Klasik ve kuantum istatistiksel fizik. Gibbs ilişkisinin türetilmesi. Termodinamik prensipler. Liouville teoremi ve Boltzmann ve Ziegler'in kinetik denklemleri. Heterojen ortamlarda istatistiksel fizik yöntemleri.

1. Gibbs ilişkisinin türetilmesi

Giriş Notları . Heterojen ortamların mekaniğinde merkezi yer, yönetici denklemlerin türetilmesiyle işgal edilir. Farklı mekanik özelliklere sahip ortamlar arasında ayrım yapılmasına olanak tanıyan spesifikasyonu içeren kurucu denklemlerdir. Yönetim denklemlerini türetmenin çeşitli yolları vardır; hem ortalama yöntemlere dayalı katı olanlar, hem de sezgisel olanlar. En yaygın yöntem, termodinamik ilkeleri dikkate alan düşünce deneylerinin bir kombinasyonudur. Her ne kadar termodinamik yöntem derinlemesine geliştirilmiş ve temel fiziksel yasalara dayanmış olsa da, bu yaklaşımların her ikisi de fenomenolojiktir. Tanımlayıcı ilişkilerin fenomenolojik türetilmesinin, özellikle istatistiksel yöntemler kullanılarak genel fiziksel ilkelere dayalı olarak gerekçelendirilmesi gerektiği açıktır.

İstatistiksel fizik çalışmaları aşağıdakilerden oluşan sistemlerdir: çok büyük sayı aynı veya benzer bileşime sahip elementler (atomlar, moleküller, iyonlar, molekül altı yapılar vb.). Heterojen ortamın mekaniğinde bu tür elementler mikro homojenliklerdir (gözenekler, çatlaklar, taneler vb.). Bunları deterministik yöntemler kullanarak incelemek neredeyse imkansızdır. Aynı zamanda, bu unsurların büyük bir kısmı istatistiksel kalıpların ortaya çıkmasına ve bu sistemin istatistiksel yöntemler kullanılarak incelenmesine olanak sağlar.

Çekirdekte istatistiksel yöntemler ana sistem ve alt sistem kavramlarıdır. Ana sistem (termostat) alt sistemden çok daha büyüktür ancak her ikisi de termodinamik denge halindedir. İstatistiksel fizikte çalışmanın amacı, sürekli ortam mekaniğinde temel hacimle ve heterojen mekanikte temel hacimdeki faz hacmiyle tanımlanan alt sistemdir.

İstatistiksel fizikteki Gibbs yöntemi kavramlara dayanmaktadır. faz uzayı ve faz uzayındaki yörüngeler. Faz uzayı, alt sistemi oluşturan her parçacığın koordinat ve momentum uzaylarının topolojik ürünüdür. Faz uzayındaki yörüngeler pek çok gereksiz bilgi içerir; örneğin: başlangıç ​​değerleri ve yörünge sınıra ulaştığında sınır koşulları hakkında bilgi. Faz uzayında tek bir yörüngeyi tanımlarken, genellikle ergodik hipotez kullanılır (veya onu biraz değiştiren ancak kesin kanıta uygun olan onun bir tür vekili). Ergodik hipotezin kanıtlanmasının incelikleri önemli değildir ve bu nedenle bunlar üzerinde durmuyoruz. Bir yörüngenin yerini bütün bir devletler bütününün almasına izin verir. Bir durumlar topluluğu kullanan eşdeğer bir açıklama, bu gereksiz bilgilerden kurtulmamızı sağlar. Durumların birleşimi basit ve şeffaf bir yoruma olanak tanır. Taşıma denklemi kullanılarak tanımlanan, faz uzayındaki bazı hayali gazlar olarak hayal edilebilir.

İstatistiksel yaklaşım iki düzeyde araştırma içerir: kuantum ve klasik. Heterojen bir ortamın her mikroskobik homojensizliği, sürekli ortam mekaniği tarafından bazı homojen homojen cisimler olarak tanımlanır. Bu homojensizliklerin mekanik ve termodinamik özelliklerini incelerken kuantum istatistik fiziği teorisinin zaten kullanıldığı varsayılmaktadır. Heterojen bir ortamda rastgele homojensizliklerin ortalamasını aldığımızda, bu homojensizlikleri klasik rastgele nesneler olarak kabul ederiz. Kuantum ve klasik istatistiksel fizikteki akıl yürütme çizgisi, bazı farklılıklara rağmen çok benzer. Kuantum istatistiklerinde faz hacmi ayrık değerler alır. Ancak tek fark bu değil. Kuantum istatistiklerinde, hayali bir gaz sıkıştırılamaz ve yalnızca taşınmaya uğrar. Klasik istatistikte taşıma denklemi, moleküler düzeyde enerji tüketen süreçleri tanımlayan bir terim içerir. Resmi olarak bir kaynak gibi görünüyor. Bu kaynağın farklı görünümü, hayali gazın tüm kütlesinin korunmasına izin verir, ancak yerel olarak kaybolmasına ve yeniden ortaya çıkmasına da izin verir. Bu süreç, hayali faz uzayındaki difüzyona benzer.

Ayrıca, klasik istatistiklere dayanarak, termodinamik de dahil olmak üzere termodinamiğin kendisi daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. geri dönüşü olmayan süreçler. Termodinamik fonksiyon kavramları tanıtılmakta ve bunların yardımıyla yönetici denklemler türetilmektedir. Poroelastik ortam muhafazakar ve enerji tüketen süreçleri içerir. Muhafazakar bir termodinamik sistemi temsil eden iskelette geri dönüşümlü elastik deformasyonlar meydana gelir ve sıvıda enerji tüketen süreçler meydana gelir. Gözenekli-viskoz bir ortamda, her iki faz da (iskelet ve sıvı) enerji tüketir.

Mikroişlemler ve makroişlemler . Heterojen ortamlarda, bir alt sistem, heterojen medyanın varsayımlarını karşılayan temel bir hacimdir. Özellikle yerel istatistiksel homojenlik ve yerel termodinamik denge koşullarını karşılar. Buna göre, tüm nesneler ve süreçler ölçek açısından mikro süreçlere ve makro süreçlere göre farklılık gösterir. Genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş kuvvetleri kullanarak makro süreçleri tanımlayacağız. . Burada alt simgeler yalnızca vektör ve tensör endekslerini değil aynı zamanda çeşitli büyüklükleri (farklı tensör boyutlarına sahip miktarlar dahil) ifade eder. Mikroişlemleri değerlendirirken kullanacağımız genelleştirilmiş koordinatlarVe genelleştirilmiş hızlar. Bu koordinatlar, klasik nesneler olarak kabul edilen büyük moleküllerin hareketini, birlikteliklerini ve homojensizliklerini tanımlar. Alt sistemin faz uzayı koordinatlar tarafından oluşturulur. ve hızlar Belirli bir temel hacmi oluşturan tüm parçacıklar.

Kuantum mekaniğinde parçacıkların doğasının kesin olarak belirlendiğine dikkat edilmelidir. Parçacıkların sayısı sonludur ve hareketlerinin yasaları her parçacık türü için bilinir ve aynıdır. Heterojen medyanın mekaniğinde tamamen farklı bir durum ortaya çıkıyor. Kural olarak, her aşama için fenomenolojik yöntemlerle elde edilen kurucu ilişkilere sahibiz. Makro düzeyde tüm temel cilt için genel kurucu ilişkiler genellikle araştırma konusudur. Bu nedenle mikro düzeydeki unsurların heterojen ortamlardaki etkileşimi standart araştırma yöntemlerine uygun değildir.

Bu konuda henüz tam anlamıyla geliştirilmemiş yeni yöntem ve yaklaşımlara ihtiyaç duyulmaktadır. Böyle bir yaklaşım Ziegler'in Gibbs'in teorisini genelleştirmesidir. Bunun özü Liouville denkleminin bazı modifikasyonlarında yatmaktadır. Bu yaklaşım aşağıda daha ayrıntılı olarak açıklanacaktır. Önce Gibbs'in teorisinin standart bir sunumunu yapacağız, sonra onu genelleştiren fikirleri sunacağız.

Sistem enerjisi iş nedeniyle değişiklikler
ilişkiyle ifade edilen makro düzeyde

. Ayrıca ısı akışı nedeniyle de değişir
Moleküllerin hareketi ile ilişkilidir. Termodinamiğin birinci yasasını diferansiyel formda yazalım

. (1.1)

Mikroişlemleri kullanarak tanımlayacağız. Lagrange denklemleri

, (1.2) burada
–Lagrange işlevi,– kinetik ve – potansiyel enerji.

Gibbs'in teorisi aşağıdaki kısıtlamaları getirmektedir. Potansiyel enerjinin mikro koordinatlara ve makro koordinatlara, kinetik enerjinin ise yalnızca mikro koordinatlara ve bunların hızlarına bağlı olduğu varsayılmaktadır. Bu koşullar altında Lagrange fonksiyonu zamana ve makro hızlara bağlı değildir.

.

