Modélisation de systèmes continus linéaires
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La modélisation est basée sur la théorie de la similarité, selon laquelle une similarité absolue ne peut se produire que lorsqu'un objet est remplacé par un autre exactement identique. Lors de la modélisation, la similitude absolue n’existe pas et on s’efforce de faire en sorte qu’elle reflète assez bien l’aspect du fonctionnement de l’objet étudié. La classification des types de modèles est présentée dans la Fig. 1. Riz. 1. Types de modélisation du système Par degré d'exhaustivité les modèles sont divisés en complets, incomplets et approximatifs. Modèles complets identique à l'objet dans le temps et dans l'espace.
Pour incomplet la modélisation de cette identité n’est pas préservée. La modélisation approximative est basée sur la similarité, dans laquelle certains aspects du fonctionnement d'un objet réel ne sont pas du tout modélisés. En fonction sur la nature des processus étudiés dans le système, les types de modélisation sont divisés en déterministe et stochastique, statique et dynamique, discret, continu et discret-continu. Déterministe la modélisation décrit des processus dans lesquels l'absence d'influences aléatoires est supposée.
Pour incomplet Stochastique la modélisation prend en compte les processus et événements probabilistes. La modélisation statique est utilisée pour décrire le comportement d'un objet à un moment donné, et la modélisation dynamique est utilisée pour étudier un objet au fil du temps. Des simulations discrètes, continues et discrètes-continues sont utilisées pour décrire des processus qui varient dans le temps. En même temps, ils fonctionnent avec des modèles analogiques, numériques et analogiques-numériques. de la forme de représentation d'objet la modélisation est classée en mentale et réelle.
de la forme de représentation d'objet mis en œuvre sous forme visuelle, symbolique et mathématique. Avec la modélisation visuelle, basée sur les idées humaines sur des objets réels, des modèles visuels sont créés qui affichent les phénomènes et les processus se produisant dans l'objet. La base de la modélisation hypothétique est une hypothèse sur les modèles de processus dans un objet réel, qui reflète le niveau de connaissance du chercheur sur l'objet et repose sur des relations de cause à effet entre l'entrée et la sortie de l'objet étudié. Ce type de modélisation est utilisé lorsque la connaissance d'un objet ne suffit pas à construire des modèles formels. Modélisation analogique repose sur l’utilisation d’analogies à différents niveaux. Pour des objets assez simples, le niveau le plus élevé est l’analogie complète. Au fur et à mesure que le système devient plus complexe, des analogies de niveaux ultérieurs sont utilisées, lorsque le modèle analogique présente plusieurs ou un seul aspect du fonctionnement de l'objet. Le prototypage est utilisé lorsque les processus se produisant dans un objet réel ne se prêtent pas à une modélisation physique ou peuvent précéder d'autres types de modélisation. La construction de modèles mentaux repose également sur des analogies, généralement basées sur des relations de cause à effet entre des phénomènes et des processus dans un objet.
Modélisation symbolique est un processus artificiel de création d'un objet logique qui remplace le réel et exprime les propriétés fondamentales de ses relations à l'aide d'un certain système de signes et de symboles. La modélisation du langage est basée sur un certain thésaurus, qui est formé d'un ensemble de concepts entrants, et cet ensemble doit être corrigé. Il existe des différences fondamentales entre un thésaurus et un dictionnaire classique. Un thésaurus est un dictionnaire débarrassé de toute ambiguïté, c'est-à-dire que dans celui-ci, chaque mot ne peut correspondre qu'à un seul concept, alors que dans un dictionnaire ordinaire, un mot peut correspondre à plusieurs concepts. Si vous introduisez un symbole pour des concepts individuels, c'est-à-dire des signes, ainsi que certaines opérations entre ces signes, vous pouvez mettre en œuvre une modélisation de signes et utiliser des signes pour afficher un ensemble de concepts - pour composer des chaînes distinctes de mots et de phrases. En utilisant les opérations d'union, d'intersection et d'addition de la théorie des ensembles, il est possible de donner une description de certains objet réel.
Modélisation mathématique est le processus d'établissement d'une correspondance entre un objet réel donné et un certain objet mathématique appelé modèle mathématique. En principe, pour étudier les caractéristiques du processus de fonctionnement de tout système à l'aide de méthodes mathématiques, y compris les méthodes machines, il est nécessaire de formaliser ce processus, c'est-à-dire construire modèle mathématique. L'étude d'un modèle mathématique permet d'obtenir les caractéristiques de l'objet réel considéré. Le type de modèle mathématique dépend à la fois de la nature de l'objet réel et des tâches d'étude de l'objet, de la fiabilité et de la précision requises pour résoudre le problème. Tout modèle mathématique, comme tout autre, décrit un objet réel avec un certain degré d'approximation. La modélisation analytique se caractérise par le fait que les processus de fonctionnement des éléments du système s'écrivent sous la forme de certaines relations fonctionnelles (algébriques, intégro-différentielles, différences finies, etc.) ou de conditions logiques. Le modèle analytique est étudié selon les méthodes suivantes : analytique, lorsqu'elles s'efforcent d'obtenir vue générale dépendances explicites reliant les caractéristiques requises aux conditions initiales, paramètres et variables du système ; numérique, lorsque, ne pouvant résoudre des équations sous forme générale, ils s'efforcent d'obtenir des résultats numériques avec des données initiales spécifiques ; qualitatif, lorsque, sans avoir de solution explicite, on peut retrouver certaines propriétés de la solution (par exemple, évaluer la stabilité de la solution).
