Fsr sl. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг хэрхэн олох вэ

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тууштай бөгөөд өчүүхэн шийдэлтэй байдаг
. Өвөрмөц шийдэл байхын тулд матрицын зэрэглэл байх шаардлагатай байсан бага тооүл мэдэгдэх:

.

Шийдлийн үндсэн систем нэгэн төрлийн систем
баганын вектор хэлбэрийн шийдлийн системийг дуудна
, энэ нь каноник суурьтай тохирч, i.e. дурын тогтмолуудын суурь
ээлжлэн нэгтэй тэнцүү байхад бусад нь тэг болно.

Дараа нь нийтлэг шийдвэрнэгэн төрлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана
- дурын тогтмолууд. Өөрөөр хэлбэл, ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол юм үндсэн системшийдвэрүүд.

Иймээс чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад нэгийн утгыг ээлжлэн өгч бусад бүх зүйлийг тэгтэй тэнцүү болговол ерөнхий шийдлээс үндсэн шийдлүүдийг гаргаж болно.

Жишээ. Системийн шийдлийг олцгооё

Хүлээн авцгаая, дараа нь бид дараах хэлбэрээр шийдлийг авна.

Одоо шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулъя:

.

Ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

Нэг төрлийн системийн шийдэл шугаман тэгшитгэлшинж чанаруудтай:

Өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь дахин шийдэл болно.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь хэдэн зууны турш математикчдыг сонирхож ирсэн. Эхний үр дүнг 18-р зуунд олж авсан. 1750 онд Г.Крамер (1704–1752) квадрат матрицын тодорхойлогчдын тухай бүтээлүүдээ хэвлүүлж, олох алгоритмыг санал болгосон. урвуу матриц. 1809 онд Гаусс арилгах арга гэж нэрлэгддэг шинэ шийдлийн аргыг тодорхойлсон.

Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга нь энгийн хувиргалтыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шаталсан (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулсан явдал юм. Ийм системүүд нь тодорхой дарааллаар үл мэдэгдэх бүх зүйлийг дараалан олох боломжийг олгодог.

(1) системд байгаа гэж үзье.
(энэ нь үргэлж боломжтой байдаг).

(1)

Эхний тэгшитгэлийг нэг нэгээр нь гэж нэрлэгддэг зүйлээр үржүүлэх тохиромжтой тоонууд

үржүүлгийн үр дүнг системийн харгалзах тэгшитгэлүүдээр нэмбэл бид олж авна эквивалент систем, эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлд үл мэдэгдэх зүйл байхгүй болно X 1

(2)

Одоо (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг тохирох тоогоор үржүүлье

,

ба доод тоонуудтай нь нэмснээр бид хувьсагчийг арилгадаг Гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс.

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлж, дараа нь
Бид авах алхам:

(3)

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү биш бол харгалзах тэгш байдал нь зөрчилтэй, систем (1) зөрчилтэй байна. Эсрэгээр, аливаа хамтарсан тооллын системийн хувьд
тэгтэй тэнцүү байна. Тоо (1) системийн матрицын зэрэглэлээс өөр зүйл биш юм.

(1) системээс (3) руу шилжих шилжилтийг дуудна шууд урагшаа Гауссын арга ба (3)-аас үл мэдэгдэхийг олох - эсрэгээр .

Сэтгэгдэл : Өөрчлөлтийг тэгшитгэлүүдээр биш, харин системийн өргөтгөсөн матрицаар (1) хийх нь илүү тохиромжтой.

Жишээ. Системийн шийдлийг олцгооё

.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье:

.

Эхнийхийг 2,3,4-р мөрөнд (-2), (-3), (-2)-аар үржүүлэн нэмье.

.

2 ба 3-р мөрүүдийг сольж, үүссэн матрицад 2-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмээд үржүүлээрэй. :

.

4-р мөрөнд нэмээд 3-р мөрийг үржүүлнэ
:

.

Энэ нь ойлгомжтой
, тиймээс систем нь тогтвортой байна. Үүссэн тэгшитгэлийн системээс

Бид урвуу орлуулалтаар шийдлийг олно:

,
,
,
.

Жишээ 2.Системийн шийдлийг олох:

.

Тогтолцооны хувьд зөрчилтэй байгаа нь ойлгомжтой, учир нь
, А
.

Гауссын аргын давуу тал :

Крамерын аргаас бага хөдөлмөр зарцуулдаг.

Системийн нийцтэй байдлыг хоёрдмол утгагүйгээр тогтоож, шийдлийг олох боломжийг танд олгоно.

