Энэ нь анхны тоо юм. Анхны тоо

Хуваагчдыг тоолох.Тодорхойлолтоор тоо n 2 болон 1 ба өөрөөс бусад бүхэл тоонд тэгш хуваагдахгүй тохиолдолд л анхны байна. Дээрх томьёо нь шаардлагагүй алхмуудыг арилгаж, цагийг хэмнэдэг: жишээлбэл, тоо 3-т хуваагдах эсэхийг шалгасны дараа 9-д хуваагдах эсэхийг шалгах шаардлагагүй болно.

• Floor(x) функц нь x-г x-ээс бага буюу тэнцүү бүхэл тоо хүртэл дугуйруулна.

Модульчлагдсан арифметикийн талаар олж мэдэх.Үйлдэл нь "x mod y" (mod гэдэг нь Латин үг"модуло" гэдэг нь "х-ийг у-д хувааж, үлдэгдлийг олох" гэсэн утгатай. Өөрөөр хэлбэл, модульчлагдсан арифметикийн хувьд тодорхой утгад хүрсний дараа үүнийг нэрлэдэг модуль, тоонууд дахин тэг болж "эргэдэг". Жишээлбэл, цаг нь 12 модультай цагийг барьдаг: 10, 11, 12 цагийг харуулж, дараа нь 1 рүү буцдаг.

• Олон тооны машинд горимын түлхүүр байдаг. Төгсгөлд нь энэ хэсэгЭнэ функцийг гараар хэрхэн тооцоолохыг харуулав их тоо.

Ерөнхий тоонь натурал (эерэг бүхэл тоо) бөгөөд зөвхөн хоёр натурал тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг: өөртөө болон өөрт нь. Өөрөөр хэлбэл анхны тоо яг хоёртой натурал хуваагч: мөн тоо нь өөрөө.

Тодорхойлолтоор анхны тооны бүх хуваагчийн олонлог нь хоёр элементтэй, өөрөөр хэлбэл. олонлогийг илэрхийлнэ.

Бүх анхны тооны олонлогийг тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тиймээс анхны тооны олонлогийн тодорхойлолтоос шалтгаалан бид дараахийг бичиж болно.

Анхны тоонуудын дараалал дараах байдалтай байна.

Арифметикийн үндсэн теорем

Арифметикийн үндсэн теоремНэгээс их натурал тоо бүрийг анхны тоонуудын үржвэр болгон төлөөлж болно гэж заасан ба цорын ганц арга замхүчин зүйлсийн дараалал хүртэл. Тиймээс анхны тоонууд нь натурал тооны олонлогийн анхан шатны "барилгын материал" юм.

Задаргаа натурал тоо title=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} каноник:

анхны тоо хаана байна, ба . Жишээлбэл, каноник тэлэлтнатурал тоо дараах байдалтай байна: .

Натурал тоог анхны тоонуудын үржвэр болгон дүрслэхийг мөн нэрлэдэг тооны хүчин зүйлчлэл.

Анхны тоонуудын шинж чанарууд

Eratosthenes шигшүүр

Хамгийн нэг нь мэдэгдэж байгаа алгоритмууданхны тоог хайх, таних нь Eratosthenes шигшүүр. Тиймээс энэ алгоритмыг алгоритмын зохиогч гэж тооцогддог Грекийн математикч Киренийн Эратосфенийн нэрээр нэрлэжээ.

-аас бага бүх анхны тоог олохын тулд өгсөн дугаар Eratosthenes аргын дагуу та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Алхам 1.Хоёроос - хүртэлх бүх натурал тоонуудыг бичнэ үү, i.e. .
Алхам 2.Даалгах хувьсах утга, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага анхны тоотой тэнцүү утга.
Алхам 3.Жагсаалтаас -ын үржвэр болох бүх тоонуудыг, өөрөөр хэлбэл: -ийг хайчилж ав.
Алхам 4.Жагсаалтын эхний огтлолцоогүй тоог -ээс их байгааг олж, энэ тооны утгыг хувьсагчид онооно.
Алхам 5.Тоо хүрэх хүртэл 3, 4-р алхмуудыг давтана уу.

