Genelleştirilmiş işlevler. Genelleştirilmiş fonksiyon kavramı, d fonksiyonu ve özellikleri

Matematiksel fizikteki belirli problemleri çözmenin zorluklarıyla bağlantılı olarak genelleştirilmiş fonksiyonlar tanıtıldı, kuantum mekaniği sürekli dağılmış miktarları (kütle, ısı kaynakları, mekanik dürtü vb.) tanımlayan sürekli fonksiyonlara ek olarak, elektromanyetizma vb. süreksiz fonksiyonlar konsantre miktarlar için (nokta kütle, nokta ısı kaynağı, konsantre darbe vb.).

Süreksiz fonksiyonlardan önemli rol aşağıda tanımlanan θ(x) birim fonksiyonu tarafından oynanır (Şekil 3.1):

Bu fonksiyon 1898 yılında İngiliz mühendis Heaviside tarafından elektrik devreleri teorisindeki bazı diferansiyel denklemleri operasyonel yöntemler kullanarak çözmek için tanıtıldı.

Pirinç. 3.1. Heaviside işlevi

1926'da İngiliz fizikçi Dirac, sistematik olarak uygulanan ilk genelleştirilmiş fonksiyon olan delta fonksiyonu adını verdiği δ sembolünü kuantum mekaniğine tanıttı. Fiziksel açıdan Dirac δ fonksiyonu, başlangıç ​​noktasına yerleştirilen birim yükün yoğunluğunu temsil eder. Bu yükün büyüklüğü m ise yoğunluğu

Delta fonksiyonu δ(x)'in şu özelliklere sahip olduğu sonucu çıkar:

(3.1)

Bu fonksiyonun özellikleri, temel ilişki dikkate alındığında iyi yorumlanır.

(3.2)

x = 0'da sürekli olan herhangi bir f(x) fonksiyonu için geçerlidir.

Kesin olarak konuşursak, δ(x)'in bir fonksiyon olmadığını unutmayın, çünkü (3.1 ve 3.2) ilişkilerini karşılayan hiçbir fonksiyon yoktur. Ancak son ilişkiyi işlevsel olarak yorumlarsak, yani. f(x) fonksiyonuna f(0) değerini verme süreci oldukça ilginç hale gelir.

Bir integral biçimindeki gösterim, bu fonksiyonelin özelliklerini (doğrusal kayma, değişkenlerin değişimi, vb.) tanımlamanın uygun bir biçimi olarak kullanılır.

Bu nedenle, δ(x) fonksiyonu, bu fonksiyonla ilgili tüm sonuçların, onun herhangi bir bireysel özelliğine değil, (3.2) ifadesine dayanması koşuluyla, integralin tüm biçimsel kurallarını karşılayan sıradan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Delta fonksiyonu bir limit olarak düşünülebilir

temel ilişki kullanılarak elde edilir

Bu sınırın bir sonucu kimliktir.

Gerçekten mi,

Böylece δ fonksiyonunun uygulanmasında belirli bir formalizm elde edildi ve bunun yardımıyla bazı süreksiz olaylar oldukça basit bir şekilde incelendi. Özellikle birim fonksiyonu θ(x) ile δ(x) fonksiyonu arasında bir bağlantı olduğu fark edildi.

klasik analiz çerçevesinde elbette bir anlam ifade etmeyen ancak genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi anlamında geçerlidir.

δ fonksiyonunun bazı özelliklerini ele alalım.

Eğer f(t)'nin t noktasında süreksizliği yoksa, o zaman

Tarak işlevi

Birbirine göre eşit mesafelerle kaydırılan sonsuz sayıda δ fonksiyonundan oluşan bir seri

tarak fonksiyonu denir. a = 1 için elimizde:

İlişkiden görülebileceği gibi tarak fonksiyonu Fourier dönüşümüne göre simetriktir:

.

Tarak fonksiyonu sinyal örnekleme proseslerinin tanımlanmasında önemli bir rol oynar. Örnekleme prosedürünü (örnek alma), f(x) sinyalini Sha(x) fonksiyonu tarafından belirtilen belirli bir periyodik saat darbesi dizisi ile çarpmak olarak düşünmek uygundur.

GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYON- birçok fiziksel ve matematiksel olgunun uygun bir şekilde tanımlanması ihtiyacından kaynaklanan, fonksiyon kavramının matematiksel bir genellemesi. Aşağıdaki durum O. f.'nin kullanımının nedenlerini açıklamaktadır. yararlı olabilir.

Fonksiyon verilsin. Limit , ve , yani at limit fonksiyonunun mevcut olmadığı açıktır.

Öte yandan, sabit sürekli bir fonksiyon için ve ayrıca şuna eşit var.

Var olduğunu varsaymak doğaldır ve sıradan işlevler kümesinden daha geniş bir kümeye aittir. Sıradan işlevlere ait alanın bu daha geniş alana yerleştirilmesi aşağıdaki doğal yolla gerçekleştirilebilir (aynı zamanda "daha geniş alanın" kendisini tanımlayarak).

Sınıfın sonlu fonksiyonlarının kümesi olsun. Her sürekli fonksiyon, formülle sürekli bir doğrusal fonksiyoneli belirler

(*)

(bu durumda farklı işlevler farklı işlevlere karşılık gelir). Formül (*), bir uzayın tüm sürekli doğrusal fonksiyonellerin uzayına monomorfik bir eşlemesini (Monomorfizm) tanımlar (süreklilik, genellikle bir veya başka bir norm tarafından verilen uzayın topolojisi anlamında anlaşılır).

Bu durumda, ele alınan örnekte belirtildiği gibi, aşağıdaki fenomen mümkündür: 'den itibaren fonksiyonlar dizisinin limiti mevcut değildir, ancak bu fonksiyonların görüntülerinin limiti, yani 'den itibaren doğrusal fonksiyoneller mevcuttur.

Dikkate alınan yapı O. f.'nin tanımını ve adını haklı çıkarmaktadır: O, f. kompakt olarak desteklenen fonksiyonların uzayında sürekli bir doğrusal fonksiyoneldir.

Birçok O. f. O. f toplamının işlemlerini düşünün. ve O. f'nin çarpımı. bir sayıya, bununla fonksiyoneller üzerindeki karşılık gelen işlemler anlamına gelir.

Ayrıca formülle belirlenen fonksiyonel fonksiyonların farklılaşmasını da dikkate alırlar. Burada - O. fonksiyonu, - türevi, keyfi türevlenebilir bir fonksiyonun değeri eşittir. Bu tanım, sıradan fonksiyonların farklılaşması tanımıyla tutarlıdır.

Özellikle, ünlü genelleştirilmiş Dirac delta fonksiyonu gibi bir doğrusal fonksiyonel nerededir? Türev delta fonksiyonu formülle tanımlanan fonksiyonele eşittir

Bir fonksiyonun türevi (Heaviside fonksiyonu) delta fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Optik fonksiyonların entegrasyon işlemleri, optik fonksiyonların evrişimi ve optik fonksiyonların Laplace dönüşümü de dikkate alınır. (bkz. Laplace dönüşümü) ve Fourier dönüşümü (bkz. Fourier dönüşümü).

İle ilgili. uzaydaki fiziksel niceliklerin dağılımını tanımlarken çok kullanışlıdır. Kütlelerin uzayda sürekli dağılımı (olağan) bir yoğunluk fonksiyonu ile veriliyorsa, o zaman “kütle dağılım yoğunluğu” gibi kavramlar ortaya çıkar. maddi nokta", "Basit ve çift katmanın elektrik potansiyeli", O. f'nin tanıtılmasını gerektirir.

Kısmi diferansiyel denklemler teorisinde aşağıdaki durum önemli bir rol oynar. Bize sıfır sınırı olan bir denklem verilsin ve başlangıç ​​koşulları. (Burada - doğrusal diferansiyel operatörü, gerekli fonksiyondur ve tanım kümesinde belirtilen fonksiyondur.) “En basit” fonksiyonun denklemini çözerseniz, o zaman problemin çözümünü aşağıdaki şekilde elde etmek zor değildir. genel görünüm: öyle olsun . Daha sonra

denklemi karşılar.

