Me këtë video unë filloj një seri mësimesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Sot do të flasim për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare metoda e shtimit- kjo është një nga më të mënyra të thjeshta, por në të njëjtën kohë një nga më efektivet.

Metoda e shtimit përbëhet nga tre të thjeshta hapat:

1. Shikoni sistemin dhe zgjidhni një variabël që ka koeficientë identikë (ose të kundërt) në çdo ekuacion;
2. Ekzekutoni zbritja algjebrike(për numrat e kundërt - mbledhje) ekuacione nga njëri-tjetri, pastaj jepni terma të ngjashëm;
3. Zgjidheni ekuacionin e ri të marrë pas hapit të dytë.

Nëse gjithçka është bërë si duhet, atëherë në dalje do të marrim një ekuacion të vetëm me një variabël- nuk do të jetë e vështirë për ta zgjidhur atë. Pastaj gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë rrënjën e gjetur në sistemin origjinal dhe të marrim përgjigjen përfundimtare.

Sidoqoftë, në praktikë gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Ka disa arsye për këtë:

• Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes nënkupton që të gjitha linjat duhet të përmbajnë variabla me koeficientë të barabartë/të kundërt. Çfarë duhet bërë nëse kjo kërkesë nuk plotësohet?
• Jo gjithmonë, pasi shtojmë/zbrisim ekuacionet në mënyrën e treguar, marrim një ndërtim të bukur që mund të zgjidhet lehtësisht. A është e mundur që disi të thjeshtohen llogaritjet dhe të shpejtohen llogaritjet?

Për të marrë përgjigjen e këtyre pyetjeve dhe në të njëjtën kohë për të kuptuar disa hollësi shtesë që shumë studentë dështojnë, shikoni mësimin tim video:

Me këtë mësim ne fillojmë një seri leksionesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Dhe ne do të fillojmë nga më të thjeshtat prej tyre, përkatësisht ato që përmbajnë dy ekuacione dhe dy ndryshore. Secila prej tyre do të jetë lineare.

Sistemet është material i klasës së 7-të, por ky mësim do të jetë i dobishëm edhe për nxënësit e shkollave të mesme që duan të përmirësojnë njohuritë e tyre për këtë temë.

Në përgjithësi, ekzistojnë dy metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla:

1. Metoda e shtimit;
2. Një metodë për të shprehur një variabël në termat e një tjetri.

Sot do të merremi me metodën e parë - do të përdorim metodën e zbritjes dhe mbledhjes. Por për ta bërë këtë, duhet të kuptoni faktin e mëposhtëm: pasi të keni dy ose më shumë ekuacione, mund të merrni çdo dy prej tyre dhe t'i shtoni njëri-tjetrit. Ata shtohen anëtar për anëtar, d.m.th. "X" i shtohen "X" dhe jepen të ngjashme, "Y" me "Y" janë përsëri të ngjashme, dhe ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë i shtohet njëra-tjetrës dhe të ngjashme jepen edhe atje. .

Rezultatet e makinacioneve të tilla do të jenë një ekuacion i ri, i cili nëse ka rrënjë, ato patjetër do të jenë ndër rrënjët. ekuacioni origjinal. Prandaj, detyra jonë është të bëjmë zbritjen ose mbledhjen në atë mënyrë që ose $x$ ose $y$ të zhduket.

Si ta arrini këtë dhe çfarë mjeti të përdorni për këtë - do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur shtimin

Pra, ne mësojmë të përdorim metodën e mbledhjes duke përdorur shembullin e dy shprehjeve të thjeshta.

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se $y$ ka një koeficient prej $-4$ në ekuacionin e parë dhe $+4$ në të dytin. Ato janë reciprokisht të kundërta, kështu që është logjike të supozohet se nëse i mbledhim, atëherë në shumën që rezulton "lojërat" do të shkatërrohen reciprokisht. Shtoni dhe merrni:

Le të zgjidhim ndërtimin më të thjeshtë:

E shkëlqyeshme, gjetëm "x". Çfarë duhet të bëjmë me të tani? Ne kemi të drejtë ta zëvendësojmë atë në ndonjë nga ekuacionet. Le të zëvendësojmë në të parën:

\[-4y=12\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(2;-3 \djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Situata këtu është krejtësisht e ngjashme, vetëm me "X". Le t'i mbledhim ato:

Ne kemi ekuacionin linear më të thjeshtë, le ta zgjidhim:

Tani le të gjejmë $x$:

Përgjigje: $\majtas(-3;3 \djathtas)$.

Pika të rëndësishme

Pra, ne sapo kemi zgjidhur dy sisteme të thjeshta të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e mbledhjes. Pikat kryesore përsëri:

1. Nëse ka koeficientë të kundërt për njërën nga variablat, atëherë është e nevojshme të shtohen të gjitha variablat në ekuacion. Në këtë rast, njëri prej tyre do të shkatërrohet.
2. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit për të gjetur të dytin.
3. Regjistrimi përfundimtar i përgjigjes mund të paraqitet në mënyra të ndryshme. Për shembull, si kjo - $x=...,y=...$, ose në formën e koordinatave të pikave - $\left(...;... \djathtas)$. Opsioni i dytë është i preferueshëm. Gjëja kryesore për t'u mbajtur mend është se koordinata e parë është $x$, dhe e dyta është $y$.
4. Rregulli i shkrimit të përgjigjes në formën e koordinatave të pikës nuk është gjithmonë i zbatueshëm. Për shembull, nuk mund të përdoret kur variablat nuk janë $x$ dhe $y$, por, për shembull, $a$ dhe $b$.

Në problemat e mëposhtme do të shqyrtojmë teknikën e zbritjes kur koeficientët nuk janë të kundërt.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur metodën e zbritjes

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se këtu nuk ka koeficientë të kundërt, por ka të njëjtë. Prandaj, ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën $x$ në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Le të shkojmë së pari:

Përgjigje: $\majtas(2;5\djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përsëri shohim të njëjtin koeficient prej $5$ për $x$ në ekuacionin e parë dhe të dytë. Prandaj, është logjike të supozohet se ju duhet të zbritni të dytën nga ekuacioni i parë:

Ne kemi llogaritur një variabël. Tani le të gjejmë të dytin, për shembull, duke zëvendësuar vlerën $y$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $\majtas(-3;-2 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Pra, çfarë shohim? Në thelb, skema nuk është e ndryshme nga zgjidhja e sistemeve të mëparshme. I vetmi ndryshim është se ne nuk i shtojmë ekuacionet, por i zbresim ato. Ne po bëjmë zbritjen algjebrike.

Me fjalë të tjera, sapo të shihni një sistem të përbërë nga dy ekuacione në dy të panjohura, gjëja e parë që duhet të shikoni janë koeficientët. Nëse janë të njëjta kudo, ekuacionet zbriten, dhe nëse janë të kundërta, përdoret metoda e mbledhjes. Kjo bëhet gjithmonë në mënyrë që njëra prej tyre të zhduket, dhe në ekuacionin përfundimtar, i cili mbetet pas zbritjes, mbetet vetëm një ndryshore.

