрэв цуврал нийлбэл түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь хязгаарлагдмал байна.

Гэсэн хэдий ч энэ тэмдэг нь хангалттай биш юм.

Жишээ нь, 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… цуваа зөрүүтэй, учир нь гэсэн шалтгаанаар түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал зөрж байна

Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалал хязгаарлагдмал, учир нь
аль ч үед n.

Сөрөг бус нэр томъёо бүхий цуврал.

Тогтмол тэмдгийн цувааг судлахдаа бид сөрөг бус нэр томъёо бүхий цувааг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно, учир нь Эдгээр цувралаас -1-ээр үржүүлснээр сөрөг нөхцөлтэй цуваа гарч ирнэ.

Теорем. Цувралыг нэгтгэхийн тулд
сөрөг бус нөхцөлтэй бол цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг хязгаарлахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Цувралыг сөрөг бус нөхцөлтэй харьцуулах тэмдэг.

Хоёр эгнээ өгье
Тэгээд
цагт у n , v n  0 .

Теорем. Хэрэв у n  v nаль ч үед n, дараа нь цувралын нийлбэрээс
цуврал нэгдэж байна
, мөн цувралын зөрүүгээс
цуврал нь ялгаатай
.

Баталгаа. -ээр тэмдэглэе С n Тэгээд  nцувралын хэсэгчилсэн нийлбэр
Тэгээд
. Учир нь теоремын нөхцлийн дагуу цуваа
нийлдэг, дараа нь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүд хязгаарлагдмал, өөрөөр хэлбэл. хүн бүрийн өмнө n n  M, энд M нь тодорхой тоо. Гэхдээ учир нь у n  v n, Тэр С n   nдараа нь цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүд
мөн хязгаарлагдмал байдаг бөгөөд энэ нь нэгдэхэд хангалттай.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Учир нь
, ба гармоник цуврал хуваагдана, дараа нь цуваа нь хуваагдана
.

Жишээ.

Учир нь
, болон цуврал
нийлдэг (багарах геометр прогресс гэх мэт), дараа нь цуваа
бас нэгддэг.

Дараахь нэгдэх шалгуурыг мөн ашигладаг.

Теорем. Хэрэв
мөн хязгаар бий
, Хаанаh– тэгээс өөр тоо, дараа нь цуваа
Тэгээд
нийлэмжийн хувьд адилхан аашлах.

Д'Аламберын тэмдэг.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Францын математикч)

Хэрэв цуврал бол
эерэг нөхцөлтэй бол ийм тоо байдагq<1, что для всех достаточно больших nтэгш бус байдал бий

дараа нь цуврал
Хэрэв бүгд хангалттай том байвал нийлдэгnнөхцөл хангагдсан байна

дараа нь цуврал
ялгаатай.

D'Alembert-ийн хязгаарлах тэмдэг.

D'Alembert-ийн хязгаарлах шалгуур нь дээрх D'Alembert шалгуурын үр дагавар юм.

Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ < 1 ряд сходится, а при  > 1 – зөрүүтэй. Хэрэв = 1, тэгвэл нэгдэх тухай асуултад хариулж чадахгүй.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл .

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Кошигийн тэмдэг. (радикал шинж тэмдэг)

Хэрэв цуврал бол
сөрөг бус нөхцөлтэй ийм тоо байдагq<1, что для всех достаточно больших nтэгш бус байдал бий

,

дараа нь цуврал
нийлдэг, хэрэв бүгд хангалттай том байвалnтэгш бус байдал бий

дараа нь цуврал
ялгаатай.

Үр дагавар. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд сходится, а при >1-р эгнээ зөрүүтэй байна.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл
.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Жишээ.Цувралын нийлэлтийг тодорхойл
.

Тэдгээр. Коши тест нь цувралын нэгдмэл байдлын асуултанд хариулдаггүй. Шаардлагатай нэгдэх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Дээр дурдсанчлан хэрэв цуваа нийлбэл цувааны нийтлэг гишүүн тэг болох хандлагатай байна.

,

Тиймээс нэгдэх шаардлагатай нөхцөл хангагдаагүй бөгөөд энэ нь цуваа зөрүүтэй байна гэсэн үг юм.

Интеграл Коши тест.

Хэрэв (x) нь интервалаар буурдаг тасралтгүй эерэг функц юмТэгээд
дараа нь интегралууд
Тэгээд
нийлэмжийн хувьд адилхан аашлах.

Ээлжит цуврал.

Ээлжит эгнээ.

Ээлжит цувралыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана

Лейбницийн тэмдэг.

Хэрэв ээлжлэн эгнээний тэмдэг үнэмлэхүй утгууду би буурч байна
мөн нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглэдэг
, дараа нь цуврал нийлнэ.

Үнэмлэхүй ба нөхцөлт ойртолтэгнээ.

Зарим ээлжлэн цувааг (дурын тэмдгийн нөхцлөөр) авч үзье.

(1)

ба цувралын гишүүдийн үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх цуврал (1):

(2)

Теорем. Цуврал (2)-ын нийлбэрээс (1) цувааны нийлэлтийг дагана.

Баталгаа. Цуврал (2) нь сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал юм. Хэрэв (2) цуваа нийлбэл, Коши шалгуураар дурын >0-ийн хувьд n>N ба бүхэл p>0 тоонуудын хувьд дараах тэгш бус байдал үнэн болох N тоо байна.

Үнэмлэхүй утгын шинж чанарын дагуу:

Өөрөөр хэлбэл, Кошигийн шалгуурын дагуу (2) цувралын нийлбэрээс (1) цувааны нийлэгжилт гарч ирнэ.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан туйлын нэгдмэл, хэрэв цуваа нийлвэл
.

Тогтмол тэмдгийн цувралын хувьд нийлбэр ба туйлын нэгдэл гэсэн ойлголтууд давхцаж байгаа нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан нөхцөлт нийлдэг, хэрэв энэ нь нийлж байгаа бол ба цуврал
ялгаатай.

Д'Аламберт, Коши хоёрын ээлжлэн цувралын туршилтууд.

Болъё
- ээлжлэн цуврал.

Д'Аламберын тэмдэг. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд
туйлын нийлэх ба хэзээ> байх болно

Кошигийн тэмдэг. Хэрэв хязгаар байгаа бол
, тэгээд хэзээ<1 ряд
абсолют нийлэх ба >1 бол цуваа дивергенц болно. =1 үед тэмдэг нь цувааны нийлбэрийн талаар хариулт өгөхгүй.

Үнэмлэхүй нийлсэн цувааны шинж чанарууд.

1) Теорем. Цувралын үнэмлэхүй ойртохын тулд
сөрөг бус гишүүнтэй нийлэх хоёр цувааны зөрүүгээр дүрслэгдэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Үр дагавар. Нөхцөлтэй нийлсэн цуваа нь сөрөг бус гишүүнчлэлтэй хоёр салангид цувааны зөрүүг тэг рүү чиглүүлдэг.

2) Нийлмэл цувааны хувьд дарааллыг нь өөрчлөхгүй байгаа цувралын гишүүнчлэлийн аль нэг бүлэглэл нь цувааны нийлэгжилт, хэмжээг хадгалдаг.

3) Цуврал үнэмлэхүй нийлдэг бол түүнээс олж авсан нэр томъёоны орлуулалт нь мөн абсолют нийлдэг бөгөөд ижил нийлбэртэй байна.

Нөхцөлт нийлэх цувааны нөхцлүүдийг дахин цэгцэлснээр ямар нэгэн урагштай нөхцөлт нийлэх цувааг олж авч болно. өгөгдсөн хэмжээ, тэр ч байтугай ялгаатай цуврал.

