Sinyallerin otokorelasyon fonksiyonları kavramı . Enerjisi sonlu olan bir s(t) sinyalinin otokorelasyon fonksiyonu (CF - korelasyon fonksiyonu), sinyal şeklinin niceliksel bir integral özelliğidir ve sinyalde her zaman meydana gelen örneklerin karşılıklı zamansal ilişkisinin doğasını ve parametrelerini tanımlar. periyodik sinyaller için, ayrıca okuma değerlerinin aralığı ve bağımlılık derecesi için güncel anlarşimdiki anın tarih öncesinden kalma zaman. ACF, s(t) sinyalinin birbirine göre  süresi kadar kaydırılan iki kopyasının çarpımının integrali ile belirlenir:

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| çünkü ().

(6.1.1)

Bu ifadeden de anlaşılacağı gibi, ACF, kaydırma değerinin  değişken değerine işlevsel olarak bağlı olarak sinyalin ve kopyasının skaler çarpımıdır. Buna göre ACF, enerjinin fiziksel boyutuna sahiptir ve  = 0'da ACF'nin değeri doğrudan sinyal enerjisine eşittir ve mümkün olan maksimumdur (sinyalin kendisiyle etkileşim açısının kosinüsü 1'e eşittir) ): Bs (0) =

s(t) 2 dt = E s .

ACF, ifadede (6.1.1) t = t- değişkeninin değiştirilmesiyle doğrulanması kolay olan çift fonksiyonları ifade eder: B s () =

s(t-) s(t) dt = B s (-). Maksimum ACF, enerjiye eşit

=0'daki sinyal her zaman pozitiftir ve ACF modülü zaman kaydırmanın herhangi bir değerinde sinyal enerjisini aşmaz. İkincisi doğrudan skaler çarpımın özelliklerinden kaynaklanmaktadır (Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliğinde olduğu gibi):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

çünkü () = 1,  = 0'da, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = E s,< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

çünkü ()
dikdörtgen darbenin genlikleri, sinyal enerjileri de aynı olacaktır; bu, ACF'nin merkezi maksimumlarının eşit değerleri ile doğrulanır. Sonlu darbe süreleri için, ACF süreleri de sonludur ve darbe sürelerinin iki katına eşittir (sonlu bir darbenin bir kopyası, süresinin bir aralığı kadar hem sola hem de sağa kaydırıldığında, darbenin çarpımı) kopyasıyla darbe sıfıra eşit olur). Bir radyo darbesinin ACF'sinin salınımlarının frekansı, radyo darbesinin doldurulmasının salınımlarının frekansına eşittir (ACF'nin yanal minimumları ve maksimumları, her seferinde radyo darbesinin bir kopyasının periyodun yarısı kadar art arda kaymasıyla meydana gelir) dolumunun salınımları).

Eşlik göz önüne alındığında, ACF'nin grafiksel gösterimi genellikle yalnızca 'nin pozitif değerleri için gerçekleştirilir. Uygulamada sinyaller genellikle 0-T arasındaki pozitif argüman değerleri aralığında belirtilir. (6.1.1) ifadesindeki + işareti,  değerleri arttıkça s(t+) sinyalinin bir kopyasının t ekseni boyunca sola kayacağı ve 0'ın ötesine geçeceği anlamına gelir. Dijital sinyaller için bu, Verilerin bölgeye karşılık gelen bir uzantısını gerektirir negatif değerler argüman. Ve hesaplamalar sırasında görev aralığı  genellikle büyük olduğundan aralıktan az Bir sinyal belirtildiğinde, sinyalin kopyasını argüman ekseni boyunca sola kaydırmak daha pratik olur; (6.1.1) ifadesinde s(t+) yerine s(t-) fonksiyonunun kullanılması.

B s () = s(t) s(t-) dt. (6.1.1")

Sonlu sinyaller için,  kaymasının değeri arttıkça, sinyalin kopyasıyla geçici örtüşmesi azalır ve buna göre etkileşim açısının kosinüsü ve bir bütün olarak skaler çarpım sıfıra yönelir:

= 0.

Merkezi sinyal değeri s(t)'den hesaplanan ACF, otokovaryans sinyal fonksiyonu:

C s () = dt, (6.1.2)

burada  s ortalama sinyal değeridir. Kovaryans fonksiyonları korelasyon fonksiyonlarıyla oldukça basit bir ilişkiyle ilişkilidir:

C s () = B s () -  s 2 .

Zaman sınırlı sinyallerin ACF'si. Uygulamada genellikle belirli bir aralıkta verilen sinyaller incelenir ve analiz edilir. Farklı zaman aralıklarında belirtilen sinyallerin ACF'sini karşılaştırmak için, ACF'nin aralığın uzunluğuna göre normalizasyonla değiştirilmesi pratik uygulama bulur. Örneğin, aralıkta bir sinyal belirtirken:

ACF, ifadede (6.1.1) t = t- değişkeninin değiştirilmesiyle doğrulanması kolay olan çift fonksiyonları ifade eder:
s(t) s(t+) dt. (6.1.3)

ACF aynı zamanda sonsuz enerjiye sahip zayıf sönümlü sinyaller için, sinyal ayar aralığı sonsuza doğru gittiğinde sinyalin ve kopyasının skaler çarpımının ortalama değeri olarak hesaplanabilir:

B s () 
. (6.1.4)

Bu ifadelere göre ACF, fiziksel bir güç boyutuna sahiptir ve işlevsel olarak kopyanın kaymasına bağlı olarak sinyalin ve kopyasının ortalama karşılıklı gücüne eşittir.

