Дурын монохромат бус долгионы цочролыг стандарт долгионы суперпозиция хэлбэрээр эсвэл тэдний хэлснээр спектрийн задралыг гүйцэтгэдэг спектр болгон задалж болно гэдгийг мэддэг.

Долгионы цацраг ба импульсийг хавтгай гармоник долгион болгон задалдаг онцгой утгаоптикийн хувьд ийм задрал нь зөвхөн тохиромжтой биш болж хувирдаг математик үйл ажиллагаа, гэхдээ энэ нь бодит оптик туршилтаар хийгддэг. Сонгодог туршилтуудын нэг бол гэрлийг спектр болгон задлах Ньютоны туршилт юм шилэн призм- орчуулахад хялбар математик хэлспектрийн задрал. Энэ нь талбарыг хавтгай монохромат долгионы суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн үг юм.

Спектрийн тайлбарын гол санаа нь цаг хугацааны зарим функцийг илэрхийлэх явдал юм Ф(Т), гэрлийн эвдрэлийг Фурьегийн интеграл хэлбэрээр дүрсэлсэн:

Өөрөөр хэлбэл гармоник хэлбэлзэл болгон спектр болгон задлах эсвэл тэдний хэлснээр. давтамжийн спектр

Квадрат спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц А(w) ба Б(w) эсвэл спектрийн далайц Ф(w) ба фаз j (w) нь функцийн давтамжийн спектрийг тодорхойлдог Ф(Т), урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан тооцоолно

(3)

Эвдрэлийн гармоник бүрэлдэхүүн хэсэг бүр Ф(Т) монохромат гэрлийн долгионыг өдөөдөг:

Энэ функц нь хангадаг долгионы тэгшитгэл. Долгионуудын суперпозиция (4) болох нийт талбар нь мөн долгионы тэгшитгэлийг хангана.

(5)

Далайцын коэффициентийг тодорхойлох томъёо (3) -аас А(w) ба Б(w), энэ нь тодорхой байна А(w) давтамжийн тэгш функц ба Б(w) - сондгой: ба

Тиймээс (1) томъёог w тэгш хэмтэй хэлбэрээр дахин бичиж болно.

(6)

(7)

Нарийн төвөгтэй спектрийн далайцыг танилцуулъя

Эйлерийн томъёог ашиглах

Бүтээгдэхүүнээ илэрхийлье Fk(w) EiВ Т. Бид авдаг

Үүний жинхэнэ хэсэг нарийн төвөгтэй илэрхийлэлнь w давтамжийн тэгш функц бөгөөд ба хамгийн бага хэсэг- хачин. Тиймээс сүүлийн илэрхийллийн баруун ба зүүн талыг давтамжаар нэгтгэнэ хязгааргүй хязгаар, бид авдаг

Сүүлийн илэрхийллийг томъёо (6)-тай харьцуулж үзвэл бид олж авна

(10)

Томъёо (3), (8) ба (9) -ийг харгалзан нарийн төвөгтэй спектрийн далайцыг олоход хэцүү биш юм:

(11)

Фурье хувиргалтын цогц дүрслэл нь:

Тэгээд (12)

Тэмдэглэгээг хялбарчлахын тулд нийлмэл спектрийн далайцын "k" индексийг орхигдуулсан болно.

Ерөнхийдөө спектрийн далайц Ф(12) томъёогоор тодорхойлсон (w) байна нарийн төвөгтэй функцдавтамжууд:

Хаана Ф(w) нь функцийн спектр дэх w давтамжтай гармоникийн бодит далайцыг илэрхийлнэ. Ф(Т). Янз бүрийн гармоникууд хамтдаа дохио үүсгэдэг тул j (w) аргумент нь энэхүү хэлбэлзлийн бодит үе шатыг тодорхойлдог. Ф(Т) өөр өөр үе шаттай байж болно. Гэсэн хэдий ч оптик процессын талаархи ийм бүрэн спектрийн мэдээллийг туршилтаар олж авахад хэцүү байдаг. Туршилтаар спектрийн нягт гэж нэрлэгддэг хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн хэмждэг С(w) нь гэрлийн энергийн спектрийн тархалтыг тодорхойлдог. Тодорхойлолтоор спектрийн нягт нь хэмжигдэхүүн юм квадраттай тэнцүүнарийн төвөгтэй спектрийн далайцын модуль:

(13)

Энэ илэрхийлэлд, бүрдүүлдэг гармоник хэлбэлзлийн үе шатуудын талаархи бүх мэдээлэл Ф(Т), алдсан.

Спектрийн задралын онол нь "парсевалын тэгш байдал" гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашигладаг бөгөөд энэ нь дараахь хэлбэртэй байна.

Энэ тэгш байдлыг батлахын тулд Фурье интеграл (12) ашиглахад хангалттай. w болон дээр интеграцийн дарааллыг өөрчлөх замаар Т, бид авдаг

Энд (*) нь нийлмэл холболтыг илэрхийлдэг.

Оптикийн хувьд энэ харилцаа нь энгийн зүйл юм физик утга. Хэрэв доор байвал Ф(Т) хурцадмал байдлыг ойлгох цахилгаан оронгэрлийн долгион сансар огторгуйн ямар нэгэн тогтмол цэг дээр, дараа нь хэмжигдэхүүн болж хувирна пропорциональ энергитухайн цэгийн ойролцоо нэгж талбайгаар дамжин өнгөрөх гэрлийн импульс.

Үнэхээр:

Хаана I- эрчим, П- хүч, В- импульсийн энерги.

Нөгөө талаас Парсевалын тэгш байдлын дагуу ижил хэмжигдэхүүн (энерги) нь спектрийн талбайн нягтын бүх давтамжийн интегралтай тэнцүү байна. С(w). Энэ нь спектрийн нягт нь гэрлийн импульсийн энергийн давтамжийн тархалтыг тодорхойлдог гэсэн үг юм. Энэ бол цацрагийн энэ шинж чанарын физик утга юм.

Спектрийн задрал нь байгалийн долгионы цацрагт ерөнхийдөө - орон зайн модуляцлагдсан долгион юм. Хязгаарлагдмал хэмжээ, эсвэл тэдний хэлснээр эх үүсвэрийн хязгаарлагдмал нүх нь хавтгайд гэрлийн чичиргээний далайц өөрчлөгдөхөд хүргэдэг. чиглэлд перпендикуляргэрлийн тархалт - орон зайн модуляцлагдсан долгион гарч ирнэ. Ийм гэрлийн долгионы далайц ба фазын утга нь координатаас хамаардаг, өөрөөр хэлбэл хавтгай долгионыхоос эрс ялгаатай нөхцөл байдал үүсдэг.

Ийм орон зайн модуляцлагдсан долгионыг янз бүрийн чиглэлд тархаж буй хавтгай долгионуудын суперпозици гэж төлөөлж болно. Ийм задралын янз бүрийн спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг долгионы тархалтын чиглэл ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр тодорхойлж болно. координатын тэнхлэгүүд. Тийм учраас л ярьдаг Буланорон зайн модуляцлагдсан долгионы спектр (эсвэл орон зайн давтамжийн спектр). Өнцгийн спектрт задрах нь физикийн хувьд маш их тохиолддог энгийн туршилтууд. Жишээлбэл, линз нь давтамжийн спектртэй призм хийдэгтэй адил өнцгийн спектрийн хувьд Фурье тэлэлтийн үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Фурье хувиргалт нь дүн шинжилгээ хийхэд онцгой чухал юм орчин үеийн системүүдмэдээллийн оптик боловсруулалт. Оптик аргуудих хэмжээний мэдээллийг боловсруулах өндөр хүчин чадалтай системийг бий болгох асуудлыг шийдвэрлэхэд улам чухал үүрэг гүйцэтгэж байна.

Өмнө дурьдсанчлан долгионы (ялангуяа оптик) үзэгдлүүд нь цаг хугацааны хамаарал ба орон зайн хамаарал, өөрөөр хэлбэл координатаас хамааралтай байдаг. Фурье оптикийг маш их сонирхож байна орон зайн бүтэцтайлбарласан долгион (тохиолдолд гармоник долгионтогтмол давтамж w) нийлмэл долгионы далайц Ф(X,y,z) нь Гельмгольцын тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Хаана К= w/c - долгионы дугаар.