İle ilgili. ilk olarak İngiliz bilim adamı P. Dirac tarafından 20. yüzyılın 20'li yıllarında kuantum mekaniğinin problemleriyle bağlantılı olarak değerlendirildi. O. f teorisinin temelleri. yatırıldı Sovyet matematikçi 1936'da S. L. Sobolev. Daha sonra O. f. dünyadaki birçok matematikçi çalıştı (esas olarak problemlerle bağlantılı olarak) matematiksel fizik). İÇİNDE savaş sonrası yıllar Fransız matematikçi L. Schwartz, optik fonksiyonlar teorisinin sistematik bir sunumunu yaptı. yabancı edebiyat"dağıtım" adını verin.

O. f. çeşitli fiziksel, matematiksel ve uygulamalı araştırmalarda giderek daha fazla kullanılmaktadır.

klasik Fonksiyon kavramını genelleştiren matematiksel bir kavram. Böyle bir genelleme ihtiyacı birçok fiziksel ve matematik problemleri. Optik fonksiyon kavramı bir yandan maddi bir noktanın (uzaysal) yoğunluğu, basit veya çift katmanın yoğunluğu, anlık bir kaynağın yoğunluğu gibi idealize edilmiş kavramları matematiksel olarak doğru bir biçimde ifade etmeyi mümkün kılar. , vesaire. Öte yandan O. f. fiziksel olanın değerini ölçmenin gerçekte imkânsız olduğu gerçeğini yansıtmaktadır. değerleri bir noktadaki değerlerdir, ancak ortalama değerlerini yalnızca belirli bir noktanın oldukça küçük mahallelerinde ölçebilirsiniz. Böylece, O. f. çeşitli fiziksel büyüklüklerin dağılımlarını tanımlamak için uygun bir aparat görevi görür. Bu nedenle yabancı edebiyatİle ilgili. dağılımlar denir.

İle ilgili. ilk kez 20'li yılların sonlarında tanıtıldı. 20. yüzyıl P. Dirac, delta fonksiyonu (Bkz. Delta fonksiyonu) ve türevleri kavramını sistematik olarak kullandığı kuantum mekaniği üzerine yaptığı araştırmada. Temel bilgiler matematiksel teoriİle ilgili. hiperbolik için Cauchy problemini (bkz. Cauchy problemi) çözerken 1936'da S. L. Sobolev tarafından ortaya konmuştur. denklemler ve savaş sonrası yıllarda Fransız matematikçi L. Schwartz, O. f. teorisinin sistematik bir sunumunu yaptı. Daha sonra O. f. Birçok matematikçi tarafından, esas olarak matematiksel fiziğin ihtiyaçlarıyla bağlantılı olarak yoğun bir şekilde geliştirilmiştir. O. f. Çok sayıda uygulamaya sahiptir ve fizikçiler, matematikçiler ve mühendisler tarafından giderek daha fazla kullanılmaktadır.

Resmi olarak O.f. biri veya diğeri üzerinde doğrusal sürekli Fonksiyoneller olarak tanımlanır doğrusal uzay(Bkz. Doğrusal uzay) ana işlevler φ(x). Ana fonksiyon uzayı, örneğin, uygun Yakınsama (veya daha doğrusu topoloji) ile donatılmış, sonsuz şekilde türevlenebilen kompakt olarak desteklenen fonksiyonların bir koleksiyonudur. Bu durumda, olağan yerel olarak toplanabilir işlevler f(x) formun fonksiyonelleri (düzenli fonksiyonel fonksiyonlar) ile tanımlanır

(f, φ) = ∫f (x)φ(x) dx. (1)

Ücretsiz O. formu. F fonksiyonel olarak tanımlanan F' eşitlik tarafından verilen

(f", φ) = - (f, φ"). (2)

Böyle bir anlaşma ile her O. f. sonsuz türevlenebilir (içinde genel anlamda). (1)'den dolayı eşitlik (2), alışılagelmiş anlamda diferansiyellenebilir fonksiyonlar için parçalara göre entegrasyon formülünün genelleştirilmesinden başka bir şey değildir f(x) yani bu durumda her iki türev kavramı da örtüşmektedir.

Bir (doğrusal) formal fonksiyon kümesi üzerinde yakınsaklık. olarak girildi zayıf yakınsama fonksiyoneller. O. f'nin farklılaşma operasyonunun olduğu ortaya çıktı. süreklidir ve O'nun yakınsak dizisidir. f. dönem dönem farklılaşmayı kabul ediyor sonsuz sayı bir kere.

