Karmaşık üstel eşitsizlikler. Kararlı bir ifadeyi ayırma ve bir değişkeni değiştirme

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir.

Üstel denklemleri çözmek genellikle a x = a b denklemini çözmekle sonuçlanır; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x = b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan ifadeyi kanıtlayalım.

x 1 = x 2 eşitliğinin geçerli olmadığını varsayalım, yani. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ise üstel fonksiyon y = a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği karşılanmalıdır< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç problemi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 formunda yazalım, buradan x + 2 = 0 elde ederiz, yani. x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 olduğundan denklem 8 x ∙ 3 x = 24 2 veya 24 x = 24 2 olarak yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol taraftaki parantezlerden 3 x - 2 ortak faktörünü aldığımızda, 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x – 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x /7 x = 1 olarak yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x = a'yı değiştirerek verilen denklem ikinci dereceden denklem a 2 – 4a – 45 = 0'a indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluruz: a 1 = 9 ve 2 = -5, dolayısıyla 3 x = 9, 3 x = -5.

3 x = 9 denkleminin kökü 2'dir ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon negatif değerler.

Cevap. x = 2.

Çözüm üstel eşitsizlikler genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerini çözmeye gelir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания üstel fonksiyon.

Bazı sorunlara bakalım.

Eşitsizliği çöz 3 x< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3x şeklinde yazalım.< 3 4 . Так как 3 >1 ise y = 3 x fonksiyonu artmaktadır.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece, x'te< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t diyelim, sonra ikinci dereceden t2 + t – 2 > 0 eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x € R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y = (1/3) x ve y = x – 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturalım.

2) Şekilimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 noktasında kesiştiği sonucuna varabiliriz. Kontrol şunu kanıtlar:

x = 1 bu denklemin köküdür:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 – 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulalım veya olmadığını kanıtlayalım. (1/3) x fonksiyonu azalıyor, y = x – 2/3 fonksiyonu artıyor. Bu nedenle, x > 1 için, ilk fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten fazladır; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için sağlandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Birçok kişi üstel eşitsizliklerin karmaşık ve anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünüyor. Ve bunları çözmeyi öğrenmek, yalnızca Seçilmişlerin anlayabileceği neredeyse büyük bir sanattır...

Tamamen saçmalık! Üstel eşitsizlikler kolaydır. Ve her zaman basit bir şekilde çözülürler. Yani neredeyse her zaman :)

Bugün bu konuyu içeriden ve dışarıdan ele alacağız. Bu ders anlamaya yeni başlayanlar için çok faydalı olacaktır. bu bölüm okul matematik. İle başlayalım basit görevler ve daha fazlasına doğru ilerleyeceğiz karmaşık sorunlar. Bugün çok fazla çalışma olmayacak ama birazdan okuyacaklarınız her türlü test ve testteki eşitsizliklerin çoğunu çözmeye yetecek. bağımsız iş. Ve senin bu sınavında da.

Her zaman olduğu gibi tanımla başlayalım. Üstel eşitsizlik, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir eşitsizliktir. Başka bir deyişle, her zaman formdaki bir eşitsizliğe indirgenebilir.

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$ rolde nerede olabilir? normal numara ve belki daha sert bir şey. Örnekler? Evet lütfen:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dörtlü ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\bit(hizala)\]

Anlamının açık olduğunu düşünüyorum: $((a)^(x))$ üstel bir fonksiyonu var, bir şeyle karşılaştırılıyor ve sonra $x$'ı bulması isteniyor. Özellikle klinik durumlarda $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunu koyabilirler ve böylece eşitsizliği biraz karmaşık hale getirebilirler :)

Elbette bazı durumlarda eşitsizlik daha şiddetli görünebilir. Örneğin:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Veya bu bile:

Genel olarak, bu tür eşitsizliklerin karmaşıklığı çok farklı olabilir, ancak sonuçta bunlar yine de $((a)^(x)) \gt b$ basit yapısına indirgenir. Ve böyle bir yapıyı bir şekilde çözeceğiz (özellikle klinik durumlarda, akla hiçbir şey gelmediğinde logaritmalar bize yardımcı olacaktır). Bu nedenle şimdi size bu kadar basit yapıların nasıl çözüleceğini öğreteceğiz.