Нарийн долгионы далайц Ф(X,y) ) Фурьегийн интеграл [(10) томьёоны хоёр хэмжээст аналог] хэлбэрээр төлөөлж болно:

(15)

Задралын физик утга нь дараах байдалтай байна. Та функцийг шалгаж болно

Хавтгай дээрх Гельмгольцын тэгшитгэлийн шийдэл юм З= 0 хилийн нөхцөл

Энэ мэдэгдэл нь u болон параметрийн бүх утгын хувьд үнэн юм В. Функц (16) нь хавтгай долгионы цогц далайц ба параметрүүд юм У, В- энэ долгионоос X, Y тэнхлэгүүд рүү чиглэсэн долгионы векторын проекцууд, хэрэв . Хэрэв , тэгвэл (16) илэрхийлэл нь мөн (14) тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд нэгэн төрлийн бус долгион гэнэ. Энэ тохиолдолд долгионы далайц нэмэгдэх тусам буурдаг Зэкспоненциал учир энэ бол төсөөллийн тоо юм.

Тиймээс илэрхийлэл (15) нь тодорхой хавтгайд тодорхойлогдсон дурын долгионы дүрслэл юм З=co НС Т, хавтгай долгионы давхцал хэлбэрээр, аялагч ба нэг төрлийн бус.

Хавтгай долгион Et(Ux + Vy) орон зайн шүүлтүүрийн асуудлууд нь аналог юм гармоник чичиргээ EiВ Т. Тиймээс хэд хэдэн тоо У, Вдуудсан Орон зайн давтамж. Үүнээс гадна бид үүнийг бичиж болно

(17)

(15) ба (17) илэрхийлэлийг хос гэж нэрлэдэг хоёр хэмжээст хувиргалтФурье. Тэгш байдлыг (17) ихэвчлэн Фурьегийн шууд хувиргалт гэж нэрлэдэг ба (15) гэж нэрлэдэг урвуу хувиргалтФурье.

Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй Ф(У, В) нь ерөнхийдөө нарийн төвөгтэй функц юм

|Ф(У, В)| болон j ( У, В) ихэвчлэн далайц ба гэж нэрлэдэг фазын спектрүүний дагуу, ба Ф(У, В) Фурье спектр буюу орон зайн давтамжийн спектр.

Линз нь аливаа оптик төхөөрөмжийн гол элемент юм. Хамгийн тохиромжтой гажиггүй линз нь хэлбэрийн фазын модуляцийг гүйцэтгэдэг

Хаана Ф - фокусын уртлинз. Орон зайн задрал нь гэрлийн зэрэгцээ туяаг төвлөрүүлэх линзний шинж чанартай нягт холбоотой: линз дээр хавтгай долгион үүсэх exp[ I(Ux + Vy)] орон зайн давтамжтай ( У, В) нь линзээр координаттай фокусын хавтгай дээрх цэг рүү чиглэнэ X = Фү/КТэгээд Ю = Fv/К. Линз дээр нийлмэл далайцтай дурын долгион Ф(У, В) нь (15)-ын дагуу янз бүрийн чиглэлийн хавтгай долгионы давхцал, өөрөөр хэлбэл өөр өөр орон зайн долгионоор дүрслэгдэж болно. У, В. Энэхүү суперпозиция дахь хавтгай долгион бүр нь линзээр фокусын хавтгай дээрх тодорхой цэг дээр төвлөрч, үүн дотор харгалзах долгионы далайцтай пропорциональ далайцтай гэрлийн талбарыг үүсгэдэг бөгөөд фазын үе шатаар тодорхойлогддог. харгалзах долгион, өөрөөр хэлбэл дотор нь хэлбэлзэл үүсгэх, хэмжээтэй пропорциональ Ф(Kx/f, Кай/Ф), Хаана Ф(У, В) – Функцийн Фурье хувиргалт Ф(У, В).

Тиймээс линзний фокусын хавтгайд үүссэн гэрлийн талбар нь линз дээрх долгионы орон зайн спектрийн задралыг илэрхийлдэг.

Дүрүүдийн хоорондын холбоог анхаарч үзээрэй корреляцийн функцхаргалзах санамсаргүй үйл явцын бүтэц.

Бид зөвхөн санамсаргүй функцийн онолд төдийгүй физик, технологид өргөн хэрэглэгддэг "спектр" гэсэн ойлголтыг ашиглах болно. Хэрэв ямар нэгэн хэлбэлзлийн процессыг янз бүрийн давтамжийн гармоник хэлбэлзлийн нийлбэрээр ("гармоник" гэж нэрлэдэг) дүрсэлсэн бол спектр. хэлбэлзлийн процессянз бүрийн давтамж дахь далайцын тархалтыг тодорхойлдог функц гэж нэрлэдэг. Тухайн үйл явцад ямар төрлийн хэлбэлзэл давамгайлж байгааг, энэ нь юу болохыг спектрийг харуулдаг дотоод бүтэц. Бид ижил төстэй байдлаар суурин санамсаргүй үйл явцын спектрийн тайлбарыг танилцуулах болно.

Нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал интервал дээр ажиглагдсан хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийг авч үзье (0, Т). Корреляцийн функцийг өгье санамсаргүй функц X(т)

К х(т, т + τ ) = к х(τ ).

Үүнийг бид мэднэ к х(τ ) нь тэгш функц тул түүний график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна 0Yмуруй.

Өөрчлөх үед т 1 ба т 0-ээс 2 хүртэл Тмаргаан τ -аас ялгаатай Труу Т.

Интервал дээр тэгш функц байдаг нь мэдэгдэж байна (– Т, Т) зөвхөн тэгш (косинус) гармоник ашиглан Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно:

к х(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

ба коэффициентууд Дктомъёогоор тодорхойлно

Д 0 = ,

Dk = цагт к ≠ 0.

Функцуудыг харгалзан үзвэл к х(τ ) ба cos ωk(τ ) тэгш бол та коэффициентүүдийн илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргаж болно.

Dk = цагт к ≠ 0.

Ийм тэмдэглэгээнд санамсаргүй функцийг каноник өргөтгөл хэлбэрээр илэрхийлж болохыг харуулж байна.

= , (2)

Хаана Их Британи, Vk– хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд математикийн хүлээлт, тэгтэй тэнцүү, хос бүрийн хувьд ижил хэлбэлзэл санамсаргүй хэмжигдэхүүнижил индекстэй к: Д(Их Британи) = Д(Vk) =Дк, болон зөрүү Дк(1) томъёогоор тодорхойлно.

Өргөтгөл (2) гэж нэрлэдэг спектрийн задрал суурин санамсаргүй функц.

Спектрийн задралянз бүрийн давтамжийн гармоник хэлбэлзэлд задарсан хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийг дүрсэлдэг ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, эдгээр хэлбэлзлийн далайц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Спектрийн задралаар (2) өгөгдсөн санамсаргүй функцын дисперсийг томъёогоор тодорхойлно

D x = = = , (3)

тэдгээр. хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн дисперс нь түүний спектрийн задралын бүх гармоникуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Формула (3) нь функцийн дисперс нь өөр өөр давтамжуудад мэдэгдэж буй байдлаар тархсан болохыг харуулж байна: нэг давтамж b-тэй тохирч байна. Оилүү том хэлбэлзэл, бусад нь - м джижиг. Давтамжийн тархалтын тархалтыг графикаар нэрлэсэн хэлбэрээр дүрсэлж болно дисперсийн спектр . Үүнийг хийхийн тулд абсцисса тэнхлэгийн дагуу давтамжийг зурна. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, ординатын тэнхлэгийн дагуу – харгалзах дисперсүүд.