Actuellement, les méthodes de mise en œuvre informatique pour étudier les caractéristiques du processus de fonctionnement de la BS sont très répandues. Pour implémenter un modèle mathématique sur un ordinateur, il est nécessaire de construire un algorithme de modélisation approprié.
À modélisation par simulation l'algorithme qui implémente le modèle reproduit le processus de fonctionnement du système dans le temps, et les phénomènes élémentaires qui composent le processus sont simulés, en les préservant structure logique et la séquence d'événements dans le temps, qui permet d'utiliser les données initiales pour obtenir des informations sur les états du processus à certains moments, permettant d'évaluer les caractéristiques du système. Le principal avantage de la modélisation par simulation par rapport à la modélisation analytique est la capacité à résoudre davantage de problèmes. tâches complexes. Les modèles de simulation permettent de prendre en compte tout simplement des facteurs tels que la présence d'éléments discrets et continus, les caractéristiques non linéaires des éléments du système, de nombreuses influences aléatoires, etc., qui créent souvent des difficultés dans les études analytiques. Actuellement, la simulation est la méthode la plus efficace pour étudier le BS, et souvent la seule méthode pratiquement accessible pour obtenir des informations sur le comportement du système, notamment au stade de sa conception.
Dans la modélisation par simulation, une distinction est faite entre la méthode de modélisation statistique et la méthode de test statistique (Monte Carlo). Si les résultats obtenus lors de la reproduction sur un modèle de simulation sont des réalisations de variables et de fonctions aléatoires, alors pour trouver les caractéristiques du processus, il faut le reproduire plusieurs fois avec un traitement ultérieur de l'information. Par conséquent, il est conseillé d’utiliser la méthode de modélisation statistique comme méthode de mise en œuvre machine d’un modèle de simulation. Initialement, une méthode de test statistique a été développée, c'est-à-dire une méthode numérique utilisée pour modéliser des variables aléatoires et des fonctions dont les caractéristiques probabilistes coïncidaient avec les solutions. tâches analytiques(cette procédure est appelée méthode de Monte Carlo). Ensuite, cette technique a commencé à être utilisée pour la simulation automatique afin d'étudier les caractéristiques des processus de fonctionnement des systèmes soumis à des influences aléatoires, c'est-à-dire qu'est apparue la méthode de modélisation statistique.
La méthode de simulation est utilisée pour évaluer les options concernant la structure du système, l'efficacité de divers algorithmes de contrôle du système et l'impact de la modification de divers paramètres du système. La modélisation de simulation peut être utilisée comme base pour la synthèse structurelle, algorithmique et paramétrique d'une BS, lorsqu'il est nécessaire de créer un système avec des caractéristiques spécifiées sous certaines restrictions. Le système doit être optimal selon certains critères d’efficacité.
Modélisation combinée (simulation analytique) vous permet de combiner les avantages de la modélisation analytique et de simulation. Lors de la construction de modèles combinés, une décomposition préliminaire du processus de fonctionnement de l'objet en ses sous-processus constitutifs est effectuée, et pour ceux-ci, lorsque cela est possible, des modèles analytiques sont utilisés et des modèles de simulation sont construits pour les sous-processus restants. Cette approche nous permet de couvrir des classes qualitativement nouvelles de systèmes qui ne peuvent pas être étudiées séparément en utilisant uniquement une modélisation analytique ou par simulation.
Modélisation des informations(souvent appelé cybernétique) est associé à l'étude de modèles dans lesquels il n'y a pas de similitude directe processus physiques, apparaissant dans les modèles, aux processus réels. Dans ce cas, ils s'efforcent d'afficher uniquement une certaine fonction et considèrent l'objet réel comme une « boîte noire » avec un certain nombre d'entrées et de sorties, et certaines connexions entre les sorties et les entrées sont modélisées. Ainsi, les modèles d'information (cybernétiques) reposent sur le reflet de certains processus de gestion de l'information, ce qui permet d'évaluer le comportement d'un objet réel. Pour construire un modèle dans ce cas, il faut isoler la fonction d'un objet réel étudié, essayer de formaliser cette fonction sous la forme d'opérateurs de communication entre entrée et sortie, et reproduire cette fonction sur un modèle de simulation, de manière un langage mathématique complètement différent et, naturellement, une mise en œuvre physique différente du processus.
Modélisation des systèmes structurels s'appuie sur certaines caractéristiques spécifiques des structures d'un certain type, en les utilisant comme moyen d'étudier des systèmes ou en développant sur leur base, en utilisant d'autres méthodes de représentation formalisée des systèmes (théorique des ensembles, linguistique, etc.) des approches spécifiques de modélisation.
La modélisation du système structurel comprend :
méthodes de modélisation de réseau ;
combinaison de méthodes de structuration avec des méthodes linguistiques ;
approche structurelle vers la formalisation de la construction et de l'étude des structures différents types(graphiques hiérarchiques, matriciels, arbitraires) basés sur des représentations de la théorie des ensembles et le concept d'échelle nominale en théorie de la mesure.
Modélisation situationnelle basé sur une théorie modèle de la pensée, dans le cadre de laquelle les principaux mécanismes de régulation des processus de prise de décision peuvent être décrits. La théorie des modèles de pensée repose sur l'idée de la formation dans les structures du cerveau d'un modèle d'information d'un objet et du monde extérieur. Ces informations sont perçues par une personne sur la base de ses connaissances et de son expérience existantes. Le comportement humain opportun se construit en formant une situation cible et en transformant mentalement la situation initiale en une situation cible. La base de la construction d'un modèle est la description d'un objet sous la forme d'un ensemble d'éléments interconnectés par certaines relations qui reflètent la sémantique du domaine. Le modèle objet a une structure à plusieurs niveaux et représente le contexte d'information dans lequel les processus de gestion se déroulent. Plus le modèle d'information d'un objet est riche et plus les possibilités de sa manipulation sont élevées, plus la qualité des décisions de gestion est meilleure et diversifiée.