Lagrange formundaki (1.2) hareket denklemlerine dayanan yaklaşım, genelleştirilmiş momentumlar getirilerek eşdeğer bir Hamilton formalizmi ile değiştirilebilir. mikro koordinatlar için

,
, Ve Hamilton işlevi
parçacığın toplam enerjisi anlamına gelir. Hamilton fonksiyonunun artışını yazalım

İmpulsların tanımı ve Lagrange hareket denklemleri nedeniyle bu ifade dönüştürülür

, (1.2) aşağıdaki gibidir Hamilton'un hareket denklemleri

,
. (1.3a) nerede
sistemin enerjisinin yanı sıra ırkların ek kimliğinin de anlamı vardır

. (1.3b)

Burada Lagrange ve Hamilton fonksiyonlarının farklı argümanlarla ifade edildiğini belirtmek gerekir. Bu nedenle, son kimliğin tamamen önemsiz bir anlamı yoktur. Yörüngesi boyunca bir parçacık için diferansiyel ifadeyi (1.2) yazalım.

.

(1.3)’ü kullanarak bu ifadeyi dönüştürüyoruz

.

Sonuç olarak parçacık enerjisi yalnızca genelleştirilmiş makro koordinatlara bağlıdır. Zamanla değişmezlerse enerji korunur.

Bir sistemi tanımlamak için istatistiksel yöntem . Sistemin (1.3) başlangıç ​​koşulları ve cismin sınırındaki davranışı hakkındaki bilgi eksikliği, bu sistemi incelemek için istatistiksel bir yaklaşım kullanırsak aşılabilir. Bu mekanik sistemin Mikroskobik değişkenlerle ilişkili serbestlik dereceleri. Başka bir deyişle, tüm noktaların olağan konumları üç boyutlu uzay karakterize edilmiş genelleştirilmiş koordinatlar(
). Daha fazla sayıda değişkenin faz uzayını ele alalım
. Faz durumu koordinatları olan bir nokta ile karakterize edilir
V
boyutlu Öklid uzayı. Uygulamada, her zaman büyük (belirli bir nesneyle karşılaştırıldığında) sistemin parçası olan belirli bir nesneyi inceleriz ( dış çevre ). Bu nesne genellikle dış ortamla etkileşime girer. Bu nedenle gelecekte konuşacağız. alt sistem(faz uzayının bir kısmını kaplar) sistemle etkileşime girer (faz uzayının tamamını kaplar).

Taşınırken
boyutlu uzayda, tek bir yörünge yavaş yavaş bu faz uzayının tamamını doldurur. Hadi koyalım
ve şununla belirtmek
Belirli bir alt sistemin "neredeyse her zaman" harcadığı faz alanı hacminin kısmı. Burada alt sistemin yarı denge durumunda olduğu süreyi kastediyoruz. Yeterince uzun bir süre boyunca faz yörüngesi, faz uzayının bu bölümünden birçok kez geçecektir. Faz uzayında hareket eden tek bir nokta yerine istatistiksel bir topluluk oluşturan birçok noktayı düşünebileceğimiz ergodik hipotezi kabul edelim. Sonsuz küçük temel faz hacmine geçiş

sürekli bir dağıtım fonksiyonu tanıtalım oranı kullanma

. Burada – faz hacmi elemanındaki nokta sayısı
,
– tam sayı tüm faz uzayındaki noktalar, – eylem boyutuna sahip belirli bir normalizasyon katsayısı. Seçilen faz uzayı hacim elemanının istatistiksel ağırlığını karakterize eder. Dağılım fonksiyonu normalleştirme koşulunu karşılıyor

veya
. (1.4)

İzin vermek
– sistemin temel hacim içerisinde harcadığı toplam süre
, A – tam zamanlı maddi bir noktanın yörüngesi boyunca hareketi. Ergodik hipoteze uygun olarak şunu varsayıyoruz:

. (1.5)

Tamamen biçimsel olarak akıl yürüterek, faz uzayında yoğunluğu faz uzayındaki noktaların sayısının yoğunluğuna eşit olan bazı hayali gazların bulunduğunu varsayabiliriz. Hayali gaz moleküllerinin sayısının korunumu, sıradan üç boyutlu uzayda kütlenin korunumu yasasına benzer şekilde, faz uzayındaki bir taşıma denklemiyle ifade edilir. Bu korunum yasasına Liouville teoremi denir.

. (1.6)

Hamilton denklemlerine göre faz akışkanının sıkıştırılamazlığı koşulu şu şekildedir:

(1.7)

Konvektif türevi tanıtalım

.

(1.6) ve (1.7)'yi birleştirerek faz sıvı taşıma denklemini elde ederiz.

veya
. (1.8)

Ergodik hipoteze göre, faz uzayındaki parçacık sayısının yoğunluğu, durumlar topluluğundaki olasılık yoğunluğuyla orantılıdır. Bu nedenle denklem (1.8) şu şekilde temsil edilebilir:

. (1.9)

Sabit dış parametrelerle denge durumunda, Hamiltoniyen tarafından temsil edilen mikrosistemin enerjisi, faz uzayındaki yörünge boyunca korunur. Aynı şekilde (1.9)'dan dolayı olasılık yoğunluğu korunur. Olasılık yoğunluğunun enerjinin bir fonksiyonu olduğu sonucu çıkar.

. (1.10)

Bağımlılık itibaren Alt sistemlerin enerjilerinin toplandığını ve olasılıkların çarpıldığını fark ederseniz elde edilmesi kolaydır. Bu koşul, işlevsel bağımlılığın tek biçimiyle karşılanır

. (1.11) Bu dağılıma kanonik denir. Burada – Boltzmann sabiti, miktarlar
Ve
enerji boyutuna sahiptir. Miktarlar
Ve serbest enerji ve sıcaklık olarak adlandırılır.

İç enerjiyi belirleyelim gerçek enerjinin ortalama değeri olarak

. (1.12)

Burada (1.11) yerine koyarsak şunu elde ederiz:

.

Entropi şu şekilde tanımlanır:

İlişki (1.13) yeni bir kavramı tanıtıyor: entropi. Termodinamiğin ikinci yasası şunu belirtir: denge durumu Sistemde entropi artma eğilimindedir ve termodinamik denge durumunda entropi sabit kalır. (1.12) ve (1.13)'ü birleştirerek şunu elde ederiz:

. (1.14) İlişki (1.14), alt sistemin denge durumunu tanımlayan diğer termodinamik fonksiyonların türetilmesinin temelidir.

Faz hacminin içinde olduğunu varsayalım.
Belirli bir alt sistemin olasılık yoğunluğu neredeyse sabittir. Yani bu alt sistemin çevreyle bağlantısı zayıftır ve denge halindedir. İlişki bunun için geçerlidir

. (1.15) Burada
– delta işlevi.

Bu dağılıma kanonik dağılımın (1.11) aksine mikrokanonik denir. İlk bakışta her iki dağılımın da çok farklı olduğu ve hatta birbiriyle çeliştiği görülüyor. Aslında aralarında hiçbir çelişki yoktur. Haydi yarıçapa girelim çok boyutlu faz uzayında bu çok büyük sayıölçümler. İnce, eşit mesafeli (enerji açısından) küresel bir katmandaki noktaların sayısı, bu kürenin içindeki noktaların sayısını önemli ölçüde aşıyor. Bu nedenle (1.11) ve (1.15) dağılımları birbirinden çok az farklılık göstermektedir.

Son ilişkiyi (1.4) sağlamak için bu olasılık yoğunluğunun şuna eşit olması gerekir:

. (1.16)

Dağıtımı (1.11) son bağıntıya (1.4) koyalım

ve onu farklılaştırın. Bunu göz önünde bulundurarak
makrokoordinatların bir fonksiyonudur.

,
.

(1.14)’ü kullanarak bu ifadeyi dönüştürüyoruz

. (1.17a) Burada
– ısı akışı,
- İş dış kuvvetler. Bu ilişki ilk olarak Gibbs tarafından geliştirildi ve onun adını taşıyor. Gaz için özellikle basit bir forma sahiptir

. (1.17b) Burada - basınç, - hacim.

Fenomenolojik düzeyde sıcaklığın tanımı da verilmektedir. Isı akışının termodinamik fonksiyonun bir diferansiyeli olmadığını, entropinin ise tanımı gereği böyle olduğunu unutmayın. Bu nedenle (1.17) numaralı ifadede integrasyon faktörü bulunmaktadır. buna sıcaklık denir. Bir miktar çalışma sıvısı (su veya cıva) alıp bir sıcaklık değişim ölçeği uygulayabilirsiniz. Böyle bir vücuda denir termometre. (1.17)’yi formda yazalım.

. Bu ilişkide sıcaklık bazı yoğun miktarlardır.

Genelleştirilmiş kuvvetler ve yer değiştirmeler termodinamik olarak eşlenik büyüklüklerdir. Benzer şekilde sıcaklık ve entropi eşlenik büyüklüklerdir ve bunlardan biri genelleştirilmiş bir kuvvet, diğeri ise genelleştirilmiş bir yer değiştirmedir. (1.17)'den şu şekilde çıkıyor

. (1.18)

(1.14) sayesinde serbest enerji benzer bir diferansiyel ifadeye sahibiz

. (1.19) Bu ilişkide eşlenik nicelikler yer değiştirdikçe sıcaklık ve entropi yer değiştirir ve (1.18) ifadesi değiştirilir

. (1.20)

Bu ilişkileri kullanmak amacıyla termodinamik fonksiyonlara yönelik bağımsız tanımlayıcı parametrelerin ve ifadelerin belirtilmesi gerekir.

