Rasgele bir fonksiyonun sayısal özellikleri. Deneyimden rastgele bir fonksiyonun özelliklerini belirleme

Anlatım 13 Rasgele süreçler Temel kavramlar. Dağıtım kanunu ve. Sabit, ergodik

Tanımlar

Rastgele süreçlerin sınıflandırılması

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Rastgele süreçlerin temel özellikleri

Durağan rastgele süreçler

Sabit bir SP'nin korelasyon fonksiyonunun özellikleri

Ergodik rastgele süreçler

Temel rastgele süreçler

RASTGELE SÜREÇLER
VE ÖZELLİKLERİ

4.1. İŞİN AMACI

4.2. TEORİK BİLGİLER

Rastgele Etkinlikler ve rastgele değişkenler

,

Nerede
. Dağılım fonksiyonu sürekli ve türevlenebilir ise, o zaman şunu tanımlayabiliriz: olasılık yoğunluk fonksiyonu(PDF), kısa olması açısından olasılık yoğunluğu olarak da adlandırılır
(ve bazen sadece yoğunluk):

, sırasında
.

Açıkçası, dağılım fonksiyonu, aşağıdaki özelliklere sahip, negatif olmayan, azalmayan bir fonksiyondur.
,
. Buradan,
PDF, aşağıdaki gereksinimleri karşılayan negatif olmayan bir işlevdir: normalleştirme koşulu
.

Bazen sınırlı sayısal özellikler Rastgele değişken, çoğunlukla anlar. İlköğretim an -inci sıra (inci başlangıç ​​anı)

,

yatay çizgi nerede ve
– integral operatörünün sembolik gösterimi topluluk ortalaması. İlk başlangıç ​​anı
, isminde matematiksel beklenti veya dağıtım merkezi.

Merkezi inci mertebenin anı (merkezî an)

En sık kullanılan merkezi moment ikinci merkezi momenttir veya dağılım

Dağılım yerine sıklıkla çalışırlar standart sapma Rastgele bir değişkenin (RMS)
.

^ Orta Kare, veya ikinci başlangıç ​​anı
, dağılım ve matematiksel beklentiyle ilgilidir:

PDF'nin biçimini tanımlamak için katsayı kullanılır asimetri
ve katsayı aşırı
(bazen basıklık değerle karakterize edilir)
).

PDF ile normal veya Gauss (Gauss) dağılımı sıklıkla kullanılır

,

Nerede Ve – dağıtım parametreleri ( matematiksel beklenti ve sırasıyla MSD). Gauss dağılımı için
,
.

İki rastgele değişken ve karakterize edilir eklem yeri dağıtım yoğunluğu
. Sayısal özellikler eklem yoğunluğu birincil ve merkezi olarak hizmet etmek karışık anlar

,
,

nerede ve – keyfi tamsayılar pozitif sayılar;
Ve – SV'nin matematiksel beklentileri X Ve sen.

İkinci dereceden en sık kullanılan karışık momentler ilk ( korelasyonel an):

ve merkezi ( kovaryans an veya kovaryans)

.

Bir çift Gauss rastgele değişkeni için, iki boyutlu ortak PDF şu şekildedir:

Nerede , – standart sapmalar;
– matematiksel beklentiler; – korelasyon katsayısı– normalleştirilmiş kovaryans momenti

.

Sıfır korelasyon katsayısı ile, açıktır ki

,

yani. ilişkisiz Gauss rastgele değişkenleri bağımsız.
^

Rastgele süreçler

.

Rastgele süreç tamamen tanımlanmış kabul edilir, eğer birisi içinse herhangi bir zaman noktasında ortak PDF'si yazılabilir
.

Çoğunlukla rastgele bir süreci tanımlarken kendimizi onun karışık süreçlerinin bütünlüğüyle sınırlayabiliriz. ilk anlar(varsa, yani karşılık gelen integraller yakınsarsa)

ve karışık merkezi anlar

negatif olmayan tamsayılar için
ve genel olarak.

Genel durumda, PDF ekleminin momentleri, bölümlerin zaman eksenindeki konumuna bağlıdır ve denir. moment fonksiyonları. İkinci karışık merkezi moment en sık kullanılır.

,

otokorelasyon fonksiyonu veya otokorelasyon fonksiyonu (ACF) olarak adlandırılır. Burada ve aşağıda zamana bağımlılığın açıkça belirtilmediğini, yani zamanın işlevlerinin aşağıda belirtildiğini hatırlayalım.
,
Ve
.

İki rastgele süreç birlikte düşünülebilir
Ve
; böyle bir değerlendirme, bunların çok boyutlu bir ortak PDF biçiminde ve ayrıca karışık olanlar da dahil olmak üzere tüm anların bir kümesi biçiminde tanımlanmasını gerektirir. Çoğu zaman ikinci karışık merkezi moment kullanılır.

,

çapraz korelasyon işlevi denir
.

Tüm rastgele süreçler arasında, tüm zaman kesitleri aynı anda aynı miktarda değiştiğinde (kaydığı) ortak boyutlu PDF'nin değişmediği SP'ler ayırt edilir. Bu tür işlemlere denir sabit dar anlamda veya kesinlikle sabit.