Sigurisht, kjo nuk është e gjitha. Tani do të shqyrtojmë sistemet në të cilat ekuacionet janë përgjithësisht jokonsistente. ato. Nuk ka variabla në to që janë ose të njëjta ose të kundërta. Në këtë rast, për të zgjidhur sisteme të tilla, ne përdorim dozë shtesë, domethënë, duke shumëzuar secilin prej ekuacioneve me një koeficient të veçantë. Si ta gjejmë atë dhe si të zgjidhim sisteme të tilla në përgjithësi, ne do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemave duke shumëzuar me një koeficient

Shembulli nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne shohim se as për $x$ as për $y$ koeficientët nuk janë vetëm reciprokisht të kundërt, por edhe në asnjë mënyrë nuk lidhen me ekuacionin tjetër. Këta koeficientë nuk do të zhduken në asnjë mënyrë, edhe nëse i shtojmë ose i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri. Prandaj, është e nevojshme të zbatohet shumëzimi. Le të përpiqemi të heqim qafe variablin $y$. Për ta bërë këtë, ne e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i dytë dhe ekuacionin e dytë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i parë, pa prekur shenjën. Ne shumëzojmë dhe marrim një sistem të ri:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le ta shohim: në $y$ koeficientët janë të kundërt. Në një situatë të tillë, është e nevojshme të përdoret metoda e shtimit. Le të shtojmë:

Tani duhet të gjejmë $y$. Për ta bërë këtë, zëvendësoni $x$ në shprehjen e parë:

\[-9y=18\majtas| :\left(-9 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(4;-2 \djathtas)$.

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Përsëri, koeficientët për asnjë nga variablat nuk janë konsistent. Le të shumëzojmë me koeficientët e $y$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18\majtas| 6 \djathtas. \\& 13x-6y=-32\majtas| 4 \djathtas. \\\fund (rreshtoj) \djathtas .\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Jonë sistemi i riështë ekuivalent me atë të mëparshëm, megjithatë, koeficientët e $y$ janë reciprokisht të kundërt, dhe për këtë arsye është e lehtë të zbatohet metoda e mbledhjes këtu:

Tani le të gjejmë $y$ duke zëvendësuar $x$ në ekuacionin e parë:

Përgjigje: $\majtas(-2;1 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Rregulli kryesor këtu është si vijon: ne gjithmonë shumëzojmë vetëm me numra pozitiv- kjo do t'ju shpëtojë nga gabimet budallaqe dhe fyese që lidhen me ndryshimin e shenjave. Në përgjithësi, skema e zgjidhjes është mjaft e thjeshtë:

1. Ne shikojmë sistemin dhe analizojmë çdo ekuacion.
2. Nëse shohim që as $y$ as $x$ koeficientët janë konsistent, d.m.th. ato nuk janë as të barabarta dhe as të kundërta, atëherë bëjmë si më poshtë: zgjedhim variablin që duhet të heqim qafe dhe më pas shikojmë koeficientët e këtyre ekuacioneve. Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin nga i dyti, dhe i dyti, përkatësisht, shumëzojmë me koeficientin nga i pari, atëherë në fund do të marrim një sistem që është plotësisht ekuivalent me atë të mëparshëm, dhe koeficientët e $ y$ do të jetë konsistente. Të gjitha veprimet ose transformimet tona synojnë vetëm marrjen e një ndryshoreje në një ekuacion.
3. Ne gjejmë një variabël.
4. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në një nga dy ekuacionet e sistemit dhe gjejmë të dytin.
5. Përgjigjen e shkruajmë në formën e koordinatave të pikave nëse kemi variabla $x$ dhe $y$.

Por edhe një algoritëm kaq i thjeshtë ka hollësitë e veta, për shembull, koeficientët e $x$ ose $y$ mund të jenë fraksione dhe numra të tjerë "të shëmtuar". Tani do t'i shqyrtojmë këto raste veç e veç, sepse në to mund të veproni disi ndryshe sesa sipas algoritmit standard.

Zgjidhja e problemave me thyesa

Shembulli nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Së pari, vini re se ekuacioni i dytë përmban thyesa. Por vini re se mund të ndani 4$ me 0,8$. Do të marrim 5 dollarë. Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me $5 $:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri:

Gjetëm $n$, tani le të numërojmë $m$:

Përgjigje: $n=-4;m=5$

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2,5p+1,5k=-13\majtas| 4 \djathtas. \\& 2p-5k=2\majtas| 5 \djathtas. \\\fund (rreshtoj )\ drejtë.\]

Këtu, si në sistemin e mëparshëm, ka shanset thyesore, megjithatë, për asnjë nga koeficientët e ndryshueshëm nuk përshtaten me njëri-tjetrin me një numër të plotë herë. Prandaj, ne përdorim algoritmin standard. Hiqni qafe $p$:

\[\majtas\( \fillimi(radhis)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përdorim metodën e zbritjes:

Le të gjejmë $p$ duke zëvendësuar $k$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $p=-4;k=-2$.

Nuancat e zgjidhjes

Kjo është e gjitha optimizimi. Në ekuacionin e parë, ne nuk e shumëzuam fare me asgjë, por ekuacionin e dytë e shumëzuam me 5$. Si rezultat, ne morëm një ekuacion të qëndrueshëm dhe madje identik për variablin e parë. Në sistemin e dytë kemi ndjekur një algoritëm standard.

Por si i gjeni numrat me të cilët shumohen ekuacionet? Në fund të fundit, nëse shumëzoni me numrat thyesorë, do të marrim thyesa të reja. Prandaj, thyesat duhet të shumëzohen me një numër që do të jepte një numër të ri të plotë, dhe pas kësaj ndryshoret duhet të shumëzohen me koeficientë, duke ndjekur algoritmin standard.

Si përfundim, dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për formatin e regjistrimit të përgjigjes. Siç thashë tashmë, pasi këtu nuk kemi $x$ dhe $y$, por vlera të tjera, ne përdorim një shënim jo standard të formës:

Zgjidhja e sistemeve komplekse të ekuacioneve

Si një shënim i fundit për mësimin e sotëm të videos, le të shohim disa vërtet sisteme komplekse. Kompleksiteti i tyre do të konsistojë në faktin se ata do të kenë variabla si në të majtë ashtu edhe në të djathtë. Prandaj, për t'i zgjidhur ato do të duhet të aplikojmë parapërpunim.

Sistemi nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 3\majtas(2x-y \djathtas)+5=-2\majtas(x+3y\djathtas)+4 \\& 6\majtas(y+1 \djathtas )-1=5\majtas(2x-1 \djathtas)+8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Çdo ekuacion mbart një kompleksitet të caktuar. Prandaj, le ta trajtojmë secilën shprehje si me një ndërtim të rregullt linear.

Në total, marrim sistemin përfundimtar, i cili është i barabartë me atë origjinal:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të shohim koeficientët e $y$: $3$ përshtatet në $6$ dy herë, kështu që le të shumëzojmë ekuacionin e parë me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Koeficientët e $y$ tani janë të barabartë, kështu që ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë: $$

Tani le të gjejmë $y$:

Përgjigje: $\majtas(0;-\frac(1)(3) \djathtas)$

Sistemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4\majtas(a-3b \djathtas)-2a=3\majtas(b+4 \djathtas)-11 \\& -3\majtas(b-2a \djathtas )-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të transformojmë shprehjen e parë:

Le të merremi me të dytën:

\[-3\majtas(b-2a \djathtas)-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Në total, sistemi ynë fillestar do të marrë formën e mëposhtme:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Duke parë koeficientët e $a$, ne shohim se ekuacioni i parë duhet të shumëzohet me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Zbrisni të dytën nga ndërtimi i parë:

Tani le të gjejmë $a$:

Përgjigje: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \djathtas)$.

Kjo është ajo. Shpresoj se ky video tutorial do t'ju ndihmojë të kuptoni këtë temë të vështirë, përkatësisht zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve të thjeshta lineare. Do të ketë shumë mësime të tjera për këtë temë: ne do të shikojmë më shumë shembuj kompleks, ku do të ketë më shumë variabla, dhe vetë ekuacionet do të jenë tashmë jolineare. Shihemi sërish!

