Minyon ve güzel basit görev yüzen bir öğrenci için can simidi görevi görenler kategorisinden. Doğada temmuzun ortası, bu yüzden dizüstü bilgisayarınızla sahilde oturmanın zamanı geldi. Sabahın erken saatlerinde oynamaya başladım güneşli tavşan Yakında, iddia edilen kolaylığına rağmen kumda cam kırıkları içeren uygulamaya odaklanmak için teoriyi değiştirdik. Bu bağlamda bu sayfadaki birkaç örneği dikkatle incelemenizi tavsiye ederim. Çözmek için pratik görevler yapabilmeli türevleri bul ve makalenin içeriğini anlayın Fonksiyonun monotonluk aralıkları ve ekstremumları.
İlk olarak, ana şey hakkında kısaca. Konuyla ilgili derste fonksiyonun sürekliliği Bir noktada sürekliliğin ve aralıkta sürekliliğin tanımını verdim. Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki örnek davranışı benzer şekilde formüle edilir. Bir fonksiyon aşağıdaki durumlarda bir aralıkta süreklidir:
1) aralıkta süreklidir;
2) bir noktada sürekli Sağ ve bu noktada sol.
İkinci paragrafta sözde hakkında konuştuk. tek taraflı süreklilik bir noktada çalışır. Bunu tanımlamanın çeşitli yaklaşımları var, ancak daha önce başladığım çizgiye sadık kalacağım:
Fonksiyon bu noktada süreklidir. Sağ, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve sağdaki limiti, fonksiyonun belirli bir noktadaki değeriyle çakışıyorsa: 
. Bu noktada süreklidir sol, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve sol taraftaki limiti değere eşit Bu noktada: 
Bunu hayal et yeşil noktalar- bunlar sihirli elastik bandın takıldığı çiviler:
Zihinsel olarak kırmızı çizgiyi elinize alın. Açıkçası, grafiği (eksen boyunca) yukarı ve aşağı ne kadar uzatırsak uzatalım, fonksiyon hala aynı kalacaktır. sınırlı– Üstte çit, altta çit var ve ürünümüz padokta otluyor. Böylece, bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bununla sınırlıdır. Matematiksel analiz sırasında, görünüşte basit olan bu gerçek ifade edilir ve kesinlikle kanıtlanır. Weierstrass'ın ilk teoremi....Birçok kişi, temel ifadelerin matematikte sıkıcı bir şekilde kanıtlanmasından rahatsızdır, ancak bunun önemli bir anlamı vardır. Orta Çağ'ın havlu kumaşından belli bir sakininin görünürlük sınırlarının ötesinde gökyüzüne bir grafik çektiğini varsayalım, bu eklendi. Teleskobun icadından önce uzaydaki sınırlı işlevi pek de açık değildi! Gerçekten ufukta bizi neyin beklediğini nereden biliyorsunuz? Sonuçta, bir zamanlar Dünya'nın düz olduğu düşünülüyordu, dolayısıyla bugün sıradan ışınlanma bile kanıt gerektiriyor =)
Buna göre Weierstrass'ın ikinci teoremi, bir segmentte süreklifonksiyon amacına ulaşır kesin üst kenar ve senin tam alt kenar .
Numaraya da denir fonksiyonun segmentteki maksimum değeri ve ile gösterilir ve sayı segmentteki fonksiyonun minimum değeri işaretlendi.
Bizim durumumuzda: 
Not
: teoride kayıtlar yaygındır 
.
Kabaca konuşursak, en yüksek değer en çok nerede bulunur yüksek nokta grafikler ve en küçüğü – en çok nerede düşük nokta.
Önemli! Hakkında makalede daha önce vurgulandığı gibi fonksiyonun ekstremum değeri, en büyük fonksiyon değeri Ve en küçük fonksiyon değeri – AYNI DEĞİL, Ne maksimum fonksiyon Ve minimum fonksiyon. Dolayısıyla, söz konusu örnekte sayı, fonksiyonun minimum değeridir ancak minimum değeri değildir.
Bu arada segmentin dışında neler oluyor? Evet, söz konusu sorun bağlamında bir sel bile bizi hiç ilgilendirmiyor. Görev yalnızca iki sayı bulmayı içeriyor 
ve işte bu kadar!
Ayrıca çözüm tamamen analitik olduğundan, çizim yapmaya gerek yok!
Algoritma yüzeyde yatıyor ve yukarıdaki şekilde kendini gösteriyor:
1) Fonksiyonun değerlerini bulun kritik noktalar, hangisine ait bu bölüm .
Başka bir çörek yakala: burada kontrol etmeye gerek yok yeterli koşul ekstremum, çünkü az önce gösterildiği gibi, bir minimum veya maksimumun varlığı henüz garanti etmiyor, minimum nedir veya maksimum değer. Gösterim fonksiyonu maksimuma ulaşır ve kaderin iradesiyle aynı sayı, segmentteki fonksiyonun en büyük değeridir. Ancak elbette böyle bir tesadüf her zaman gerçekleşmez.