En simulation réelle la possibilité d'étudier les caractéristiques soit d'un objet réel dans son ensemble, soit d'une partie de celui-ci est utilisée. De telles études sont réalisées à la fois sur des objets fonctionnant en modes normaux et lorsque des modes spéciaux sont organisés pour évaluer les caractéristiques qui intéressent le chercheur (avec d'autres valeurs de variables et de paramètres, à une échelle de temps différente, etc.). La modélisation réelle est la plus adéquate, mais ses capacités sont limitées. Par exemple, réaliser une simulation réelle d'un système de contrôle automatisé nécessite, d'une part, la présence d'un tel système de contrôle automatisé et, d'autre part, mener des expérimentations avec un objet contrôlé, c'est-à-dire une entreprise, ce qui est impossible dans la plupart des cas.
Modélisation grandeur nature appelé mener des recherches sur un objet réel avec traitement ultérieur des résultats expérimentaux basés sur la théorie de la similarité. Une expérience à grande échelle est divisée en une expérience scientifique, des tests complexes et une expérience de production. Une expérience scientifique se caractérise par l'utilisation généralisée d'outils d'automatisation, l'utilisation d'outils de traitement de l'information très divers et la possibilité d'intervention humaine dans le processus de réalisation d'une expérience. Conformément à cela, une nouvelle orientation scientifique a émergé - l'automatisation des expériences scientifiques et une nouvelle spécialisation dans le cadre de la spécialité ACS - ASNI (systèmes automatisés recherche scientifique et tests complexes). L'un des types d'expériences est celui des tests complexes, lorsque, à la suite de tests répétés d'objets dans leur ensemble (ou de grandes parties du système), des modèles généraux concernant les caractéristiques de qualité et la fiabilité de ces objets sont révélés. Dans ce cas, la modélisation s'effectue par traitement et synthèse d'informations sur un groupe de phénomènes homogènes. Parallèlement à des tests spécialement organisés, il est possible de mettre en œuvre une modélisation grandeur nature en résumant l'expérience accumulée au cours du processus de production, c'est-à-dire on peut parler d'une expérience de production. Ici, sur la base de la théorie de la similarité, du matériel statistique sur le processus de production est traité et ses caractéristiques généralisées sont obtenues. Il est nécessaire de rappeler la différence entre une expérience et un processus réel. Cela réside dans le fait que des situations critiques individuelles peuvent apparaître au cours de l'expérience et que les limites de la stabilité du processus peuvent être déterminées. Au cours de l'expérience, de nouveaux facteurs et influences perturbatrices sont introduits dans le processus de fonctionnement de l'objet.
Un autre type de modélisation réelle est physique, qui diffère de la modélisation grandeur nature dans la mesure où les recherches sont menées sur des installations préservant la nature des phénomènes et présentant une similitude physique. Au cours du processus de modélisation physique, certaines caractéristiques sont définies environnement externe et le comportement d'un objet réel ou de son modèle est étudié sous des influences environnementales données ou créées artificiellement. La modélisation physique peut s'effectuer sur des échelles de temps réelles et irréelles (pseudo-réelles) ou être envisagée sans prendre en compte le temps. DANS ce dernier cas Les processus dits « gelés » enregistrés à un moment donné font l'objet d'études. La plus grande complexité et intérêt du point de vue de l'exactitude des résultats obtenus est la modélisation physique en temps réel.
La modélisation continue est la modélisation d'un système dans le temps à l'aide d'une représentation dans laquelle les variables d'état changent continuellement par rapport au temps. En règle générale, les modèles de simulation continue utilisent des équations différentielles qui établissent des relations entre les taux de changement des variables d'état au fil du temps. Si les équations différentielles sont très simples, elles peuvent être résolues analytiquement pour représenter les valeurs des variables d'état pour toutes les valeurs du temps en fonction des valeurs des variables d'état au temps 0. Pour les grands modèles continus solution analytique impossible, mais pour intégration numérique équations différentielles dans le cas de valeurs spéciales données pour les variables d'état au temps 0, des technologies d'analyse numérique sont utilisées, par exemple l'intégration Runge-Kutta.