Periyodik sinyallerin ACF'si. Periyodik sinyallerin enerjisi sonsuzdur, bu nedenle periyodik sinyallerin ACF'si bir T periyodu üzerinden hesaplanır ve sinyalin skaler çarpımının ve dönem içindeki kaydırılmış kopyasının ortalaması alınır:

B s () = (1/T) s(t) s(t-) dt. (6.1.5)

Matematiksel olarak daha kesin bir ifade:

B s () 
.

=0'da periyoda normalize edilmiş ACF'nin değeri periyot içindeki sinyallerin ortalama gücüne eşittir. Bu durumda, periyodik sinyallerin ACF'si aynı T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur. Dolayısıyla, T=2/ 0'da s(t) = A cos( 0 t+ 0) sinyali için elimizde:

ACF, ifadede (6.1.1) t = t- değişkeninin değiştirilmesiyle doğrulanması kolay olan çift fonksiyonları ifade eder:
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos( 0 ).

Herhangi bir periyodik sinyal için tipik olan ve ACF'nin özelliklerinden biri olan harmonik sinyal. Otomatik korelasyon işlevlerini kullanarak herhangi bir rastgele sinyalin periyodik özelliklerini kontrol edebilirsiniz. Periyodik bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonunun bir örneği Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.1.2. Otokovaryans fonksiyonları (ACF)

ortalanmış sinyal değerleri kullanılarak benzer şekilde hesaplanır. Bu fonksiyonların dikkat çekici bir özelliği, sinyallerin  s 2 dağılımı (standartın karesi - sinyal değerlerinin ortalama değerden standart sapması) ile basit ilişkileridir. Bilindiği gibi dağılım değeri ortalama sinyal gücüne eşittir ve şu şekildedir:

|C s ()| ≤  s 2 , C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2.

(6.1.7)

Varyans değerine normalize edilen FAC değerleri, otokorelasyon katsayılarının bir fonksiyonudur:

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8) sinyallerde. s1(k) sinyalindeki gürültü, periyodu değiştirmeden periyodik salınımların genliğini azaltmıştır. Bu, C s / s 1 eğrisinin grafiği ile doğrulanır, yani. Sinyal dispersiyonu s1(k) değerine normalizasyon (karşılaştırma için) ile sinyal s(k)'nin FAC'si; burada gürültü darbelerinin, okumalarından tamamen istatistiksel bağımsız olarak, değerinde bir artışa neden olduğu açıkça görülebilir. Cs1 (0) Cs'nin değerine göre ( 0) ve otokovaryans katsayılarının fonksiyonunu bir şekilde “bulanıklaştırdı”. Bunun nedeni, gürültü sinyallerinin  s () değerinin   0'da 1'e yönelmesi ve  ≠ 0'da sıfır civarında dalgalanması, dalgalanmaların genliklerinin istatistiksel olarak bağımsız olması ve sinyal örneklerinin sayısına bağlı olmasıdır ( örnek sayısı arttıkça sıfıra düşme eğilimi gösterirler).

Ayrık sinyallerin ACF'si. Veri örnekleme aralığı t = const ile ACF hesaplaması  = t aralıkları üzerinden gerçekleştirilir ve genellikle örnek kaydırma n'nin n sayılarının ayrık bir fonksiyonu olarak yazılır:

B s (nt) = t sk s k-n .

(6.1.9)

Ayrık sinyaller genellikle belirli bir uzunluğa sahip sayısal diziler şeklinde belirtilir ve örneklerin numaralandırılması k = 0.1,...K, t=1'dedir ve enerji birimlerindeki ayrık ACF'nin hesaplanması tek yönlü olarak gerçekleştirilir. Dizilerin uzunluğu dikkate alınarak sürüm. Sinyal dizisinin tamamı kullanılıyorsa ve ACF örneklerinin sayısı dizi örneklerinin sayısına eşitse hesaplama aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:
Bs(n) =

sk s k-n .

(6.1.10)

Ayrık sinyaller genellikle belirli bir uzunluğa sahip sayısal diziler şeklinde belirtilir ve örneklerin numaralandırılması k = 0.1,...K, t=1'dedir ve enerji birimlerindeki ayrık ACF'nin hesaplanması tek yönlü olarak gerçekleştirilir. Dizilerin uzunluğu dikkate alınarak sürüm. Sinyal dizisinin tamamı kullanılıyorsa ve ACF örneklerinin sayısı dizi örneklerinin sayısına eşitse hesaplama aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir: Bu fonksiyondaki çarpan K/(K-n), n kayması arttıkça çarpılan ve toplanan değerlerin sayısındaki kademeli azalmaya yönelik bir düzeltme faktörüdür. Merkezlenmemiş sinyaller için bu düzeltme olmadan, ACF değerlerinde ortalama değerlerin toplamına yönelik bir eğilim ortaya çıkar. Sinyal gücü birimi cinsinden ölçüm yaparken, K/(K-n) çarpanının yerini 1/(K-n) çarpanı alır.< 0, (6.1.11)