Sıcaklık için daha kesin bir tanım verilebilir. Örneğin iki cisimden oluşan ve termodinamik denge durumunda olan kapalı (yalıtılmış) bir sistemi ele alalım. Enerji ve entropi toplamsal büyüklüklerdir
,
. Entropinin enerjinin bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin, dolayısıyla
. Dengede entropi sabit nokta enerjinin iki alt sistem arasında yeniden dağıtılmasıyla ilgili, yani.

.

Bu doğrudan takip eder

. (1.21)

Entropinin enerjiye göre türevine mutlak sıcaklık (ya da kısaca sıcaklık) denir. ). Bu gerçek aynı zamanda doğrudan (1.17)'den de çıkar. İlişki (1.21) daha fazlasını ifade eder: termodinamik denge durumunda cisimlerin sıcaklıkları eşittir

. (1.22)

İSTATİSTİKSEL, istatistik bölümü. etkileşim yasalarına dayanan yasaların doğrulanmasına adanmış fizik. ve sistemi oluşturan parçacıkların hareketleri. Denge durumundaki sistemler için istatistik, kişinin faz ve kimyasal koşulları hesaplamasına, kaydetmesine, kaydetmesine olanak tanır. . Denge dışı istatistik, ilişkiler (enerji aktarımı, momentum, kütle denklemleri ve bunların sınır koşulları) için bir gerekçe sağlar ve aktarım denklemlerinde yer alan kinetiğin hesaplanmasına olanak tanır. katsayılar İstatistik miktarları belirler. Fizikselin mikro ve makro özellikleri arasındaki bağlantı. ve kimya. sistemler Hesaplama yöntemleri

İstatistik modernin her alanında kullanılmaktadır. teorik .İstatistiksel için makroskobik açıklamalar sistemler J. Gibbs (1901) istatistiksel kavramların kullanılmasını önerdi. Topluluk ve faz uzayı, olasılık teorisi yöntemlerinin problem çözümüne uygulanmasını mümkün kılar. İstatistiksel topluluk - çok sayıda özdeş çoğul sistemin bir koleksiyonu. ile belirlenen, aynı makrodurumda bulunan parçacıklar (yani, söz konusu sistemin "kopyaları"); Sistemin mikro durumları farklı olabilir. Temel istatistiksel topluluklar - mikrokanonik, kanonik, büyük kanonik.

ve izobarik-izotermal.

Mikrokanonik Gibbs topluluğu, sabit bir V hacmine ve aynı N parçacıklarının sayısına (E, V ve N-sistemleri) sahip olunduğu (E enerjisinin değiştirilmediği) düşünüldüğünde kullanılır.

Kanonich. Gibbs topluluğu, sabit sayıda parçacık N (V, T, N) ile termal c (mutlak sıcaklık T) içinde olan sabit hacimli sistemleri tanımlamak için kullanılır. Büyük Canon. Gibbs topluluğu, termal c (sıcaklık T) içinde bulunanları ve bir parçacık rezervuarına sahip malzemeyi tanımlamak için kullanılır (tüm parçacıklar, V hacmine sahip sistemi çevreleyen "duvarlar" aracılığıyla değiştirilir). böyle bir sistemin - V, T ve m - parçacıkların kimyasal potansiyeli. İzobarik-izotermal Gibbs topluluğu termal ve kürkteki sistemleri tanımlamak için kullanılır. klasik sistem f(p, q), belirli bir mikronun uygulanmasının olasılık yoğunluğunu karakterize ederfaz uzayının dГ hacim elemanındaki (p, q) durumlarını belirtir.

N parçacığın sonsuz küçük bir faz uzayı hacminde olma olasılığı şuna eşittir: burada dГ N, sistemin faz hacminin h 3N birimindeki elemanıdır, h, Planck sabitidir; bölen N! kimliklerin yeniden düzenlenmesi gerçeğini dikkate alır. Parçacıklar sistemin durumunu değiştirmez. Dağılım fonksiyonu normalleştirme koşulunu karşılar t f(p, q)dГ N = 1, çünkü sistem güvenilir bir şekilde k.-l'dedir. durum. Kuantum sistemleri için dağılım fonksiyonu, küme tarafından belirtilen, N parçacıktan oluşan bir sistem bulmanın w i, N olasılığını belirler. kuantum sayıları

i , normalizasyona tabi E i,N enerjilit zamanındaki ortalama değer (yani

t'den t + dt'ye kadar sonsuz küçük zaman aralığı) herhangi bir fiziksel. sistemdeki tüm parçacıkların koordinatlarının ve momentumlarının bir fonksiyonu olan A(p, q) değeri, kurala göre dağılım fonksiyonu kullanılarak hesaplanır (dengesiz süreçler dahil):

Koordinatlar üzerinden entegrasyon sistemin tüm hacmi boyunca gerçekleştirilir ve - , +, arasındaki impulslar üzerinden entegrasyon gerçekleştirilir. Termodinamik durum sistemler t: , . limiti olarak dikkate alınmalıdır. Denge durumları için sistemi oluşturan parçacıkların hareket denklemi çözülmeden dağılım fonksiyonları belirlenir. Bu fonksiyonların formu (klasik ve kuantum sistemler için aynı) J. Gibbs (1901) tarafından oluşturulmuştur.

Mikrocanon'da. Gibbs topluluğunda, belirli bir enerji E'ye sahip tüm mikro durumlar eşit derecede olasıdır ve klasik için dağılım fonksiyonu sistemler şu şekildedir: f(p,q) = A

D, Nerede d - Dirac'ın delta fonksiyonu, H(p, q) - Kinetiklerin toplamı olan Hamilton fonksiyonu. ve potansiyel tüm parçacıkların enerjileri; A sabiti f(p, q) fonksiyonunun normalizasyon koşulundan belirlenir. Spesifikasyon doğruluğuna sahip kuantum sistemleri için, değere eşit< Е и E k >DE, enerji ve zaman (momentum ve parçacık koordinatı arasında) uyarınca, EE k E + DE ise w (E k) = -1 fonksiyonu ve E k ise w (E k) = 0

E + D E. Değer g(E, N, V)-t. isminde istatistiksel , enerjideki sayıya eşittir. Katman D E. Önemli bir istatistiksel ilişki, sistem ile istatistiksel olan arasındaki bağlantıdır. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), burada k-Boltzmann sabiti.Canon'da. Gibbs topluluğunda, sistemin tüm N parçacıklarının koordinatları ve momentumları veya E i,N değerleri tarafından belirlenen bir mikro durumda olma olasılığı şu şekildedir: f(p, q) = exp (/kT) ;

w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],

burada Z N -istatistik. miktar (durumda) kuantum sistemi

) veya istatistiksel w i,N veya f(p, q) fonksiyonlarını normalleştirme koşulundan belirlenen integral (klasik sistem durumunda): Z N =

t exp[-H(p, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(tüm sistemler üzerinden r üzerinden toplam alınır ve entegrasyon tüm faz alanı boyunca gerçekleştirilir).

D, Büyük kanonda. Gibbs topluluk dağılım fonksiyonu f(p, q) ve istatistiksel. normalleştirme koşulundan belirlenen X toplamı şu şekildedir:

W - termodinamik

V, T, m değişkenlerine bağlı potansiyel (toplama tüm pozitif N tam sayıları üzerinde gerçekleştirilir). İzobarik-izotermal olarak Gibbs topluluk dağılımı ve istatistiksel işlevi. normalizasyon koşulundan belirlenen Q toplamı şu şekildedir: burada G sistemleri (izobarik-izotermal potansiyel, serbest). Termodinamiği hesaplamak için işlevler, herhangi bir dağıtımı kullanabilirsiniz: bunlar birbirine eşdeğerdir ve farklı fiziksel değerlere karşılık gelir. koşullar. Mikrokanonik Gibbs dağılımı uygulanır. varış. teorik olarak araştırma. Çözmek için verilen harici koşullar (E, V, N), yani denge durumu en fazladır. olası durum (maks. istatistiksel ile). Bu nedenle, dengesiz bir durumdan denge durumuna geçiş, daha az olası durumlardan daha olası olanlara geçiş sürecidir. Bu istatistiksel noktadır. artış yasasının anlamı, buna göre yalnızca artabilir (bkz.). Karın kaslarında. sıfırdan, herhangi bir sistem temelde w 0 = 1 ve S = 0 olan durum. Bu ifade (bkz.). Bunun için önemlidir kesin tanım kullanmam gerekiyor kuantum açıklaması, Çünkü klasik olarak istatistik m.b. yalnızca keyfi bir terime kadar tanımlanır.

