E. Schrödinger, de Broglie'nin maddenin dalga özellikleri hakkındaki fikrini geliştirirken, onun görüşünü aldı. ünlü denklem. Schrödinger mikropartiküllerin hareketini karşılaştırdı karmaşık fonksiyon dalga fonksiyonu adını verdiği ve belirlediği koordinatlar ve zaman Yunan mektubu"psi" (). Biz buna psi fonksiyonu diyeceğiz.

Psi fonksiyonu mikropartikülün durumunu karakterize eder. Fonksiyonun formu Schrödinger denkleminin çözümünden elde edilir ve şuna benzer:

İşte parçacık kütlesi, i - hayali birim, - Laplace operatörü sonucu belirli bir fonksiyona etki eden koordinatlara göre ikinci kısmi türevlerin toplamıdır:

Denklem (21.1)'deki U harfi, koordinatların ve zamanın fonksiyonunu belirtir; bunun gradyanı zıt işaretle alındığında parçacığa etki eden kuvveti belirler. U fonksiyonunun açıkça zamana bağlı olmaması durumunda parçacığın potansiyel enerjisi anlamını taşır.

Denklem (21.1)'den psi fonksiyonunun biçiminin U fonksiyonu tarafından, yani sonuçta parçacık üzerine etki eden kuvvetlerin doğası tarafından belirlendiği sonucu çıkar.

Schrödinger denklemi, göreceli olmayan kuantum mekaniğinin temel denklemidir. Başka ilişkilerden türetilemez. Geçerliliği, ondan çıkan tüm sonuçların deneysel gerçeklerle en doğru uyum içinde olmasıyla kanıtlanmış bir başlangıç ​​temel varsayımı olarak düşünülmelidir.

Schrödinger denklemini optik-mekanik bir analojiye dayanarak kurdu. Bu benzetme, ışık ışınlarının yolunu tanımlayan denklemlerle parçacıkların yörüngelerini belirleyen denklemlerin benzerliğinde yatmaktadır. analitik mekanik. Optikte ışınların yolu Fermat ilkesini karşılar (bkz. 2. cildin § 115'i); mekanikte yörünge türü sözde en az etki ilkesini karşılar.

Parçacığın hareket ettiği kuvvet alanı sabitse, o zaman V fonksiyonu açıkça zamana bağlı değildir ve daha önce belirtildiği gibi potansiyel enerji anlamına gelir. Bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü iki faktöre ayrılır; bunlardan biri yalnızca koordinatlara, diğeri ise yalnızca zamana bağlıdır:

Burada E parçacığın toplam enerjisidir; bu durumda sabit alan sabit kalır. (21.3) ifadesinin geçerliliğini doğrulamak için onu (21.1) denkleminde değiştirelim. Sonuç olarak şu ilişkiyi elde ederiz:

Azaltıldı ortak çarpan fonksiyonu tanımlayan bir diferansiyel denkleme ulaşırız

Denklem (21.4) durağan durumlar için Schrödinger denklemi olarak adlandırılır. Aşağıda sadece bu denklemle ilgileneceğiz ve kısaca Schrödinger denklemi adını vereceğiz. Denklem (21.4) genellikle şu şekilde yazılır:

Schrödinger denklemine nasıl ulaşılabileceğini açıklayalım. Basitlik açısından kendimizi tek boyutlu durumla sınırlıyoruz. Serbestçe hareket eden bir parçacığı ele alalım.

De Broglie'nin fikrine göre bunun bir düzlem dalgayla ilişkilendirilmesi gerekiyor

(V kuantum mekaniğiÜssü eksi işaretiyle almak gelenekseldir). (18.1) ve (18.2)'ye göre E ve ile değiştirerek ifadeye ulaşırız.

Bu ifadenin t'ye göre bir kez, x'e göre ikinci kez iki kez türevini alırsak, şunu elde ederiz:

Göreli olmayan klasik mekanikte, E enerjisi ve serbest bir parçacığın momentumu şu ilişkiyle ilişkilidir:

(21.7) ifadelerini E yerine koyarak ve bu ilişkiye koyarak ve ardından eksilterek denklemi elde ederiz.

bu denklem (21.1) ile örtüşür, eğer ikincisine koyarsak

Aşağıdakilerle karakterize edilen bir kuvvet alanı içinde hareket eden bir parçacık durumunda: potansiyel enerji U, enerji E ve momentum şu ilişkiyle ilişkilidir:

E için ifadeleri (21.7) bu duruma genişleterek şunu elde ederiz:

Bu oranı çarparak ve terimi sola kaydırarak denkleme ulaşırız

denklem (21.1) ile örtüşmektedir.

Belirtilen gerekçenin hiçbir kanıtlayıcı gücü yoktur ve Schrödinger denkleminin bir türevi olarak değerlendirilemez. Amaçları bu denklemin nasıl elde edilebileceğini açıklamaktır.

Kuantum mekaniğinde kavram önemli bir rol oynar. Operatör, bir fonksiyonun (bunu belirtelim) başka bir fonksiyonla (bunu belirtelim) ilişkilendirildiği bir kuraldır. Sembolik olarak bu şu şekilde yazılır:

İşte operatörün sembolik bir tanımı (aynı başarıyla, üzerinde "şapka" bulunan herhangi bir harf vb. alınabilir). Formül (21.2)'de Q'nun rolü F fonksiyonu tarafından oynanır ve f'nin rolü formülün sağ tarafıdır.

Heisenberg, mikropartiküllerin çeşitli konumlardaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin şu şekilde olduğu sonucuna vardı: kuvvet alanları deneysel olarak gözlemlenen değerlerin takip edeceği bir denklem olmalı dalga özellikleri parçacıklar. Yönetim denklemi dalga fonksiyonu Ψ için bir denklem olmalıdır (x, y, z, t),çünkü tam olarak bu veya daha kesin olarak |Ψ| miktarıdır. 2, bir parçacığın o anda mevcut olma olasılığını belirler T hacim olarak Δ V, yani koordinatların olduğu alanda X Ve x + dx, y Ve y + dу, z Ve z+ dz.

Göreli olmayan kuantum mekaniğinin temel denklemi 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edildi. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve Maxwell'in denklemleri) elektromanyetik alan), türetilmemiştir ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, ondan elde edilen deneyimlerle mutabakata varılarak doğrulanır. sonuçları kullanma Bu da ona bir doğa kanunu niteliği kazandırır.

Genel Schrödinger denklemi:

Nerede ? =s/(2π), M- parçacık kütlesi, Δ - Laplace operatörü , Ben- hayali birim, sen(x, y, z, t) parçacığın hareket ettiği kuvvet alanındaki potansiyel fonksiyonudur, Ψ( x, y, z, t) - gerekli öküz yeni özellik parçacıklar.

Denklem (1), düşük (ışık hızına kıyasla) bir hızda hareket eden (spin değeri 0'a eşit olan) herhangi bir parçacık için geçerlidir; υ "İle.

Koşullarla desteklenir, dalga fonksiyonu üzerine bindirilmiş:

1) dalga fonksiyonu sonlu, kesin ve sürekli olmalıdır;

2) türevler sürekli olmalıdır;

3) fonksiyon |Ψ| 2 integrallenebilir olmalıdır (en basit durumlarda bu durum, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna indirgenir).

Denklem (1) denir zamana bağlı Schrödinger denklemi.

Birçok kişi için fiziksel olaylar Mikro dünyada meydana gelen denklem (1), Ψ'nin zamana bağımlılığını ortadan kaldırarak basitleştirilebilir, yani. Durağan durumlar (sabit enerji değerlerine sahip durumlar) için Schrödinger denklemini bulun. Bu, parçacığın içinde hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür, yani fonksiyon sen = sen(x, y,z) açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. İÇİNDE bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü şu şekilde temsil edilebilir:

. (2)

Denklem (2) durağan durumlar için Schrödinger denklemi denir.

Bu denklem toplam enerjiyi parametre olarak içerir e parçacıklar. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olduğu kanıtlanmıştır; sınır koşulları sahip çözümleri seçin fiziksel anlam. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar şunlardır: dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullar: Yeni fonksiyonlar ilk türevleriyle birlikte sonlu, açık ve sürekli olmalıdır.