Basit üstel eşitsizlikleri çözme

Çok basit bir şeyi ele alalım. Örneğin, bu:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Açıkçası, sağdaki sayı ikinin kuvveti olarak yeniden yazılabilir: $4=((2)^(2))$. Böylece orijinal eşitsizlik çok uygun bir biçimde yeniden yazılabilir:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ve şimdi ellerim $x \gt 2$ cevabını alabilmek için kuvvetler tabanındaki ikileri "çizmek" için can atıyor. Ancak herhangi bir şeyin üzerini çizmeden önce ikinin kuvvetlerini hatırlayalım:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Gördüğümüz gibi, daha daha büyük sayıüssün içindeyse, çıktı numarası o kadar büyük olur. "Teşekkürler Kaptan!" - öğrencilerden biri haykıracak. Farklı mı? Ne yazık ki oluyor. Örneğin:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Burada da her şey mantıklı: ne daha fazla derece 0,5 sayısı kendisiyle ne kadar çok çarpılırsa (yani ikiye bölünürse) o kadar çok olur. Böylece ortaya çıkan sayı dizisi azalmakta ve birinci ve ikinci dizi arasındaki fark yalnızca tabanda kalmaktadır:

• Derecenin tabanı $a \gt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı da artacaktır;
• Ve tam tersi, eğer $0 \lt a \lt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı azalacaktır.

Bu gerçekleri özetleyerek, üstel eşitsizliklerin tüm çözümünün dayandığı en önemli ifadeyi elde ediyoruz:

$a \gt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \gt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir. $0 \lt a \lt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \lt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir.

Başka bir deyişle, eğer taban birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Ve eğer taban birden küçükse, o zaman da kaldırılabilir, ancak aynı zamanda eşitsizlik işaretini de değiştirmeniz gerekecektir.

Lütfen $a=1$ ve $a\le 0$ seçeneklerini dikkate almadığımızı unutmayın. Çünkü bu durumlarda belirsizlik ortaya çıkıyor. $((1)^(x)) \gt 3$ biçimindeki bir eşitsizliğin nasıl çözüleceğini söyleyelim. Herhangi bir güce biri yine bir verecek; asla üç veya daha fazlasını alamayacağız. Onlar. hiçbir çözüm yok.

İLE olumsuz nedenler hala daha ilginç. Örneğin şu eşitsizliği düşünün:

\[((\sol(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]

İlk bakışta her şey basit:

Sağ? Ama hayır! $x$ yerine birkaç çift sayı ve birkaç tane koymak yeterlidir tek sayılarÇözümün yanlış olduğundan emin olmak için. Bir göz at:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi işaretler değişiyor. Ama daha fazlası var kesirli kuvvetler ve diğer teneke. Örneğin $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (eksi iki üzeri yedinin kuvveti) hesaplamasını nasıl yaparsınız? Mümkün değil!

Bu nedenle, kesinlik sağlamak için tüm üstel eşitsizliklerde (ve bu arada denklemlerde de) $1\ne a \gt 0$ olduğunu varsayıyoruz. Ve sonra her şey çok basit bir şekilde çözüldü:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(hizala) \sağ.\]

Genel olarak ana kuralı bir kez daha hatırlayın: Üstel bir denklemin tabanı birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; ve eğer taban birden küçükse o da kaldırılabilir ancak eşitsizliğin işareti değişecektir.

Çözüm örnekleri

Şimdi birkaç basit üstel eşitsizliğe bakalım:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\bit(hizala)\]

Her durumda birincil görev aynıdır: eşitsizlikleri en basit biçimine indirgemek $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Şimdi her eşitsizlikle yapacağımız şey tam olarak budur ve aynı zamanda derecelerin ve üstel fonksiyonların özelliklerini tekrarlayacağız. O zaman hadi gidelim!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Burada ne yapabilirsin? Sol tarafta zaten var üstel ifade- hiçbir şeyi değiştirmeye gerek yok. Ama sağda bir çeşit saçmalık var: bir kesir ve hatta paydada bir kök!

Ancak kesirler ve kuvvetlerle çalışmanın kurallarını hatırlayalım:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\bit(hizala)\]

Bu ne anlama geliyor? Öncelikle kesri bir kuvvete dönüştürerek kesirden kolaylıkla kurtulabiliriz. negatif gösterge. İkincisi, paydanın bir kökü olduğundan, onu bir kuvvete dönüştürmek güzel olurdu - bu sefer kesirli bir üsle.

Bu eylemleri sırasıyla eşitsizliğin sağ tarafına uygulayalım ve ne olacağını görelim:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken bu derecelerin üslerinin toplandığını unutmayın. Ve genel olarak, üstel denklemler ve eşitsizliklerle çalışırken, kuvvetlerle çalışmanın en azından en basit kurallarını bilmek kesinlikle gereklidir:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x))))(((a)^(y))))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\bit(hizala)\]

Aslında, son kural hemen uyguladık. Bu nedenle orijinal eşitsizliğimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3))))\]

Şimdi tabandaki ikisinden kurtuluyoruz. 2 > 1 olduğundan eşitsizlik işareti aynı kalacaktır:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right].\\\end(align)\]

Çözüm bu! Asıl zorluk hiç de üstel fonksiyonda değil, orijinal ifadenin yetkin dönüşümündedir: onu dikkatlice ve hızlı bir şekilde en basit biçimine getirmeniz gerekir.