İdeal sistemler. İstatistiğin hesaplanması çoğu sistemin toplamı temsil eder zor görev. Potansiyelin katkısı önemli ölçüde basitleştirilmiştir. içindeki enerji tam enerji sistemler ihmal edilebilir. Bu durumda N parçacık için tam dağılım fonksiyonu f(p, q) ideal sistem tek parçacık dağılım fonksiyonlarının çarpımı ile ifade edilir f 1 (p, q):

Parçacıkların mikro durumlar arasındaki dağılımı onların kinetiğine bağlıdır. enerjiden ve sistemdeki kuantum azizlerindenparçacıkların kimliğinden kaynaklanmaktadır. Tüm parçacıklar iki sınıfa ayrılır: fermiyonlar ve bozonlar. Parçacıkların uyduğu istatistik türü benzersiz bir şekilde parçacıklarla ilgilidir.

Fermi-Dirac istatistikleri bir kimlik sistemindeki dağılımı tanımlar. ђ = h/2p biriminde yarım tam sayı 1/2, 3/2,... olan parçacıklar. Belirtilen istatistiklere uyan bir parçacık (veya yarı parçacık) denir. Fermiyon. Fermiyonlar arasında ve tek olan, farkları ve sayıları tek olan yarı parçacıklar (örneğin delikler) vb. bulunur. Bu istatistik 1926'da E. Fermi tarafından önerildi; aynı yıl P. Dirac kuantum mekaniğini keşfetti.

Anlam. Fermiyon sisteminin dalga fonksiyonu antisimetriktir, yani. Koordinatları ve kimlikleri yeniden düzenlerken işaretini değiştirir. parçacıklar. Her biri birden fazla parçacık içeremez (bkz.). E enerjili bir durumdaki fermiyon parçacıklarının ortalama sayısı n i, Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu ile belirlenir:

n ben =(1+ifade[(E i -

m )/kT]) -1 , burada i, parçacığın durumunu karakterize eden bir dizi kuantum sayısıdır.örneğin çift sayıdaki fermiyonlardan. çift ​​toplam sayı ve (döteron, 4 He çekirdeği, vb.) ile.

Bozonlar ayrıca sıvı 4 He'deki fononları, ve'deki eksitonları da içerir. Sistemin dalga fonksiyonu herhangi bir kimliğin permütasyonuna göre simetriktir. parçacıklar. Doldurma sayıları hiçbir şekilde sınırlı değildir; Herhangi bir sayıda parçacık bir durumda mevcut olabilir. E i enerjili bir durumdaki n i bozon parçacıklarının ortalama sayısı, Bose-Einstein dağılım fonksiyonu ile tanımlanır:

n ben =(ifade[(E i - m)/kT]-1)-1 . Boltzmann istatistiği özel durum kuantum etkileri ihmal edilebildiğinde kuantum istatistikleri (

yüksek t-ry ). Gibbs dağılımlarında olduğu gibi tüm parçacıkların faz uzayında değil, tek bir parçacığın faz uzayındaki momentum ve koordinatlara göre parçacıkların dağılımını dikkate alır. Asgari olarak

Kuantum mekaniğine uygun olarak altı boyuta (üç koordinat ve parçacık momentumunun üç projeksiyonu) sahip olan faz uzayının hacim birimleri. h 3'ten daha küçük bir hacim seçemezsiniz. E i enerjili bir durumdaki n i parçacıklarının ortalama sayısı Boltzmann dağılım fonksiyonu ile tanımlanır:n ben =ifade[( m-E i)/kT]. Klasik yasalara göre hareket eden parçacıklar için. harici mekaniği potansiyel U(r) alanında, parçacıkların p momentumu ve r koordinatları üzerindeki f 1 (p,r) dağılımının istatistiksel olarak denge fonksiyonu şu şekildedir:

f 1 (p,r) = A exp( - [p 2 /2m + U(r)]/kT).

Burada p2/2t-kinetik. w kütlesinin enerjisi, A sabiti normalizasyon koşulundan belirlenir. Bu ifadesıklıkla denir Maxwell-Boltzmann dağılımı ve Boltzmann dağılımı denir. işlev n(r) = n 0 deneyim[-U(r)]/kT], burada n(r) =

Maxwell dağılımı etkileşime bağlı değildir. Parçacıklar arasında ve yalnızca için değil, aynı zamanda (eğer onlar için klasik bir açıklama mümkünse) ve ayrıca ve içinde asılı kalan Brown parçacıkları için de doğrudur. Kimyasal reaksiyonlar sırasında birbirleri arasındaki çarpışma sayısını saymak için kullanılır. ilçe ve yüzeyden.

Eyalete göre miktar.İstatistiksel kanonik miktar Gibbs topluluğu bir Q 1'in durumlarının toplamı yoluyla ifade edilir:

burada E i, i'inci kuantum seviyesinin enerjisidir (i = O karşılık gelir sıfır seviye), g i -istatistik. i. seviye. İÇİNDE genel durum bireysel türler

ve içindeki grupların hareketleri ve bir bütün olarak hareket birbirine bağlıdır, ancak yaklaşık olarak bağımsız olarak kabul edilebilirler. O halde durumların toplamı şu şekilde olabilir: adımlarla ilişkili bireysel bileşenlerin bir ürünü şeklinde sunulur. hareket (Q post) ve intramol ile. hareketler (Q int):

D, Q 1 = Q sonrası ·Q int, Q sonrası = l (V/N), l = (2p mkT/saat 2) 3/2.Çünkü Q ext elektronik ve nükleer durumların toplamını temsil eder; Q int için - elektronik, nükleer salınımların toplamı. ve döndürün. devletler. İÇİNDE alan t-r 10 ila 10 3 K arasında, genellikle belirtilen hareket türlerinin her birinin bağımsız olarak ele alındığı yaklaşık bir açıklama kullanılır: Q in = Q el · Q zehir · Q dönüşü · Q sayımı /g, burada g sayıdır,

sayıya eşit

kimlik. dönme sırasında ortaya çıkan, aynı veya gruplardan oluşan konfigürasyonlar. Elektronik hareket Qel durumlarının toplamı istatistiksel değere eşittir. R t bas. elektronik durum. çoğul olarak vakalar bas. seviye dejenere değildir ve en yakın uyarılmış seviyeden ayrılmıştır, yani. enerji: (P t = 1). Ancak bazı durumlarda, ör. O 2 için, temel olarak Р t = з. Hal, hareket miktarının momentinin sıfırdan farklı olması ve gerçekleşmesi ve enerjinin oluşmasıdır. oldukça düşük. Nükleer olanların dejenerasyonundan dolayı Q zehirinin durumlarının toplamı şuna eşittir: burada s i çekirdeğin spinidir, çarpım her şeyi ele alır. Salınım durumlarına göre toplam. hareket nerede v i -frekanslar

10 3 K'nin üzerindeki sıcaklıklarda hesaplama yaparken, titreşimlerin uyumsuzluğunu, etkileşim etkilerini hesaba katmak gerekir. salınım yapmak ve döndürün. serbestlik dereceleri (bkz.) yanı sıra elektronik durumlar, uyarılmış seviyelerin popülasyonu vb. düşük t-rah(10 K'nin altında) kuantum etkilerinin (özellikle diatomik olanlar için) dikkate alınması gerekir. Tamam, döndürelim. heteronükleer AB'nin hareketi aşağıdaki formülle tanımlanır:

l-sayı döndürme. durumlar ve homonükleer A 2 için (özellikle H 2, D 2, T 2 için) nükleer ve döner. serbestlik derecesi etkileşimi Arkadaşbir arkadaşımla: Q zehiri. döndürmek

Q zehiri ·Q dönüşü Durumların toplamını bilmek termodinamiği hesaplamaya izin verir. Azizler ve dahil. kimya denge iyonlaşma derecesi vb.Önemli abs teorisinde. hızlar r-tions aktivasyonun oluşum sürecini hesaplama yeteneğine sahiptir. karmaşık ( geçiş durumu

), bir değişiklik olarak sunulmuştur. parçacık, titreşimlerden biri. kesmenin serbestlik derecesi, girdinin serbestlik derecesi ile değiştirilir. hareketler.İdeal olmayan sistemler.