4) Теорем. Үнэмлэхүй нийлсэн цувралын гишүүдийн аль ч бүлэглэлийн хувьд (энэ тохиолдолд бүлгийн тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно, бүлгийн гишүүдийн тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно) нийлбэр нийлбэр цувралыг олж авдаг. үүнээс анхны цувралын нийлбэртэй тэнцүү байна.

5) Хэрэв мөрүүд Тэгээд туйлын нийлдэг ба тэдгээрийн нийлбэрүүд тус тус тэнцүү байна С ба , дараа нь хэлбэрийн бүх бүтээгдэхүүнээс бүрдэх цуваа
дурын дарааллаар авсан, мөн үнэмлэхүй нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна С - үржүүлсэн цувааны нийлбэрийн үржвэр.

Хэрэв та нөхцөлт нийлсэн цувааг үржүүлбэл үр дүнд нь дивергент цуваа гаргаж болно.

Функциональ дараалал.

Тодорхойлолт. Хэрэв цувралын гишүүд нь тоо биш, харин функц юм X, дараа нь цувралыг дуудна ажиллагаатай.

Функциональ цувааны нийлэлтийг судлах нь тоон цувааг судлахаас илүү төвөгтэй байдаг. Нэг, адилхан функциональ хүрээижил хувьсагчийн утгуудтай байж магадгүй Xнийлж, бусадтай - салах. Тиймээс функциональ цувааг нэгтгэх асуудал нь хувьсагчийн эдгээр утгыг тодорхойлоход ирдэг X, энэ үед цуврал нийлдэг.

Ийм утгуудын багцыг нэрлэдэг нэгдэх талбар.

Цувралын нэгдэх мужид багтсан функц бүрийн хязгаар нь тодорхой тоо тул функциональ дарааллын хязгаар нь тодорхой функц байх болно.

Тодорхойлолт. Дараалал ( е n (x) } нийлдэгажиллах е(x) хэрчим дээр хэрэв дурын тооны >0 болон дурын цэгийн хувьд Xавч үзэж буй хэрчимээс N = N(, x) тоо байгаа бөгөөд тэгш бус байдал

n>N үед биелнэ.

Сонгосон утга >0 бол сегментийн цэг бүр өөрийн гэсэн дугаартай тул сегментийн бүх цэгүүдэд тохирох хязгааргүй тооны тоо байх болно. Хэрэв та эдгээр бүх тоонуудаас хамгийн томыг нь сонговол энэ тоо сегментийн бүх цэгүүдэд тохиромжтой байх болно, i.e. бүх цэгүүдэд нийтлэг байх болно.

Тодорхойлолт. Дараалал ( е n (x) } жигд нийлдэгажиллах е(x) хэрчим дээр >0 тооны хувьд N = N() тоо байвал тэгш бус байдал

сегментийн бүх цэгийн хувьд n>N хувьд биелнэ.

Жишээ.Дарааллыг анхаарч үзээрэй

Энэ дараалал нь бүхэл тоон мөрөнд нийлж функц рүү нийлдэг е(x)=0 , учир нь

Энэ дарааллын графикуудыг байгуулъя:

синкс

Үүнээс харахад тоо нэмэгдэж байна nдарааллын график тэнхлэгт ойртож байна X.

Функциональ цуврал.

Тодорхойлолт. Хувийн (хэсэгчилсэн) дүнфункциональ хүрээ
функцууд гэж нэрлэдэг

Тодорхойлолт. Функциональ хүрээ
дуудсан нэгдэхцэг дээр ( x=x 0 ), хэрэв энэ үед түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нийлбэл. Дарааллын хязгаар
дуудсан хэмжэээгнээ
цэг дээр X 0 .

Тодорхойлолт. Бүх утгуудын багц X, үүний төлөө цуврал нийлдэг
дуудсан нэгдэх талбарэгнээ.

Тодорхойлолт. Мөр
дуудсан жигд нийлдэгхэрэв энэ цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал энэ интервал дээр жигд нийлдэг бол интервал дээр.

Теорем. (Цувралуудын жигд нийлэх Коши шалгуур)

Цувралыг жигд нэгтгэхийн тулд
Энэ нь ямар ч тооны хувьд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм >0 ийм тоо байсанН( ), аль цагтn> Нболон бүхэл бүтэнх>0 тэгш бус байдал

интервал дээрх бүх x-д байх болно [а, б].

Теорем. (Вэйерштрассын жигд нийлэлтийг шалгах тест)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - Германы математикч)

Мөр
интервал дээр жигд ба туйлын нийлдэг.а, б], хэрэв нэг сегмент дээрх нөхцлүүдийн модулиуд нь эерэг гишүүнтэй нийлсэн тооны цувралын харгалзах гишүүнээс хэтрэхгүй бол:

тэдгээр. тэгш бус байдал байна:

.

Тэд мөн энэ тохиолдолд функциональ цуврал гэж хэлдэг
мэргэшсэнтооны цуврал
.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу
.

Учир нь
үргэлж, энэ нь ойлгомжтой байдаг
.

Түүнээс гадна ерөнхий гармоник цуврал гэдгийг мэддэг =3>1 нийлэх үед Вейерштрассын тестийн дагуу судлагдаж буй цуваа жигд, цаашлаад дурын интервалд нийлдэг.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу .

[-1,1] интервал дээр тэгш бус байдал явагдана
тэдгээр. Вейерштрассын шалгуурын дагуу судалж буй цуваа нь энэ сегмент дээр нийлдэг боловч (-, -1)  (1, ) интервалаар зөрөөд байна.

Нэгт нийлсэн цувааны шинж чанарууд.

1) Цувралын нийлбэрийн тасралтгүй байдлын тухай теорем.

Хэрэв цувралын гишүүд
- сегмент дээр тасралтгүй [а, б] функц ба цуваа жигд нийлж, дараа нь түүний нийлбэр болноС(x) Байна тасралтгүй функцсегмент дээр [а, б].

2) Цувралын гишүүн гишүүний интегралчлалын теорем.

Сегмент дээр жигд нийлэх [а, б] тасралтгүй нөхцөл бүхий цувралыг энэ интервал дээр гишүүнээр нь нэгтгэж болно, i.e. сегмент дэх нөхцлүүдийн интегралаас бүрдэх цуваа [а, б] , энэ сегмент дээрх цувааны нийлбэрийн интегралд нийлдэг.

3) Цувралыг гишүүн гишүүнээр ялгах теорем.

Хэрэв цувралын гишүүд
сегмент дээр нийлэх [а, б] нь тасралтгүй дериватив бүхий тасралтгүй функцууд ба эдгээр деривативуудаас бүрдэх цувааг илэрхийлнэ
Энэ сегмент дээр жигд нийлдэг, дараа нь энэ цуваа жигд нийлдэг бөгөөд нэр томъёогоор нь ялгаж болно.

Цувралын нийлбэр нь хувьсагчийн зарим функц гэдгийг үндэслэн X, функцийг нэгтгэх, ялгах болон бусад үйлдлүүдэд өргөн хэрэглэгддэг цуврал хэлбэрээр (функцийг цуврал болгон өргөтгөх) үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой.

Практикт функцүүдийн эрчим хүчний цуврал өргөтгөлийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эрчим хүчний цуврал.

Тодорхойлолт. Эрчим хүчний цувралхэлбэрийн цуваа гэж нэрлэдэг

.

Эрчим хүчний цувааны нийлэлтийг судлахын тулд D'Alembert-ийн тестийг ашиглах нь тохиромжтой.

Жишээ.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

.

Энэ цуврал нь нийлдэг болохыг бид олж мэдсэн
болон өөр өөр байдаг
.

Одоо бид 1 ба -1 хилийн цэгүүдийн нийлэлтийг тодорхойлж байна.

x = 1-ийн хувьд:
Цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг (харна уу Лейбницийн тэмдэг.).

x = -1 үед:
цуваа хуваагдана (гармоник цуврал).

Абелийн теоремууд.

