Бид шугаман тэгшитгэлийн системтэй үргэлжлүүлэн харьцаж байна. Одоогоор бид өвөрмөц шийдэлтэй системүүдийг авч үзсэн. Ийм системийг ямар ч аргаар шийдэж болно: орлуулах аргаар("сургууль"), Крамерын томъёоны дагуу матрицын арга , Гауссын арга. Гэсэн хэдий ч практик дээр өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна.

1) систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);

2) систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургууль" арга нь хариултанд хүргэх болно, гэхдээ дотор дээд математикГауссын аргыг хэрэглэх нь түгээмэл байдаг дараалсан арилгахүл мэдэгдэх. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Гауссын арга

Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Эхлээд системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) байх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Ийм нэг теорем байдаг: “Хэрэв систем дэх тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, тэгвэл систем нь нэг бол нийцэхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй болно."Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.

Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан үүнийг багасгадаг. шаталсан харах:

(1). Зүүн дээд алхам дээр бид (+1) эсвэл (-1) авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Бид үүнийг хийсэн. Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж (-1) үржүүлнэ.

(2). Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

(3). Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна. Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр хүссэн нэгийг (-1) авна. Гурав дахь мөрийг (-3) хуваана.

(4). Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ. Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх.

. Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой.

Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье

Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:

Хэрэв энгийн хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авбал , Хаанаλ нь тэгээс өөр тоо бол систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).

Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Та дараах хэллэгийг бичих хэрэгтэй.

"Эхний хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авсан λ ≠ 0 " Хариулт: "Системд шийдэл байхгүй (тогтворгүй)."

Энэ тохиолдолд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй, шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Таны шийдэл нь манай шийдлээс ялгаатай байж болохыг бид дахин сануулж байна. Гауссын арга нь тодорхойгүй байна хоёрдмол утгагүй алгоритм, үйл ажиллагааны дараалал, үйлдлүүд нь тухайн тохиолдол бүрт бие даан таах ёстой.

Бас нэг техникийн шинж чанаршийдэл: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно тэр даруй, хаана гэх мэт мөр гармагц λ ≠ 0 . Ингээд авч үзье нөхцөлт жишээ: эхний хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё

Энэ матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид үндсэн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. λ ≠ 0 . Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.

Шугаман тэгшитгэлийн систем ямар ч шийдэлгүй бол энэ нь бараг л оюутанд бэлэг болно. богино шийдэл, заримдаа шууд утгаараа 2-3 үйлдэл хийдэг. Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй асуудал нь илүү урт юм.

Жишээ 3:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь ямар ч тохиолдолд биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.

Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Ингээд л та нар айсан.

(1). Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд байгаа хоёр тоо байгаа тул бид баяртай байна гэдгийг анхаарна уу. Хоёрдахь мөрөнд бид эхний мөрийг (-4) үржүүлж нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг (-2) үржүүлж нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж (-1) үржүүлнэ.

Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийх боломжтой боловч туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Бид зүгээр л нэмнэ: дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж (–1) -ээр үржүүлнэ. яг ийм байна!

(2). Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно. Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн , гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд хоёр дахь мөрийг (–1) үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваахад гурван ижил шугам гарах нь зүйтэй юм. Үүний дараа л хоёрыг нь хас. Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.

Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.

Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье.

"Энгийн" цорын ганц шийдэлэнд системийн үнэр алга. Хаана муу шугам λ ≠ 0, бас үгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл.

Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно. -тэй тэгшитгэлийн системийн хувьд хязгааргүй тоошинэ ойлголтууд гарч ирнэ: "үндсэн хувьсагч"Тэгээд "чөлөөт хувьсагч". Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлъё үндсэн, аль хувьсагч - үнэгүй. Нэр томъёог нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй шугаман алгебр, ийм байдаг гэдгийг санаарай үндсэн хувьсагчидТэгээд чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг. IN энэ жишээндүндсэн хувьсагчид нь x 1 ба x 3 .

Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: x 2 ба x 4 - чөлөөт хувьсагч.

Одоо танд хэрэгтэй Бүгдүндсэн хувьсагчидилэрхийлэх зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч. Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлдэг x 3:

Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: . Эхлээд бид олсон илэрхийллийг үүн дээр орлуулна:

Энэ нь үндсэн хувьсагчийг илэрхийлэх хэвээр байна x 1 чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан x 2 ба x 4:

Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагч ( x 1 ба x 3) илэрхийлсэн зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч ( x 2 ба x 4):

Үнэндээ, ерөнхий шийдэлбэлэн:

Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ? Юуны өмнө чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. IN энэ тохиолдолдчөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.

Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийлэл эхний болон гуравдахь байрлалд бичих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Системийн ерөнхий шийдлээс хязгааргүй олон зүйлийг олж болно хувийн шийдлүүд. Энэ нь маш энгийн. Чөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг өгч болох учраас ингэж нэрлэдэг ямар ч эцсийн утгууд . Хамгийн түгээмэл утгууд нь тэг утгууд юм, учир нь энэ нь олж авах хамгийн хялбар хэсэгчилсэн шийдэл юм.

орлуулах ( x 2 = 0; x 4 = 0) ерөнхий шийдэлд бид тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

, эсвэл утга бүхий чөлөөт хувьсагчдад тохирох тодорхой шийдэл ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Өөр нэг сайхан хос бол нэгийг орлъё ( x 2 = 1 ба x 4 = 1) ерөнхий шийдэлд:

, өөрөөр хэлбэл (-1; 1; 1; 1) - өөр тодорхой шийдэл.

Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэлУчир нь бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадна ямар чутга.

Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой хүн бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг (-1; 1; 1; 1) авч, үүнийг орлуул. зүүн таланхны системийн тэгшитгэл бүр:

Бүх зүйл нэгдэх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.

Хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх, i.e. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог. Тиймээс юуны түрүүнд ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг.

Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ ?

Энэ нь хэцүү биш боловч урт хугацааны өөрчлөлтийг шаарддаг. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Хүлээн авсан баруун талсистемийн анхны анхны тэгшитгэл.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн эхний хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Тэгээд дараа нь - системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн талд. Энэхүү шалгалт нь илүү урт хугацаа шаардагдах боловч ерөнхий шийдлийн 100% үнэн зөвийг баталгаажуулдаг. Үүнээс гадна зарим ажил нь ерөнхий шийдлийг шалгахыг шаарддаг.

Жишээ 4:

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг олоорой. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу.

Жишээ 5:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

(1). Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.

(2). Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж (-5) үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж (-7) үржүүлнэ.

(3). Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана. Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм:

Үндсэн хувьсагч нь алхам дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.

Энд алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна: .

(4). Урвуу хөдөлгөөн. Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.

Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.

, , ,

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.

Тиймээс нэг чөлөөт хувьсагчтай ерөнхий шийдэл x 4:

Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч x 4 дангаараа дөрөвдүгээр байрт бичигдэж байна. , , үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд мөн байрандаа байна.

Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая.

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд үндсэн хувьсагчуудыг , , орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул зөв ерөнхий шийдийг олно.

Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Бүх хувьсагчийг энд дангаар илэрхийлнэ чөлөөт хувьсагч x 4. Тархиа шатаах шаардлагагүй.

Болъё xДараа нь 4 = 0 - анхны тодорхой шийдэл.

Болъё xДараа нь 4 = 1 - өөр нэг хувийн шийдэл.

Хариулт:Ерөнхий шийдэл: . Хувийн шийдлүүд:

Мөн .

Жишээ 6:

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Бид ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгасан тул хариултанд итгэж болно. Таны шийдэл манай шийдлээс ялгаатай байж магадгүй. Гол нь ерөнхий шийдвэрүүд давхцаж байгаа. Олон хүмүүс шийдэлд тааламжгүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргыг буцаахдаа бид ихэвчлэн эргэлздэг байсан. энгийн бутархай. Практикт энэ нь үнэхээр тийм тохиолдол байдаг бөгөөд энэ нь фракц байхгүй тохиолдолд хамаагүй бага байдаг. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн шинж чанарууд дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно.

Жишээлбэл, ерөнхий шийдэл: . Энд үндсэн хувьсагчдын нэг нь тэнцүү байна тогтмол тоо: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.

Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо илүү тоо хэмжээхувьсагч. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг. Та стандарт алгоритмыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.

Зөвлөмжөө давтан хэлье - системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд таатай байхын тулд та дор хаяж хэдэн арван системийг сайн шийдэх хэрэгтэй.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:

(1) Эхний болон гурав дахь мөрүүдийг сольсон.