D,

Etkileşimde birbirleriyle. Bu durumda, topluluğun durumlarının toplamı, bireysel durumların toplamının çarpımına indirgenmez. Eğer intermol olduğunu varsayarsak. etkileşim dahiliyi etkilemez eyaletler, istatistiksel klasik sistem toplamı N özdeşlikten oluşan yaklaşıklık. parçacıklar şu şekle sahiptir:<2 BuradaN-config.

etkileşimi dikkate alarak integral. . Naib, genellikle potansiyel. enerji U, çift potansiyellerin toplamı olarak kabul edilir: U = =burada U(r ij) merkez potansiyeldir. bağlı kuvvetler

Teorik için Bu sistemlerde yoğunluğun, elektrolit olmayan çözeltilerin ve arayüzlerin özelliklerinin tanımlanması, istatistiksel verilerin doğrudan hesaplanmasından daha uygundur.toplam, n-parçacık dağılım fonksiyonlarının yöntemidir. İçinde istatistikleri saymak yerine. her eyalette sabit bir enerji, uzayda r1,..., rn koordinatlarına sahip noktalarda eşzamanlı olarak parçacık bulma olasılığını karakterize eden dağıtım fonksiyonları fn arasındaki ilişkileri kullanır; n = N f N = b t f(p, r)dp için (burada ve aşağıda q i = r i). Tek parçacık fonksiyonu f 1 (r 1) (n = 1), maddenin yoğunluk dağılımını karakterize eder. Bu periyodik için. Kristalin düğümlerde maksimum ile f-tion. yapılar; harici bir şey için veya yokluğunda alan makroskobik değere eşit sabit bir değerdir.

nehrin yoğunluğu İki parçacıklı dağılım fonksiyonu (n = 2), bulma olasılığını karakterize eder

Kafes kondenser modelleri.

devletler termodinamikte geniş uygulama alanı buldu. neredeyse tüm fiziksel-kimyasalların dikkate alınması. görevler. Sistemin tüm hacmi, u 0 boyutuna göre karakteristik bir boyuta sahip yerel bölgelere bölünmüştür. Genel olarak farklı modellerde yerel alanın büyüklüğü u 0'dan hem büyük hem de küçük;çoğu durumda aynıdırlar. Uzayda ayrık bir dağılıma geçiş, farkın hesaplanmasını önemli ölçüde basitleştirir. . Kafes modelleri etkileşimi dikkate alır. birbirleriyle; enerji etkileşimi enerjik bir şekilde anlatılmıştır. parametreler. Bazı durumlarda kafes modelleri kesin çözümlere izin verir, bu da kullanılan yaklaşımların niteliğinin değerlendirilmesini mümkün kılar. Onların yardımıyla çok parçacıklı ve spesifik olanları düşünmek mümkündür. etkileşim, yönlendirme etkiler vb. Kafes modelleri, uygulamalı hesaplamaların ve oldukça homojen olmayan sistemlerin incelenmesinde ve uygulanmasında temeldir.Termodinamiği belirlemek için sayısal yöntemler. Bilgisayar geliştikçe St.-in giderek daha önemli hale geliyor.

teknoloji. Monte Carlo yönteminde çok boyutlu integraller doğrudan hesaplanır ve bu da istatistiksel verilerin doğrudan elde edilmesine olanak tanır. gözlemlenen ortalama

herhangi bir istatistik göre A(r1.....r N) değerleri

topluluklar

Fiziksel kinetik istatistiğin bir bölümüdür. Enerji, momentum ve kütle aktarımının yanı sıra dış etkilerin bu süreçler üzerindeki etkisini açıklayan ilişkilerin gerekçesini sağlayan fizik. alanlar. Kinetik. makroskobik katsayılar Fiziksel akışların bağımlılıklarını belirleyen sürekli bir ortamın özellikleri. miktarlar (ısı, momentum, bileşenlerin kütlesi vb.)bu akışlara neden olan gradyan akışları hidrodinamiktir. hız vb. Akışları termodinamiğe bağlayan denklemlerde yer alan Onsager katsayılarını ayırt etmek gerekir.

kuvvetler (termodinamik hareket denklemi) ve transfer denkleminde yer alan transfer katsayıları (vb.). İlk m.b. makroskopik arasındaki ilişkiler kullanılarak ikincisi aracılığıyla ifade edilir. sistemin özellikleri nedeniyle gelecekte yalnızca katsayılar dikkate alınacaktır. transferi.

Makroskobik hesaplamak için

D, katsayı Transfer için, dengesiz bir dağılım fonksiyonu kullanılarak temel transferlerin gerçekleşme olasılıklarının ortalamasının alınması gerekir. Ana zorluk analitin olmasıdır. f(p, q, t) (t-zaman) dağılım fonksiyonunun biçimi bilinmemektedir (t:, t'de elde edilen Gibbs dağılım fonksiyonları kullanılarak tanımlanan sistemin denge durumunun aksine). Geri kalan (N - n) parçacıkların koordinatları ve momentumlarının ortalaması alınarak f (p, q, t) fonksiyonlarından elde edilen n-parçacık dağılım fonksiyonlarını f n (r, q, t) düşünün:Onlar için belki. keyfi dengesizlik durumlarını tanımlamaya izin veren bir denklem sistemi derlenmiştir. Bu denklem sistemini çözmek çok zordur. Kural olarak kinetik olarak Teori ve gaz halindeki yarı parçacıklar (fermiyonlar ve bozonlar), yalnızca tek parçacık dağılım fonksiyonu f 1 denklemi kullanılır. Herhangi bir parçacığın durumları arasında hiçbir korelasyon olmadığı varsayımı altında (moleküler kaos hipotezi), sözde kinetik Boltzmann denklemi (L. Boltzmann, 1872). Bu denklem, dış etkilerin etkisi altında parçacıkların dağılımındaki değişimi dikkate alır. F(r, m) kuvvetleri ve parçacıklar arasındaki çift çarpışmalar:bir çarpışmadan sonra; u ve -çarpışmadan önce parçacıkların hızları, u" ve aynı parçacıkların çarpışmadan sonra -hızları ve = |u -|-çarpışan parçacıkların bağıl hızının modülü, q - parçacıkların bağıl hızları arasındaki açı u - çarpışan parçacıklar ve bunların merkezlerini birleştiren çizgi, s (u,q )dW -parçacıklar kanununa bağlı olarak laboratuvar koordinat sisteminde dW katı açısındaki parçacık saçılımının diferansiyel kesiti. Klasik mekanik çerçevesinde, diferansiyel kesit, çarpışma parametreleri b ve e (karşılık gelen çarpma mesafesi ve merkez çizgisinin azimut açısı) cinsinden ifade edilir: s dW = bdbde ve mesafeye bağlı potansiyele sahip kuvvet merkezleri olarak kabul edilir. Etkin kesit, çarpışma olasılığı üzerindeki etkilerin dikkate alınmasıyla elde edilir.

Sistem istatistiksel ise , çarpışma integrali Sf sıfıra ve kinetik çözümüne eşittir. Boltzmann denklemi Maxwell dağılımı olacaktır. Dengenin olmadığı durumlar için kinetik çözümler. Boltzmann denklemleri genellikle f 1 (u, r, m) fonksiyonunun Maxwell dağılım fonksiyonuna göre küçük parametrelerde seri açılımı şeklinde aranır.

En basit (gevşeme) yaklaşımda, çarpışma integrali Stgas olarak yaklaşıklaştırılır; için (sıvılardaki moleküllerin olağan tek parçacık dağılım fonksiyonu f 1, fenomenin özelliklerini ortaya çıkarmaz ve iki parçacıklı dağılım fonksiyonunun f 2 dikkate alınması gerekir. Bununla birlikte, yeterince yavaş işlemler için ve ölçeklerin olduğu durumlarda) uzaysal homojensizlikler parçacıklar arasındaki korelasyon ölçeğinden önemli ölçüde daha küçükse, bileşenlerin küçük hacmine karşılık gelen t-roy, kimyasal potansiyeller ve hidrodinamik hız ile yerel dengede tek parçacık dağıtım fonksiyonunu kullanabilirsiniz ve İmpuls, enerji ve madde akışlarını hesaplayın ve ayrıca Navier-Stokes denklemini doğrulayın ve bu durumda transfer katsayılarının, enerji, momentum ve madde akışlarının uzay-zaman korelasyonlarıyla orantılı olduğu ortaya çıkar. bileşen.

Ara yüzeylerdeki maddeyi tanımlamak için kafes yoğunlaştırıcı modeli yaygın olarak kullanılmaktadır. aşamalar. sistemin durumu temel olarak anlatılmıştır. t f(p,q,t)du- dağıtım fonksiyonu, tüm N parçacığın darbeleri (hızları) üzerinden ortalaması alınır ve parçacıkların kafes yapısının düğümleri üzerindeki dağılımını tanımlar (sayıları N y, N'dir)< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q"), sistemin birim zamanda tam parçacık koordinatları seti ile tanımlanan q durumundan başka bir q" durumuna geçiş olasılığıdır. İlk toplam, belirli bir q durumuna geçişin gerçekleştirildiği tüm süreçlerin katkısını, ikinci toplam ise bu durumdan çıkışı tanımlar. Denge parçacık dağılımı durumunda (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, burada Q istatistiği. Toplamda H(q), sistemin q durumundaki enerjisidir. Geçiş olasılıkları ayrıntılı prensibi karşılar: W(q" : q)ifade[-H(q")/kT] = W(q : q")ifade[-H(q)/kT]. P(q,t) fonksiyonlarının denklemlerine dayanarak bir kinetik denklem oluşturulur. diğer tüm (N - n) parçacıkların konumlarının ortalaması alınarak elde edilen n-parçacık dağılım fonksiyonlarına ilişkin denklemler. Küçük olanlar için sınırda h, büyüme, faz dönüşümleri vb. Fazlar arası transfer için, temel parçacık göç süreçlerinin karakteristik zamanlarındaki farklılıklar nedeniyle, faz sınırlarındaki sınır koşullarının türü önemli bir rol oynar.