Exemple 1.3. Considérons modèle continu compétition entre deux populations. Modèles biologiques de ce type, appelés modèles prédateur-proie(ou parasite-hôte), ont été examinées par de nombreux auteurs, dont Brown et Gordon. L'environnement est représenté par deux populations : les prédateurs et les proies, qui interagissent les unes avec les autres. La proie est passive, mais les prédateurs dépendent de sa population comme source de nourriture. (Par exemple, les requins peuvent être des prédateurs et les poissons dont ils se nourrissent comme des proies.) Laissez x(t) et y(t) désignent le nombre d'individus dans les populations de proies et de prédateurs, respectivement, à un moment donné t. Disons que la population de proies dispose d'une réserve alimentaire abondante ; en l'absence de prédateurs, son taux de croissance sera r x(t) pour certains valeur positive r(r- taux de natalité naturel moins taux de mortalité naturelle). L'existence d'interactions entre prédateurs et proies suggère que le taux de mortalité des proies dû à cette interaction est proportionnel au produit des tailles des deux populations. x(t)y(t). Par conséquent, le taux global de changement dans la population de proies dx /dt : peut être représenté comme
Où UN - coefficient de proportionnalité positif. Puisque l'existence des prédateurs eux-mêmes dépend de la population de proies, le taux de changement de la population de prédateurs en l'absence de proies est -sу(t) pour certains s positifs. De plus, l’interaction entre les deux populations entraîne une augmentation de la population de prédateurs dont le taux est également proportionnel. x(t)y(t). Par conséquent, le taux global de changement de la population de prédateurs jour/dtéquivaut à
(2)
Où b- coefficient de proportionnalité positif. À conditions initiales x(0)> 0 et y(0) >0 la solution du modèle défini par les équations (1) et (2) possède une propriété intéressante : x(t)> 0 et yt)> 0 pour tout t³0. Par conséquent, la population de proies ne sera jamais complètement détruite par les prédateurs. Solution (x(t), y(t)) est aussi fonction périodique temps. En d’autres termes, il y a une telle signification T> 0, à laquelle x(t + nT)=x(t) Et y(t + nT)= yt) pour tout entier positif p. Ce résultat n’est pas inattendu. À mesure que la population de prédateurs augmente, la population de proies diminue. Cela entraîne une diminution du taux de croissance de la population de prédateurs et, par conséquent, une diminution de leur nombre, ce qui, à son tour, entraîne une augmentation de la population de proies, etc.
Considérons valeurs individuelles g = 0,001, a = 2 * 10 –6 ; s = 0,01 ; b=10 -6 , les tailles initiales de la population sont X( 0) = 12 000 et y(0) = 600. Sur la Fig. présente une solution numérique aux équations (1) et (2), obtenue à l'aide d'un progiciel informatique développé pour solution numérique systèmes d'équations différentielles (pas un langage de modélisation continue).
Notez que l'exemple ci-dessus est complètement déterministe, ce qui signifie qu'il n'y a pas de composants aléatoires. Cependant, le modèle de simulation peut également contenir des quantités inconnues ; par exemple, les équations (1) et (2) peuvent être ajoutées variables aléatoires, qui dépendent en quelque sorte du temps, ou facteurs constants peut être modélisé comme des quantités qui changent aléatoirement leurs valeurs à certains moments.
5.3 Modélisation combinée continue-discrète
Étant donné que certains systèmes ne sont ni entièrement discrets ni entièrement continus, il peut être nécessaire de créer un modèle qui combine les aspects de la modélisation à événements discrets et de la modélisation continue, ce qui entraîne combiné continu-discret modélisation. Trois principaux types d'interaction peuvent se produire entre des changements discrets et continus dans les variables d'état :
Un événement discret peut provoquer un changement discret dans la valeur d'une variable d'état continue ;
À un instant donné, un événement discret peut provoquer un changement dans la relation régissant une variable d'état continue ;
Une variable d'état continue qui a atteint valeur seuil, peut provoquer la survenue ou la planification d'un événement discret.
DANS exemple suivant une modélisation combinée continue-discrète est donnée brève description modèle, discuté en détail par Pritzker, qui fournit d'autres exemples de ce type de modélisation dans son travail.
Exemple 1.4. Les pétroliers transportant du pétrole arrivent à un quai de déchargement, réapprovisionnant un réservoir de stockage à partir duquel le pétrole est acheminé vers la raffinerie. À partir d'un pétrolier de déchargement, le pétrole est fourni au réservoir de stockage à un débit constant (les pétroliers arrivant à un quai très fréquenté forment une file d'attente.) À la raffinerie, le pétrole est fourni à partir du réservoir à différents débits définis. Le quai est ouvert de 6h00 à minuit. Pour des raisons de sécurité, le déchargement des camions-citernes s'arrête lorsque le quai est fermé.
Les événements discrets dans ce modèle (simplifié) sont l'arrivée du pétrolier pour décharger, la fermeture du quai à minuit et l'ouverture à 6h00. Les niveaux d'huile dans le camion-citerne de déchargement et le réservoir de stockage sont définis par des variables état continu, dont les taux de variation sont décrits à l’aide d’équations différentielles. Le déchargement du camion-citerne est considéré comme terminé lorsque le niveau d'huile dans le camion-citerne est inférieur à 5 % de sa capacité, mais le déchargement doit être temporairement arrêté si le niveau d'huile dans le réservoir de stockage atteint sa capacité. Le déchargement peut reprendre lorsque le niveau d'huile dans la cuve descend en dessous de 80 % de sa capacité. Si le niveau de pétrole dans le réservoir descend en dessous de 5 000 barils, la raffinerie doit être temporairement fermée. Pour éviter des arrêts et des redémarrages fréquents de l'usine, le pétrole du réservoir ne sera restitué à l'usine que lorsqu'il contiendra 50 000 barils de pétrole. Chacun des cinq événements liés au niveau d'huile (par exemple, le niveau d'huile tombant en dessous de 5 % de la capacité d'un pétrolier), selon la définition de Pritzker, est événement d'État. Contrairement aux événements discrets, les événements d'état ne sont pas planifiés ; ils se produisent lorsque des variables d'état continues franchissent un seuil.