İkinci eşitsizliği düşünün:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Şöyle böyle. Burada ondalık kesirler bizi bekliyor. Birçok kez söylediğim gibi, üstleri olan herhangi bir ifadede ondalık sayılardan kurtulmalısınız - bu genellikle hızlı ve basit bir çözüm görmenin tek yoludur. Burada aşağıdakilerden kurtulacağız:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Burada yine en basit eşitsizlikle karşı karşıyayız ve hatta 1/10 tabanında bile, yani; birden az. Peki, üsleri kaldırıyoruz, aynı anda işareti "daha az" yerine "daha fazla" olarak değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

\[\begin(hizala) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Son yanıtı aldık: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lütfen dikkat: cevap kesinlikle bir kümedir ve hiçbir durumda $x \lt -1$ biçiminde bir yapı değildir. Çünkü resmi olarak böyle bir yapı kesinlikle bir küme değil, $x$ değişkenine göre bir eşitsizliktir. Evet, çok basit ama cevap bu değil!

Önemli Not. Bu eşitsizlik başka bir şekilde de çözülebilirdi; her iki parçayı da tabanı birden büyük olan bir kuvvete indirgeyerek. Bir göz at:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Böyle bir dönüşümden sonra yine üstel bir eşitsizlik elde edeceğiz, ancak tabanı 10 > 1 olacak. Bu, on'un üzerini kolayca çizebileceğimiz anlamına gelir; eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi cevap tamamen aynıydı. Aynı zamanda kendimizi tabelayı değiştirme ve genel olarak kuralları hatırlama ihtiyacından da kurtardık :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ancak bu sizi korkutmasın. Göstergelerde ne olursa olsun eşitsizliği çözme teknolojisi aynı kalıyor. Bu nedenle öncelikle 16 = 2 4 olduğunu belirtelim. Bu gerçeği dikkate alarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Yaşasın! Her zamanki ikinci dereceden eşitsizliği elde ettik! Taban iki olduğundan (birden büyük bir sayı) işaret hiçbir yerde değişmedi.

Sayı doğrusunda bir fonksiyonun sıfırları

$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ fonksiyonunun işaretlerini düzenliyoruz - açıkçası, grafiği dalları yukarı doğru olan bir parabol olacak, dolayısıyla "artılar" olacak ” yanlarda. Fonksiyonun bulunduğu bölgeyle ilgileniyoruz Sıfırdan daha az, yani $x\in \left(2;5 \right)$ asıl sorunun cevabıdır.

Son olarak başka bir eşitsizliği düşünün:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yine tabanında ondalık kesir bulunan üstel bir fonksiyon görüyoruz. Bu kesri ortak kesire dönüştürelim:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

İÇİNDE bu durumda Daha önceki açıklamayı kullandık - ilerideki çözümümüzü basitleştirmek için tabanı 5 > 1 sayısına indirdik. Aynısını sağ taraf için de yapalım:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Her iki dönüşümü de hesaba katarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \sağ))))\ge ((5)^(-2))\]

Her iki tarafın tabanları aynı olup birden fazladır. Sağda ve solda başka terim yok, dolayısıyla beşlerin üzerini çiziyoruz ve çok basit bir ifade elde ediyoruz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu noktada daha dikkatli olmanız gerekiyor. Birçok öğrenci basitçe çıkarmayı sever Kare kök eşitsizliğin her iki tarafının da değerini alın ve $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ gibi bir şey yazın. Tam karenin kökü şu şekilde olduğundan, hiçbir durumda bunu yapmamalısınız: modül ve hiçbir durumda orijinal değişken:

\[\sqrt(((x)^(2))))=\left| x\sağ|\]

Ancak modüllerle çalışmak pek hoş bir deneyim değil, değil mi? Yani çalışmayacağız. Bunun yerine, tüm terimleri sola kaydırırız ve olağan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözeriz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(hizala)$

Elde edilen noktaları tekrar sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz ve işaretlere bakıyoruz:

Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için grafikteki tüm noktalar gölgelidir. Bu nedenle cevap şu olacaktır: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bir aralık değil, bir segmenttir.