Daha sık olarak, zayıflamış durağanlık özelliklerine sahip daha geniş bir rastgele süreçler sınıfı dikkate alınır. Ortak girişim denir sabit geniş anlamda , eğer bölümlerin eşzamanlı kaymasıyla yalnızca momentleri değişmiyorsa saniyeden yüksek değil emir. Pratikte bu, eğer sabitse SP'nin geniş anlamda durağan olduğu anlamına gelir. ortalama(matematiksel beklenti) ve dağılım
ve ACF yalnızca zaman anları arasındaki farka bağlıdır, ancak zaman eksenindeki konumlarına bağlı değildir:

1)
,

2) ,
.

Dikkat
buradan dağılımın sabitliği gelir.

Dar anlamda durağan olan bir sürecin geniş anlamda da durağan olduğunu doğrulamak zor değildir. Geniş anlamda durağanlığın dar anlamda durağanlığı ima ettiği süreçler olmasına rağmen, bunun tersi ifade genellikle yanlıştır.

Okumaların ortak boyutlu PDF'si
Zaman dilimleri halinde alınan Gauss süreci şu şekildedir:

, (4.1)

Nerede – belirleyici kare matrisörneklerin ikili korelasyon katsayılarından oluşur;
– cebirsel tamamlayıcı eleman bu matris.

Her durumda ortak Gauss PDF'si tamamen matematiksel beklentiler, dağılımlar ve örneklerin korelasyon katsayıları, yani ikinci dereceden yüksek olmayan moment fonksiyonları tarafından belirlenir. Gauss süreci geniş anlamda durağansa, o zaman tüm matematiksel beklentiler aynıdır, tüm varyanslar (ve dolayısıyla standart sapma) birbirine eşittir ve korelasyon katsayıları yalnızca zaman bölümlerinin birbirinden ne kadar uzakta olduğuna göre belirlenir. birbirine göre. O zaman, tüm zaman bölümleri aynı miktarda sola veya sağa kaydırılırsa PDF (4.1) elbette değişmeyecektir. Şunu takip ediyor Gauss süreci, geniş anlamda durağan, dar anlamda durağan(kesinlikle sabit).

Tamamen durağan rastgele süreçler arasında genellikle daha dar bir sınıf ayırt edilir. ergonomik rastgele süreçler. Ergodik süreçler için, topluluk üzerinden ortalama alınarak bulunan momentler, zaman içinde ortalama alınarak bulunan karşılık gelen momentlere eşittir:

,

(Burada - zaman ortalamasını alma operatörünün sembolik gösterimi).

Özellikle ergodik bir süreç için matematiksel beklenti, varyans ve ACF sırasıyla eşittir.

,

,

Rastgele bir sürecin sayısal özelliklerinin pratik olarak ölçülmesini (değerlendirilmesini) mümkün kıldığından, ergodiklik oldukça arzu edilir. Gerçek şu ki, bir gözlemci genellikle rastgele bir sürecin (muhtemelen oldukça uzun da olsa) yalnızca bir uygulamasına açıktır. Ergodisite esas olarak bu eşsiz farkındalığın tüm topluluğun tam temsilcisi.

Ergodik prosesin özelliklerinin ölçümü basit ölçüm cihazları kullanılarak yapılabilir; yani eğer süreç zamana bağlı bir voltajsa, voltmetre manyetoelektrik sistem, matematiksel beklentisini (sabit bileşen), bir ayırma kapasitansı (sabit bileşeni hariç tutmak için) aracılığıyla bağlanan bir elektromanyetik veya termoelektrik sistemin voltmetresini - ortalama karekök değerini (RMS) ölçer. Cihaz, blok şemasıŞekil 2'de gösterilmektedir. 4.1, farklı durumlar için otokorelasyon fonksiyonunun değerlerini ölçmenizi sağlar . Filtre düşük frekanslar Burada entegratör rolü oynayan kapasitör, doğru akım bileşenini geçmediği için süreci merkezileştirir. Bu cihazın adı korelometre.

Pirinç. 4.1

Durağan bir rastgele sürecin ergodikliği için yeterli koşullar şu koşuldur:
ve ayrıca daha az güçlü Slutsky durumu
.
^

Ayrık Algoritmalar ortak girişimin parametrelerinin tahmin edilmesi

,

Nerede
– süreç örneklerinin sırası ( örnek hacim
). Dağılım tahmini örnek varyans , ifadeyle tanımlanır

.

Otokorelasyon fonksiyonunun tahmini, diğer adıyla korelogram, olarak bulunur

.

SSP'nin anlık değerinin olasılık dağılım yoğunluğunun bir tahmini şu şekildedir: histogram. Bunu bulmak için olası SP değerleri aralığı şu şekilde bölünmüştür: eşit genişlikte aralıklar, sonra her biri için -inci aralık sayısı içerdiği numunenin örnekleri. Histogram bir sayı dizisidir
genellikle kafes diyagramı olarak gösterilir. Belirli bir örnek boyutu için aralık sayısı, tahmin doğruluğu ile histogramın çözünürlüğü (ayrıntı derecesi) arasındaki uzlaşmaya dayalı olarak seçilir.
^

Rastgele süreçlerin korelasyon-spektral teorisi

,
.

Açıkçası, SPM - negatif olmayan işlev. Sürecin sıfırdan farklı bir matematiksel beklentisi varsa terim PSD'ye eklenir.
.