5.4 Simulation Monte-Carlo. Modélisation statistique systèmes
Parmi les méthodes de modélisation des systèmes de commande d'entraînement électrique continu, on peut en distinguer deux, basées sur l'utilisation de modèles mathématiques de systèmes sous forme de modèles d'état et de modèles structurels, chacun ayant ses propres avantages spécifiques pour résoudre tâches spécifiques modélisation de systèmes de contrôle automatisés pour systèmes de contrôle électroniques. Il est plus pratique d'utiliser le modèle d'état lors de la modélisation et de la synthèse de systèmes de contrôle linéaire multidimensionnels pour véhicules électriques à l'aide de méthodes d'espace d'état. Lors de la modélisation systèmes non linéaires EP, ainsi que quelques éléments spécifiques systèmes modernes Pour les appareils électroniques, tels que les convertisseurs à thyristors et les microprocesseurs, l'utilisation de modèles structurels est plus efficace. Il est particulièrement pratique de les utiliser en analyse en relation avec la structure exprimée systèmes réels entraînement électrique. Cependant, l'efficacité de l'utilisation de méthodes structurelles (topologiques) diminue considérablement à mesure que les systèmes de contrôle des équipements électriques deviennent plus complexes. Par conséquent, le choix de la méthode de modélisation est déterminé par la faisabilité de son application dans un cas particulier.
La modélisation numérique des systèmes de contrôle continu est basée sur la description du système par des équations différentielles ordinaires sous la forme de Cauchy, où dans cas général pour un élément multidimensionnel, chaque variable d'entrée est associée à chaque variable de sortie. Si les relations le long de tous les canaux sont linéaires ou linéarisées, alors dans le cas général, un élément multidimensionnel peut être décrit par un système d'équations différentielles inhomogènes. Le système peut être écrit de manière plus compacte sous la forme d’une équation différentielle à vecteur unique. Une équation différentielle vectorielle sous forme de Cauchy, reflétant les propriétés dynamiques d'un objet linéaire multidimensionnel, est une équation d'état et est utilisée comme modèle mathématique lors de la modélisation par des méthodes d'espace d'état. Un modèle mathématique complet d'un objet multidimensionnel linéaire, en plus des équations d'état, contient également une équation de sortie qui relie les variables d'état et les actions de contrôle aux variables de sortie.
Les équations décrites ci-dessus peuvent être résolues diverses méthodes, qui peuvent être classées en deux groupes : les méthodes d'intégration numérique d'équations différentielles et les méthodes matricielles basées sur le calcul matrice de transition condition.
Les méthodes d'intégration numérique comprennent des méthodes connues et éprouvées de longue date : Euler, Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, etc. résultats connus, nous pouvons conclure que, avec les méthodes exactes reconnues d'intégration numérique ordre élevé, par exemple, les méthodes Runge-Kutta quatrième commande, Kutta-Merson du quatrième ordre, il est conseillé d'utiliser lors du développement techniques non standards modélisation numérique Les systèmes de contrôle électronique automatisés sont moins précis méthodes numériques, par exemple, Euler et Adams-Bashforth de second ordre, grâce auxquels il est possible de garantir une précision de modélisation suffisante avec l'étape d'intégration appropriée. Lors de la résolution de problèmes en temps réel, il est conseillé d'utiliser la méthode d'intégration numérique d'Euler du premier ordre, économique en termes de capacité mémoire et de temps de solution. Ceci est particulièrement important dans les systèmes de contrôle par microprocesseur pour appareils électroniques.
Méthodes matricielles pour calculer le processus transitoire dans systèmes linéaires sont basés sur le calcul de la matrice d'état de transition (exponentielle), qui est associée à la nécessité d'effectuer des calculs complexes et fastidieux, et sont particulièrement difficiles en l'absence de progiciels d'application spécialisés (MatLab doit être reconnu comme le plus célèbre mathématiques symboliques package axé sur le travail avec des vecteurs et des matrices). Les méthodes de calcul de la matrice d'état de transition peuvent être classées comme suit : directe, basée sur la méthode Plant, approximation de Padé, théorème de Keley-Hamilton. Tous méthodes répertoriées les calculs de la matrice d'état de transition utilisent un algorithme récurrent pour son calcul. La matrice d'état de transition est représentée par un développement matriciel en série. Pour assurer la fonctionnalité de l'algorithme de calcul de la matrice de transition, il est nécessaire d'installer nombre maximum membres de la série, au-delà desquels les calculs s'arrêtent. Il est à noter qu'avec le nombre de membres de la série À=2, la précision du calcul de la matrice d'état de transition correspond à la précision de la méthode d'Euler, avec À=3 - précision de la méthode Euler améliorée, avec À=5 - précision de la méthode Runge-Kutta. Évidemment, les coûts de calcul sont nettement plus élevés que ceux des méthodes d’intégration numérique. En plus d'effectuer les calculs de la matrice d'état de transition, il est nécessaire de calculer la matrice d'entrée, qui utilise principalement deux méthodes : analytique, lorsqu'on sait à l'avance que le processus de transition a caractère stable; approximatif, lorsque la nature du processus de transition n’est pas déterminée à l’avance. L’utilisation des deux méthodes est associée à une lourdeur opérations matricielles. Mais il faut noter que méthode matricielle présente des avantages par rapport aux autres méthodes lors de la modélisation de systèmes de contrôle multidimensionnels avec plusieurs entrées et sorties.
La modélisation numérique des systèmes de contrôle continu basée sur des représentations topologiques (modélisation structurelle) permet d'exploiter au maximum les informations sur la structure du système étudié ici, chaque lien standard correspond à un modèle spécifique, qui, à son tour, peut être ; mis en œuvre sur la base de deux liens standards.
Ainsi, le choix d'une méthode de modélisation des systèmes de contrôle continu des centrales électriques, ainsi que des méthodes de calcul des processus transitoires, est déterminé par l'efficacité de leur utilisation pour résoudre un problème spécifique.