Алгоритмыг хэрэгжүүлэх үйл явц дараах байдалтай байна.

Алгоритмыг хэрэгжүүлэх үйл явцын төгсгөлд жагсаалтын үлдэгдэл огтлолцоогүй тоонууд нь -аас хүртэлх анхны тооны олонлог байх болно.

Голдбахын таамаглал

"Авга Петрос ба Голдбахын таамаглал" номын хавтас.

Хэдийгээр анхны тоог математикчид нэлээд удаан хугацаанд судалж ирсэн ч үүнтэй холбоотой олон асуудал өнөөдөр шийдэгдээгүй хэвээр байна. Хамгийн алдартай шийдэгдээгүй асуудлуудын нэг бол Голдбахийн таамаглал, үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

• Хоёроос дээш тэгш тоо бүрийг хоёр анхны тооны нийлбэр (Хоёртын Голдбахын таамаглал) гэж илэрхийлж болох нь үнэн үү?
• 5-аас дээш сондгой тоо бүрийг нийлбэрээр илэрхийлж болно гэдэг үнэн үү? гурван энгийнтоо (Голдбахийн гуравдагч таамаглал)?

Гурвалсан Голдбах таамаглал нь хоёртын Голдбах таамаглалын онцгой тохиолдол буюу математикчдийн хэлдгээр гурвалсан Голдбах таамаглал нь хоёртын Голдбах таамаглалаас сул гэж хэлэх хэрэгтэй.

Голдбахын таамаглал 2000 онд зар сурталчилгааны кампанит ажлын ачаар математикийн нийгэмлэгээс гадуур өргөн тархсан. маркетингийн заль мэххэвлэлийн компаниуд Bloomsbury USA (АНУ), Faber and Faber (Их Британи). Эдгээр хэвлэн нийтлэгчид "Авга Петрос ба Голдбахын таамаглал" номоо гаргасны дараа ном хэвлэгдсэн өдрөөс хойш 2 жилийн дотор Голдбахийн таамаглалыг нотолсон хүнд 1 сая ам.долларын шагнал олгохоо амласан. Заримдаа хэвлэн нийтлэгчдийн дурдсан шагналыг Мянганы шагналын асуудлыг шийдвэрлэх шагналтай андуурдаг. Голдбахын таамаглалыг Clay Institute-ээс "мянганы сорилт" гэж ангилдаггүй, гэхдээ энэ нь үүнтэй нягт холбоотой байдаг. Риманы таамаглал- "Мянганы сорилтуудын" нэг.

"Эхний тоо" ном. Хязгааргүйд хүрэх урт зам"

“Математикийн ертөнц” номын хавтас. Анхны тоо. Хязгааргүйд хүрэх урт зам"

Нэмж дурдахад би шинжлэх ухааны алдартай номыг уншихыг зөвлөж байна, тайлбарт нь: "Эхний тоог хайх нь математикийн хамгийн парадокс асуудлуудын нэг юм. Эрдэмтэд хэдэн мянган жилийн турш үүнийг шийдэхийг хичээж ирсэн боловч шинэ хувилбар, таамаглалаар өсөж байгаа ч энэ нууц тайлагдаагүй хэвээр байна. Анхны тоонуудын харагдах байдал нь ямар ч системд хамаарахгүй: тэдгээр нь натурал тоонуудын цувралд аяндаа гарч ирдэг бөгөөд математикчдын дарааллаар нь хэв маягийг тодорхойлох бүх оролдлогыг үл тоомсорлодог. Энэхүү ном нь уншигчдад хувьслыг судлах боломжийг олгоно шинжлэх ухааны санаануудЭрт дээр үеэс өнөөг хүртэл анхны тоог хайх хамгийн сонирхолтой онолуудыг танд танилцуулах болно."