Gerçek bir süreç için ACF ve SPM gerçek işlevlerdir.

Bazen kendinizi sayısal özelliklerle (korelasyon aralığı ve etkin spektrum genişliği) sınırlandırabilirsiniz. ^ Korelasyon aralığı farklı şekillerde tanımlanır, özellikle aşağıdaki tanımlar bilinmektedir:

için atama ders çalışması

Verilen: beş başlangıç ​​anı

A 1 = 1, bir 2= 2, a 3= 2, a 4= 1, bir 5 = 1 (µ G = 0, µ 0 = 1).

Bul: beş merkezi nokta.

Beş başlangıç ​​ve beş merkezi momenti elinizin altında bulundurarak değerleri hesaplayın:

A)matematiksel beklenti;

B)dağılım;

V)standart sapma;

G)varyasyon katsayısı;

D)asimetri katsayısı;

e)basıklık katsayısı.

Elde edilen verileri kullanarak bu sürecin olasılık yoğunluğunu niteliksel olarak tanımlayın.

1. Teorik bilgiler

Rastgele değişkenlerin dağılımları ve dağılım fonksiyonları

Sayısal bir rastgele değişkenin dağılımı, rastgele değişkenin alma olasılığını benzersiz bir şekilde belirleyen bir fonksiyondur. değeri belirle veya belirli bir aralığa aittir.

Birincisi, rastgele değişkenin alması durumunda son sayı değerler. Daha sonra dağılım fonksiyon tarafından verilir. P(X=x),herkese vermek olası anlam Xrastgele değişken Xolasılığı X = x.

İkincisi ise rastgele değişkenin sonsuz sayıda değer almasıdır. Bu ancak şu durumlarda mümkündür: olasılık alanı Rastgele değişkenin tanımlandığı , aşağıdakilerden oluşur: sonsuz sayı temel olaylar. Daha sonra dağılım olasılıklar kümesine göre verilir. R (birX tüm sayı çiftleri için a, bÖyle ki A Dağıtım sözde kullanılarak belirtilebilir. dağılım fonksiyonu F(x) = P (X<х), tüm gerçekleri tanımlayan X rastgele değişkenin olasılığı X daha düşük değerler alır X. Açık ki

R (birX

Bu ilişki, hem dağılımın dağılım fonksiyonundan hesaplanabileceğini, hem de tam tersine dağılım fonksiyonunun dağılımdan hesaplanabileceğini göstermektedir.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda kullanılan dağılım fonksiyonları ya ayrık, sürekli ya da bunların kombinasyonlarıdır.

Ayrık dağılım fonksiyonları, elemanları doğal sayılarla numaralandırılabilen bir kümeden sonlu sayıda değer veya değer alan ayrık rastgele değişkenlere karşılık gelir (bu tür kümelere matematikte sayılabilir denir). Grafikleri basamaklı bir merdivene benziyor (Şekil 1).

Örnek 1.Sayı XBir partideki kusurlu ürünler 0,3 olasılıkla 0 değerini, 0,4 olasılıkla 1 değerini, 0,2 olasılıkla 2 değerini ve 0,1 olasılıkla 3 değerini alır. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği XŞekil 2'de gösterilmiştir. 1.

Pirinç. 1. Arızalı ürün sayısının dağılım fonksiyonunun grafiği.

Sürekli dağıtım işlevlerinde atlamalar yoktur. Argüman arttıkça monoton bir şekilde artarlar - x→∞ için 0'dan x→+∞ için 1'e. Sürekli dağılım fonksiyonuna sahip rastgele değişkenlere sürekli denir.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan sürekli dağılım fonksiyonlarının türevleri vardır. Birinci türev f(x)dağıtım fonksiyonları F(x)olasılık yoğunluğu denir,

Olasılık yoğunluğunu kullanarak dağıtım fonksiyonunu belirleyebilirsiniz:

Herhangi bir dağıtım işlevi için

Dağıtım fonksiyonlarının listelenen özellikleri, olasılıksal ve istatistiksel karar verme yöntemlerinde sürekli olarak kullanılır. Özellikle son eşitlik, aşağıda ele alınan olasılık yoğunlukları formüllerinde sabitlerin belirli bir biçimini ifade eder.

Örnek 2.Aşağıdaki dağıtım işlevi sıklıkla kullanılır:

(1)

Nerede AVe B-bazı sayılar A Bu dağılım fonksiyonunun olasılık yoğunluğunu bulalım:

(noktalarda X = AVe x = bbir fonksiyonun türevi F(x)mevcut değil).

Dağılım fonksiyonu (1) olan bir rastgele değişkene “bölüm üzerinde düzgün dağılmış” denir. ».

Karışık dağılım fonksiyonları özellikle gözlemler bir noktada durduğunda ortaya çıkar. Örneğin, belirli bir süre sonra testin sonlandırılmasını sağlayan güvenilirlik test planları kullanılarak elde edilen istatistiksel verileri analiz ederken. Veya garanti kapsamında onarım gerektiren teknik ürünlere ilişkin verileri analiz ederken.