Ийм байдлаар баригдсан спектрийн бүх ордны нийлбэр нь санамсаргүй функцийн дисперстэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Спектрийн задралыг бүтээхдээ бидний авч үзэх хугацаа их байх тусам санамсаргүй функцийн талаарх бидний мэдээлэл илүү бүрэн дүүрэн байх нь ойлгомжтой. Тиймээс спектрийн задралд орж, хязгаарт хүрэхийг оролдох нь зүйн хэрэг юм Т→ ∞, санамсаргүй функцийн спектр юу болж хувирахыг харна уу. At Т → ∞ ω 1 =, тэгэхээр давтамж хоорондын зай ωk, тодорхойгүй хугацаагаар буурах болно. Энэ тохиолдолд салангид спектр нь тасралтгүй спектрт ойртох бөгөөд дурын жижиг давтамжийн интервал бүр нь энгийн дисперстэй тохирч байх болно.

Тасралтгүй спектрийг графикаар дүрсэлцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид тархалтыг өөрөө биш ордны тэнхлэг дээр зурах болно Дк, А дисперсийн дундаж нягт, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн давтамжийн интервалын нэгж урт дахь тархалт. Зэргэлдээх давтамжуудын хоорондох зайг тэмдэглэе ∆ω , мөн сегмент бүр дээр ∆ω , суурьтай адил бид талбайтай тэгш өнцөгтийг барих болно Дк. Бид зарчмын хувьд статистикийн тархалтын гистограммтай төстэй алхам диаграммыг олж авдаг.

Энэ муруй нь тасралтгүй спектрийн давтамж дээрх дисперсийн тархалтын нягт ба функцийг өөрөө дүрсэлдэг. Sx(ω ) спектрийн дисперсийн нягт буюу спектрийн нягт суурин санамсаргүй функц.

Мэдээжийн хэрэг, муруйгаар хүрээлэгдсэн талбай Sx(ω ), хэлбэлзэлтэй тэнцүү хэвээр байх ёстой D xсанамсаргүй функц:

D x = . (4).

Формула (4) нь хэлбэлзлийн өргөтгөл юм D xэнгийн нөхцлийн нийлбэрийн хувьд Sx(ω )dω, тус бүр нь энгийн давтамжийн муж дахь тархалтыг илэрхийлнэ dω, цэгийн зэргэлдээ ω .

Тиймээс хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын шинэ нэмэлт шинж чанарыг нэвтрүүлсэн - давтамжийн найрлагыг тодорхойлдог спектрийн нягтрал. суурин процесс. Гэсэн хэдий ч энэ нь бие даасан биш юм - энэ нь корреляцийн функцээр бүрэн тодорхойлогддог энэ үйл явц. Холбогдох томъёо, корреляцийн функцийн өргөтгөлөөс үүдэлтэй к х(τ ) хязгаарлагдмал интервал дээр Фурьегийн цуваа руу оруулах нь дараах байдалтай байна.

Sx(ω ) = . (5)

Энэ тохиолдолд корреляцийн функцийг өөрөө спектрийн нягтралаар илэрхийлж болно.

к х(τ ) = . (6)

Хоёр функцийг хооронд нь холбосон (5) ба (6) гэх мэт томъёог дуудна Фурье хувиргах.

-аас гэдгийг анхаарна уу ерөнхий томъёо(6) цагт τ = 0, өмнө нь олж авсан дисперсийн задрал (4) гарна.

Практикт спектрийн нягтын оронд Sx(ω ) ихэвчлэн ердийн спектрийн нягтыг ашигладаг:

s x(ω ) = ,

Хаана D xсанамсаргүй функцийн дисперс юм.

Норматив корреляцийн функц байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг ρ X ( τ ) ба нормчлогдсон спектрийн нягт s x(ω ) нь Фурье хувиргалттай холбоотой:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

Эдгээр тэгш байдлын эхнийх нь гэж үзвэл τ = 0 ба үүнийг өгсөн ρ x (0) = 1, бидэнд байна

тэдгээр. нийт талбай, хуваарийн дагуу хязгаарлагдананормчлогдсон спектрийн нягт 1-тэй тэнцүү байна.

§ 7. Тогтворгүй санамсаргүй функцүүдийн эргодик шинж чанар.

Зарим суурин санамсаргүй функцийг авч үзье X(т) мөн түүний шинж чанарыг тооцоолох шаардлагатай гэж үзье: математикийн хүлээлт м xба корреляцийн функц к х(τ ). Эдгээр шинж чанарууд, эс тэгвээс тэдгээрийн тооцоолол, аль хэдийн дурьдсанчлан туршлагаас олж авч болно мэдэгдэж байгаа тоосанамсаргүй функцүүдийн хэрэгжилт X(т). Хязгаарлагдмал тооны ажиглалтын улмаас функц нь тогтмол байх ёсгүй; үүнтэй адил утгыг өөр өөр утгыг дундажлана τ = т 2 – т 1, бид корреляцийн функцийг олж авдаг.

Энэхүү боловсруулалтын арга нь мэдээжийн хэрэг нэлээд төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй бөгөөд үүнээс гадна хоёр үе шатаас бүрдэнэ: санамсаргүй функцийн шинж чанарыг ойролцоогоор тодорхойлох, мөн эдгээр шинж чанаруудын ойролцоо дундажийг тогтоох. Математикийн хүлээлт нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй, корреляцийн функц нь гарал үүслээс хамаардаггүй гэсэн таамаглал дээр үндэслэсэн, суурин санамсаргүй функц нь энэ процессыг илүү энгийнээр солих боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. .

Үүнээс гадна асуулт гарч ирнэ: хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн ажиглалтыг боловсруулахдаа хэд хэдэн хэрэгжилт зайлшгүй шаардлагатай юу? Санамсаргүй үйл явц нь хөдөлгөөнгүй бөгөөд цаг хугацааны хувьд жигд явагддаг тул ингэж үзэх нь зүйн хэрэг цорын ганц хэрэгжилтхангалттай үргэлжлэх хугацаа нь санамсаргүй функцийн шинж чанарыг олж авахад хангалттай материал болж чадна.

Ийм боломж хүн бүрт байдаггүй нь тогтоогдсон санамсаргүй үйл явц. Жишээлбэл, тэдгээрийн хэрэгжилтийн багцаар илэрхийлэгдсэн хоёр суурин санамсаргүй функцийг авч үзье.

		Зураг 1		Зураг 2

Санамсаргүй функцийн хувьд X 1 (т) (Зураг 1) нь дараах шинж чанараар тодорхойлогддог: түүний хэрэгжилт бүр ижил байна онцлог шинж чанарууд: эргэн тойронд хэлбэлзэл үүсэх дундаж утга ба эдгээр хэлбэлзлийн дундаж хүрээ. Эдгээр ойлголтуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгож, тодорхой хугацаанд олж авсан туршлагаа оюун ухаанаараа үргэлжлүүлье. Т. Мэдээжийн хэрэг, хангалттай том хэмжээтэй ТЭнэ нэг хэрэгжилт бидэнд хангалттай өгч чадна сайхан шоусанамсаргүй функцийн шинж чанаруудын тухай. Ялангуяа энэ хэрэгжилтийн утгыг x тэнхлэгийн дагуу дундажлах замаар - цаг хугацааны явцад бид санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийн ойролцоо утгыг авах ёстой; Энэ дунджаас квадрат хазайлтыг дундажлах замаар бид дисперсийн ойролцоо утгыг авах хэрэгтэй.

Ийм функцтэй гэж ярьдаг эргодик өмч . Эргодик шинж чанар нь санамсаргүй функцын бие даасан хэрэгжилт бүр нь бүх боломжит хэрэгжилтийн "эрх бүхий төлөөлөгч" юм.

Хэрэв бид функцийг авч үзвэл X 2 (т) (Зураг 2), дараа нь хэрэгжилт бүрийн хувьд дундаж утга нь бусдаас ялгаатай бөгөөд мэдэгдэхүйц ялгаатай байх нь тодорхой байна. Тиймээс, хэрэв та бүх хэрэгжилтийн нэг дундаж утгыг бий болговол энэ нь тус бүрээс ихээхэн ялгаатай байх болно.