Аливаа матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох боломжтой болгодог.

Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системТа товшиж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүх зүйлийн тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Үүний шийдлийг олъё шугаман системтэгшитгэл Эхлэхийн тулд бид та системийн коэффициент матрицыг бичих хэрэгтэй.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд 3 дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад зөрүүг 3 дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасаад зөрүүг гурав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, дөрөв дэх мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 3-аар үржсэнийг хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, тэгэхээр дөрөв, таваас гурав дахь хэсгийг хасвал тэдгээр нь тэг болно.

Энэ матрицын дагуу бичих шинэ системтэгшитгэл.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид Бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ыг илэрхийлээд дараа нь гарсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр илэрхийлэв.

Дараа нь $x_4$ ба $x_5$-ын оронд дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-г олж болно. Эдгээр таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ийн оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ ба $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-ийг олох хэрэгтэй.

Систем мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх хүмүүс гэж нэрлэдэг шугаман нэгэн төрлийн систембүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл. Ийм систем нь дараахь байдлаар харагдаж байна.

Хаана болон ij (би = 1, 2, …, м; j = 1, 2, …, n) - өгсөн тоо; x i- үл мэдэгдэх.

Шугаман систем нэгэн төрлийн тэгшитгэлүргэлж хамтарсан, учир нь r(A) = r(). Энэ нь үргэлж дор хаяж тэгтэй байдаг ( өчүүхэн) уусмал (0; 0; …; 0).

Ямар нөхцөлд нэгэн төрлийн системүүд тэгээс өөр шийдэлтэй болохыг авч үзье.

Теорем 1.Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь үндсэн матрицынх нь зэрэгтэй байвал тэгээс өөр шийдтэй байна. rүл мэдэгдэх зүйлс бага n, өөрөөр хэлбэл r < n.

□ 1). Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг тэгээс өөр шийдэлтэй болгоё. Зэрэглэл нь матрицын хэмжээнээс хэтэрч болохгүй тул мэдээжийн хэрэг, r ≤ n. Болъё r = n. Дараа нь жижиг хэмжээтэй нэг нь n nтэгээс ялгаатай. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн холбогдох систем нь байна цорын ганц шийдвэр: . Энэ нь улиг болсон шийдлээс өөр шийдэл байхгүй гэсэн үг. Тиймээс хэрэв байгаа бол өчүүхэн бус шийдэл, Тэр r < n.

2). Болъё r < n. Дараа нь нэгэн төрлийн систем нь тууштай байх нь тодорхойгүй байна. Тиймээс түүнд байгаа хязгааргүй олонлогшийдвэр, жишээлбэл. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

Нэг төрлийн системийг авч үзье nшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх:

(2)

Теорем 2.Нэг төрлийн систем nшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх (2) нь тодорхойлогч тохиолдолд л тэгээс өөр шийдтэй байна тэгтэй тэнцүү: = 0.

□ Хэрэв систем (2) тэгээс өөр шийдэлтэй бол = 0. Учир нь системд зөвхөн ганц тэг шийдэл байх үед. Хэрэв = 0 бол зэрэглэл rсистемийн үндсэн матриц нь үл мэдэгдэх тооноос бага, i.e. r < n. Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй байдаг, жишээлбэл. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

(1) системийн шийдлийг тэмдэглэе. X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = к нутас болгон .

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд байна дараах шинж чанарууд:

1. Хэрэв шугам (1) системийн шийдэл бол шугам нь (1) системийн шийдэл болно.

2. Хэрэв мөрүүд Тэгээд - системийн шийдэл (1), дараа нь дурын утгын хувьд -тай 1 ба -тай 2 тэдгээрийн шугаман хослол нь (1) системийн шийдэл юм.

Эдгээр шинж чанаруудын үнэн зөвийг системийн тэгшитгэлд шууд орлуулах замаар шалгаж болно.

Томъёолсон шинж чанаруудаас харахад шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл болно.

Системийн шугаман бие даасан шийдвэрүүд д 1 , д 2 , …, e rдуудсан суурь, хэрэв (1) системийн шийдэл бүр эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол бол д 1 , д 2 , …, e r.

Теорем 3.Хэрэв зэрэглэл rкоэффициент матрицууд системийн хувьсагчШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл (1) нь хувьсагчийн тооноос бага байна n, дараа нь (1) системийн шийдлүүдийн үндсэн систем бүрээс бүрдэнэ n–rшийдвэрүүд.