Örnek 3.Örneğin bir elektrik ampulünün hizmet ömrünün dağıtım fonksiyonuna sahip bir rastgele değişken olduğunu varsayalım. F(t),ve test, testin başlangıcından itibaren 100 saatten daha az bir süre içinde meydana gelirse, ampul arızalanıncaya kadar veya T0 = 100 saat. İzin vermek G(t) -Bu test sırasında iyi durumda olan ampulün çalışma süresinin dağıtım fonksiyonu. Daha sonra

İşlev G(t)bir noktada sıçrama var T0 , karşılık gelen rastgele değişken değeri aldığından T0 olasılıkla 1-F(t)0 )>0.

Rasgele değişkenlerin özellikleri.Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde, dağılım fonksiyonları ve olasılık yoğunlukları aracılığıyla ifade edilen rastgele değişkenlerin bir dizi özelliği kullanılır.

Gelir farklılaşmasını tanımlarken, rastgele değişkenlerin dağılım parametrelerinin güven sınırlarını bulurken ve diğer birçok durumda “sıralı nicelik” gibi bir kavram kullanılır. R",nerede 0 <р < 1 (belirtilen XR). Sipariş niceliği R- dağılım fonksiyonunun değerini aldığı rastgele değişkenin değeri Rveya daha düşük bir değerden “sıçrama” var Rdaha büyük bir değere R(Şekil 2). Bu koşulun, bu aralığa ait tüm x değerleri için karşılanması mümkündür (yani dağılım fonksiyonu bu aralıkta sabittir ve şuna eşittir: P).O zaman bu tür değerlerden her birine “sıranın niceliği” adı verilir R".Sürekli dağıtım fonksiyonları için kural olarak tek bir nicelik vardır. XR emir R(Şekil 2) ve

F(xP)=s.(2)

Pirinç. 2. Kantilin belirlenmesi XR emir R.

Örnek 4.Kantilini bulalım XR emir Rdağıtım fonksiyonu için F(x)(1)'den.

0'da <р < 1 nicelik XR denklemden bulunur

onlar. XR= bir+ p (b - a) = a (1-p) + bр.Şu tarihte: p = 0 herhangi biri XA bir düzen niceliğidir P= 0. Sipariş niceliği R= 1 herhangi bir sayıdır XB.

Ayrık dağılımlar için kural olarak XR, tatmin edici denklem (2). Daha doğrusu, bir rastgele değişkenin dağılımı tabloda veriliyorsa. 1, nerede X1 < х 2 <… < х İle, daha sonra eşitlik (2), aşağıdakilere göre bir denklem olarak kabul edilir: XR, sadece için çözümler var kdeğerler P,yani,

p =p1

p =p1 +p2 ,

p = p1 +p2 +p3 ,

p = p1 +p2 + RT, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +Pk

Tablo 1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Rastgele değişken x değerleri Xx1 X2 …XkOlasılıklar P (X = x)P1 R2 …Rk

Listelenenler için İleolasılık değerleri Rçözüm XR denklem (2) benzersiz değildir, yani,

F(x) =р, +р2 +… + RT

herkes için XÖyle ki XT < х < х t+1. Onlar. XR - aralıktaki herhangi bir sayı (XT; Xm+1). Diğer herkes için Rlistede (3) yer almayan (0; 1) aralığından daha az bir değerden “sıçrama” vardır Rdaha büyük bir değere R.Yani eğer

P1 +p2 +… + PT 1 +p2 + … + PT+pt+1,

O XR=xt+1.

Ayrık dağılımların dikkate alınan özelliği, bu tür dağılımları tablolaştırırken ve kullanırken önemli zorluklar yaratır, çünkü dağıtım özelliklerinin tipik sayısal değerlerini doğru bir şekilde korumak imkansızdır. Bu, özellikle parametrik olmayan istatistiksel testlerin kritik değerleri ve anlamlılık seviyeleri için geçerlidir (aşağıya bakın), çünkü bu testlerin istatistiklerinin dağılımları ayrıktır.

İstatistikte nicelik sırasının önemi büyüktür p =½. Buna medyan denir (rastgele değişken Xveya dağıtım işlevi F(x))ve belirlenmiş Kürk).Geometride "medyan" kavramı vardır - bir üçgenin tepe noktasından geçen ve karşı tarafını ikiye bölen düz bir çizgi. Matematiksel istatistikte medyan üçgenin kenarını değil, bir rastgele değişkenin dağılımını ikiye böler: eşitlik F(x0,5 ) = 0,5 sola gitme olasılığı anlamına gelir X0,5 ve sağa gitme olasılığı X0,5 (veya doğrudan X0,5 ) birbirine eşit ve eşittir ½ , onlar.

Medyan, dağılımın "merkezini" gösterir. Modern kavramlardan birinin (kararlı istatistiksel prosedürler teorisi) bakış açısından medyan, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentiden daha iyi bir özelliğidir. Sıralı ölçekte ölçüm sonuçları işlenirken (ölçüm teorisi hakkındaki bölüme bakın), medyan kullanılabilir ancak matematiksel beklenti kullanılamaz.

Rastgele bir değişkenin mod gibi bir özelliğinin açık bir anlamı vardır - sürekli bir rastgele değişken için olasılık yoğunluğunun yerel maksimumuna veya ayrı bir rastgele değişken için olasılığın yerel maksimumuna karşılık gelen bir rastgele değişkenin değeri (veya değerleri) .