Formül (6.1.10) oldukça nadiren, esas olarak az sayıda örnek içeren deterministik sinyaller için kullanılır. Rastgele ve gürültülü sinyaller için kayma arttıkça paydanın (K-n) ve çarpılan örnek sayısının azalması, ACF hesaplamasında istatistiksel dalgalanmaların artmasına neden olur. Bu koşullar altında daha fazla güvenilirlik, aşağıdaki formül kullanılarak ACF'nin sinyal gücü birimleri cinsinden hesaplanmasıyla sağlanır: s k s k-n , s k-n = 0, k-n'de onlar. 1/K sabit faktörüne normalizasyon ve sıfır değerlere kadar sinyal uzantısı ile (içinde sol taraf k+n kaydırmaları kullanırken). Bu tahmin taraflıdır ve formül (6.1.10)'a göre biraz daha küçük bir dağılıma sahiptir. (6.1.10) ve (6.1.11) formüllerine göre normalleştirmeler arasındaki fark, Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 6.1.4.

Formül (6.1.11), ürünlerin toplamının ortalaması olarak düşünülebilir; matematiksel beklentinin bir tahmini olarak:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

Pratikte ayrık ACF, sürekli ACF ile aynı özelliklere sahiptir. Aynı zamanda çifttir ve n = 0'daki değeri, normalizasyona bağlı olarak ayrık sinyalin enerjisine veya gücüne eşittir.

Gürültülü sinyallerin ACF'si . Gürültülü sinyal v(k) = s(k)+q(k) toplamı olarak yazılır. İÇİNDE genel durum, gürültünün sıfır ortalamaya sahip olması gerekmez ve güç normalleştirilmiş otokorelasyon işlevi dijital sinyal N – örnek içeren, aşağıdaki biçimde yazılır:

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n ).

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

Yararlı sinyal s(k) ve gürültü q(k)'nin istatistiksel bağımsızlığıyla, matematiksel beklentinin genişlemesi dikkate alınarak

M(s k q k-n ) = M(s k ) M(q k-n ) =

aşağıdaki formül kullanılabilir:

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

Formül (6.1.13)'ten gürültülü bir sinyalin ACF'sinin, 2 değerine kadar üst üste bindirilmiş bir sönümleme bileşeni ile faydalı sinyalin sinyal bileşeninin ACF'sinden oluştuğu sonucu çıkar. +gürültü fonksiyonu. Şu tarihte: büyük değerler K ne zaman → 0, B v (n)  B s (n) tutar. Bu, yalnızca ACF'den gelen, neredeyse tamamen gürültü içinde gizlenmiş olan periyodik sinyalleri tanımlamayı değil (gürültü gücü, sinyal gücünden çok daha büyüktür), aynı zamanda bunların periyodunu ve periyot içindeki şeklini yüksek doğrulukla belirlemeyi de mümkün kılar ve tek frekanslı harmonik sinyaller için genlikleri ifadeleri kullanılarak (6.1.6).

Tablo 6.1.

Korelasyon analizi sorunu, zaman içinde kaydırılan aynı sinyallerin karşılaştırılması gerektiğinde radardan kaynaklandı.

Bir sinyal ile onun zaman kaydırmalı kopyası arasındaki farkın derecesini ölçmek için
Sinyalin şuna eşit bir otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) tanıtmak gelenekseldir: skaler çarpım sinyal ve kaydırılmış kopyası.

(4.1)

ACF özellikleri

1) Ne zaman
otokorelasyon fonksiyonu sinyal enerjisine eşit olur:

(4.2)

2) ACF – eşit işlev

(4.3)

3) Otokorelasyon fonksiyonunun önemli bir özelliği şudur: zaman kaymasının herhangi bir değeri için ACF modülü sinyal enerjisini aşmıyor:

4) Genellikle ACF, merkezi maksimumu olan ve her zaman pozitif olan simetrik bir çizgiyle temsil edilir. Ayrıca sinyalin türüne bağlı olarak otokorelasyon fonksiyonu monoton olarak azalan veya salınan bir karaktere sahip olabilir.

ACF ile sinyalin enerji spektrumu arasında yakın bir ilişki vardır.

Formül (4.1)'e uygun olarak ACF, skaler çarpımdır.
. Buradaki sembol sinyalin zaman kaydırmalı kopyasını gösterir
.

Plancherel teoremine dönersek eşitliği yazabiliriz:

(4.4) Böylece sonuca ulaşıyoruz

(4.5)

Modül karesi spektral yoğunluk sinyalin enerji spektrumunu temsil eder. Yani enerji spektrumu ve otokorelasyon fonksiyonu bir çift Fourier dönüşümü ile ilişkilidir.