Bu nedenle, yalnızca Ψ düzenli fonksiyonlarıyla ifade edilen çözümlerin gerçek fiziksel anlamı vardır. Ancak hiçbir parametre değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. E, ancak yalnızca belirli bir görevin özelliği olan belirli bir grup için. Bu enerji değerlerine özdeğerler denir . Enerji özdeğerlerine karşılık gelen çözümlere özfonksiyonlar denir . Özdeğerler e hem sürekli hem de oluşturulabilir ayrık seri. İlk durumda sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrık bir spektrumdan söz edilir.

Tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki parçacıksonsuz yükseklikte “duvarlarla”

Hadi gerçekleştirelim nitel analiz Sonsuz yüksek "duvarlara" sahip tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanan Schrödinger denkleminin çözümleri. Böyle bir "delik" formun potansiyel enerjisiyle tanımlanır (basitlik açısından parçacığın eksen boyunca hareket ettiğini varsayıyoruz) X)

Nerede ben“deliğin” genişliğidir ve enerji tabanından sayılır (Şekil 2).

Tek boyutlu bir problem durumunda durağan durumlar için Schrödinger denklemi şu şekilde yazılacaktır:

. (1)

Sorunun koşullarına göre (sonsuz yüksek "duvarlar"), parçacık "deliğin" ötesine nüfuz etmez, bu nedenle "delik" dışında tespit edilme olasılığı (ve dolayısıyla dalga fonksiyonunun) sıfırdır. “Çukur” sınırlarında (en X= 0 ve x = 1) sürekli dalga fonksiyonu da ortadan kalkmalıdır.

Dolayısıyla bu durumda sınır koşulları şu şekildedir:

Ψ (0) = Ψ ( ben) = 0. (2)

“Çukur” içinde (0 ≤ X≤ 0) Schrödinger denklemi (1) aşağıdaki denkleme indirgenecektir:

veya . (3)

Nerede k2 = 2mE /? 2.(4)

Genel çözüm diferansiyel denklem (3):

Ψ ( X) = A günah kx + Bçünkü kx.

(2)'ye göre Ψ (0) = 0 olduğundan B = 0 olur.

Ψ ( X) = A günah kx. (5)

Koşul Ψ ( ben) = A günah kl= 0 (2) yalnızca şu durumlarda yürütülür: kl = nπ, Nerede N- tamsayılar, yani bu gerekli

k = nπ/l. (6)

(4) ve (6) ifadelerinden şu sonuç çıkar:

(N = 1, 2, 3,…), (7)

yani. sabit denklem Bir parçacığın sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu” içindeki hareketini tanımlayan Schrödinger, yalnızca özdeğerler için karşılanmıştır. E p, bir tamsayıya bağlı olarak P. Bu nedenle enerji E p Sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu”ndaki parçacıklar yalnızca kesin ayrık değerler yani kuantize edilmiştir.

Nicelenmiş enerji değerleri E p denir enerji seviyeleri ve numara P, tanımlayan enerji seviyeleri parçacıklar denir baş kuantum sayısı Dolayısıyla sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu” içindeki bir mikropartikül ancak belirli bir enerji seviyesinde olabilir. E p, veya dedikleri gibi parçacık kuantum durumundadır P.

(5) değerini yerine koymak k(6)'dan özfonksiyonları buluruz:

.

Entegrasyon sabiti A bu durumda şu şekilde yazılacak olan normalleştirme koşulundan şunu buluruz:

.

Entegrasyonun bir sonucu olarak elde ederiz ve özfonksiyonlar şu şekilde olacaktır:

(N = 1, 2, 3,…). (8)

Enerji seviyelerine (7) karşılık gelen özfonksiyonların (8) grafikleri N= 1,2,3, Şekil 2'de gösterilmektedir. 3, A.Şek. 3, B‌‌‌‌‌‌ Ψ'ya eşit, deliğin "duvarlarından" çeşitli mesafelerde bir parçacığın tespit edilmesinin olasılık yoğunluğunu gösterir N(X)‌ 2 = Ψ N(X)·Ψ N * (X) İçin n = 1, 2 ve 3. Şekilden, örneğin kuantum durumunda olduğu anlaşılmaktadır. n=Şekil 2'de bir parçacık "deliğin" ortasında olamaz, ancak aynı sıklıkla solunda ve solunda da olabilir. doğru parçalar. Parçacığın bu davranışı, kuantum mekaniğindeki parçacık yörüngeleri kavramının savunulamaz olduğunu gösterir.

İfade (7)'den iki bitişik seviye arasındaki enerji aralığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Örneğin kuyu boyutlarına sahip bir elektron için ben= 10 -1 m ( serbest elektronlar metalde) , Δ E n ≈ 10 -35 · N J ≈ 10 -1 6 N eV, yani Enerji seviyeleri o kadar yakın konumlandırılmıştır ki spektrum pratikte sürekli kabul edilebilir. Kuyunun boyutları atomik boyutlarla karşılaştırılabilirse ( ben ≈ 10 -10 m), sonra elektron için Δ E n ≈ 10 -17 N J ≈ 10 2 N eV, yani Açıkçası ayrık enerji değerleri (çizgi spektrumu) elde edilir.

Böylece, Schrödinger denkleminin sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanması kuantize edilmiş enerji değerlerine yol açarken, klasik mekanik bu parçacığın enerjisine herhangi bir kısıtlama getirmez.

Ek olarak, bu problemin kuantum mekaniksel değerlendirmesi, sonsuz yüksek "duvarlara" sahip "potansiyel kuyusundaki" bir parçacığın π 2'ye eşit minimum enerjiden daha düşük bir enerjiye sahip olamayacağı sonucuna varır. ? 2 /(2t1 2). Sıfırdan farklı bir minimum enerjinin varlığı tesadüfi değildir ve belirsizlik ilişkisinden kaynaklanır. Koordinat belirsizliği Δ X"çukur" genişliğinde parçacıklar benΔ'ya eşit X= ben.

O halde belirsizlik ilişkisine göre dürtünün kesin, bu durumda sıfır bir değeri olamaz. Momentum belirsizliği Δ R ≈ s/d. Momentum değerlerinin bu yayılması şuna karşılık gelir: kinetik enerji E dk ≈(Δ P) 2 / (2M) = ? 2 / (2ml 2). Diğer tüm seviyeler ( p> 1) Bu minimum değeri aşan bir enerjiye sahip olmak.

Formül (9) ve (7)'den, büyük kuantum sayıları için ( N"1) Δ E n / E p ≈ 2/N“1, yani bitişik seviyeler birbirine yakın konumlandırılmış: ne kadar yakınsa o kadar fazla P. Eğer Nçok büyükse, neredeyse sürekli bir seviye dizisinden bahsedebiliriz ve karakteristik özellik kuantum süreçleri- Ayrıklık düzeltildi. Bu sonuç, Bohr'un uygunluk ilkesinin (1923) özel bir durumudur; buna göre kuantum mekaniği yasalarının zorunlu olması gerekir. büyük değerler kuantum sayıları Klasik fizik kanunlarına geçelim.

§ 217. Genel Schrödinger denklemi. Durağan durumlar için Schrödinger denklemi

Da Broglie dalgalarının (bkz. § 216) ve Heisenberg belirsizlik ilişkisinin (bkz. § 215) istatistiksel yorumu, mikropartiküllerin çeşitli kuvvet alanlarındaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin bir denklem olması gerektiği sonucuna varılmasına yol açtı. parçacıkların deneysel dalga özelliklerine ilişkin gözlemlenebilir bilgiler. Yönetici denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır (x, z, T ), sen,T çünkü bir parçacığın o anda var olma olasılığını belirleyen şey tam da bu, ya da daha doğrusu niceliktir.hacim olarak , dVX yani koordinatların olduğu alanda X + Ve . dx sen dx + Ve . ölmek + dz . zuz Gerekli denklemin parçacıkların dalga özelliklerini hesaba katması gerektiğinden, açıklayan denkleme benzer bir dalga denklemi olması gerekir..

elektromanyetik dalgalarTemel denklem 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edilmiştir. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri) türetilmemiş, ancak varsayılmıştır.