Eğer X0 - yoğunluk ile rastgele değişken modu f(x),bilindiği gibi

diferansiyel hesaptan,

Bir rastgele değişkenin birçok modu olabilir. Yani, düzgün dağılım için (1) her nokta XÖyle ki A< х < b, modadır. Ancak bu bir istisnadır. Olasılıksal istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda kullanılan rastgele değişkenlerin çoğunun bir modu vardır. Tek modlu rastgele değişkenler, yoğunluklar ve dağılımlara tek modlu denir.

Sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için matematiksel beklenti “Olaylar ve Olasılıklar” bölümünde tartışılmaktadır. Sürekli bir rastgele değişken için Xmatematiksel beklenti M(X)eşitliği karşılıyor

Örnek 5.Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişken için beklenti Xeşittir

Bu bölümde ele alınan rastgele değişkenler için, sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklentilerin ve varyansların tüm özellikleri doğrudur. Ancak, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin anlaşılması ve nitelikli uygulanması için gerekli olmayan matematiksel inceliklerin derinleştirilmesini gerektirdiğinden, bu özelliklerin kanıtını sunmuyoruz.

Yorum. Bu ders kitabı, özellikle ölçülebilir kümeler ve ölçülebilir fonksiyonlar, olayların cebiri vb. kavramlarıyla ilgili matematiksel inceliklerden kasıtlı olarak kaçınmaktadır. Bu kavramlara hakim olmak isteyenler özel literatüre, özellikle de ansiklopediye yönelmelidir.

Üç özelliğin her biri (matematiksel beklenti, medyan, mod) olasılık dağılımının "merkezini" tanımlar. "Merkez" kavramı farklı şekillerde tanımlanabilir; dolayısıyla üç farklı özelliği vardır. Bununla birlikte, önemli bir dağılım sınıfı (simetrik tek modlu) için üç özelliğin tümü çakışmaktadır.

Dağıtım yoğunluğu f(x)- bir sayı varsa simetrik dağılımın yoğunluğu X0 Öyle ki

(3)

Eşitlik (3), fonksiyonun grafiğinin olduğu anlamına gelir y =f(x)simetri merkezinden geçen dikey bir çizgiye göre simetrik x = x0 . (3)'ten simetrik dağılım fonksiyonunun ilişkiyi karşıladığı sonucu çıkar

(4)

Tek modlu simetrik bir dağılım için matematiksel beklenti, medyan ve mod çakışır ve eşittir X0 .

En önemli durum 0 civarında simetridir, yani. XN = 0. O zaman (3) ve (4) eşitlik olur

(5)

(6)

sırasıyla. Yukarıdaki ilişkiler, tüm dağılımlar için simetrik dağılımları tablolaştırmaya gerek olmadığını göstermektedir. X, x için tabloların olması yeterlidir X0 .

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda sürekli olarak kullanılan simetrik dağılımların bir özelliğini daha not edelim. Sürekli bir dağıtım fonksiyonu için

P(a) = P (-a<Х a) = F(a) - F(-a),

Nerede F- rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu X.Dağıtım fonksiyonu ise F0 civarında simetriktir, yani formül (6) bunun için geçerlidir, o halde

P(a) =2F(a) - 1.

Söz konusu ifadenin başka bir formülasyonu sıklıkla kullanılır:

Eğer Ve - sıranın nicelikleri α ve 1- α buna göre (bkz. (2)) 0 civarında simetrik bir dağılım fonksiyonu, o zaman (6)'dan şu sonuç çıkar:

Konumun özelliklerinden (matematiksel beklenti, medyan, mod) rastgele değişkenin yayılma özelliklerine geçelim X:

farklılıklar , standart sapma σ ve varyasyon katsayısı v. Ayrık rastgele değişkenler için dağılımın tanımı ve özellikleri önceki bölümde tartışılmıştı. Sürekli rastgele değişkenler için

Standart sapma, varyansın karekökünün negatif olmayan değeridir:

Değişim katsayısı standart sapmanın matematiksel beklentiye oranıdır:

Değişim katsayısı şu durumlarda uygulanır: M(X)>0.Yayılımı bağıl birimlerle ölçerken, standart sapma mutlak birimlerle ölçülür.

Örnek 6.Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişken için XDağılım, standart sapma ve varyasyon katsayısını bulalım. Varyans:

Değişken değiştirme şunu yazmayı mümkün kılar:

Nerede c = (b- A)/2. Bu nedenle standart sapma eşittir ve varyasyon katsayısı:

Her rastgele değişken için Xüç nicelik daha belirleyin - merkezli E,normalleştirilmiş Vve verildi U.Merkezi rastgele değişken Y-belirli bir rastgele değişken arasındaki farktır Xve matematiksel beklentisi M(X),onlar. Y= X - M(X).Merkezi rastgele değişken Г'nin matematiksel beklentisi 0'a eşittir ve varyans, bu rastgele değişkenin dağılımıdır: M(E) =0, D(Y) = D(X).Dağıtım işlevi Fe(X)merkezli rastgele değişken edağıtım fonksiyonuyla ilgili F(x)orijinal rastgele değişken Xoran:

Fe(x) =F(x + M(X)).

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları aşağıdaki eşitliğe sahiptir:

Fe(x) =f(x + M(X)).