Duke përdorur këtë programi i matematikës Ju mund të zgjidhni një sistem me dy ekuacione lineare në dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por edhe jep zgjidhje e detajuar me shpjegime të hapave të zgjidhjes në dy mënyra: metoda e zëvendësimit dhe metoda e mbledhjes.

Ky program mund të jetë e dobishme për nxënësit e shkollave të mesme shkollat ​​e mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë

në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara. vëllezërit më të vegjël ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Rregullat për futjen e ekuacioneve

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Kur futen ekuacionet mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, ekuacionet thjeshtohen fillimisht.
Ekuacionet pas thjeshtimeve duhet të jenë lineare, d.m.th. të formës ax+nga+c=0 me saktësinë e renditjes së elementeve.

Për shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2

Në ekuacione, ju mund të përdorni jo vetëm numra të plotë, por edhe thyesa në formën e dhjetoreve dhe thyesave të zakonshme.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore. E tërë dhe pjesë thyesore V dhjetore
mund të ndahet ose me pikë ose me presje.

Për shembull: 2.1n + 3.5m = 55
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ. Gjatë hyrjes thyesa numerike /
Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: E gjithë pjesa &

e ndarë nga thyesa me një ampersand:
Shembuj.
-1&2/3v + 5/3x = 55

Zgjidh sistemin e ekuacioneve
U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.

Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.
Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë. Ju lutem prisni

sekondë... Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje
, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut. mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë.

futni në fusha

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e zëvendësimit
Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:
1) shpreh një variabël nga një ekuacion i sistemit në terma të një tjetri;

2) zëvendësoni shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër të sistemit në vend të kësaj ndryshoreje;

$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \djathtas. $$
Le ta shprehim y në terma x nga ekuacioni i parë: y = 7-3x. Duke zëvendësuar shprehjen 7-3x në ekuacionin e dytë në vend të y, marrim sistemin:

Është e lehtë të tregohet se sistemi i parë dhe i dytë kanë të njëjtat zgjidhje. Në sistemin e dytë, ekuacioni i dytë përmban vetëm një ndryshore. Le të zgjidhim këtë ekuacion:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Shigjeta djathtas -5x+14-6x=3 \Shigjeta djathtas -11x=-11 \Shigjeta djathtas x=1 $$

Duke zëvendësuar 1 në vend të x në barazinë y=7-3x, gjejmë vlerën përkatëse të y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Djathtas y=4 $$

Çifti (1;4) - zgjidhje e sistemit

Sistemet e ekuacioneve në dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta quhen ekuivalente. Sistemet që nuk kanë zgjidhje konsiderohen gjithashtu ekuivalente.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me mbledhje

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare - metodën e mbledhjes. Kur zgjidhim sisteme duke përdorur këtë metodë, si dhe kur zgjidhim duke përdorur metodën e zëvendësimit, kalojmë nga një sistem i caktuar në një sistem tjetër ekuivalent, në të cilin njëri prej ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes:
1) shumëzoni ekuacionet e sistemit term me term, duke zgjedhur faktorët në mënyrë që koeficientët për një nga variablat të bëhen numra të kundërt;
2) shtoni anët e majta dhe të djathta të ekuacioneve të sistemit term pas termi;
3) zgjidh ekuacionin që rezulton me një ndryshore;
4) gjeni vlerën përkatëse të ndryshores së dytë.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Në ekuacionet e këtij sistemi, koeficientët e y janë numra të kundërt. Duke mbledhur anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve term pas termi, fitojmë një ekuacion me një ndryshore 3x=33. Le të zëvendësojmë një nga ekuacionet e sistemit, për shembull të parën, me ekuacionin 3x=33. Le të marrim sistemin
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Nga ekuacioni 3x=33 gjejmë se x=11. Duke e zëvendësuar këtë vlerë x në ekuacionin \(x-3y=38\) marrim një ekuacion me ndryshoren y: \(11-3y=38\). Le të zgjidhim këtë ekuacion:
\(-3y=27 \Djathtas y=-9 \)

Kështu, ne gjetëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve me mbledhje: \(x=11; y=-9\) ose \((11;-9)\)

Duke përfituar nga fakti se në ekuacionet e sistemit koeficientët e y janë numra të kundërt, zgjidhjen e tij e reduktuam në zgjidhjen e një sistemi ekuivalent (duke mbledhur të dyja anët e secilit prej ekuacioneve të sistemit origjinal), në të cilin një e ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

1. Metoda e zëvendësimit: nga çdo ekuacion i sistemit shprehim një të panjohur përmes një tjetri dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e dytë të sistemit.

Detyrë. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Zgjidhje. Nga ekuacioni i parë i sistemit shprehim në përmes X dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e dytë të sistemit. Le të marrim sistemin ekuivalente me origjinalin.

Pas sjelljes anëtarë të ngjashëm sistemi do të marrë formën:

Nga barazimi i dytë gjejmë: . Zëvendësimi i kësaj vlere në ekuacion në = 2 - 2X, marrim në= 3. Prandaj, zgjidhja e këtij sistemi është një çift numrash.

2. Metoda e mbledhjes algjebrike: Duke shtuar dy ekuacione, ju merrni një ekuacion me një ndryshore.

Detyrë. Zgjidheni ekuacionin e sistemit:

Zgjidhje. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të dytë me 2, marrim sistemin ekuivalente me origjinalin. Duke mbledhur dy ekuacionet e këtij sistemi, arrijmë te sistemi

Pas sjelljes së termave të ngjashëm, ky sistem do të marrë formën: Nga ekuacioni i dytë gjejmë . Zëvendësimi i kësaj vlere në ekuacionin 3 X + 4në= 5, marrim , ku. Prandaj, zgjidhja për këtë sistem është një çift numrash.

3. Metoda për futjen e variablave të rinj: ne kërkojmë disa shprehje përsëritëse në sistem, të cilat do t'i shënojmë me ndryshore të reja, duke thjeshtuar pamjen e sistemit.

Detyrë. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Zgjidhje. Le ta shkruajmë këtë sistem ndryshe:

Le x + y = u, xy = v. Pastaj marrim sistemin

Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i parë i sistemit shprehim u përmes v dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e dytë të sistemit. Le të marrim sistemin ato.

Nga ekuacioni i dytë i sistemit gjejmë v 1 = 2, v 2 = 3.

Zëvendësimi i këtyre vlerave në ekuacion u = 5 - v, marrim u 1 = 3,
u 2 = 2. Atëherë kemi dy sisteme

Duke zgjidhur sistemin e parë, marrim dy çifte numrash (1; 2), (2; 1). Sistemi i dytë nuk ka zgjidhje.

Ushtrime për punë të pavarur

1. Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur metodën e zëvendësimit.

Ekuacionet lineare në dy ndryshore

Një nxënës shkolle ka 200 rubla për të ngrënë drekë në shkollë. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe mund të blini për 200 rubla?

Le të shënojmë numrin e ëmbëlsirave me x, dhe numri i filxhanëve të kafesë y. Pastaj kostoja e ëmbëlsirave do të shënohet me shprehjen 25 x, dhe kostoja e filxhanëve të kafesë në 10 y .

25x-çmimi xëmbëlsira
10y -çmimi y filxhanë kafeje

Shuma totale duhet të jetë 200 rubla. Pastaj marrim një ekuacion me dy ndryshore x Dhe y

25x+ 10y= 200

Sa rrënjë ka? ekuacioni i dhënë?

E gjitha varet nga oreksi i studentit. Nëse ai blen 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe, atëherë rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat 6 dhe 5.

Çifti i vlerave 6 dhe 5 thuhet se janë rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Shkruhet si (6; 5), ku numri i parë është vlera e ndryshores x, dhe e dyta - vlera e ndryshores y .