Genel olarak üstel eşitsizliklerde karmaşık bir şey olmadığını belirtmek isterim. Bugün gerçekleştirdiğimiz tüm dönüşümlerin anlamı basit bir algoritmaya indirgeniyor:

• Tüm dereceleri indirgeyeceğimiz temeli bulun;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçiminde bir eşitsizlik elde etmek için dönüşümleri dikkatlice gerçekleştirin. Elbette $x$ ve $n$ değişkenleri yerine çok daha fazlası olabilir karmaşık işlevler ama anlamı değişmeyecek;
• Derece tabanlarının üzerini çizin. Bu durumda $a \lt 1$ tabanı varsa eşitsizlik işareti değişebilir.

Aslında bu, tüm bu tür eşitsizlikleri çözmeye yönelik evrensel bir algoritmadır. Ve bu konuda size anlatacakları diğer her şey, dönüşümü basitleştirecek ve hızlandıracak belirli teknikler ve püf noktalarından ibarettir. Şimdi bu tekniklerden birinden bahsedeceğiz :)

Rasyonalizasyon yöntemi

Başka bir eşitsizlik kümesini ele alalım:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Peki onları bu kadar özel kılan ne? Hafifler. Yine de dur! π sayısı bir dereceye kadar yükseltilmiş mi? Ne saçma?

$2\sqrt(3)-3$ sayısının bir üssü nasıl yükseltilir? Veya $3-2\sqrt(2)$? Sorunlu yazarların işe başlamadan önce çok fazla Hawthorn içtiği belli. :)

Aslında bu görevlerin korkutucu bir yanı yok. Size hatırlatmama izin verin: üstel bir fonksiyon $((a)^(x))$ biçiminde bir ifadedir; burada $a$ tabanı, bir dışında herhangi bir pozitif sayıdır. π sayısı pozitiftir; bunu zaten biliyoruz. $2\sqrt(3)-3$ ve $3-2\sqrt(2)$ sayıları da pozitiftir; bunları sıfırla karşılaştırırsanız bunu görmek kolaydır.

Tüm bu “korkutucu” eşitsizliklerin yukarıda tartışılan basit eşitsizliklerden farklı bir şekilde çözülmediği ortaya çıktı. Ve aynı şekilde mi çözülüyorlar? Evet, bu kesinlikle doğru. Ancak onların örneğini kullanarak, bağımsız çalışma ve sınavlarda zamandan büyük ölçüde tasarruf sağlayan bir tekniği düşünmek istiyorum. Rasyonalizasyon yönteminden bahsedeceğiz. Yani dikkat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimindeki herhangi bir üstel eşitsizlik, $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) eşitsizliğine eşdeğerdir sağ) \gt 0 $.

Bütün yöntem bu :) Başka bir oyun olabileceğini düşündün mü? Hiçbir şey böyle değil! Ancak kelimenin tam anlamıyla tek satırda yazılan bu basit gerçek, işimizi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Bir göz at:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Yani artık üstel fonksiyon yok! Ve burcun değişip değişmediğini hatırlamanıza gerek yok. Ama ortaya çıkıyor yeni sorun: kahrolası \[\left(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] çarpanıyla ne yapmalı? Neyle ilgili olduğunu bilmiyoruz Kesin değer sayılar π. Ancak kaptan bariz bir şeyi ima ediyor gibi görünüyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\yaklaşık 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Genel olarak, π'nin tam değeri bizi gerçekten ilgilendirmiyor - bizim için yalnızca her durumda $\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 olduğunu anlamamız önemlidir. $, t.e. bu pozitif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki tarafını da buna bölebiliriz:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text() )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi belli bir anda eksi bire bölmek zorunda kaldık ve eşitsizliğin işareti değişti. Sonunda, Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden üç terimliyi genişlettim - köklerin $((x)_(1))=5$ ve $((x)_(2))=-1$'a eşit olduğu açıktır. . Sonra her şeye karar verilir klasik yöntem aralıklar:

Orijinal eşitsizlik kesin olduğundan tüm noktalar kaldırılmıştır. Negatif değerlere sahip bölgeyle ilgilendiğimiz için cevap $x\in \left(-1;5 \right)$ olur. Çözüm bu :)

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Burada her şey genel olarak basit çünkü sağda bir ünite var. Ve birin sıfırıncı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir sayı olduğunu hatırlıyoruz. Bu sayı olsa bile irrasyonel ifade, soldaki tabanda duruyor:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \sağ))^(0)); \\\bit(hizala)\]

Peki, rasyonelleştirelim:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Geriye kalan tek şey işaretleri çözmek. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktörü $x$ değişkenini içermez - bu yalnızca bir sabittir ve işaretini bulmamız gerekir. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]

İkinci faktörün sadece bir sabit değil aynı zamanda negatif bir sabit olduğu ortaya çıktı! Ve buna bölündüğünde, orijinal eşitsizliğin işareti tersine değişir:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Artık her şey tamamen aşikar hale geliyor. Kökler ikinci dereceden üç terimli, sağda duran: $((x)_(1))=0$ ve $((x)_(2))=2$. Bunları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ fonksiyonunun işaretlerine bakıyoruz:

