Hedefler:
- Konuyla ilgili bilgi ve becerileri sistematik hale getirmek ve genelleştirmek: Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümleri.
- Bazıları türlerine veya çözme yöntemlerine aşina olmayan bir dizi görevi tamamlayarak bilgiyi derinleştirmek.
- Matematiğin yeni bölümlerinin incelenmesi yoluyla matematiğe ilgi oluşumu, denklem grafiklerinin oluşturulması yoluyla grafik kültürünün eğitimi.
ders türü: birleştirilmiş.
Teçhizat: grafik projektör.
Görünürlük: tablo "Vieta teoremi".
dersler sırasında
1. Zihinsel hesap
a) p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 polinomunun x-a binomuna bölümünün geri kalanı nedir?
b) Bir kübik denklemin kaç kökü olabilir?
c) Üçüncü ve dördüncü derecenin denklemini hangi yardımla çözeriz?
d) Eğer b çift sayı ikinci dereceden bir denklemde, o zaman D nedir ve x 1; x 2
2. Bağımsız iş(Gruplarda)
Kökler biliniyorsa bir denklem yapın (görevlerin yanıtları kodlanmıştır) "Vieta Teoremi"ni kullanın
1 grup
Kökler: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x3 \u003d -3; 4 = 6
Bir denklem yazın:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(bu denklem tahtadaki 2. grup tarafından çözülür)
Çözüm . 36 sayısının bölenleri arasında tamsayı kökleri arıyoruz.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 sayısı denklemi sağlar, dolayısıyla =1 denklemin köküdür. Horner'ın planı
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
Cevap: 1; -2; -3; 6 köklerin toplamı 2 (P)
2 grup
Kökler: x 1 \u003d -1; x2 = x3 =2; x 4 \u003d 5
Bir denklem yazın:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (3. grup bu denklemi tahtada çözer)
p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
Cevap: -1;2;2;5 köklerin toplamı 8(P)
3 grup
Kökler: x 1 \u003d -1; x2=1; x3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
Bir denklem yazın:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(bu denklem daha sonra tahtada 4. grup tarafından çözülür)
Çözüm. 6 sayısının bölenleri arasında tamsayı kökleri arıyoruz.
p = ±1; ±2; ±3; ±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
Cevap: -1; 1; -2; 3 Köklerin toplamı 1 (O)
4 grup
kökler: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x3 \u003d -3; 4 = -3
Bir denklem yazın:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(bu denklem tahtadaki 5. grup tarafından çözülür)
Çözüm. -36 sayısının bölenleri arasında tamsayı kökleri arıyoruz
p = ±1; ±2; ±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Cevap: -2; -2; -3; 3 Köklerin toplamı-4 (F)
5 grup
Kökler: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x3 \u003d -3; 4 = -4
Denklem yaz
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki 6. grup tarafından çözülür)
Çözüm . 24 sayısının bölenleri arasında tamsayı kökleri arıyoruz.
p = ±1; ±2; ±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
Cevap: -1; -2; -3; -4 toplam-10 (I)
6 grup
Kökler: x 1 = 1; x2 = 1; x3 \u003d -3; 4 = 8
Denklem yaz
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x4 - 7x3- 13x2 + 43X - 24 = 0 (bu denklem daha sonra tahtada 1 grup tarafından çözülür)
Çözüm . -24 sayısının bölenleri arasında tamsayı kökleri arıyoruz.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
Cevap: 1; 1; -3; 8 toplamı 7 (L)
3. Bir parametre ile denklemlerin çözümü
1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 denklemini çözün; köklerden biri (-1) ise
Artan sırada cevaplayın
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Koşula göre x 1 = - 1; Ç=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
Cevap: - 1; -5; 3
Artan sırada: -5;-1;3. (b n s)
2. x-1 ve x + 2 binomlarına bölünmesinden kalanlar eşitse, x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 polinomunun tüm köklerini bulun.