(217.1)

Bu denklemin doğruluğu, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile doğrulanır ve bu da ona doğa kanunu karakterini verir. Schrödinger denklemi şu şekildedir:Nerede, T ,

- - parçacık kütlesi, - Laplace operatörühayali birim, V z , T ) (x, y,- Bir parçacığın hareket ettiği kuvvet alanındaki potansiyel fonksiyonu, z, T ) (x, y,

- parçacığın istenen dalga fonksiyonu. Denklem (217.1), düşük hızda (ışık hızıyla karşılaştırıldığında) yani hızıyla hareket eden herhangi bir parçacık (spin değeri 0'a eşit; bkz. § 225) için geçerlidir. Dalgaya uygulanan koşullarla desteklenir. fonksiyon: 1) dalga fonksiyonu sonlu, net ve sürekli olmalıdır (bkz. § 216); 2) türevler

sürekli olmalıdır; 3) fonksiyon şu şekilde olmalıdır:

entegre edilebilir; en basit durumlarda bu koşul, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna (216.3) indirgenir. Schrödinger denklemine ulaşmak için, de Broglie'nin fikrine göre, serbestçe hareket eden bir parçacığı düşünün. düzlem dalgası . Basitlik açısından tek boyutlu durumu ele alıyoruz. Bir eksen boyunca yayılan bir düzlem dalganın denklemi X, şu şekle sahiptir (bkz. § 154) veya karmaşık gösterimde

Bu nedenle düz

(217.2)

de Broglie dalgası şu şekle sahiptir: (bu dikkate alınır

Kuantum mekaniğinde üs eksi işaretiyle alınır,

ancak yalnızca fiziksel bir anlamı olduğundan bu (bkz. (217.2)) önemsizdir. Daha sonra

Neresie Enerji arasındaki ilişkiyi kullanma ve dürtü

ve ifadelerin değiştirilmesi

(217.3), diferansiyel denklemi elde ederizsen bu durum için denklem (217.1) ile örtüşmektedir

=0 (serbest bir parçacık olarak kabul ettik).sen , Bir parçacık potansiyel enerji ile karakterize edilen bir kuvvet alanı içinde hareket ederse

Oe toplam enerji oluşur tipik

Gerçek ve potansiyel enerjiler. Benzerlerinin yürütülmesie senR arasındaki ilişkiyi akıl yürütme ve kullanma (bu durum için

geleceğiz

° (217.1) ile çakışan bir diferansiyel denkleme.

Denklem (217.1) genel Schrödinger denklemidir. Buna zamana bağlı Schroednäger denklemi de denir. Mikro dünyada meydana gelen birçok fiziksel olay için, zamana bağlılığı ortadan kaldırarak denklem (217.1) basitleştirilebilir, başka bir deyişle Schrödinger denklemini bulun. durağan durumlar - Sabit enerji değerlerine sahip durumlar. Bu, parçacığın hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür; yani fonksiyon açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. Bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü, biri yalnızca koordinatların, diğeri yalnızca zamanın fonksiyonu olan ve zamana bağımlılık çarpanla ifade edilen iki fonksiyonun ürünü olarak temsil edilebilir.

Bu yüzden

Neredee sabit bir alan durumunda sabit olan parçacığın toplam enerjisidir. (217.4)'ü (217.1)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

dolayısıyla, ortak faktörlere ve karşılık gelen dönüşümlere bölündükten sonra

fonksiyonu tanımlayan denkleme ulaşıyoruz

(217.5)

Denklem (217.5) durağan durumlar için Schrödinger denklemi olarak adlandırılır. Bu denklem toplam enerjiyi parametre olarak içerir e parçacıklar. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin, sınır koşulları getirilerek fiziksel anlamı olan çözümlerin seçildiği sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu kanıtlanmıştır. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar, dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullardır: dalga fonksiyonları sonlu, tek değerli ve birinci türevleriyle birlikte sürekli olmalıdır. E, Dolayısıyla yalnızca düzenli fonksiyonlarla ifade edilen çözümler gerçek bir fiziksel anlama sahiptir ancak parametrenin hiçbir değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. ancak yalnızca belirli bir görevin özelliği olan belirli bir grup için. Bu enerji değerlerine uygun değerler denir.Çözümler e Enerji özdeğerlerine karşılık gelen fonksiyonlara özfonksiyonlar denir. Özdeğerler

hem kalıcı hem de kalıcı olabilir

süreksiz ve ayrık seriler. İlk durumda, sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrı bir spektrumdan bahsediyorlar.

§ 218. Nedensellik ilkesi ■ kuantum mekaniği Belirsizlik ilişkisinden genellikle nedensellik ilkesinin mikrokozmosta meydana gelen olaylara uygulanamayacağı sonucu çıkarılır. Bu, aşağıdaki düşüncelere dayanmaktadır. klasik determinizm, sistemin belirli bir andaki bilinen durumuna (tamamen sistemin tüm parçacıklarının koordinatlarının ve momentumlarının değerlerine göre belirlenir) ve ona uygulanan kuvvetlere dayanarak, kesinlikle doğru bir şekilde belirlenebilir. sonraki herhangi bir anda durum. Buradan, klasik fizik aşağıdaki nedensellik anlayışına dayanmaktadır: durum mekanik sistem V başlangıç ​​anı Parçacıkların bilinen etkileşim yasası ile zaman nedendir ve sonraki andaki durumu da sonuçtur.

Öte yandan, mikro nesneler aynı anda hem belirli bir koordinata hem de buna karşılık gelen belirli bir momentum projeksiyonuna (belirsizlik ilişkisi (215.1) tarafından belirlenen) sahip olamaz, bu nedenle zamanın ilk anında sistemin durumunun tam olarak olmadığı sonucuna varılır. azimli. Sistemin durumu zamanın ilk anında belirlenmezse, sonraki durumlar tahmin edilemez, yani nedensellik ilkesi ihlal edilir.

Ancak kuantum mekaniğinde mikro nesnenin durumu kavramı klasik mekanikten tamamen farklı bir anlam kazandığından, mikro nesnelerle ilgili olarak nedensellik ilkesinin ihlali gözlenmez. Kuantum mekaniğinde bir mikro nesnenin durumu tamamen dalga fonksiyonu (x, Yönetici denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır (x,z, T), modülünün karesi (x, Yönetici denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır (x,z, T)\ 2 koordinatları olan bir noktada bir parçacık bulmanın olasılık yoğunluğunu belirtir x, y,z.

Buna karşılık, dalga fonksiyonu(x, Yönetici denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır (x,z, T) fonksiyonun zamana göre birinci türevini içeren Schrödinger denklemini (217.1) karşılar. Bu aynı zamanda bir fonksiyonun belirtilmesinin (t 0 zamanı için) sonraki anlardaki değerini de belirleyeceği anlamına gelir. Bu nedenle kuantum mekaniğinde başlangıç ​​durumu

Bir sebep vardır ve bir sonraki andaki durum bir sonuçtur. Bu, kuantum mekaniğindeki nedensellik ilkesinin biçimidir, yani bir fonksiyonun belirtilmesi, sonraki anlar için değerlerini önceden belirler. Böylece, kuantum mekaniğinde tanımlanan bir mikropartikül sisteminin durumu, nedensellik ilkesinin gerektirdiği gibi, önceki durumdan açıkça kaynaklanır.

Fizikçiler arasında çok yaygın olan folklora göre olay şöyle oldu: 1926'da Zürih Üniversitesi'nde bir bilimsel seminerde isimli teorik fizikçi konuştu. Havadaki tuhaf yeni fikirlerden, mikroskobik nesnelerin parçacıklardan çok dalga gibi davrandığından bahsetti. Sonra yaşlı bir öğretmen konuşmak istedi ve şöyle dedi: “Schrödinger, tüm bunların saçmalık olduğunu görmüyor musun? Yoksa hepimiz dalgaların sadece dalga denklemleriyle tanımlanacak dalgalar olduğunu bilmiyor muyuz?” Schrödinger bunu kişisel bir hakaret olarak algıladı ve parçacıkları kuantum mekaniği çerçevesinde tanımlamak için bir dalga denklemi geliştirmeye koyuldu ve bu görevin üstesinden harika bir şekilde geldi.