Ters bir ilişkinin de olduğu açıktır

(4.6)

Bu sonuçlar temelde iki nedenden dolayı önemlidir: Birincisi, enerjilerinin spektrum üzerindeki dağılımına dayalı olarak sinyallerin korelasyon özelliklerini değerlendirmenin mümkün olduğu ortaya çıkmıştır. İkinci olarak, formüller (4.5), (4.6), enerji spektrumunun deneysel olarak belirlenmesinin yolunu gösterir. İlk önce ACF'yi elde etmek ve ardından Fourier dönüşümünü kullanarak sinyalin enerji spektrumunu bulmak genellikle daha uygundur. Bu teknik, yüksek hızlı bilgisayarları kullanarak sinyallerin özelliklerini gerçek zamanlı olarak incelerken yaygınlaştı.

Uygun bir sayısal parametre sıklıkla tanıtılır - ACF'nin ana lobunun genişliğinin bir tahmini olan korelasyon aralığı.

9.. Çapraz korelasyon fonksiyonu ve özellikleri. Çapraz korelasyon fonksiyonu ile karşılıklı enerji spektrumu arasındaki ilişki.

İki sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu

İki gerçek sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu (ICF), şu formun skaler bir ürünüdür:

(4.8)

TCF, sinyaller zaman içinde değiştiğinde ortogonal durumun “kararlılığının” bir ölçüsü olarak hizmet eder.

Bu sinyaller çeşitli cihazlardan geçtiği için sinyalin bir süre sinyale göre kayması mümkündür. .

VKF'nin özellikleri.

1) Tek bir sinyalin ACF'sinden farklı olarak, iki bağımsız sinyalden oluşan bir sistemin özelliklerini tanımlayan ACF, argümanın çift fonksiyonu değildir. :

(4.9)

2) Söz konusu sinyallerin sonlu enerjileri varsa, CCF'leri sınırlıdır.

3) Şu tarihte:
VCF değerlerinin maksimuma ulaşması gerekmez.

CCF'ye bir örnek, dikdörtgen ve üçgen video darbelerinin çapraz korelasyon fonksiyonudur.

Plancherel teoremine dayanarak

aldık

(4.11)

Böylece çapraz korelasyon fonksiyonu ve karşılıklı enerji spektrumu bir çift Fourier dönüşümü ile birbiriyle ilişkilidir.

Otokorelasyon fonksiyonu. Korelogram.

Bir zaman serisinde trend ve döngüsel değişiklikler varsa serinin bir sonraki seviyesinin değerleri öncekilere bağlıdır. Bir zaman serisinin ardışık seviyeleri arasındaki bağımlılığa seri seviyelerinin otokorelasyonu denir.

Orijinal zaman serisinin seviyeleri ile bu serinin zaman içinde birkaç adım kaydırılan seviyeleri arasındaki korelasyon indeksi kullanılarak niceliksel olarak ölçülebilir.

Zaman serisi verilsin: y, y,… y ve olmasına izin ver doğrusal korelasyon arasında y t Ve y t -1.

Seriler arasındaki korelasyon katsayısını belirleyelim y t Ve y t -1.

Bunun için kullanacağız aşağıdaki formül:

Düz x j = y t -1 , y j = y t -1 , aldık

(5.1)

İkinci ve daha yüksek mertebelerin otokorelasyon katsayıları da benzer şekilde belirlenir. Böylece 2. dereceden otokorelasyon katsayısı, seviyeler arasındaki bağlantının yakınlığını karakterize eder. en Ve en ve aşağıdaki formülle belirlenir:

(5.2)

Bir otokorelasyon serisinin seviyesinin sırasına gecikme denir.

Formül (5.1) gecikmesi için bire eşit, (5.3) için – iki.

Birinci, ikinci vb. seviyelerin otokorelasyon katsayılarının sırası. emirlerine zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) adı verilir.

Değerlerinin gecikme değerine bağımlılığının grafiğine korelogram denir.

ACF ve korelogram, otokorelasyonun en yüksek olduğu gecikmenin ve dolayısıyla serinin mevcut ve önceki seviyeleri arasındaki bağlantının en yakın olduğu gecikmenin (yani; onların yardımıyla serinin yapısını ortaya çıkarabilirsiniz.

Bir zaman serisinde bir trend bileşeninin ve döngüsel bir bileşenin varlığını veya yokluğunu belirlemek için otokorelasyon katsayısının ve ACF'nin kullanılması tavsiye edilir:

1. dereceden otokorelasyon katsayısı en yüksek çıkarsa incelenen seri yalnızca bir trend içeriyor demektir;

k'inci dereceden otokorelasyon katsayısı en yüksek çıkarsa, seri k-zaman anlarının periyodikliğine sahip döngüsel dalgalanmalar içerir;

katsayılardan hiçbiri anlamlı değilse, bu serinin yapısına ilişkin iki varsayımdan biri yapılabilir: ya seri trendleri ve döngüsel değişiklikleri içermiyor ve Şekil 5.1c'de gösterilen serinin yapısına benzer bir yapıya sahip. veya seri, tanımlanması için ek analiz gerektiren güçlü bir doğrusal olmayan eğilim içeriyor.