Хэрэв санамсаргүй функц X(т) нь ergodic шинж чанартай, дараа нь үүний төлөө хугацааны дундаж(нэлээн том ажиглалтын талбайд) багц ажиглалтын дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Үүний хувьд ч мөн адил байх болно X 2 (т), X(т)X(т+τ) гэх мэт. Ялангуяа хангалттай том хэмжээтэй Тматематикийн хүлээлт м xтомъёог ашиглан тооцоолж болно

. (1)

Энэ томъёонд санамсаргүй функцийг тодорхойлохдоо энгийн байхын тулд ~ тэмдгийг орхигдуулсан бөгөөд энэ нь бид шинж чанаруудыг өөрсдөө биш харин тэдний тооцооллыг авч үздэг гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил бид корреляцийн функцийг олж чадна к х(τ ) аль ч хувьд τ . Учир нь

к х(τ ) = ,

дараа нь өгөгдсөн утгыг тооцоолох τ , бид авдаг

к х(τ ) ≈ , (2)

Хаана - төвлөрсөн хэрэгжилт. Хэд хэдэн утгын хувьд интеграл (2)-ыг тооцоолсны дараа τ , корреляцийн функцийн явцыг цэгээр ойролцоогоор хуулбарлах боломжтой.

Практикт дээрх интегралуудыг ихэвчлэн орлуулдаг хязгаарлагдмал хэмжээ. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ. Санамсаргүй функцийн бичлэгийн интервалыг хувааж үзье n∆ урттай тэнцүү хэсгүүд т, мөн үүссэн хэсгүүдийн дунд цэгүүдийг тэмдэглэнэ т 1 , т 2 , …, тн.

Интеграл (1)-ийг ∆ энгийн хэсгүүдийн интегралуудын нийлбэрээр илэрхийлье. тмөн тус бүр дээр бид функцийг гаргаж авах болно x(т) интеграл тэмдгийн доороос интервалын төвд харгалзах дундаж утгаараа - x(т би). Бид ойролцоогоор авдаг

m x = = /

Үүний нэгэн адил та утгуудын корреляцийн функцийг тооцоолж болно τ , 0-тэй тэнцүү, ∆ т, 2∆т, ... Жишээ нь утгыг өгье τ утга учир

τ = 2∆т = .

Интегралын интервалыг хувааж (2) интегралыг тооцоолъё

T - τ = =

дээр n – м∆ урттай тэнцүү хэсгүүд тфункцийг тус бүрийн интеграл тэмдгээс дундаж утгаараа авна. Бид авдаг

.

Корреляцийн функцийг өгөгдсөн томъёогоор тооцоолно м= 0, 1, 2,…. Ийм үнэт зүйлс хүртэл тууштай м, энэ үед корреляцийн функц бараг тэгтэй тэнцэх эсвэл тэг орчимд жижиг жигд бус хэлбэлзэл үүсгэж эхэлдэг. Ерөнхий хөдөлгөөнфункцууд к х(τ ) бие даасан цэгүүдэд хуулбарлагдана.

Онцлог шинж чанарыг хангалттай нарийвчлалтайгаар тодорхойлохын тулд онооны тоо шаардлагатай nнэлээд том байсан (100 орчим, зарим тохиолдолд илүү). Энгийн хэсгийн уртыг сонгох ∆ тсанамсаргүй функцын өөрчлөлтийн шинж чанараар тодорхойлогддог: хэрэв харьцангуй жигд өөрчлөгдвөл ∆ хэсэг тЭнэ нь огцом, байнга хэлбэлзэх үед илүү ихийг сонгож болно. Урьдчилсан байдлаар анхан шатны хэсгийг сонгохыг зөвлөж байна бүтэн хугацаасанамсаргүй функц дэх хамгийн өндөр давтамжийн гармоник нь ойролцоогоор 5-10 лавлах цэгийг эзэлдэг.

Шийдэл ердийн даалгавар

1. a) Санамсаргүй функц X(т) = (т 3 + 1)У, Хаана У- утга нь интервалд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0; 10). Функцийн хэрэгжилтийг олох X(т) утга нь хоёр туршилтанд Уүнэт зүйлсийг авсан у 1 = 2, у 2 = 3.

Шийдэл.Санамсаргүй функцийг хэрэгжүүлснээс хойш X(т) нь санамсаргүй бус аргумент функц гэж нэрлэгддэг т, дараа нь эдгээр тоо хэмжээний утгуудын хувьд Усанамсаргүй функцийн харгалзах хэрэгжилтүүд байх болно

x 1 (т) = 2(т 3 + 1), x 2 (т) = 3(т 3 + 1).

b) Санамсаргүй функц X(т) = Унүгэл т, Хаана У- санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хэсгүүдийг олох X(т), тогтмол аргументын утгуудад харгалзах т 1 = , т 2 = .

Шийдэл.Санамсаргүй функцийн хөндлөн огтлолоос хойш X(т) нь аргументын тогтмол утгатай тохирох санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол аргументийн өгөгдсөн утгуудын хувьд харгалзах хөндлөн огтлолууд байх болно.

X 1 = У· = , X 2 = У· = У.

2. Санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг ол X(т) = У· ℮т, Хаана У М(U) = 5.

Шийдэл.Үүнийг сануулъя математикийн хүлээлт санамсаргүй функц X(т) санамсаргүй бус функц гэж нэрлэдэг м x(т) = М[X(т)], энэ нь аргументийн утга бүрийн хувьд тсанамсаргүй функцийн харгалзах хэсгийн математик хүлээлттэй тэнцүү байна. Тиймээс

м x(т) = М[X(т)] = М[У· ℮т].

м x(т) =М[У· ℮т] = ℮ t M(У) = 5℮т.

3. Санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг ол a) X(т) = Ут 2 +2т+1; б) X(т) = Унүгэл4 т + V· cos4 т, Хаана УТэгээд Всанамсаргүй хэмжигдэхүүн ба М(U) = М(V) = 1.

Шийдэл. m.o-ийн шинж чанарыг ашиглах. санамсаргүй функц бидэнд байна

A) м x(т) = М(Ут 2 +2т+1) = М(Ут 2) +М(2т) + М(1) = М(У)т 2 +2т+1 = т 2 +2т+1.

б) м x(т) = М(Унүгэл4 т + V· cos4 т) = М(Унүгэл4 т) + М(V· cos4 т) = М(У)· нүгэл4 т + М(В)· cos4 т= гэм 4 т+cos4 т.

4. Корреляцийн функц нь мэдэгдэж байна К хсанамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг ол Ю(т) = X(т) + т 2, m.o-ийн тодорхойлолтуудыг ашиглан. ба корреляцийн функц.

Шийдэл. m.o-г олъё. санамсаргүй функц Ю(т):

м ж(т) = М[Ю(т)] = М[X(т) + т 2 ] = М[X(т)] + т 2 = м x(т) + т 2 .

Төвлөрсөн функцийг олцгооё

= Ю(т) - м ж(т) = [X(т) + т 2 ] – [м x(т) + т 2 ] = X(т) –м x(т) = .

K y = = = К х.

5. Корреляцийн функц нь мэдэгдэж байна К хсанамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг ол a) Ю(т)=X(т)·( т+1); б) З(т)=C· X(т), Хаана ХАМТ- тогтмол.

Шийдэл. a) m.o-г олъё. санамсаргүй функц Ю(т):

м ж(т) = М[Ю(т)] = М[X(т) · ( т+1)] = (т+1) · М[X(т)].

Төвлөрсөн функцийг олцгооё

=Ю(т)-м ж(т)=X(т)·( т+1) - (т+1)· М[X(т)] = (т+1)·( X(т) - М[X(т)]) = (т+1)· .

Одоо корреляцийн функцийг олъё

K y = = = (т 1 +1)(т 2 +1)К х.

b) А) тохиолдолтой адил гэдгийг баталж болно

K y = ХАМТ 2 К х.

6. Зөрчил нь мэдэгдэж байна D x(т) санамсаргүй функц X(т Ю(т) =X(т)+2.

Шийдэл.Санамсаргүй функц дээр санамсаргүй бус гишүүнийг нэмэх нь корреляцийн функцийг өөрчлөхгүй:

K y(т 1 , т 2) = К х(т 1 , т 2).

Үүнийг бид мэднэ К х(т, т) = D x(т), Тийм учраас

Д(т) = K y(т, т) = К х(т, т) = D x(т).

7. Зөрчилтэй байдал нь мэдэгдэж байна D x(т) санамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцийн дисперсийг ол Ю(т) = (т+3) · X(т).