(2) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, (-6) үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмээд (-7) үржүүлсэн.

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, (-1)-ээр үржүүлсэн.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авдаг, Хаана λ ≠ 0 .Энэ нь систем тогтворгүй байна гэсэн үг.Хариулт: шийдэл байхгүй.

Жишээ 4:

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:

(1). 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв.

Хоёр дахь алхамын нэгж байхгүй , хувиргах (2) нь түүнийг олж авахад чиглэгддэг.

(2). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(3). Хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг сольсон (бид үр дүнд нь -1-ийг хоёр дахь алхам руу шилжүүлсэн)

(4). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, 3-аар үржүүлсэн.

(5). Эхний хоёр мөрөнд тэмдэг нь өөрчлөгдсөн (-1-ээр үржүүлсэн), гурав дахь мөр нь 14-т хуваагдсан.

Урвуу:

(1). Энд нь үндсэн хувьсагч (алхам дээр байгаа) ба – чөлөөт хувьсагч (алхам аваагүй хүмүүс).

(2). Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.

Гурав дахь тэгшитгэлээс: .

(3). Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье., хувийн шийдлүүд:

Хариулт: Ерөнхий шийдэл:

Нарийн төвөгтэй тоо

Энэ хэсэгт бид ойлголтыг танилцуулах болно нийлмэл тоо, авч үзэх алгебрийн, тригонометрТэгээд экспоненциал хэлбэрнийлмэл тоо. Мөн бид нийлмэл тоонуудтай үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг сурах болно: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх, үндэс гаргах.

Нарийн төвөгтэй тоонуудыг эзэмшихийн тулд математикийн дээд курсээс тусгай мэдлэг шаардагддаггүй бөгөөд материалыг сургуулийн сурагчдад хүртэл ашиглах боломжтой. Гүйцэтгэх чадвартай байхад л хангалттай алгебрийн үйлдлүүд"ердийн" тоогоор, мөн тригонометрийг санаарай.

Эхлээд "энгийн" тоонуудыг санацгаая. Математикт тэдгээрийг нэрлэдэг олон бодит тоо мөн үсгээр тодорхойлогддог R,эсвэл R (өтгөрүүлсэн). Бүх бодит тоонууд танил тооны шулуун дээр сууна:

Бодит тоонуудын бүлэг нь маш олон янз байдаг - энд бүхэл тоо, бутархай, болон иррационал тоо. Үүний зэрэгцээ, цэг бүр тооны тэнхлэгзарим бодит тоотой тохирч байх ёстой.

Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэл(SLAE) бол шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв нь гарцаагүй. Асар их тооМатематикийн бүх салбаруудын асуудлуудыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийн шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

авах оновчтой аргашугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд,
сонгосон аргын онолыг судлах,
Нарийвчилсан шийдлүүдийг судалж шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй ердийн жишээнүүдболон даалгавар.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Эхлээд бүгдийг нь өгье шаардлагатай тодорхойлолтууд, ойлголт, тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. Нэгдүгээрт, бид Крамерын аргад анхаарлаа хандуулах болно, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах болно, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжих болно ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцахгүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан байна. SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Кронекер-Капелли теоремыг томъёолъё. Матрицын минор суурь гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдлийг (хэрэв тэдгээр нь нийцтэй бол) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Бид нэгэн төрлийн ба ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулах нь гарцаагүй гетероген системүүдшугаман алгебрийн тэгшитгэл. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулж болох тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно янз бүрийн даалгавар, шийдэлд SLAE үүсдэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагчид - коэффициентүүд (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE бичлэгийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэр Энэ тэгшитгэлийн системийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матриц, - баганын матриц чөлөөт гишүүд.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг тусгаарладаг. босоо шугамүлдсэн баганаас, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй бол түүнийг дуудна хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тийм биш бол тэгтэй тэнцүү, дараа нь бид ийм SLAE гэж нэрлэх болно анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг нэгэн төрлийн систембүх үл мэдэгдэх хувьсагчид тэг байна.

Бид ийм SLAE-г судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэлийг авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь авсан. дараах тэгшитгэл, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба - орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёог ашиглан тооцдог . Крамерын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олдог.

Жишээ.