Biçimsel işlevler üzerindeki diğer işlemler de tanıtılmaktadır; örneğin, işlevlerin evrişimi, Fourier dönüşümü ve Laplace dönüşümü. Bu işlemlerin teorisi, klasik yetenekleri genişleterek optik fonksiyonlar kavramı çerçevesinde en basit ve en eksiksiz biçimi alır. matematiksel analiz. Bu nedenle O. f. Göz önünde bulundurulan görev yelpazesini önemli ölçüde genişletir ve aynı zamanda temel işlemleri otomatikleştirerek önemli basitleştirmelere yol açar.

Örnekler. 1) Dirac δ-fonksiyonu:

(δ, φ) = φ(0),

bir noktada yoğunlaşan kütle (yük) 1 yoğunluğunu tanımlar X= 0, tek darbe.

2) θ(x) - Heaviside fonksiyonu: θ(x) = 0, x ≤ 0, θ(x) = 1, x > 0, θ" = δ;

türevi birim momentuma eşittir.

3) -δ" - noktada dipol 1 momentinin yoğunluğu X= 0, eksen boyunca yönlendirilmiş X.

4) μδ s - S yüzeyinde yüzey yoğunluğu μ olan basit bir katmanın yoğunluğu:

6) Evrişim

- Yoğunluklu Newton potansiyeli F, Nerede F- herhangi bir O.f. [örneğin, 1), 3), 4) ve 5)'ten].

7) Genel çözüm dizi titreşim denklemleri

u(x, t) = f(x + en) + g(x - en),

Nerede F Ve G- herhangi bir O.f.

Yandı: Dirac P.A.M., Kuantum mekaniğinin temelleri, çev. English'ten, M.-L., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probleme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, " Matematiksel koleksiyon", 1936, cilt 1 (43), No. 1 (Rusça özet); Schwartz L., Theorie des dağılımları, t. 1-2, S., 1950-51; Gelfand I.M., Shilov G.E., Genelleştirilmiş işlevler ve bunlara ilişkin eylemler, 2. baskı, M., 1959; Vladimirov V.S., Matematiksel Fizik Denklemleri, 2. baskı, M., 1971.

• - DÜRTÜLER - fiziksel....

  Fiziksel ansiklopedi

• - KUVVETLER - sistemin genelleştirilmiş koordinatları qi'nin temel artışlarıyla ürünleri ifadeyi veren Qi miktarları temel çalışma Sisteme etki eden kuvvetler. Böylece, temel ifade ...

  Fiziksel ansiklopedi

• - fiziksel pi değerleri aşağıdaki formüllerle belirlenir: pi=dT/dqi veya pi=dL/dqi, burada T kinetiktir. enerji, L belirli bir mekanik sistemin Lagrange fonksiyonudur...

  Fiziksel ansiklopedi

• - sayısı mekanik serbestlik derecelerinin sayısına eşit olan herhangi bir boyuttaki bağımsız parametreler qi. sistemin konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen sistemler...

  Fiziksel ansiklopedi

• - denge veya mekanik hareket incelenirken sıradan kuvvetlerin rolünü oynayan miktarlar. sistem, konumu genelleştirilmiş koordinatlarla belirlenir...

  Fiziksel ansiklopedi

• - neredeyse periyodik olanların çeşitli genellemeleri olan fonksiyon sınıfları. işlevler. Her biri Bohr'un tanımlarındaki yönlerden birini neredeyse genelleştiriyor periyodik fonksiyonlar ve Bochner neredeyse periyodik fonksiyonlar...

  Matematik Ansiklopedisi

• - olağanüstü kohomoloji teorileri, - uzay çiftleri kategorisinden dereceli Abel grupları kategorisine kadar özel işlevler sınıfı. Çünkü bir çift var - Ppar topolojik kategorisinden bir işlevci...

  Matematik Ansiklopedisi

• - herhangi bir boyuttaki bağımsız parametreler qi; bunların sayısı, mekanik serbestlik derecelerinin sayısına eşittir. Sistemin uzaydaki konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen sistemler...

  Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

• - mekanikte - fizikte. mekanik hareketi karakterize eden pi değerleri. sistem ve ilgili kinetik...
• - mekanikte - mekaniğin konumunu benzersiz şekilde belirleyen, birbirinden bağımsız qi, q2,..., qs parametreleri. uzaydaki sistemler ve bunların sayısı sistemin serbestlik derecesi sayısına eşittir...

  Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

• - mekanikte - genelleştirilmiş koordinatların dqi temel çözümleri ile ürünü qi mekanik olan Qi miktarları. sistemler, bir lifli malzeme yığınından oluştuğu bA'nın temel çalışmasının bir ifadesini verir...

  Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

• - fiziksel büyüklükler pi, aşağıdaki formüllerle belirlenir: pi = veya pi =...
• - sayısı mekanik serbestlik derecelerinin sayısına eşit olan herhangi bir boyuttaki bağımsız parametreler qi. sistemin konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen sistemler...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - denge veya hareket çalışırken sıradan kuvvetlerin rolünü oynayan miktarlar mekanik sistem konumu genelleştirilmiş koordinatlarla belirlenir...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - sayısı mekanik sistemin serbestlik derecesine eşit olan ve sistemin uzaydaki konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen, herhangi bir boyuttaki karşılıklı bağımsız parametreler qi...

  Büyük ansiklopedik sözlük

• - Dilin toplumdaki etno-dilsel süreçlerle bağlantılı işlevleri. En iyi bilinen sınıflandırmalar L.B. Nikolsky ve R. Garvin. Nikolsky'ye göre E.f.ya'ya. şunları içerir: 1) entegre etme; 2) konsolidasyon...

  Sözlük dilsel terimler TV. Tay

Kitaplarda "Genelleştirilmiş işlevler"

Genelleştirilmiş dürtüler

Genelleştirilmiş koordinatlar

Genelleştirilmiş kuvvetler

Genel işlevler

Genelleştirilmiş Algoritmalar

Genelleştirilmiş algoritmalar Başlık dosyasında Kapsayıcılar için temel algoritmaları uygulayan global şablon işlevleri bildirildi. Bu işlevlerin çoğu STL tarzı yineleyicilerle çalışır. daha fazlasını içerir tam set

3.9. Genelleştirilmiş Düzenli İfadeler

6.6.3. Genelleştirilmiş Algoritmalar

6.6.3. Genelleştirilmiş Algoritmalar Önceki bölümlerde anlatılan işlemler, doğrudan vektör ve deque kapları tarafından desteklenen bir küme oluşturur. Bunun çok zayıf bir arayüz olduğunu ve açıkça eksik olduğunu kabul edin. temel işlemler find(), sort(), merge(), vb. Planlanmıştı

12. Genelleştirilmiş algoritmalar

12. Genelleştirilmiş Algoritmalar Array sınıfı uygulamamızda (bkz. Bölüm 2), min(), max() ve sort() işlemlerini desteklemek için üye işlevlerini dahil ettik. Ancak standart vektör sınıfında görünüşte temel olan bu işlemler yoktur. Minimum veya maksimumu bulmak için

12.5. Genelleştirilmiş Algoritmalar

12.5. Genelleştirilmiş Algoritmalar Herhangi bir genelleştirilmiş algoritmanın ilk iki argümanı (elbette kuralı kanıtlayan istisnalar vardır), genellikle ilk ve son olarak adlandırılan ve kapsayıcı veya yerleşik dizi içindeki öğelerin aralığını sınırlayan bir çift yineleyicidir.

21. Alfabetik sıraya göre genelleştirilmiş algoritmalar

21. Genelleştirilmiş algoritmalar alfabetik sıra Bu ekte tüm algoritmalara bakacağız. İhtiyacınız olanı bulmanızı kolaylaştırmak için bunları (birkaç istisna dışında) alfabetik sıraya göre düzenlemeye karar verdik. Her algoritma aşağıdaki biçimde sunulur: ilk olarak şunları açıklar:

7.3.5 Genel Sınıflar

7.3.5 Genel Sınıflar Açıkçası, diğer türlerin (classdef*, int, char*, vb.) listelerini nlist sınıfının tanımlandığı şekilde tanımlamak mümkün olacaktır: basit sonuç liste sınıfından. Bu tür yeni türleri tanımlama süreci sıkıcıdır (ve dolayısıyla hatalarla doludur), ancak makroların yardımıyla bu yapılabilir.

Genel türler