(Нильс Хенрик Абел (1802 - 1829) - Норвегийн математикч)

Теорем. Хэрэв эрчим хүчний цуврал
цагт нийлдэгx = x 1 , дараа нь энэ нь нийлдэг бөгөөд үүнээс гадна бүх хүмүүст зориулагдсан
.

Баталгаа. Теоремын нөхцлийн дагуу цувааны нөхцлүүд хязгаарлагдмал тул тэгвэл

Хаана к- зарим тогтмол тоо. Дараахь тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Энэ тэгш бус байдлаас харахад хэзээ x< x 1 Манай цувралын нөхцлийн тоон утга нь геометрийн прогрессийг бүрдүүлдэг дээр дурдсан тэгш бус байдлын баруун талд байгаа цувралын харгалзах нөхцлөөс бага (ядаж их биш) байх болно. Энэ дэвшлийн хуваагч теоремын нөхцлийн дагуу энэ нь нэгээс бага тул энэ прогресс нь нэгдэх цуваа юм.

Тиймээс харьцуулах шалгуурыг үндэслэн бид цуврал гэж дүгнэж байна
нийлж байгаа нь цуваа гэсэн үг
туйлын нийлдэг.

Тиймээс, хэрэв эрчим хүчний цуврал
цэг дээр нийлдэг X 1 , дараа нь 2 уртын интервалын аль ч цэгт туйлын нийлдэг цэг дээр төвлөрсөн X = 0.

Үр дагавар. Хэрэв цагт x = x 1 Цуврал нь хуваагдаж, дараа нь хүн бүрийн хувьд ялгаатай байдаг
.

Тиймээс, чадлын цуваа бүрийн хувьд R эерэг тоо байдаг бөгөөд энэ нь бүгдэд зориулагдсан байдаг Xтиймэрхүү
цуврал нь туйлын нийлдэг бөгөөд бүгдэд зориулагдсан
эгнээ зөрж байна. Энэ тохиолдолд R тоог дуудна нэгдэх радиус. Интервал (-R, R) гэж нэрлэгддэг нийлэх интервал.

Энэ интервалыг нэг эсвэл хоёр талдаа хааж, хааж болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Нэгдэх радиусыг дараах томъёогоор олж болно.

Жишээ.Цувралын нийлэх талбайг ол

Нэгдэх радиусыг олох
.

Тиймээс, энэ цувралямар ч утгад нийлдэг X. Энэ цувралын нийтлэг нэр томъёо нь тэг рүү чиглэдэг.

Теорем. Хэрэв эрчим хүчний цуврал
эерэг утгад нийлдэг x=x 1 , дараа нь доторх дурын интервалд жигд нийлдэг
.

Хүч чадлын цуваатай үйлдлүүд.

Практикт цувралын нийлбэрийг олох нь цуваа нийлэх тухай асуултад хариулахын тулд тийм ч чухал биш байдаг. Энэ зорилгоор цувралын нийтлэг нэр томъёоны шинж чанарт үндэслэн нийлэх шалгуурыг ашигладаг.

Цуврал нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг

ТЕОРЕМ 1

Хэрэв эгнээнийлдэг, дараа нь түүний нийтлэг нэр томъёо үед тэглэх хандлагатай байна
, тэдгээр.
.

Товчхондоо: Хэрэв цуваа нийлбэл түүний нийтлэг гишүүн тэг болох хандлагатай байна.

Баталгаа.Цуврал нийлж, нийлбэр нь тэнцүү байг . Хэнд ч зориулав хэсэгчилсэн дүн

.

Дараа нь . 

Конвергенцийн хувьд батлагдсан шаардлагатай шалгуураас дараахь зүйлийг гаргаж болно цувралын зөрүүний хангалттай шинж тэмдэг: хэрэв цагт
Хэрэв цувааны нийтлэг гишүүн тэг рүү чиглээгүй бол цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ 4.

Энэ цувралын хувьд нийтлэг нэр томъёо юм
Тэгээд
.

Тиймээс энэ цуврал нь ялгаатай байна.

Жишээ 5.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Илэрхийллийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан хэлбэрийг заагаагүй энэ цувралын ерөнхий нэр томъёо нь тэг болох хандлагатай байгаа нь ойлгомжтой.
, өөрөөр хэлбэл Цуврал нийлэхэд шаардлагатай шалгуур хангагдсан боловч энэ цуваа нийлбэрээсээ хойш зөрөөд байна. хязгааргүй рүү тэмүүлдэг.

Эерэг тооны цуврал

Бүх гишүүний эерэг утгатай тооны цувааг нэрлэдэг эерэг тэмдэг.

ТЕОРЕМ 2 (Эерэг цувааны нийлэх шалгуур)

Эерэг тэмдэгтэй цуваа нийлэхийн тулд түүний бүх хэсэгчилсэн нийлбэрийг дээрээс нь ижил тоогоор хязгаарлах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Баталгаа.Түүнээс хойш хэнд ч зориулсан
, дараа нь, өөрөөр хэлбэл. дэд дараалал
– нэг хэвийн өсдөг тул хязгаар оршин тогтнохын тулд дээрх дарааллыг тодорхой тоогоор хязгаарлах шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Энэ теорем нь илүү их хэмжээгээрпрактик гэхээсээ илүү онолын ач холбогдолтой. Илүү өргөн хэрэглэгддэг бусад конвергенцийн тестүүдийг доор харуулав.

Эерэг цувааг нэгтгэх хангалттай шинж тэмдэг

ТЕОРЕМ 3 (Эхний харьцуулах тэмдэг)

Хоёр эерэг тэмдгийн цуваа өгье:

(1)

(2)

мөн тодорхой тооноос эхлэн
, хэнд ч зориулав
тэгш бус байдал бий
Дараа нь:

Эхний харьцуулалтын шинж тэмдгийн бүдүүвч тэмдэглэгээ:

буух.цуглуулах.

exp.exp.

Баталгаа. 1) Цувралын хязгаарлагдмал тооны гишүүнийг хасах нь түүний нийлэхэд нөлөөлөхгүй тул бид тухайн тохиолдлын теоремыг батална.
. Энэ нь хэнд ч байг
бидэнд байгаа

, (3)

Хаана
Тэгээд
- (1) ба (2) цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүд.

Хэрэв цуврал (2) нийлбэл тоо байна
. Учир нь энэ тохиолдолд дараалал
- нэмэгдэж, түүний хязгаар нь түүний аль ч гишүүнээс их, i.e.
хэний ч төлөө . Тиймээс (3) тэгш бус байдлаас үүдэн гарч ирнэ
. Тиймээс (1) цувралын бүх хэсэгчилсэн нийлбэрүүд дээрх тоогоор хязгаарлагдана . Теорем 2-ын дагуу энэ цуваа нийлдэг.

2) Үнэхээр (2) цуваа нийлсэн бол (1) цуваа ч бас нийлнэ. 

Энэ функцийг хэрэгжүүлэхийн тулд ийм стандарт цувралыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн нэгдэл эсвэл зөрүүг урьдчилан мэддэг, жишээлбэл:

3) - Дирихлегийн цуврал (энэ нь нийлдэг
болон өөр өөр байдаг
).

Нэмж дурдахад дараахь тодорхой тэгш бус байдлыг ашиглан олж авах боломжтой цувралуудыг ихэвчлэн ашигладаг.

,

,
,
.

Ингээд харцгаая тодорхой жишээнүүдЭхний харьцуулалтын шалгуурыг ашиглан конвергенцын эерэг цувааг судлах схем.

Жишээ 6.Мөрийг судлах
нэгдлийн төлөө.

Алхам 1. Цувралын эерэг тэмдгийг шалгана уу:
Учир нь

Алхам 2. Цуврал нийлэхэд шаардлагатай шалгуурын биелэлтийг шалгая:
. Учир нь
, Тэр

(хэрэв хязгаарыг тооцоолоход хэцүү бол та энэ алхамыг алгасаж болно).