Çözüm: R \u003d R3 (1) \u003d R3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a \u003d 0, x 2 -0 * x 2 +0 \u003d 0; x2=0; x 4 \u003d 0
bir=0; x=0; x=1
bir>0; x=1; x=a ± √a
2. Bir denklem yazın
1 grup. Kökler: -4; -2; 1; 7;
2 grup. Kökler: -3; -2; 1; 2;
3 grup. Kökler: -1; 2; 6; 10;
4 grup. Kökler: -3; 2; 2; 5;
5 grup. Kökler: -5; -2; 2; 4;
6 grup. Kökler: -8; -2; 6; 7.
Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.
İşte buradasın üstel denklem örnekleri:
3x2x = 8x+3
Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir x belirirse, örneğin:
bu denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ele alacağız üstel denklemlerin çözümü en saf haliyle.
Aslında, saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmez. Ancak çözülebilen ve çözülmesi gereken bazı üstel denklem türleri vardır. Bunlar inceleyeceğimiz türler.
En basit üstel denklemlerin çözümü.
Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir teori olmaksızın bile, basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Daha fazlası yok, değil mi!? Başka hiçbir x değeri yuvarlanmaz. Şimdi bu zor üstel denklemin çözümüne bakalım:
Ne yaptık? Aslında yeni attık aynı gerekçeler(üçlü). Tamamen atıldı. Ve ne istersen, işareti vur!
Gerçekten de, üstel denklemde soldaki ve sağdaki ise aynısı herhangi bir derecede sayılar, bu sayılar çıkarılabilir ve üslere eşit olabilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalır. İyi, değil mi?)
Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: sadece soldaki ve sağdaki taban numaraları aynı olduğunda tabanları kaldırabilirsiniz. gururlu yalnızlık! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde söyleyelim:
2 x +2 x + 1 = 2 3 veya
Çiftleri kaldıramazsınız!
En önemli şeyde ustalaştık. Kötülükten nasıl hareket edilir üstel ifadeler daha basit denklemler için
"İşte o zamanlar!" - diyorsun. "Kontrol ve sınavlarda bu kadar ilkelliği kim verecek!?"
Anlaşmaya zorlandı. Kimse yapmaz. Ama artık kafa karıştıran örnekleri çözerken nereye gideceğinizi biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda akla getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasikleridir. Orijinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematiğin kurallarına göre.
En basit hale getirmek için biraz ek çaba gerektiren örnekleri düşünün. hadi onları arayalım basit üstel denklemler.
Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.
Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: yetkileri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.
Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. İhtiyacımız var aynı numaralar- gerekçe? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli bir biçimde arıyoruz.
Bunun pratikte nasıl yapıldığını görelim mi?
Bize bir örnek verelim:
2 2x - 8x+1 = 0
İlk bakışta gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi
İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şunları yazmak pekâlâ mümkündür:
8 x+1 = (2 3) x+1
Gücü olan eylemlerden formülü hatırlayacak olursak:
(bir n) m = bir nm ,
genellikle harika çalışıyor:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
İlk örnekşöyle görünmeye başladı:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
aktarıyoruz 2 3 (x+1) sağda (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:
Bu canavarı çözer ve alırız
Bu doğru cevap.
Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde, şifreli ikili. Bu teknik (şifreleme ortak noktalar altında farklı numaralar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda bile. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmek gerekir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.
Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çoğaltın ve hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ün beşinci kuvvetini yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 çıkacaktır.) Ancak üstel denklemlerde, çok daha sık olarak bir güce yükseltmek değil, tam tersini yapmak gerekir ... hangi sayı ne kadar 243 numarasının arkasına saklanıyor veya diyelim ki 343... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.
Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?
Hangi kuvvetlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Yanıtlar (elbette bir karmaşa içinde!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Yakından bakarsanız görebilirsiniz garip gerçek. Sorulardan çok cevaplar var! Peki, olur... Örneğin, 2 6 , 4 3 , 8 2'nin tümü 64'tür.