Нэмж хэлэхэд, би энэ номын хоёрдугаар бүлгийн эхнээс иш татах болно: "Эхний тоо бол чухал сэдвүүд, энэ нь биднийг математикийн эхэн үе рүү буцаан авчирдаг бөгөөд дараа нь улам бүр төвөгтэй болж буй замаар биднийг тэргүүн эгнээнд хөтөлдөг. орчин үеийн шинжлэх ухаан. Тиймээс, сэтгэл татам болон дагах нь маш ашигтай байх болно нарийн төвөгтэй түүхАнхны тооны онол: яг хэрхэн хөгжсөн, одоо нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн гэж үздэг баримт, үнэнийг яг хэрхэн цуглуулсан. Энэ бүлэгт бид үе үеийн математикчид анхны тоонуудын харагдах байдлыг урьдчилан таамагласан дүрмийг эрэлхийлэхийн тулд натурал тоонуудыг хэрхэн анхааралтай судалж, эрэл хайгуул ахих тусам улам бүр баршгүй болсон дүрмийг харах болно. Бид мөн илүү нарийвчлан авч үзэх болно түүхэн нөхцөл байдал: математикчид ямар нөхцөлд ажиллаж байсан, тэдний ажилд ид шидийн болон хагас шашны зан үйлийг хэр зэрэг ашигладаг байсан нь огт адилгүй. шинжлэх ухааны аргууд, өнөө үед хэрэглэж байна. Гэсэн хэдий ч 17-18-р зуунд Ферма, Эйлер хоёрт урам зориг өгсөн шинэ үзэл бодлыг аажмаар, хэцүү байдлаар бэлтгэсэн."

• Орчуулга

Анхны тооны шинж чанарыг математикчид анх судалсан Эртний Грек. Пифагорын сургуулийн математикчид (МЭӨ 500-300 он) анхны тооны ид шидийн болон тоон шинж чанарыг сонирхож байв. Тэд төгс, найрсаг тооны тухай санааг анх гаргаж ирсэн.

Төгс тоо нь өөрийн хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 6 тооны хуваагч нь 1, 2, 3. 1 + 2 + 3 = 6. 28 тооны хуваагч нь 1, 2, 4, 7, 14. Мөн 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Хэрэв нэг тооны зохих хуваагчдын нийлбэр нь нөгөө тоотой тэнцүү бол тоонуудыг нөхөрсөг гэж нэрлэдэг ба эсрэгээр - жишээлбэл, 220 ба 284. Төгс тоо нь өөртөө ээлтэй гэж хэлж болно.

МЭӨ 300 онд Евклидийн элементүүдийн үед. хэд хэдэн нь аль хэдийн батлагдсан чухал баримтууданхны тоонуудын тухай. Элементүүдийн IX дэвтэрт Евклид анхны тоо гэдгийг баталсан хязгааргүй тоо. Дашрамд хэлэхэд энэ нь зөрчилдөөнөөр нотлох баримтыг ашиглах анхны жишээнүүдийн нэг юм. Тэрээр мөн арифметикийн үндсэн теоремыг нотолж байна - бүхэл тоо бүрийг анхны тоонуудын үржвэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.

Мөн тэрээр хэрэв 2 n -1 тоо анхны тоо бол 2 n-1 * (2 n -1) тоо төгс болно гэдгийг харуулсан. Өөр нэг математикч Эйлер 1747 онд бүх тэгш төгс тоог ийм хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг харуулж чадсан. Өнөөдрийг хүртэл сондгой төгс тоо байгаа эсэх нь тодорхойгүй байна.

МЭӨ 200 онд. Грекийн Эратосфенчууд анхны тоог олох алгоритмыг Эратосфенийн шигшүүр гэж нэрлэжээ.

Дараа нь Дундад зууны үетэй холбоотой анхны тоог судлах түүхэнд томоохон завсарлага гарсан.

Дараах нээлтүүдийг 17-р зууны эхээр математикч Фермат хийсэн. Тэрээр 4n+1 хэлбэрийн аль ч анхны тоог хоёр квадратын нийлбэр байдлаар онцгойлон бичиж болно гэсэн Альберт Жирардын таамаглалыг баталж, мөн дурын тоог дөрвөн квадратын нийлбэр болгон бичиж болно гэсэн теоремыг томьёолжээ.