Lors de la modélisation de systèmes de commande électrique discrets, il est nécessaire de résoudre le problème de la construction d'algorithmes de modélisation numérique collaborationéléments numériques et analogiques d'un système qui a certains fonctionnalités spécifiques. L'un d'eux est la dépense importante de temps informatique pour la reproduction conjointe des propriétés dynamiques des parties numériques et analogiques du système étudié, associée à la nécessité de résoudre à plusieurs reprises les équations différentielles de la partie analogique dans un cycle d'horloge du partie numérique. Un autre caractéristique importante est un appareil mathématique spécifique pour calculer les systèmes de contrôle numérique, en utilisant z-transformation.
Résultats de l'étude des processus transitoires dans systèmes physiques ah basé sur des méthodes dans lesquelles signaux continus sont remplacées par des séquences temporaires de nombres lors des calculs, montrent que cette approche permet des économies significatives en coûts de calcul. Relations entre les séquences temporelles nombres réels(fonctions de réseau) sont décrites par des équations aux différences récurrentes pratiques, dont les coefficients dépendent des paramètres des systèmes physiques. Certaines méthodes récurrentes, notamment la méthode de Tustin, permettent d'obtenir algorithmes efficaces modélisation numérique de systèmes discrets. L'essence des méthodes de différences récurrentes actuellement connues est de remplacer les processus se produisant dans des systèmes continus par des processus équivalents. systèmes discrets. L'appareil mathématique dans ce cas est la méthode z-transformations. Les méthodes Tustin et Boxer-Thaler considérées pour la construction d'algorithmes de modélisation numérique pour les systèmes de contrôle, spécifiées sous la forme diagrammes fonctionnels, ont très peu ou pas de restrictions. Ils sont universels dans le sens où ils sont utilisés à des fins analytiques ou forme libre. L'ordre des équations récurrentes coïncide avec l'ordre de la partie linéaire du système modélisé, quelle que soit la méthode utilisée. Aucun effort supplémentaire requis lors de la réalisation travail préparatoire. Cependant, la précision de ces méthodes n'est fondamentalement pas aussi élevée que celle des méthodes qui utilisent des informations sur l'ensemble du système continu dans son ensemble (méthodes invariantes fonctions d'impulsion, Tsypkin-Goldenberg, Ragazzini-Bergen).
La formulation de tout problème consiste à traduire sa forme verbale, verbal description dans officiel.
En cas de relative tâches simples une telle transition se produit dans la conscience d'une personne qui ne peut même pas toujours expliquer comment elle l'a fait. Si le modèle formel résultant (relation mathématique entre quantités sous forme de formule, d'équation, de système d'équations) est basé sur une loi fondamentale ou est confirmé par l'expérience, alors cela le prouve adéquation situation affichée, et le modèle est recommandé pour résoudre les problèmes de la classe correspondante.
Adéquation (modèles du problème en cours de résolution)- la légitimité d'utiliser le modèle pour étudier le problème à résoudre et visualiser la situation problématique. En plus au sens étroit L'adéquation d'un modèle s'entend comme sa conformité avec l'objet ou le processus modélisé. Il convient de garder à l’esprit qu’il ne peut y avoir de correspondance complète entre le modèle et l’objet. Il s’agit de prouver la correspondance du modèle et de l’objet en termes de propriétés les plus essentielles de l’objet.
Adéquation du modèle pendant le développement et la recherche systèmes techniques est prouvé par l'expérience.
À mesure que les problèmes deviennent plus complexes, il devient plus difficile d’obtenir un modèle et de prouver son adéquation. Au départ, l'expérience devient coûteuse et dangereuse (par exemple, lors de la création de complexes techniques complexes, lors de la mise en œuvre programmes spatiaux etc.), et par rapport aux objets économiques l'expérience devient pratiquement irréalisable, la tâche va en classe problèmes de prise de décision, et poser le problème, former un modèle, c'est-à-dire la traduction de la description verbale en description formelle devient importante partie intégrante processus de prise de décision. Et ça composant il n'est pas toujours possible de distinguer une étape distincte, après quoi vous pouvez traiter le modèle formel résultant de la même manière qu'un modèle ordinaire description mathématique, strict et absolument juste. Majorité situations réelles la conception de complexes techniques complexes et la gestion économique doivent être affichées comme une classe systèmes auto-organisés(voir unité 1), dont les modèles doivent être constamment ajustés et développés. Dans ce cas, il est possible de changer non seulement de modèle, mais aussi de méthode de modélisation, ce qui est souvent un moyen de développer la compréhension du décideur sur la situation simulée.
En d'autres termes, la traduction d'une description verbale en une description formelle, la compréhension, l'interprétation du modèle et les résultats obtenus deviennent partie intégrante de presque toutes les étapes de modélisation d'un système complexe en développement. Souvent, afin de caractériser plus précisément cette approche de modélisation des processus décisionnels, ils parlent de créer une sorte de « mécanisme » de modélisation, un « mécanisme » de prise de décision (par exemple, « mécanisme économique », « mécanisme de conception et développement d'une entreprise », etc.) .
Les questions qui se posent sont de savoir comment former de tels modèles ou « mécanismes » évolutifs ? comment prouver l’adéquation des modèles ? - sont le sujet principal analyse du système.
Pour résoudre le problème de la traduction d'une description verbale en une description formelle, divers domaines les activités ont commencé à développer des techniques et des méthodes spéciales. Ainsi, des méthodes comme « brainstorming", "scripts", expertises, « arbre des objectifs », etc.
À son tour, le développement des mathématiques a suivi la voie de l’expansion des moyens de poser et de résoudre des problèmes difficiles à formaliser.