Diyelim ki sayılarla tanışma ile ilgili bilgileri not aldınız.) Üstel denklemleri çözmek için uyguladığımızı hatırlatmama izin verin. bütün stoklamak matematiksel bilgi. Alt-orta sınıflardan dahil. Direk liseye gitmedin, değil mi?
Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak genellikle yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örnek görelim:
3 2x+4 -11 9x = 210
Ve yine, ilk bakış - gerekçesiyle! Derecelerin tabanları farklıdır ... Üç ve dokuz. Ve aynı olmalarını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dereceli eylemler için aynı kurallara göre:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Bu harika, şunu yazabilirsiniz:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçler atılamaz ... Çıkmaz sokak mı?
Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlamak Tümü matematik ödevleri:
Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!
Bakıyorsun, her şey oluşuyor).
Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol taraf doğrudan parantez istiyor! ortak çarpan 3 2x açıkça buna işaret ediyor. Deneyelim ve sonra göreceğiz:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Örnek gittikçe daha iyi olmaya devam ediyor!
Bazları ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı içermeyen saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek, şunu elde ederiz:
Oppa! Her şey yolunda gitti!
Bu son cevap.
Bununla birlikte, aynı gerekçelerle vergilendirme elde edilir, ancak bunların tasfiyesi sağlanmaz. Bu, başka türdeki üstel denklemlerde olur. Gelelim bu tipe.
Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler.
Denklemi çözelim:
4 x - 3 2 x +2 = 0
İlk - her zamanki gibi. Temele geçelim. ikiliye.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Denklemi elde ederiz:
2 2x - 3 2x +2 = 0
Ve burada takılacağız. Nasıl çevirirseniz çevirin önceki numaralar işe yaramayacaktır. Başka bir güçlü almamız gerekecek ve evrensel yol. denir değişken ikamesi.
Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin, t). Böylesine anlamsız görünen bir değiştirme, harika sonuçlara yol açar!) Her şey net ve anlaşılır hale geliyor!
Öyleyse izin ver
Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Denklemimizde x'lerin tüm kuvvetlerini t ile değiştiriyoruz:
Şafak söküyor mu?) İkinci dereceden denklemleri henüz unutmadınız mı? Diskriminant yoluyla çözersek şunu elde ederiz:
Burada asıl mesele, olduğu gibi durmamak ... Henüz cevap bu değil, t'ye değil x'e ihtiyacımız var. X'lere dönüyoruz, yani. bir yedek yapıyor. t 1 için ilk:
Yani,
Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:
Um... Sol 2 x, Sağ 1... Bir aksama mı? Evet, hiç değil! (Dereceli eylemlerden, evet ...) bir birliğin olduğunu hatırlamak yeterlidir. herhangi sayı sıfır. Herhangi. Neye ihtiyacın varsa onu koyacağız. İkiye ihtiyacımız var. Araç:
Şimdi hepsi bu. 2 kök var:
Cevap bu.
-de üstel denklemleri çözme sonunda, bazen garip bir ifade elde edilir. Tip:
Yediden ikiye kadar basit dereceçalışmıyor. Akraba değiller ... Nasıl burada olabilirim? Birinin kafası karışabilir ... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" Konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümseyin ve kesinlikle doğru cevabı kararlı bir şekilde yazın:
Sınavda "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Belirli bir sayı gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.
Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sunar. Ana olanı vurgulayalım.
1. Öncelikle şunlara bakıyoruz zemin derece. Bakalım yapılamaz mı aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. yetkileri olan eylemler. x'siz sayıların da dereceye çevrilebileceğini unutmayın!
2. Üstel denklemi sol ve sağ birleştiğinde forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir dereceye kadar sayılar. Kullanırız yetkileri olan eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla neler sayılabilir - sayarız.
3. İkinci tavsiye işe yaramadıysa, değişken ikamesini uygulamaya çalışırız. Sonuç kolayca çözülebilen bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da bir kareye indirgenir.