Normalleştirilmiş rastgele değişken Vbelirli bir rastgele değişkenin oranıdır Xİle standart sapması σ yani . Normalleştirilmiş bir rastgele değişkenin beklentisi ve varyansı Vözelliklerle ifade edilir XBu yüzden:

Nerede v- orijinal rastgele değişkenin varyasyon katsayısı X.Dağıtım fonksiyonu için Fv(X)ve yoğunluk Fv(X)normalleştirilmiş rastgele değişken Vsahibiz:

Nerede F(x)- orijinal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu X,A f(x) -olasılık yoğunluğu.

Azaltılmış rastgele değişken U-bu ortalanmış ve normalleştirilmiş rastgele değişkendir:

Verilen rastgele değişken için:

(7)

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve azaltılmış rastgele değişkenler hem teorik çalışmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici, teknik ve eğitici belgelerde sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle, çünkü Yöntemlerin gerekçelendirilmesini, teoremlerin formülasyonunu ve hesaplama formüllerini basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel olanları kullanılır. Yani eğer Y= aX+ b,Nerede Ave b - bazı sayılar, o zaman

(8)

Örnek 7.Eğer O U-rastgele değişken verildiğinde formüller (8) formüllere (7) dönüşür.

Her rastgele değişkenle Xbirçok rastgele değişkeni ilişkilendirebilirsiniz E,formül tarafından verilen sen= aX+bfarklı a>0Ve B.Bu sete denir ölçek değiştiren aile,rastgele bir değişken tarafından oluşturulan X.Dağıtım fonksiyonları Fe(X)dağıtım fonksiyonu tarafından oluşturulan ölçek değiştirme dağılım ailesini oluşturur F(x).Yerine Y= aX+ bsıklıkla kayıt kullanın

(9)

Sayı İlekaydırma parametresi denir ve sayı D- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: X -belirli bir miktarın ölçülmesinin sonucu - Y'ye gider - ölçümün başlangıcı bir noktaya taşınırsa aynı miktarın ölçülmesinin sonucu İle,ve ardından yeni ölçü birimini kullanın. Deskisinden kat kat daha büyük.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için X'in dağılımına standart denir. Olasılıksal istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı vb. kullanılır (aşağıya bakınız).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin pozitif bir rastgele değişken için Xdüşünüyor Y=G X,lg nerede X-bir sayının ondalık logaritması X.Eşitlik zinciri

SEVASTOPOL DEVLET ÜNİVERSİTESİ

MM. Ghashim, T.V. Cernautanu

RASTGELE ÖZELLİKLER

öğretici

Onaylı

enstitünün bilimsel konseyi

Sivastopol

Ghashim M.M., T.V.Cerneutanu

Rastgele fonksiyonlar: eğitim yöntemi. ödenek. – Sevastopol: SevGU, 2015.

Bu kılavuz üç ana bölümü kapsamaktadır: “ ”, “ ”, “ “. Her bölüm temel teorik soruları, tipik örneklerin analizini ve bağımsız çalışma görevlerini ve bunlara yanıtları içerir.

"" konusunu incelerken üçüncü sınıf öğrencilerine yöneliktir.

İnceleyenler:

Doktora,

Doktora, Doçent

NK.Ph.S.Doçent

© SevGU Yayınevi, 2015

§ 1. Rasgele fonksiyon kavramı……………………………………

§ 2. Rastgele fonksiyonların özellikleri……………………………

§ 3. Dinamik bir sistemin operatörü……………………………….

§ 4. Rasgele fonksiyonların doğrusal dönüşümleri………………

§ 5. Durağan rastgele süreçler……………………

§ 6. Durağan bir rastgele fonksiyonun spektral genişlemesi………

§ 7. Durağan rastgele fonksiyonların ergodik özelliği………….

Tipik sorunları çözme……………………………………………………………..

Bağımsız çözüme yönelik sorunlar………………………………

EDEBİYAT………………………………………………………………

Rastgele Özellikler

Rasgele fonksiyon kavramı.

Olasılık teorisi sürecinde, çalışmanın ana konusu, deney sonucunda önceden bilinmeyen ancak yalnızca bir değer almaları ile karakterize edilen rastgele değişkenlerdi. Yani, rastgele olaylar, bireysel bir deneyin bazı sabit sabit koşullarında sanki "statik"miş gibi incelendi. Ancak pratikte, deney sırasında sürekli değişen rastgele değişkenlerle sıklıkla uğraşmak gerekir. Örneğin sürekli olarak hareket eden bir hedefe nişan alırken ilerleme açısı; güdümlü bir merminin yörüngesinin kontrol veya hedef arama vb. sırasında teorik olandan sapması. Prensip olarak, otomatik kontrole sahip herhangi bir sistem, ilgili teorik temele (otomatik kontrol teorisi) belirli gereksinimler getirir. Bu teorinin geliştirilmesi, her zaman sürekli olarak işleyen rastgele bozulmalar veya "müdahale" koşulları altında meydana gelen kontrol süreçlerine kaçınılmaz olarak eşlik eden hataları analiz etmeden mümkün değildir. Bu bozulmalar doğası gereği rastgele fonksiyonlardır. Bu yüzden:

Tanım . Rastgele işlev X(T) rastgele olmayan bir argümanın fonksiyonu olarak adlandırılır T argümanın her sabit değeri için rastgele bir değişkendir.

Rastgele bir fonksiyonun aldığı spesifik form X(T) deneyim sonucu denir uygulama rastgele fonksiyon.