Тэр хөгжсөн шинэ аргаолон тооны үржвэрүүдийг ялгаж, 2027651281 = 44021 × 46061 тоон дээр үзүүлэв. Мөн тэрээр Фермагийн жижиг теоремыг баталжээ: хэрвээ p нь анхны тоо бол ямар ч бүхэл тооны a p = модуль p гэсэн үнэн байх болно.

Энэхүү мэдэгдэл нь "Хятадын таамаглал" гэж нэрлэгддэг байсан зүйлийн тал хувийг нотолж байгаа бөгөөд 2000 жилийн тэртээгээс үүссэн: 2 n -2 нь n-д хуваагдах тохиолдолд л n бүхэл тоо анхны байна. Таамаглалын хоёр дахь хэсэг нь худал болсон - жишээлбэл, 2,341 - 2 нь 341-д хуваагддаг боловч 341 тоо нь нийлмэл байдаг: 341 = 31 × 11.

Фермагийн Бяцхан теорем нь тоон онолын бусад олон үр дүнгийн үндэс суурь болж, тоонууд анхны тоо мөн эсэхийг шалгах аргуудын ихэнх нь өнөөг хүртэл ашиглагдаж байна.

Ферма өөрийн үеийнхэнтэй, ялангуяа Марен Мерсенне хэмээх ламтай их захидал бичдэг байв. Тэрээр нэгэн захидалдаа хэрэв n нь хоёрын зэрэгтэй байвал 2 n +1 хэлбэрийн тоонууд үргэлж анхны байх болно гэсэн таамаглал дэвшүүлжээ. Тэрээр үүнийг n = 1, 2, 4, 8 ба 16-д туршиж үзсэн бөгөөд n нь хоёрын зэрэглэл биш тохиолдолд энэ тоо нь анхны тоо байх албагүй гэдэгт итгэлтэй байв. Эдгээр тоонуудыг Фермагийн тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд 100 жилийн дараа л дараагийн тоо болох 2 32 + 1 = 4294967297 нь 641-д хуваагддаг тул анхны тоо биш гэдгийг Эйлер харуулсан.

Хэрэв n нь нийлмэл бол энэ тоо нь өөрөө нийлмэл гэдгийг харуулахад хялбар байдаг тул 2 n - 1 хэлбэрийн тоонууд бас судалгааны сэдэв болсон. Эдгээр тоонуудыг тэрээр маш их судалсан тул Мерсений тоо гэж нэрлэдэг.

Гэхдээ n нь анхны байх 2 n - 1 хэлбэрийн бүх тоо анхных биш. Жишээлбэл, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Үүнийг 1536 онд анх илрүүлсэн.

Олон жилийн турш ийм төрлийн тоонууд математикчдад мэдэгдэж байсан хамгийн том анхны тоог өгдөг байв. M 19-ийг 1588 онд Каталди нотолсон бөгөөд Эйлер M 31 нь анхны анхны тоо гэдгийг батлах хүртэл 200 жилийн турш мэдэгдэж байсан хамгийн том анхны тоо байсан юм. Энэ рекорд дахин нэг зуун жил хадгалагдсан бөгөөд дараа нь Лукас M 127 нь анхны (мөн энэ нь аль хэдийн 39 оронтой тоо) гэдгийг харуулсан бөгөөд үүний дараа компьютер гарч ирснээр судалгаа үргэлжилсэн.

1952 онд M 521, M 607, M 1279, M 2203, M 2281 тоонуудын анхны байдал нь батлагдсан.

2005 он гэхэд 42 Мерсенн анхны тоо олдсон байна. Тэдгээрийн хамгийн том нь M 25964951 нь 7816230 цифрээс бүрдэнэ.