Шийдэл. m.o-г олъё. санамсаргүй функц Ю(т):

м ж(т) = М[Ю(т)] = М[X(т) · ( т+3)] = (т+3) · М[X(т)].

Төвлөрсөн функцийг олцгооё

=Ю(т)-м ж(т)=X(т)·( т+3) - (т+3)· М[X(т)] = (т+3)·( X(т) - М[X(т)]) = (т+3)· .

Корреляцийн функцийг олцгооё

K y = = = (т 1 +3)(т 2 +3)К х.

Одоо ялгааг олъё

Д(т) = K y(т, т) = (т+3)(т+3)К х(т, т) = (т+3) 2 D x(т).

8. Санамсаргүй функц өгөгдсөн X(т) = У cos2 т, Хаана Усанамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд М(U) = 5, Д(U) = 6. Санамсаргүй функцийн математик хүлээлт, корреляцийн функц, дисперсийг ол X(т).

Шийдэл.Санамсаргүй бус хүчин зүйл cos2-ыг гарган шаардлагатай математикийн хүлээлтийг олъё т m.o. тэмдгийн хувьд:

М[X(т)] = М[У cos2 т] = cos2 t ·M(У) = 5cos2 т.

Төвлөрсөн функцийг олъё:

= X(т) - м x(т) = У cos2 т- 5cos2 т = (U - 5) cos2 т.

Хүссэн корреляцийн функцийг олъё:

К х(т 1 , т 2) = = М{[(U- 5)· cos2 т 1 ] [(U- 5)· cos2 т 2 ]} =

Cos2 т 1 cos2 т 2 М(U- 5) 2 .

Цаашилбал, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг харгалзан үзнэ Утодорхойлолтоор хэлбэлзэл нь тэнцүү байна Д(У) = М[(У - М((У)] 2 = М((U- 5) 2, бид үүнийг ойлгож байна М((U- 5) 2 = 6. Тиймээс корреляцийн функцийн хувьд бид эцэст нь байна

К х(т 1 , т 2) = 6cos2 т 1 cos2 т 2 .

Одоо бидний тавьсан шаардлагатай дисперсийг олцгооё т 1 = т 2 = т:

D x(т) = К х(т, т) = 6cos 2 2 т.

9. Корреляцийн функц өгөгдсөн К х(т 1 , т 2) = т 1 т 2. Нормалжсан корреляцийн функцийг ол.

Шийдэл.Тодорхойлолтоор бол нормчлогдсон корреляцийн функц

ρ x(т 1 , т 2) = = = .

Үүссэн илэрхийллийн тэмдэг нь аргументууд байгаа эсэхээс хамаарна т 1 ба т 2 ижил шинж тэмдэгэсвэл өөр. Хуваагч нь үргэлж эерэг байдаг тул эцэст нь бид эерэг байдаг

ρ x(т 1 , т 2) =

10. Математикийн хүлээлт өгөгдсөн м x(т) = т 2 + 4 санамсаргүй функц X(т). Санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг ол Ю(т) = tX´( т) + т 2 .

Шийдэл. Санамсаргүй функцийн деривативын математик хүлээлт нь түүний математик хүлээлтийн деривативтай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

м ж(т) = М(Ю(т)) = М(tX´( т) + т 2) = М(tX´( т)) + М(т 2) =

= t∙M(X´( т)) + т 2 = t∙(м x(т))´ + т 2 = t∙(т 2 + 4)´ + т 2 = 3т 2 .

11. Корреляцийн функц өгөгдсөн К х= санамсаргүй функц X(т). Түүний деривативаас корреляцийн функцийг ол.

Шийдэл.Деривативын корреляцийн функцийг олохын тулд анхны санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг эхлээд нэг аргументтай, дараа нь нөгөө аргументаас нь хоёр удаа ялгах хэрэгтэй.

= .

+ =

= .

12. Санамсаргүй функц өгөгдсөн X(т) = У℮3 т cos2 т, Хаана Усанамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд М(У) = 4, Д(У) = 1. Математикийн хүлээлт ба түүний деривативын корреляцийн функцийг ол.

Шийдэл. м x(т) = М(X(т)) = М(У℮3 т cos2 т) = М(У)℮3 т cos2 т = 4℮3 т cos2 т.

М(X(т)) = (м x(т))´ = 4(3℮ 3 т cos2 т – 2℮3 тнүгэл2 т) = 4℮3 т(3cos2 т– 2sin2 т).

Анхны санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг олъё. Төвлөрсөн санамсаргүй функц нь

= X(т) - м x(т) = У℮3 т cos2 т- 4℮3 т cos2 т = (U - 4)℮3 т cos2 т.

К х(т 1 , т 2) = = М{[(U- 4) cos2 т 1 ] [(U- 4) cos2 т 2 ]} =

Cos2 т 1 cos2 т 2 М((U- 4) 2)= cos2 т 1 cos2 т 2 Д(У)=cos2 т 1 cos2 т 2 .

Эхний аргументтай холбоотой корреляцийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олъё

Cos2 т 2 =

Cos2 т 2 (3cos2 т 1-2sin2 т 1).

Корреляцийн функцийн хоёр дахь холимог деривативыг олъё

= (3cos2 т 1-2sin2 т 1) =

= (3cos2 т 1-2sin2 т 1) (3cos2 т 2-2sin2 т 2).

13. Санамсаргүй функц өгөгдсөн X(т), математикийн хүлээлттэй байх

м x(т) = 3т 2 + 1. Санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг ол Ю(т)= .

Шийдэл. Шаардлагатай математикийн хүлээлт

м ж(т) = = = т 2 + т.

14. Интегралын математик хүлээлтийг ол Ю(т)= , санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг мэдэх X(т):

A) м x(т) = т– cos2 т; б) м x(т) = 4cos 2 т.

Шийдэл. A) м ж(т) = = = .

б) м ж(т) = = = = + =

2т+ гэм 2 т.

15. Санамсаргүй функц өгөгдсөн X(т) = У℮2т cos3 т, Хаана Усанамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд М(У) = 5. Интегралын математик хүлээлтийг ол Ю(т)= .

Шийдэл.Эхлээд санамсаргүй функцийн математик хүлээлтийг олъё.

м x(т) = М(У℮2т cos3 т) = М(У)℮2т cos3 т = 5℮2т cos3 т.

м ж(т) = = 5 = =

= ℮2тнүгэл3 т - = =

= ℮2тнүгэл3 т – =

= ℮2тнүгэл3 т + ℮2т cos3 т – .

Тиймээс бид дугуй интегралыг олж авлаа

5 + = ℮2тнүгэл3 т + ℮2т cos3 т.

эсвэл = ℮2т( нүгэл3 т+cos3 т).

Эцэст нь м ж(т) = ℮2т( нүгэл3 т+cos3 т).

16. Интегралын математик хүлээлтийг ол Ю(т) = , санамсаргүй функцийг мэдэх X(т) =У℮3 тнүгэл т, Хаана Усанамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд М(У)=2.

Шийдэл. Математикийг олъёхамгийн санамсаргүй функцийг хүлээж байна.

м x(т) = М(У℮3тнүгэл т) = М(У)℮3тнүгэл т = 2℮3тнүгэл т.

м ж(т) = = 2 = =

= – 2℮3т cos т + = =

= – 2℮3т cos т + ℮3тнүгэл т – .

Бидэнд байна = – ℮3т cos т + ℮3тнүгэл т.

Эцэст нь м ж(т) = – ℮2т cos т + ℮2тнүгэл т.

17. Санамсаргүй функц өгөгдсөн X(т), корреляцийн функцтэй байна

К х(т 1 , т 2) = т 1 т 2. Интегралын корреляцийн функцийг ол Ю(т)= .

Шийдэл. Эхлээд бид интегралын корреляцийн функцийг олдог бөгөөд энэ нь тэнцүү байна давхар интегралөгөгдсөн корреляцийн функцээс. Тиймээс,

K y(т 1 , т 2) = = = = .

Дараа нь зөрүү Dy(т) = K y(т, т) = .

18. Корреляцийн функц өгөгдсөн К х(т 1 , т 2) = санамсаргүй функц X(т). Интегралын дисперсийг ол Ю(т)= .