49. Genelleştirilmiş regresyon modeli. Genelleştirilmiş yöntem en küçük kareler. Aitken'in teoremi

Bir model oluştururken, örneğin doğrusal bir model

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59,1)

rastgele değişken gözlemlenemeyen bir miktarı temsil eder. Farklı model özellikleri için teorik ve gerçek değerler arasındaki farklar değişiklik gösterebilir. Göreve regresyon analizi yalnızca modelin oluşturulmasını değil aynı zamanda araştırmayı da içerir rastgele sapmalar yani artık değerler. Regresyon denklemini oluşturduktan sonra i tahminlerinin belirli özelliklere sahip olup olmadığını kontrol ederiz. OLS ile elde edilen tahminlerin bu özellikleri oldukça önemlidir. pratik önemi Regresyon ve korelasyon sonuçlarının kullanılması.

Sisteme göre bulunan regresyon katsayıları normal denklemler Bağlantı kuvveti özelliklerine ilişkin seçici tahminleri temsil eden ve tarafsız olma özelliğine sahip olmalıdır. Tarafsız bir tahmin şu anlama gelir: matematiksel beklenti geri kalanı sıfırdır.

Bu, bulunan regresyon parametresi b i'nin ortalama değer olarak kabul edilebileceği anlamına gelir olası değerler tarafsız artık tahminlerle regresyon katsayıları.

Pratik amaçlar açısından, yalnızca tahminlerin tarafsızlığı değil, aynı zamanda tahminlerin etkinliği de önemlidir. Tahminler en az varyansa sahipse etkili kabul edilir.

İçin güven aralıkları Regresyon parametreleri gerçek olduğundan tahminlerin tutarlı olması gerekir. Tahminlerin tutarlılığı, örneklem büyüklüğünün artmasıyla doğruluklarının artmasıyla karakterize edilir.

Artıklara ilişkin çalışmalar i aşağıdaki beş OLS önkoşulunun varlığının test edilmesini içerir:

kalıntıların rastgele doğası;

xi'den bağımsız olarak artıkların sıfır ortalama değeri;

Eş varyanslılık—her sapmanın dağılımı  i, x'in tüm değerleri için aynıdır;

artıkların otokorelasyonunun olmaması. Artıkların değerleri  i birbirinden bağımsız olarak dağıtılır;

artıklar normal dağılıma uymaktadır.

Rastgele artıkların dağılımı i bazı OLS varsayımlarına uymuyorsa modelin ayarlanması gerekir.

Öncelikle i artıklarının rastgele doğası kontrol edilir.

Grafikte artıkların dağılımının yatay bir şeridi elde edilirse, artıklar rastgele değişkenlerdir ve en küçük kareler yöntemi doğrulanır; y x'in teorik değerleri, y'nin gerçek değerlerine oldukça yakındır.

Aşağıdaki durumlar mümkündür: eğer  i . y x'e bağlıdır o zaman:

kalanlar  i . rastgele değil

kalanlar  i . sürekli dağılıma sahip değil

kalanlar  i . sistematiktir

Bu durumlarda ya başka bir işlevi kullanmalı ya da Ek Bilgiler ve regresyon denklemini artıklar i rastgele değişkenler olana kadar yeniden oluşturun.

İkinci öncül sıfıra eşitlik anlamına gelir ortalama boyut bakiyeler:

. (59.2)

OLS'nin üçüncü öncülü, artıkların varyansının eş varyanslı olmasını gerektirir. Bu, x j faktörünün her değeri için  i artıklarının aynı varyansa sahip olduğu anlamına gelir. OLS kullanımına ilişkin bu koşul karşılanmazsa, heteroskedastisite ortaya çıkar.

50. Erişilebilir Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

En küçük kareler yöntemi. Regresyon modellerinin daha genel bazı türleri Temel türler bölümünde tartışılmıştır. doğrusal olmayan modeller. Bir model seçildikten sonra şu soru ortaya çıkıyor: Bu modeller nasıl değerlendirilebilir? Yöntemlere aşina iseniz doğrusal regresyon(bölümde açıklanmıştır) Çoklu regresyon) veya varyans analizi (bölümde açıklanmıştır) Varyans analizi), o zaman tüm bu yöntemlerin en küçük kareler tahminini kullandığını biliyorsunuzdur. Bu yöntemin ana fikri, bağımlı değişkenin gözlenen değerlerinin model tarafından tahmin edilen değerlerden sapmalarının karelerinin toplamının en aza indirilmesidir. (En küçük kareler terimi ilk kez 1805'te Legendre'nin çalışmasında kullanılmıştır.)
Ağırlıklandırılmış en küçük kareler yöntemi. Tahmin için en küçük kareler yöntemine ve sapma modülleri toplamının kullanılmasına (yukarıya bakın) ek olarak en yaygın üçüncü yöntem, ağırlıklı en küçük kareler yöntemidir. Düzenli yöntem En küçük kareler, artıkların yayılmasının bağımsız değişkenlerin tüm değerleri için aynı olduğunu varsayar. Başka bir deyişle, tüm ölçümler için hata varyansının aynı olduğu varsayılmaktadır. Çoğu zaman bu varsayım gerçekçi değildir. Özellikle işletme, ekonomi ve biyoloji uygulamalarında bundan sapmalar görülmektedir (ağırlıklandırılmış en küçük kareler yöntemini kullanan parametre tahminlerinin Çoklu Regresyon modülü kullanılarak da elde edilebileceğini unutmayın).