Artı işaretiyle işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Bir sonraki örneğe geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağ))^(16-x))\]

Burada her şey tamamen açık: üsler aynı sayıdaki kuvvetleri içeriyor. Bu nedenle her şeyi kısaca yazacağım:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2))))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı ok \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi dönüşüm sürecinde şunu çarpmak zorunda kaldık: negatif bir sayı yani eşitsizliğin işareti değişti. En sonunda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmak için tekrar Vieta teoremini uyguladım. Sonuç olarak cevap şu şekilde olacaktır: $x\in \left(-8;4 \right)$ - herkes bunu bir sayı doğrusu çizerek, noktaları işaretleyerek ve işaretleri sayarak doğrulayabilir. Bu arada “kümemizden” son eşitsizliğe geçelim:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Gördüğünüz gibi yine tabanda irrasyonel sayı ve sağda yine bir tane var. Bu nedenle üstel eşitsizliğimizi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ sağ))^(0))\]

Rasyonalizasyon uyguluyoruz:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ancak $1-\sqrt(2) \lt 0$ olduğu oldukça açıktır, çünkü $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Bu nedenle, ikinci faktör yine eşitsizliğin her iki tarafının da bölünebileceği negatif bir sabittir:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\son(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Başka bir üsse taşı

Üstel eşitsizlikleri çözerken ayrı bir sorun, “doğru” temeli aramaktır. Bir görevde neyin temel alınacağı, bu temelin derecesine göre ne yapılacağı ne yazık ki her zaman ilk bakışta belli olmuyor.

Ancak endişelenmeyin: Burada sihir veya "gizli" bir teknoloji yok. Matematikte algoritmik hale getirilemeyen her beceri pratik yoluyla kolaylıkla geliştirilebilir. Ancak bunun için sorunları çözmeniz gerekecek farklı seviyeler zorluklar. Örneğin şöyle:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitiş(hizalama)\]

Zor? Korkutucu? Asfalta tavuğa vurmaktan daha kolay! Hadi deneyelim. İlk eşitsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Sanırım burada her şey açık:

Her şeyi iki temele indirerek orijinal eşitsizliği yeniden yazıyoruz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \left(2-1 \sağ) \lt 0\]

Evet evet doğru duydunuz: Az önce yukarıda anlatılan rasyonelleştirme yöntemini uyguladım. Şimdi dikkatli çalışmamız gerekiyor: başardık kesirli rasyonel eşitsizlik(bu, paydasında değişken olan bir şeydir), dolayısıyla bir şeyi sıfıra eşitlemeden önce her şeyi eşitlemeniz gerekir. ortak payda ve sabit faktörden kurtulun.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Şimdi kullanıyoruz standart yöntem aralıklar. Pay sıfırları: $x=\pm 4$. Payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra gider. Sayı doğrusunda işaretlenmesi gereken toplam üç nokta vardır (eşitsizlik işareti katı olduğundan tüm noktalar işaretlenmiştir). Şunu elde ederiz:

Tahmin edebileceğiniz gibi gölgeleme, soldaki ifadenin negatif değerler aldığı aralıkları işaretliyor. Bu nedenle, nihai cevap aynı anda iki aralığı içerecektir:

Başlangıçtaki eşitsizlik katı olduğundan aralıkların uçları cevaba dahil edilmemiştir. Bu cevabın daha fazla doğrulanmasına gerek yoktur. Bu bakımdan üstel eşitsizlikler logaritmik olanlardan çok daha basittir: ODZ yok, kısıtlama yok, vb.

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Burada da herhangi bir sorun yok, çünkü $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu zaten biliyoruz, dolayısıyla tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2 \sağ) \sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Lütfen dikkat: Üçüncü satırda önemsiz şeylerle zaman kaybetmemeye ve her şeyi hemen (−2)'ye bölmeye karar verdim. Minul ilk gruba girdi (artık her yerde artılar var) ve ikisi sabit bir faktörle azaltıldı. Bağımsız ve gerçek ekranlar hazırlarken yapmanız gereken tam olarak budur. testler— Her eylemi ve dönüşümü anlatmaya gerek yok.