6 dhe 5 nuk janë të vetmet rrënjë që ndryshojnë ekuacionin 25 x+ 10y= 200 për identitetin. Nëse dëshironi, për të njëjtat 200 rubla një student mund të blejë 4 ëmbëlsira dhe 10 filxhanë kafe:

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 është një palë vlerash (4; 10).

Për më tepër, një nxënës shkolle mund të mos blejë fare kafe, por të blejë ëmbëlsira për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 do të jenë vlerat 8 dhe 0

Ose anasjelltas, mos blini ëmbëlsira, por blini kafe për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 vlerat do të jenë 0 dhe 20

Le të përpiqemi të rendisim të gjitha rrënjët e mundshme të ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Le të biem dakord që vlerat x Dhe y i përkasin grupit të numrave të plotë. Dhe le të jenë këto vlera më të mëdha se ose të barabarta me zero:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Kjo do të jetë e përshtatshme për vetë studentin. Është më i përshtatshëm për të blerë ëmbëlsira të plota sesa, për shembull, disa ëmbëlsira të plota dhe gjysmë tortë. Është gjithashtu më i përshtatshëm për të marrë kafe në filxhanë të plotë sesa, për shembull, disa filxhanë të plotë dhe gjysmë filxhani.

Vini re se për të rastësishme xështë e pamundur të arrihet barazia në asnjë rrethanë y. Pastaj vlerat x numrat e mëposhtëm do të jenë 0, 2, 4, 6, 8. Dhe duke ditur x mund të përcaktohet lehtësisht y

Kështu, morëm çiftet e mëposhtme të vlerave (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Këto çifte janë zgjidhje ose rrënjë të ekuacionit 25 x+ 10y= 200. Ata e kthejnë këtë ekuacion në një identitet.

Ekuacioni i formës sëpatë + nga = c thirrur ekuacion linear me dy ndryshore. Zgjidhja ose rrënjët e këtij ekuacioni janë një palë vlerash ( x; y), që e kthen atë në identitet.

Vini re gjithashtu se nëse një ekuacion linear me dy ndryshore është shkruar në formë sëpatë + b y = c, pastaj thonë se është shkruar në kanonike formë (normale).

Disa ekuacione lineare në dy ndryshore mund të reduktohen në formë kanonike.

Për shembull, ekuacioni 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) mund të sillen në mendje sëpatë + nga = c. Le të hapim kllapat në të dy anët e këtij ekuacioni dhe të marrim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë. Pastaj marrim 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Ne paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët, marrim ekuacionin 16 x+ 8y= 32. Ky ekuacion reduktohet në formë sëpatë + nga = c dhe është kanonike.

Ekuacioni 25 i diskutuar më parë x+ 10y= 200 është gjithashtu një ekuacion linear me dy ndryshore në formë kanonike. Në këtë ekuacion parametrat a , b Dhe c janë të barabarta me vlerat përkatësisht 25, 10 dhe 200.

Në fakt ekuacioni sëpatë + nga = c ka zgjidhje të panumërta. Zgjidhja e ekuacionit 25x+ 10y= 200, ne i kërkuam rrënjët e tij vetëm në grupin e numrave të plotë. Si rezultat, ne morëm disa palë vlerash që e kthyen këtë ekuacion në një identitet. Por në shumë numrat racionalë ekuacioni 25 x+ 10y= 200 do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje.

Për të marrë çifte të reja vlerash, duhet të merrni një vlerë arbitrare për x, pastaj shpreh y. Për shembull, le të marrim për ndryshoren x vlera 7. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 25×7 + 10y= 200 në të cilën mund të shprehet y

Le x= 15. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × 15 + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −17,5

Le x= −3. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × (−3) + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −27,5

Sistemi i dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore

Për ekuacionin sëpatë + nga = c ju mund të merrni vlera arbitrare sa herë të doni x dhe gjeni vlera për y. Marrë veçmas, një ekuacion i tillë do të ketë zgjidhje të panumërta.

Por ndodh edhe që variablat x Dhe y janë të lidhura jo me një, por me dy ekuacione. Në këtë rast ato formojnë të ashtuquajturat sistemi i ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Një sistem i tillë ekuacionesh mund të ketë një palë vlerash (ose me fjalë të tjera: "një zgjidhje").

Mund të ndodhë gjithashtu që sistemi të mos ketë fare zgjidhje. Një sistem ekuacionesh lineare mund të ketë zgjidhje të panumërta në raste të rralla dhe të jashtëzakonshme.

Dy ekuacione lineare formojnë një sistem kur vlerat x Dhe y futni në secilin prej këtyre ekuacioneve.

Le të kthehemi te ekuacioni i parë 25 x+ 10y= 200 . Një nga çiftet e vlerave për këtë ekuacion ishte çifti (6; 5). Ky është një rast kur për 200 rubla mund të blini 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe.

Le ta formulojmë problemin në mënyrë që çifti (6; 5) të bëhet zgjidhja e vetme për ekuacionin 25 x+ 10y= 200 . Për ta bërë këtë, le të krijojmë një ekuacion tjetër që do të lidhte të njëjtën gjë xëmbëlsira dhe y filxhanë kafeje.

Le ta paraqesim tekstin e problemit si më poshtë:

“Studenti bleu disa ëmbëlsira dhe disa filxhanë kafe për 200 rubla. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe ka blerë nxënësi nëse dihet se numri i ëmbëlsirave për njësi më shumë sasi filxhanë kafe?

Ne tashmë kemi ekuacionin e parë. Ky është ekuacioni 25 x+ 10y= 200 . Tani le të krijojmë një ekuacion për kushtin "Numri i ëmbëlsirave është një njësi më i madh se numri i filxhanëve të kafesë" .

Numri i ëmbëlsirave është x, dhe numri i filxhanëve të kafesë është y. Ju mund ta shkruani këtë frazë duke përdorur ekuacionin x−y= 1. Ky ekuacion do të thotë se ndryshimi midis ëmbëlsirave dhe kafesë është 1.

x = y+ 1 . Ky ekuacion do të thotë që numri i ëmbëlsirave është një më shumë se numri i filxhanëve të kafesë. Prandaj, për të fituar barazi, një i shtohet numrit të filxhanëve të kafesë. Kjo mund të kuptohet lehtësisht nëse përdorim modelin e shkallëve që kemi marrë parasysh kur studiojmë problemet më të thjeshta:

Ne morëm dy ekuacione: 25 x+ 10y= 200 dhe x = y+ 1. Që nga vlerat x Dhe y, përkatësisht 6 dhe 5 përfshihen në secilin prej këtyre ekuacioneve, pastaj së bashku formojnë një sistem. Le ta shkruajmë këtë sistem. Nëse ekuacionet formojnë një sistem, atëherë ato inkuadrohen nga shenja e sistemit. Simboli i sistemit është një mbajtës kaçurrelë:

Le ta zgjidhim këtë sistem. Kjo do të na lejojë të shohim se si arrijmë në vlerat 6 dhe 5. Ka shumë metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Le të shohim më të njohurit prej tyre.

Metoda e zëvendësimit

Emri i kësaj metode flet vetë. Thelbi i tij është të zëvendësojë një ekuacion në një tjetër, duke shprehur më parë një nga variablat.