Алхам 3. Эхний харьцуулах тэмдгийг ашиглана уу. Үүнийг хийхийн тулд бид энэ цувралын стандарт цувралыг сонгох болно. Учир нь
, тэгвэл бид цувралыг стандарт болгон авч болно
, өөрөөр хэлбэл Дирихлетийн цуврал. Энэ цуврал экспонентээс хойш нийлдэг
. Тиймээс, харьцуулалтын эхний шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд бас нэгдэж байна.

Жишээ 7.Мөрийг судлах
нэгдлийн төлөө.

1) Энэ цуврал эерэг байна, оноос хойш
Учир нь

2) Цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай шалгуур хангагдсан, учир нь

3) Стандарт мөрийг сонгоцгооё. Учир нь
, тэгвэл бид геометрийн цувааг стандарт болгон авч болно

. Энэ цуврал нийлдэг, тиймээс судалж буй цувралууд ч нийлдэг.

ТЕОРЕМ 4 (Харьцуулах хоёр дахь шалгуур)

Хэрэв эерэг цувралын хувьд Тэгээд тэгээс өөр хязгаарлагдмал хязгаар байдаг
, Тэр мөрүүд нэгэн зэрэг нийлж эсвэл зөрөх.

Баталгаа.Цуврал (2) нийлнэ; Дараа нь (1) цувралууд бас нийлдэг гэдгийг баталцгаая. Хэдэн тоо сонгоё , -аас илүү . Нөхцөл байдлаас
ийм тоо байдаг гэсэн үг энэ нь хүн бүрт зориулагдсан
тэгш бус байдал нь үнэн юм
, эсвэл ижил зүйл юу вэ,

(4)

(1) ба (2) эгнээнд эхнийхийг нь хаясан. Нэр томъёо (энэ нь нийлэхэд нөлөөлдөггүй) тэгш бус байдал (4) нь бүгдэд хүчинтэй гэж бид үзэж болно.
Харин нийтлэг гишүүнтэй цуврал
(2) цувааны нийлэлтийн улмаас нийлдэг. Харьцуулах эхний шалгуурын дагуу тэгш бус байдал (4) нь цуваа (1) нийлэхийг илэрхийлдэг.

Одоо (1) цувралыг нэгтгэе; (2) цувааны нийлэлтийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн мөрүүдийн дүрүүдийг солиход л хангалттай. Учир нь

тэгвэл дээр нотлогдсоны дагуу (1) цувааны нийлэлт нь (2) цувааны нийлэлтийг илэрхийлэх ёстой. 

Хэрэв
цагт
(нийтлэгийн зайлшгүй шинж тэмдэг), дараа нь нөхцөлөөс
, үүнийг дагадаг Тэгээд – жижиг байдлын ижил эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоонууд (тэй тэнцэх
). Тиймээс цуврал өгвөл , Хаана
цагт
, дараа нь энэ цувралын хувьд та стандарт цувралыг авч болно , нийтлэг нэр томъёо хаана байна өгөгдсөн цувралын ерөнхий гишүүнтэй ижил жижиг дараалалтай байна.

Стандарт цувралыг сонгохдоо та дараахтай тэнцүү хязгааргүй жижиг тоон хүснэгтийг ашиглаж болно
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Жишээ 8.Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

.

хэний ч төлөө
.

Учир нь
, дараа нь бид гармоник дивергент цувралыг стандарт цуврал болгон авдаг
. Нийтлэг нэр томъёоны харьцааны хязгаараас хойш Тэгээд нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэгээс ялгаатай (энэ нь 1-тэй тэнцүү), дараа нь харьцуулах хоёр дахь шалгуур дээр үндэслэн энэ цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ 9.
харьцуулах хоёр шалгуурын дагуу.

Энэ цуврал эерэг байна, оноос хойш
, Мөн
. Учир нь
, тэгвэл бид гармоник цувралыг стандарт цуврал болгон авч болно . Энэ цуврал нь зөрөөтэй байгаа тул харьцуулалтын эхний шинж тэмдгийн дагуу судалж буй цувралууд бас ялгаатай байна.

Энэ цуврал болон стандарт цувралын хувьд нөхцөл хангагдсан тул
(энд 1-р гайхалтай хязгаарыг ашиглаж байна), дараа нь хоёр дахь харьцуулалтын шалгуур дээр үндэслэн цуврал
- зөрүүтэй.

ТЕОРЕМ 5 (Д'Аламберын тест)

хязгаартай байдаг
, дараа нь цуврал нийлдэг
болон өөр өөр байдаг
.

Баталгаа.Болъё
. Хэдэн тоо авъя , хооронд дүгнэв ба 1:
. Нөхцөл байдлаас
ямар нэг тооноос эхэлж байна гэсэн үг тэгш бус байдал бий

;
;
(5)

Цувралыг авч үзье

(5)-ын дагуу (6) цувралын бүх гишүүн хязгааргүйн холбогдох нөхцлөөс хэтрэхгүй байна геометрийн прогресс
Учир нь
, энэ прогресс нь нийлдэг. Эндээс эхний харьцуулалтын шалгуурын улмаас цувралын нийлэлт дараах байдалтай байна

Болж байна
өөрөө бод.

Тэмдэглэл :

Энэ нь цувралын үлдсэн хэсэг юм

.

Цувралын нийтлэг нэр томъёог агуулсан үед D'Alembert-ийн тест нь практикт тохиромжтой экспоненциал функцэсвэл хүчин зүйл.

Жишээ 10.Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу Д'Аламберын тэмдгийн дагуу.

Энэ цуврал эерэг ба

.

(Энд, тооцоололд L'Hopital-ийн дүрмийг хоёр удаа ашигласан).

Дараа нь, д'Аламберын шалгуураар энэ цуврал нийлдэг.

Жишээ 11..

Энэ цуврал эерэг ба
. Учир нь

дараа нь энэ цуврал нийлдэг.

ТЕОРЕМ 6 (Коши тест)

Хэрэв эерэг цувралын хувьд хязгаартай байдаг
, тэгээд хэзээ
цуврал нийлдэг, хэзээ
эгнээ зөрж байна.

Баталгаа нь теорем 5-тай төстэй.

Тэмдэглэл :

Жишээ 12.Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу
.

Энэ цуврал эерэг байна, оноос хойш
хэний ч төлөө
. Хязгаарлалтын тооцооноос хойш
тодорхой хүндрэл учруулдаг бол бид цувралын нийлэлтийг хангахад шаардлагатай шалгуур үзүүлэлтийг шалгах боломжийг орхигдуулдаг.

Дараа нь Кошигийн шалгуурын дагуу энэ цуврал зөрүүтэй байна.

ТЕОРЕМ 7 (Маклаурины интеграл тест - Коши конвергенц)

Цуврал өгье

Нөхцөлүүд нь эерэг бөгөөд нэмэгддэггүй:

За, цаашаа
- бүх бодитойгоор тодорхойлогдсон функц
, тасралтгүй, нэмэгдэхгүй ба

Хариулах: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ №3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ цувралын нийлбэрийг ол.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны нийтлэг гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Зохиоцгооё n-р хэсэгцувралын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл. Өгөгдсөн тооны цувралын эхний $n$ нөхцлүүдийг нийлбэрлэе:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Би яагаад $\frac(2)(15)$ биш яг $\frac(2)(3\cdot 5)$ гэж бичдэг нь цаашдын ярианаас тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч хэсэгчлэн бичсэн нь биднийг зорилгодоо нэг ч болтугай ойртуулсангүй. Бид $\lim_(n\to\infty)S_n$-г олох хэрэгтэй, гэхдээ зүгээр л бичвэл:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\баруун), $$

тэгвэл хэлбэрийн хувьд бүрэн зөв болсон энэ бичлэг мөн чанартаа юу ч өгөхгүй. Хязгаарыг олохын тулд эхлээд хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй.