4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için, bazı sayıların derecelerini "görerek" bilmeniz gerekir.
Her zamanki gibi, dersin sonunda biraz çözmeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.
Üstel denklemleri çözün:
Daha zor:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9x - 8 3x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Köklerin çarpımını bulun:
2 3-x + 2x = 9
Olmuş?
İyi o zaman en zor örnek(karar verdi, ancak akılda ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Daha ilginç olan nedir? O zaman işte size kötü bir örnek. oldukça çekici artan zorluk. Bu örnekte, ustalığın tüm matematiksel görevleri çözmek için en evrensel kuralı kurtardığını ima edeceğim.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x
Rahatlamak için bir örnek daha basittir):
9 2 x - 4 3 x = 0
Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Evet evet! Bu karma tip bir denklemdir! Bu derste dikkate almadığımız. Ve neleri dikkate almalı, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders, denklemi çözmek için oldukça yeterli. Pekala, ustalığa ihtiyaç var ... Ve evet, yedinci sınıf size yardımcı olacak (bu bir ipucu!).
Yanıtlar (karmaşa içinde, noktalı virgülle ayrılmış):
1; 2; 3; 4; çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.
Her şey başarılı mı? Harika.
Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te, tüm bu üstel denklemler şu şekilde çözülür: ayrıntılı açıklamalar. Ne, neden ve neden. Ve tabii ki, her türden üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlarla değil.)
Dikkate alınması gereken son bir eğlenceli soru. Bu derste üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada ...
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
İkinci dereceden denklemler.
İkinci dereceden denklem- cebirsel denklem Genel görünüm
burada x bir serbest değişkendir,
a, b, c, - katsayılar ve
İfade 
kare üç terimli denir.
İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.
1. YÖNTEM : Denklemin sol tarafının çarpanlara ayrılması.
denklemi çözelim x 2 + 10x - 24 = 0. hadi parçalayalım Sol Tarafçarpanlar için:
x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).
Bu nedenle, denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
(x + 12)(x - 2) = 0
Çarpım sıfır olduğundan, çarpanlarından en az biri sıfır. Bu nedenle, denklemin sol tarafı şu noktada kaybolur: x = 2, ayrıca x = - 12. Bu, sayı anlamına gelir 2 Ve - 12 denklemin kökleri x 2 + 10x - 24 = 0.
2. YÖNTEM : Tam kare seçim yöntemi.
denklemi çözelim x 2 + 6x - 7 = 0. Sol tarafta vurgulayın tam kare.
Bunu yapmak için x 2 + 6x ifadesini aşağıdaki biçimde yazıyoruz:
x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.
Ortaya çıkan ifadede, ilk terim x sayısının karesi, ikincisi ise x'in 3 ile çift çarpımıdır. Bu nedenle, tam kareyi elde etmek için 3 2 eklemeniz gerekir, çünkü
x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.
Şimdi denklemin sol tarafını dönüştürüyoruz
x 2 + 6x - 7 = 0,
ekleme ve çıkarma 3 2 . Sahibiz:
x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Böylece, bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.
Buradan, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 veya x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. YÖNTEM :İkinci dereceden denklemlerin formülle çözümü.
Denklemin her iki tarafını da çarp
eksen 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0
4a'da ve art arda elimizde:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b2) - b 2 + 4ac \u003d 0,
(2ax + b) 2 = b2 - 4ac,
2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,
2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,
örnekler.
A) Denklemi çözelim: 4x2 + 7x + 3 = 0.
a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0 iki farklı kök;
Dolayısıyla, pozitif bir ayrımcı durumunda, yani. de
b2 - 4ac >0, denklem eksen 2 + bx + c = 0 iki farklı kökü vardır.