Në sistemin tonë, asgjë nuk duhet të shprehet. Në ekuacionin e dytë x = y+ 1 ndryshore x tashmë të shprehura. Kjo ndryshore është e barabartë me shprehjen y+ 1 . Atëherë mund ta zëvendësoni këtë shprehje në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x

Pas zëvendësimit të shprehjes y+ 1 në ekuacionin e parë në vend x, marrim ekuacionin 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ky është një ekuacion linear me një ndryshore. Ky ekuacion është mjaft i lehtë për t'u zgjidhur:

Ne gjetëm vlerën e ndryshores y. Tani le ta zëvendësojmë këtë vlerë në një nga ekuacionet dhe të gjejmë vlerën x. Për këtë është e përshtatshme të përdoret ekuacioni i dytë x = y+ 1 . Le të zëvendësojmë vlerën në të y

Kjo do të thotë se çifti (6; 5) është një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve, siç synuam. Ne kontrollojmë dhe sigurohemi që çifti (6; 5) plotëson sistemin:

Shembulli 2

Le të zëvendësojmë ekuacionin e parë x= 2 + y në ekuacionin e dytë 3 x− 2y= 9. Në ekuacionin e parë ndryshorja x e barabartë me shprehjen 2 + y. Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e dytë në vend të x

Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë vlerën y në ekuacionin e parë x= 2 + y

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është vlera e çiftit (5; 3)

Shembulli 3. Zgjidheni me zëvendësim sistemin e mëposhtëm ekuacionet:

Këtu, ndryshe nga shembujt e mëparshëm, një nga variablat nuk shprehet në mënyrë eksplicite.

Për të zëvendësuar një ekuacion në një tjetër, së pari ju duhet .

Këshillohet që të shprehet ndryshorja që ka koeficientin një. Variabla ka një koeficient prej një x, e cila gjendet në ekuacionin e parë x+ 2y= 11. Le ta shprehim këtë variabël.

Pas shprehjes së ndryshueshme x, sistemi ynë do të marrë formën e mëposhtme:

Tani le të zëvendësojmë ekuacionin e parë me të dytin dhe të gjejmë vlerën y

Le të zëvendësojmë y x

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (3; 4)

Sigurisht, ju gjithashtu mund të shprehni një ndryshore y. Kjo nuk do të ndryshojë rrënjët. Por nëse shpreheni y, Rezultati nuk është një ekuacion shumë i thjeshtë, i cili do të marrë më shumë kohë për t'u zgjidhur. Do të duket kështu:

Ne e shohim atë në në këtë shembull shprehin x shumë më i përshtatshëm sesa të shprehesh y .

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

y

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x. Ju mund të përdorni ekuacionin origjinal 7 x+ 9y= 8, ose përdorni ekuacionin në të cilin shprehet ndryshorja x. Ne do ta përdorim këtë ekuacion sepse është i përshtatshëm:

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (5; -3)

Metoda e shtimit

Metoda e mbledhjes konsiston në shtimin e ekuacioneve të përfshira në sistem term pas termi. Kjo shtesë rezulton në një ekuacion të ri me një ndryshore. Dhe zgjidhja e një ekuacioni të tillë është mjaft e thjeshtë.

Le të zgjidhim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. Dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë ekuacioni i dytë. Ne marrim barazinë e mëposhtme:

Le të shohim terma të ngjashëm:

Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 3 x= 27 rrënja e të cilit është 9. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e dytë x−y= 3. Ne marrim 9 − y= 3. Nga këtu y= 6 .

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (9; 6)

Shembulli 2

Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. Dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë. Në barazinë që rezulton ne paraqesim terma të ngjashëm:

Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 5 x= 20, rrënja e së cilës është 4. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e parë 2 x+y= 11. Le të marrim 8+ y= 11. Nga këtu y= 3 .

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (4;3)

Procesi i shtimit nuk përshkruhet në detaje. Duhet të bëhet mendërisht. Kur shtoni, të dy ekuacionet duhet të reduktohen në formën kanonike. Kjo është, meqë ra fjala ac + nga = c .

Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se qëllimi kryesor i shtimit të ekuacioneve është të heqësh qafe një nga variablat. Por nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet menjëherë një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes. Më shpesh, sistemi fillimisht sillet në një formë në të cilën mund të shtohen ekuacionet e përfshira në këtë sistem.

Për shembull, sistemi mund të zgjidhet menjëherë me shtim. Kur shtoni të dy ekuacionet, termat y Dhe −y do të zhduket sepse shuma e tyre është zero. Si rezultat, formohet ekuacioni më i thjeshtë 11 x= 22, rrënja e së cilës është 2. Më pas do të jetë e mundur të përcaktohet y e barabartë me 5.

Dhe sistemi i ekuacioneve Metoda e shtimit nuk mund të zgjidhet menjëherë, pasi kjo nuk do të çojë në zhdukjen e njërës prej variablave. Mbledhja do të rezultojë në ekuacionin 8 x+ y= 28, e cila ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë. Ky rregull është gjithashtu i vërtetë për një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Një nga ekuacionet (ose të dyja ekuacionet) mund të shumëzohet me çdo numër. Rezultati do të jetë një sistem ekuivalent, rrënjët e të cilit do të përkojnë me atë të mëparshëm.

Le të kthehemi te sistemi i parë, i cili përshkruante sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe bleu një nxënës. Zgjidhja për këtë sistem ishte një palë vlerash (6; 5).

Le të shumëzojmë të dy ekuacionet e përfshira në këtë sistem me disa numra. Le të themi se e shumëzojmë ekuacionin e parë me 2 dhe të dytin me 3

Si rezultat, ne kemi një sistem
Zgjidhja për këtë sistem është ende çifti i vlerave (6; 5)

Kjo do të thotë që ekuacionet e përfshira në sistem mund të reduktohen në një formë të përshtatshme për aplikimin e metodës së mbledhjes.

Le të kthehemi te sistemi , të cilën nuk mundëm ta zgjidhnim duke përdorur metodën e mbledhjes.

Ekuacioni i parë shumëzohet me 6 dhe i dyti me −2

Pastaj marrim sistemin e mëposhtëm:

Le të mbledhim ekuacionet e përfshira në këtë sistem. Shtimi i komponentëve 12 x dhe -12 x do të rezultojë në 0, shtesa 18 y dhe 4 y do të japë 22 y, dhe duke mbledhur 108 dhe −20 jepet 88. Pastaj marrim ekuacionin 22 y= 88, nga këtu y = 4 .

Nëse në fillim është e vështirë të shtoni ekuacione në kokën tuaj, atëherë mund të shkruani se si mblidhet anën e majtë i ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë:

Duke ditur se vlera e ndryshores yështë e barabartë me 4, ju mund të gjeni vlerën x. Le të zëvendësojmë y në një nga ekuacionet, për shembull në ekuacionin e parë 2 x+ 3y= 18. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 2 x+ 12 = 18. Le të lëvizim 12 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën, marrim 2 x= 6, nga këtu x = 3 .

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me −1. Pastaj sistemi do të marrë formën e mëposhtme:

Le të shtojmë të dy ekuacionet. Shtimi i komponentëve x Dhe −x do të rezultojë në 0, shtesa 5 y dhe 3 y do të japë 8 y, dhe duke mbledhur 7 dhe 1 jepet 8. Rezultati është ekuacioni 8 y= 8 rrënja e të cilit është 1. Duke ditur se vlera yështë e barabartë me 1, ju mund të gjeni vlerën x .

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim x+ 5 = 7, pra x= 2

Shembulli 5. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Është e dëshirueshme që termat që përmbajnë të njëjtat variabla të vendosen njëri poshtë tjetrit. Prandaj, në ekuacionin e dytë termat 5 y dhe −2 x Le të shkëmbejmë vendet. Si rezultat, sistemi do të marrë formën:

Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me 3. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes marrim ekuacionin 8 y= 16, rrënja e të cilit është 2.