Крамерын арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоолъё (бид А матрицын эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар тодорхойлогчийг авна) :

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

А матриц нь урвуу байдаг тул урвуу матриц байдаг. Хэрэв тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн матриц-баганыг олох томьёо гарна. Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг ингэж олж авсан юм.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргыг ашиглан шийдэж болно. Ашиглах замаар урвуу матрицгэж энэ системийн шийдлийг олж болно .

-аас матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя алгебрийн нэмэлтүүдА матрицын элементүүд (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчдын матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц баганад (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгарч буй гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг. квадрат матрицуудГураваас дээш захиалга.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасна, зөвхөн үл мэдэгдэх хувьсагч x n хүртэл. сүүлчийн тэгшитгэлд хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш харвалт хийж дууссаны дараа сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг олж, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг тооцоолж, эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. Гауссын аргын урвуу.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь, -ээр үржүүлсэнийг нэмнэ дөрөв дэх тэгшитгэл n-р тэгшитгэлд хоёр дахь үржвэрийг нэмье, гэх мэтээр бид хоёр дахь үржвэрийг нэмье. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлж, зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талд бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тус нэмж, үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун талд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Энэ нь Гауссын аргын урагшлах цохилтыг дуусгаж, бид урвуу цохилтыг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, улмаар Гауссын аргын урвуу үйлдлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

IN ерөнхий тохиолдол p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцахгүй байна:

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин ба дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь хэзээ нийцдэг, хэзээ нийцэхгүй вэ гэсэн асуултын хариултыг өгнө Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. , Зэрэг(A)=Зэрэглэл(T).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Кронекер-Капелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэдэг аргыг ашиглая. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Түүнтэй хиллэдэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Эргээд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэгтэй тул гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A), тиймээс Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ SLAE-ийн нийцтэй байдал тогтоогдвол хэрхэн шийдлийг олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн тухай теорем хэрэгтэй.

Бага хамгийн дээд тушаалтэгээс ялгаатай А матрицыг нэрлэнэ үндсэн.

Минор суурь гэсэн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн суурь минор байж болно;

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэг биш тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бол матрицын сонгосон минор суурь үүсгэдэггүй бүх мөр (ба багана) элементүүдийг шугаман байдлаар харгалзах мөр (ба багана) элементүүдээр илэрхийлнэ. суурь бага.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу хэлэх вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч бага баазыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндэслэлийг үүсгэхгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх тул хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь зэрэглэлийн цорын ганц минор нь тэг учраас мөн хоёртой тэнцүү

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Rank(A)=Rank(T)=2 тул Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.

Бага зэрэг үндэслэл болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.

Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь суурь минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг.

Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг олж авсан. Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.

Хариулт:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо r бол бага тооүл мэдэгдэх хувьсагч n, дараа нь тэгшитгэлийн зүүн талд бид үндсэн суурь болох нөхцөлүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг системийн тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r) гэж нэрлэдэг гол.

Баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r хэсэг) гэж нэрлэдэг үнэгүй.

Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч нь дур зоргоороо утгыг авч чаддаг бол үл мэдэгдэх үндсэн r хувьсагч нь үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно гэж бид үзэж байна. Тэдний илэрхийлэлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үүссэн SLAE-ийг шийдэх замаар олж болно.

Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх аргаар. 1 1 = 1-ийг эхний эрэмбийн 0 биш минор гэж авъя. Энэ насанд хүрээгүй хоёр дахь зэрэглэлийн 0-ээс бага насны хүүхдийг хайж эхэлцгээе.

Ингэж бид хоёр дахь эрэмбийн 0-ээс бага насны хүүхдийг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хүрээтэй насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.

Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн олсон тэг биш минорыг бид суурь болгон авдаг.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн суурьт хамаарах нэр томъёог орхиж, үлдсэнийг нь шилжүүлдэг. эсрэг шинж тэмдэгбаруун талд:

Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид x 2 ба x 5 дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид хүлээн зөвшөөрнө. , Хаана - дурын тоо. Энэ тохиолдолд SLAE нь маягтыг авна

Үүссэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.

Тиймээс, .

Хариултдаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг тодорхойлно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид минор суурь сонгож, сонгосон минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь насанд хүрээгүй тушаал тоотой тэнцүү байнаҮл мэдэгдэх хувьсагчид бол SLAE нь бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олдог өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг өгнө. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олдог.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг эхлээд тууштай эсэхийг шалгахгүйгээр ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжтой бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Үзээрэй дэлгэрэнгүй тайлбарНийтлэлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системүүдийн талаар ярих болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Шийдлийн үндсэн систем n үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн (n – r) шугаман бие даасан шийдлүүдийн цуглуулга бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид шугаман байдлаар тэмдэглэвэл бие даасан шийдлүүднэгэн төрлийн SLAE нь X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) нь n-ээс 1 хэмжээтэй баганын матрицууд), дараа нь ерөнхий шийдэл Энэхүү нэгэн төрлийн системд C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмол коэффициент бүхий шийдлийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр дүрслэгдсэн болно, өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тогтоодог боломжит шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмолуудын утгуудын багцыг авч томъёог ашиглан бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тодорхойлж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Үл мэдэгдэх зүйлсийг үнэгүй өгье хувьсах утгууд 1,0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцоолж, үүссэн шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан шийднэ. Үүний үр дүнд үндсэн системийн эхний шийдэл болох X (1) гарч ирнэ. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0,...,0.1 утгыг оноож, үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) -ийг авна. Ийм байдлаар нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулж, ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийд нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл ба анхны хувилбарын тодорхой шийдэл юм. гетероген SLAE, үүнийг бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,0,...,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгуудыг тооцоолох замаар олж авдаг.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг олъё.

Хоёр дахь эрэмбийн минор, тэгээс ялгаатай нь олдсон. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Авцгаая. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэе.

Анхны SLAE-ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нэр томъёог үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Үндсэн системЭнэхүү SLAE-ийн шийдлүүд нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний суурь минорын дараалал нь хоёртой тэнцүү байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 утгуудыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

Системийн хязгааргүй тооны шийдлүүдийг системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэгдэх хэлбэрээр товч бичдэг.

Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно.

Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлох хэрэгтэй үндсэн, ямар хувьсагч үнэгүй. Шугаман алгебрийн нэр томъёонд өөрийгөө зовоох шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санаарай үндсэн хувьсагчидТэгээд чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг.
Энэ жишээнд үндсэн хувьсагч нь ба байна

Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: – чөлөөт хувьсагч.

Одоо танд хэрэгтэй Бүгд үндсэн хувьсагчидилэрхийлэх зөвхөн дамжуулан чөлөөт хувьсагч.

Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ.

Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: . Эхлээд бид олсон илэрхийллийг үүн дээр орлуулна:

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэх хэвээр байна:

Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагчдыг ( ба ) илэрхийлнэ зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч:

Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:

Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ?
Чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагчийг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.
.

Системийн ерөнхий шийдлээс хязгааргүй олон зүйлийг олж болно хувийн шийдлүүд. Энэ нь маш энгийн.

Үнэгүй хувьсагчийг өгч болно аливаа үнэт зүйлс. Тодорхой шийдэл нь олж авахад хамгийн хялбар байдаг тул хамгийн алдартай утгууд нь тэг утгууд юм. Ерөнхий шийдлийг орлъё:

- хувийн шийдэл.

Өөр нэг сайхан хос бол тэдгээрийг ерөнхий шийдэл болгон орлъё:

- өөр нэг хувийн шийдэл.

Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэл(Бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадах тул ямар чүнэ цэнэ)

Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой хүн бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг авч, анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу.

Бүх зүйл нэгдэх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.

Гэхдээ хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх явдал юм. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог.

Тиймээс ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг. Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ ?

Энэ нь хэцүү биш, гэхдээ нэлээд уйтгартай. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:

Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Жишээ 4

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм. Шийдвэр гаргах үйл явцад юу чухал вэ? Анхаарал, дахин анхаарал.Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Материалыг бататгах хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.
(2) Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -5-аар үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -7-оор үржүүлнэ.
(3) Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана.

Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм:

Үндсэн хувьсагч нь алхам дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.
Алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна:

Урвуу:
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.
Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.

Тийм ээ, энгийн бутархайг тооцдог тооны машин тохиромжтой хэвээр байна.

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч дангаараа дөрөв дэх байрандаа сууж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнд үүссэн илэрхийллүүд , , мөн ээлжийн байраа авчээ.

Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая. Энэ ажил нь хар арьстнууд, гэхдээ би үүнийг аль хэдийн хийчихсэн байгаа тул барьж аваарай =)

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд гурван баатрыг , , орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул ерөнхий шийдийг зөв олно.

Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Энд байгаа цорын ганц үнэгүй хувьсагч бол тогооч юм. Тархиа шатаах шаардлагагүй.

Тэгвэл байг - хувийн шийдэл.
Тэгвэл байг - өөр нэг хувийн шийдэл.

Хариулт:Ерөнхий шийдэл: , хувийн шийдлүүд: , .

Би хар арьстны тухай санах ёсгүй байсан, учир нь янз бүрийн гунигтай санаанууд толгойд орж ирэн, Ку Клукс Кланы гишүүд цагаан хувцастай хөлбөмбөгийн талбайн дундуур хар хөлбөмбөгчний араас гүйж байсан хүүхэлдэйн киног санав. Би чимээгүйхэн суугаад инээмсэглэнэ. Ямар их анхаарал сарниулдгийг чи мэднэ...

Маш олон тооны математикууд хортой, маш төстэй эцсийн жишээбие даасан шийдвэр гаргахын тулд.

Жишээ 6

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Би ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгаж үзсэн тул хариултанд итгэж болно. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй, гол зүйл бол ерөнхий шийдлүүд давхцаж байгаа явдал юм.

Магадгүй олон хүмүүс шийдлүүдийн таагүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн бутархай хэсгүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэхээр тийм тохиолдол байдаг бөгөөд энэ нь фракц байхгүй тохиолдолд хамаагүй бага байдаг. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн зарим шинж чанарууд дээр би анхаарлаа хандуулах болно.

Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно, жишээлбэл: . Энд үндсэн хувьсагчийн нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.

Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна. Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг бөгөөд стандарт алгоритмыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг аажмаар багасгах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.

Мэдээжийн хэрэг, би зөвлөгөөндөө давтан хэлье - системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд таатай байхын тулд та дор хаяж хэдэн арван системийг шийдэх чадвартай байх ёстой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Эхний болон гурав дахь мөрүүдийг сольсон.
(2) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -6-аар үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -7-оор үржүүлсэн.
(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авдаг , Хаана , энэ нь систем тогтворгүй байна гэсэн үг.
Хариулт: шийдэл байхгүй.

Жишээ 4: Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1) 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмэв.

Хоёр дахь алхамын нэгж байхгүй , хувиргах (2) нь түүнийг олж авахад чиглэгддэг.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -3-аар үржүүлсэн.
(3) Хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг сольсон (бид үр дүнд нь -1-ийг хоёр дахь алхам руу шилжүүлсэн)
(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 3-аар үржүүлсэн.
(5) Эхний хоёр мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн), гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн.
- үндсэн хувьсагч (алхам дээр байгаа хүмүүс), – чөлөөт хувьсагч (алхам аваагүй хүмүүс).

1. Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг ижил үндсэн аргуудыг ашиглан шийддэг уламжлалт системүүдтэгшитгэл: орлуулах арга, тэгшитгэл нэмэх арга ба график арга. График тайлбарын талаархи мэдлэг шугаман системүүдязгуурын тоо, тэдгээрийн оршин тогтнох тухай асуултанд хариулахад хялбар болгодог.

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй a параметрийн бүх утгыг ол.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Шийдэл.

Энэ ажлыг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

1 арга.Бид шинж чанарыг ашигладаг: x-ийн өмнөх коэффициентүүдийн харьцаа нь y-ийн өмнөх коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү боловч чөлөөт нөхцлийн харьцаатай тэнцүү биш бол системд шийдэл байхгүй болно (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Дараа нь бидэнд байна:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 эсвэл систем

(ба 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Эхний тэгшитгэлээс a 2 = 4, тиймээс a ≠ 2 гэсэн нөхцөлийг харгалзан бид хариултыг авна.

Хариулт: a = -2.

Арга 2.Бид орлуулах аргаар шийддэг.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Эхний тэгшитгэлд хассаны дараа нийтлэг үржүүлэгч y хаалтанд байвал бид дараахыг авна.

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Хэрэв эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол системд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл

(ба 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Мэдээжийн хэрэг, a = ±2, гэхдээ хоёр дахь нөхцөлийг харгалзан үзэхэд хариулт нь зөвхөн хасах хариулттай ирдэг.

Хариулт: a = -2.

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй a параметрийн бүх утгыг ол.

(8х + ай = 2,
(сүх + 2 у = 1.