Daha sonra tanıdık aralık yöntemi devreye giriyor. Pay sıfırları: ancak hiçbiri yok. Çünkü diskriminant negatif olacaktır. Buna karşılık, payda yalnızca $x=0$'da sıfıra sıfırlanır - aşağıdaki gibi son kez. $x=0$'ın sağında kesirin ne kadar süreceği açık pozitif değerler, ve solda negatif. Negatif değerlerle ilgilendiğimiz için son cevap şudur: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Üstel eşitsizliklerde ondalık kesirlerle ne yapmalısınız? Bu doğru: onlardan kurtulun, onları sıradan olanlara dönüştürün. Burada tercüme edeceğiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\sağ))^(x))). \\\bit(hizala)\]

Peki üstel fonksiyonların temellerinde ne elde ettik? Ve karşılıklı olarak ters iki sayı elde ettik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]

Böylece orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\bit(hizala)\]

Elbette aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır, ikinci satırda da böyle oldu. Ayrıca sağdaki birimi de 4/25 tabanındaki kuvvet olarak temsil ettik. Geriye kalan tek şey rasyonelleştirmek:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ olduğuna dikkat edin, yani. ikinci faktör negatif bir sabittir ve ona bölündüğünde eşitsizlik işareti değişecektir:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Son olarak mevcut “küme”den son eşitsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Prensip olarak buradaki çözüm fikri de açıktır: eşitsizliğin içerdiği tüm üstel fonksiyonların “3” tabanına indirgenmesi gerekir. Ancak bunun için kökler ve güçlerle biraz uğraşmanız gerekecek:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\bit(hizala)\]

Bu gerçekler dikkate alınarak orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left((((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\bit(hizala)\]

Hesaplamaların 2. ve 3. satırlarına dikkat edin: Eşitsizlikle ilgili herhangi bir şey yapmadan önce, onu dersin başında konuştuğumuz forma getirdiğinizden emin olun: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Solda veya sağda bazı solak çarpanlarınız, ek sabitleriniz vb. olduğu sürece, hiçbir rasyonelleştirme veya gerekçelerin "üstünün çizilmesi" gerçekleştirilemez! Bunun anlaşılmaması nedeniyle sayısız görev yanlış tamamlandı basit gerçek. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri analiz etmeye yeni başladığımız dönemde ben de öğrencilerimde bu sorunu sürekli gözlemliyorum.

Ama görevimize dönelim. Bu sefer rasyonelleştirmeden yapmaya çalışalım. Hatırlayalım: Derecenin tabanı birden büyüktür, bu nedenle üçlülerin üzeri çizilebilir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Bu kadar. Son cevap: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Kararlı bir ifadeyi ayırma ve bir değişkeni değiştirme

Sonuç olarak, hazırlıksız öğrenciler için zaten oldukça zor olan dört üstel eşitsizliğin daha çözülmesini öneriyorum. Onlarla başa çıkmak için derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamanız gerekir. Özellikle, ihraç Ortak etkenler parantezlerin dışında.

Ancak en önemli şey parantezlerden tam olarak neyin çıkarılabileceğini anlamayı öğrenmektir. Böyle bir ifadeye kararlı denir - yeni bir değişkenle gösterilebilir ve böylece üstel fonksiyondan kurtulabilirsiniz. Öyleyse görevlere bakalım:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

İlk satırdan başlayalım. Bu eşitsizliği ayrı ayrı yazalım:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ olduğuna dikkat edin, dolayısıyla Sağ Taraf yeniden yazılabilir:

Eşitsizlikte $((5)^(x+1))$ dışında başka üstel fonksiyon bulunmadığını unutmayın. Ve genel olarak, $x$ değişkeni başka hiçbir yerde görünmez, bu yüzden yeni bir değişken tanıtalım: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:

\[\begin(hizala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(hizala)\]

Orijinal değişkene ($t=((5)^(x+1))$) geri dönüyoruz ve aynı zamanda 1=5 0 olduğunu da hatırlıyoruz. Sahibiz:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Cevap: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci eşitsizliğe geçelim:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Burada her şey aynı. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ olduğunu unutmayın. Daha sonra Sol Taraf yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\bit(hizala)\]

Gerçek testler ve bağımsız çalışma için yaklaşık olarak bu şekilde bir çözüm hazırlamanız gerekir.

Peki, daha karmaşık bir şey deneyelim. Örneğin, burada eşitsizlik var:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Buradaki sorun ne? Öncelikle soldaki üstel fonksiyonların tabanları farklıdır: 5 ve 25. Ancak 25 = 5 2 olduğundan ilk terim dönüştürülebilir:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Gördüğünüz gibi önce her şeyi buraya getirdik aynı temel ve sonra ilk terimin kolayca ikinciye indirgenebileceğini fark ettim - sadece üssü genişletmeniz gerekiyor. Artık yeni bir değişkeni güvenle tanıtabilirsiniz: $((5)^(2x+2))=t$ ve tüm eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(hizala)\]