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim 6 x− 14 = 40. Le ta zhvendosim termin −14 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën dhe të marrim 6 x= 54 . Nga këtu x= 9.

Shembulli 6. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le të heqim qafe thyesat. Shumëzoni ekuacionin e parë me 36 dhe të dytin me 12

Në sistemin që rezulton ekuacioni i parë mund të shumëzohet me −5 dhe i dyti me 8

Le të mbledhim ekuacionet në sistemin që rezulton. Pastaj marrim ekuacionin më të thjeshtë −13 y= −156 . Nga këtu y= 12. Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x

Shembulli 7. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le t'i reduktojmë të dy ekuacionet në pamje normale. Këtu është e përshtatshme të zbatohet rregulli i proporcionit në të dy ekuacionet. Nëse në ekuacionin e parë ana e djathtë paraqitet si , dhe ana e djathtë e ekuacionit të dytë si , atëherë sistemi do të marrë formën:

Ne kemi një proporcion. Le të shumëzojmë termat e saj ekstremë dhe të mesëm. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me −3 dhe hapim kllapat në të dytin:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i shtimit të këtyre ekuacioneve, marrim një barazi me zero në të dyja anët:

Rezulton se sistemi ka zgjidhje të panumërta.

Por ne nuk mund të marrim vetëm vlera arbitrare nga qielli x Dhe y. Ne mund të specifikojmë njërën nga vlerat, dhe tjetra do të përcaktohet në varësi të vlerës që specifikojmë. Për shembull, le x= 2. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:

Si rezultat i zgjidhjes së njërit prej ekuacioneve, vlera për y, i cili do të plotësojë të dy ekuacionet:

Çifti i vlerave që rezulton (2; −2) do të kënaqë sistemin:

Le të gjejmë një çift tjetër vlerash. Le x= 4. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:

Ju mund ta dalloni me sy se vlera y barazohet me zero. Pastaj marrim një palë vlerash (4; 0) që kënaqin sistemin tonë:

Shembulli 8. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Shumëzoni ekuacionin e parë me 6 dhe të dytin me 12

Le të rishkruajmë atë që ka mbetur:

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me −1. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes, formohet ekuacioni 6 b= 48, rrënja e të cilit është 8. Zëvendëso b në ekuacionin e parë dhe gjeni a

Sistemi i ekuacioneve lineare me tre ndryshore

Një ekuacion linear me tre ndryshore përfshin tre variabla me koeficientë, si dhe një term ndërprerës. Në formë kanonike mund të shkruhet si më poshtë:

sëpatë + nga + cz = d

Ky ekuacion ka zgjidhje të panumërta. Dhënia e dy variablave kuptime të ndryshme, mund të gjendet një vlerë e tretë. Zgjidhja në këtë rast është një trefish i vlerave ( x; y; z) që e kthen ekuacionin në një identitet.

Nëse variablat x, y, z janë të ndërlidhura nga tre ekuacione, atëherë formohet një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre ndryshore. Për të zgjidhur një sistem të tillë, mund të përdorni të njëjtat metoda që zbatohen për ekuacionet lineare me dy ndryshore: metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Le të shprehemi në ekuacionin e tretë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të bëjmë zëvendësimin. E ndryshueshme xështë e barabartë me shprehjen 3 − 2y − 2z . Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e parë dhe të dytë:

Le të hapim kllapat në të dy ekuacionet dhe të paraqesim terma të ngjashëm:

Kemi arritur në një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. NË në këtë rastËshtë i përshtatshëm për të përdorur metodën e shtimit. Si rezultat, ndryshorja y do të zhduket dhe ne mund të gjejmë vlerën e ndryshores z

Tani le të gjejmë vlerën y. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdoret ekuacioni − y+ z= 4. Zëvendësoni vlerën në të z

Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdorni ekuacionin x= 3 − 2y − 2z . Le të zëvendësojmë vlerat në të y Dhe z

Kështu, trefishi i vlerave (3; −2; 2) është një zgjidhje për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e mbledhjes

Le të shtojmë ekuacionin e parë me të dytin, shumëzuar me −2.

Nëse ekuacioni i dytë shumëzohet me −2, ai merr formën −6x+ 6y − 4z = −4 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e parë:

Ne e shohim këtë si rezultat transformimet elementare, përcaktohet vlera e ndryshores x. Është e barabartë me një.

Le të kthehemi në sistemi kryesor. Le të shtojmë ekuacionin e dytë me të tretën, shumëzuar me −1. Nëse ekuacioni i tretë shumëzohet me -1, ai merr formën −4x + 5y − 2z = −1 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e dytë:

Ne morëm ekuacionin x− 2y= −1. Le të zëvendësojmë vlerën në të x të cilën e gjetëm më herët. Atëherë mund të përcaktojmë vlerën y

Tani ne i dimë kuptimet x Dhe y. Kjo ju lejon të përcaktoni vlerën z. Le të përdorim një nga ekuacionet e përfshira në sistem:

Kështu, trefishi i vlerave (1; 1; 1) është zgjidhja për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:

Probleme mbi kompozimin e sistemeve të ekuacioneve lineare

Detyra e kompozimit të sistemeve të ekuacioneve zgjidhet duke futur disa variabla. Më pas, ekuacionet përpilohen bazuar në kushtet e problemit. Nga ekuacionet e përpiluara ata formojnë një sistem dhe e zgjidhin atë. Pasi të keni zgjidhur sistemin, është e nevojshme të kontrolloni nëse zgjidhja e tij i plotëson kushtet e problemit.

Problemi 1. Një makinë Volga u largua nga qyteti për në fermën kolektive. Ajo u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para. Në total, makina përshkoi 35 km vajtje-ardhje. Sa kilometra është gjatësia e secilës rrugë?

Zgjidhje

Le x- gjatësia e rrugës së parë, y- gjatësia e të dytës. Nëse makina ka udhëtuar 35 km vajtje-ardhje, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+ y= 35. Ky ekuacion përshkruan shumën e gjatësive të të dy rrugëve.

Thuhet se makina u kthye në një rrugë që ishte 5 km më e shkurtër se e para. Atëherë ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x− y= 5. Ky ekuacion tregon se diferenca ndërmjet gjatësive të rrugës është 5 km.

Ose ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x= y+ 5. Ne do të përdorim këtë ekuacion.

Sepse variablat x Dhe y në të dy ekuacionet shënojmë të njëjtin numër, atëherë mund të formojmë një sistem prej tyre:

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur disa nga metodat e studiuara më parë. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdoret metoda e zëvendësimit, pasi në ekuacionin e dytë ndryshorja x tashmë të shprehura.

Zëvendësoni ekuacionin e dytë me të parën dhe gjeni y

Le të zëvendësojmë vlerën e gjetur y në ekuacionin e dytë x= y+ 5 dhe ne do të gjejmë x

Gjatësia e rrugës së parë u tregua përmes variablit x. Tani kemi gjetur kuptimin e saj. E ndryshueshme xështë e barabartë me 20. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së parë është 20 km.

Dhe gjatësia e rrugës së dytë tregohej nga y. Vlera e kësaj variabli është 15. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së dytë është 15 km.

Le të kontrollojmë. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:

Tani le të kontrollojmë nëse zgjidhja (20; 15) i plotëson kushtet e problemit.

Thuhej se makina ka bërë gjithsej 35 km vajtje-ardhje. Shtojmë gjatësitë e të dy rrugëve dhe sigurohemi që zgjidhja (20; 15) të kënaqet këtë gjendje: 20 km + 15 km = 35 km

Kushti i mëposhtëm: makina u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para . Ne shohim se zgjidhja (20; 15) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 15 km është më e shkurtër se 20 km me 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Kur hartoni një sistem, është e rëndësishme që variablat të përfaqësojnë të njëjtët numra në të gjitha ekuacionet e përfshira në këtë sistem.