Эйлерийн ажил нь тооны онол, тэр дундаа анхны тоонуудад асар их нөлөө үзүүлсэн. Тэрээр Фермагийн Бяцхан теоремыг өргөтгөж, φ-функцийг нэвтрүүлсэн. 5-р Фермагийн тоог 2 32 +1 хүчин зүйлээр ангилж, 60 хос нөхөрсөг тоог олж, томъёолсон (гэхдээ нотолж чадаагүй) квадрат хуульхарилцан хамаарал.

Тэр арга барилыг анхлан нэвтрүүлсэн хүн математик шинжилгээболон хөгжсөн аналитик онолтоо. Тэрээр зөвхөн гармоник цуваа ∑ (1/n) төдийгүй хэлбэрийн цуваа болохыг баталсан

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Анхны тоонуудын эсрэг талын нийлбэрээр олж авсан үр дүн нь мөн ялгаатай байна. n нөхцлийн нийлбэр гармоник цувралойролцоогоор log(n) болж өсөх ба хоёр дахь эгнээ log[ log(n) ] болж илүү удаан хуваагдана. Энэ нь жишээлбэл, хэмжээ гэсэн үг юм харилцанӨнөөдрийг хүртэл олдсон бүх анхны тоонд зөвхөн 4-ийг өгөх болно, гэхдээ цуваа зөрүүтэй хэвээр байна.

Өнгөц харахад анхны тоонууд бүхэл тоонуудын дунд нэлээд санамсаргүй байдлаар тархсан юм шиг санагддаг. Жишээлбэл, 10000000-аас өмнөх 100 тоон дотор 9 анхны тоо байдаг бөгөөд энэ утгын дараа шууд 100 тоон дотор ердөө 2 байдаг. Гэхдээ том сегментүүдэд анхны тоонууд нэлээд жигд тархсан байдаг. Лежендре, Гаусс нар тэдгээрийг түгээх асуудлыг авч үзсэн. Гаусс нэг удаа найздаа 15 минутын дараа дараагийн 1000 тооны анхны тоог тоолдог гэж хэлсэн байдаг. Амьдралынхаа төгсгөлд тэрээр 3 сая хүртэлх бүх анхны тоог тоолжээ. Лежендре, Гаусс нар том n-ийн хувьд анхны нягт нь 1/log(n) байна гэж адилхан тооцоолсон. Лежендре 1-ээс n хүртэлх анхны тооны тоог тооцоолсон

π(n) = n/(лог(n) - 1.08366)

Гаусс нь логарифмын интегралтай адил юм

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2-оос n хүртэлх интеграцийн интервалтай.

Анхны нягтрал 1/log(n)-ийн тухай өгүүлбэрийг Ерөнхий тархалтын теорем гэж нэрлэдэг. Тэд 19-р зууны турш үүнийг батлахыг хичээсэн бөгөөд Чебышев, Риман нар ахиц дэвшилд хүрсэн. Тэд үүнийг Риманы зета функцийн тэгүүдийн тархалтын талаарх батлагдаагүй таамаглал болох Риманы таамаглалтай холбосон. Анхны тоонуудын нягтыг 1896 онд Хадамард, Валле-Пуссин нар нэгэн зэрэг нотолсон.

Анхны тооны онолд шийдэгдээгүй олон асуулт байсаар байгаа бөгөөд тэдгээрийн зарим нь хэдэн зуун жилийн настай.

• Ихэр анхны таамаглал нь бие биенээсээ 2-оор ялгаатай анхны тооны хязгааргүй тооны хосуудын тухай юм.
• Голдбахын таамаглал: 4-өөс эхэлсэн тэгш тоог хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно.
• n 2 + 1 хэлбэрийн хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг уу?
• n 2 ба (n + 1) 2 хоорондох анхны тоог олох боломжтой юу? (n ба 2n хооронд үргэлж анхны тоо байдгийг Чебышев нотолсон)
• Фермагийн анхны тоо хязгааргүй гэж үү? 4-ээс хойшхи Фермагийн анхны тоо байдаг уу?
• байдаг уу арифметик прогрессямар ч урттай дараалсан анхны тоонуудын? жишээ нь 4 уртын хувьд: 251, 257, 263, 269. Олдсон хамгийн урт нь 26.
• Арифметик прогрессод дараалсан гурван анхны тооны хязгааргүй олон багц байдаг уу?
• n 2 - n + 41 нь 0 ≤ n ≤ 40 анхны тоо. Ийм анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? n 2 - 79 n + 1601 томьёоны ижил асуулт. Эдгээр тоо нь 0 ≤ n ≤ 79-ийн анхны тоо юм.
• n# + 1 хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? (n# нь n-ээс бага бүх анхны тоог үржүүлсний үр дүн)
• n# -1 хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу?
• n хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? + 1?
• n хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? -1?
• хэрэв p анхдагч бол 2 p -1 хүчин зүйлүүдийн дунд үргэлж анхны квадратуудыг агуулаагүй гэж үү?
• Фибоначчийн дараалалд хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг уу?