Ve yine hiçbir zorluk yok! Son cevap: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dersimizin son eşitsizliğine geçelim:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Dikkat etmeniz gereken ilk şey elbette ondalık birinci derecenin tabanında. Ondan kurtulmak ve aynı zamanda tüm üstel fonksiyonları aynı tabana - “2” sayısına getirmek gerekiyor:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Harika, ilk adımı attık; her şey aynı temele ulaştı. Şimdi seçmeniz gerekiyor kararlı ifade. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ olduğunu unutmayın. Yeni bir $((2)^(4x+6))=t$ değişkeni eklersek, orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\bit(hizala)\]

Doğal olarak şu soru ortaya çıkabilir: 256 = 2 8 olduğunu nasıl keşfettik? Ne yazık ki, burada sadece ikinin kuvvetlerini (ve aynı zamanda üç ve beşin kuvvetlerini) bilmeniz gerekiyor. Peki, ya da sonucu elde edene kadar 256'yı 2'ye bölün (256 çift sayı olduğu için bölebilirsiniz). Bunun gibi bir şeye benzeyecek:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Aynı şey üç için de geçerlidir (9, 27, 81 ve 243 sayıları onun dereceleridir) ve yedi için de geçerlidir (49 ve 343 sayılarını da hatırlamak güzel olurdu). Beşinin de bilmeniz gereken “güzel” dereceleri var:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\bit(hizala)\]

Elbette dilerseniz tüm bu sayıları birbiri ardına çarparak zihninize geri yükleyebilirsiniz. Bununla birlikte, birkaç üstel eşitsizliği çözmeniz gerektiğinde ve sonraki her biri bir öncekinden daha zor olduğunda, düşünmek isteyeceğiniz son şey, bazı sayıların kuvvetleridir. Ve bu anlamda bu problemler aralık yöntemiyle çözülen “klasik” eşitsizliklerden daha karmaşıktır.

Açık bu dersçeşitli üstel eşitsizliklere bakacağız ve en basit üstel eşitsizlikleri çözme tekniğine dayanarak bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz

1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri

Üstel fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayalım. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü bu özelliklere dayanmaktadır.

Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız değişken, argümandır; y bağımlı değişkendir, fonksiyon.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, artan ve azalan üsleri göstererek, tabanı sırasıyla birden büyük ve birden küçük ancak sıfırdan büyük olan üstel fonksiyonu göstermektedir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel Fonksiyonun Özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, artar, azalır.

Monotonik bir fonksiyon, değerlerinin her birini tek bir argüman değeri verildiğinde alır.

Ne zaman, argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sıfır dahil artı sonsuza kadar artar, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak artan bir fonksiyona sahibiz (). Aksine, argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sonsuzdan sıfıra (dahil) azalır, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak azalan bir fonksiyona sahibiz ().

2. En basit üstel eşitsizlikler, çözüm yöntemi, örnek

Yukarıdakilere dayanarak, basit üstel eşitsizlikleri çözmek için bir yöntem sunuyoruz:

Eşitsizlikleri çözme tekniği:

Derece tabanlarını eşitleyin;

Kaydederek veya değiştirerek metrikleri karşılaştırın zıt işaret eşitsizlikler.

Karmaşık üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle onları en basit üstel eşitsizliklere indirgemekten oluşur.

Derecenin tabanı birden büyüktür, bu da eşitsizlik işaretinin korunduğu anlamına gelir:

Derecenin özelliklerine göre sağ tarafı dönüştürelim:

Derecenin tabanı birden küçüktür, eşitsizlik işareti ters çevrilmelidir:

Çözümler için ikinci dereceden eşitsizlik uygun olana karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Vieta teoremini kullanarak kökleri buluyoruz:

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir.

Böylece eşitsizliğe bir çözümümüz var:

Sağ tarafın sıfır üssü olan bir kuvvet olarak temsil edilebileceğini tahmin etmek kolaydır:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti değişmez, şunu elde ederiz:

Bu tür eşitsizlikleri çözme tekniğini hatırlayalım.

Kesirli-rasyonel fonksiyonu düşünün:

Tanımın alanını buluyoruz:

Fonksiyonun köklerini bulma:

Fonksiyonun tek bir kökü vardır,

Sabit işaretli aralıkları seçiyoruz ve her aralıkta fonksiyonun işaretlerini belirliyoruz:

Pirinç. 2. İşaretin değişmezliği aralıkları

Böylece cevabı aldık.

Cevap:

3. Standart üstel eşitsizliklerin çözümü

Eşitsizlikleri dikkate alalım aynı göstergeler, ancak farklı nedenlerden dolayı.