Pra, sistemi ynë përmban dy ekuacione. Këto ekuacione nga ana e tyre përmbajnë variabla x Dhe y, të cilat përfaqësojnë të njëjtat numra në të dy ekuacionet, përkatësisht gjatësinë e rrugës prej 20 km dhe 15 km.

Problemi 2. Në platformë u ngarkuan traversa dushku dhe pishe, gjithsej 300 traversa. Dihet se të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë gjuajtësit e pishës. Përcaktoni se sa traversa dushku dhe pishe kishte veçmas, nëse secila shtrojë lisi peshonte 46 kg dhe secila shtrojë pishe 28 kg.

Zgjidhje

Le x lisi dhe y trarët e pishave u ngarkuan në platformë. Nëse gjithsej kishte 300 gjumë, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+y = 300 .

Të gjithë ata që flenë lisi peshonin 46 x kg, dhe ato me pisha peshonin 28 y kg. Meqenëse traversat e dushkut peshonin 1 ton më pak se ato me pisha, ekuacioni i dytë mund të shkruhet si 28y − 46x= 1000 . Ky ekuacion tregon se diferenca në masë midis traversave të lisit dhe pishës është 1000 kg.

Tonelatat u shndërruan në kilogramë, pasi masa e trarëve të lisit dhe pishës matej në kilogramë.

Si rezultat, marrim dy ekuacione që formojnë sistemin

Le ta zgjidhim këtë sistem. Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Zëvendësoni ekuacionin e parë me të dytin dhe gjeni y

Le të zëvendësojmë y në ekuacion x= 300 − y dhe zbuloni se çfarë është x

Kjo do të thotë se 100 traversa dushku dhe 200 pishe u ngarkuan në platformë.

Le të kontrollojmë nëse zgjidhja (100; 200) i plotëson kushtet e problemit. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:

Thuhej se kishte gjithsej 300 fjetje. Ne mbledhim numrin e shtruesve të lisit dhe pishës dhe sigurohemi që zgjidhja (100; 200) të plotësojë këtë kusht: 100 + 200 = 300.

Kushti i mëposhtëm: të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë shtretërit e pishave . Ne shohim se zgjidhja (100; 200) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 46 × 100 kg traversa dushku është më e lehtë se 28 × 200 kg traversa pishe: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problemi 3. Ne morëm tre pjesë aliazh bakri-nikel në raportet 2: 1, 3: 1 dhe 5: 1 sipas peshës. Një copë me peshë 12 kg u shkri prej tyre me një raport të përmbajtjes së bakrit dhe nikelit 4: 1. Gjeni masën e secilës pjesë origjinale nëse masa e së parës dyfishohet më shumë masë e dyta.

Zgjidhja e sistemeve lineare ekuacionet algjebrike(SLAU) është padyshim tema më e rëndësishme e kursit algjebër lineare. Numër i madh problemet nga të gjitha degët e matematikës reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni

• marr metodë optimale zgjidhjet e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
• studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
• zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare duke shqyrtuar zgjidhjet e detajuara shembuj tipikë dhe detyrat.

Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.

Së pari le të japim gjithçka përkufizimet e nevojshme, konceptet dhe futja e shënimeve.

Më pas, do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe që kanë e vetmja zgjidhje. Së pari, ne do të përqendrohemi në metodën e Cramer-it, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve dhe së treti, do të analizojmë metodën e Gauss (metoda e eliminimit sekuencial të ndryshoreve të panjohura). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.

Pas kësaj, ne do të kalojmë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare pamje e përgjithshme, në të cilën numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është njëjës. Le të formulojmë teoremën Kronecker-Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE-ve. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (nëse ato janë të pajtueshme) duke përdorur konceptin e një baze minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.

Ne patjetër do të ndalemi në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të homogjeneve dhe sisteme heterogjene ekuacionet lineare algjebrike. Le të japim konceptin e një sistemi themelor zgjidhjesh dhe të tregojmë se si të shkruajmë zgjidhje e përgjithshme SLAE duke përdorur vektorët e sistemit të zgjidhjeve themelore. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.

Si përfundim, ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve që mund të reduktohen në ato lineare, si dhe detyra të ndryshme, në zgjidhjen e të cilave lindin SLAE.

Navigimi i faqes.

Përkufizime, koncepte, emërtime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës

Variabla të panjohur - koeficientë (disa realë ose numra komplekse), - terma të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).

Kjo formë e regjistrimit të SLAE quhet koordinoj.

NË forma matrice shkrimi i këtij sistemi ekuacionesh ka formën,
Ku - matrica kryesore e sistemit, - matrica e kolonës së ndryshoreve të panjohura, - matrica e kolonës anëtarë të lirë.

Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Zakonisht matrica e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet vijë vertikale nga kolonat e mbetura, domethënë,

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura që i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të ndryshoreve të panjohura bëhet gjithashtu një identitet.

Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.

Nëse një sistem ekuacionesh nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.

Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.

Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero , atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.

Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.

Nëse numri i ekuacioneve të sistemit është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është e barabartë me zero, atëherë do t'i quajmë SLAE të tilla elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.

Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në shkolla e mesme. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një ndryshore të panjohur në terma të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, më pas morëm ekuacioni i mëposhtëm, shprehi variablin e panjohur pasardhës dhe e zëvendësoi atë me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, domethënë kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.

Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer.

Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare

në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .

Le të jetë përcaktuesi i matricës kryesore të sistemit, dhe - përcaktorët e matricave që fitohen nga A me zëvendësim 1, 2, …, e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë:

Me këtë shënim, ndryshoret e panjohura llogariten duke përdorur formulat e metodës Cramer si . Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.

Shembull.

Metoda e Cramer-it .

Zgjidhje.

Matrica kryesore e sistemit ka formën . Le të llogarisim përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është jozero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer-it.

Le të hartojmë dhe llogarisim përcaktorët e nevojshëm (përcaktorin e marrim duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë me terma të lirë, përcaktorin duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë dhe duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë me terma të lirë) :

Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula :

Përgjigje:

Disavantazhi kryesor i metodës Cramer (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve në sistem është më shumë se tre.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës (duke përdorur një matricë inverse).

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare në formë matrice, ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.

Meqenëse , matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë me të majtën, marrim një formulë për gjetjen e një matrice-kolone të ndryshoreve të panjohura. Kështu kemi marrë një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare metoda e matricës.

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare metoda e matricës.

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës:

Sepse

atëherë SLAE mund të zgjidhet duke përdorur metodën e matricës. Duke përdorur matricë e anasjelltë zgjidhja e këtij sistemi mund të gjendet si .

Le të ndërtojmë matricën e anasjelltë duke përdorur matricën nga shtesat algjebrike elementet e matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Mbetet për të llogaritur matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt në një kolonë matricë të anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Përgjigje:

ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problemi kryesor gjatë gjetjes së zgjidhjeve për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore rendit më i lartë se i treti.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.

Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.

Thelbi i metodës Gauss konsiston në eliminimin sekuencial të ndryshoreve të panjohura: së pari x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa të mbetet vetëm ndryshorja e panjohur x n. ekuacioni i fundit. Ky proces i transformimit të ekuacioneve të një sistemi për të eliminuar në mënyrë sekuenciale variablat e panjohur quhet duke përdorur metodën direkte Gaussian. Pas përfundimit të goditjes përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, duke përdorur këtë vlerë nga ekuacioni i parafundit, llogaritet x n-1 dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura gjatë lëvizjes nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari inversi i metodës Gaussian.

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.

Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke ndërruar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe .

Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.

Më tej, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë

Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , në ekuacioni i katërt le të shtojmë të dytën shumëzuar me , dhe kështu me radhë, në ekuacionin e n-të shtojmë të dytën shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe . Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Më pas, ne vazhdojmë të eliminojmë të panjohurën x 3, ndërsa veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë.

Pra, ne vazhdojmë progresionin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën

Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy anët e ekuacionit të dytë dhe të tretë shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuara me dhe me, përkatësisht:

Tani eliminojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në anën e majtë dhe të djathtë të tij anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të dytë, shumëzuar me:

Kjo plotëson goditjen përpara të metodës së Gausit, ne fillojmë goditjen e kundërt.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve gjejmë x 3:

Nga ekuacioni i dytë marrim .

Nga ekuacioni i parë gjejmë ndryshoren e mbetur të panjohur dhe në këtë mënyrë plotësojmë të kundërtën e metodës Gauss.

Përgjigje:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

NË rast i përgjithshëm numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:

SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe njëjës.

Teorema Kronecker–Capelli.

Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile dhe kur është jokonsistente jepet nga Teorema Kronecker–Capelli:
Në mënyrë që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th. , Rank(A)=Ranku(T).

Le të shqyrtojmë, si shembull, zbatimin e teoremës Kronecker-Capelli për të përcaktuar përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare.

Shembull.

Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka zgjidhjet.

Zgjidhje.

. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minoren e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Le të shohim të miturit e rendit të tretë në kufi me të:

Meqenëse të gjitha minoret kufitare të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është i barabartë me dy.

Nga ana tjetër, rangu i matricës së zgjeruar është e barabartë me tre, pasi i mituri është i rendit të tretë

të ndryshme nga zero.

Kështu, Rang(A), pra, duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.

Përgjigje:

Sistemi nuk ka zgjidhje.

Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e një sistemi duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.

Por si të gjesh një zgjidhje për një SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?

Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e një baze minor të një matrice dhe një teoremë për rangun e një matrice.

Të mitur rendit më të lartë Matrica A, e ndryshme nga zero, quhet bazë.

Nga përkufizimi i një baze minor del se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë jo-zero A mund të ketë disa minore bazë.

Për shembull, merrni parasysh matricën .

Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.

Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi ato janë jo zero

Të miturit nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.

Teorema e rangut të matricës.

Nëse renditja e një matrice të rendit p me n është e barabartë me r, atëherë të gjithë elementët e rreshtit (dhe kolonës) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve të rreshtit (dhe kolonës) përkatëse që formojnë bazë e vogël.

Çfarë na tregon teorema e renditjes së matricës?

Nëse, sipas teoremës Kronecker-Capelli, ne kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo bazë minore të matricës kryesore të sistemit (rendi i saj është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që bëjnë nuk formojnë bazën e zgjedhur minor. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).

Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të panevojshme të sistemit, dy raste janë të mundshme.

Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.

Shembull.

.

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemit është e barabartë me dy, pasi e vogla është e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është zero

dhe minorja e rendit të dytë e konsideruar më sipër është e ndryshme nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker–Capelli, mund të pohojmë përputhshmërinë e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2.

Si bazë minor ne marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë:


Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën mbi rangun e matricës:


Kështu kemi marrë një sistem elementar të ekuacioneve algjebrike lineare. Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer:


Përgjigje:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton më pak numër ndryshore të panjohura n, pastaj në anën e majtë të ekuacioneve i lëmë termat që përbëjnë bazën minore dhe termat e mbetur i transferojmë në anët e djathta të ekuacioneve të sistemit me shenjën e kundërt.

Ndryshoret e panjohura (r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.

Quhen variabla të panjohura (ka n - r pjesë) që janë në anët e djathta falas.

Tani ne besojmë se ndryshoret e panjohura të lira mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen përmes ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE që rezulton duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Zgjidh një sistem ekuacionesh algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor jozero i rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor jo zero të rendit të dytë që kufizohet me këtë minor:


Kështu gjetëm një minor jozero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë:


Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu i barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.

Ne marrim minorin e gjetur jozero të rendit të tretë si bazë.

Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël:


Ne i lëmë termat e përfshirë në bazë të vogël në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit dhe transferojmë pjesën tjetër nga shenja të kundërta në anët e djathta:


Le t'u japim variablave të panjohur të lirë x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë pranojmë , Ku - numra arbitrar. Në këtë rast, SLAE do të marrë formën


Le të zgjidhim sistemin elementar rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it:


Prandaj,.

Në përgjigjen tuaj, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.

Përgjigje:

Ku janë numrat arbitrarë.

Le të përmbledhim.

Për të zgjidhur një sistem ekuacionesh algjebrike të përgjithshme lineare, së pari përcaktojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse rangu i matricës kryesore nuk është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm.

Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim një bazë minore dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e bazës së vogël të zgjedhur.

Nëse rendi i bazës minore e barabartë me numrin variabla të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, të cilën e gjejmë me çdo metodë të njohur për ne.

Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë termat me variablat kryesore të panjohura, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe i japim vlera arbitrare. variablat e panjohura të lira. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare gjejmë të panjohurat kryesore variablat sipas metodës Cramer, metoda matrice ose metoda Gaussian.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Metoda e Gausit mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çfarëdo lloji pa i testuar më parë ato për konsistencë. Procesi i eliminimit sekuencial të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për papajtueshmërinë e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.

Nga pikëpamja llogaritëse, metoda Gaussian është e preferueshme.

Shikoje atë përshkrim i detajuar dhe analizoi shembuj në artikull metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemet algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.

Në këtë pjesë do të flasim për sistemet e njëkohshme homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë grup i pafund vendimet.

Le të merremi së pari me sistemet homogjene.

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistemi homogjen i p ekuacioneve algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura është një koleksion (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.

Nëse shënojmë në mënyrë lineare zgjidhje të pavarura SLAE homogjene si X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë matrica kolonash me dimension n me 1 ), pastaj zgjidhja e përgjithshme për këtë sistem homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me arbitrare koeficientët konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), që është, .

Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?

Kuptimi është i thjeshtë: formula përcakton gjithçka zgjidhjet e mundshme SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstantave arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), duke përdorur formulën do të marrim një nga zgjidhjet për SLAE origjinale homogjene.

Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i përkufizojmë të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .

Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.

Ne zgjedhim bazën minore të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta. Le të japim të panjohura falas vlerat e ndryshueshme 1,0,0,…,0 dhe llogaritni të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, duke përdorur metodën Cramer. Kjo do të rezultojë në X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse caktojmë vlerat 0.0,...,0.1 variablave të panjohura të lira dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (n-r) . Në këtë mënyrë, do të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .

Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës dhe është zgjidhja e veçantë e origjinalit SLAE heterogjene, të cilin e marrim duke u dhënë të panjohurave të lira vlerat 0,0,...,0 dhe duke llogaritur vlerat e të panjohurave kryesore.

Le të shohim shembuj.

Shembull.

Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Si minor jo zero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Le të gjejmë minorin kufitar jozero të rendit të dytë:

Është gjetur një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero:

Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është i barabartë me dy. Le të marrim. Për qartësi, le të shënojmë elementet e sistemit që e formojnë atë:

Ekuacioni i tretë i SLAE origjinale nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, prandaj mund të përjashtohet:

Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anët e djathta të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:

Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor zgjidhjet e kësaj SLAE përbëhen nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura, dhe rendi i minorit bazë të tij është i barabartë me dy. Për të gjetur X (1), ne u japim ndryshoreve të panjohura të lira vlerat x 2 = 1, x 4 = 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve
.