Örneğin, bir bina inşa etmenin öngörülen maliyeti ile gerçekte harcanan para miktarı arasındaki ilişkiyi incelemek istiyorsunuz. Bu, beklenen maliyet aşımlarına ilişkin bir tahmin elde etmede faydalı olabilir. Bu durumda şunu varsaymak mantıklıdır. mutlak değer maliyet aşımları (dolar cinsinden ifade edilir) projenin maliyetiyle orantılıdır. Bu nedenle doğrusal bir seçim yapmak regresyon modeli ağırlıklı en küçük kareler yöntemi kullanılmalıdır. Kayıp fonksiyonu örneğin şöyle olabilir (bkz. Neter, Wasserman ve Kutner, 1985, s. 168):

Kayıplar = (gözlenen-tahmin edilen) 2 * (1/x 2)

Bu denklemde kayıp fonksiyonunun ilk kısmı şu anlama gelir: standart fonksiyon en küçük kareler yöntemi için kayıp (gözlenen eksi öngörülen kare; yani artıkların karesi) ve ikincisi, her özel durumda bu kaybın "ağırlığına" eşittir - biri bağımsız değişkenin karesine bölünür (x) ) her gözlem için. Gerçek bir tahmin durumunda program, yukarıda açıklandığı gibi tüm gözlemler (örneğin tasarım projeleri) üzerinden kayıp fonksiyonunun değerlerini toplayacak ve toplamı en aza indiren parametreleri seçecektir. Ele alınan örneğe dönersek, daha fazla proje(x), değerini tahmin etmede aynı hatanın bizim için ne kadar az olduğu anlamına gelir. Bu yöntem, regresyon parametreleri için daha sağlam tahminler üretir (daha fazla ayrıntı için bkz. Neter, Wasserman ve Kutner. 1985).

51. Chow testi

Verilen bir zaman serisi eğilim modelini değerlendirmek için resmi bir istatistiksel test yapısal değişiklikler Gregory Chow* tarafından önerildi. Bu testin uygulanması trend denklemlerinin parametrelerinin hesaplanmasını içerir. Tabloda verilen notasyon sistemini tanıtalım.

Tablo 3 – Efsane Chow test algoritması için

Varsayalım ki H0 hipotezi, incelenen zaman serisinin trendinin yapısal istikrarını öne sürüyor. Parçalı doğrusal modele (C clost) göre kalan kareler toplamı, C 1 ost ve C 2 ost'un toplamı olarak bulunabilir.

C k ost = C 1 ost + C 2 ost (62,1)

Karşılık gelen serbestlik derecesi sayısı şöyle olacaktır:

(n 1 - k 1) + (n 2 - k 2) = n - k 1 - k 2 (62,2)

Daha sonra azalma artık varyans Tek bir eğilim denklemini parçalı doğrusal bir modele dönüştürürken aşağıdakileri belirleyin:

DC ost = C 3 ost - Maliyet (62,3)

İlişki (23) dikkate alınarak DC'ye karşılık gelen serbestlik derecesi sayısı şöyle olacaktır:

n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62,4)

Daha sonra G. Chow’un yöntemine göre G. Chow bulunur gerçek değer Değişim serbestliği derecesi başına aşağıdaki varyanslar için F testi:

(62.5)

Bulunan F olgu değeri tablo 1 ile karşılaştırılır (önem düzeyi için Fisher dağılım tablosu) α ‚ ve serbestlik derecesi sayısı (k 1 + k 2 – k 3) ve (n - k 1 - k 2)

F olgusu > F tablosu ise trendin yapısal istikrarına ilişkin hipotez reddedilir ve yapısal değişikliklerin incelenen göstergenin dinamikleri üzerindeki etkisi önemli kabul edilir. Bu durumda zaman serisinin trendinin modellenmesi parçalı doğrusal model kullanılarak yapılmalıdır. Eğer

F gerçeği< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Chow testini kullanmanın özellikleri.

1. Tablo 3 (1), (2), (3)'teki tüm denklemlerdeki parametre sayısı aynı ve k'ye eşitse, formül (56) basitleştirilir:

(62.6)

2. Chow testi, incelenen zaman serilerinde yapısal istikrarın varlığı veya yokluğu hakkında bir sonuca varılmasına olanak sağlar. Eğer F bir gerçekse< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F tablosunda yapısal kararlılık hipotezi reddedilir; bu, denklem (1) ve (2)'nin parametrelerinin tahminlerindeki farklılıkların istatistiksel olarak anlamlı olduğu anlamına gelir.

H. Chow testinin uygulanması, normal dağılım(1) ve (2) denklemlerindeki artıklar ve bunların dağılımlarının bağımsızlığı.

Y serisindeki trendin yapısal istikrarına ilişkin hipotez reddedilirse, daha ileri analiz bunların nedenleri sorusunun araştırılmasını içerebilir. yapısal farklılıklar ve daha fazlası: trend değişikliklerinin doğasını incelemek. İÇİNDE kabul edilen notasyonlar bu nedenler denklem (1) ve (2)'nin parametrelerinin tahminlerindeki farklılıkları belirlemektedir.