Üstel fonksiyonun özelliklerinden biri, argümanın herhangi bir değeri için kesinlikle pozitif değerler almasıdır; bu, üstel bir fonksiyona bölünebileceği anlamına gelir. Verilen eşitsizliği sağ tarafına bölelim:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti korunur.

Çözümü örnekleyelim:

Şekil 6.3 fonksiyonların grafiklerini göstermektedir ve . Açıkçası, tartışma sırasında Sıfırın üstünde, fonksiyonun grafiği yukarıda yer almaktadır, bu fonksiyon daha büyüktür. Argüman değerleri negatif olduğunda fonksiyon küçülür, küçülür. Argüman eşit olduğunda işlevler eşittir, yani verilen nokta aynı zamanda verilen eşitsizliğin de çözümüdür.

Pirinç. 3. Örnek 4 örneği

Verilen eşitsizliği derecenin özelliklerine göre dönüştürelim:

İşte bazı benzer terimler:

Her iki parçayı da ikiye ayıralım:

Şimdi örnek 4'e benzer şekilde çözmeye devam ediyoruz, her iki parçayı da şuna bölüyoruz:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti kalır:

4. Üstel eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Örnek 6 - Eşitsizliği grafiksel olarak çözün:

Sol ve sağ taraftaki fonksiyonlara bakalım ve her biri için bir grafik oluşturalım.

Fonksiyon üsteldir ve tüm tanım alanı boyunca artar, yani her şey için gerçek değerler argüman.

Fonksiyon doğrusaldır ve tüm tanım alanı boyunca, yani argümanın tüm gerçek değerleri için azalır.

Bu fonksiyonlar kesişiyorsa, yani sistemin bir çözümü varsa, o zaman böyle bir çözüm benzersizdir ve kolayca tahmin edilebilir. Bunu yapmak için tamsayılar üzerinde yineleme yapıyoruz ()

Bu sistemin kökeninin şu olduğunu görmek kolaydır:

Böylece fonksiyonların grafikleri argümanı bire eşit olan bir noktada kesişir.

Artık bir cevap almamız gerekiyor. Verilen eşitsizliğin anlamı üssün bundan büyük veya eşit olması gerektiğidir doğrusal fonksiyon yani daha yüksek olmak veya onunla örtüşmek. Cevap açıktır: (Şekil 6.4)

Pirinç. 4. Örnek 6 örneği

Çeşitli standart üstel eşitsizliklerin çözümüne baktık. Daha sonra daha karmaşık üstel eşitsizlikleri ele almaya geçiyoruz.

Kaynakça

Mordkovich A. G. Cebir ve ilkeler matematiksel analiz. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Bustard. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu. ve diğerleri. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Aydınlanma.

Matematik. MD. Matematik-tekrar. com. Diffur. kemsu. ru.

Ev ödevi

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10-11. sınıflar (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Eşitsizliği çözün:

3. Eşitsizliği çözün.

ve x = b en basitidir üstel denklem. Onun içinde A sıfırdan büyük ve A bire eşit değildir.

Üstel denklemleri çözme

Üstel fonksiyonun özelliklerinden, değer aralığının pozitif değerlerle sınırlı olduğunu biliyoruz. gerçek sayılar. O halde b = 0 ise denklemin çözümü yoktur. Aynı durum b denkleminde de ortaya çıkar.

Şimdi b>0 olduğunu varsayalım. Üstel fonksiyonda taban ise A birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A Tamamlandı sonraki koşul 0

Buna dayanarak ve kök teoremini uygulayarak, a x = b denkleminin b>0 ve pozitif için tek bir kökü olduğunu buluruz. A Olumsuz bire eşit. Bunu bulmak için b'yi b = a c olarak temsil etmeniz gerekir.
O zaman açıktır ki İle a x = a c denkleminin bir çözümü olacaktır.

Hadi düşünelim sonraki örnek: denklem 5'i çözün (x 2 - 2*x - 1) = 25.

25'i 5 2 olarak düşünelim, şunu elde ederiz:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Veya eşdeğeri nedir:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi aşağıdakilerden herhangi biriyle çözeriz: bilinen yöntemler. x = 3 ve x = -1 olmak üzere iki kök elde ederiz.

Cevap: 3;-1.

4 x - 5*2 x + 4 = 0 denklemini çözelim. t=2 x yerine koyalım ve aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edelim:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Bu denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözüyoruz. Kökleri elde ederiz t1 = 1 t2 = 4

Şimdi 2 x = 1 ve 2 x = 4 denklemlerini çözüyoruz.

Cevap: 0;2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

En basit üstel eşitsizliklerin çözümü de artan ve azalan fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A aşağıdaki koşul karşılanıyor 0, bu durumda bu fonksiyon tüm reel sayılar kümesinde azalan olacaktır.