Хамгийн том ихэр анхны тоо нь 2003663613 × 2 195000 ± 1. Эдгээр нь 58711 цифрээс бүрдэх ба 2007 онд нээгдсэн.

Хамгийн том хүчин зүйлийн анхны тоо (n төрлийн! ± 1) нь 147855! - 1. 142891 цифрээс бүрдэх ба 2002 онд олдсон.

Хамгийн том анхны анхны тоо (n# ± 1 хэлбэрийн тоо) нь 1098133# + 1 юм.

Тоонууд нь ялгаатай: натурал, рационал, рационал, бүхэл ба бутархай, эерэг ба сөрөг, нийлмэл ба анхны, сондгой ба тэгш, бодит гэх мэт. Энэ өгүүллээс та анхны тоо гэж юу болохыг олж мэдэх боломжтой.

Англиар ямар тоонуудыг "энгийн" гэж нэрлэдэг вэ?

Ихэнх тохиолдолд сургуулийн сурагчид математикийн хамгийн энгийн асуултуудын нэг болох анхны тоо гэж юу болох талаар хэрхэн хариулахаа мэддэггүй. Тэд ихэвчлэн анхны тоог натурал тоотой андуурдаг (өөрөөр хэлбэл хүмүүс объектыг тоолохдоо ашигладаг тоонууд, зарим эх сурвалжид тэгээс эхэлдэг бол зарим нь нэгээр эхэлдэг). Гэхдээ энэ нь бүрэн хоёр юм өөр өөр ойлголтууд. Анхны тоо гэдэг нь натурал тоо, өөрөөр хэлбэл нэгээс их, зөвхөн 2 натурал хуваагчтай бүхэл тоо, эерэг тоо юм. Түүнээс гадна эдгээр хуваагчдын нэг нь юм өгсөн дугаар, хоёр дахь нь нэг юм. Жишээлбэл, гурав нь анхны тоо бөгөөд түүнийг үлдэгдэлгүйгээр өөрөө болон нэгээс өөр тоонд хувааж болохгүй.

Нийлмэл тоо

Анхны тоонуудын эсрэг тал нь нийлмэл тоо юм. Тэд бас байгалийн, бас нэгээс том, гэхдээ хоёр биш, харин илүүхуваагч. Жишээлбэл, 4, 6, 8, 9 гэх мэт тоонууд нь байгалийн, нийлмэл, гэхдээ анхны тоо биш юм. Таны харж байгаагаар эдгээр нь ихэвчлэн тэгш тоо боловч бүгд биш юм. Гэхдээ "хоёр" нь тэгш тоо бөгөөд анхны тооны цувралын "эхний тоо" юм.