Шийдэл. Интегралын корреляцийн функцийг олъё

K y(т 1 , т 2) = = =

= = .

Дараа нь зөрүү

Dy(т) = K y(т, т) = .

19. Интегралын дисперсийг ол Ю(т) = , санамсаргүй функцийн корреляцийн функцийг мэдэх X(т):

A) К х(т 1 ,т 2) = ; б) К х(т 1 , т 2) = .

Шийдэл. A) K y(т 1 , т 2) = = .

Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн спектрийн өргөтгөлийг байгуулах

X(t)хязгаарлагдмал хугацаанд (Өө, T),бид санамсаргүй функцийн дисперсийн спектрийг тэнцүү интервалаар тусгаарлагдсан салангид шугамын цуврал хэлбэрээр ("тасралтгүй" эсвэл "шугам" спектр гэж нэрлэдэг) олж авсан.

Мэдээжийн хэрэг, бидний авч үзэх хугацаа их байх тусам санамсаргүй функцийн талаарх бидний мэдээлэл илүү бүрэн дүүрэн байх болно. Тиймээс спектрийн задралын хязгаарт хүрэхийг оролдох нь зүйн хэрэг юм T-> oo тэгээд спектр юу болж хувирахыг хараарай

санамсаргүй функц. Тиймээс зайтай

Спектрийг бий болгох магадлалын давтамжуудын хооронд байх болно T-> oo хязгааргүй буурна. Энэ тохиолдолд салангид спектр нь үргэлжилсэн спектрт ойртох бөгөөд дурын жижиг давтамжийн интервал бүр нь ADco энгийн тархалттай тохирч байх болно.

Тасралтгүй спектрийг графикаар дүрслэхийг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид төгсгөлийн үед салангид спектрийн графикийг бага зэрэг өөрчлөх ёстой Т.Тухайлбал, бид тархалтыг өөрөө биш ордны тэнхлэг дээр зурах болно Дк(үүнтэй хамт хязгааргүй буурдаг Т-"өө) ба дисперсийн дундаж нягт,тэдгээр. өгөгдсөн давтамжийн интервалын нэгж урт дахь тархалт. Зэргэлдээх ACO давтамжуудын хоорондох зайг тэмдэглэе.

Асо сегмент бүр дээр бид талбайтай тэгш өнцөгтийг суурь болгон байгуулна D k (будаа. 17.3.1). Бид статистикийн тархалтын гистограмм байгуулах зарчимтай төстэй алхам диаграммыг олж авдаг.

Цэгтэй зэргэлдээх Aco хэсгийн диаграммын өндөр нь тэнцүү байна

Цагаан будаа. 17.3.1

бөгөөд энэ бүс дэх тархалтын дундаж нягтыг илэрхийлнэ. Бүх диаграммын нийт талбай нь санамсаргүй функцын дисперстэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Бид интервалыг хязгааргүй нэмэгдүүлэх болно Т.Энэ тохиолдолд Du -> O ба шаталсан муруй нь гөлгөр муруй руу хязгааргүй ойртох болно S x (с) (Зураг 17.3.2). Энэ муруй нь тасралтгүй спектрийн давтамжууд дээрх дисперсийн тархалтын нягтыг дүрсэлсэн бөгөөд D x.(a>) функцийг өөрөө гэнэ. спектрийн дисперсийн нягт, эсвэл товчхондоо, спектрийн нягтсуурин санамсаргүй функц X(t).

Цагаан будаа. 17.3.2

Мэдээжийн хэрэг, D g (co) муруйгаар хязгаарлагдах талбай нь дисперстэй тэнцүү байх ёстой D xсанамсаргүй функц X(т):

Томъёо (17.3.2) нь вариацын тэлэлтээс өөр зүйл биш юм D x L'Dso) s/co энгийн нөхцлийн нийлбэрээр тус бүр нь энгийн давтамжийн муж дахь тархалтыг илэрхийлдэг. Dco,с цэгтэй зэргэлдээ (Зураг 17.3.2).

Тиймээс бид хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын шинэ нэмэлт шинж чанарыг авч үзсэн - суурин процессын давтамжийн найрлагыг тодорхойлдог спектрийн нягтрал. Гэсэн хэдий ч, энэ шинж чанар нь бие даасан биш юм; энэ процессын корреляцийн функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Яг л салангид спектрийн ординатууд шиг Дккорреляцийн функцээр (17.2.4) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ k x ( t), спектрийн нягтрал Sx(a)корреляцийн функцээр мөн илэрхийлж болно.

Энэ илэрхийлэлийг гаргаж авцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид руу явцгаая каноник тэлэлтхязгаарын корреляцийн функц Т-> өө тэгээд юу болж хувирахыг харцгаая. Бид корреляцийн функцийн өргөтгөлөөс (17.2.1) төгсгөлтэй интервал дээр Фурьегийн цуваа руу шилжих болно. (-Т, 7):

w/( давтамжтай харгалзах тархалтыг томъёогоор илэрхийлнэ

Γ -> oo гэж хязгаарт шилжихийн өмнө тархалтаас (17.3.3) томъёогоор дамжуулъя. Дкдисперсийн дундаж нягт хүртэл

Энэ нягтралыг хүртэл тооцдог тул эцсийн үнэ цэнэ Тмөн хамаарна Т,үүнийг тэмдэглэе:

Илэрхийлэл (17.3.4)-ийг хуваах нь дараахь зүйлийг авна.

(17.3.5)-аас ийм байна

(17.3.7) илэрхийллийг (17.3.3) томъёонд орлъё; бид авах:

Ямар илэрхийлэл (17.3.8) хэзээ болж хувирахыг харцгаая T-> oo. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд Асо -> 0; дискрет аргумент ω/(тасралтгүй өөрчлөгддөг аргумент ω болж хувирна; нийлбэр нь ω хувьсагч дээр интеграл болж хувирна; дундаж нягтралзөрүү S X T) ( A.-тай) нь тархалтын нягтыг A L.(ω) руу чиглүүлдэг бөгөөд хязгаар дахь илэрхийлэл (17.3.8) дараах хэлбэртэй байна.

Хаана S x (с) -хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн спектрийн нягт.

(17.3.6) томъёонд Γ -> oo гэж хязгаар руу шилжсэнээр бид корреляцийн функцээр спектрийн нягтын илэрхийлэлийг олж авна.

(17.3.9) гэх мэт илэрхийллийг математикт гэж нэрлэдэг Фурье интеграл.Фурье интеграл нь хязгааргүй интервал дээр авч үзсэн үечилсэн бус функцийн тохиолдлын Фурье цувралын өргөтгөлийн ерөнхий дүгнэлт бөгөөд функцийг тасралтгүй спектр 1-тэй элементар гармоник хэлбэлзлийн нийлбэр болгон өргөтгөхийг илэрхийлдэг.

Фурье цуваа тэлэх функцийг цувралын коэффициентүүдээр илэрхийлдэг ба тэдгээр нь эргээд тэлэх функцээр илэрхийлэгддэгтэй адил (17.3.9) ба (17.3.10) томъёонууд функцуудыг илэрхийлдэг. k x ( m) ба A x (k>) нь харилцан: нэгийг нь нөгөөгөөр дамжуулдаг. Томъёо (17.3.9) нь корреляцийн функцийг спектрийн нягтралаар илэрхийлнэ; томъёо

(17.3.10) эсрэгээр спектрийн нягтыг корреляцийн функцээр илэрхийлнэ. (17.3.9) ба (17.3.10) зэрэг хоёр функцийг харилцан уялдуулдаг томьёог гэнэ. Фурье хувиргах.

Тиймээс корреляцийн функц ба спектрийн нягтыг Фурьегийн хувиргалтыг ашиглан нэг нэгээр нь илэрхийлдэг.

Ерөнхий томъёоноос (17.3.9) m = 0 үед тархалтын давтамжийн (17.3.2) урьд нь олж авсан задралыг гаргаж авсан болохыг анхаарна уу.

Практикт спектрийн нягтын оронд S x ( co) ихэвчлэн ашигладаг хэвийн болгосонспектрийн нягтрал:

Хаана D x- санамсаргүй функцийн дисперс.