Burada bir açıklama yapılması gerekiyor. Günlük yaşamımızda enerji iki şekilde aktarılır: bir yerden bir yere hareket eden madde yoluyla (örneğin, hareket eden bir lokomotif veya rüzgar) - enerji aktarımında parçacıklar yer alır - veya dalgalar (örneğin, radyo dalgaları) aracılığıyla. güçlü vericiler tarafından iletilir ve televizyonlarımızın antenleri tarafından yakalanır). Yani, sizin ve benim yaşadığımız makrokozmosta, tüm enerji taşıyıcıları kesinlikle iki türe ayrılmıştır - parçacık (maddi parçacıklardan oluşan) veya dalga. Bu durumda herhangi bir dalga tanımlanır. özel tip denklemler - dalga denklemleri. İstisnasız tüm dalgalar okyanusun dalgalarıdır. sismik dalgalar kayalar Uzak galaksilerden gelen radyo dalgaları aynı tür dalga denklemleriyle tanımlanır. Bu açıklama, eğer atomaltı dünyanın olaylarını olasılık dağılım dalgaları (bkz. Kuantum Mekaniği) cinsinden temsil etmek istiyorsak, bu dalgaların da karşılık gelen dalga denklemiyle tanımlanması gerektiğini açıklığa kavuşturmak için gereklidir.

Schrödinger, dalga fonksiyonunun klasik diferansiyel denklemini olasılık dalgaları kavramına uyguladı ve kendi adını taşıyan ünlü denklemi elde etti. Alışılagelmiş dalga fonksiyonu denkleminin, örneğin su yüzeyindeki dalgacıkların yayılımını tanımlaması gibi, Schrödinger denklemi de uzayda belirli bir noktada bir parçacığı bulma olasılığı dalgasının yayılımını tanımlar. Bu dalganın zirveleri (maksimum olasılık noktaları), parçacığın uzayda nereye varma olasılığının yüksek olduğunu gösterir. Schrödinger denklemi bölgeye ait olmasına rağmen yüksek matematik anlamak çok önemli modern fizik Bunu yine de burada en basit haliyle ("tek boyutlu durağan Schrödinger denklemi" olarak adlandırılan) sunacağım. Yunan harfi (psi) ile gösterilen yukarıdaki olasılık dağılımı dalga fonksiyonu, aşağıdaki diferansiyel denklemin çözümüdür (anlamadıysanız sorun değil; sadece bu denklemin olasılığın bir dalga gibi davrandığını gösterdiğine güvenin) ): :

Schrödinger denkleminin bize verdiği kuantum olaylarının resmi, elektronların ve diğerlerinin temel parçacıklar okyanus yüzeyindeki dalgalar gibi davranırlar. Zamanla dalganın zirvesi (elektronun bulunma ihtimalinin en yüksek olduğu konuma karşılık gelir), bu dalgayı tanımlayan denklem uyarınca uzayda hareket eder. Yani, geleneksel olarak parçacık olarak kabul ettiğimiz şey, kuantum dünyasında bir dalga gibi davranır.

Schrödinger sonuçlarını ilk yayınladığında dünya teorik fizik bir bardak suda fırtına çıktı. Gerçek şu ki, neredeyse aynı zamanda, Schrödinger'in çağdaşı Werner Heisenberg'in, yazarın kuantum mekaniğinin aynı problemlerinin çözüldüğü “matris mekaniği” kavramını öne sürdüğü çalışması (Heisenberg'in Belirsizlik İlkesi'ne bakınız) ortaya çıktı. başka, daha karmaşık bir sistemde. matematiksel nokta matris formunu görüntüleyin. Kargaşanın nedeni, bilim adamlarının sadece ikisinin de olup olmayacağından korkmasıydı. eşit olarak Mikro dünyayı tanımlamaya yönelik ikna edici yaklaşımlar. Endişeler boşunaydı. Aynı yıl, Schrödinger iki teorinin tam eşdeğerliğini kendisi kanıtladı; yani, matris denklemi dalga denkleminden çıkar ve bunun tersi de geçerlidir; sonuçlar aynıdır. Bugün, esas olarak Schrödinger'in versiyonu (bazen "dalga mekaniği" olarak da adlandırılır) kullanılır çünkü denklemi daha az hantaldır ve öğretilmesi daha kolaydır.

Ancak elektron gibi bir şeyin dalga gibi davrandığını hayal etmek ve kabul etmek o kadar da kolay değil. İÇİNDE günlük yaşam ya bir parçacıkla ya da bir dalgayla çarpışırız. Top bir parçacıktır, ses bir dalgadır ve hepsi bu. Kuantum mekaniği dünyasında her şey o kadar basit değil. Aslında -ki deneyler bunu çok geçmeden gösterdi- kuantum dünyasında varlıklar, aşina olduğumuz nesnelerden farklıdır ve farklı özelliklere sahiptir. Dalga olarak düşündüğümüz ışık bazen parçacık gibi davranır (foton olarak adlandırılır), elektron ve proton gibi parçacıklar da dalga gibi davranabilir (bkz. Tamamlayıcılık İlkesi).

Bu problem genellikle kuantum parçacıklarının ikili veya ikili parçacık-dalga doğası olarak adlandırılır ve görünüşe göre atomaltı dünyadaki tüm nesnelerin karakteristik özelliğidir (bkz. Bell Teoremi). Maddenin hangi biçimleri alabileceği ve nasıl davranabileceği hakkındaki sıradan sezgisel fikirlerimizin mikro dünyada geçerli olmadığını anlamalıyız. Parçacık olarak düşünmeye alışkın olduğumuz şeylerin hareketini dalga denklemini kullanarak tanımlamamız da bunun açık bir kanıtıdır. Giriş bölümünde belirtildiği gibi bunda özel bir çelişki yoktur. Sonuçta, makrokozmosta gözlemlediklerimizin mikrokozmos düzeyinde doğru bir şekilde yeniden üretilmesi gerektiğine inanmak için hiçbir zorlayıcı nedenimiz yok. Ancak temel parçacıkların ikili doğası, birçok insan için kuantum mekaniğinin en kafa karıştırıcı ve rahatsız edici yönlerinden biri olmaya devam ediyor ve tüm sorunların Erwin Schrödinger'le başladığını söylemek abartı değil.

James Trefil'in Ansiklopedisi “Bilimin Doğası. Evrenin 200 kanunu."

James Trefil, popüler bilim kitaplarının en ünlü Batılı yazarlarından biri olan George Mason Üniversitesi'nde (ABD) fizik profesörüdür.

Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan Max Planck, yakın zamanda keşfedilen elektromanyetik dalgalar ve atomlar arasındaki etkileşimi teorik olarak açıklamaya ve böylece kara cisim radyasyonu problemini çözmeye çalışarak enerji kuantizasyonu fikirlerini ortaya attı. Atomların gözlemlenen emisyon spektrumunu açıklamak için, atomların enerjiyi porsiyonlar halinde (bilim adamının kuantum adını verdiği) ve yalnızca bireysel dalga frekanslarında yaydığını ve emdiğini kabul etmenin gerekli olduğunu fark etti.

Kesinlikle siyah gövde tamamen emici elektromanyetik radyasyon Herhangi bir frekanstaki herhangi bir frekans, ısıtıldığında, tüm frekans spektrumuna eşit olarak dağılmış dalgalar şeklinde enerji yayar.

Kuantum kelimesi Latince kuantum (“ne kadar, ne kadar”) ve İngilizce kuantum (“miktar, kısım, kuantum”) kelimelerinden gelir. “Mekanik” uzun zamandır maddenin hareketi bilimine verilen isimdir. Buna göre, "kuantum mekaniği" terimi, maddenin parçalar halinde (veya modern terimlerle) hareketinin bilimi anlamına gelir. bilimsel dil kuantize maddenin hareketi bilimi). "Kuantum" terimi, ışığın atomlarla etkileşimini tanımlamak için Alman fizikçi Max Planck tarafından icat edildi.