Цувралын ерөнхий гишүүнийг илэрхийлэх $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон задлахаас бүрдэх стандарт хувиргалт байдаг. Задрах асуудал рационал бутархайбага ангид зориулагдсан тусдаа сэдэв(Жишээ нь, энэ хуудасны №3 жишээг үзнэ үү). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ бутархайг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл бид дараах байдалтай болно:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Бид зүүн талд байгаа бутархайн тоог тэнцүүлж байна зөв хэсгүүдҮүний үр дүнд тэгш байдал:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ ба $B$-ийн утгыг олох хоёр арга бий. Та хаалт нээж, нэр томъёог дахин цэгцэлж болно, эсвэл $n$-ын оронд тохирох утгыг орлуулж болно. Зөвхөн олон янз байхын тулд энэ жишээнд бид эхний замаар явах болно, дараагийнх нь хувийн утгыг $n$ орлуулах болно. Хаалтуудыг нээж, нэр томъёог дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг байна. Хэрэв та дуртай бол, зүүн талТодорхой болгохын тулд тэгш байдлыг $0\cdot n+ 2$ гэж илэрхийлж болно. Тэгш байдлын зүүн талд $n$-ийн өмнө тэг, баруун талд $n$-ийн өмнө $2A+2B$ байгаа тул эхний тэгшитгэл $2A+2B=0$ байна. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэн даруй 2-т хуваагаад дараа нь $A+B=0$ гарна.

Учир нь тэгш байдлын зүүн талд чөлөөт гишүүннь 2-той тэнцүү бөгөөд тэгш байдлын баруун талд чөлөөт нэр томъёо нь $3A+B$, дараа нь $3A+B=2$-тэй тэнцүү байна. Тиймээс бидэнд систем бий:

$$ \зүүн\(\эхлэх(эгцэлсэн) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун. $$

Бид аргыг ашиглан нотолгоо хийх болно математикийн индукц. Эхний алхамд та нотлогдож буй тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$. Бид $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ гэдгийг мэдэж байгаа ч $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ илэрхийлэл нь $\frac( гэсэн утгыг өгөх үү. 2 )(15)$, хэрэв бид $n=1$-г орлуулбал? Шалгацгаая:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Тэгэхээр $n=1$-ын хувьд $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ тэгшитгэл хангагдана. Энэ нь математикийн индукцийн аргын эхний алхамыг дуусгаж байна.

$n=k$-ын хувьд тэгш байдал хангагдсан гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. $n=k+1$-д ижил тэгш байдал хангагдана гэдгийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ тул $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 болно. )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Дээрх таамаглалын дагуу $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тиймээс томьёо $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ хэлбэрийг авна:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Дүгнэлт: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томьёо нь $n=k+1$-д зөв байна. Иймд математикийн индукцийн аргын дагуу $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ томъёо нь N$ дахь дурын $n\-д үнэн байна. Тэгш байх нь батлагдсан.

Стандарт курст дээд математикТэд ихэвчлэн ямар нэгэн нотлох баримт шаардалгүйгээр цуцлах нөхцөлийг "хасах"даа сэтгэл хангалуун байдаг. Тиймээс бидэнд илэрхийлэл бий n-р хэсэгнийлбэр: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$-ийн утгыг олъё:

Дүгнэлт: өгөгдсөн цувралнийлдэг ба түүний нийлбэр $S=\frac(1)(3)$.

Хэсэгчилсэн нийлбэрийн томъёог хялбарчлах хоёр дахь арга.

Үнэнийг хэлэхэд, би өөрөө энэ аргыг илүүд үздэг :) Хэсэгчилсэн дүнг товчилсон хувилбараар бичье:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Бид өмнө нь $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ гэдгийг олж мэдсэн тул:

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3))=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\баруун). $$

$S_n$ нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны нөхцлүүдийг агуулж байгаа тул бид тэдгээрийг хүссэнээрээ өөрчлөх боломжтой. Би эхлээд $\frac(1)(2k+1)$ маягтын бүх нөхцөлийг нэмээд дараа нь $\frac(1)(2k+3)$ маягтын нөхцөл рүү шилжихийг хүсэж байна. Энэ нь бид хэсэгчилсэн дүнг дараах байдлаар танилцуулна гэсэн үг юм.

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\баруун). $$

Мэдээжийн хэрэг, өргөтгөсөн тэмдэглэгээ нь туйлын тохиромжгүй тул дээрх тэгш байдлыг илүү нягт бичиж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\нийлбэр\хязгаар_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Одоо $\frac(1)(2k+1)$ болон $\frac(1)(2k+3)$ илэрхийллүүдийг нэг хэлбэрт шилжүүлье. Үүнийг онцолж хэлэхэд тохиромжтой гэж бодож байна илүү том хэсэг(хэдийгээр энэ нь бага байж болох ч энэ нь амтны асуудал юм). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ тул (хүлээгч том байх тусам бага фракц), дараа нь бид $\frac(1)(2k+3)$ бутархайг $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт оруулна.

Би $\frac(1)(2k+3)$ бутархайн хуваагч дахь илэрхийллийг дараах байдлаар үзүүлнэ.

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Мөн $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ нийлбэрийг одоо дараах байдлаар бичиж болно.

$$ \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3)=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Хэрэв тэгшитгэл $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) 1) $ ямар ч асуулт гаргахгүй бол цаашаа явцгаая. Хэрэв танд асуулт байвал тэмдэглэлийг өргөжүүлнэ үү.

Бид хөрвүүлсэн дүнг хэрхэн авсан бэ? харуулах\нуух

Бидэнд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2() цуврал байсан. k+1)+1)$. $k+1$-ын оронд шинэ хувьсагчийг танилцуулъя, жишээ нь $t$. Тэгэхээр $t=k+1$.

Хуучин хувьсагч $k$ хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? Мөн 1-ээс $n$ болж өөрчлөгдсөн. $t$ шинэ хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдье. Хэрэв $k=1$ бол $t=1+1=2$. Хэрэв $k=n$ бол $t=n+1$. Тэгэхээр $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ илэрхийлэл нь одоо болж байна: $\sum\limits_(t=2)^(n) +1)\frac(1)(2т+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2т+1). $$

Бидэнд $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ нийлбэр байна. Асуулт: Энэ хэмжээгээр ямар үсэг ашиглах нь хамаагүй юу? :) Зүгээр л $t$-ын оронд $k$ үсгийг бичихэд бид дараах зүйлийг олж авна.

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1). $$

Ингэж бид $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) тэгш байдлыг олж авдаг. 1) \frac(1)(2k+1)$.

Тиймээс хэсэгчилсэн нийлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2к+1) ). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ болон $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) нийлбэрүүдийг анхаарна уу )(2k+1)$ нь зөвхөн нийлбэрийн хязгаарт ялгаатай. Эдгээр хязгаарлалтыг ижил болгоё. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс эхний элементийг "зайлуулах" нь бидэнд дараах байдалтай байна:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ нийлбэрээс хамгийн сүүлийн элементийг “зайлаад” бид дараахыг авна:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Дараа нь хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийлэл дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\нийлбэр\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\\ =\frac(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Хэрэв та бүх тайлбарыг алгасвал n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийн товчилсон томъёог олох үйл явц дараах хэлбэртэй болно.

$$ S_n=\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)u_k =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(2)((2к+1)(2к+3)) = \нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\зүүн(\фрак(1)(2к+1)-\фрак(1)(2к+3)\баруун)=\\ =\нийлбэр\хязгаар_(к) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Бид $\frac(1)(2k+3)$ бутархайг $\frac(1)(2k+1)$ хэлбэрт оруулсныг сануулъя. Мэдээжийн хэрэг, та эсрэгээр нь хийж болно, i.e. $\frac(1)(2k+1)$ бутархайг $\frac(1)(2k+3)$ хэлбэрээр илэрхийлнэ. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн эцсийн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй. Энэ тохиолдолд би хэсэгчилсэн дүнг олох үйл явцыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Өөр бутархай руу хөрвүүлбэл $S_n$-г хэрхэн олох вэ? харуулах\нуух

$$ S_n =\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+1)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) ) =\нийлбэр\хязгаар_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2к+3)-\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n)\frac(1)(2к+3) )=\\ =\фрак(1)(3)+\нийлбэр\хязгаар_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2к+3)-\зүүн(\нийлбэр\хязгаар_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\баруун) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

Тэгэхээр $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ хязгаарыг ол:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\зүүн(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\баруун)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Өгөгдсөн цуваа нийлдэг ба түүний нийлбэр $S=\frac(1)(3)$.