Дараалал

Анхны тооны цувралыг бүтээхийн тулд бүх натурал тоонуудаас тэдгээрийн тодорхойлолтыг харгалзан сонгох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл та зөрчилдөөнтэй ажиллах хэрэгтэй. Энэ нь байгалийн тус бүрийг авч үзэх шаардлагатай эерэг тоонуудхоёроос илүү хуваагчтай эсэхийг харах. Анхны тооноос бүрдэх цуврал (дараалал) байгуулахыг оролдъё. Жагсаалт нь хоёроор эхэлж, дараа нь гурваас эхэлдэг, учир нь энэ нь зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг. Дөрөв тоог анхаарч үзээрэй. Дөрөв ба нэгээс өөр хуваагчтай юу? Тиймээ, энэ тоо нь 2. Тэгэхээр дөрөв нь анхны тоо биш юм. Тав нь анхны тоо (1 ба 5-аас бусад тоонд хуваагддаггүй), харин зургаа нь хуваагддаг. Ерөнхийдөө хэрэв та бүх тэгш тоонуудыг дагаж мөрдвөл "хоёр"-оос бусад нь аль нь ч анхных биш гэдгийг анзаарах болно. Эндээс бид хоёроос бусад тэгш тоо анхны тоо биш гэж дүгнэж байна. Өөр нэг нээлт: гурваас бусад гурваар хуваагддаг бүх тоо нь тэгш эсвэл сондгой тооноос үл хамааран анхны тоо биш (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 гэх мэт). Тав ба долоод хуваагддаг тоонуудад мөн адил хамаарна. Тэдний олон түмэн нь бас энгийн биш юм. Дүгнэж хэлье. Тиймээс, энгийн хүмүүст нэг оронтой тоонэг ба есөөс бусад бүх сондгой тоо, тэр ч байтугай "хоёр" тоог оруулна. Арав нь өөрөө (10, 20,... 40 гэх мэт) энгийн зүйл биш юм. Хоёр оронтой, гурван оронтой гэх мэт анхны тоонуудыг дээрх зарчмууд дээр үндэслэн тодорхойлж болно: хэрэв тэдгээр нь өөрөөсөө болон нэг хуваагчгүй бол.

Анхны тооны шинж чанарын тухай онолууд

Бүхэл тоо, тэр дундаа анхны тоонуудын шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан байдаг. Энэ бол дээд гэж нэрлэгддэг математикийн салбар юм. Тэрээр бүхэл тоонуудын шинж чанаруудаас гадна алгебрийн, трансцендент тоо, түүнчлэн функцууд янз бүрийн гарал үүсэлтэйЭдгээр тоонуудын арифметиктэй холбоотой. Эдгээр судалгаанд анхан шатны болон алгебрийн аргууд, аналитик болон геометрийг мөн ашигладаг. Тодруулбал, “Тооны онол” нь анхны тоог судалдаг.

Анхны тоо нь натурал тооны "барилгын материал" юм

Арифметикт суурь теорем гэдэг теорем байдаг. Үүний дагуу нэгээс бусад аль ч натурал тоог үржвэрээр дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн хүчин зүйлүүд нь анхны тоо, хүчин зүйлүүдийн дараалал нь өвөрмөц байдаг нь дүрслэх арга нь өвөрмөц гэсэн үг юм. Үүнийг натурал тоог задлах гэж нэрлэдэг үндсэн хүчин зүйлүүд. Энэ үйл явцын өөр нэр бий - тоонуудын хүчин зүйлчлэл. Үүн дээр үндэслэн анхны тоог "барилгын материал", натурал тоог бүтээх "блок" гэж нэрлэж болно.

Анхны тоог хайх. Энгийн байдлын тестүүд

Өөр өөр цаг үеийн олон эрдэмтэд анхны тоонуудын жагсаалтыг олох зарим зарчмуудыг (систем) олохыг хичээсэн. Аткин шигшүүр, Сундартам шигшүүр, Эратосфен шигшүүр гэж нэрлэгддэг системийг шинжлэх ухаан мэддэг. Гэсэн хэдий ч тэд ямар ч чухал үр дүнг өгдөггүй бөгөөд анхны тоог олохын тулд бид ашигладаг энгийн шалгалт. Математикчид бас алгоритм зохиосон. Тэдгээрийг ихэвчлэн анхдагч тест гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, Рабин, Миллер нарын боловсруулсан тест байдаг. Үүнийг криптографчид ашигладаг. Мөн Каял-Аграваль-Саскена тест байдаг. Гэсэн хэдий ч хангалттай нарийвчлалтай хэдий ч тооцоолоход маш хэцүү бөгөөд энэ нь түүний практик ач холбогдлыг бууруулдаг.

