Bir bulanık küme hangi fonksiyonla karakterize edilir? Bulanık küme örnekleri

X evrensel (temel) bir küme, x X'in bir elemanı ve R bir özellik olsun. Elemanları R özelliğini karşılayan bir X evrensel kümesinin sıradan (kesin) bir alt kümesi A, sıralı çiftler kümesi olarak tanımlanır.
A = μ A x / x, burada μ A x, x, R özelliğini karşılıyorsa 1, aksi halde 0 değerini alan karakteristik bir fonksiyondur.

Bulanık altküme farklıdır düzenli konular X'in x elemanları için R özelliğine ilişkin net bir evet-hayır cevabı yoktur. Bu bağlamda, bir X evrensel kümesinin bulanık bir alt kümesi A, sıralı çiftlerin bir kümesi olarak tanımlanır A = μ A x / x, burada μ A x – karakteristik üyelik fonksiyonu(ya da sadece üyelik fonksiyonu), tamamen sıralı bir M = 0 kümesindeki değerleri almak; 1. Üyelik fonksiyonu, bir x öğesinin bir A alt kümesine üyelik derecesini (veya düzeyini) gösterir. M kümesine üyelik kümesi denir. M = 0 ise; 1 ise, bulanık A alt kümesi sıradan veya kesin küme olarak düşünülebilir. Üyelik derecesi μ A x, bir x ∈ X elemanının kavrama ne kadar karşılık geldiğinin öznel bir ölçüsüdür ve anlamı A bulanık kümesi tarafından resmileştirilir.

Taşıyıcı A bulanık kümesi, μ A x > 0 özelliğine sahip X evrensel kümesinin açık bir S A alt kümesidir; S Bir = x ∣ x ∈ X ∧ μ Bir x > 0 . Başka bir deyişle, bir A bulanık kümesinin taşıyıcısı, elemanları için üyelik fonksiyonu μ A x > 0 olan X evrensel kümesinin bir S A alt kümesidir. Sıfırın üstünde. Bazen bir bulanık kümenin desteği A desteği ile gösterilir.

Bir A bulanık kümesinin taşıyıcısı ayrık bir SA alt kümesi ise, o zaman n elemandan oluşan bir X evrensel kümesinin A bulanık alt kümesi bir birleşim olarak temsil edilebilir. sonlu sayı tek noktalı kümeler μ A x / x sembolünü kullanarak ∑ : A = ∑ ben = 1 n μ A x ben / x ben . Bu, xi elemanlarının indekslerine göre artan sırada sıralandığı anlamına gelir; x 1< x 2 < x 3 < … < x n .

Bir bulanık küme A'nın taşıyıcısı sürekli bir S A alt kümesi ise, o zaman X evrensel kümesinin bulanık alt kümesi A, ∫ sembolünün yukarıda ayrık bulanık kümeler ∑ için tanıtılan birleşim sembolünün sürekli bir analoğu olduğu dikkate alındığında, şu şekilde temsil edilebilir: sonsuz sayıda tek noktalı kümelerin birleşimi μ A x / x:

bir = ∫ X μ Bir x / x .

Örnek. Evrensel X kümesinin, 1 mm'lik ayrı bir adımla 10 mm'den 40 mm'ye kadar ürün kalınlığının olası değerleri kümesine karşılık gelmesine izin verin. "Ürünün küçük kalınlığı" bulanık kavramına karşılık gelen bulanık A kümesi aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

bir = 1/10; 0,9/11; 0,8/12; 0,7/13; 0,5/14; 0,3/15; 0,1/16; 0/17; ... ; 0 / 40

A = 1/10 + 0,9/11 + 0,8/12 + 0,7/13 + 0,5/14 + 0,3/15 + 0,1/16 + 0/17 + … + 0/40,

Toplama işaretinin işlem yapılmadığını gösterdiği yer aritmetik toplama ancak öğeleri tek bir kümede birleştiriyor. A bulanık kümesinin taşıyıcısı sonlu bir alt küme (ayrık taşıyıcı) olacaktır:

SA = 10; onbir;

12; 13; 14;

15; 16. Eğer X evrensel kümesi bir küme ise

gerçek sayılar

Örnek. 10'dan 40'a kadar, yani ürünün kalınlığı bu sınırlar dahilinde mümkün olan tüm değerleri alabilir, bu durumda bulanık A kümesinin taşıyıcısı SA = 10 segmentidir; 16.

Ayrık bir taşıyıcıya sahip bir bulanık küme, bir düzlem üzerindeki bireysel noktalar olarak temsil edilebilir; sürekli bir taşıyıcıya sahip bir bulanık küme, ayrık ve bir eğriye karşılık gelen bir eğri olarak temsil edilebilir. Grafik gösterimi bulanık set küçük

A bulanık kümesine denir son, eğer S A desteği sonlu bir kesin küme ise. Bu durumda, sıradan kümelere benzetme yaparak, böyle bir bulanık kümenin sonlu bir A = S A kartına sahip olduğunu söyleyebiliriz. A bulanık kümesine denir sonsuz, eğer S A desteği sonlu bir kesin küme değilse. burada sayılabilir sayılabilir bir ortama sahip bir bulanık kümeye bulanık küme adı verilecektir. olağan anlamda sayma gücü kesin küme teorisi açısından, yani eğer S A içeriyorsa sonsuz sayı ancak bunlar 1,2,3 doğal sayılarıyla numaralandırılabilir. . . ve numaralandırma sırasında son öğeye ulaşmak temelde imkansızdır. Sayılamayan sayılamayan bir taşıyıcıya sahip bir bulanık kümeye bulanık küme adı verilecektir. sürekliliğin sayılamayan gücü, yani Eğer S A, 1,2,3 doğal sayılarıyla numaralandırılamayan sonsuz sayıda öğe içeriyorsa. . .

Örnek. Bulanık konsept"çok az sayıda ayrıntı", A = 1/0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + ... ile sonlu bir bulanık küme olarak temsil edilebilir. kart gücü (A) = 6 ve taşıyıcı SA = 0; 1; 2; 3; 4; 5 sonlu bir net kümedir. Bulanık “çok çok sayıda ayrıntılar" A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N olarak gösterilebilir – sonsuz sayılabilir destekli bulanık küme S A ≡ N (küme

Örnek. doğal sayılar

), olağan anlamda sayılabilir güce sahiptir. “Çok sıcak” bulanık kavramına karşılık gelen sayılamayan bir bulanık küme A, evrensel sıcaklık değerleri kümesinde (Kelvin cinsinden) sıcaklık x ∈ [ 0 ; ∞) ve sayılamayan bir süreklilik gücüne sahip olan S A ≡ R + (negatif olmayan gerçek sayılar kümesi) desteğiyle μ A = 1 − e − x üyelik fonksiyonu. sup x ∈ X μ A x miktarına denir

yükseklik bulanık küme. Bulanık küme A İyi, eğer yüksekliği 1 ise, yani.< 1 üst sınır

üyelik fonksiyonları sup x ∈ X μ A x = 1 . destek x ∈ X μ A x için normalin altında. Bulanık kümeye denir

Boş olmayan bir normal altı küme, üyelik fonksiyonunun tüm değerlerinin maksimum değeri μ A x sup x ∈ X μ A x'e bölünmesiyle her zaman normalleştirilebilir.

üyelik fonksiyonları sup x ∈ X μ A x = 1 . destek x ∈ X μ A x için tek modlu, yalnızca bir x noktası için μ A x = 1 ise ( moda) evrensel X kümesinin.

üyelik fonksiyonları sup x ∈ X μ A x = 1 . destek x ∈ X μ A x için nokta, eğer μ A x > 0 evrensel X kümesinin yalnızca bir x noktası için.

Birçok α seviye Bir X evrensel kümesinde tanımlanan A bulanık kümesine X evrensel kümesinin açık bir alt kümesi A α denir ve şu şekilde tanımlanır:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, burada α ∈ 0; 1.

Örnek. bir = 0,8/1 + 0,6/2 + 0,2/3 + 1/4, bir 0,5 = 1; 2; Şekil 4'te A 0,5 açık bir kümedir ve üyelik fonksiyonunun değeri μ A x ≥ α koşulunu karşılayan bulanık A kümesini oluşturan μ A x / x sıralı çiftlerinin x elemanlarını içerir.

α düzeyindeki setler için aşağıdakiler geçerlidir: sonraki mülk: eğer α 1 ≥ α 2 ise, o zaman A α 1 alt kümesinin gücü A α 2 alt kümesinin gücünden büyük değildir.

μ A x = 0,5 olan x ∈ X elemanlarına denir geçiş noktaları bulanık küme A.

Çekirdek evrensel bir X kümesi üzerinde tanımlanan bir bulanık A kümesine, elemanları çekirdek A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 koşulunu sağlayan açık küme A çekirdeği denir.

Sınır Bir evrensel X kümesi üzerinde tanımlanan bir A bulanık kümesine, elemanları ön A = x ∈ X ∣ 0 koşulunu sağlayan açık A kümesi denir.< μ A x < 1 .

Örnek. X = 0 olsun; 1;

2; ... ; 10, M = 0; 1. Bulanık küme birkaç, evrensel doğal sayılar kümesi üzerinde şu şekilde tanımlanabilir: birkaç = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8; özellikleri: yükseklik = 1, ortam = 3; 4; 5; 6; 7; 8, geçiş noktaları = 3; 8, çekirdek = 5; 6, sınır = 3; 4;< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

7; 8.

Geleneğe göre, net kümeler genellikle sınırları keskin bir şekilde belirlenmiş dairelerle gösterilir. Bulanık kümeler, bireysel noktalardan oluşan dairelerdir: dairenin merkezinde birçok nokta vardır ve çevreye yaklaştıkça yoğunlukları sıfıra düşer; dairenin kenarları gölgelenmiş gibi görünüyor. Bu tür "bulanık setler" atış poligonunda, hedeflerin asıldığı duvarda görülebilir. Kurşun işaretleri formu rastgele matematiği bilinen kümelerdir. Uzun süredir geliştirilen rastgele kümeler aparatının bulanık kümelerle çalışmaya uygun olduğu ortaya çıktı...

Bulanık küme kavramı - bir deneme matematiksel formalleştirme Matematiksel modellerin oluşturulmasında kullanılması amacıyla bulanık bilgi karmaşık sistemler. Bu kavram, belirli bir kümeyi oluşturan elemanların bir arada olduğu fikrine dayanmaktadır. ortak mülkiyet, bu özelliğe değişen derecelerde sahip olabilir ve dolayısıyla belirli bir kümeye değişen derecelerde ait olabilir.

En basit yollardan biri matematiksel açıklama bulanık küme - bir öğenin bir kümeye üyelik derecesinin, örneğin aralıktan bir sayıya göre karakterizasyonu. İzin vermek X– belirli bir dizi öğe. Aşağıda bu kümenin alt kümelerini ele alacağız.

X'te bulanık A kümesi formun çiftlerinin koleksiyonuna denir ( X, M A(x)), Nerede xÎX, ve M A- işlev X® denir üyelik fonksiyonu bulanık küme A. m değeri A(x) Bu işlev belirli bir amaç için X Bu elemanın bulanık kümedeki üyelik derecesi denir. A.

Bu tanımdan görülebileceği gibi, bir bulanık küme tamamen üyelik fonksiyonuyla tanımlanır, dolayısıyla bu fonksiyonu sıklıkla bir bulanık kümenin gösterimi olarak kullanacağız.

Sıradan kümeler, bulanık kümeler sınıfının bir alt sınıfını oluşturur. Aslında sıradan bir kümenin üyelik fonksiyonu BÌ X karakteristik fonksiyonu: m B(x)=1 ise XÎ B ve M B(x)=0 ise XÏ B. Daha sonra bulanık kümenin tanımına uygun olarak sıradan küme İÇİNDE aynı zamanda formun bir çiftleri kümesi olarak da tanımlanabilir ( X, M B(x)). Bu nedenle bulanık bir küme daha Geniş kavram fonksiyonun olması anlamında sıradan bir kümeden bulanık ait Bir küme, genel olarak konuşursak, isteğe bağlı bir fonksiyon veya hatta isteğe bağlı bir eşleme olabilir.

Konuşuyoruz bulanık küme. Ve birçok Ne? Eğer tutarlıysak, bir bulanık kümenin bir elemanının yeni bir bulanık küme, vb. gibi yeni bir bulanık kümeye dönüştüğünü belirtmemiz gerekir. Hadi dönelim klasik örnek- İle tahıl yığını. Bu bulanık kümenin bir elemanı milyon tane, Örneğin. Ama bir milyon tane hiç net değil eleman, ama yeni bulanık küme. Sonuçta, tahılları sayarken (manuel veya otomatik olarak), bir hata yapmak şaşırtıcı değildir; örneğin 999.997 tanesini milyon olarak kabul etmek. Burada 999,997 elemanının “milyon” kümesi için 0,999997'ye eşit bir üyelik fonksiyonu değerine sahip olduğunu söyleyebiliriz. Ek olarak, tanenin kendisi yine bir element değil, yeni bir bulanık kümedir: tam teşekküllü bir tane vardır ve iki kaynaşmış tane vardır, az gelişmiş bir tane veya sadece bir kabuk. Tahılları sayarken kişinin bir kısmını reddetmesi, iki tanesini bir olarak, bir tanesini iki tanesi olarak alması gerekir. Bulanık bir kümeyi klasik dillerle dijital bir bilgisayara yerleştirmek o kadar kolay değildir: bir dizinin (vektör) elemanları yeni dizi dizileri (iç içe vektörler ve matrisler, eğer konuşursak) olmalıdır. Matematik). Klasik kesin küme matematiği (sayı teorisi, aritmetik, vb.) mantıklı adam etrafındaki kaygan ve belirsiz dünyada kendini sabitler (belirler). Ve kanca, bildiğiniz gibi, oldukça kaba bir araçtır ve çoğu zaman tutunduğu şeyi bozar. Bulanık kümeleri temsil eden terimler – “çok”, “biraz”, “biraz” vb. vb. - onu bir bilgisayara "doldurmak" da zordur çünkü onlar bağlama bağlı. Bir bardak tohumu olan birine "Bana biraz tohum ver" demek başka, tohumlarla dolu bir kamyonun direksiyonunda oturan birine söylemek başka şey.

Bulanık alt küme A setleri Xüyelik fonksiyonu m ile karakterize edilir A:X→, her bir öğeyi atar XÎ X sayı m A(x) elemanın üyelik derecesini karakterize eden aralıktan X alt küme A. Ayrıca 0 ve 1 sırasıyla en düşük ve en düşük değerleri temsil etmektedir. en yüksek derece Bir elementin belirli bir altkümeye ait olması.

Temel tanımları verelim.

· Değer desteği M A(X) isminde “Çok sıcak” bulanık kavramına karşılık gelen sayılamayan bir bulanık küme A, evrensel sıcaklık değerleri kümesinde (Kelvin cinsinden) sıcaklık x ∈ [ 0 ; ∞) ve sayılamayan bir süreklilik gücüne sahip olan S A ≡ R + (negatif olmayan gerçek sayılar kümesi) desteğiyle μ A = 1 − e − x üyelik fonksiyonu. bulanık küme A. Bulanık küme A bulanık küme. yüksekliği ise 1 , yani üyelik fonksiyonunun üst sınırı 1. Akşam yemeği ne zaman MA(X)<1 bulanık küme denir üst sınır

Bulanık kümeye denir normalin altında.üyelik fonksiyonu tüm kümede sıfıra eşitse X, yani m 0 (x)= 0 " XÎ X.

Bulanık küme boş , Eğer " XÎ e m bir ( X)=0 . Boş olmayan bir normal altı küme formülle normalleştirilebilir

(Şekil 1).

Şekil 1. Bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonuyla normalleştirilmesi. .

Taşıyıcı bulanık küme A(tanım destek A) üyelik fonksiyonu m ile A(x) formun kümesi denir destek={x|xÎ X, M A(x)> 0). İçin pratik uygulamalar Bulanık kümelerin taşıyıcıları her zaman sınırlıdır. Dolayısıyla, bir sistem için kabul edilebilir modların bulanık kümesinin taşıyıcısı, kabul edilebilirlik derecesinin sıfıra eşit olmadığı açık bir alt küme (aralık) olabilir (Şekil 2).

Pirinç. 3. Çekirdek, taşıyıcı ve α- bulanık kümenin bölümü

Anlam α isminde α seviye. Taşıyıcı (çekirdek), sıfır (birim) üzerindeki bulanık kümenin bir bölümü olarak düşünülebilir. α -seviye.

Pirinç. 3 tanımları göstermektedir taşıyıcı, çekirdek,α - bölümler veα - seviye bulanık küme.

Dipnot: Ders modelleme yöntemlerini sunuyor ekonomik görevler Mathcad ortamında bulanık kümelerin kullanılması. Bulanık kümeler teorisinin temel kavramları tanıtılmaktadır. Örnekler kümelerdeki işlemleri ve özelliklerin hesaplanmasını gösterir. Karar verme sürecinde bulanık küme yaklaşımının kullanıldığı özgün problemler ele alınmıştır. Modelleme tekniği Mathcad programındaki matrisler kullanılarak uygulanmaktadır.

Dersin amacı. Bulanık kümeleri tanıtın. Bulanık küme modeli oluşturmak için problem kurmayı öğrenin. Mathcad'de bulanık kümelerin nasıl oluşturulacağını ve bunlar üzerinde işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini gösterin. Problem çözme sürecinde bulanık küme modelini çözmek için yöntemler sunar.

6.1 Bulanık küme modelleme

Geniş bir sınıftaki gerçek nesneleri modellerken, eksik bulanık bilgi koşulları altında karar vermek gerekli hale gelir. Modern gelecek vaat eden modelleme yönü çeşitli türler belirsizlik bulanık kümeler teorisidir. Bulanık küme teorisi çerçevesinde insan muhakemesini biçimlendirmek ve modellemek için “az ya da çok” gibi kavramlar geliştirilmiştir. yüksek seviye enflasyon", "piyasadaki istikrarlı konum", "daha değerli" vb.

Bulanık kümeler kavramı ilk olarak Amerikalı bilim adamı L.A. Zade (1965) tarafından önerilmiştir. Onun fikirleri bulanık mantığın gelişmesine katkıda bulunmuştur. İki ikili duruma (1/0, Evet/Hayır, Doğru/Yanlış) sahip standart mantığın aksine, bulanık mantık, standart tahminler arasındaki ara değerleri belirlemenize olanak tanır. Bu tür değerlendirmelerin örnekleri şunlardır: "hayırdan çok evet", "muhtemelen evet", "biraz sağa", "keskin bir şekilde sola", standart olanların aksine: "sağa" veya "sağa" sola”, “evet”. Bulanık kümeler teorisinde bulanık sayılar, bulanık alt kümeler olarak tanıtılır. özel tip"değişkenin değeri yaklaşık olarak a'ya eşittir" gibi ifadelere karşılık gelir. Örnek olarak, üç noktanın ayırt edildiği üçgen bulanık sayıyı düşünün: mümkün olan minimum, en çok beklenen ve maksimum. olası anlam faktör a. Üçgensel sayılar, pratikte en yaygın kullanılan bulanık sayı türüdür ve çoğu zaman tahmin edici parametre değerleri olarak kullanılırlar. Örneğin enflasyonun beklenen değeri gelecek yıl. En olası değer %10, minimum olası değer %5 ve maksimum olası değer %20 olsun, o zaman tüm bu değerler bir bulanık alt küme veya bulanık sayı biçimine indirgenebilir A: A: ( 5, 10, 20)

Bulanık sayıların kullanılmaya başlanmasıyla birlikte, belirli bir tasarım aralığında değişen parametrelerin gelecekteki değerlerinin tahmin edilmesi mümkün hale gelmiştir. Bulanık sayılar üzerinde cebirsel işlemlere indirgenmiş bir dizi işlem tanıtılmıştır. sıradan sayılar belirli bir güven aralığı (üyelik düzeyi) belirlerken. Bulanık sayıların kullanılması, tahmin edilen parametrelerin değerleri için hesaplanmış bir koridor ayarlamanıza olanak tanır. Daha sonra beklenen etki, uzman tarafından kendi hesaplanan yayılımına (bulanıklık derecesi) sahip bir bulanık sayı olarak da değerlendirilir.

Bir insan modeli olarak bulanık mantık Düşünme süreci, yerleşik sistemler yapay zeka ve otomatik destek araçlarına karar verme(özellikle kontrol sistemlerinde teknolojik süreçler).

6.2 Bulanık küme teorisinin temel kavramları

Küme matematikte tanımsız bir kavramdır. Georg Cantor (1845 – 1918) – Çalışmaları temel oluşturan Alman matematikçi modern teori kümeler, şu kavramı verir: “... bir küme, bir bütün olarak düşünüldüğünde çoktur.”

Problemde dikkate alınan tüm nesneleri içeren kümeye evrensel küme denir. Evrensel set genellikle harfle gösterilir. Evrensel set dır-dir maksimum ayar tüm nesnelerin onun unsurları olması anlamında, yani. problemin içindeki ifade her zaman doğrudur. Minimum set boş küme– , herhangi bir öğe içermez. Söz konusu problemdeki diğer tüm kümeler, kümenin alt kümeleridir. Bir kümenin, tüm elemanları aynı zamanda elemanı ise, kümenin alt kümesi olarak adlandırıldığını hatırlayın. Bir kümeyi belirtmek, evrensel bir kümenin herhangi bir öğesine göre, kümeye ait olup olmadığını açıkça belirlemenize olanak tanıyan bir kuraldır. Başka bir deyişle, iki ifadeden hangisinin doğru hangisinin yanlış olduğunu belirlemek bir kuraldır. Kümeleri tanımlamanın bir yolu onları kullanarak belirtmektir. karakteristik fonksiyon.

Bir kümenin karakteristik fonksiyonu, evrensel bir küme üzerinde tanımlanan ve kümenin ait olduğu elemanları üzerinde bir değerini, ait olmadığı elemanları üzerinde ise sıfır değerini alan bir fonksiyondur:

(6.1)

Örnek olarak şunu düşünün Evrensel set ve onun iki alt kümesi: - 7'den küçük sayılar kümesi ve - 7'den biraz küçük sayılar kümesi. Kümenin karakteristik fonksiyonu şu şekildedir:

(6.2)

Oldukça bu örnekte sıradan bir settir.

Kümenin karakteristik fonksiyonunu sadece 0 ve 1 kullanılarak yazmak mümkün değildir. Örneğin sayılar 1 ve 2'yi mi içermeli? 3 sayısı 7'den "çok" mu yoksa "çok değil" mi? Bu ve benzeri soruların cevapları, setlerin ve kullanıldığı problemin koşullarına ve bu problemi çözen kişinin subjektif görüşüne bağlı olarak alınabilir. kümesine bulanık küme denir. Bir bulanık kümenin karakteristik fonksiyonunu derlerken problem çözücü(uzman) kümedeki sayıların her birinin kümeye ne ölçüde ait olduğu konusunda görüş bildirebilir. Üyelik derecesi olarak segmentten herhangi bir sayıyı seçebilirsiniz. Aynı zamanda uzmanın tam güveni anlamına gelir - eşit derecede tam güven, bu da uzmanın kümeye ait olup olmadığı sorusuna cevap vermekte zorlandığını gösterir. Eğer ise uzman bunu bir küme olarak sınıflandırma eğilimindedir, ancak eğer , o zaman meyilli değilim.

Bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonu,

Bu fonksiyon denir üyelik fonksiyonu bulanık küme. - Maksimum değer kümede mevcut olan üyelik fonksiyonu - üst kenar- üstün denir. Üyelik fonksiyonu Bir uzmanın bir soruna ilişkin öznel görüşünü yansıtır ve çözüme bireysellik katar.

Sıradan bir kümenin karakteristik fonksiyonu, bu kümenin üyelik fonksiyonu olarak düşünülebilir ancak bulanık kümeden farklı olarak yalnızca iki değer alır: 0 veya 1.

Bir bulanık küme bir çifttir , Nerede - Evrensel set, - üyelik fonksiyonu bulanık küme.

Bir bulanık kümenin taşıyıcı kümesi veya taşıyıcısı, kümenin üzerinde bulunan elemanlardan oluşan bir alt kümesidir. .

Bir bulanık kümenin geçiş noktasına denir öğeyi ayarla, bunun üzerinde .

,'nin 7'den küçük sayılar kümesi, 7'den biraz küçük sayılar kümesi olduğu söz konusu örnekte, üyelik fonksiyonunu oluşturacak küme için değerleri öznel olarak seçiyoruz. Tablo 6.1 ve ve için üyelik fonksiyonlarını göstermektedir.

Sonlu veya sayılabilir bulanık kümeler için sıklıkla daha kompakt bir gösterim kullanılır. Dolayısıyla, ve alt kümelerinin yukarıdaki tablo halinde gösterimi yerine, bu alt kümeler aşağıdaki gibi yazılabilir.

Bulanık kümeleri kullanarak “yüksek sıcaklık”, “genç adam”, “ortalama boy” veya “ortalama boy” gibi kesin olmayan ve belirsiz kavramları resmi olarak tanımlamak mümkündür. Büyük şehir" Bulanık kümenin tanımını formüle etmeden önce, söylem evrenini tanımlamak gerekir. Belirsiz "çok para" kavramı söz konusu olduğunda, kendimizi aralıkla sınırlarsak ve aralıkta tamamen farklı bir miktar sınırlandırırsak bir miktar büyük sayılacaktır. Bundan böyle uzay veya küme olarak adlandırılan akıl yürütme alanı çoğunlukla sembolle gösterilecektir. Bunun net bir set olduğu unutulmamalıdır.

Tanım 3.1

Bazı (boş olmayan) uzaylarda olarak gösterilen bulanık küme, bir çiftler kümesidir

, (3.1)

Bulanık küme üyelik fonksiyonu. Bu fonksiyon, her bir öğeye bulanık bir kümedeki üyelik derecesini atar ve üç durum ayırt edilebilir:

1) bir elemanın bulanık bir kümeye tam üyeliği anlamına gelir; ;

2) elemanın bir bulanık kümeye ait olmadığı anlamına gelir;

3) elemanın kısmen bulanık kümeye ait olduğu anlamına gelir.

Literatürde bulanık kümelerin sembolik tanımı kullanılmaktadır. If, sonlu sayıda elemana sahip bir uzaydır; , daha sonra bulanık küme şu şekilde yazılır:

Yukarıdaki giriş semboliktir. “-” işareti bölünme anlamına gelmez, belirli unsurlara üyelik dereceleri atamak anlamına gelir . Başka bir deyişle kayıt

bir çift anlamına gelir

Benzer şekilde (3.3) ifadesindeki “+” işareti bir toplama işlemi anlamına gelmemekte, (3.5) elemanlarının çoklu toplamı olarak yorumlanmaktadır. Kesin kümelerin de benzer şekilde yazılabildiğini belirtmek gerekir. Örneğin birçok okul notları sembolik olarak şu şekilde temsil edilebilir:

, (3.6)

bu yazmaya eşdeğerdir

Sonsuz sayıda elemana sahip bir uzay ise, bulanık küme sembolik olarak şu şekilde yazılır:

. (3.8)

Örnek 3.1

Bunun bir doğal sayılar kümesi olduğunu varsayalım. “7 sayısına yakın” doğal sayılar kümesi kavramını tanımlayalım. Bu, aşağıdaki bulanık kümeyi tanımlayarak yapılabilir:

Örnek 3.2

Eğer gerçek sayılar kümesi nerede ise, o zaman “7 sayısına yakın” gerçek sayılar kümesi formun üyelik fonksiyonu ile belirlenebilir.

. (3.10)

Bu nedenle “7 sayısına yakın” reel sayıların bulanık kümesi şu ifadeyle tanımlanır:

. (3.11)

Açıklama 3.1

"7 sayısına yakın" doğal veya reel sayıların bulanık kümeleri çeşitli şekillerde yazılabilir. Örneğin üyelik fonksiyonu (3.10) şu ifadeyle değiştirilebilir:

(3.12)

İncirde. 3.1a ve 3.1b, “7 sayısına yakın” reel sayıların bulanık kümesi için iki üyelik fonksiyonu sunmaktadır.

Pirinç. 3.1. Örnek 3.2 için çizim: "7 sayısına yakın" reel sayıların bulanık kümesinin üyelik fonksiyonları.

Örnek 3.3

"Baltık Denizi'nde yüzmek için uygun sıcaklık" şeklindeki kesin olmayan tanımı resmileştirelim. Muhakeme alanını bir küme şeklinde tanımlayalım . 21° sıcaklıkta kendini en iyi hisseden Tatilci I, kendisi için bir bulanık küme tanımlardı

20°'lik bir sıcaklığı tercih eden Tatilci II, bu setin farklı bir tanımını önermektedir:

Bulanık kümeler kullanarak "Baltık Denizi'nde yüzmek için uygun sıcaklık" kavramının kesin olmayan tanımını resmileştirdik. Bazı uygulamalar üyelik fonksiyonlarının standart formlarını kullanır. Bu fonksiyonları belirtelim ve grafiksel yorumlarını ele alalım.

1. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.2) şu şekilde tanımlanır:

(3.15)

Nerede . Bu sınıfa ait üyelik fonksiyonu, “” harfini anımsatan grafiksel bir gösterime sahiptir (Şekil 3.2) ve şekli, ve parametrelerinin seçimine bağlıdır. Noktada sınıf üyelik fonksiyonu 0,5 değerini alır.

2. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.3), sınıf üyelik fonksiyonu aracılığıyla belirlenir:

(3.16)

Pirinç. 3.2. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.3. Sınıf üyeliği işlevi.

Sınıf üyelik fonksiyonu ve için sıfır değer alır. Bazı noktalarda değeri 0,5'tir.

3. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.4) şu ifadeyle verilmektedir:

(3.17)

Okuyucu, sınıf üyelik fonksiyonlarının formları arasındaki analojiyi kolaylıkla fark edecektir.

4. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.5) şu şekilde tanımlanır:

(3.18)

Pirinç. 3.4. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.5. Sınıf üyeliği işlevi.

Bazı uygulamalarda sınıf üyelik fonksiyonu, sınıf fonksiyonuna alternatif olabilir.

5. Sınıf üyelik fonksiyonu (Şekil 3.6) şu ifadeyle belirlenir:

(3.19)

Örnek 3.4

Üç kesin olmayan formülasyonu ele alalım:

1) “düşük araç hızı”;

2)" ortalama sürat araba";

3) “yüksek araç hızı.”

Akıl yürütme alanı olarak maksimum hızın olduğu aralığı alacağız. İncirde. 3.7, yukarıdaki formülasyonlara karşılık gelen bulanık kümeleri ve ,'yi sunar. Bir kümenin üyelik fonksiyonunun türüne, kümelerin türüne ve kümelerin türüne sahip olduğuna dikkat edin. Sabit bir km/saat noktasında, "düşük araba hızı" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu 0,5 değerini alır; . Bulanık küme "ortalama araba hızı"nın üyelik fonksiyonu aynı değeri alır; , halbuki .

Örnek 3.5

İncirde. Şekil 3.8 "büyük para" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonunu göstermektedir. Bu bir sınıf fonksiyonudur ve , , .

Pirinç. 3.6. Sınıf üyeliği işlevi.

Pirinç. 3.7. Örnek 3.4 için çizim: "küçük", "orta", "yüksek" araba hızı bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonları.

Pirinç. 3.8. Örnek 3.5 için çizim: “Büyük para” bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu.

Sonuç olarak, üyelik fonksiyonunun değerleri 1'e eşit olacağından, 10.000 rubleyi aşan miktarlar kesinlikle "büyük" olarak değerlendirilebilir. Üyelik fonksiyonunun karşılık gelen değerleri nedeniyle 1000 ruble'nin altındaki miktarlar "büyük" olarak kabul edilmez. 0'a eşittir. Elbette, "büyük para" bulanık kümesinin böyle bir tanımı özneldir. Okuyucunun muğlak “büyük para” kavramı hakkında kendi anlayışı olabilir. Bu gösterim, sınıfın parametrelerinin ve fonksiyonlarının diğer değerleri tarafından yansıtılacaktır.

Tanım 3.2

Bulanık kümenin desteği olarak adlandırılan ve (destek) ile gösterilen uzay elemanları kümesine. Resmi gösterimi şu şekildedir:

. (3.20)

Tanım 3.3

Bir bulanık kümenin yüksekliği şu şekilde gösterilir ve tanımlanır:

. (3.21)

Örnek 3.6

Eğer Ve

, (3.22)

O .

, (3.23)

Tanım 3.4

Bulanık kümeye ancak ve ancak eğer normal denir. Bulanık küme normal değilse, dönüşüm kullanılarak normalleştirilebilir.

, (3.24)

bu setin yüksekliği nerede?

Örnek 3.7

Bulanık küme

(3.25)

normalizasyondan sonra şu formu alır

. (3.26)

Tanım 3.5

Bir bulanık kümeye boş denir ve her biri için ancak ve ancak şu şekilde gösterilir.

Tanım 3.6

Bir bulanık küme, ancak ve ancak şu şekilde yazılan bir bulanık kümenin içinde bulunur:

(3.27)

her biri için .

Bir bulanık kümenin bulanık bir kümeye dahil edilmesine (içerik) bir örnek, Şekil 1'de gösterilmektedir. 3.9. Bulanık kümelerin dahil edilme derecesi kavramı da literatürde bulunmaktadır. Bir bulanık kümenin bir bulanık kümeye dahil olma derecesi Şekil 2'de verilmiştir. 3,9, 1'e eşittir (tam dahil). Şekil 2'de sunulan bulanık kümeler 3.10 bağımlılığı (3.27) karşılamamaktadır; dolayısıyla (3.6) tanımına dahil edilmemiştir. Ancak bir bulanık küme, bir bulanık kümenin içinde şu dereceye kadar bulunur:

, (3.28)

, durum karşılandı

Pirinç. 3.12. Bulanık dışbükey küme.

Pirinç. 3.13. Bulanık içbükey set.

Pirinç. Şekil 3.13 bulanık içbükey kümeyi göstermektedir. Bir bulanık kümenin dışbükey (içbükey) olduğunu kontrol etmek ancak ve ancak tüm kesimlerinin dışbükey (içbükey) olması durumunda kolaydır.

Modern bilim ve teknoloji, matematiksel modellemenin yaygın kullanımı olmadan hayal edilemez; çünkü tam ölçekli deneyler her zaman gerçekleştirilemez, çoğu zaman çok pahalıdır ve önemli miktarda zaman gerektirir ve çoğu durumda riskle ve büyük maddi veya manevi sorunlarla ilişkilendirilir. maliyetler. Matematiksel modellemenin özü, gerçek bir nesneyi "görüntüsü" - matematiksel bir model - ile değiştirmek ve bilgisayarlarda uygulanan hesaplamalı ve mantıksal algoritmaları kullanarak modelin daha fazla incelenmesidir. Bunun için en önemli gereksinim matematiksel model, seçilen özellik sistemine göre incelenen gerçek nesneye yeterliliğinin (doğru yazışmanın) koşuludur. Bu, her şeyden önce, söz konusu nesnenin özelliklerinin doğru niceliksel açıklaması anlamına gelir. Basit sistemler için bu tür niceliksel modellerin oluşturulması mümkündür.

Karmaşık sistemlerde durum farklıdır. Karmaşık sistemlerin davranışı hakkında önemli sonuçlar elde etmek için, bir model oluştururken yüksek doğruluk ve titizlikten vazgeçmek ve onu oluştururken doğası gereği yaklaşık olan yaklaşımları kullanmak gerekir. Bu yaklaşımlardan biri, kişinin kendisini çevreleyen dünyaya ilişkin belirsiz yansımasını tanımlayan dilsel değişkenlerin tanıtılmasıyla ilişkilidir. Dilsel bir değişkenin tam teşekküllü bir matematiksel nesne haline gelmesi için tanıtıldı bulanıklık kavramıçokluk.

Kesin kümeler teorisinde, bir kesin kümenin karakteristik fonksiyonu dikkate alınmıştır. evrensel uzayda
, if elemanı 1'e eşit mülkiyeti karşılar ve bu nedenle kümeye aittir , aksi halde 0'a eşittir. Böylece, belirli bir özelliğin varlığının veya yokluğunun 0 veya 1 (“hayır” veya “evet”) değerleri ile belirlendiği açık bir dünyadan (Boole cebiri) bahsediyorduk.

Ancak dünyadaki her şey yalnızca beyaz ve siyaha, gerçek ve yalana bölünemez. Yani Buda bile çelişkilerle dolu bir dünya gördü; her şey aynı anda bir dereceye kadar doğru, bir dereceye kadar da yanlış olabilir. Platon, bu çelişkilerin göreceli olduğu (Doğruluk ve Yanlışlığın ötesinde) üçüncü bir alan olduğuna işaret ederek bulanık mantığın temelini attı.

California Üniversitesi profesörü Zadeh, 1965'te "Bulanık Kümeler" makalesini yayınladı; burada 0 veya 1'in iki değerli tahminini, kapalı bir aralıkta 0'ın üstünde ve 1'in altında sınırsız çok değerli tahmine genişletti ve ilk olarak kavramını tanıttı. bir "bulanık küme". Zadeh, "karakteristik fonksiyon" terimi yerine "üyelik fonksiyonu" terimini kullandı. Bulanık küme (keskin kümeyle aynı gösterim korunur) evrensel uzayda
üyelik fonksiyonu aracılığıyla
(karakteristik fonksiyonla aynı notasyon) aşağıdaki gibi tanımlanır

(3.1)

Üyelik fonksiyonu çoğunlukla şu şekilde yorumlanır: değer
araç Öznel değerlendirme eleman üyelik derecesi bulanık küme , Örneğin,
anlamına gelir %80'i sahip olunan . Bu nedenle, "benim üyelik fonksiyonum", "sizin üyelik fonksiyonunuz", "uzmanın üyelik fonksiyonu" vb. bulunmalıdır. Bir bulanık kümenin grafiksel gösterimi, bir Venn diyagramı, Şekil 2'de eşmerkezli dairelerle temsil edilmektedir. 1. Bulanık bir kümenin üyelik fonksiyonu, açık bir kümenin dikdörtgen karakteristik fonksiyonunun aksine, çan şeklinde bir grafiğe sahiptir, Şekil 1. 1.

Keskin ve bulanık kümeler arasındaki bağlantıya dikkat etmelisiniz. Karakteristik fonksiyonun iki değeri (0,1), üyelik fonksiyonunun kapalı bir değer aralığına aittir. Bu nedenle, keskin küme, bulanık kümenin özel bir durumudur ve bulanık küme kavramı, keskin küme kavramını da kapsayan genişletilmiş bir kavramdır. Başka bir deyişle, bir kesin küme aynı zamanda bir bulanık kümedir.

Bulanık küme, üyelik fonksiyonu kullanılarak kesin olarak tanımlanır ve herhangi bir belirsizlik içermez. Gerçek şu ki, bulanık bir küme, kapalı bir aralığın tahmini değerleri kullanılarak kesin olarak tanımlanır ve bu, üyelik fonksiyonudur. evrensel küme ise
ayrık sonlu bir eleman kümesinden oluşur, daha sonra, pratik hususlara dayanarak, üyelik fonksiyonunun değerini ve karşılık gelen elemanı, / ve + ayırma işaretlerini kullanarak belirtin. Örneğin evrensel kümenin 10'dan küçük tam sayılardan oluştuğunu varsayalım, o zaman bulanık küme "küçük sayılar" şu şekilde temsil edilebilir:

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Burada örneğin 0,8/2 şu anlama gelir:
. + işareti bir birliği ifade eder. Yukarıdaki formda bir bulanık küme yazarken evrensel kümenin elemanları ihmal edilir
üyelik fonksiyonu değerleri sıfıra eşittir. Genellikle evrensel kümenin tüm elemanları, üyelik fonksiyonunun karşılık gelen değerleriyle birlikte yazılır. Olasılık teorisinde olduğu gibi bulanık küme gösterimi kullanılır,

Tanım.İÇİNDE Genel dava bulanık altküme Evrensel set
sıralı çiftlerin kümesi olarak tanımlanır

. (3.2)