Шийдэл.

Шинж чанараас харахад x ба y-ийн коэффициентүүдийн харьцаа ижил бөгөөд системийн чөлөөт гишүүдийн харьцаатай тэнцүү бол энэ нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй (өөрөөр хэлбэл a/a 1 = b/) байна. b 1 = c/c 1). Тиймээс 8/a = a/2 = 2/1. Үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийдэж, энэ жишээн дээрх хариулт нь a = 4 болохыг олж мэднэ.

Хариулт: a = 4.

2. Системүүд рационал тэгшитгэлпараметртэй

Жишээ 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Шийдэл.

Системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлье.

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Эхнийхээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасвал 5|x| болно = 4 – a. Энэ тэгшитгэл нь a = 4-ийн хувьд өвөрмөц шийдэлтэй байх болно. Бусад тохиолдолд энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдтэй байна (< 4) или ни одного (при а > 4).

Хариулт: a = 4.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй a параметрийн бүх утгыг ол.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Шийдэл.

Бид энэ системийг график аргаар шийдэх болно. Ийнхүү системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн график нь Ой тэнхлэгийн дагуу нэг нэгж сегментээр дээш өргөгдсөн парабол юм. Эхний тэгшитгэл нь y = -x шугамтай параллель шугамуудын багцыг зааж өгдөг (Зураг 1). y = -x + a шулуун координаттай (-0.5, 1.25) цэг дээр параболд шүргэгч байвал систем шийдэлтэй болох нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Эдгээр координатуудыг x ба y-ийн оронд шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулснаар бид a параметрийн утгыг олно.

1.25 = 0.5 + a;

Хариулт: a = 0.75.

Жишээ 5.

Орлуулах аргыг ашиглан a параметрийн ямар утгаар систем өвөрмөц шийдэлтэй болохыг олж мэд.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Шийдэл.

Эхний тэгшитгэлээс бид y-г илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг k ≠ 0-ийн өвөрмөц шийдэлтэй kx = b хэлбэрт оруулъя. Бидэнд:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Бид a 2 + 3a + 2 гурвалсан квадратыг хаалтны үржвэр болгон төлөөлдөг

(a + 2)(a + 1), зүүн талд нь хаалтнаас х-г гаргаж авдаг.

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Мэдээжийн хэрэг, 2 + 3a нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй, тиймээс,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0 бөгөөд энэ нь a ≠ 0 ба ≠ -3 гэсэн утгатай.

Хариулт: a ≠ 0; ≠ -3.

Жишээ 6.

График шийдлийн аргыг ашиглан a параметрийн ямар утгаар систем өвөрмөц шийдэлтэй болохыг тодорхойлно.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Шийдэл.

Нөхцөлд үндэслэн бид эх цэг дээр төвтэй, 3 радиустай тойрог байгуулна нэгж сегмент, яг энэ нь системийн эхний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

x 2 + y 2 = 9. Системийн хоёр дахь тэгшитгэл (y = |x| + a) нь тасархай шугам юм. Ашиглах замаар зураг 2бид бүгдийг тооцдог боломжит тохиолдлуудтойрогтой харьцуулахад түүний байршил. a = 3 гэдгийг харахад амархан.

Хариулт: a = 3.

Асуулт хэвээр байна уу? Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Гэсэн хэдий ч практикт өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна:

– Систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);
– Систем нь тогтвортой бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Анхаарна уу : "Тууштай байдал" гэсэн нэр томъёо нь системд ядаж тодорхой шийдэл байгаа гэсэн үг юм. Хэд хэдэн асуудал тулгарвал эхлээд системийг хэрхэн яаж хийхийг шалгах шаардлагатай, нийтлэлийг үзнэ үү матрицын зэрэглэл.

Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургуулийн" арга нь хариултыг өгөх болно, гэхдээ дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Даммигийн Гауссын арга.

Жишээ 1

Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, дараа нь бид систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэж шууд хэлж чадна. Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.

Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

(1) Зүүн дээд талын алхам дээр бид +1 эсвэл -1 авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

(2) Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэн тоог нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

(3) Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна. Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр шаардлагатай -1-ийг авдаг. Гурав дахь мөрийг -3-т хуваа.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх. . Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой. Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:

Хэрэв анхан шатны хувиргалтын үр дүнд тэгээс өөр тоо байгаа хэлбэрийн мөрийг олж авбал систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).

Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Цагаан шохойгоор зурцгаая: "Эхний хувиргалтуудын үр дүнд "хэлбэрийн тэмдэгт" гарч ирээд хариултыг өгнө үү: системд шийдэл байхгүй (зөрчил).

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлын талаар СУДАЛГАА хийх шаардлагатай бол уг ойлголтыг ашиглан шийдлийг илүү хатуу хэв маягаар албан ёсны болгох шаардлагатай. матрицын зэрэглэл ба Кронекер-Капелли теорем.

Энд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ямар ч шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл алга.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй гэдгийг би дахин сануулж байна, Гауссын алгоритм нь "хатуу" биш юм.

Шийдлийн өөр нэг техникийн шинж чанар: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно тэр даруй, хаана гэх мэт мөр гармагц . Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: эхний хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё . Матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид энгийн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.

Шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол энэ нь богино хэмжээний шийдлийг заримдаа 2-3 алхамаар олж авдаг тул энэ нь бараг бэлэг юм.

Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй асуудал нь илүү урт юм.

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Ингээд л та нар айсан.

(1) Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд 2 байвал зүгээр гэдгийг анхаарна уу. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -4-ээр үржүүлнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийх боломжтой боловч туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Зүгээр л нэмнэ үү: Дөрөв дэх мөрөнд эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ. яг ийм байна!

(2) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно.

Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд (ялангуяа цайны аяганд) хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваавал гурван ижил зураас гарах нь зүйтэй юм. Үүний дараа л хоёрыг нь хас.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.

Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.

Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье.

Энд системийн "ердийн" нэг шийдлийн үнэр алга. Муу шугам ч байхгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Заримдаа нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлыг судлах шаардлагатай байдаг (жишээ нь шийдэл нь огт байгаа эсэхийг нотлох), та энэ тухай өгүүллийн сүүлийн догол мөрөөс уншиж болно. Матрицын зэрэглэлийг хэрхэн олох вэ?Гэхдээ одоо үндсэн ойлголтуудыг авч үзье:

Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл .

Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно.

Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг.
Энэ жишээнд үндсэн хувьсагч нь ба байна

Одоо танд хэрэгтэй Бүгд үндсэн хувьсагчидилэрхийлэх зөвхөн дамжуулан чөлөөт хувьсагч.

Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:

Үнэгүй хувьсагч өгөх дурын утгууд, та хязгааргүй олон зүйлийг олох боломжтой хувийн шийдлүүд. Тодорхой шийдэл нь олж авахад хамгийн хялбар байдаг тул хамгийн алдартай утгууд нь тэг юм. Ерөнхий шийдлийг орлъё:

- хувийн шийдэл.

Өөр нэг сайхан хос бол тэдгээрийг ерөнхий шийдэл болгон орлъё:

- өөр нэг хувийн шийдэл.

Бүх зүйл нэгдэх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:

Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Жишээ 4

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм. Шийдвэр гаргах үйл явцад юу чухал вэ? Анхаарал, дахин анхаарал. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Материалыг бататгах хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Урвуу:
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.
Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.

Тийм ээ, энгийн бутархайг тооцдог тооны машин тохиромжтой хэвээр байна.

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч дангаараа дөрөв дэх байрандаа сууж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд нь мөн адил байр сууриа эзэлдэг.

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд гурван баатрыг , , орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул ерөнхий шийдийг зөв олно.

Тэгвэл байг - хувийн шийдэл.
Тэгвэл өөр нэг тодорхой шийдэл байцгаая.

Хариулах: Ерөнхий шийдэл: , хувийн шийдлүүд: , .

Би хар арьстнуудын тухай санахгүй байх ёстой байсан... ... учир нь янз бүрийн гунигтай санаанууд толгойд орж ирээд, хар хөлбөмбөгчний араас цагаан дээлтэй Ку Клюкс Клансменууд талбай дээгүүр гүйж байсан алдартай фотошопыг санав. Би чимээгүйхэн суугаад инээмсэглэнэ. Ямар их анхаарал сарниулдгийг чи мэднэ...

Математик маш их хор хөнөөлтэй тул та өөрөө шийдэх ижил төстэй эцсийн жишээг энд оруулав.

Жишээ 6

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн зарим шинж чанарууд дээр би анхаарлаа хандуулах болно.