Avec le déterminisme méthodes analytiques les mathématiques classiques sont nées de la théorie des probabilités et statistiques mathématiques comme moyen de prouver l'adéquation du modèle sur la base d'un échantillon représentatif et de la notion de probabilité, la légitimité de l'utilisation du modèle et des résultats de la modélisation.
Pour les tâches avec dans une plus grande mesure les ingénieurs ont commencé à attirer des incertitudes théorie des ensembles, logique mathématique, linguistique mathématique, théorie des graphes, ce qui a largement stimulé le développement de ces zones.
En d’autres termes, les mathématiques ont commencé à accumuler progressivement des moyens de travailler avec l’incertitude, au sens où les mathématiques classiques excluaient de leurs objets de considération.
Ainsi, entre informel, pensée imaginative modèles humains et formels des mathématiques classiques, un « spectre » de méthodes a émergé qui aident à obtenir et à clarifier (officialiser) une description verbale d'une situation problématique, d'une part, et à interpréter des modèles formels et à les relier à la réalité, d'autre part. . Ce spectre est classiquement présenté sur la Fig. 2.1, UN.
Riz. 2.1. Méthodes de modélisation du système
Bien entendu, le développement des méthodes de modélisation ne s’est pas déroulé de manière aussi cohérente que le montre la figure. Des méthodes sont apparues et se sont développées en parallèle. Il existe diverses modifications de méthodes similaires. Ils étaient regroupés de différentes manières, c'est-à-dire les chercheurs ont suggéré différents classements(principalement pour méthodes formelles). De nouvelles méthodes de modélisation émergent constamment, comme à « l’intersection » de groupes déjà constitués. Cependant, l’idée principale est qu’il existe un « spectre » de méthodes entre les méthodes verbales et présentation formelle situation problématique - illustrée dans cette figure.
Initialement, les chercheurs développant la théorie des systèmes proposaient des classifications de systèmes et essayaient de les faire correspondre. certaines méthodes des simulations qui permettent de la meilleure façon possible reflètent les caractéristiques d’une classe particulière.
Cette approche du choix des méthodes de modélisation s'apparente à l'approche des mathématiques appliquées. Cependant, contrairement à cette dernière, qui repose sur des classes problèmes appliqués, l'analyse du système peut afficher le même objet ou la même situation problématique (selon le degré d'incertitude et au fur et à mesure de son apprentissage) différentes classes systèmes et en conséquence divers modèles, organisant ainsi le processus de formalisation progressive de la tâche, c'est-à-dire « développer » son modèle formel. L'approche permet de comprendre qu'une méthode de modélisation mal choisie peut conduire à des résultats incorrects, à l'incapacité de prouver l'adéquation du modèle, à une augmentation du nombre d'itérations et à un retard dans la résolution du problème.
Il y a un autre point de vue. Si vous modifiez successivement les méthodes illustrées à la Fig. 2.1, UN« spectre » (pas forcément en utilisant tout), alors on peut progressivement, en limitant l'exhaustivité de la description de la situation problème (ce qui est inévitable lors de la formalisation), mais en préservant les composantes les plus significatives du point de vue du but (structure de objectifs) et les liens entre eux, passent à un modèle formel.
Cette idée s'est concrétisée, par exemple, lors de la création logiciel Ordinateurs et automatisés systèmes d'information en traduisant consécutivement la description de la tâche à partir de langage naturel sur la langue haut niveau(langage de gestion de tâches, langage de recherche d'informations, langage de modélisation, automatisation de la conception), et de celui-ci - dans l'un des langages de programmation adaptés à une tâche donnée (PL/1, LISP, PASCAL, SI, PROLOG, etc.), qui, à son tour, est traduit en codes d’instructions machine qui font fonctionner le matériel informatique.
Parallèlement, analyse des processus d'activité inventive, expérience de formation modèles complexes la prise de décision a montré que la pratique n'obéit pas à une telle logique, c'est-à-dire une personne agit différemment : elle choisit alternativement les méthodes de gauche et bonnes pièces"spectre" montré sur la Fig. 2.1, UN.
Par conséquent, il est pratique de « casser » ce « spectre » de méthodes approximativement au milieu, où méthodes graphiques fusionner avec des méthodes de structuration, c'est-à-dire diviser les méthodes de modélisation des systèmes en deux grande classe: méthodes de représentation formalisée des systèmes - MFPS Et méthodes visant à améliorer l'utilisation de l'intuition et de l'expérience des spécialistes ou plus brièvement - méthodes d'activation de l'intuition des spécialistes - MAIS.
Les classifications possibles de ces deux groupes de méthodes sont présentées dans la Fig. 2.1, b.
Cette division des méthodes est conforme à l'idée principale de l'analyse des systèmes, qui consiste à combiner des représentations formelles et informelles dans des modèles et des techniques, ce qui aide au développement des techniques, à la sélection de méthodes pour la formalisation progressive de la cartographie et de l'analyse. de la situation problématique.
Notez que sur la Fig. 2.1, b dans le groupe MAIS, les méthodes sont disposées de haut en bas approximativement par ordre croissant de possibilités de formalisation, et dans le groupe IPPS - de haut en bas, l'attention portée à l'analyse substantielle du problème augmente et de plus en plus d'outils apparaissent pour une telle analyse. Cet ordre permet de comparer les méthodes et de les sélectionner lors de l'élaboration de modèles de prise de décision et lors du développement de méthodes d'analyse de système.
Les classifications du MAIS et surtout du MFPS peuvent être différentes. Sur la fig. 2.1, b La classification des MPPS proposée par F.E. est donnée. Temnikov .