Хариулах: $S=\frac(1)(3)$.

Цувралын нийлбэрийг олох сэдвийн үргэлжлэлийг хоёр, гуравдугаар хэсэгт авч үзэх болно.

тулд цувралын нийлбэрийг тооцоолох, та зүгээр л мөрийн элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй, заасан тоо хэмжээнэг удаа. Жишээ нь:

Дээрх жишээнд үүнийг маш энгийнээр хийсэн, учир нь үүнийг хязгаарлагдмал олон удаа нэгтгэх шаардлагатай байсан. Гэхдээ нийлбэрийн дээд хязгаар нь хязгааргүй байвал яах вэ? Жишээлбэл, хэрэв бид дараах цувралуудын нийлбэрийг олох шаардлагатай бол:

Өмнөх жишээтэй зүйрлэвэл бид энэ дүнг дараах байдлаар бичиж болно.

Гэхдээ дараа нь яах вэ?! Энэ үе шатанд үзэл баримтлалыг нэвтрүүлэх шаардлагатай байна цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр. Тэгэхээр, цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр(S n гэж тэмдэглэсэн) нь цувралын эхний n гишүүний нийлбэр юм. Тэдгээр. бидний тохиолдолд:

Дараа нь анхны цувралын нийлбэрийг хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаараар тооцоолж болно.

Тиймээс, төлөө цувралын нийлбэрийг тооцоолох, ямар нэгэн байдлаар цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрийн илэрхийллийг олох шаардлагатай (S n ). Манай тохиолдолд цуврал нь 1/3 хуваарьтай буурч буй геометрийн прогресс юм. Таны мэдэж байгаагаар геометрийн прогрессийн эхний n элементийн нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

энд b 1 нь геометр прогрессийн эхний элемент (манай тохиолдолд 1), q нь прогрессийн хуваагч (бидний тохиолдолд 1/3). Тиймээс манай цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр S n нь дараахтай тэнцүү байна.

Дараа нь дээр өгөгдсөн тодорхойлолтын дагуу бидний цувралын нийлбэр (S) нь дараахтай тэнцүү байна.

Дээр дурдсан жишээнүүд нь маш энгийн. Ихэвчлэн цувралын нийлбэрийг тооцоолох нь илүү хэцүү бөгөөд хамгийн их бэрхшээл нь цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг олоход оршдог. Доор онцолсон онлайн тооцоолуур, Wolfram Alpha систем дээр суурилсан нь нэлээд төвөгтэй цувралын нийлбэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв тооцоолуур цувралын нийлбэрийг олж чадаагүй бол энэ нь цуваа зөрүүтэй байх магадлалтай (энэ тохиолдолд тооцоолуур "нийлбэрийн зөрүү" гэх мэт мессежийг харуулдаг), өөрөөр хэлбэл. энэ тооцоолуурМөн цувралын нийлэлтийг ойлгоход шууд бусаар тусалдаг.

Цувралынхаа нийлбэрийг олохын тулд та зааж өгөх ёстой цуврал хувьсагч, доод ба дээд хязгаарнийлбэр, түүнчлэн цувралын n-р гишүүний илэрхийлэл (өөрөөр хэлбэл, цувралын бодит илэрхийлэл).

Цуврал, математикийн чиглэлээр

1. Тодорхойлолт. R. нь зарим хуулийн дагуу бүрдсэн элементүүдийн дараалал юм. Хэрэв R өгөгдсөн бол энэ нь элементүүдийн шинж чанар, тоонуудын R, функцүүдийн R-д тулгуурлан хүссэн R-ийн олон элементийг бүрдүүлэх хуулийг зааж өгсөн гэсэн үг юм. болон үйлдлүүдийн R нь ялгагдана. Хэд хэдэн жишээ хэлье.

1, 2, 3, 4,..., n,...

байдаг R. натурал тоо;

1, 4, 9, 16,..., n 2 ...

R. квадратууд;

a 0, a 1 x, a 2 a 2,..., a n x n,...

Р. эрчим хүчний функцуудэсвэл хүч R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Тооцоолохын тулд тоон утгазарим илэрхийллийг гүйцэтгэх ёстой R. үйлдэл. Жишээ нь.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

R. үйлдлүүдийн тусламжтайгаар хүн олдог хамгийн том хуваагчөгсөн хоёр тоо.

Р. у 0 , у 1 , у 2 ,... у n...

нэр төгсгөлгүй,хэрэв ямар нэгэн элементийн дараа у k элемент байна у k+1; өөрөөр, Р. гэж нэрлэдэг. эцсийн.Жишээ нь.

1. 2, 3,... 9, 10

10-р элементийн дараа ямар ч элемент байхгүй тул эцсийн R байна.

2. Цувралаар тодорхойлогдсон тоо.

Маягтын төгсгөлгүй цуврал нь онцгой ач холбогдолтой юм

(1)... А 1 /10, А 2 /10 2 , ... a n/10n,...,

Хаана А 1 , А 2 , А 3 , ... a n,... эерэг бүхэл тоо, а 0 таны хүссэн хэмжээгээр; бусад тоо тус бүр А 1 , А 2 , А 3 , ... 10-аас бага. Ийм цувралыг тоо гэж нэрлэж болно, учир нь энэ цувааг рационал тоонуудтай харьцуулах боломжтой (харна уу), тэгш байдал, нийлбэр, үржвэр, ялгавар, категори гэсэн ойлголтыг тогтоох боломжтой. цуврал.

Товчхондоо бид R. (1)-ийг нэг үсгээр тэмдэглэнэ А.

Тэд ингэж хэлдэг болон бусадоновчтой тоо х/q, хэрэв хангалттай том хэмжээтэй бол nтэгш бус байдал байна

А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + А n /10 n > х/q

Ямар ч тохиолдолд n

А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + А n /10 n биш > х/q

гэхдээ хангалттай том бол n

А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + А n /10 n > r/с

Хаана r/s-аас бага дурын тоо х/q, дараа нь тэд авч үзнэ ба p-тэй тэнцүү/q.

Үүний үндсэн дээр Р.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

нэгтэй тэнцүү. Энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тэмдэглэв: 0, 999... = 1.

Хэрэв А 9-тэй тэнцүү биш, харин дараагийн бүх тоонууд

a k +1 , a k +2 , a k+3 ,... 9-тэй тэнцүү бол тоо А, R. (1)-ээр тодорхойлогдсон, тэнцүү байна

А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + (А k + 1)/10 к .

Хэрэв бүх тоо биш бол А k+1, А k+2, А k+3 ...9-тэй тэнцүү, тэгвэл

А = А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + Ак /10к

(1) -ээс эхлэн цувралын бүх элементүүд тохиолдож болно А k+1 , тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд заасан тодорхойлолтын дагуу

А 0 + А 1 /10 + А 2 /10 2 +... + (А k +1)/10 к

Энэ төрлийн дугаарыг нэрлэдэг. эцсийн аравтын бутархай.