Bu denklemlerin parametrelerinin sayısal tahminlerinde aşağıdaki değişiklik kombinasyonları mümkündür:

Sayısal derecelendirmede değişiklik ücretsiz üye Trend denklemleri bir 2 bir ile karşılaştırıldığında 1 farklar olması şartıyla b 1 Ve b2 istatistiksel olarak anlamsız. Geometrik olarak bu, (1) (2) doğrularının paralel olduğu anlamına gelir. Serinin seviyesinde ani bir değişiklik var T, şu anda T‚ve dönem için sabit ortalama mutlak büyüme;

Bir parametrenin sayısal tahminini değiştirme b2 nazaran b 1 1 ile 2 arasındaki farkların istatistiksel olarak önemsiz olması şartıyla. Geometrik olarak bu, (1) ve (2) doğrularının koordinat eksenini bir noktada kestiği anlamına gelir. Trendde bir değişiklik, zamanın belli bir anından başlayarak zaman serisindeki ortalama mutlak artışın değişmesiyle meydana gelir. T‚ serinin o andaki sabit başlangıç ​​seviyesi ile T=0

a 1 ve a 2 parametrelerinin sayısal tahminlerindeki değişimin yanı sıra b 1 Ve b2. Bu değişiklik grafiğe yansıyor giriş seviyesi ve mutlak büyüme döneminin ortalaması

Periyodik bağımlılık genel tip zaman serisi bileşeni. Her gözlemin komşusuna çok benzediği kolaylıkla görülebilir; Ek olarak, tekrarlanan bir periyodik bileşen vardır; bu, her gözlemin aynı zamanda bir dönem önce aynı anda meydana gelen bir gözleme benzer olduğu anlamına gelir. Her şeyi hesaba katarak, periyodik bağımlılık resmi olarak şu şekilde tanımlanabilir: korelasyon bağımlılığı her biri arasında k sipariş edin i'inci eleman serisi ve (i-k)'inci eleman. Otokorelasyon (yani seri terimlerinin kendi arasındaki korelasyon) kullanılarak ölçülebilir; k'ye genellikle gecikme denir (bazen eşdeğer terimler kullanılır: kayma, gecikme). Ölçüm hatası çok büyük değilse seri üyelerinin davranışları her k zaman biriminde incelenerek periyodiklik görsel olarak belirlenebilir.

Bir zaman serisinin periyodik bileşenleri korelogram kullanılarak bulunabilir. Bir korelogram (otokorelogram), otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) sayısal ve grafiksel olarak gösterir, başka bir deyişle, belirli bir aralıktaki bir gecikme dizisi için otokorelasyon katsayılarını gösterir. Bir korelogram tipik olarak her gecikmede iki standart hata aralığını gösterir, ancak genellikle otokorelasyonun büyüklüğü güvenilirliğinden daha ilgi çekicidir çünkü ilgi konusu olan çoğunlukla çok güçlü otokorelasyonlardır.

Korelogramları incelerken ardışık gecikmelerin otokorelasyonlarının resmi olarak birbirine bağlı olduğu unutulmamalıdır. düşünelim sonraki örnek. Bir serinin ilk üyesi ikinciyle ve ikinciyle üçüncüyle yakından ilişkiliyse, o zaman ilk öğenin de bir şekilde üçüncüye bağlı olması gerekir, vb. Bu, birinci dereceden otokorelasyonların kaldırılmasından sonra (yani 1 gecikmeli fark alındıktan sonra) periyodik bağımlılığın önemli ölçüde değişebileceği gerçeğine yol açmaktadır.

Çalışmanın amacı:

1.Temel teorik bilgileri verin

2. ACF hesaplamasına örnekler verin

Bölüm 1. Teorik bilgiler

Otokorelasyon katsayısı ve değerlendirilmesi

İçin tüm özellikler rastgele süreç matematiksel beklentisi ve varyansı yeterli değildir. 1927'de E.E. Slutsky bağımlı gözlemler için "ilgili seriler" kavramını ortaya attı: belirli olayların meydana gelme olasılığı belirli değerler rastgele değişkenin daha önce hangi değerleri aldığına veya daha sonra alacağına bağlıdır. Başka bir deyişle, zaman serisinin x(t), x(t+k) değer çiftlerinden oluşan bir saçılma alanı vardır; burada k, sabit bir aralık veya gecikmedir ve sürecin sonraki uygulamalarının birbirine bağımlılığını karakterize eder. öncekiler. Bu ilişkinin yakınlığı otokovaryans katsayıları ile değerlendirilir.

g (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] –

ve otokorelasyon

r (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] / D ,

burada m ve D rastgele sürecin matematiksel beklentisi ve varyansıdır. Gerçek süreçlerin otokovaryansını ve otokorelasyonunu hesaplamak için, ortak dağıtım p(x(t 1),x(t 2)) serisinin seviyelerinin olasılıkları. Ancak belirli bir istatistiksel dengede olan durağan süreçler için bu olasılık dağılımı, aynı aralıkla ayrılmış tüm t 1, t 2 zamanları için aynıdır. varyans beri sabit süreç herhangi bir zamanda (hem t hem de t + k'de) D = g(0)'a eşitse, k gecikmeli otokorelasyon şu şekilde ifade edilebilir:

r(k) = g(k)/g(0),

bundan r (0) = 1 sonucu çıkar. Aynı durağanlık koşulları altında, bir zaman serisinin iki değeri arasındaki korelasyon katsayısı r (k) yalnızca k zaman aralığının değerine bağlıdır ve gözlem anları kendilerini.