Нормалжсан корреляцийн функц p l (m) ба нормчлогдсон спектрийн нягтрал l A (ω) нь ижил Фурье хувиргалтаар хамааралтай болохыг шалгахад хялбар байдаг.

Эхний тэгшитгэлийг (17.3.12) t = 0 гэж үзээд p t (0) = 1 гэдгийг харгалзан үзвэл бид:

тэдгээр. нормчлогдсон спектрийн нягтын графикаар хязгаарлагдсан нийт талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1. Санамсаргүй функцийн нормчлогдсон корреляцийн функц p x (m). X(t)-аар буурдаг шугаман хуульнэгээс тэг хүртэл 0 t 0 r l.(t) = 0 (Зураг 17.3.3). Санамсаргүй функцийн нормчлогдсон спектрийн нягтыг тодорхойлно X(t).

Шийдэл.Нормчилсан корреляцийн функцийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

томъёо:

(17.3.12) томъёоноос бид:

Цагаан будаа. 17.3.3

Цагаан будаа. 17.3.4

Нормчилсан спектрийн нягтын графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 17.3.4. Эхний - үнэмлэхүй - хамгийн их спектрийн нягтрал нь co = 0 үед хүрдэг; тодорхойгүй байдлыг илчлэх

спектрийн нягт нь олон тооны харьцангуй максимумд хүрдэг бөгөөд тэдгээрийн өндөр нь co-ийг нэмэгдүүлэх тусам буурдаг; үед ω -> oo l A. (o>) -> 0. Спектрийн нягтын өөрчлөлтийн шинж чанар s x (с) (хурдан эсвэл удаан буурах) m 0 параметрээс хамаарна. Нийт талбай, муруйгаар хязгаарлагдсан s x(co), тогтмол бөгөөд нэгдэлтэй тэнцүү. m 0-ийн өөрчлөлт нь муруйны масштабын өөрчлөлттэй тэнцүү байна, s" A .(co) түүний талбайг хадгалахын зэрэгцээ хоёр тэнхлэгийн дагуу. m 0-ийн өсөлтөөр ординатын тэнхлэгийн дагуух масштаб, абсцисса дагуу нэмэгддэг. тэнхлэгт энэ нь буурдаг тэг давтамжийн санамсаргүй функцийн давамгайлал нь илүү тодорхой болно Хязгаарт, m -> oo, энэ тохиолдолд санамсаргүй функц нь энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болж буурдаг, p d (m) = I, ба спектр нь 0 = 0-тэй нэг давтамжтай салангид болно.

Цагаан будаа. 17.3.5

Жишээ 2. Санамсаргүй функцийн нормчлогдсон спектрийн нягт.v v (co). X(t) a>b a>2 давтамжийн тодорхой интервалд тогтмол байх ба энэ интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү байна (Зураг 17.3.5).

Санамсаргүй функцийн нормчлогдсон корреляцийн функцийг тодорхойл X(t).

Шийдэл.“t 2” дахь xl (co) утгыг муруйгаар хязгаарласан талбайн нөхцөлөөр тодорхойлно s x(co), нэгтэй тэнцүү:

(17.3.12)-аас бидэнд:

p d (t) функцийн ерөнхий дүр төрхийг Зураг дээр үзүүлэв. 17.3.6. Энэ нь функц алга болох олон тооны зангилаа бүхий далайц багасах хэлбэлзлийн шинж чанартай байдаг. Тодорхой үзэлГрафик нь a>a>2-ийн утгуудаас хамаарах нь ойлгомжтой.

Цагаан будаа. 17.3.6

Сонирхолтой нь p x (m) функцийн хязгаарлах хэлбэр нь “t -> ω 2 юм. Мэдээжийн хэрэг, ω 2 = ω = ω үед санамсаргүй функцийн спектр нь ω давтамжтай харгалзах нэг шугамаар салангид болно; Энэ тохиолдолд корреляцийн функц нь энгийн косинус болж хувирдаг.

Энэ тохиолдолд санамсаргүй функц өөрөө ямар хэлбэртэй болохыг харцгаая X(t).Нэг шугамтай салангид спектртэй

хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцийн спектрийн тэлэлт X(t)гадаад төрхтэй;

Хаана U vlV - 0-тэй тэнцүү, тэнцүү дисперстэй математикийн хүлээлттэй хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд:

(17.3.14) төрлийн санамсаргүй функцийг санамсаргүй далайц ба санамсаргүй фаз бүхий с давтамжийн нэг гармоник хэлбэлзэл хэлбэрээр илэрхийлж болохыг харуулъя. Зориулалтын

Бид илэрхийллийг (17.3.14) дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Энэ илэрхийлэлд - санамсаргүй далайц; F - гармоник хэлбэлзлийн санамсаргүй үе шат.

Өнөөг хүртэл бид зөвхөн дисперсийн давтамжийн тархалт тасралтгүй байх тохиолдолд л авч үзсэн, i.e. хязгааргүй бага давтамжийн муж нь хязгааргүй жижиг дисперсийг эзэлдэг бол. Практикт заримдаа санамсаргүй функц нь санамсаргүй далайцтай цэвэр үечилсэн давтамжийн o>a бүрэлдэхүүнийг агуулсан байх тохиолдол байдаг. Дараа нь санамсаргүй функцийн спектрийн тэлэлтэд давтамжийн тасралтгүй спектрээс гадна хязгаарлагдмал дисперстэй тусдаа давтамжийн ко* гарч ирнэ. Дк.Ерөнхий тохиолдолд ийм үечилсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд хэд хэдэн байж болно. Дараа нь корреляцийн функцийн спектрийн өргөтгөл нь салангид ба тасралтгүй спектр гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ.

Ийм "холимог" спектртэй хөдөлгөөнгүй санамсаргүй функцүүдийн тохиолдол практикт нэлээд ховор байдаг. Эдгээр тохиолдолд санамсаргүй функцийг тасралтгүй ба салангид спектртэй хоёр нэр томъёонд хувааж, эдгээр нэр томъёог тусад нь судлах нь үргэлж утга учиртай байдаг.

Санамсаргүй функцийн спектрийн тэлэлтийн эцсийн дисперс тэг давтамж (ω = 0) үед тохиолдох онцгой тохиолдлыг бид ихэвчлэн шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Энэ нь санамсаргүй функц нь дисперстэй энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэр томъёо болгон агуулдаг гэсэн үг юм D0. IN ижил төстэй тохиолдлуудЭнэ санамсаргүй нэр томъёог тусгаарлаж, тусад нь ажиллах нь бас утга учиртай.

• Формула (17.3.9) нь косинусын гармоник дахь тэгш функцын Фурье цувралын өргөтгөлийг ерөнхийд нь харуулсан Фурье интегралын тодорхой хэлбэр юм. Үүнтэй төстэй илэрхийлэлийг илүү ихийг бичиж болно ерөнхий тохиолдол.
• Энд бид Фурье хувиргалтын тусгай тохиолдлыг авч үзэх болно - "косинус Фурье хувиргалт" гэж нэрлэгддэг.

Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл ergodicity ξ (t) in

тархалтын харьцаа нь томъёо (2.5), хангалттай нөхцөл (2.6).

Дүрмээр бол хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц нь жигд бус явагдах үед эргодик биш байдаг. Жишээлбэл, эргодик бус байдал

ξ (t) нь m x ба D x шинж чанартай X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэр томъёо болгон агуулж байгаагаас үүдэлтэй байж болно. Дараа ньξ 1 (t) = ξ (t) + X тул m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x болно.

ба τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Тогтворгүй санамсаргүй процессын спектрийн задрал ба Фурье хувиргалт. Спектрийн нягтрал

Санамсаргүй үйл явцын спектрийн дүрслэлийн гол санаа нь тэдгээрийг тодорхой гармоникуудын нийлбэр болгон дүрсэлж болох явдал юм. Энэхүү дүрслэл нь санамсаргүй процессууд дээр шугаман болон шугаман бус янз бүрийн хувиргалтыг харьцангуй энгийн байдлаар хийх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, санамсаргүй үйл явцын тархалт нь түүнийг бүрдүүлэгч гармоникуудын давтамж дээр хэрхэн тархдагийг судалж болно. Ийм мэдээллийг ашиглах нь мөн чанарыг бүрдүүлдэг спектрийн онолхөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц.