Арифметикээс энгийн бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхэд энэ нь гарч ирдэг гэдгийг мэддэг эцсийн фракцэсвэл хязгааргүй үе үе. Аливаа үе үе аравтынболгон хувиргаж болно энгийн бутархай. Хязгааргүй үечилсэн бус аравтын бутархай тэнцэх боломжгүй гэсэн үг оновчтой тоогэж нэрлэгддэг тусгай төрлийн хэд хэдэн тоог илэрхийлдэг үндэслэлгүй(см.).

3. Цувралуудын нэгдэл ба дивергенц. R. тоо

(2)... у 0 , у 1 , у 2 ,... у н,...

дуудсан нэгдэх,ийм тоо байгаа бол А(ухаалаг эсвэл иррациональ), тэр нэмэгдэхэд nзөрүүний тоон утга

А - (у 0 + у 1 + у 2 +... чи н- 1)

хүссэн хэмжээгээрээ жижиг болж үлдэнэ. Ийм тоо адуудсан хэмжээ R. Энэ тохиолдолд тэд бичдэг

(3)... А = у 0 + у 1 + у 2 +...

мөн үүнийг тэгш байдал гэж нэрлэдэг. задралтоо ахязгааргүй R. Хэрэв ийм тоо Абайхгүй бол R. (2) гэж нэрлэдэг. ялгаатай.

Конвергент дарааллын хамгийн чухал жишээ нь геометрийн прогрессоор илэрхийлэгддэг (харна уу).

1, q, q 2 ,...,

хуваагч нь q By тоон утганэгээс бага. Энэ тохиолдолд задрал явагдана

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

Дивергент R.-ийн жишээ бол

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

ямар ч утгагүй.

Хэрэв бид гармоник тэгшитгэлийн нөхцөлийг + ба - тэмдгээр ээлжлэн авбал нийлмэл тэгшитгэлийг олж авна

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

суурь болгон авсан 2-ын логарифмтай тэнцүү д(см.).

Конвергенцийн шинж тэмдгүүдийг нарийвчлан харуулах боломжгүй бол бид зөвхөн дараах теоремуудыг тэмдэглэж байна.

Хэрэв түүний гишүүдийн модулиудын R. (харна уу) нийлдэг бол тухайн R. нь нийлдэг.

Р. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

дотор нь тоонууд v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... эерэг, нэгдэх, хэрэв нэмэгдэх үед n

lim v n = 0.

Эерэг гишүүдтэй Р

у 0 , у 1 , у 2 ,..., у н,...

нэгдэх бол

лим(у н + 1)/у н

лим(у н + 1)/у н > 1

Хэрэв эерэг нөхцөл бүхий R.-ийн хувьд

Гэхдээ, Тэгээд 0 , Мөн 1 , у 2 , .., болон n...

хандлага

лим(у н + 1)/у н = 1 - r/n+θ (n) /үгүй,

Хаана r-аас хамаарахгүй n, α > 1 ба θ ( n) тоон утга нь тодорхой хэмжээнээс бага хэвээр байна эерэг тоо, дараа нь R. нийлдэг r> 1 ба r-ээс бага буюу = 1-ийн хувьд ялгаатай (Танери, "Танилцуулга à la theory des fonctions d"une variable", хуудас. 84).

4. Нөхцөл ба үнэмлэхүй ойртолт.Хэрэв R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... vn,...

нийлдэг, гэхдээ түүний гишүүдийн модулиудын R. нь ялгаатай, тэгвэл тэд R. (4) нөхцөлт нийлдэг.Жишээ нь.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

Р туйлын нэгдмэл,хэрэв түүний гишүүдийн R. модулиуд нийлдэг.

Нөхцөлт нийлсэн тэгшитгэлийн нийлбэр нь түүний нөхцлийн дарааллаар өөрчлөгддөг. Жишээ нь.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

гэхдээ 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 бүртгэлийн 2.

Үнэмлэхүй нийлсэн тэгшитгэлийн нийлбэр нь түүний нөхцлийн дарааллаас хамаардаггүй.

Хэрэв тоонууд АТэгээд бтуйлын нийлсэн R болж задарна.

А = а 0 + а 1 + а 2 +.....,

б = б 0 + б 1 + б 2 +..... .,

а 0 б 0 , а 0 б 1 + а 1 б 0 , а 0 б 2 + а 1 б 2 + а 2 б 0 ,...

туйлын нэгдэх ба үүнээс гадна

а 0 б 0 + (а 0 б 1 + а 1 б 0) + (а 0 б 2 + а 1 б 2 + а 2 б 0) +... = ab.

5. Нэг төрлийн нэгдэл. R өгөгдсөн гэж бодъё.

(5)... е 0 (x), е 1 (x), е 2 (x), ..., fn(x), ...

гишүүд нь нэг хувьсагчийн функцууд x, энэ нь бодит болон төсөөллийн утгыг хоёуланг нь авч болно (харна уу). Утгын багц X,үүний төлөө энэ R. нийлдэг, гэж нэрлэгддэг үүсгэдэг нэгдэх талбар.

R. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

зөвхөн цагт нийлдэг x = 0.

R. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

ямар ч хувьд ялгаатай X.

R. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

цугларалт ямар ч үнэ цэнийн хувьд X.Хэрэв чадал R. α 0, α 1 x,α 2 x 2 ,...

цугларалт ямар нэг үнэ цэнээр X,Үгүй тэгтэй тэнцүү, дараа нь энэ R. цугларалт. мөн бүх тохиолдолд x, модуль нь тодорхой тооноос бага Р. Хэрэв та ашигладаг бол геометрийн дүрслэлтөсөөллийн хэмжигдэхүүнүүд (харна уу), тэгвэл энэ R.-ийн нийлэх муж нь радиусын тойрог гэж хэлж болно. Р.

Жишээ нь геометрийн прогресс байж болно

1, x, x 2 , x 3 ,....., хэний радиус нэгдлийн тойрогнэгтэй тэнцүү.

Хэрэв Xцугларах хэсэгт хамаарна. R. (5), дараа нь аль нэг нь n, зарим тооноос их Т

горим [ fn(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

Ер нь Т-аас хамаарна Xболон ε-ээс, гэхдээ магадгүй дотор онцгой тохиолдлууд, Юу Тутгууд байвал зөвхөн ε-ээс хамаарна Xзарим газар нутагт харьяалагддаг (S).Энэ тохиолдолд R. (5) гэж нэрлэдэг. бүс нутагт жигд нийлдэг (С).

Жишээлбэл, Р.

(6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X)....

бодит болон хязгаарлагдмал эерэг утгууд X.

Тэгш бус байдал бий болохын тулд

(7)... x n(1 -х) +xn+ 1 (1 -х) +... x n

авах хэрэгтэй n> Бүртгэл ε /Log x

Дараа нь хэлэлцэж буй хэрэгт

Т= Бүртгэл ε /Log x.

Бидний харж байгаагаар, Т-аас хамаарна X.Хичнээн том байсан ч хамаагүй м, ийм үнэт зүйлс байдаг X(0, 1) интервалд тухайн тэгш бус байдал (7) аль нь ч хангагдахгүй n,илүү Т.Хэрэв X= 1, тэгвэл n нь буюу = 1-ээс их байх үед (7) тэгш бус байдал хангагдана

Ингэж бодъё

Т= Log ε /Log (1 - α) ба n нь эсвэл = m-ээс их байна

Зам. R. (6) жигд уналт. интервалд (0, 1 - α).

Хэрэв цувааны нөхцлүүд жигд нийлэх бүсэд байвал

е 0 (x), е 1 (x), е 2 (x)...

-ийн тасралтгүй функцууд юм x, тэгвэл энэ R.-ийн нийлбэр нь тасралтгүй функц болно (Тасралтгүй байдлыг үзнэ үү).

Тэгш доошилж байна. Р.-г нэр томьёогоор нэгтгэж эсвэл ялгаж болно.