Örnek . Hava rotasındaki bir uçağın teorik olarak sabit bir hava hızı vardır V. Aslında hızı bu ortalama nominal değer etrafında dalgalanır ve zamanın rastgele bir fonksiyonudur. Uçuş, rastgele bir fonksiyonun yer aldığı bir deney olarak düşünülebilir. V(T) belirli bir uygulamayı kabul eder (Şekil 1).

Uygulama şekli deneyimden deneyime değişir. Bir uçağa bir kayıt cihazı takılıysa, her uçuşta diğerlerinden farklı olarak rastgele bir işlevin yeni bir uygulamasını kaydedecektir. Birkaç uçuşun sonucunda rastgele fonksiyonun bir uygulama ailesi elde edilebilir. V(T) (Şek.2).

Uygulamada, tek bir argümana değil, atmosferin durumu (sıcaklık, basınç, rüzgar, yağış) gibi birkaç argümana bağlı olan rastgele fonksiyonlar vardır. Bu derste yalnızca bir argümanın rastgele fonksiyonlarını ele alacağız. Bu argüman çoğu zaman zaman olduğundan, onu harfle göstereceğiz. T. Ayrıca rastgele fonksiyonları büyük harflerle ( X(T), e(T), …) rastgele olmayan fonksiyonlardan farklı olarak ( X(T),sen(T), …).

Bazı rastgele fonksiyonları düşünün X(T). Öyle olduğunu varsayalım N deney sayısına göre belirttiğimiz n uygulamanın elde edildiği bağımsız deneyler X 1 (T), X 2 (T), …, X N(T). Açıkçası, her uygulama sıradan (rastgele değil) bir işlevdir. Böylece her deneyin sonucunda rastgele fonksiyon X(T) rastgele olmayan bir fonksiyona dönüşür.

Şimdi argümanın bazı değerlerini düzeltelim T. Bu durumda rastgele fonksiyon X(T) rastgele bir değişkene dönüşecektir.

Tanım. Bölüm rastgele fonksiyon X(T), bir rastgele fonksiyonun argümanının sabit bir değerine karşılık gelen bir rastgele değişkendir.

Rastgele bir fonksiyonun, bir rastgele değişkenin ve bir fonksiyonun özelliklerini birleştirdiğini görüyoruz. Gelecekte sıklıkla aynı işlevi dönüşümlü olarak ele alacağız X(T) tüm değişim aralığı boyunca dikkate alınıp alınmamasına bağlı olarak rastgele bir fonksiyon veya rastgele bir değişken olarak T veya sabit değerinde.

Rastgele değişkeni düşünün X(T) – şu anda rastgele bir fonksiyonun kesiti T. Bu rastgele değişkenin genel olarak aşağıdakilere bağlı olan bir dağıtım yasası olduğu açıktır: T. onu belirtelim F(X, T). İşlev F(X, T) denir tek boyutlu dağıtım kanunu rastgele fonksiyon X(T).

Açıkçası işlevi F(X, T) rastgele bir fonksiyonun tam ve kapsamlı bir özelliği değildir X(T), Çünkü yalnızca dağıtım yasasını karakterize eder X(T) keyfi de olsa belirli bir durum için T ve rastgele değişkenlerin bağımlılığı hakkındaki soruyu cevaplamıyor X(T) farklı için T. Bu bakış açısından rastgele fonksiyonun daha eksiksiz bir karakterizasyonu X(T) sözde iki boyutlu dağıtım yasası: F(X 1 , X 2 ; T 1 , T 2). Bu, iki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım yasasıdır X(T 1), X(T 2), yani. rastgele bir fonksiyonun iki keyfi bölümü X(T). Ancak bu özellik genel durumda kapsamlı değildir. Açıkçası, teorik olarak argüman sayısını sınırsız bir şekilde artırmak ve bir rastgele fonksiyonun giderek daha eksiksiz bir karakteristiğini elde etmek mümkündür, ancak birçok argümana bağlı olan bu tür hantal özelliklerle çalışmak son derece zordur. Bu derste dağılım yasalarını hiç kullanmayacağız, ancak rastgele değişkenlerin sayısal özelliklerine benzer şekilde rastgele fonksiyonların en basit özelliklerini dikkate alarak kendimizi sınırlayacağız.

Karmaşık katmanlı bir fonksiyona fonksiyon denir

Z(T)=X(T)+Y(T)Ben,

Nerede X(T) Ve e(T)-gerçek bir argümanın gerçek rastgele fonksiyonları T.

Matematiksel beklenti ve varyans tanımlarını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim, böylece özellikle Y = 0'da bu özellikler gerçek rastgele fonksiyonlar için daha önce tanıtılan özelliklerle örtüşür, yani gereksinimler karşılanır:

mz(T)=mx(T)(*)

D z(T)=Dx(T)(**)

Matematiksel,beklemek,karmaşık rastgele fonksiyon Z(T)=X(T)+Y(T)Ben karmaşık bir işlev olarak adlandırılır (rastgele olmayan)

m z ( T)=mx(T)+benim(T)Ben.

Özellikle Y=0 için şunu elde ederiz: t z(T)=tx(T),onlar. gereklilik (*) karşılanmıştır.

Karmaşık rastgele fonksiyon Z'nin dağılımı(T) merkezli bir fonksiyonun kare modülünün matematiksel beklentisidir Z(T):

D z(T)=M[| (T)| 2 ].