Küçük sistemler için (düğüm sayısı N y = 10 2 - 10 5), P(q,t) fonksiyonuna göre denklem sistemi şu şekilde olabilir: Monte Carlo yöntemi kullanılarak sayısal olarak çözüldü. Sistemin denge durumuna geldiği aşama, farklılıkları dikkate almamızı sağlar. faz dönüşümlerinin kinetiği, büyüme, yüzey reaksiyonlarının kinetiği vb. çalışmalarında geçici süreçler. ve dinamiklerini belirleyin. katsayı dahil olmak üzere özellikler. transferi.

Katsayıyı hesaplamak için. gaz, sıvı ve katı fazlarda ve ayrıca faz sınırlarında transfer, mol yönteminin çeşitli varyantları aktif olarak kullanılmaktadır. ~10 -15 s'den ~10 -10 s'ye kadar (10 -10 - 10 -9 s ve daha fazla zaman aralıklarında, Langevin denklemi olarak adlandırılan) sistemleri ayrıntılı olarak izlememize olanak tanıyan dinamikler kullanıldığında, bu denklem Newton'un kavramlarını sağ tarafta stokastik bir terim içerir).

Kimyasal içeren sistemler için Parçacıkların dağılımının doğası, karakteristik transfer süreleri ile kimyasal özellikleri arasındaki ilişkiden büyük ölçüde etkilenir. dönüşümler. Eğer kimyasalın hızı Dönüşüm küçüktür, parçacıkların dağılımı, çözümün olmadığı durumdan pek farklı değildir. Dağıtımın hızı yüksekse, parçacıkların dağılımının doğası üzerindeki etkisi büyüktür ve kullanım sırasında yapıldığı gibi ortalama parçacıkların (yani n = 1 olan dağılım fonksiyonlarının) kullanılması imkansızdır. n > 1 olmak üzere fn dağılım fonksiyonlarını kullanarak dağılımı daha ayrıntılı olarak tanımlamak gerekir. Reaksiyonun tanımlanmasında önemlidir. Yüzeydeki parçacık akışları ve hızları sınır koşulları(santimetre. ).

Kaynak: Kubo R., İstatistiksel mekanik, çev. İngilizce'den, M., 1967; Zubarev D.N., Dengesizlik istatistiksel, M., 1971; Ishihara A., İstatistiksel Fizik, çev. İngilizce'den, M., 1973; Landau L.D., Lifshits E.M L

Termodinamik ve istatistiksel fizik

Yönergeler ve kontrol görevleri uzaktan eğitim öğrencileri için

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Mühendislik, teknik ve teknolojik uzmanlık alanlarındaki uzaktan eğitim öğrencileri için metodolojik talimatlar ve test ödevleri. “İstatistiksel Fizik”, “Termodinamik” programlarının bölümlerini, tipik problemlerin çözüm örneklerini ve test görevlerinin çeşitlerini içerir.

Anahtar Kelimeler: İç enerji, ısı, iş; izoprosesler, entropi: dağılım fonksiyonları: Maxwell, Boltzmann, Bose – Einstein; Fermi-Dirac; Fermi enerjisi, ısı kapasitesi, Einstein ve Debye'nin karakteristik sıcaklığı.

Editör T.Yu.Artyunina

Yazdırmaya hazırlandı. Format 6080 1/16.

Koşullu p.l.

___________________________________________________

; ed.l. 3.0; Dolaşım ____ kopya. Sipariş no.

RIO VSTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

VSTU, Ulan-Ude'nin rotaprint'inde basılmıştır,

Klyuçevskaya, 42.

Federal Eğitim Ajansı

Doğu Sibirya Eyaleti

teknoloji üniversitesi

FİZİK No.4

(Termodinamik ve istatistiksel fizik)

Yönergeler ve kontrol görevleri

uzaktan eğitim öğrencileri için

Derleyen: Shelkunova Z.V.

Saneev E.L.

Yayınevi VSTU

Ulan-Ude, 2009

İstatistiksel fizik ve termodinamik

Konu 1 Fizikte dinamik ve istatistiksel modeller. Termodinamik ve istatistiksel yöntemler. Moleküler kinetik teorinin unsurları. Makroskobik durum. Fiziksel sistemlerin fiziksel büyüklükleri ve durumları. Ortalama değerler olarak makroskobik parametreler. Termal denge. Modeli ideal gaz

. İdeal bir gazın durum denklemi. Sıcaklık kavramı.

Aktarım fenomeni. Difüzyon. Isı iletkenliği. Difüzyon katsayısı. Isı iletkenlik katsayısı. Termal yayılım. Gazlarda, sıvılarda ve katılarda difüzyon. Viskozite. Gazların ve sıvıların viskozite katsayısı.

Konu 3

Termodinamiğin unsurları. Termodinamiğin birinci yasası. İç enerji. Yoğun ve kapsamlı parametreler.

Konu 4

Tersinir ve geri döndürülemez süreçler. Entropi. Termodinamiğin ikinci yasası. Termodinamik potansiyeller ve denge koşulları. Kimyasal potansiyel. Kimyasal denge koşulları. Carnot döngüsü.

Konu 5

Dağıtım fonksiyonları. Mikroskobik parametreler. Olasılık ve dalgalanmalar. Maxwell dağılımı. Bir parçacığın ortalama kinetik enerjisi. Boltzmann dağılımı. Çok atomlu gazların ısı kapasitesi. Klasik ısı kapasitesi teorisinin sınırlamaları.

Konu 6

Gibbs dağılımı. Termostattaki sistemin modeli. Kanonik Gibbs dağılımı. Termodinamik potansiyellerin ve sıcaklığın istatistiksel anlamı. Serbest enerjinin rolü.

Konu 7

Değişken sayıda parçacık içeren bir sistem için Gibbs dağılımı. Entropi ve olasılık. Bir mikrodurumun istatistiksel ağırlığı aracılığıyla bir denge sisteminin entropisinin belirlenmesi.

Konu 8

Bose ve Fermi dağılım fonksiyonları. Planck'ın ağırlıklı termal radyasyon formülü. Doğada düzen ve düzensizlik. Kaosun niceliksel bir ölçüsü olarak entropi. Entropinin arttırılması ilkesi. Isıl denge durumu ile ilgili olarak düzenden düzensizliğe geçiş.

Konu 9

Kristallerin titreşim spektrumunu incelemek için deneysel yöntemler. Fonon kavramı. Akustik ve optik fononların dağılım yasaları. Düşük ve yüksek sıcaklıklarda kristallerin ısı kapasitesi. Elektronik ısı kapasitesi ve termal iletkenlik.

Konu 10

Kristallerdeki elektronlar. Güçlü ve zayıf eşleşmenin yaklaşımı. Serbest elektron modeli. Fermi seviyesi. Kristallerin bant teorisinin elemanları. Bloch işlevi. Elektron enerji spektrumunun bant yapısı.

Konu 11

Fermi yüzeyi. Bölgedeki elektronik durumların sayısı ve yoğunluğu. Bant dolguları: metaller, dielektrikler ve yarı iletkenler. Yarı iletkenlerin elektriksel iletkenliği. Delik iletkenliği kavramı. İçsel ve safsızlık yarı iletkenleri. Kavramı p-n kavşağı. Transistör.

Konu 12

Metallerin elektriksel iletkenliği. Metallerdeki akım taşıyıcıları. Klasik elektronik teorisinin yetersizliği. Metalde elektron Fermi gazı. Yarı parçacıklar olarak mevcut taşıyıcılar. Süperiletkenlik olgusu. Cooper elektron eşleşmesi. Tünel teması. Josephson etkisi ve uygulaması. Yakalama ve Niceleme manyetik akı. Yüksek sıcaklık iletkenliği kavramı.

İSTATİSTİK FİZİK. TERMODİNAMİK

Temel formüller

1. Homojen bir gazın madde miktarı (mol cinsinden):

Nerede N- gaz moleküllerinin sayısı; N A- Avogadro sayısı; M- gaz kütlesi; -molar gaz kütlesi.

Sistem birden fazla gazın karışımı ise sistemdeki madde miktarı

,

,

Nerede  Ben , N Ben , M Ben ,  Ben - sırasıyla madde miktarı, molekül sayısı, kütle, molar kütle Ben- karışımın bileşenleri.

2. Clapeyron-Mendeleev denklemi (ideal bir gazın durum denklemi):

Nerede M- gaz kütlesi;  - molar kütle; R- evrensel gaz sabiti;  = m/ - madde miktarı; T-termodinamik sıcaklık Kelvin.

3. İzoprosesler için Clapeyron-Mendeleev denkleminin özel durumları olan deneysel gaz yasaları:

Boyle-Mariotte yasası

(izotermal süreç - T=sabit; m=sabit):

veya iki gaz durumu için:

Nerede P 1 ve V 1 - başlangıç ​​durumundaki gazın basıncı ve hacmi; P 2 ve V 2

Gay-Lussac yasası (izobarik süreç - p=sabit, m=sabit):

veya iki eyalet için:

Nerede V 1 Ve T 1 - başlangıç ​​durumundaki gazın hacmi ve sıcaklığı; V 2 Ve T 2 - son durumda aynı değerler;

Charles yasası (izokorik süreç - V=sabit, m=sabit):

veya iki eyalet için:

Nerede R 1 Ve T 1 - başlangıç ​​durumundaki gazın basıncı ve sıcaklığı; R 2 Ve T 2 - son durumda aynı değerler;

kombine gaz kanunu (m=sabit):

Nerede R 1 , V 1 , T 1 - başlangıç ​​durumundaki gazın basıncı, hacmi ve sıcaklığı; R 2 , V 2 , T 2 - son durumda aynı değerler.