B) Denklemi çözelim: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a \u003d 4, b \u003d - 4, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 \u003d 0,
D=0 bir kök;
Yani, eğer ayrımcı sıfırsa, yani b2 - 4ac = 0, sonra denklem
eksen 2 + bx + c = 0 tek bir kökü vardır
v) Denklemi çözelim: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Bu denklem kökleri yoktur.
Yani, eğer ayrımcı negatifse, yani b2-4ac< 0 , denklem
eksen 2 + bx + c = 0 kökleri yoktur.
Formül (1) kökleri ikinci dereceden denklem eksen 2 + bx + c = 0 kökleri bulmanızı sağlar herhangi azaltılmış ve tamamlanmamış dahil ikinci dereceden denklem (varsa). Formül (1) sözlü olarak şu şekilde ifade edilir: ikinci dereceden bir denklemin kökleri, payı ikinci katsayıya eşit olan bir kesre eşittir; zıt işaret, artı eksi bu katsayının karesinin karekökü, birinci katsayının çarpımını şu şekilde dört katına çıkarmadan Ücretsiz Üye, ve payda birinci katsayının iki katıdır.
4. YÖNTEM: Vieta teoremini kullanarak denklemlerin çözümü.
Bilindiği gibi, verilen ikinci dereceden denklem şu şekildedir:
x 2 + piksel + c = 0.(1)
Kökleri Vieta teoremini karşılar. bir = 1 forma sahip
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
buradan yapabilirsin aşağıdaki sonuçlar(köklerin işaretleri p ve q katsayılarından tahmin edilebilir).
a) Eğer özet terim Q indirgenmiş denklemin (1) pozitif ( q > 0), o zaman denklemin aynı işaretli iki kökü vardır ve bu, ikinci katsayının gıpta edilmesidir. P. Eğer R< 0 , o zaman her iki kök de negatiftir, eğer R< 0 , o zaman her iki kök de pozitiftir.
Örneğin,
x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Ve x 2 \u003d 1,Çünkü q = 2 > 0 Ve p=-3< 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Ve x 2 \u003d - 1,Çünkü q = 7 > 0 Ve p=8 > 0.
b) Ücretsiz üye ise Q indirgenmiş denklemin (1) negatif ( Q< 0 ), o zaman denklemin farklı işaretli iki kökü vardır ve mutlak değerdeki daha büyük kök, eğer P< 0 veya negatif ise p > 0 .
Örneğin,
x2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 Ve x 2 \u003d 1,Çünkü q= - 5< 0 Ve p = 4 > 0;
x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 = 9 Ve x 2 \u003d - 1,Çünkü q = - 9< 0 Ve p=-8< 0.
Örnekler.
1) Denklemi çözün 345x2 - 137x - 208 = 0.
Çözüm.Çünkü a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), O
x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.
Cevap 1; -208/345.
2) Denklemi çözün 132x2 - 247x + 115 = 0.
Çözüm.Çünkü a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), O
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.
Cevap 1; 115/132.
B. ikinci katsayı ise b = 2kçift sayı ise köklerin formülü
Örnek.
denklemi çözelim 3x2 - 14x + 16 = 0.
Çözüm. Sahibiz: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0, iki farklı kök;
Cevap: 2; 8/3
İÇİNDE. İndirgenmiş Denklem
x 2 + piksel + q \u003d 0
genel denklem ile örtüşür, burada bir = 1, b = p Ve c = q. Bu nedenle, indirgenmiş ikinci dereceden denklem için, kökler için formül
Şu şekli alır:
Formül (3) özellikle şu durumlarda uygundur: R- çift sayı.
Örnek. denklemi çözelim x 2 - 14x - 15 = 0.
Çözüm. Sahibiz: x 1,2 \u003d 7 ±
Cevap: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.
5. YÖNTEM: Denklemleri grafiksel olarak çözme.
Örnek. x2 - 2x - 3 = 0 denklemini çözün.
y \u003d x2 - 2x - 3 fonksiyonunu çizelim
1) Elimizde: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Bu, (1; -4) noktasının parabolün tepe noktası olduğu ve x \u003d 1 düz çizgisinin parabolün ekseni olduğu anlamına gelir.