Atomaltı dünyanın gerçeklerinden biri, elektronlar veya fotonlar gibi nesnelerinin makro dünyanın olağan nesnelerine hiç benzememesidir. Ne parçacıklar ne de dalgalar gibi davranırlar; tamamen özel eğitim hem dalga hem de görüntü sergiliyor parçacık özellikleri koşullara bağlı olarak. Bir açıklama yapmak başka şey, kuantum parçacıklarının davranışının dalga ve parçacık yönlerini birbirine bağlamak ve bunları tam bir denklemle açıklamak bambaşka bir şeydir. De Broglie ilişkisinde yapılan da tam olarak budur.

Günlük yaşamda, enerjiyi uzayda aktarmanın iki yolu vardır: parçacıklar veya dalgalar yoluyla. İÇİNDE günlük yaşam Enerji aktarımının iki mekanizması arasında gözle görülür bir çelişki yoktur. Yani basketbol bir parçacıktır ve ses bir dalgadır ve her şey açıktır. Ancak kuantum mekaniğinde işler bu kadar basit değil. En basit deneylerden bile kuantum nesneleriÇok geçmeden, mikro dünyada, makro dünyanın alıştığımız ilke ve yasalarının geçerli olmadığı anlaşılıyor. Dalga olarak düşünmeye alıştığımız ışık, bazen bir parçacık akışından (foton) oluşuyormuş gibi davranır ve elektron, hatta büyük bir proton gibi temel parçacıklar çoğu zaman dalga özellikleri sergiler.

Hepsinden önemlisi, Einstein, mikro dünya olgusunu, koordinatların ve parçacık hızlarının olağan konumundan değil, olasılıklar ve dalga fonksiyonları açısından tanımlama ihtiyacına karşı çıktı. "Zar atmak" derken kastettiği buydu. Elektronların hareketini hızları ve koordinatları cinsinden tanımlamanın belirsizlik ilkesiyle çeliştiğini fark etti. Ancak Einstein, mikro dünyanın kuantum mekaniksel tablosunun bütünlük ve determinizm yoluna geri döneceğini hesaba katan başka değişkenlerin veya parametrelerin de olması gerektiğini savundu. Yani, bize sadece Tanrı'nın bizimle zar atıyormuş gibi göründüğünde ısrar etti, çünkü biz her şeyi anlamıyoruz. Böylece kuantum mekaniği denklemlerinde gizli değişken hipotezini formüle eden ilk kişi oldu. Aslında elektronların Newton'un bilardo topları gibi sabit koordinatları ve hızları olduğu ve bunların kuantum mekaniği çerçevesinde belirlenmesine yönelik belirsizlik ilkesi ve olasılıksal yaklaşımın teorinin kendisinin eksikliğinin bir sonucu olduğu gerçeğinde yatmaktadır. neden belirli bir tanımlamaya izin vermiyor?

Yulia Zotova

Öğreneceksiniz: Hangi teknolojilere kuantum denir ve neden. Kuantum teknolojilerinin klasik teknolojilere göre avantajı nedir? Ne yapabilir ve yapamaz kuantum bilgisayarı. Fizikçiler kuantum bilgisayarını nasıl yapıyorlar? Ne zaman oluşturulacak.

Fransız fizikçi Pierre Simon Laplace şunu ortaya koydu: önemli soru, dünyadaki her şeyin dünyanın önceki durumu tarafından önceden belirlenip belirlenmediği veya bir nedenin çeşitli sonuçlara yol açıp açamayacağı hakkında. Felsefi geleneğin beklediği gibi Laplace, "Dünya Sisteminin Sergilenmesi" adlı kitabında herhangi bir soru sormadı, ancak evet, dünyadaki her şeyin önceden belirlendiğini ancak felsefede sıklıkla olduğu gibi hazır bir cevap söyledi. Laplace'ın önerdiği dünya resmi herkesi ikna etmemişti ve dolayısıyla cevabı, konu etrafında günümüze kadar devam eden bir tartışmanın doğmasına neden olmuştu. Bazı filozofların kuantum mekaniğinin çözümlediği görüşüne rağmen bu soru Ancak olasılıkçı yaklaşımın lehine, Laplace'ın tam önceden belirlenme teorisi veya diğer adıyla Laplace determinizm teorisi bugün hala tartışılmaktadır.

Gordey Lesovik

Bir süre önce, bir grup ortak yazar ve ben, termodinamiğin ikinci yasasını kuantum mekaniği açısından türetmeye başladık. Örneğin, entropinin olduğunu belirten formülasyonlarından birinde kapalı sistem azalmaz, tipik olarak artar ve eğer sistem enerjik olarak izole edilmişse bazen sabit kalır. Bilinen sonuçları kullanma kuantum teorisi bilgilerle, bu ifadenin doğru olduğu bazı koşulları türettik. Beklenmedik bir şekilde bu koşulların sistemlerin enerji izolasyonu koşuluyla örtüşmediği ortaya çıktı.

Fizik profesörü Jim Al-Khalili, en kesin ve en kafa karıştırıcı olanlardan birini araştırıyor bilimsel teoriler- kuantum fiziği. 20. yüzyılın başlarında bilim insanları, etrafımızdaki dünyanın atom altı yapı taşları olan maddenin gizli derinliklerini araştırdılar. Daha önce görülenlerden farklı olguları keşfettiler. Her şeyin aynı anda birçok yerde olabildiği, gerçekliğin yalnızca biz onu gözlemlediğimizde gerçekten var olduğu bir dünya. Albert Einstein, rastlantısallığın doğanın özünde olduğu fikrine direndi. Kuantum fiziği atom altı parçacıkların etkileşime girebileceğini ima eder daha yüksek hızışıktır ve bu onun görelilik teorisiyle çelişir.

De Broglie dalgalarının istatistiksel yorumundan (bkz. § ve Heisenberg belirsizlik ilişkileri (bkz. § 215), mikropartiküllerin çeşitli kuvvet alanlarındaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin, gözlemlerin elde edildiği bir denklem olması gerektiği sonucu çıktı. Bunu takip edecek - parçacıkların deneysel olarak belirlenmiş dalga özellikleri.

Ana denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır, çünkü bir parçacığın o anda mevcut olma olasılığını belirleyen tam olarak o veya daha doğrusu |Ф|2 değeridir. T hacim olarak dV, koordinatların bulunduğu alanda ve X+ dx, y+dy,

z ve Gerekli denklem parçacıkların dalga özelliklerini hesaba katması gerektiğinden, dalga denklemi, elektromanyetik dalgaları tanımlayan denkleme benzer. Temel denklem göreceli olmayan kuantum mekaniği 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edilmiştir. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri) türetilmemiş, ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile doğrulanır ve bu da ona doğa kanunu karakterini verir. Denklem

Schrödinger'in formu var

Hayali birim, y,z,t) -

Potansiyel fonksiyon hareket ettiği kuvvet alanındaki parçacıklar; z,t) - istenilen dalga fonksiyonu

Denklem, düşük (ışık hızıyla karşılaştırıldığında) hızda hareket eden herhangi bir parçacık (spin değeri 0'a eşit; bkz. § 225) için geçerlidir; vİle. Dalga fonksiyonuna uygulanan koşullarla desteklenir: 1) dalga fonksiyonu sonlu, net ve sürekli olmalıdır (bkz. § 216);

2) türevler -, -, --, zorunlu-

ah doo

sürekli olmamız gerekiyor; 3) |Ф|2 fonksiyonu integrallenebilir olmalıdır; Bu durum en basit durumlarda

Normalleştirme koşulu (216.3).