Хүч Р.

а 0 , А 1 x, a 2 X 2 ...

нийлбэрийн тойрог дотор жигд нийлмэл байх.

6. Функцуудыг цуврал болгон өргөжүүлэх.Дараах зүйлд бид бие даасан хувьсагчийг бодит гэж үзэх болно. Маклаурин томъёог ашиглан (харна уу) дараах өргөтгөлүүдийг олж авна.

(эдгээр томъёо нь аль ч хүнд хүчинтэй x).

Жишээ нь, cos 2°-ийг тооцоолохын тулд (9) томъёог ашиглан оронд нь x 2 градус агуулсан нумын уртын радиустай харьцуулсан харьцааг орлуулна.

Хэлбэрээр. (11) логарифмыг суурь дээр авна д. Энэ маягт. Энэ нь логарифмыг тооцоолоход тохиромжгүй, учир нь бага зэрэг нарийвчлалыг олж авахын тулд маш олон R нөхцөл авах шаардлагатай байдаг. Формула 13 нь тооцоолоход илүү тохиромжтой бөгөөд үүнийг (11) томъёоноос гаргаж авсан гэж үзвэл

(1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z

функцийн бүртгэлийг өргөжүүлэхэд (1 + x) - бүртгэл(l - x).

Итгэж байна А = 1, z= 1, log2 олох;

" А = 1, z= 1,"log5;

a + z = 3 4 , А= 80,"log3;

А + z = 7 4 , А= 2400," log7;

Олдсоныг үржүүлэх замаар байгалийн логарифмуудэдгээр тоонууд дээр

M= 1/log10 = 0.43429 44819 03251 82765...,

Бид ижил тооны энгийн логарифмуудыг (суурь 10) авдаг (харна уу).

Маягт. (12) хүчинтэй байна X= 1 бол м> -1, хэзээ x= -1 бол м> 0 (Абел, "Oeuvres complètes", 1881, х. 245).

Шууд хуваах замаар тэдгээрийг R хүч болгон задалдаг. оновчтой функцууд. Энэ зорилгоор та энэ аргыг ашиглаж болно тодорхойгүй коэффициентүүд. Жишээлбэл, гэж үзвэл.

1/(1 + 2т + 5т 3 + 3т 3) = y 0 + y 1 т + y 2 т 2 + y 3 т 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 цагт 1 + 3 цагт 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 цагт 2 + 3 цагт 1 = 0 гэх мэт.

R. коэффициент y 0, цагт 1 , y 2 ... дөрвөн дараалсан коэффициент байх шинж чанартай. харилцаатай холбоотой у н +3 + 2у н +2 + 5 у н +1 + 3 у н = 0.

Энэ төрлийн R. гэж нэрлэдэг. буцаах боломжтой.Бичсэн тэгшитгэлээс y 0-ийг дараалан тодорхойлно. цагт 1 , y 2 ...

R.-д энэ функцийн өргөтгөлийг ашиглан олж болно интеграл тооцоо, хэрэв деривативын R. дахь тэлэлт мэдэгдэж байгаа бол. Ийм байдлаар бид задралыг олж авдаг

(14)... нумтг x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... нумнүгэл X = x/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x 5/5) +...

утгуудын хувьд хүчинтэй X,нөхцөлийг хангаж байна

R. (14) Machin-ийн томъёог ашиглан

π /4 = 4 нумтг (1/5) - нумтг(1/239)

ашиглан π-г маш хурдан тооцоолох боломжтой болгодог их тооаравтын орон. Ийнхүү Шанкс 707-оос π-г тооцоолжээ аравтын бутархай. Функцийг тригонометрийн функц болгон өргөжүүлэх, эллипс функцийг өргөжүүлэх талаар дараа нь танилцуулах болно.

Нэвтэрхий толь бичигФ. Брокхаус ба И.А. Эфрон. - С.-Пб.: Брокхаус-Эфрон. 1890-1907 .

Бусад толь бичгүүдээс "Математикийн цуврал" гэж юу болохыг хараарай.

SERIES, хязгааргүй цуваа, илэрхийлэл нь a1, a2,..., an,... тоонууд ( тооны цуврал) эсвэл функцууд (функциональ цуврал). Хэрэв цувралын эхний n гишүүний нийлбэр ( хувийн нийлбэр): Sn= a1+ a2+ ... + n-ийн хязгааргүй өсөлттэй an... ... хандлагатай байна. Нэвтэрхий толь бичиг

Агуулга. 1) Тодорхойлолт. 2) Цувралаар тодорхойлогдсон тоо. 3) Цувралуудын нийлмэл байдал ба дивергенц. 4) Нөхцөл ба үнэмлэхүй ойртолт. 5) Нэг төрлийн нэгдэл. 6) Функцуудыг цуврал болгон өргөжүүлэх. 1. Тодорхойлолт. R. нь элементүүдийн дараалал юм ... ... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Ефрон

Хэд хэдэн утгатай: Цуврал гэдэг нь нэгэн төрлийн, ижил төстэй зүйлүүд, нэг мөрөнд байрладаг. Цуврал гэдэг нь нэг нэгээр нь дагадаг зарим үзэгдлийн цуглуулга юм тодорхой дарааллаар. Зарим нь нэлээд, жишээлбэл "хэд хэдэн улс" ... Википедиа

Цуврал, хязгааргүй нийлбэр, жишээлбэл, u1 + u2 + u3 +... + un +... хэлбэрийн эсвэл товчхондоо, . (1) Р.-ийн хамгийн энгийн жишээнүүдийн нэг нь аль хэдийн олдсон анхан шатны математик, нь хязгааргүй багасах геометр прогрессийн нийлбэр 1 + q + q 2 +... + q... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Тейлорын цуврал функцийг хүчирхэг функцүүдийн хязгааргүй нийлбэр болгон өргөтгөх. Энэ цувралыг Английн математикч Брук Тэйлорын нэрээр нэрлэсэн боловч Тейлорын цувралыг 17-р зуунд Грегори ашиглаж байсан бөгөөд ... ... Википедиа

Тейлорын цуврал функцийг хүчирхэг функцүүдийн хязгааргүй нийлбэр болгон өргөтгөх. Энэ цувралыг Английн математикч Тейлорын нэрээр нэрлэсэн боловч Тейлорын цувралыг 17-р зуунд Грегори, мөн Ньютон ашигладаг байсан. Мөр... ... Википедиа

Функцийг чадлын функцүүдийн хязгааргүй нийлбэр болгон өргөжүүлэх. Энэ цувралыг Английн математикч Тейлорын нэрээр нэрлэсэн боловч Тейлорын цувралыг 17-р зуунд Грегори, мөн Ньютон ашигладаг байсан. Тейлорын цуврал... ... Википедиа

Мёбиусын цуврал нь хэлбэрийн функциональ цуврал юм Энэ цувралыг Мобиус судалж, энэ цувралын урвуу томьёог олсон: Мобиусын функц хаана байна ... Wikipedia

I m. 1. Нийтлэг байдал нэгэн төрлийн объектууд, нэг мөрөнд байрладаг. Отт. Нэг мөрөнд жагсах; шугам. 2. Театр, кино театр гэх мэт суудлын шугаман дараалал. Отт. Ийм газар эзэлдэг хүмүүс. 3. Нэг мөрөнд байрлах лангуу... Орчин үеийн тайлбар толь бичигОрос хэл Ефремова

Номууд

• Ажиглагч математик ба түүний квант механик, харьцангуйн онол, сонгодог математикийн хэрэглээ, B. S. Hots, D. B. Hots. Энэхүү ном нь Ажиглагчдын Математик (зохиогчийн нэр Ажиглагчийн Математик)-тай холбоотой зохиогчдын үр дүнг танилцуулж байна. Энэ математикийг анх зохиогчид нэвтрүүлж, судалж...