Özellikle Y==0 için D z ( T)= M[| (T)|] 2 =Dx(T), yani gereksinim (**) karşılanmıştır.

Toplamın matematiksel beklentisinin, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşit olduğunu düşünürsek,

D z(T)=M[| (T)| 2 ]=M{[ (T)] 2 + [ (T) 2 ]}=M[ (T)] 2 +M[ (T) 2 ]=Dx(T)+Gün(T).

Bu yüzden, karmaşık bir rastgele fonksiyonun varyansı, gerçek ve sanal kısımlarının varyanslarının toplamına eşittir:

D z ( T)=Dx(T)+Gün(T).

Gerçek bir rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunun olduğu bilinmektedir. X(T) bağımsız değişkenlerin farklı değerleri için varyansa eşittir Dx(T). Korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z(T) böylece argümanların eşit değerleri için T 1 =t 2 =t korelasyon fonksiyonu k z(T,T) varyansa eşitti D z(T), yani gereksinimin karşılanması için

k z(T,T)=Dz(T). (***)

Karmaşık rastgele fonksiyon Z'nin korelasyon fonksiyonu(T) kesitlerin korelasyon momenti olarak adlandırılır ( T 1) ve ( T 2)

k z(T 1 ,T 2)= M.

Özellikle argümanların eşit değerleri ile

k z(T,T)= M=M[| | 2 ]=D z(T).

yani gereksinim (***) karşılanmıştır.

Gerçek rastgele fonksiyonlar ise X(T) Ve e(T) ilişkilidir, o zaman

k z(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2)+ [Rxy(T 2 ,T 1)]+ [Rxy(T 1 ,T 1)].

Eğer X(T) Ve e(T) ilişkili değilse, o zaman

k z(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2).

Çapraz korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z 1 (T)=X 1 (T)+e 1 (T)Ben Ve Z 2 (T)=X 2 (T)+e 2 (T)Ben yani özellikle ne zaman e 1 =Y 2 = 0 gereksinim karşılandı

İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu bir işlevi çağırmak (rastgele olmayan)

Özellikle, ne zaman e 1 =Y 2 =0 elde ederiz

yani gereklilik (****) karşılanmıştır.

İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu, gerçek ve sanal kısımlarının çapraz korelasyon fonksiyonları aracılığıyla aşağıdaki formülle ifade edilir:

Görevler

1. Rasgele fonksiyonların matematiksel beklentisini bulun:

A) X(T)=Ut 2 nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=5 ,

B)X(T)=Ü cos2 t+Vt, Nerede sen Ve V- rastgele değişkenler ve M(sen)=3 ,M(V)=4 .

Temsilci a) mx(t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. kx(T 1 ,T 2) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların korelasyon fonksiyonlarını bulun:

A) e(T)=X(T)+t; B) e(T)=(T+1)X(T); V) e(T)=4X(T).

Temsilci a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Fark belirtildi Dx(T) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların varyansını bulun: a) e(T)=X(T)+e t b)e(T)=tX(T).

Cevap vermek. A) Dy(T)=Dx(T); B) Dy(T)=t 2 Dx(T).

4. Bul: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) rastgele bir fonksiyonun varyansı X(T)=Usin 2T, Nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=3 ,D(sen)=6 .

Cevap vermek. A) m x(T) =3günah 2T; B) kx(T 1 ,T 2)= 6günah 2T 1 günah 2T 2; V) Dx(T)=6günah 2 2T.

5. Rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunu bulun X(T), korelasyon fonksiyonunu bilerek kx(T 1 ,T 2)=3çünkü(T 2 -T 1).

Temsilci ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Bul: a) karşılıklı korelasyon fonksiyonu; b) iki rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş çapraz korelasyon fonksiyonu X(T)=(T+1)sen ve Y( T)= (T 2 + 1)sen, Nerede U- rastgele değişken ve D(sen)=7.

Cevap vermek. A) Rxy(T 1 ,T 2)=7(T 1 +l)( T 2 2 +1); B) ρxy(T 1 ,T 2)=1.

7. Rastgele fonksiyonlar verilmiştir X(T)= (T- 1)sen Ve e(T)=T 2 sen, Nerede sen Ve V- ilişkisiz rastgele değişkenler ve M(sen)=2, M(V)= 3,D(sen)=4 , D(V)=5 . Bulgular: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) toplamın varyansı Z(T)=X(T)+Y(T).

Not. Verilen rastgele fonksiyonların çapraz korelasyon fonksiyonunun sıfıra eşit olduğundan emin olun ve bu nedenle, X(T) Ve e(T) ilişkili değildir.

Cevap vermek. A) mz(T)=2(T- 1)+3T 2; B) K z(T 1 ,T 2)=4(T 1 - ben)( T 2 - 1)+6T 1 2 T 2 2; V) D z(T)=4(T- 1) 2 +64.

8. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=T 2 +1 rastgele fonksiyon X(T). Türevinin matematiksel beklentisini bulun.

9. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=t 2 +3 rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun e(T)=tX"(T)+t 3.

Temsilci m y (t)=t 2 (t+2).

10. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Türevinin korelasyon fonksiyonunu bulun.

11. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Çapraz korelasyon fonksiyonlarını bulun.