Schrödinger denklemine ulaşmak için, de Broglie'ye göre bununla ilişkilendirilen serbestçe hareket eden bir parçacığı ele alalım. Basitlik açısından tek boyutlu durumu ele alalım. Bir eksen boyunca yayılan bir düzlem dalganın denklemi . Basitlik açısından tek boyutlu durumu ele alıyoruz. Bir eksen boyunca yayılan bir düzlem dalganın denklemi formu vardır (bkz. § 154) t) = bir cos - veya karmaşık gösterim T)- Bu nedenle, de Broglie dalgası düzlemi şu şekildedir:

(217.2)

(bu dikkate alınır - = -). Kuantumda

Üs “-” işaretiyle alınır, sadece |Ф|2'nin fiziksel anlamı olduğundan bunun bir önemi yoktur. Daha sonra

Enerji arasındaki ilişkiyi kullanma e ve dürtü = --) ve yerine koyma

(217.3) ifadesi ile diferansiyel denklemi elde ederiz

bu durumun denklemiyle örtüşüyor U- O (serbest bir parçacık olarak değerlendirdik).

Bir parçacık potansiyel enerji ile karakterize edilen bir kuvvet alanı içinde hareket ederse sen, o zaman toplam enerji e kinetik ve potansiyel enerjilerden oluşur. Benzer muhakeme yürütme ve aralarındaki ilişkiyi kullanma ("için

Vakalar = E-U),(217.1) ile çakışan bir diferansiyel denkleme ulaşıyoruz.

Yukarıdaki mantık Schrödinger denkleminin bir türevi olarak alınmamalıdır. Sadece bu denkleme nasıl ulaşılabileceğini açıklıyorlar. Schrödinger denkleminin doğruluğunun kanıtı, onun yol açtığı sonuçların deneyimlerle uyumudur.

Denklem (217.1) genel Schrödinger denklemi. Ayrıca denir zamana bağlı Schrödinger denklemi. Mikro dünyada meydana gelen birçok fiziksel olay için denklem (217.1), zamana bağlılığı ortadan kaldırarak basitleştirilebilir, başka bir deyişle Schrödinger denklemini bulun. sabit durumlar - sabit enerji değerlerine sahip durumlar. Bu, parçacığın içinde hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür, yani fonksiyon U=z) açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir.

Bu durumda, Schrödinger denkleminin çözümü, biri yalnızca koordinatların, diğeri yalnızca zamanın bir fonksiyonu olan ve zamana bağımlılık şu şekilde ifade edilen iki fonksiyonun çarpımı olarak temsil edilebilir:

e" = e ile çarpılır, yani

(217.4)

Nerede e sabit bir alan durumunda sabit olan parçacığın toplam enerjisidir. (217.4)'ü (217.1)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

Karşılık gelen dönüşümlerin ortak faktörü e'ye bölündükten sonra

Formasyon, fonksiyonu tanımlayan denkleme ulaşıyoruz

Denklem denklem

Durağan durumlar için Schrödinger'in teorisi. Bu denklem toplam enerjiyi parametre olarak içerir e parçacıklar. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olduğu kanıtlanmıştır. başından sonuna kadar Sınır koşullarını empoze etmek, fiziksel özelliklere sahip çözümleri seçer.

Schrödinger denklemi için bu tür koşullar şunlardır: Dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullar: dalga fonksiyonları sonlu, tek değerli ve birinci türevleriyle birlikte sürekli olmalıdır.

Dolayısıyla yalnızca düzenli fonksiyonlarla ifade edilen çözümler gerçek bir fiziksel anlama sahiptir ancak parametrenin hiçbir değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. E, ancak yalnızca belirli bir soruna özgü belirli bir grup için. Bunlar enerji değerleri denir sahip olmak. Enerji özdeğerlerine karşılık gelen çözümlere denir kendi işlevleri. Özdeğerler e hem sürekli hem de ayrık bir seri oluşturabilir. İlk durumda konuşacağız sürekli, veya sürekli spektrum ikincisinde - hakkında ayrık spektrum.

§ 218. Kuantum mekaniğinde nedensellik ilkesi

Belirsizlik ilişkisinden sıklıkla şu sonuca varılır:

Mikrokozmosta meydana gelen olayların nedensellik ilkesi. Bu, aşağıdaki düşüncelere dayanmaktadır. Buna göre klasik mekanikte nedensellik ilkesi - klasik determinizm ilkesi,İle sistemin belirli bir andaki bilinen durumu (tamamen sistemin tüm parçacıklarının koordinatları ve momentum değerleri ile belirlenir) ve ona uygulanan kuvvetler, daha sonraki herhangi bir anda durumunu kesinlikle doğru bir şekilde belirleyebilir. . Sonuç olarak, klasik fizik şu nedensellik anlayışına dayanmaktadır: Parçacık etkileşiminin bilinen bir yasasına sahip bir mekanik sistemin zamanın ilk anındaki durumu nedendir ve sonraki andaki durumu da sonuçtur.

Öte yandan, mikro nesneler aynı anda hem belirli bir koordinata hem de buna karşılık gelen belirli bir momentum projeksiyonuna sahip olamazlar [bu nedenle, zamanın ilk anında sistemin durumunun kesin olarak belirlenmediği sonucuna varılır. Eğer sistemin durumu başlangıç ​​anında kesin değilse sonraki durumlar tahmin edilemez, yani nedensellik ilkesi ihlal edilir.

Ancak kuantum mekaniğinde mikro nesnenin durumu kavramı klasik mekanikten tamamen farklı bir anlam kazandığından, mikro nesnelerle ilgili olarak nedensellik ilkesinin ihlali gözlenmez. Kuantum mekaniğinde bir mikro nesnenin durumu tamamen modülü karesi olan dalga fonksiyonu tarafından belirlenir.

2 koordinatları olan bir noktada bir parçacık bulmanın olasılık yoğunluğunu belirtir x, y, z.

Buna karşılık, dalga fonksiyonu denklemi karşılar

F fonksiyonunun zamana göre birinci türevini içeren Schrödinger. Bu aynı zamanda bir fonksiyonun (zamanda bir an için) belirtilmesinin, onun sonraki anlardaki değerini belirlediği anlamına gelir. Sonuç olarak, kuantum mekaniğinde, başlangıç ​​durumu nedendir ve sonraki andaki Ф durumu da sonuçtur. Bu, kuantum mekaniğinde nedensellik ilkesi, yani bir fonksiyonun spesifikasyonu, sonraki anlar için değerlerini önceden belirler. Dolayısıyla, kuantum mekaniğinde tanımlanan bir mikropartikül sisteminin durumu, ilkesinin gerektirdiği gibi, önceki durumdan açıkça kaynaklanır. nedensellik.

§219. Serbest bir parçacığın hareketi

Serbest parçacık - dış alanların yokluğunda hareket eden bir parçacık. Serbest olandan beri (eksen boyunca hareket etmesine izin verin) X) kuvvetler etki etmezse parçacığın potansiyel enerjisi u(x) = const ve kabul edilebilir sıfıra eşit. Daha sonra parçacığın toplam enerjisi kinetik enerjisiyle çakışır. Bu durumda durağan durumlar için Schrödinger denklemi (217.5) şu şekli alacaktır:

(219.1)

Doğrudan ikameyle, (219.1) denkleminin belirli bir çözümünün aşağıdaki fonksiyon olduğunu doğrulayabiliriz: - Nerede bir = const ve İle= sabit, s özdeğer enerji

= = fonksiyonu dalga fonksiyonunun sadece koordinat kısmını temsil eder. Dolayısıyla zamana bağlı dalga fonksiyonu, (217.4)'e göre,

(219.3) düzlem monokromatik de Broglie dalgasıdır [bkz. (217.2)].

İtibaren ifade (219.2)'den enerjinin momentuma bağlı olduğu sonucu çıkar

göreceli olmayan parçacıklar için olağan olduğu ortaya çıkıyor. Bu nedenle serbest bir parçacığın enerjisi herhangi bir değer(dalga numarasından beri İle herhangi bir pozitif değer alabilir), yani enerji spektrum serbest parçacık sürekli.

Çok özgür kuantum parçacığı düzlem monokromatik de Broglie dalgası ile tanımlanır. Bu, uzayda belirli bir noktada bir parçacığın tespit edilmesinin zamandan bağımsız olasılık yoğunluğuna karşılık gelir.

yani serbest bir parçacığın uzaydaki tüm konumları eşit derecede olasıdır.