Il convient de noter que les termes MAIS et IPPS sont parfois utilisés pour nommer des groupes. qualité Et quantitatif méthodes. Cependant, d'une part, les méthodes classées dans le groupe MAIS peuvent également utiliser des représentations formalisées (lors du développement scénarios des données statistiques peuvent être utilisées et certains calculs peuvent être effectués ; la formalisation est associée à l'obtention et au traitement d'expertises, aux méthodes de modélisation morphologique) ; et, d'autre part, en vertu du théorème de Gödel sur l'incomplétude, dans le cadre de tout système formel, aussi complet et cohérent qu'il puisse paraître, il existe des dispositions (relations, énoncés) dont la vérité ou la fausseté ne peut être éprouvé par des moyens formels ce système, et pour surmonter problème insoluble il est nécessaire d'élargir le système formel, en s'appuyant sur le fond, analyse qualitative. Par conséquent, les noms des groupes de méthodes MAIS et MFPS ont été proposés, ce qui semble plus préférable.
Les résultats de Gödel ont été obtenus pour l'arithmétique, la branche la plus formelle des mathématiques, et suggèrent que le processus de logique, y compris preuve mathématique, ne se limite pas à utiliser uniquement méthode déductive qu'il contient toujours des éléments de pensée informels. Des études ultérieures sur ce problème par des mathématiciens et des logiciens ont montré que « les preuves n’ont aucune rigueur absolue, indépendante du temps et ne sont que des moyens de persuasion culturellement médiatisés ».
En d’autres termes, il n’y a pas de distinction stricte entre les méthodes formelles et informelles. On ne peut parler que d'un plus ou moins grand degré de formalisation ou, au contraire, d'un plus ou moins grand recours à l'intuition, bon sens.
Un analyste de systèmes doit comprendre que toute classification est conditionnelle. Ce n'est qu'un moyen d'aider à naviguer un nombre énorme diverses méthodes et des modèles. Il est donc nécessaire d'élaborer une classification prenant en compte les conditions spécifiques, les caractéristiques des systèmes modélisés (processus de prise de décision) et les préférences des décideurs (DM), à qui l'on peut demander de choisir une classification.
Il convient également de noter que de nouvelles méthodes de modélisation sont souvent créées sur la base d’une combinaison de classes de méthodes préexistantes.
Donc, intégréméthodes(combinatoire, topologie) ont commencé à se développer en parallèle dans le cadre algèbre linéaire, théorie des ensembles, théorie des graphes, puis a pris forme en directions indépendantes.
Il existe également de nouvelles méthodes basées sur une combinaison d'outils MAIS et MFPS. Ce groupe de méthodes est présenté dans la Fig. 2.1 comme groupe indépendant méthodes de modélisation, généralement appelées méthodes spéciales.
Le plus répandu reçu ce qui suit méthodes spéciales modélisation des systèmes.
Modélisation dynamique de simulation, proposé par J. Forrester (USA) dans les années 50. XXe siècle, des usages respectueux de l'homme langage structurel, qui permet d'exprimer des relations réelles qui reflètent des boucles de contrôle fermées dans le système, et des représentations analytiques (équations linéaires aux différences finies), qui permettent de mettre en œuvre une étude formelle des modèles résultants sur un ordinateur en utilisant langue spécialisée DYNAMO.
Idée modélisation situationnelle proposé par D.A. Pospelov, développé et mis en pratique par Yu.I. Klykov et L.S. Zagadskaïa (Bolotova). Cette direction est basée sur l'affichage dans la mémoire de l'ordinateur et l'analyse situations problématiques en utilisant un langage spécialisé développé à l'aide moyens expressifs théorie des ensembles, logique mathématique et théories des langues.
Modélisation structurale-linguistique. Cette approche est née dans les années 70. XXe siècle V pratique d'ingénierie et est basé sur l'utilisation de la combinatoire de représentations structurelles pour mettre en œuvre des idées diverses sortes, d'une part, et les moyens de la linguistique mathématique, d'autre part. Dans une compréhension élargie de l'approche, d'autres méthodes de mathématiques discrètes, des langages basés sur des représentations théoriques des ensembles et l'utilisation d'outils de logique mathématique, de linguistique mathématique et de sémiotique sont également utilisés comme moyens linguistiques (linguistiques).
Théorie des champs d'information et approche informationnelle de la modélisation et de l'analyse des systèmes. Le concept de champ d'information a été proposé par A.A. Denisov et repose sur l'utilisation des lois de la dialectique pour activer l'intuition du décideur, et comme moyen d'affichage formalisé - l'appareil théorie mathématique champs et théorie des circuits. Par souci de concision, cette approche est par la suite dite informationnelle, car elle repose sur la visualisation de situations réelles à l'aide de modèles d'informations.
Une méthode de formalisation progressive des tâches et des situations problématiques avec incertitude grâce à l'utilisation alternée des outils MAIS et IPPS. Cette approche de modélisation des systèmes auto-organisés (en développement) a été initialement proposée sur la base du concept modélisation structurale-linguistique, mais est ensuite devenu la base de presque toutes les techniques d'analyse des systèmes.
Une classification des méthodes de modélisation, telle que celle évoquée, aide à choisir consciemment les méthodes de modélisation et devrait faire partie de accompagnement méthodologique travaille sur la conception de complexes techniques complexes, sur la gestion des entreprises et des organisations. Elle peut être développée et complétée par des méthodes spécifiques, c'est-à-dire accumuler l'expérience acquise dans le processus de conception et de gestion.