İstatistiklerde çeşitli örnek tahminler vardır teorik değerler n gözlemden oluşan sonlu bir zaman serisi üzerinde bir sürecin otokorelasyonu r(k). En popüler tahmin k gecikmeli döngüsel olmayan otokorelasyon katsayısıdır (Anderson, 1976; Vainu, 1977):

Çeşitli otokorelasyon katsayılarından en önemlisi, x(1), x(2),..., x(n -1) ve x(2) düzeyleri arasındaki bağlantının yakınlığını ölçen ilk - r 1'dir. , x(3), .. ., x(n).

Otokorelasyon katsayılarının dağılımı bilinmediğinden bazen güvenilirliklerini değerlendirmek için kullanılırlar. parametrik olmayan teoriİstatistik öneren Anderson (1976)

t = r 1 (n -1) 0,5 ,

hangisi yeterli büyük örnek normal dağılır, sıfır ortalama ve varyansa sahiptir, bire eşit(Tinner, 1965).

Otokorelasyon fonksiyonları

Gözlemler arasındaki k aralığının bir fonksiyonu olarak k = 1, 2, ..., n olan korelasyon katsayıları dizisi rk'ye otokorelasyon fonksiyonu (ACF) adı verilir.

Örnek otokorelasyon fonksiyonunun türü serinin yapısıyla yakından ilgilidir.

· “Beyaz gürültü” için r k otokorelasyon fonksiyonu, k >0 için, aynı zamanda ortalama değeri 0 olan durağan bir zaman serisi oluşturur.

· İçin sabit sıra ACF k'nın artmasıyla hızla azalır. Açık bir trend varsa otokorelasyon fonksiyonu şu şekilde olur: karakteristik görünümçok yavaş düşen eğri.

· Belirgin mevsimsellik durumunda, ACF grafiği aynı zamanda mevsimsellik periyodunun katları olan gecikmeler için aykırı değerler de içerir, ancak bu aykırı değerler bir eğilimin varlığı veya rastgele bileşenin büyük bir dağılımı ile gizlenebilir.

Otokorelasyon fonksiyonunun örneklerine bakalım:

· Şek. Şekil 1, ılımlı bir eğilim ve belirsiz mevsimsellik ile karakterize edilen ACF'nin bir grafiğini göstermektedir;

· pirinç. Şekil 2 olağanüstü bir mevsimsel belirleyiciyle karakterize edilen bir serinin ACF'sini göstermektedir;

· serinin ACF'sinin pratik olarak sönümsüz grafiği (Şekil 3), açık bir eğilimin varlığını göstermektedir.

Genel olarak trendden sapmalardan oluşan serilerde otokorelasyonun bulunmadığını varsayabiliriz. Örneğin, Şekil 2'de. Şekil 4, serinin yumuşatılmasından elde edilen artıklara ilişkin ACF grafiğini göstermektedir; bu, "beyaz gürültü" sürecini çok anımsatır. Bununla birlikte, çoğu zaman artıkların (rastgele bileşen h) örneğin aşağıdaki nedenlerden dolayı otokorelasyonlu olduğu ortaya çıkabilen durumlar vardır:

deterministik veya stokastik modeller dinamikler önemli bir faktör olarak dikkate alınmaz

· model birçok önemsiz faktörü hesaba katmamaktadır, karşılıklı etki aşamaların ve değişim yönlerinin çakışması nedeniyle önemli olduğu ortaya çıkan;

· yanlış model türü seçilmiştir (mantığa aykırılık ilkesi ihlal edilmiştir);

· rastgele bileşenin belirli bir yapısı vardır.

Durbin-Watson testi

Durbin-Watson testi (Durbin, 1969), seri yumuşatma sonrasında veya regresyon modellerinde artıkların birinci dereceden otokorelasyonunu test etmek için tasarlanmış yaygın bir istatistiktir.

Katsayının sayısal değeri

d = [(e(2)-e(1)) 2 + ... + (e(n)-e(n -1)) 2 ]/,

e(t) kalanlardır.

Kriterin olası değerleri 0 ila 4 arasındadır ve tablo değerleri tablo halinde verilmiştir. eşik değerleriİçin farklı seviyelerönemi (Leeser, 1971).

d'nin değeri 2*(1 - r 1) değerine yakındır; burada r - örnekleme faktörü artıklar için otokorelasyonlar. Buna göre istatistiğin ideal değeri 2'dir (otokorelasyon yoktur). Daha küçük değerler artıkların pozitif otokorelasyonuna, büyük olanlar ise negatif olanlara karşılık gelir.

Örneğin seri düzeltildikten sonra artıklar serisinin kriteri d = 1,912 olur. Serinin yumuşatılmasından sonraki benzer istatistikler - d = 1,638 - artıkların bir miktar otokorelasyonunu göstermektedir.

Bölüm 2. Excel makrosu “Otokorelasyon işlevi” kullanılarak pratik hesaplama örnekleri

Tüm veriler http://e3.prime-tass.ru/macro/ sitesinden alınmıştır.

Örnek 1. Rusya GSYH

İşte Rusya Federasyonu'nun GSYİH verileri