§ 220. Sonsuz yüksekliğe sahip tek boyutlu dikdörtgen bir “potansiyel kuyusu” içindeki parçacık

"duvarlar"

Schrödinger denkleminin çözümlerinin niteliksel bir analizini aşağıdakileri kullanarak yapalım:

Pirinç. 299

(220.4)

parçacıkla ilgili V sonsuz yüksek “duvarlara” sahip tek boyutlu dikdörtgen bir “potansiyel kuyusu”. Böyle bir "kuyu", formun potansiyel enerjisi ile tanımlanır (basitlik açısından parçacığın eksen boyunca hareket ettiğini varsayıyoruz) X)

“çukurun” genişliği nerede, A enerji alttan sayılır (Şek. 299).

Tek boyutlu bir problem durumunda durağan durumlar için Schrödinger denklemi (217.5) şu şekilde yazılacaktır:

Sorunun koşullarına göre (sonsuz yüksek "duvarlar"), parçacık "deliğin" ötesine nüfuz etmez, dolayısıyla "delik" dışında tespit edilme olasılığı (ve dolayısıyla dalga fonksiyonunun) sıfırdır. “Çukur” sınırlarında (en X- 0 ve x = sürekli dalga fonksiyonu da ortadan kalkmalıdır. Sonuç olarak, bu durumda sınır koşulları şu şekildedir:

“Çukur” içinde (0 X Schrödinger denklemi (220.1) denkleme indirgenecek

Diferansiyel denklemin (220.3) genel çözümü:

(220.2) = 0'a göre, o zaman İÇİNDE= 0.

(220.5)

Durum (220.2) = 0 yalnızca burada yürütülür N- tamsayılar, yani gereklidir

(220.4) ve (220.6) ifadelerinden şu sonuç çıkar:

yani, bir parçacığın sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki hareketini tanımlayan durağan Schrödinger denklemi, yalnızca tamsayıya bağlı özdeğerler için karşılanır P. Bu nedenle parçacık enerjisi

Sonsuz yükseklikte “duvarları” olan bir “potansiyel kuyusu” sadece belirli ayrık değerler, onlar. nicemlenmiş.

Kuantize edilmiş enerji değerlerine denir enerji seviyeleri ve numara P, Bir parçacığın enerji seviyesini belirleyen şeye denir. baş kuantum sayısı Bu nedenle, sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir mikropartikül, yalnızca belirli bir enerji seviyesinde olabilir veya dedikleri gibi, parçacık, kuantum halindedir.

(220.5) değerini yerine koymak İle(220.6)'dan özfonksiyonları buluruz:

Entegrasyon sabiti A normalleştirme koşulundan (216.3) buluruz, bu durum için bu formda yazılacaktır

İÇİNDE yarı entegre edilmesinin bir sonucu olarak

A - Aözfonksiyonlar şöyle görünecek

ben Rafiki özfonksiyonlar(220.8), seviyelere karşılık gelir

enerji (220.7) de n=1,2,Şekil 3'te gösterilmektedir. 300, A.Şek. 300, B deliğin "duvarlarından" çeşitli mesafelerde bir parçacığın tespit edilmesinin olasılık yoğunluğunu gösterir, şuna eşittir:

İçin n= 1, 2 ve 3. Şekilden, örneğin kuantum durumunda olduğu anlaşılmaktadır. N= 2 ise parçacık “kuyunun” ortasında olamaz, ancak eşit sıklıkla sol ve sağ kısımlarında da olabilir. Parçacığın bu davranışı, kuantum mekaniğinde parçacık yörüngeleri hakkındaki fikirlerin savunulamaz olduğunu gösteriyor. (220.7) ifadesinden, iki arasındaki enerji aralığının olduğu sonucu çıkar.

Komşu seviyeler eşittir

Örneğin kuyu boyutlarına sahip bir elektron için - 10"1 m (ücretsiz elektrik

Metal tahtlar) 10 J

Yani enerji seviyeleri o kadar yakın konumlandırılmıştır ki spektrum pratikte sürekli kabul edilebilir. Kuyunun boyutları atomik m) ile orantılıysa, o zaman bir elektron J eV için, yani. Açıkçası ayrık enerji değerleri elde edilir (çizgi spektrumu).

Böylece Schrödinger denkleminin sonsuz yüksekliğe sahip bir “potansiyel kuyusu”ndaki bir parçacığa uygulanması

“duvarlar” kuantize edilmiş enerji değerlerine yol açarken, klasik mekanik bu parçacığın enerjisine herhangi bir kısıtlama getirmez.

Ayrıca,

Bu problemin dikkate alınması, parçacığın sonsuz yüksekliğe sahip “bir potansiyel kuyusunda” olduğu sonucuna varılmasına yol açmaktadır. duvarlar"daha az enerjiye sahip olamaz

Minimum, eşit [bkz. (220.7)].

Sıfırdan farklı bir minimum enerjinin varlığı tesadüfi değildir ve belirsizlik ilişkisinden kaynaklanır. Belirsizliği koordine edin Ah"çukur" genişliğinde parçacıklar Ah= O halde belirsizlik ilişkisine göre dürtünün kesin, bu durumda sıfır bir değeri olamaz. Dürtü belirsizliği

Böyle bir değer dağılımı

dürtü kinetik enerjiye karşılık gelir

Diğer tüm seviyeler (n > 1) Bu minimum değeri aşan enerjiye sahip olmak.

İtibaren(220.9) ve (220.7) formülleri, büyük kuantum sayıları için şunu takip eder:

yani, bitişik seviyeler birbirine yakın konumlandırılmıştır: ne kadar yakınsa o kadar fazla P. Eğer Nçok büyükse, neredeyse sürekli bir düzey dizisinden bahsedebiliriz ve kuantum süreçlerinin karakteristik özelliği olan ayrıklık yumuşatılır. Bu sonuç özel bir durumdur Bohr'un yazışma ilkesi (1923), buna göre kuantum mekaniği yasalarının, kuantum sayılarının büyük değerlerinde klasik fizik yasalarına dönüşmesi gerekir.

Daha yazışma ilkesinin genel yorumu: herhangi bir yeni, daha fazlası genel teori Klasik teorinin bir gelişimi olan, onu tamamen reddetmeyen ancak klasik teoriyi de içeren, uygulamasının sınırlarını gösteren ve bazı sınırlayıcı durumlarda yeni teori eskisine gider. Böylece kinematik ve dinamiğin formülleri özel teori görelilik sona eriyor v c Newton mekaniğinin formüllerine. Örneğin, da Broglie hipotezi dalga özelliklerini tüm cisimlere atfetse de, makroskobik cisimlerle uğraştığımız durumlarda onların dalga özellikleri ihmal edilebilir; uygula klasik mekanik Newton.

§ 221. Bir parçacığın potansiyel bir bariyerden geçişi.

Tünel etkisi

dikdörtgen şeklindeki en basit potansiyel bariyer (Şek. tek boyutlu için (parçacığın hareket ekseni boyunca. Yüksekliği ve genişliği olan dikdörtgen şekilli bir potansiyel bariyer için / yazabiliriz)

Problemin verilen koşulları altında, enerjiye sahip klasik bir parçacık E, veya bariyerin üzerinden engellenmeden geçecektir (eğer E > U), veya ondan yansıtılacaktır (eğer e< U) taşınacak ters taraf yani bariyeri geçemez. Bir mikropartikül için bile E > U, mevcut harika sıfırdan bir parçacığın bariyerden yansıtılıp ters yönde hareket etme olasılığı. Şu tarihte: e parçacığın bu bölgeye varma ihtimali de sıfırdan farklı x> onlar. bariyeri aşacaktır. Görünüşte paradoksal olan benzer sonuçlar doğrudan Schrödinger denkleminin çözümünden çıkar.

412

Bu problemin koşulları altında bir mikropartikülün hareketini açıklamak.

Vurgulanan Şekillerin her biri için sabit durumlar için Denklem (217.5). 301, A bölge var

(bölgeler için

(bölge için

Genel çözümler bu diferansiyel denklemler:

Çözüm (221.3) ayrıca her iki yönde de yayılan dalgaları (bir zaman faktörü ile çarpıldıktan sonra) içerir. Ancak bölgede 3 sadece bariyeri geçip soldan sağa yayılan bir dalga var. Bu nedenle (221.3) formülünün katsayısının sıfıra eşit alınması gerekir.