Спектрийн онол нь санамсаргүй үйл явцын Фурье дүрсийг тооцоололд ашиглах боломжийг олгодог. Хэд хэдэн тохиолдолд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж, ялангуяа онолын судалгаанд өргөн хэрэглэгддэг.

Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц ξ (t) -ийг өөрийн гэсэн аргаар тодорхойлж болно

тэдгээрийг каноник эсвэл спектрийн задралаар:

k = 0

Энд ψ k нь энгийн санамсаргүй үйлдлийн гармоник хэлбэлзлийн үе шат юм

процесс бөгөөд энэ нь (0.2π),z k – am- интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

энгийн санамсаргүй үйл явцын гармоник хэлбэлзлийн далайц ба z k нь мөн заримтай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

m z ба D z.

Үнэхээр ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, тэгвэл m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Эндээс m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Иймд (2.8) ба (2.10) томъёонд эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний томьёонд багтсан шинж чанаруудын талаархи төсөөллийн дагуу (2.8) ба (2.10) дүрслэлүүд тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд

Цайны хэмжигдэхүүнүүд z i ба ψ i ,i = 1,∞ хамааралтай, учир нь харилцаа нь тодорхой байна.

Тогтворгүй санамсаргүй процессын ковариацын функц нь жигд функц, дараа нь интервалаар (− T ,T ) өөрчлөгдөж болно.

косинусуудын хувьд Фурье цувралд оруулах, i.e. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

ω k-ийг техникийн гармоник гэж тайлбарлаж болно.

суурин санамсаргүй үйл явцын tral тэлэлт (2.8), дараа нь нийт хэлбэлзэлКаноник (спектр) задралаар дүрслэгдсэн хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц нь түүний спектрийн задралын бүх гармоникуудын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Зураг дээр. 2.1

янз бүрийн гармоник ω i-д харгалзах D k дисперсийн багцыг харуулав. Томъёоны дагуу задралын интервал урт байх тусам

(2.9)-ийг авах юм бол энэ томьёоны дагуу өргөтгөх нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Хэрэв бид T ′ = 2T гэж авбал спектрийн задралын дисперсийн спектр болно

S ξ (ω k ) ∆ω = D k хэмжигдэхүүн нь нийт дүнгийн нэг хэсгийг илэрхийлнэ.

k-р гармоникт хамаарах хөдөлгөөнгүй санамсаргүй процессын дисперс ξ (t). T → ∞ (эсвэл ∆ω→ 0) хувьд S ξ (ω k) функц нь S ξ (ω) муруйд хязгааргүй ойртох болно.

диваажин нь суурин тохиолдлын спектрийн нягт гэж нэрлэгддэг -

процесс ξ (t) (Зураг 2.2). (2.13)-аас K ξ (τ) ба S ξ (ω) функцүүд нь Фурье косинусын хувиргалтаар өөр хоорондоо хамааралтай болохыг харуулж байна. Тиймээс,

Цагаан будаа. 2.2. S ξ функцүүдийн графикууд (ω к) Тэгээд Сξ (ω )

Спектрийн нягтрал нь магадлалын нягтын функцтэй ижил төстэй байдлаар дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Сξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Сξ (ω ) гω = ∞ ∫ Сξ (ω ) cos(0 ω ) гω = Кξ (0 ) =Дξ .

Хэрэв та функцийг оруулбал Сξ (ω ) , дараах байдлаар тодорхойлсон:

Сξ (ω ) =Сξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

дуудсандахь суурин санамсаргүй үйл явцын спектрийн нягтрал нарийн төвөгтэй хэлбэр, дараа нь энэ функц нь дээрх хоёр шинж чанараас гадна гуравдахь шинж чанартай - паритын шинж чанартай (Зураг 2.3).

3. Сξ (ω ) =Сξ (− ω ) .

Цагаан будаа. 2.3. Спектрийн нягтын функцын графикууд

(2.8)-ыг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

авч болноинтеграл каноник дүрслэл зуун

үндэсний санамсаргүй үйл явц:

угаасан" цагаан чимээ"(2.4-р хэсгийг үзнэ үү). Статистикийн шинж чанарууд

нийлмэл хэлбэрээр хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын спектрийн тэлэлт нь хэлбэртэй байна

Үүнтэй төстэй үйлдлүүдийг (2.9) хэлбэрээр үзүүлсэн ковариацын функцээр гүйцэтгэж, олж авах боломжтой

К ξ (τ ) = ∑ ∞ Д кд биω кт.

к=−∞

Функцийн танилцуулгыг харгалзан томъёог (2.13) дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Сξ (ω ) чи дахин болно

Томъёо (2.18) ба (2.19) нь спектрийн нягтын Фурье хувирлыг илэрхийлнэ. Сξ (ω ) ба ковариацын функц Кξ (τ ) нарийн төвөгтэй хэлбэрээр.

Спектрийн нягтралаас хойш Сξ (ω ) төлөөлдөг

санамсаргүй үйл явцын тархалтын түүний гармоникуудын давтамжийн тархалтын нягтрал, дараа нь санамсаргүй онолын зарим хэрэглээнд

үндсэн үйл явц Кξ ( 0) = Дξ (т) хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын энерги гэж тайлбарлаж, ба Сξ (ω ) - Энэ нягтрал ямар байна

нэгж давтамжийн эрчим хүч. Энэхүү тайлбар нь цахилгааны инженерчлэлд хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явцын онолыг хэрэглэсний дараа гарч ирэв.

Жишээ 5.Спектрийн нягтыг ол Сξ (ω ) энгийн санамсаргүй үйл явц ξ к(т) = xк cos ω кт+ yкнүгэл ω кт.

= Дк∞ ∫ [ cos(ω− ω к) τ + cos(ω+ ω к) τ ] гτ =

π 0

= Дк∞ ∫ [ дби(ω−ω

Сξ к (ω ) =

−би(ω−ω к) τ г(− τ ) + ∫ дби(ω−ω к) τ гτ +

к(− 1 ) ∫ д

2π

+ (−1 ) ∫ д

−би(ω+ω к) τ г(− τ ) + ∫ дби(ω+ω к) τ гτ

к∫

дби(ω−ω к)(−τ ) г(− τ ) + ∫ дби(ω−ω к) τ гτ + (− 1 ) ∫ дби(ω+ω к)(−τ ) г(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ дби(ω+ω к) τ гτ

к∫ дби(ω−ω к) τ гτ +

∫дби

(ω+ω к) τ гτ

2 π −∞

= Дк[ δ (ω− ω к) + δ (ω+ ω к) ] ,

Хаана δ (ω ) = 1 ∞ ∫ дбиωτ гτ - өмнөх хэлбэрийн салшгүй дүрслэл.

2 π −∞

Фурьегийн боловсрол δ -Dirac функцууд. -д зориулсан илэрхийлэл Сξ к(ω )

Ингэж орхиж болох байсан ч эерэг тал дээр ω (учир нь ω к> 0), шинж чанарыг харгалзан үзнэ δ -функцүүд, (Хүснэгт 6-г үзнэ үү

бид. 141), δ (ω+ ω к) ≡ 0 . Тиймээс, Сξ (ω ) = Дкδ (ω− ω к) .

Дараа ньСξ к(ω ) =1 2 Сξ к(ω ) =Д2 к[ δ (ω− ω к) + δ (ω+ ω к) ] .

Өгөгдсөн спектрийн нягтыг нийлмэл хэлбэрээр олъё. Функцүүд Сξ (ω ) Тэгээд Сξ к(ω ) - хүчинтэй бус

сөрөг функцууд. Сξ к(ω ) – интервал дээр тодорхойлогдсон тэгш функц (− ∞ ,∞ ) ,Сξ (ω ) - интервалаар тодорхойлогддог ( 0,∞ ) , Мөн

энэ интервал дээр Сξ к(ω ) = 1 2 Сξ к(ω ) (2.3-р зургийг үз). Томъёоны дагуу (2.19)