Анхны тооны олонлог хязгаартай юу?

Эртний Грекч "Зарчмууд" номондоо анхны тоонуудын багц нь хязгааргүй гэж бичжээ. эрдэмтэн Евклид. Тэрээр хэлэхдээ: "Эхний тоо хязгаартай гэж хэсэгхэн зуур төсөөлцгөөе. Дараа нь тэдгээрийг өөр хоорондоо үржүүлж, үржвэрт нэгийг нэмнэ. Эдгээрээс гарсан тоо энгийн үйлдлүүд, анхны тоонуудын аль нэгэнд нь хувааж болохгүй, учир нь үлдэгдэл нь үргэлж нэг байх болно. Энэ нь анхны тооны жагсаалтад хараахан ороогүй өөр тоо байгаа гэсэн үг юм. Тиймээс бидний таамаглал үнэн биш бөгөөд энэ багц хязгаартай байж болохгүй. Евклидийн нотолгооноос гадна өөр олон зүйл бий орчин үеийн томъёо, XVIII зууны Швейцарийн математикч Леонхард Эйлер өгсөн. Үүний дагуу эхний n тооны нийлбэрийн эсрэг талын нийлбэр нь n тоо нэмэгдэх тусам хязгааргүй өсдөг. Анхны тооны тархалтын тухай теоремын томьёо энд байна: (n) нь n/ln (n) болж өснө.

Хамгийн том анхны тоо хэд вэ?

Яг л Леонард Эйлер тухайн үеийнхээ хамгийн том анхны тоог олж чадсан. Энэ нь 2 31 - 1 = 2147483647. Гэсэн хэдий ч 2013 он гэхэд анхны тоонуудын жагсаалтын өөр нэг хамгийн үнэн зөвийг тооцоолсон - 2 57885161 - 1. Үүнийг Мерсенний тоо гэж нэрлэдэг. Энэ нь ойролцоогоор 17 сая аравтын оронтой оронтой. Таны харж байгаагаар XVIII зууны эрдэмтний олсон тоо үүнээс хэд дахин бага байна. Ийм байх ёстой байсан, учир нь Эйлер энэ тооцоог гараар хийсэн боловч манай үеийнхэнд тусалсан байх. компьютер. Түүгээр ч барахгүй энэ тоог Америкийн нэг факультетийн Математикийн факультетэд авсан. Энэ эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн тоонууд нь Люк-Лемэрийн анхдагч байдлын шалгалтыг давдаг. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухаан үүгээр зогсохыг хүсэхгүй байна. 1990 онд АНУ-д үүсгэн байгуулагдсан Цахим хилийн сан (EFF) олон тооны анхны тоог олоход мөнгөн шагнал санал болгов. Хэрэв 2013 он хүртэл 1, 10 саяын дундаас олсон эрдэмтдэд шагнал гардуулах юм бол аравтын тоо, тэгвэл өнөөдөр энэ тоо 100 саяас 1 тэрбумд хүрчээ. Шагналын хэмжээ 150-250 мянган ам.доллар байна.

Тусгай анхны тооны нэрс

Тодорхой эрдэмтдийн бүтээсэн алгоритмын ачаар олдсон, энгийн байдлын тестийг давсан тоонуудыг тусгай гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн заримыг энд дурдъя:

1. Мерссен.

4. Каллен.

6. Миллс нар.

Дээрх эрдэмтдийн нэрээр нэрлэгдсэн эдгээр тоонуудын энгийн байдлыг дараах туршилтуудыг ашиглан тогтоов.

1. Luc-Lemaire.

2. Пепина.

3. Ризель.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge болон бусад.

Орчин үеийн шинжлэх ухаан үүгээр зогсохгүй, ойрын ирээдүйд хамгийн том анхны тоог олсноор 250,000 долларын шагнал хүртэж чадсан хүмүүсийн нэрийг дэлхий нийт мэдэх болно.