Bölgede 2 karar bağlıdır ilişkiler E>Ü veya e Parçacığın toplam enerjisinin potansiyel bariyerin yüksekliğinden daha az olması fiziksel açıdan ilgi çekicidir, çünkü e klasik fizik yasaları açıkça bir parçacığın bariyeri geçmesine izin vermez. Bu durumda ona göre Q= - sanal sayı, nerede

(bölge için

(alan 2 için);

Anlam Q ve 0, Schrödinger denkleminin üç bölge için çözümlerini aşağıdaki biçimde elde ederiz:

(bölge için 3).

İÇİNDEözellikle bölge için 1 (217.4)'e göre tam dalga fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

Bu ifadede, ilk terim, eksenin pozitif yönünde yayılan (219.3) tipinde bir düzlem dalgayı temsil eder. X(bariyere doğru hareket eden bir parçacığa karşılık gelir) ve ikincisi, ters yönde yayılan, yani bariyerden yansıyan bir dalgadır (bariyerden sola doğru hareket eden bir parçacığa karşılık gelir).

(bölge için 3).

Bölgede 2 Üslerin üsleri hayali değil gerçek olduğundan, fonksiyon artık her iki yönde yayılan düzlem dalgalara karşılık gelmemektedir. Yüksek ve geniş bir bariyerin özel durumu için, 1 olduğunda, gösterilebilir.

Fonksiyonların niteliksel doğası Şekil 2'de gösterilmektedir. 301, bundan şu sonuç çıkıyor: dalga-

Fonksiyon bariyerin içinde bile sıfıra eşit değildir, ancak bölgede 3, bariyer çok geniş değilse, yine aynı dürtüye sahip, yani aynı frekansa sahip, ancak daha küçük bir genliğe sahip de Broglie dalgaları biçimine sahip olacaktır. Sonuç olarak, bir parçacığın sonlu genişlikteki potansiyel bir bariyerden geçme olasılığının sıfırdan farklı olduğunu bulduk.

Böylece kuantum mekaniği temelde yeni ve spesifik bir kuantum fenomenine yol açar. tünel efekti, bunun sonucunda bir mikro nesne potansiyel bir bariyerden "geçebilir". Dikdörtgensel bir potansiyel bariyer için denklemlerin ortak çözümü şunu verir (saydamlık katsayısının birliğe kıyasla küçük olduğu varsayılarak)

bire eşit olabilecek sabit bir faktör nerede; U- potansiyel bariyer yüksekliği; E - parçacık enerjisi; - bariyerin genişliği.

(221.7) ifadesinden şu sonuç çıkıyor: D kuvvetle kütleye bağlıdır Nerede, parçacıklar, genişlik/bariyer ve (U- Bariyer ne kadar geniş olursa, bir parçacığın içinden geçme olasılığı o kadar az olur.

İsteğe bağlı bir şekle sahip potansiyel bir bariyer için (Şekil 302), sözde koşulları karşılayan yarı klasik yaklaşım(eğrinin oldukça düzgün bir şekli), elimizde

Nerede U= U(x).

Klasik bakış açısına göre bir parçacığın potansiyel bir bariyerden geçişi e imkansız çünkü bariyer bölgesinde bulunan parçacığın negatif kinetik enerjiye sahip olması gerekir. Tünel etkisi spesifik bir kuantum etkisidir.

Bir parçacığın klasik mekanik yasalarına göre nüfuz edemeyeceği bir bölgeden geçişi belirsizlik ilişkisi ile açıklanabilir. Momentum belirsizliği Ar segmentte Ah =öyle Ar > -. Momentum değerlerindeki bu dağılımla ilişkili kinetik

302

Çek enerjisi olabilir

tamamlanması için yeterli

parçacık enerjisinin potansiyelden daha büyük olduğu ortaya çıktı.

Tünel geçişleri teorisinin temelleri L. I. Mandelshtam'ın çalışmalarında atılmıştır.

Potansiyel bir bariyerden tünel açmak, katı hal fiziğindeki (örneğin, iki yarı iletkenin sınırındaki temas katmanındaki olaylar), atomik ve nükleer fizikteki (örneğin bozunma, termonükleer reaksiyonların meydana gelmesi) birçok olgunun temelini oluşturur.

§ 222. Doğrusal harmonik osilatör

Kuantum mekaniğinde

Doğrusal harmonik osilatör- yarı elastik bir kuvvetin etkisi altında tek boyutlu hareket eden bir sistem, klasik ve kuantum teorisinin birçok probleminde kullanılan bir modeldir (bkz. § 142). Yay, fiziksel ve matematiksel sarkaçlar klasik harmonik osilatörlerin örnekleridir.

Harmonik bir osilatörün potansiyel enerjisi [bkz. (141.5)] eşittir

Osilatörün doğal frekansı nerede; T - parçacık kütlesi.

Bağımlılık (222.1) bir parabol biçimindedir (Şekil 303), yani. Bu durumda “potansiyel kuyusu” paraboliktir.

Klasik bir osilatörün küçük salınımlarının genliği, toplam enerjisiyle belirlenir. e(bkz. Şekil 17).

Dinger, potansiyel enerji için (222.1) ifadesini dikkate alır. Daha sonra kuantum osilatörün durağan durumları Schrödinger denklemi ile belirlenir.

= 0, (222.2)

Nerede E - osilatörün toplam enerjisi. Diferansiyel denklemler teorisinde

Denklemin (222.2) yalnızca enerjinin özdeğerleri için çözülebileceği kanıtlanmıştır.

(222.3)

Formül (222.3), bir kuantum osilatörün enerjisinin

sadece var ayrık değerler, yani. nicemlenmiş. Enerji, sonsuz yükseklikte “duvarlara” sahip dikdörtgen bir “kuyu” için olduğu gibi, sıfırdan farklı bir minimum enerji değeri ile aşağıdan sınırlıdır (bkz. § 220). = Su-

minimum enerjinin varlığı - buna denir sıfır noktası titreşimlerinin enerjisi - kuantum sistemleri için tipiktir ve belirsizlik ilişkisinin doğrudan bir sonucudur.

Sıfır noktası salınımlarının varlığı, parçacığın “potansiyel kuyunun” dibinde olamayacağı anlamına gelir (kuyunun şekli ne olursa olsun). Aslında “deliğin dibine düşmek”, parçacığın momentumunun ve aynı zamanda belirsizliğinin kaybolmasıyla ilişkilidir. O zaman koordinatın belirsizliği keyfi bir şekilde büyür ve bu da parçacığın varlığıyla çelişir.

"potansiyel delik".

Bir kuantum osilatörün sıfır noktası salınımlarının enerjisinin varlığına ilişkin sonuç, bir osilatörün sahip olabileceği en düşük enerjinin sıfıra eşit olduğu (denge konumunda hareketsiz bir parçacığa karşılık gelir) klasik teorinin sonuçlarıyla çelişir. ). Örneğin klasik fiziğin sonuçlarına göre T= 0 ise, kristalin atomlarının titreşim hareketinin enerjisi yok olmalıdır. Sonuç olarak atomik titreşimlerden kaynaklanan ışık saçılımının da ortadan kalkması gerekir. Ancak deney, azalan sıcaklıkla birlikte ışık saçılımının yoğunluğunun sıfıra eşit olmadığını, ancak belirli bir sınırlayıcı değere doğru yöneldiğini göstermektedir; T Bir kristaldeki atomların 0 titreşimi durmaz. Bu sıfır salınımın varlığını doğrular.

Formül (222.3)'ten, doğrusal bir harmonik osilatörün enerji seviyelerinin birbirinden eşit mesafelerde yerleştirildiği (bkz. Şekil 303), yani bitişik enerji seviyeleri arasındaki mesafe eşittir ve minimum enerji değeri şu şekildedir: =

Kuantum osilatörü problemine kesin bir çözüm, klasiklerden bir başka önemli farklılığa yol açar.