Böylece ilk adımda segmente ait kritik noktalardaki fonksiyonun değerlerini, ekstremumların olup olmadığına bakmadan hesaplamak daha hızlı ve kolaydır.
2) Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.
3) 1. ve 2. paragraflarda bulunan fonksiyon değerlerinden en küçük ve en büyüğünü seçiniz. büyük sayı, cevabı yazın.
Kıyıda oturuyoruz mavi deniz ve topuklarımızla sığ suya çarptık:
Örnek 1
En iyisini bulun ve en küçük değer aralıklarla çalışır
Çözüm:
1) Fonksiyonun bu segmente ait kritik noktalardaki değerlerini hesaplayalım:
İkinci bölümde fonksiyonun değerini hesaplayalım. kritik nokta:
2) Fonksiyonun parçanın uçlarındaki değerlerini hesaplayalım: 
3) Üslü sayılar ve logaritmalarla "kalın" sonuçlar elde edildi, bu da karşılaştırmalarını önemli ölçüde zorlaştırıyor. Bu nedenle, bir hesap makinesi veya Excel ile kendimizi silahlandıralım ve şunu unutmadan yaklaşık değerleri hesaplayalım: 
Artık her şey açık.
Cevap:
Kesirli rasyonel örnek bağımsız karar:
Örnek 6
Maksimumu bulun ve minimum değer aralıklarla çalışır
Böyle bir nesnenin incelenmesi matematiksel analiz bir fonksiyon olarak harika Anlam ve diğer bilim alanlarında. Örneğin, ekonomik analiz davranışın sürekli değerlendirilmesi gerekir işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.
Talimatlar
Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle duruma göre özel görev en büyüğünü belirlemek gerekir Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belirli bir aralığı boyunca açık veya kapalı sınırlarla.
Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.
En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.
Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak bulmanız gerekir: ifadede bir kesirin varlığı, karekök vesaire. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise bir sonraki adıma geçin.
Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde durağan noktaların değerlerini alacaksınız. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.
Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] biçiminde bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. Aralık açıksa (A, B), sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) biçiminde birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. Fonksiyon: Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar: , (-∞, B). Gerçek limitler A ve B için daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve için. sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.
Bu aşamada görev
Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir sonraki biter akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı daha da yakınlaştırmak için hemen asıl konuya geçeceğim:
Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, dairesel ve biraz daha büyük alanlar da bulunmaktadır. karmaşık şekiller. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.
Düz bir alan standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik cümlenin dönüşü: "kapalı alan, çizgilerle sınırlı ».
Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Bu nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (içinde bu durumda 3 dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenmiştir: 
Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.
Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey, Ve küçük mutluluk günümüzün problemini çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek yok. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (“en yüksek”) ve en az (“en düşük”) bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:
Örnek 1
Sınırlı olarak kapalı alan
Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Ne yazık ki teknik olarak bunu yapmak benim için zor etkileşimli model Bu nedenle, çalışma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler: 
Giriş kısmına dayanarak kararı iki noktaya ayırmak uygun olacaktır:
I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar uyguladığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:
Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:
- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri, önemli sonuçlar Kalın harflerle yazacağım. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.
İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum , o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: asgari bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .
Sabit nokta alana ait DEĞİLSE ne yapmalı? Neredeyse hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.
II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.
Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de bunu yapmamak daha iyidir. Benim açımdan öncelikle segmentleri paralel düşünmek daha avantajlı koordinat eksenleri ve her şeyden önce baltaların üzerinde yatanların kendileri. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:
1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:
Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz: 
Geometrik olarak bu şu anlama gelir: koordinat düzlemi (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oymak" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi öğrenelim o nerede:
– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon tüm bölgedeki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:
Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım 
(çizimde işaretlenmiştir):
Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz: 
2) Araştırma için sağ tarafüçgeni fonksiyonun yerine koyarız ve "işleri düzene koyarız":
Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.
Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:
– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:
Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:
Fonksiyonun kullanılması 
, bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim: 
3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:
Segmentin sonları 
zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz 
:
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.
Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:
- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:
Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:
Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim 
:
, emir.
Ve son adım: Tüm “cesur” sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneriyorum: 
buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:
Her ihtimale karşı tekrar yorum yapacağım geometrik anlamı sonuç:
– burası bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
– burası bölgedeki yüzeyin en alçak noktasıdır.
Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgen bir bölge için minimum "araştırma seti" aşağıdakilerden oluşur: üç puan. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bir tür şeyle uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.
Bu tür görevleri biraz çözmeye çalışırsanız üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden sizin için hazırladım sıradışı örnekler böylece kare olur :))
Örnek 2
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma 
çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda
Örnek 3
Sınırlı kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Özel ilgi Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her şekilde vardır. Yaklaşık örnek Dersin sonunda ödevleri bitirmek.
Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:
– İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelemeniz ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamanız tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.
– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan olanlarda bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Eğer sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir ikonla veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç sabit nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!
– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!
– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve cevabı verin. Bazen bir fonksiyonun bu tür değerlere aynı anda birkaç noktada ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, 
ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz
Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:
Örnek 4
Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 
.
Alanın çifte eşitsizlik biçiminde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. Bu durum yazılabilir eşdeğer sistem veya bu görev için daha geleneksel bir biçimde: 
şunu hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve eğer gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız, lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklığa kavuşturmayın;-)
Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür “taban”ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar: 
Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...
I) Durağan noktaları bulun: 
Sistem bir aptalın hayalidir :) 
Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.
Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)
II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:
1) Eğer öyleyse
Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz: 
Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım: 
2) "Tek oturuşta" "tabanın" alt kısmını ele alalım - herhangi bir kompleks olmadan onu fonksiyona yerleştireceğiz ve sadece segmentle ilgileneceğiz:
Kontrol:
Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:
Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte hesaplamalar olsaydı ondalık sayılar(ki bu arada nadirdir), o zaman burada olağan olanlar bizi bekliyor ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz: 
Fonksiyonun değerlerini bulunan noktalarda hesaplayalım: 
İşlevi kendiniz kontrol edin.
Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:
Bunlar “aday”, bunlar “aday”!
Kendiniz çözmek için:
Örnek 5
Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma 
kapalı bir alanda 
Şuradan kayıt: kıvırcık parantezşu şekilde okunur: "öyle bir nokta kümesi."
Bazen benzer örnekler kullanmak Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir "de" fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ama elbette daha fazlası da var karmaşık vakalar Lagrange fonksiyonu olmadan (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!
Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim:
Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, dikkate alınan aralıktaki koordinatın kabul edilen en büyük (en küçük) değeridir.
Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapmanız gerekenler:
- Belirli bir segmentte hangi sabit noktaların yer aldığını kontrol edin.
- Segmentin uçlarındaki ve noktalarındaki fonksiyonun değerini hesaplayın. sabit noktalar 3. noktadan itibaren
- Elde edilen sonuçlardan en büyük veya en küçük değeri seçin.
Maksimum veya minimum puanları bulmak için yapmanız gerekenler:
- $f"(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
- $f"(x)=0$ denklemini çözerek sabit noktaları bulun
- Bir fonksiyonun türevini çarpanlarına ayırın.
- Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine sabit noktalar yerleştirin ve 3. adımdaki gösterimi kullanarak elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin.
- Kurala göre maksimum veya minimum noktaları bulun: eğer bir noktada türevin işareti artıdan eksiye değişirse, o zaman bu maksimum nokta olacaktır (eksiden artıya ise, o zaman bu minimum nokta olacaktır). Uygulamada, okların görüntüsünü aralıklarda kullanmak uygundur: türevin pozitif olduğu aralıkta ok yukarı doğru çizilir ve bunun tersi de geçerlidir.
Bazı temel fonksiyonların türevleri tablosu:
| İşlev | Türev |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1))), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1))), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $çünkü^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Farklılaşmanın temel kuralları
1. Toplamın ve farkın türevi her terimin türevine eşittir
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
Toplamın ve farkın türevi her terimin türevine eşittir
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Ürünün türevi.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
$f(x)=4x∙cosx$ türevini bulun
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Bölümün türevi
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Türev karmaşık fonksiyon dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
$y=2x-ln(x+11)+4$ fonksiyonunun minimum noktasını bulun
1. Hadi bulalım ODZ işlevleri: $x+11>0; x>-11$
2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ fonksiyonunun türevini bulun
3. Türevi sıfıra eşitleyerek durağan noktaları bulun
$(2x+21)/(x+11)=0$
Payın payı sıfıra eşitse kesir sıfıra eşit ve payda sıfır değil
$2x+21=0; x≠-11$
4. Bir koordinat çizgisi çizelim, üzerine durağan noktalar yerleştirelim ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyelim. Bunu yapmak için, en sağdaki bölgeden herhangi bir sayıyı türevin yerine koyun; örneğin sıfır.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Minimum noktada türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla $-10.5$ noktası minimum noktadır.
Cevap: $-10.5$
$[-5;1]$ segmentinde $y=6x^5-90x^3-5$ fonksiyonunun en büyük değerini bulun
1. $y′=30x^4-270x^2$ fonksiyonunun türevini bulun
2. Türevi sıfıra eşitleyin ve durağan noktaları bulun
$30x^4-270x^2=0$
Onu çıkaracağız ortak çarpan Parantez içinde 30$x^2$
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Her faktörü sıfıra eşitleyelim
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Verilen $[-5;1]$ segmentine ait sabit noktaları seçin
$x=0$ ve $x=-3$ sabit noktaları bize uygundur
4. 3. adımdan itibaren parçanın uçlarındaki ve sabit noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın
