Que se passe-t-il si vous divisez par 1. Exemples lorsque vous devez déplacer une virgule, mais qu'il ne reste plus de chiffres

On dit que vous pouvez diviser par zéro si vous déterminez le résultat de la division par zéro. Il vous suffit de développer l'algèbre. Par une étrange coïncidence, il n'est pas possible de trouver au moins un exemple, ou mieux compréhensible et simple, d'une telle extension. Pour réparer Internet, vous avez besoin soit d'une démonstration de l'une des méthodes d'une telle extension, soit d'une description des raisons pour lesquelles cela n'est pas possible.

L'article a été écrit dans la continuité de la tendance :

Clause de non-responsabilité

Compréhension des principes de l'arithmétique, élémentaire, générale et algèbre linéaire, analyse mathématique et non standard, théorie des ensembles, topologie générale, géométrie projective et affine - souhaitables, mais pas obligatoires.

Aucun infini n’a été blessé au cours des expériences.

Prologue

1. En fait, tout a déjà été divisé devant nous !

1.1 Extension affine de la droite numérique

Au lieu de nous précipiter à corps perdu dans la piscine, regardons ce qui y entre et ce qui en sort. Pour ce faire, nous utiliserons la limite - le principal outil de l'analyse mathématique. Le principal « truc » est que la limite vous permet d'aller à point donné aussi près que possible sans « marcher dessus ». Une telle « clôture » devant la « piscine ».

Original

Bon, la « clôture » a été érigée. Ce n'est plus si effrayant. Nous avons deux chemins vers la piscine. Allons à gauche - une descente raide, à droite - une montée raide. Peu importe à quel point vous marchez vers la « clôture », elle ne se rapproche pas. Il n’y a aucun moyen de traverser le « néant » inférieur et supérieur. Des soupçons surgissent : peut-être tournons-nous en rond ? Bien que non, les chiffres changent, ce qui signifie qu'ils ne forment pas un cercle. Fouillons dans le coffre à outils analyse mathématique plus. En plus des limites avec une « clôture », l'ensemble comprend des infinis positifs et négatifs. Les quantités sont complètement abstraites (pas de chiffres), bien formalisées et prêtes à l'emploi ! Cela nous convient. Complétons notre « être » (beaucoup nombres réels) deux infinis signés.

C'est cette extension qui permet de prendre une limite lorsque l'argument tend vers l'infini et d'obtenir l'infini en prenant la limite.

Il existe deux branches des mathématiques qui décrivent la même chose en utilisant une terminologie différente.

Résumons :

L’essentiel est. Les anciennes approches ne fonctionnent plus. La complexité du système, sous la forme d'un ensemble de « si », de « pour tous sauf », etc., s'est accrue. Nous n’avions que deux incertitudes 1/0 et 0/0 (nous n’avons pas pris en compte les opérations de puissance), donc il y en avait cinq. La révélation d’une incertitude a créé encore plus d’incertitudes.

1.2 Roue

Cela ne s'est pas arrêté à l'introduction de l'infini non signé. Pour sortir des incertitudes, il faut un second souffle.

Nous avons donc un ensemble de nombres réels et deux incertitudes 1/0 et 0/0. Pour éliminer le premier, nous avons effectué une expansion projective de la droite numérique (c'est-à-dire que nous avons introduit l'infini non signé). Essayons de traiter la deuxième incertitude de la forme 0/0. Faisons de même. Ajoutons un nouvel élément à l'ensemble des nombres, représentant la deuxième incertitude.

La définition de l'opération de division est basée sur la multiplication. Cela ne nous convient pas. Séparons les opérations les unes des autres, mais gardons le comportement habituel pour les nombres réels. Définissons une opération de division unaire, désignée par le signe "/".

Définissons les opérations.

Cette structure est appelée la « Roue ». Le terme a été choisi en raison de sa similitude avec l'image topologique de l'extension projective de la droite numérique et du point 0/0.

Tout semble bien, mais le diable se cache dans les détails :

Pour établir toutes les fonctionnalités, en plus de l'expansion de l'ensemble des éléments, un bonus est attaché sous la forme non pas d'une, mais de deux identités qui décrivent la loi distributive.

En langage mathématique :

Du point de vue de l'algèbre générale, nous avons opéré avec le terrain. Et sur le terrain, comme vous le savez, seules deux opérations sont définies (addition et multiplication). Le concept de division dérive des éléments inverses et, plus profondément encore, des éléments unitaires. Modifications apportées nous tournons notre système algébrique en un monoïde par à la fois l'opération d'addition (avec zéro comme élément neutre) et l'opération de multiplication (avec un comme élément neutre).

Les travaux des pionniers n'utilisent pas toujours les symboles ∞ et ⊥. Au lieu de cela, vous pouvez trouver des entrées sous la forme /0 et 0/0.

Le monde n’est plus si merveilleux, n’est-ce pas ? Pourtant, il n’est pas nécessaire de se précipiter. Vérifions si les nouvelles identités de la loi distributive peuvent s'adapter à notre ensemble étendu .

Cette fois, le résultat est bien meilleur.

Résumons :

L’essentiel est. L'algèbre fonctionne très bien. Cependant, le concept d'« indéfini » a été pris comme base, qu'ils ont commencé à considérer comme quelque chose d'existant et à fonctionner avec lui. Un jour, quelqu’un dira que tout va mal et qu’il faut décomposer cet « indéfini » en plusieurs autres « indéfinis », mais plus petits. Algèbre générale dira : « Pas de problème, mon frère ! »
C'est approximativement ainsi que les supplémentaires (j et k) sont postulés unités imaginaires en quaternions Ajouter des tags

• enseigner la division avec 0 et 1 en fonction du lien avec l'action de multiplication ; consolider la connaissance du lien entre les composantes des actions de multiplication et de division ;
• répéter le tableau étudié des cas de multiplication et de division (par 2, 3, 4, 5) ; développer des opérations mentales;
• cultiver le contrôle mutuel, la maîtrise de soi, l'estime de soi ; précision, attention.

Matériel : manuel « Mes Mathématiques » 2e année Système éducatif« École 2100 » de Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P., partie 3, pp. 10-11 (voir. Annexe 2); présentation de la leçon (voir Annexe 1), diagrammes, fiches de tâches.

Tâche 1

Professeur: Faites 4 égalités possibles avec les nombres 20, 4, 5 ; 18, 3, 6.

Réalisé en autonomie dans des cahiers et au tableau par 2 élèves pour vérification mutuelle. De plus.* a, dans, avec (par cartes)

– Quel est le lien entre la division et la multiplication ? Diapositive 1(Si le produit est divisé par un facteur, nous obtenons un autre facteur).

une b = c c : c = une

2. Énoncé de la tâche éducative et de sa solution

1) Exercice 2

– Trouvez la valeur de la deuxième expression dans chaque colonne en calculant la valeur de la première.

Énoncé de la tâche pédagogique 1 :

– Quel est le quotient d’un nombre quelconque ? UN par unité ?

Solution du problème éducatif :

– Lors de la division d’un nombre UN par unité, nous obtenons le même nombre.

Diapositive 2

a : 1 = a, puisque, a 1 = a

Énoncé de la tâche pédagogique 2 :

– Est-il possible de choisir un nombre qui, multiplié par 0, nous donnerait 5 ou 7 ? (Non.)
– Y a-t-il une signification à l’expression : 5 divisé par 0, 7 divisé par 0 ? (Non.)

Solution du problème éducatif :
Diapositive 3

Vous ne pouvez pas diviser par zéro.

2) Tâche 3

– Trouvez la valeur de la deuxième expression dans chaque colonne en calculant la valeur de la première. Effectué en rangées dans des cahiers et au tableau pour un contrôle mutuel et automatique.

Énoncé de la tâche pédagogique 3 :

– Quel est le quotient de zéro divisé par un nombre quelconque ? UN, Pas égal à zéro?

Solution du problème éducatif :

– Lorsque zéro est divisé par un nombre différent de zéro, nous obtenons zéro.

Diapositive 4

0 : a = 0, avec a = 0, puisque a 0 = 0

3) Tâche 4

– Trouvez la valeur de l’expression dans chaque colonne en calculant la valeur de la première.

Effectué en rangées dans des cahiers et au tableau pour un contrôle mutuel et automatique.

Énoncé de la tâche pédagogique 4 :

– Quel est le quotient de la division d'un nombre a, différent de zéro, par le même nombre ?

Solution du problème éducatif :

– En divisant un nombre a qui n’est pas égal à zéro, nous obtenons un par lui-même. Diapositive n°5 de la candidature

a : a = 1, pour a = 0, puisque a 1 = a

4) Cours d'éducation physique « Exercice »

Chaque jour, le matin, nous faisons des exercices (marchant sur place).
Nous aimons vraiment procéder dans l'ordre :
Amusez-vous à marcher (marche),
Levez les mains (Haut les mains),
Accroupissez-vous et levez-vous (s'accroupit 4 à 6 fois),
Sauter et galoper (5 à 6 sauts).

Comptage rythmique. Exercices pour les yeux.

3. Consolidation primaire

1) Tâche 5

Travail d'équipe au tableau avec une explication.

– Trouver, si possible, le sens des expressions. Trouvez des expressions similaires et trouvez leur signification.*

2) Travail indépendant selon options

Diapositive 6

25: 25 = 37: 1 = 0: 147 = 2: 0 = 0: 1 =

52: 52 = 73: 1 = 0: 741 = 5: 0 = 1: 1 =

– Testez-vous en faisant le contraire.

Autotest sur la diapositive 7. Examen par les pairs. Estime de soi.

3) Cours d'éducation physique « Exercice »

Une fois - levez-vous, étirez-vous,
Deux - penchez-vous, redressez-vous,
Trois - trois battements de mains,
Trois hochements de tête.
Quatre bras plus larges,
Cinq - agitez vos bras,
Sixièmement : asseyez-vous tranquillement à votre bureau.

Acupression. Exercices de respiration.

– Comment formuleriez-vous le sujet de notre leçon d’aujourd’hui ? Quelles tâches éducatives ont été résolues ? Comment évalueriez-vous vos connaissances acquises pendant la leçon ?

Résoudre le problème (manuel n°7a)

Diapositive 7

« 72 carottes ont été ramassées dans le lit du jardin, une partie des carottes a été utilisée et l'autre partie a été liée en 5 bottes de 9 carottes chacune. Combien de carottes avez-vous utilisé ? »

- Lisez-le. En quoi consiste la tâche ? Que sait-on ? Comment désigne-t-on le nombre de carottes récoltées ? (segment entier). Comment dénotons-nous le nombre de carottes consommées ? (partie d'un segment).

– Comment désigne-t-on le nombre de carottes connectées ? (partie d'un segment). Quelle pièce peut-on trouver immédiatement ? (écrivons-le comme une action). Que devez-vous savoir sur le problème ? Comment trouver une pièce inconnue ? (soustraire la partie connue du tout). Écrivons la solution et calculons. Rappelons l'ordre des actions dans l'expression.

72 – 9 5 = 27 (m) – épuisé.

– Comment avez-vous trouvé la pièce connue ?
– Comment avez-vous trouvé la partie inconnue ?

1) pour renforcer le sujet de la leçon - cartes ;
2) améliorer la connaissance des tables de multiplication et de division par 2, 3, 4, 5 - cartes.
3) pour les étudiants forts l'équation ( Diapositive 8):

1. x1 = 45 ; y : y = 1 ; x5 = 50
2. N°6 à 11, 1 et 2 colonnes. (Au tableau)

7. Devoirs

P. 11 n° 8, n° 6 (3 p.).

8. Résumé de la leçon

– Qu'est-ce que Kolya a appris ? (page 11, champ de couleur) (Diviser par zéro et un). Et toi? Comment évaluerez-vous votre travail en classe ?

(Estime de soi - les enfants élèvent des cercles verts, jaunes et rouges)

Vert– Je suis content de moi, tout s’est bien passé pour moi ;
Jaune– Je suis content de moi, même si je n’ai pas réussi ;
Rouge- J'ai besoin d'aide.

GBPOU "Dzerjinski" école de formation des enseignants»

Préparé par:

Étudiant gr. PNK-4

Martyukhina Albina

Nikolaïevna

Notes de cours de mathématiques

Sur le thème : « Diviser un nombre par 1 et par lui-même »

Méthodiste:

Oulanova E.V.______

Dzerjinsk, 2017

Résumé d'un cours de mathématiques en 2e année "B"

Mathématiques

Sujet de la leçon

"Diviser un nombre par 1 et par lui-même"

Classe

2 "B"

UMK

"Planète de la connaissance"

Type de cours

Une leçon pour apprendre de nouvelles choses

But, objectifs

Cible:Création ambiance favorable pour étudier le thème « Division par 1 et par elle-même »

Pédagogique:
1) Considérons les cas de division d'un nombre quelconque par 1, par lui-même, de division de 0 par un nombre, de l'impossibilité de diviser par 0 ;

2) Poursuivre le travail sur la compréhension par les élèves de la relation entre les composantes et les résultats de la multiplication et de la division ;
3) Améliorer les compétences en résolution de problèmes ;

Pédagogique:
1) développer l'alphabétisation discours monologue

Pédagogique:
1) cultiver l'amour pour le sujet étudié.

informations générales

UUD formé

Connaître les règles pour diviser un nombre par 1 et par lui-même

Métasujet UUD

Percevoir tâche d'apprentissage, économiettout au long de la leçon.

Être capable de formuler vos pensées avec compétence et clarté

UUD personnelle

Savoir utiliser les formulaires d'auto-évaluation

Communicatif : maquillage petit oral déclarations monologues

Personnel

utiliser des formes d’auto-évaluation en classe

Résultats des cours prévus

Documentation et ressources Internet

Manuel de mathématiques pour la 2e année, Bashmakov M.I., Nefedova M.G.

Supplémentaire

Schémas, tableaux

Équipement

Ordinateur TCO (présentation), manuel,Intelligent- conseil

Pour les étudiants :

manuels

Plan de cours :

Moment d'organisation(2 minutes)

Comptage oral (5min)

Mise à jour connaissances de base(3 minutes)

Découverte de nouvelles connaissances (14min)

Minute d'éducation physique (2 min)

Consolidation primaire avec prononciation dans le discours externe (14 min)

Instruction pour faire ses devoirs (2 min)

Réflexion (3min)

Progression de la leçon :

Présentation multimédia

RUUD : accepter une tâche d’apprentissage

2. Comptage oral

Renforcer les compétences

Jeu "Chaîne"

Une chenille a rampé, aidez-la à trouver le sens.

320 -300: 4 . 9 +9:9

De quoi te souviens-tu ?

Je ne sais pas, je ne peux pas entrer dans " Ville ensoleillée" Il y a un code sur le portail qu'il ne peut pas déchiffrer. Aide-le.

Tâche sur la diapositive

Ils aident Dunno à résoudre les problèmes

Comptage oral

Travailler dans un cahier

démonstration

PUUD : Être capable de se reproduire techniques orales ajout

Être capable de calculer la somme et la différence en utilisant algorithmes écrits ajout.

être capable de résoudre des exemples.

RUUD :

accepter une tâche d'apprentissage

RUUD :

accepter une tâche d'apprentissage

WPMP :

Connaître les composantes de la multiplication et de la division

3.Mise à jour des connaissances de base

Répétition du matériel couvert

Quelles règles as-tu utilisées ?

Comment trouver un multiplicateur inconnu ?

Comment trouver le diviseur ? Comment trouver le dividende ?

Trouver multiplicateur inconnu, dividende et diviseur.

Divisez la valeur du produit par un facteur connu.

Vous devez diviser le dividende par la valeur du quotient.

Multipliez la valeur du quotient par le diviseur.

Enquête

Démonstration

4 .Découverte de nouvelles connaissances

Découverte de nouvelles connaissances

Masha et Misha au tableau.

7:1=7 9:1=9

7:7=1 9:9=9

0:7=0 0:9=1

En quoi les expressions de Masha et Misha sont-elles similaires ? Avons-nous déjà rencontré de telles expressions ?

Qui peut dire ce que nous allons apprendre aujourd’hui ?

Et nous découvrirons autre chose.

Quel enfant l'a fait correctement ? D. Macha.

Prouvez-le.

Conclusion:

En divisant un nombre par 1, nous obtenons le même nombre ; une:1=une.

En divisant un nombre par lui-même, nous obtenons 1. À condition que a=0 ; une : une = 1, une = 0.

En divisant 0 par n'importe quel nombre, nous obtenons 0, à condition que a = 0 ; 0 : a=0, a=0.

Vérifiez la conclusion avec les règles de la p. 54

Vous n'avez rien remarqué ? Devinez pourquoi on ne peut pas diviser par 0.

Les deux ont un quotient, division par 1, division par lui-même, division de 0 par un nombre.

Non.

Aujourd'hui, nous allons apprendre à diviser n'importe quel nombre par 1, par lui-même, diviser 0 par un nombre...

Si nous sommes 7 . 7=7, 0 . 7=0. Cela signifie qu'il a été complété correctement, c'est-à-dire La valeur du quotient est multipliée par le diviseur pour obtenir le dividende.

J'affiche les règles sur des panneaux au fur et à mesure que je les explique et nous les expliquons ensemble.

Il existe également une quatrième règle. Vous ne pouvez pas diviser par 0. un:0

Par exemple : 3:0=3, je vais vérifier.

3 . 0=0, mais selon la règle, il devrait être 3. Cela ne peut pas arriver !

On ne peut donc pas diviser par 0.

Enquête

Conversation

Présentation multimédia

Démonstration

RUUD :

accepter une tâche d'apprentissage

WPMP :

Connaître la règle pour diviser par 0, vous-même et 1

5. Minute physique

Restauration des fonctionnalités

Enregistrement vidéo

6 .Consolidation primaire avec prononciation dans le discours externe

Consolider les connaissances acquises

Je ne sais pas a résolu toutes les expressions du tableau et attend que vous vérifiiez avec lui. Complétez le travail dans vos cahiers et vérifiez auprès du tableau.

9:1=1 9 0:5=5 0

63:1=63 0:54=0

8:8=1 0:12=0

75:75=0 1 14:0=0

Qu'avez-vous remarqué ?

Qui s'est laissé prendre dedans ?

Qu'est-ce qu'il ne sait pas ?

Conclusion

Qu’est-ce que je ne sais pas ?

Problème n°170

Lisez le problème. Soulignez la dernière question. Qu’allons-nous apprendre dans le problème ? Que sait-on du problème ?

Comment montrer sur le schéma ?

Que devez-vous savoir ?

Qui ira au conseil d’administration et résoudra le problème ?

La solution est au tableau et dans les cahiers.

48-6=42 (ok.) rattrapé par Sasha.

42:7=6 (ok.) a attrapé Kolya.

48+42+6=96 (environ)

Réponse : Tous les garçons ont attrapé 96 perches.

Qui aimerait tester ses connaissances pour résoudre des problèmes ? complexité accrue? (un élève résout le problème surIntelligent-au tableau, un autre sur une carte de la collection - sur le thème « Multiplication et Division »

Un piège.

Vous ne pouvez pas diviser par 0.

Expliquez les expressions restantes.

Combien de perchoirs les trois garçons ont-ils attrapés ?

Qu'il y avait trois garçons Misha, Sasha et Kolya.

Misha a attrapé 48 perches. Sasha, on ne sait pas combien, mais on dit que c'est 6 de moins.

Et Kolya - nous ne savons pas non plus combien, mais nous savons que c'est 7 fois moins que Sasha.

Combien de perchoirs les trois garçons ont-ils attrapés ?

Exercices

Conversation

WPMP :

Connaître la règle de division par 0, 1 et elle-même, être capable de les appliquer lors de la résolution de problèmes

RUUD :

accepter une tâche d'apprentissage

KUUD : Être capable de formuler vos questions et réponses avec précision et compétence, de construire énoncés de discours;

LUUD : Être capable de s’exprimer propre opinion et position

6.Instruction pour faire ses devoirs

Explication des devoirs

Ouvrez les journaux et écrivez devoirs

№ 167 (6 dernières expressions), n° 169 (5 z.)

Le mot du professeur

7.Réflexion

Résumer la leçon

Revenons maintenant à notre Misha et vérifions ce qu'il a fait de mal.

9:9=1 est correct car 9 . 1=9

9:9=9 1 est incorrect car Lorsqu’un nombre est divisé par lui-même, on obtient 1.

0:9=1 0 est incorrect car en divisant 0 par un nombre différent de 0, nous obtenons 0. Dans quel piège ne devrions-nous pas tomber ?. Merci à tous. La leçon est terminée.

Répondre aux questions des enseignants

Vous ne pouvez pas diviser par 0.

Conversation

CUUD : écouter les autres, suivre les règles de communication ; et formuler correctement leurs questions et réponses, construire des déclarations orales ;

exprimer ses propres opinions et positions

LUUD : écouter les autres, suivre les règles de communication

Le chiffre 0 peut être imaginé comme une certaine frontière séparant le monde nombres réels de l’imaginaire ou du négatif. En raison de la position ambiguë, de nombreuses opérations avec ce valeur numérique n'obéis pas logique mathématique. L’impossibilité de diviser par zéro en est un excellent exemple. Et le permis opérations arithmétiques avec zéro peut être fait en utilisant des définitions généralement acceptées.

Histoire de zéro

Zéro est le point de référence dans tout systèmes standards calcul. Les Européens ont commencé à utiliser ce numéro relativement récemment, mais les sages Inde ancienne utilisaient zéro mille ans avant que le nombre vide ne soit régulièrement utilisé par les mathématiciens européens. Même avant les Indiens, zéro était une valeur obligatoire dans système numérique Maya. Ces Américains utilisaient le système de numérotation duodécimal et le premier jour de chaque mois commençait par un zéro. Il est intéressant de noter que chez les Mayas, le signe désignant « zéro » coïncidait complètement avec le signe désignant « l'infini ». Ainsi, les anciens Mayas concluaient que ces quantités étaient identiques et inconnaissables.

Opérations mathématiques avec zéro

Standard opérations mathématiques avec zéro peut être réduit à plusieurs règles.

Ajout : si vous ajoutez zéro à un nombre arbitraire, cela ne changera pas sa valeur (0+x=x).

Soustraction : lors de la soustraction de zéro à un nombre quelconque, la valeur de la soustraction reste inchangée (x-0=x).

Multiplication : tout nombre multiplié par 0 produit 0 (a*0=0).

Division : zéro peut être divisé par n'importe quel nombre différent de zéro. Dans ce cas, la valeur d'une telle fraction sera 0. Et la division par zéro est interdite.

Exponentiation. Cette action peut être effectuée avec n'importe quel numéro. Numéro arbitraire, élevé à la puissance zéro, donne 1 (x 0 = 1).

Zéro à n’importe quelle puissance est égal à 0 (0 a = 0).

Dans ce cas, une contradiction surgit immédiatement : l'expression 0 0 n'a pas de sens.

Paradoxes des mathématiques

Beaucoup de gens savent depuis l’école que la division par zéro est impossible. Mais pour une raison quelconque, il est impossible d'expliquer la raison d'une telle interdiction. En fait, pourquoi la formule pour diviser par zéro n'existe-t-elle pas, mais d'autres actions avec ce nombre sont tout à fait raisonnables et possibles ? La réponse à cette question est donnée par les mathématiciens.

Le fait est que les opérations arithmétiques habituelles que les écoliers apprennent école primaire, en fait, ne sont pas aussi égaux qu’on le pense. Tous opérations simples avec des nombres peut être réduit à deux : addition et multiplication. Ces actions constituent l’essence même du concept de nombre, et d’autres opérations se construisent sur l’utilisation de ces deux éléments.

Addition et multiplication

Prenons exemple standard pour la soustraction : 10-2=8. À l'école, on considère cela simplement : si on soustrait deux de dix matières, il en reste huit. Mais les mathématiciens envisagent cette opération d’une manière complètement différente. Après tout, une opération telle que la soustraction n’existe pas pour eux. Cet exemple peut s'écrire autrement : x+2=10. Pour les mathématiciens, la différence inconnue est simplement le nombre qu’il faut ajouter à deux pour obtenir huit. Et aucune soustraction n'est requise ici, il vous suffit de trouver la valeur numérique appropriée.

La multiplication et la division sont traitées de la même manière. Dans l'exemple 12:4=3, vous pouvez comprendre que nous parlons deà propos de diviser huit objets en deux piles égales. Mais en réalité, il ne s’agit que d’une formule inversée pour écrire 3x4 = 12. De tels exemples de division peuvent être donnés à l’infini.

Exemples de division par 0

C’est là que l’on comprend un peu pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. La multiplication et la division par zéro suivent leurs propres règles. Tous les exemples de division de cette quantité peuvent être formulés comme suit : 6:0 = x. Mais c'est une notation inversée de l'expression 6 * x=0. Mais comme vous le savez, tout nombre multiplié par 0 ne donne que 0 dans le produit. Cette propriété est inhérente à la notion même de valeur nulle.

Il s'avère qu'il n'existe pas de nombre qui, multiplié par 0, donne une valeur tangible, c'est-à-dire cette tâche n'a pas de solution. Vous ne devriez pas avoir peur de cette réponse ; c’est une réponse naturelle aux problèmes de ce type. C'est juste que le record 6:0 n'a aucun sens et ne peut rien expliquer. Bref, cette expression peut s’expliquer par l’immortel « la division par zéro est impossible ».

Y a-t-il une opération 0:0 ? En effet, si l’opération de multiplication par 0 est légale, zéro peut-il être divisé par zéro ? Après tout, une équation de la forme 0x 5=0 est tout à fait légale. Au lieu du chiffre 5 vous pouvez mettre 0, le produit ne changera pas.

En effet, 0x0=0. Mais on ne peut toujours pas diviser par 0. Comme cela a été dit, la division est simple. opération inverse multiplication. Ainsi, si dans l’exemple 0x5=0, il faut déterminer le deuxième facteur, on obtient 0x0=5. Ou 10. Ou l'infini. Diviser l'infini par zéro - ça vous plaît ?

Mais si un nombre entre dans l’expression, alors cela n’a pas de sens, nous ne pouvons pas nombre infini nombres, choisissez-en un. Et si c’est le cas, cela signifie que l’expression 0:0 n’a aucun sens. Il s’avère que même zéro lui-même ne peut pas être divisé par zéro.

Mathématiques supérieures

La division par zéro est mal de tête Pour mathématiques scolaires. A étudié en universités techniques l'analyse mathématique élargit légèrement la notion de problèmes sans solution. Par exemple, pour déjà expression célèbre 0:0 de nouveaux sont ajoutés qui n'ont pas de solution dans cours scolaires mathématiques:

• l'infini divisé par l'infini : ?:?;
• l'infini moins l'infini : ???;
• unité intégrée degré infini: 1 ? ;
• l'infini multiplié par 0 : ?*0 ;
• quelques autres.

Il est impossible de résoudre de telles expressions à l’aide de méthodes élémentaires. Mais mathématiques supérieures grâce à fonctionnalités supplémentaires pour une rangée exemples similaires donne solutions finales. Cela est particulièrement évident dans l’examen des problèmes issus de la théorie des limites.

Libérer l’incertitude

Dans la théorie des limites, la valeur 0 est remplacée par un infinitésimal conditionnel variable. Et les expressions dans lesquelles, en substituant valeur souhaitée la division par zéro est obtenue et convertie. Vous trouverez ci-dessous un exemple standard d'expansion d'une limite à l'aide de transformations algébriques ordinaires :

Comme vous pouvez le voir dans l’exemple, la simple réduction d’une fraction conduit à une réponse tout à fait rationnelle.

Quand on considère les limites fonctions trigonométriques leurs expressions ont tendance à se réduire au premier merveilleuse limite. Lorsque l'on considère des limites dans lesquelles le dénominateur devient 0 lorsqu'une limite est substituée, une deuxième limite remarquable est utilisée.

Méthode L'Hôpital

Dans certains cas, les limites des expressions peuvent être remplacées par les limites de leurs dérivées. Guillaume L'Hôpital - mathématicien français, fondateur école française analyse mathématique. Il a prouvé que les limites des expressions sont égales aux limites des dérivées de ces expressions. DANS notation mathématique sa règle est la suivante.

Actuellement, la méthode de L'Hôpital est utilisée avec succès pour résoudre des incertitudes de type 0:0 ou ?:?.

Comment diviser et multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc.?

Écrivez les règles de division et de multiplication.

Pour multiplier un nombre par 0,1, il suffit de déplacer la virgule décimale.

Par exemple, c'était 56 , c'est devenu 5,6 .

Pour diviser par le même nombre, il faut déplacer la virgule dans le sens opposé :

Par exemple, c'était 56 , c'est devenu 560 .

Avec le nombre 0,01, tout est pareil, mais vous devez le déplacer sur 2 chiffres, pas un.

En général, transférez autant de zéros que nécessaire.

Par exemple, il existe un numéro 123456789.

Vous devez le multiplier par 0,000000001

Il y a neuf zéros dans le nombre 0,000000001 (on compte aussi le zéro à gauche de la virgule décimale), ce qui signifie qu'on décale le nombre 123456789 de 9 chiffres :

C’était 123456789 et maintenant c’est 0,123456789.

Afin de ne pas multiplier, mais diviser par le même nombre, on décale dans l'autre sens :

C’était 123456789 et maintenant c’est 123456789000000000.

Pour décaler un entier de cette façon, on lui ajoute simplement un zéro. Et dans le fractionnaire on déplace la virgule.

Diviser un nombre par 0,1 correspond à multiplier ce nombre par 10

Diviser un nombre par 0,01 correspond à multiplier ce nombre par 100

Diviser par 0,001 équivaut à multiplier par 1000.

Pour faciliter la mémorisation, nous lisons le nombre par lequel nous devons diviser de droite à gauche, sans faire attention à la virgule, et multiplions par le nombre obtenu.

Exemple : 50 : 0,0001. C'est la même chose que 50 multiplié par (lu de droite à gauche sans virgule - 10 000) 10 000. Il s'avère que 500 000.

La même chose avec la multiplication, mais à l'envers :

400 x 0,01 équivaut à diviser 400 par (lu de droite à gauche sans virgule - 100) 100 : 400 : 100 = 4.

Pour ceux qui trouvent plus pratique de déplacer les virgules vers la droite lors de la division et vers la gauche lors de la multiplication lors de la multiplication et de la division par de tels nombres, vous pouvez le faire.

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5.5.6. Division par décimal

JE. Pour diviser un nombre par une fraction décimale, vous devez déplacer les décimales du dividende et du diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par l'entier naturel.

Primery.

Effectuer la division : 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Solution.

Exemple 1) 16,38: 0,7.

Dans le diviseur 0,7 il y a un chiffre après la virgule, déplaçons donc les virgules du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite.

Ensuite, nous devrons diviser 163,8 sur 7 .

Faisons la division selon la règle de division décimalà un nombre naturel.

Nous divisons comme ils divisent nombres naturels. Comment supprimer le numéro 8 - le premier chiffre après la virgule (c'est-à-dire le chiffre à la dixième place), donc immédiatement mets une virgule dans le quotient et continuez à diviser.

Réponse : 23.4.

Exemple 2) 15,6: 0,15.

On déplace les virgules dans le dividende ( 15,6 ) et diviseur ( 0,15 ) deux chiffres à droite, puisque dans le diviseur 0,15 il y a deux chiffres après la virgule.

Nous rappelons que vous pouvez ajouter autant de zéros que vous le souhaitez à la fraction décimale de droite, et cela ne changera pas la fraction décimale.

15,6:0,15=1560:15.

Nous effectuons la division des nombres naturels.

Réponse : 104.

Exemple 3) 3,114: 4,5.

Déplacez les virgules du dividende et du diviseur d'un chiffre vers la droite et divisez 31,14 sur 45 selon la règle de division d'une fraction décimale par un nombre naturel.

3,114:4,5=31,14:45.

Dans le quotient on met une virgule dès qu'on enlève le nombre 1 à la dixième place. Ensuite, nous continuons à nous diviser.

Pour compléter la division, nous avons dû attribuer zéro au numéro 9 - différences entre les nombres 414 Et 405 . (nous savons que des zéros peuvent être ajoutés à droite d'une fraction décimale)

Réponse : 0,692.

Exemple 4) 53,84: 0,1.

Déplacez les virgules dans le dividende et le diviseur vers 1 numéro à droite.

On obtient : 538,4:1=538,4.

Analysons l'égalité : 53,84:0,1=538,4. Faites attention à la virgule dans le dividende dans cet exemple et à la virgule dans le quotient résultant. On remarque que la virgule dans le dividende est déplacée vers 1 nombre à droite, comme si on multipliait 53,84 sur 10. (Voir la vidéo « Multiplier une décimale par 10, 100, 1000, etc. ») D'où la règle pour diviser une décimale par 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Diviser une décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite de 1, 2, 3, etc. (Diviser une décimale par 0,1, 0,01, 0,001, etc. revient à multiplier cette décimale par 10, 100, 1000, etc.)

Exemples.

Effectuer la division : 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Solution.

Exemple 1) 617,35: 0,1.

Selon la règle II division par 0,1 équivaut à multiplier par 10 , et déplacez la virgule dans le dividende 1 chiffre à droite:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemple 2) 0,235: 0,01.

Division par 0,01 équivaut à multiplier par 100 , ce qui signifie qu'on déplace la virgule dans le dividende sur 2 chiffres à droite:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemple 3) 2,7845: 0,001.

Parce que division par 0,001 équivaut à multiplier par 1000 , puis déplacez la virgule 3 chiffres à droite:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemple 4) 26,397: 0,0001.

Divisez un nombre décimal par 0,0001 - c'est la même chose que de le multiplier par 10000 (déplace la virgule par 4 chiffres droite). On obtient :

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Multiplication et division par des nombres de la forme 10, 100, 0,1, 0,01

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Sur cette leçon Nous verrons comment effectuer une multiplication et une division par des nombres de la forme 10, 100, 0,1, 0,001. Sera également décidé divers exemples sur ce sujet.

Multiplier des nombres par 10, 100

Exercice. Comment multiplier le nombre 25,78 par 10 ?

Notation décimale numéro donné est une forme abrégée de somme. Il est nécessaire de le décrire plus en détail :

Il faut donc multiplier le montant. Pour ce faire, vous pouvez simplement multiplier chaque terme :

Il s'avère que...

On peut en conclure que multiplier une fraction décimale par 10 est très simple : il faut déplacer la virgule décimale vers la droite.

Exercice. Multipliez 25,486 par 100.

Multiplier par 100 équivaut à multiplier deux fois par 10. En d’autres termes, vous devez déplacer la virgule décimale deux fois vers la droite :

Diviser des nombres par 10, 100

Exercice. Divisez 25,78 par 10.

Comme dans le cas précédent, vous devez présenter le nombre 25,78 comme une somme :

Puisqu’il faut diviser la somme, cela équivaut à diviser chaque terme :

Il s'avère que pour diviser par 10, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche. Par exemple:

Exercice. Divisez 124,478 par 100.

Diviser par 100 équivaut à diviser par 10 deux fois, donc la virgule décimale est déplacée vers la gauche de 2 places :

Règle de multiplication et division par 10, 100, 1000

Si une fraction décimale doit être multipliée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

À l’inverse, si une fraction décimale doit être divisée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros dans le multiplicateur.

Exemples lorsqu'il est nécessaire de déplacer une virgule, mais qu'il ne reste plus de chiffres

Multiplier par 100 signifie déplacer la décimale de deux places vers la droite.

Après le décalage, vous constaterez qu'il n'y a plus de chiffres après la virgule, ce qui signifie que partie fractionnaire absent. Il n’y a alors pas besoin de virgule, le nombre est un entier.

Vous devez vous déplacer de 4 positions vers la droite. Mais il n’y a que deux chiffres après la virgule. Il convient de rappeler qu'il existe une notation équivalente pour la fraction 56,14.

Maintenant, multiplier par 10 000 est facile :

S'il n'est pas très clair pourquoi vous pouvez ajouter deux zéros à la fraction dans l'exemple précédent, alors la vidéo supplémentaire sur le lien peut vous aider.

Notations décimales équivalentes

L'entrée 52 signifie ce qui suit :

Si on met 0 devant, on obtient l'entrée 052. Ces entrées sont équivalentes.

Est-il possible de mettre deux zéros devant ? Oui, ces entrées sont équivalentes.

Examinons maintenant la fraction décimale :

Si vous attribuez zéro, vous obtenez :

Ces entrées sont équivalentes. De même, vous pouvez attribuer plusieurs zéros.

Ainsi, tout nombre peut avoir plusieurs zéros après la partie fractionnaire et plusieurs zéros avant la partie entière. Ce seront entrées équivalentes le même numéro.

Puisqu'une division par 100 se produit, il est nécessaire de déplacer la virgule décimale de 2 positions vers la gauche. Il n'y a plus de chiffres à gauche de la virgule décimale. Partie entière absent. Cette notation est souvent utilisée par les programmeurs. En mathématiques, s’il n’y a pas de partie entière, alors on met un zéro à sa place.

Vous devez le déplacer vers la gauche de trois positions, mais il n'y a que deux positions. Si vous écrivez plusieurs zéros devant un nombre, ce sera une notation équivalente.

Autrement dit, lors du déplacement vers la gauche, si les chiffres sont épuisés, vous devez les remplir de zéros.

DANS dans ce cas Il convient de rappeler qu'une virgule vient toujours après la partie entière. Alors:

Multiplier et diviser par 0,1, 0,01, 0,001

Multiplier et diviser par les nombres 10, 100, 1000 est une procédure très simple. La situation est exactement la même avec les nombres 0,1, 0,01, 0,001.

Exemple. Multipliez 25,34 par 0,1.

Écrivons la fraction décimale 0,1 comme une fraction ordinaire. Mais multiplier par équivaut à diviser par 10. Par conséquent, vous devez déplacer la virgule décimale d’une position vers la gauche :

De même, multiplier par 0,01 équivaut à diviser par 100 :

Exemple. 5,235 divisé par 0,1.

Solution cet exemple est construit de la même manière : 0,1 s’exprime sous la forme fraction commune, et diviser par équivaut à multiplier par 10 :

Autrement dit, pour diviser par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite, ce qui équivaut à multiplier par 10.

Règle de multiplication et de division par 0,1, 0,01, 0,001

Multiplier par 10 et diviser par 0,1, c'est la même chose. La virgule doit être déplacée vers la droite d'une position.