2) x ekseni üzerinde parabolün eksenine göre simetrik olan iki nokta alın, örneğin x \u003d -1 ve x \u003d 3 noktaları.
f(-1) = f(3) = 0'a sahibiz. koordinat uçağı puan (-1; 0) ve (3; 0).
3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) noktalarından bir parabol çiziyoruz (Şek. 68).
x2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri, parabolün x ekseni ile kesiştiği noktaların apsisleridir; yani denklemin kökleri: x1 = - 1, x2 - 3.
Modül ile Denklem ve Eşitsizlikleri Çözme genellikle sorunlara neden olur. Ancak, ne olduğunu iyi anlarsanız bir sayının mutlak değeri, Ve modulo işaretini içeren ifadeleri doğru şekilde genişletme, sonra denklemdeki varlığı modül işareti altındaki ifadeçözümüne engel olmaktan çıkar.
Biraz teori. Her sayının iki özelliği vardır: mutlak değer sayı ve işareti.
Örneğin, +5 sayısı veya yalnızca 5, "+" işaretine ve 5 mutlak değerine sahiptir.
-5 sayısının "-" işareti vardır ve mutlak değeri 5'tir.
5 ve -5 sayılarının mutlak değerleri 5'tir.
x sayısının mutlak değeri, sayının modülü olarak adlandırılır ve |x| ile gösterilir.
Gördüğümüz gibi, bir sayının modülü, bu sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse sayının kendisine, bu sayı negatifse ters işaretli bu sayıya eşittir.
Aynısı, modül işareti altındaki tüm ifadeler için geçerlidir.
Modül genişletme kuralı şöyle görünür:
|f(x)|= f(x) eğer f(x) ≥ 0 ise ve
|f(x)|= - f(x) eğer f(x) ise< 0
Örneğin, x-3≥0 ise |x-3|=x-3 ve x-3 ise |x-3|=-(x-3)=3-x<0.
Modül işareti altında bir ifade içeren bir denklemi çözmek için önce modülü modül genişletme kuralına göre genişletme.
Sonra denklemimiz veya eşitsizliğimiz dönüştürülür iki farklı sayısal aralıkta var olan iki farklı denkleme.
Modül işareti altındaki ifadenin negatif olmadığı bir sayısal aralıkta bir denklem vardır.
Ve ikinci denklem, modül işareti altındaki ifadenin negatif olduğu aralıkta bulunur.
Basit bir örnek ele alalım.
Denklemi çözelim:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Modülü açalım.
|x-3|=x-3 eğer x-3≥0 ise, yani x≥3 ise
|x-3|=-(x-3)=3-x ise x-3<0, т.е. если х<3
2. İki sayısal aralığımız var: x≥3 ve x<3.
Orijinal denklemin her aralıkta hangi denklemlere dönüştüğünü düşünün:
A) x≥3 |x-3|=x-3 için denklemimiz şöyle görünür:
Dikkat! Bu denklem sadece x≥3 aralığında mevcuttur!
Parantezleri açalım, benzer üyelere verelim:
ve bu denklemi çöz.
Bu denklemin kökleri vardır:
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3
Dikkat! x-3=-x 2 +4x-3 denklemi yalnızca x≥3 aralığında bulunduğundan, yalnızca bu aralığa ait köklerle ilgileniyoruz. Bu koşul yalnızca x 2 = 3'ü karşılar.
B) x noktasında<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Dikkat! Bu denklem yalnızca x aralığında mevcuttur<3!
Parantezleri açıp benzer terimler verelim. Denklemi elde ederiz:
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3
Dikkat! 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 denklemi yalnızca x aralığında bulunduğundan<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Yani: ilk aralıktan sadece kök x=3'ü, ikinciden - kök x=2'yi alıyoruz.