Тийм ч учраас нийтлэг шийдвэрШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем (1) нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана д 1 , д 2 , …, e r- системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн систем (9), -тай 1 , -тай 2 , …, хамт p – дурын тоо, Р = n–r.

Теорем 4.Системийн ерөнхий шийдэл мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн харгалзах системийн ерөнхий шийд (1) ба энэ системийн дурын тодорхой шийдийн (1) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ.Системийг шийднэ үү

Шийдэл.Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь зөвхөн өчүүхэн шийдэлтэй байна: x = y = z = 0.

Жишээ. 1) Системийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох

2) Шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. 1) Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь тэгээс өөр шийдлүүдтэй байна.

Учир нь системд ганц бие даасан тэгшитгэл байдаг

x + y – 4z = 0,

дараа нь бид үүнээс илэрхийлэх болно x =4z- y. Хязгааргүй олон шийдлийг хаанаас авах вэ: (4 z- y, y, z) – энэ бол системийн ерөнхий шийдэл юм.

At z= 1, y= -1, бид тодорхой нэг шийдлийг олж авна: (5, -1, 1). Оруулах z= 3, y= 2, бид хоёр дахь тодорхой шийдлийг олж авна: (10, 2, 3) гэх мэт.

2) Ерөнхий шийдэлд (4 z- y, y, z) хувьсагч yТэгээд zүнэ төлбөргүй байдаг ба хувьсагч X- тэднээс хамааралтай. Шийдлийн үндсэн системийг олохын тулд бид үнэ төлбөргүй хуваарилдаг хувьсах утгууд: хамгийн эхэнд y = 1, z= 0, тэгвэл y = 0, z= 1. Бид шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн шийдлүүдийг (-1, 1, 0), (4, 0, 1) олж авдаг.

Зураглал:

Цагаан будаа. 1 Шугаман тэгшитгэлийн системийн ангилал

Цагаан будаа. 2 Шугаман тэгшитгэлийн системийг судлах

Илтгэлүүд:

· SLAU_-ийн шийдэл матрицын арга

· SLAE_Cramer аргын шийдэл

· Шийдэл SLAE_Gauss арга

· Шийдэл багц математикийн асуудлууд Математика, MathCad: аналитик хайх ба тоон шийдэлшугаман тэгшитгэлийн системүүд

Хяналтын асуултууд :

1. Шугаман тэгшитгэлийг тодорхойлно уу

2. Энэ нь ямар төрлийн системтэй төстэй вэ? мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх?

3. Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн системийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

4. Ямар системийг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

5. Ямар системийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг вэ?

6. Ямар системийг хамтарсан гэж нэрлэдэг вэ?

7. Ямар системийг тодорхой гэж нэрлэдэг вэ?

8. Аль системийг тодорхойгүй гэж нэрлэдэг

9. Шугаман тэгшитгэлийн системийн элементар хувиргалтыг жагсаа

10. Матрицын элементар хувиргалтыг жагсаа

11. Хэрэглээний теоремыг хэл анхан шатны өөрчлөлтүүдшугаман тэгшитгэлийн системд

12. Матрицын аргыг ашиглан ямар системийг шийдэж болох вэ?

13. Крамерын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

14. Гауссын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

15. Жагсаалт 3 боломжит тохиолдлууд, Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед үүсдэг

16. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг тайлбарла

17. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Крамерын аргыг тайлбарла

18. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг тайлбарла

19. Урвуу матрицыг ашиглан ямар системийг шийдэж болох вэ?

20. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэхэд гарч болох 3 тохиолдлыг жагсаа.

Уран зохиол:

1. Дээд математикэдийн засагчдад: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Эд. Н.Ш. Кремер. – М.: НЭГДЭЛ, 2005. – 471 х.

2. Ерөнхий курсЭдийн засагчдад зориулсан дээд математик: Сурах бичиг. / Ред. БА. Ермакова. –М.: INFRA-M, 2006. – 655 х.

3. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математикийн бодлогын цуглуулга: Заавар/ В.И. Ермакова. М.: INFRA-M, 2006. – 574 х.

4. Gmurman V. E. Магадлалын онол ба магмын статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага. - М.: төгссөн сургууль, 2005. – 400 х.

5. Гмурман. V.E Магадлалын онол ба математикийн статистик. - М.: Дээд сургууль, 2005 он.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Дасгал, бодлого дахь дээд математик. 1, 2-р хэсэг. – М.: Оникс 21-р зуун: Энх тайван ба боловсрол, 2005. – 304 х. 1-р хэсэг; – 416 х. 2-р хэсэг.

7. Эдийн засгийн математик: Сурах бичиг: 2 хэсэг / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Брайлов, И.Г. Шандара. – М.: Санхүү, статистик, 2006 он.

8. Шипачев В.С. Дээд математик: Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. их дээд сургуулиуд - М.: Дээд сургууль, 2007. - 479 х.

Холбогдох мэдээлэл.

Бид технологио үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийн техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна олон зүйл байх болно шинэ мэдээлэл, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна хүн бүрсистемийн тэгшитгэл тэг байна. Жишээлбэл:

Энэ нь туйлын тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Юуны өмнө таны анхаарлыг татдаг зүйл бол энэ юм өчүүхэншийдэл . Өчүүхэн гэдэг нь нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд шоудахгүй гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг академик биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ...Яагаад бутыг тойрон цохих вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар үүнийг авчирна шаталсан харах. Энд босоо бар болон тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу чөлөөт гишүүдЭцсийн эцэст та тэгтэй юу ч хийсэн хамаагүй тэг хэвээр байх болно:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.

Гурав дахь мөрийг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг , мөн Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хариулт:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зүгээр л өчүүхэн шийдэл, Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(В энэ тохиолдолд 3) хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).

Радиогоо дулаацуулж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулцгаая.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаврыг задлан шинжилье:

Жишээ 7

Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл: системийн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя:

(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би олон удаа тулгарч байсан техникт анхаарлаа хандуулж, дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг олгодог.

(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.

(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.

Үүний үр дүнд стандарт алхамын матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.

- үндсэн хувьсагч;
- чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2-р тэгшитгэлээс:

- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Харж буй жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.

Гурвалсан утгыг орлуулъя ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, хүлээн авсан вектор бүрийг шалгахыг зөвлөж байна - энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ энэ нь таныг алдаанаас бүрэн хамгаалах болно.

Гурвалсан утгын төлөө векторыг ол

Тэгээд эцэст нь гурвын хувьд Бид гурав дахь векторыг авна.

Хариулт: , Хаана

зайлсхийх хүсэлтэй хүмүүс бутархай утгуудгурвалсан гэж үзэж болно мөн ижил төстэй хэлбэрээр хариулт аваарай:

Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая Тэгээд өөрөөсөө асууя: цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн энгийн бөгөөд тийм ч таатай биш байсан гэдгийг би хэлэх ёстой.

Хоёр дахь шийдэл:

Санаа нь оролдоод үз л дээ бусад суурь хувьсагчдыг сонгох. Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг байж болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе:

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь SLAE-ийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг олоход зориулагдсан. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална (шийдэл жишээг үзнэ үү).

Зааварчилгаа. Матрицын хэмжээсийг сонгох:

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шинж чанарууд

Теорем. m=n тохиолдолд систем нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байна.

Теорем. Системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
Тодорхойлолт. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багцыг гэнэ шийдлийн үндсэн систем, хэрэв энэ олонлог нь шугаман бие даасан шийдлүүдээс бүрдэх бөгөөд системийн аливаа шийдэл нь эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол юм.

Теорем. Хэрэв системийн матрицын r зэрэглэл нь үл мэдэгдэх n тооноос бага байвал (n-r) шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн систем бий болно.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм

1. Матрицын зэрэглэлийг олох.
2. Бид үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг сонгодог. Бид хамааралтай (үндсэн) болон чөлөөт үл мэдэгдэхийг ялгадаг.
3. Коэффициент нь минорын суурьт ороогүй системийн тэгшитгэлүүдийг бид хасдаг, учир нь тэдгээр нь бусдын үр дагавар юм (минорын үндсэн дээрх теоремын дагуу).
4. Бид чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг шилжүүлдэг баруун тал. Үүний үр дүнд бид тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай r үл мэдэгдэх r тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
5. Бид үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар үүссэн системийг шийддэг. Бид чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан хамааралтай хувьсагчдыг илэрхийлдэг харилцааг олдог.
6. Хэрэв матрицын зэрэглэл нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү биш бол бид олно үндсэн шийдэлсистемүүд.
7. Rang = n тохиолдолд бидэнд өчүүхэн шийдэл байна.

Жишээ. Векторуудын системийн суурийг (a 1, a 2,...,a m) олж, суурь дээр үндэслэн векторуудыг эрэмбэлж, илэрхийл. Хэрэв 1 =(0,0,1,-1), 2 =(1,1,2,0), 3 =(1,1,1,1), 4 =(3,2,1) байвал ,4), 5 =(2,1,0,3).
Системийн үндсэн матрицыг бичье.