4. Bir gaz karışımının basıncını belirleyen Dalton yasası:

p = p 1 + p 2 + ... +r N

Nerede P Ben- karışım bileşenlerinin kısmi basınçları; N- karışım bileşenlerinin sayısı.

5. Bir gaz karışımının molar kütlesi:

Nerede M Ben- ağırlık Ben karışımın -th bileşeni;  Ben = m Ben / Ben- madde miktarı Ben karışımın -th bileşeni; N- karışım bileşenlerinin sayısı.

6. Kütle kesri  Ben Ben Gaz karışımının inci bileşeni (bir birimin kesirleri veya yüzde olarak):

Nerede M- karışımın kütlesi.

7. Moleküllerin konsantrasyonu (birim hacim başına molekül sayısı):

Nerede N-belirli bir sistemde bulunan moleküllerin sayısı;  maddenin yoğunluğudur. Formül yalnızca gazlar için değil, aynı zamanda bir maddenin herhangi bir toplanma durumu için de geçerlidir.

8. Temel denklem kinetik teorisi gazlar:

,

Nerede<>- bir molekülün öteleme hareketinin ortalama kinetik enerjisi.

9. Bir molekülün öteleme hareketinin ortalama kinetik enerjisi:

,

Nerede k- Boltzmann sabiti.

10. Bir molekülün ortalama toplam kinetik enerjisi:

Nerede Ben- molekülün serbestlik derecesinin sayısı.

11. Gaz basıncının molekül konsantrasyonuna ve sıcaklığa bağımlılığı:

p = nkT.

12. Moleküler hızlar:

ortalama kare ;

aritmetik ortalama ;

büyük ihtimalle ,

Kütüphane > Fizik Kitapları > İstatistiksel Fizik

İstatistiksel fizik

• Aizenshits R. Geri dönüşü olmayan süreçlerin istatistiksel teorisi. M.: Yayınevi. Yabancı Aydınlatılmış, 1963 (djvu)
• Anselm A.I. İstatistiksel fizik ve termodinamiğin temelleri. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. İstatistiksel fizik yöntemleri. M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Bazarov I.P. Metodolojik sorunlar istatistiksel fizik ve termodinamik. M.: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. Seçilmiş eserler istatistiksel fizikte. M.: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Bazı sorular istatistiksel mekanik. M.: Daha yüksek. okul, 1975 (djvu)
• Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. İstatistik mekanikte Green fonksiyon yöntemi. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2.61Mb)
• Vasilyev A.M. İstatistiksel fiziğe giriş. M.: Daha yüksek. okul, 1980 (djvu)
• Vlasov A.A. Yerel olmayan istatistiksel mekanik. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Gibbs J.W. İstatistik mekaniğin temel ilkeleri (termodinamiğin rasyonel temeline özel bir uygulamayla sunulmuştur). M.-L.: OGİZ, 1946 (djvu)
• Gurov K.P. Kinetik teorinin temelleri. Yöntem N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
• Zaslavsky G.M. İstatistiksel tersinmezlik doğrusal olmayan sistemler. M.: Nauka, 1970 (djvu)
• Zakharov A.Yu. İstatistiksel fiziğin kafes modelleri. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
• Zakharov A.Yu. Fonksiyonel yöntemler klasik istatistiksel fizikte. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
• Ios G.Kursu teorik fizik. Bölüm 2. Termodinamik. İstatistiksel fizik. Kuantum teorisi. Nükleer fizik. M.: Eğitim, 1964 (djvu)
• Ishihara A. İstatistiksel fizik. M.: Mir, 1973 (djvu)
• Kadanov L., Beim G. Kuantum istatistik mekaniği. Denge ve dengesiz süreçler teorisinde Green fonksiyon yöntemleri. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Katz M. Fizikte olasılık ve ilgili konular. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Katz M. Fizik ve matematiğin çeşitli olasılıksal problemleri. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Kittel Ch. M.: IL, 1960 (djvu)
• Kittel Ch. İstatistiksel termodinamik. M: Nauka, 1977 (djvu)
• Kozlov V.V. Termal denge Gibbs ve Poincaré'ye göre. Moskova-İzhevsk: Bilgisayar Araştırma Enstitüsü, 2002 (djvu)
• Kompaneets A.Ş. Fiziksel istatistik yasaları. Şok dalgaları. Süper yoğun madde. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Kompaneets A.Ş. Teorik fizik dersi. Cilt 2. İstatistik yasaları. M.: Eğitim, 1975 (djvu)
• Kotkin G.L. İstatistiksel fizik üzerine dersler, NSU (pdf)
• Krylov N.S. İstatistiksel fiziğin kanıtlanması üzerine çalışır. M.-L.: SSCB Bilimler Akademisi'nden, 1950 (djvu)
• Kubo R. İstatistiksel mekanik. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Landsberg P. (ed.) Termodinamik ve İstatistik Fizikte Sorunlar. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Levich V.G. İstatistiksel fiziğe giriş (2. baskı) M.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libov R. Teoriye giriş kinetik denklemler. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. İstatistiksel mekanik. M.: Mir, 1980 (djvu)
• Minlos R.A. (ed.) Matematik. Yabancı bilimde yeni-11. Gibbs istatistiksel fizikte belirtiyor. Makale koleksiyonu. M.: Mir, 1978 (djvu)
• Nozdrev V.F., Senkevich A.A. İstatistiksel fizik dersi. M.: Daha yüksek. okul, 1965 (djvu)
• Prigogine I. Dengesizlik istatistiksel mekaniği. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Radushkevich L.V. İstatistiksel fizik dersi (2. baskı) M.: Eğitim, 1966 (djvu)
• Reif F. Berkeley fizik kursu. Cilt 5. İstatistiksel fizik. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamik, istatistiksel fizik ve kinetik. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamik, istatistiksel fizik ve kinetik (2. baskı). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Ruel D. İstatistiksel mekanik. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Savukov V.V. İstatistiksel fiziğin aksiyomatik ilkelerinin açıklanması. SPb.: Balt. durum teknoloji. Üniv. "Voenmekh", 2006

10. İstatistiksel termodinamiğin temel önermeleri

Çok sayıda parçacıktan oluşan sistemleri tanımlarken iki yaklaşım kullanılabilir: mikroskobik ve makroskobik. Klasik veya kuantum mekaniğine dayanan ilk yaklaşımda, sistemin mikro durumu, örneğin her bir parçacığın zamanın her andaki koordinatları ve momentumu gibi ayrıntılı bir şekilde karakterize edilir. Mikroskobik tanımlama, klasik veya kuantum denklemleriÇok sayıda değişken için hareketler. Böylece klasik mekanikte ideal bir gazın her bir mikro durumu 6 ile tanımlanır. N değişkenler ( N- parçacık sayısı): 3 N koordinatlar ve 3 N dürtü projeksiyonları.

Klasik termodinamiğin kullandığı makroskopik yaklaşım, sistemin yalnızca makro durumlarını karakterize eder ve bunun için az sayıda değişken kullanır; örneğin üç: sıcaklık, hacim ve parçacık sayısı. Bir sistem denge durumundaysa makroskobik parametreleri sabittir, mikroskobik parametreleri ise zamanla değişir. Bu, her makro durum için birkaç (aslında sonsuz sayıda) mikro durum olduğu anlamına gelir.

İstatistiksel termodinamik bu iki yaklaşım arasında bir bağlantı kurar. Temel fikir şudur: Eğer her bir makro durum kendisiyle ilişkili çok sayıda mikro duruma sahipse, o zaman bunların her biri makro duruma katkıda bulunur. Daha sonra makrodurumun özellikleri, tüm mikrodurumların ortalaması olarak hesaplanabilir; istatistiksel ağırlıkları dikkate alarak katkılarını özetlemek.

Mikro durumların ortalaması, istatistiksel bir topluluk kavramı kullanılarak gerçekleştirilir. Topluluk bir makroduruma karşılık gelen tüm olası mikrodurumlarda bulunan özdeş sistemlerin sonsuz bir kümesidir. Topluluğun her sistemi bir mikrodurumdur. Topluluğun tamamı bazıları tarafından anlatılıyor dağıtım fonksiyonu koordinatlara ve momentuma göre ( P, Q, T), aşağıdaki gibi tanımlanır:

(P, Q, T) dp dq topluluk sisteminin bir hacim elemanında yer alma olasılığıdır dp dq yakın nokta ( P, Q) şu anda T.

Dağılım fonksiyonunun anlamı, makrodurumdaki her bir mikrodurumun istatistiksel ağırlığını belirlemesidir.

Tanımdan dağıtım fonksiyonunun temel özelliklerini takip edin:

1. Normalleştirme

. (10.1)

2. Olumlu kesinlik

(P, Q, T) ben 0 (10,2)

Bir sistemin birçok makroskobik özelliği şu şekilde tanımlanabilir: ortalama değer koordinat ve momentum fonksiyonları F(P, Q) topluluk tarafından:

Örneğin, iç enerji Hamilton fonksiyonunun ortalama değeridir H(P,Q):

Bir dağıtım fonksiyonunun varlığı esastır klasik istatistiksel mekaniğin temel varsayımı:

Sistemin makroskobik durumu, (10.1) ve (10.2) koşullarını karşılayan bir dağılım fonksiyonu tarafından tamamen belirlenir.

Denge sistemleri ve denge toplulukları için dağılım fonksiyonu açıkça zamana bağlı değildir: = ( P,Q). Dağıtım fonksiyonunun açık biçimi topluluğun türüne bağlıdır. Üç ana topluluk türü vardır:

1) Mikrokanonik topluluk izole edilmiş sistemleri tanımlar ve aşağıdaki değişkenlerle karakterize edilir: e(enerji), V(hacim), N(parçacık sayısı). İÇİNDE izole sistem tüm mikro durumlar eşit derecede olasıdır ( eşit önsel olasılık varsayımı):

2) Kanonik ToplulukÇevresiyle termal dengede olan sistemleri açıklar. Termal denge sıcaklıkla karakterize edilir T. Bu nedenle dağılım fonksiyonu aynı zamanda sıcaklığa da bağlıdır:

(10.6)

(k= 1,38 10 -23 J/K - Boltzmann sabiti). (10.6)'daki sabitin değeri normalizasyon koşuluyla belirlenir (bkz. (11.2)).

Kanonik dağılımın (10.6) özel bir durumu şöyledir: Maxwell dağılımı gazlar için geçerli olan v hızına göre:

(10.7)

(M- bir gaz molekülünün kütlesi). İfade (v) D v bir molekülün sahip olma olasılığını tanımlar mutlak değer v ila v + aralığındaki hızlar D v. Maksimum fonksiyon (10.7), moleküllerin en olası hızını verir ve integral

Moleküllerin ortalama hızı.

Eğer sistem ayrık enerji seviyelerine sahipse ve kuantum mekaniksel olarak tanımlanıyorsa Hamilton fonksiyonu yerine H(P,Q) Hamilton operatörünü kullanın H ve dağıtım işlevi yerine yoğunluk matrisi operatörü:

(10.9)

Yoğunluk matrisinin köşegen elemanları sistemin şu durumda olma olasılığını verir: Ben-th enerji durumu ve enerjiye sahip E ben:

(10.10)

Sabitin değeri normalleştirme koşuluyla belirlenir: S Ben = 1:

(10.11)

Bu ifadenin paydasına durumların toplamı denir (bkz. Bölüm 11). Bunun için anahtardır istatistiksel değerlendirme sistemin termodinamik özellikleri (10.10) ve (10.11)'den parçacıkların sayısı bulunabilir N ben enerjiye sahip olmak E ben:

(10.12)

(N - toplam sayı parçacıklar). Parçacıkların (10.12) enerji düzeylerine göre dağılımına denir. Boltzmann dağılımı ve bu dağılımın payı Boltzmann faktörüdür (çarpan). Bazen bu dağılım farklı bir biçimde yazılır: aynı enerjiye sahip birkaç seviye varsa E ben, daha sonra Boltzmann faktörlerinin toplanmasıyla tek bir grupta birleştirilirler:

(10.13)

(ben- enerji seviyesi sayısı E ben veya istatistiksel ağırlık).

Bir termodinamik sistemin birçok makroskopik parametresi Boltzmann dağılımı kullanılarak hesaplanabilir. Örneğin ortalama enerji, istatistiksel ağırlıkları dikkate alınarak enerji seviyelerinin ortalaması olarak tanımlanır:

, (10.14)

3) Büyük Kanonik Topluluk Isıl dengede olan ve çevreyle madde alışverişi yapabilen açık sistemleri tanımlar. Termal denge sıcaklıkla karakterize edilir T ve parçacık sayısındaki denge kimyasal potansiyeldir. Bu nedenle dağılım fonksiyonu sıcaklığa ve kimyasal potansiyele bağlıdır. Burada büyük kanonik topluluğun dağıtım fonksiyonu için açık bir ifade kullanmayacağız.

İstatistik teorisinde, sistemler için kanıtlanmıştır. çok sayıda parçacıklar (~ 10 23) her üç topluluk türü de birbirine eşdeğerdir. Herhangi bir topluluğun kullanımı aynı termodinamik özelliklere yol açar, bu nedenle bir termodinamik sistemi tanımlamak için bir veya başka bir topluluğun seçimi yalnızca dağıtım fonksiyonlarının matematiksel olarak işlenmesinin kolaylığı ile belirlenir.

ÖRNEKLER

Örnek 10-1. Bir molekül, enerjileri 0 ve 300 cm -1 olan iki seviyede olabilir. Molekülün açıkta olma olasılığı nedir? üst seviye 250 o C'de?

Çözüm. Boltzmann dağılımını uygulamak ve enerjinin spektroskopik birimi cm -1'i joule'e dönüştürmek için çarpanı kullanmak gerekir. hc (H= 6,63 10 -34 J. s, C= 3 10 10 cm/s): 300 cm -1 = 300 6,63 10 -34 3 10 10 = 5,97 10 -21 J.

Cevap. 0.304.

Örnek 10-2. Bir molekül 0 enerjili seviyede veya enerjili üç seviyeden birinde olabilir e. Hangi sıcaklıkta a) alt seviyedeki tüm moleküller olur, b) alt seviyedeki molekül sayısı üst seviyedeki molekül sayısına eşit olur, c) alt seviyedeki molekül sayısı üç olur üst seviyelerdeki molekül sayısından kat daha az mı?

Çözüm. Boltzmann dağılımını (10.13) kullanalım:

A) N 0 / N= 1; deneyim(- e/kT) = 0; T= 0. Sıcaklık azaldıkça moleküller daha düşük seviyelerde birikir.

B) N 0 / N= 1/2; deneyim(- e/kT) = 1/3; T = e / [k In(3)].

V) N 0 / N= 1/4; deneyim(- e/kT) = 1; T= . Şu tarihte: yüksek sıcaklıklar Moleküller enerji seviyeleri arasında eşit olarak dağılmıştır, çünkü tüm Boltzmann faktörleri neredeyse aynıdır ve 1'e eşittir.

Cevap. A) T= 0; B) T = e / [k ln(3)]; V) T = .

Örnek 10-3. Herhangi bir termodinamik sistem ısıtıldığında bazı seviyelerin popülasyonu artarken bazılarının popülasyonu azalır. Boltzmann'ın dağılım yasasını kullanarak, artan sıcaklıkla birlikte popülasyonunun artması için bir düzeyin enerjisinin ne olması gerektiğini belirleyin.

Çözüm. Doluluk, belirli bir enerji seviyesinde bulunan moleküllerin oranıdır. Koşul gereği, bu miktarın sıcaklığa göre türevi pozitif olmalıdır:

İkinci satırda ortalama enerjinin (10.14) tanımını kullandık. Böylece nüfus, yukarıdaki tüm düzeylerde sıcaklıkla birlikte artar. ortalama enerji sistemler.

Cevap. .

GÖREVLER

10-1. Bir molekül, enerjileri 0 ve 100 cm -1 olan iki seviyede olabilir. Molekülün açıkta olma olasılığı nedir? en düşük seviye 25 o C'de mi?

10-2. Bir molekül, enerjileri 0 ve 600 cm -1 olan iki seviyede olabilir. Hangi sıcaklıkta üst seviyede alt seviyeye göre iki kat daha fazla molekül olacak?

10-3. Bir molekül 0 enerjili seviyede veya enerjili üç seviyeden birinde olabilir e. Moleküllerin ortalama enerjisini bulun: a) çok düşük sıcaklıklar, b) çok yüksek sıcaklıklarda.

10-4. Herhangi bir termodinamik sistem soğuduğunda, bazı seviyelerin popülasyonu artar, diğerlerinin ise azalır. Boltzmann'ın dağılım yasasını kullanarak, sıcaklık azaldıkça popülasyonunun artması için bir düzeyin enerjisinin ne olması gerektiğini belirleyin.

10-5. Moleküllerin en olası hızını hesaplayın karbondioksit 300 K sıcaklıkta.

10-6. Hesaplamak ortalama hız Normal koşullar altında helyum atomları.

10-7. -30 o C sıcaklıkta ozon moleküllerinin en olası hızını hesaplayın.

10-8. Hangi sıcaklıkta oksijen moleküllerinin ortalama hızı 500 m/s'ye eşittir?

10-9. Bazı koşullar altında oksijen moleküllerinin ortalama hızı 400 m/s'dir. Aynı koşullar altında hidrojen moleküllerinin ortalama hızı nedir?

10-10. Ağırlığı olan moleküllerin oranı nedir M sıcaklıkta ortalamanın üzerinde bir hıza sahip T? Bu kesir moleküllerin kütlesine ve sıcaklığa bağlı mıdır?

10-11. Maxwell dağılımını kullanarak kütle moleküllerinin ortalama kinetik hareket enerjisini hesaplayın M sıcaklıkta T. Bu enerji eşit mi? kinetik enerji ortalama hızda mı?